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专题01 函数的概念及其表示
目录
题型一： 具体函数定义域 3
题型二： 抽象函数定义域 5
题型三： 定义域求参数 6
题型四： 函数的值域 8
题型五： 求函数解析式 9
题型六： 分段函数求值 12
题型七： 分段函数求参数 13
题型八： 分段函数与不等式 14
题型九： 新定义 17
函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
函数的表示法
解析法 图象法 列表法
用解析式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．
注意
关于分段函数的3个注意点
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
(3)各段函数的定义域不可以相交.
【常用结论与知识拓展】
1．几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
4．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R.
具体函数定义域
【要点讲解】1.求具体函数定义域的策略
(1)构造使解析式有意义的不等式(组)求解即可;
(2)对于实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.
2.常见函数类型的限制条件
(1)分式型:要满足f(x)≠0;
(2)根式型:(n∈N*)要满足f(x)≥0;
(3)0次幂型:[f(x)]0要满足f(x)≠0;
(4)对数型:logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0;
(5)正切型:tan (f(x))要满足f(x)≠+kπ,k∈Z.
函数的定义域为　　
A．， B．，， C．， D．，
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且．
函数的定义域为，，．
故选：．
函数的定义域为 　　．
【解答】解：令，可得，解得．
故函数的定义域为．
故答案为：．
函数的定义域为 　　．
【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
函数的定义域为 　，　．
【解答】解：要使原函数有意义，则，即，
解得或．
函数的定义域为，．
故答案为：，．
抽象函数定义域
【要点讲解】本质:函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围.
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
若函数的定义域为，，则函数的定义域为 　，　．
【解答】解：函数的定义域为，，即，，，，
的定义域为，，
要使有意义，则，可得．
即函数的定义域为，．
故答案为：，．
已知函数的定义域为，，则函数的定义域　　
A． B．，，
C．，， D．
【解答】解：因为函数的定义域为，，对于函数，
则有，解得或．
因此，函数的定义域为．
故选：．
函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．，， C．， D．，，
【解答】解：由题意得，解得且．
故选：．
已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：函数的定义域为，，即，可得，
函数的定义域为，，
令，解得，
故函数的定义域为．
故选：．
定义域求参数
已知函数的定义域为，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C． D．，，
【解答】解：函数的定义域为，
对任意恒成立，
当，即时，不成立；
当，即时，则，解得．
实数的取值范围是，．
故选：．
已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 　，　．
【解答】解：由题意，，
当时，把代入，不等式成立；
当时，得，则，即；
当时，把代入，不等式成立．
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
若函数的定义域为，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：因为函数定义域为，
所以在上恒成立，
所以△，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
已知函数的定义域为．
（1）求实数的范围；
（2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．
【解答】解：（1）函数的定义域为，在上恒成立，即，
，；
（2）由（1）知，，
当且仅当，时取等号，
的最小值为．
函数的值域
【要点讲解】(1)分离常数法，形如y＝(ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x)，然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围)；
(2)换元法，形如y＝ax±b±，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域．若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式，可以考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值范围．对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域；
(3)基本不等式法，先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出值域；
(4)单调性法，先确定函数的单调性，再由单调性求值域．
若函数的定义域是，，则其值域为　　
A． B．， C． D．
【解答】解：由题意可得：当时，则所以
当，时，则，所以，，
所以函数的值域为．
故选：．
函数的值域　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，
由于，故函数的值域为，
故选：．
函数的值域是　，　．
【解答】解：令，则，
所以，
所以函数的值域是，．
故答案为：，．
函数的值域为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：函数的定义域为，，令，则，
可得，
故当时，函数取得最大值为，函数没有最小值，
故函数的值域为，，
故选：．
函数的值域为 　，　．
【解答】解：因为，
所以，当且仅当时取等号，
所以函数的值域为，．
故答案为：，．
求函数解析式
【要点讲解】(1)待定系数法:适于已知函数的类型,先设出解析式,再利用恒等式等号两边的系数相等求解.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)消去法:已知关于f(x)与f() (或f(-x))的关系式,根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,消去f() (或f(-x))求出f(x).
已知函数是一次函数,若,则　　　　　　.
【解析】设函数 , 则,又 , 所以 ,即 解得 或 所以 或 .
若为二次函数且,则　　　　　　.
【解析】设函数 ,因为 ,所以 即 ,所以 .
已知,则　　　　　.
【解析】方法一(换元法):
令 , 则 ,
则 ,
所以 .
方法二(配凑法)
因为 ,
且 , 所以 .
已知,则　　　　　.
【解析】令 , 则 ;
则
所以 .
已知满足,则　　　　　　.
【解析】在 中, 将 换成 , 得 ,
由
消去 得 .
已知,则　　　　　.
【解析】在 中, 将 换成 , 得 ,
由
消去 得 .
分段函数求值
【要点讲解】先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
设函数，则　　，若，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：函数，
，
（1）；
（a）或，
解得或，
若（a），则实数的取值范围是，，．
故答案为：；，，．
，则的值为　2　．
【解答】解：由题意，自变量为2，
故内层函数（2），
故有（1），
即（2）（1），
故答案为 2
若，则　　．
【解答】解：（3）
（3）
故答案为．
已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【解答】解：因为，代入函数解析式得（5），
所以（5），因为，代入函数解析式得
故选：．
分段函数求参数
【要点讲解】先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
已知函数，若，则的值是　　
A．3或 B．或5 C． D．3或或5
【解答】解：若，则（a）
舍去）
若，则（a）
综上可得，或
故选：．
设函数，若，则实数的值为　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：由题意知，（a）；
当时，有，解得，（不满足条件，舍去）；
当时，有，解得（不满足条件，舍去）或．
所以实数 的值是：．
故选：．
设函数，若，则　或3　．
【解答】解：由题意可得或
或
故答案为：或3
已知函数，若，则的值是　　
A． B．或 C．或 D．
【解答】解：令（a）
则或，
解之得或，
故选：．
分段函数与不等式
【要点讲解】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．尤其要注意，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
已知函数若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的图象，可得在上单调递增，
若（a），则有，
，，
则实数的取值范围是．
故选：．
已知函数则不等式的解集是　　
A．，， B． C． D．
【解答】解：分别画出函数与的图象，如图所示，
由图象可得不等式的解集是，，
故选：．
设函数则满足的取值范围为 　　．
【解答】解：作图如下：
因为，所以，
解得，
故答案为：．
已知函数，则　　；若，则的取值范围是 　　．
【解答】解：根据题意可知，（9），
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：，．
新定义
【要点讲解】(1)新定义问题是先给出一个新的概念,或给出一个抽象函数的性质,然后根据这种新定义解决相关的问题.
(2)解决问题的关键是破译题目的信息,转化为熟悉的问题便可获解.
世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为　　
A．，6， B．，5， C．，5，6，7， D．，
【解答】解：易知，在上单调递减，，上单调递增．
当时，；当时，；当时，，
所以，则函数的值域为，5，6，7，．
故选：．
十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是　　
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：由题意可知，
所以（1），，，而无解．
故选：．
高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为　　
A． B．， C．，0， D．，，
【解答】解：因为
又，
所以，
所以
所以，
则的值域，0，．
故选：．
一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．
（1）若，为的跟随区间，则　2　．
（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是　　．
【解答】解：（1），为的跟随区间，函数值域为，．二次函数的对称轴方程为：，
函数在，上单调递增．，解得：，故的值为2；
（2）设跟随区间为：，．函数的定义域为：，，．
函数是定义域上的减函数且定义域、值域都是，，
，，
，又，
，，代入得：，
同理：，可令，方程在范围内有两个不等实根，
函数与函数有两个交点，又函数的值域，，
由二者图象可知：，．
故答案为：，，
一．选择题（共6小题）
1．函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．，， C．， D．，，
【解答】解：由题意得，解得且．
故选：．
2．下列函数中，值域是的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：选项，的值域是，，即不符合题意；
选项，的值域是，，，即不符合题意；
选项，的值域是，即不符合题意；
选项，因为，所以，所以，所以其值域为，即符合题意．
故选：．
3．下列表示同一个函数的是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
【解答】解：对于，的定义域为，的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故错误；
对于，的定义域为的定义域为，
定义域不同，不是同一个函数，故错误；
对于，，
这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，
故是同一个函数，故正确；
对于，与的定义域和对应法则都不同，
不是同一个函数，故错误；
故选：．
4．已知函数是一次函数，且，则的解析式为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数是一次函数，则设，
因为，
所以，
则，解得，，
所以函数．
故选：．
5．函数的定义域是　　
A． B． C． D．，，
【解答】解：由题意可得，，
解得且，
即函数的定义域为，，．
故选：．
6．已知函数与，若存在使得，则不可能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于选项，若，当时，，当时，，
相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即错误；
对于选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得，解得，
即，即，
存在，所以选项正确；
对于选项，，令，得，则，即，
存在，所以选项正确；
对于选项，，可得出，存在所以选项正确；
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．有以下判断，其中是正确判断的有　　
A．与表示同一函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．若，则
D．函数的最小值为
【解答】解：对于，的定义域为，，，的定义域为，故不是相等函数，错误；
对于，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数与有一个交点，（1），
当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故正确；
对于，因为，则，所以，故正确．
对于，函数，当且仅当时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故错误；
故选：．
8．存在函数，对任意都有，则函数不可能为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于选项，是奇函数，是偶函数，则，矛盾，不满足条件；
对于选项，若，取满足条件；
对于选项，取和，可得，，矛盾，不满足条件；
对于选项，，则，单调递增，且，即为奇函数，图象如下所示，
所以值域为，满足条件．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．函数的定义域为 　且　．
【解答】解：由题意得，解得且．
故答案为：且．
10．记，，若，，则的值域为 　，　．
【解答】解：因为当时，，
令，解得，
当时，，
因为（5），（5）（5），，，
所以，使得，
所以，
画出的图象如图，由图易知，的最小值为（2），
的值域为，．
故答案为：，．
11．函数的值域是，，则的定义域可以是 　，　
【解答】解：令，则，，
原函数可化为，
由题意可得，
解得，，
故，
所以，
解得．
故答案为：，．
12．已知函数，则的值域为 　　；函数图象的对称中心为 　　．
【解答】解：，
，，则，，，
即，则函数的值域为，
，
则，
得，即函数的对称中心为，
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
13．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，解得，且，
所以这个函数的定义域为，，．
（2）由题意可得，解得或，
所以函数的定义域为，，．
14．已知函数，．
（1）求的定义域；
（2）若和的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数，，
，求得，
故函数的定义域为．
（2）和的图象有两个不同的交点，
即方程有2个解，
即有2个正解，即有2个正解，
，求得或，
故实数的取值范围为或．
15．已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）设函数的值域为，
①求；
②若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围．
【解答】解：（1）令，得，解得或；
（2）①因为，
因为，所以，
所以，，
即函数的值域，；
②因为至少有两个不同的，使得，
所以至少有两个不同的，使得，
因为，所以，
令，解得，，2，3，，
所以，，．专题01 函数的概念及其表示
目录
题型一： 具体函数定义域 3
题型二： 抽象函数定义域 4
题型三： 定义域求参数 5
题型四： 函数的值域 5
题型五： 求函数解析式 6
题型六： 分段函数求值 7
题型七： 分段函数求参数 8
题型八： 分段函数与不等式 8
题型九： 新定义 9
函数的概念
(1)函数的定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的三要素
函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成．在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域．
函数的表示法
解析法 图象法 列表法
用解析式表示两个变量之间的对应关系 用图象表示两个变量之间的对应关系 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．
注意
关于分段函数的3个注意点
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；
(3)各段函数的定义域不可以相交.
【常用结论与知识拓展】
1．几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)f(x)为指数式时，函数的定义域是使底数大于0且不等于1的实数集合．
2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
4．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为.
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝logax (a>0且a≠1)的值域是R.
具体函数定义域
【要点讲解】1.求具体函数定义域的策略
(1)构造使解析式有意义的不等式(组)求解即可;
(2)对于实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.
2.常见函数类型的限制条件
(1)分式型:要满足f(x)≠0;
(2)根式型:(n∈N*)要满足f(x)≥0;
(3)0次幂型:[f(x)]0要满足f(x)≠0;
(4)对数型:logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足f(x)>0;
(5)正切型:tan (f(x))要满足f(x)≠+kπ,k∈Z.
函数的定义域为　　
A．， B．，， C．， D．，
函数的定义域为 　 ．
函数的定义域为 　 　．
函数的定义域为 　 　．
抽象函数定义域
【要点讲解】本质:函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围.
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.
若函数的定义域为，，则函数的定义域为 　 　．
已知函数的定义域为，，则函数的定义域　　
A． B．，，
C．，， D．
函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．，，
C．， D．，，
已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　　
A． B． C．， D．，
定义域求参数
已知函数的定义域为，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C． D．，，
已知函数的定义域为，且，则的取值范围是 　 　．
若函数的定义域为，则实数的取值范围是 　 　．
已知函数的定义域为．
（1）求实数的范围；
（2）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．
函数的值域
【要点讲解】(1)分离常数法，形如y＝(ac≠0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x)，然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围)；
(2)换元法，形如y＝ax±b±，通过换元将他们转化为有理函数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域．若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式，可以考虑换元法，但是要注意换元后新元的取值范围．对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求值域；
(3)基本不等式法，先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后，用基本不等式求出值域；
(4)单调性法，先确定函数的单调性，再由单调性求值域．
若函数的定义域是，，则其值域为　　
A． B．， C． D．
函数的值域　　
A． B．
C． D．
函数的值域是　 　．
函数的值域为　　
A．， B．， C． D．
函数的值域为 　 　．
求函数解析式
【要点讲解】(1)待定系数法:适于已知函数的类型,先设出解析式,再利用恒等式等号两边的系数相等求解.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)消去法:已知关于f(x)与f() (或f(-x))的关系式,根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,消去f() (或f(-x))求出f(x).
已知函数是一次函数,若,则　　　　　　.
若为二次函数且,则　　　　　　.
已知,则　　　　　.
已知,则　　　　　.
已知满足,则　　　　　　.
已知,则　　　　　.
分段函数求值
【要点讲解】先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
设函数，则　 　，若，则实数的取值范围是 　 　．
，则的值为　 　．
若，则　 　．
已知函数，则（ ）
A．0 B． C． D．1
分段函数求参数
【要点讲解】先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
已知函数，若，则的值是　　
A．3或 B．或5 C． D．3或或5
设函数，若，则实数的值为　　
A． B． C．或 D．或
设函数，若，则　 　．
已知函数，若，则的值是　　
A． B．或 C．或 D．
分段函数与不等式
【要点讲解】已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．尤其要注意，当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
已知函数若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知函数则不等式的解集是　　
A．，， B． C． D．
设函数则满足的取值范围为 　 　．
已知函数，则　 　；若，则的取值范围是 　 　．
新定义
【要点讲解】(1)新定义问题是先给出一个新的概念,或给出一个抽象函数的性质,然后根据这种新定义解决相关的问题.
(2)解决问题的关键是破译题目的信息,转化为熟悉的问题便可获解.
世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，．已知，，则函数的值域为　　
A．，6， B．，5， C．，5，6，7， D．，
十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是　　
A．3 B．2 C．1 D．0
高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为　　
A． B．， C．，0， D．，，
一般地，若的定义域为，，值域为，，则称，为的“倍跟随区间”；特别地，若的定义域为，，值域也为，，则称，为的“跟随区间”．
（1）若，为的跟随区间，则　 　．
（2）若函数存在跟随区间，则的取值范围是　 　．
一．选择题（共6小题）
1．函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．，， C．， D．，，
2．下列函数中，值域是的是　　
A． B．
C． D．
3．下列表示同一个函数的是　　
A．与 B．与
C．与 D．与
4．已知函数是一次函数，且，则的解析式为　　
A． B． C． D．
5．函数的定义域是　　
A． B． C． D．，，
6．已知函数与，若存在使得，则不可能为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．有以下判断，其中是正确判断的有　　
A．与表示同一函数
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．若，则
D．函数的最小值为
8．存在函数，对任意都有，则函数不可能为　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
9．函数的定义域为 　　．
10．记，，若，，则的值域为 　　．
11．函数的值域是，，则的定义域可以是 　　
12．已知函数，则的值域为 　　；函数图象的对称中心为 　　．
四．解答题（共3小题）
13．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）．
14．已知函数，．
（1）求的定义域；
（2）若和的图象有两个不同的交点，求实数的取值范围．
15．已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）设函数的值域为，
①求；
②若至少有两个不同的，使得，求正数的取值范围．专题02 函数的单调性与最值
目录
题型一： 求单调区间 4
题型二： 判断函数的单调性 8
题型三： 函数单调性的应用——比较大小 11
题型四： 函数单调性的应用——解不等式 13
题型五： 函数单调性的应用——求参数 16
题型六： 函数单调性的应用——求最值 17
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【常用结论与知识拓展】
1．函数单调性的等价定义
设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减．
2．函数f(x)＝ax＋的单调性
若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数．
特别地，“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，]．
3．与函数运算有关的单调性结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．
求单调区间
【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.
函数的单调递减区间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
由题意令，
由，解得：，
故选：．
函数的递增区间是　，　．
【解答】解：函数的图象如图所示：
数形结合可得函数的增区间为，，
故答案为：，．
函数的增区间为 　　．
【解答】解：因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：．
函数的单调递减区间为 　　．
【解答】解：由，得，
函数的定义域为，
又内层函数的对称轴方程为，则内函数在上为增函数，
且外层函数为定义域内的减函数，
故复合函数的单调递减区间为．
故答案为：．
函数的单调增区间是　，　．
【解答】解：解，得，或；
，解得；
的单调增区间为，．
故答案为，．
函数的单调减区间为　　．
【解答】解：令
解得，
函数的单调递减区间是．
故答案为：．
已知函数，则的单调递增区间为 　　．
【解答】解：当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
画出图象如图所示：
由图象得，函数的单调递减区间为和，
单调递增区间为和．
（2），
画出函数的图象，如图所示：
由图象得，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为和．
画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1）； （2）．
【解答】解：（1）先作出函数的图像，再将其图像向下平移1个单位，
保留轴上方的部分，将轴下方的图像翻折到轴上方，得到的图像，
图像如下：
单调减区间，单调增区间为；
（2）先作出函数的图像，保留轴上方的部分，将轴下方的图像翻折到轴上方，
再将其图像向上平移1个单位，得到的图像，
图像如下：
单调减区间，单调增区间为．
判断函数的单调性
【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间).
下列函数为增函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数与在定义域内为减函数，不符合题意；
函数在上为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质知为增函数．
故选：．
下列函数中，在区间上为增函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，
单调递减，不符合题意；
不具有单调性，不符合题意；
不具有单调性，不符合题意；
单调递增，符合题意．
故选：．
下列函数为增函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，在单调递减，故错误，
在上单调递增，故正确；
在上单调递减，故错误，
在上单调递减，故错误．
故选：．
已知函数同时满足性质：①；②当，时，，则函数可能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：①说明为偶函数，②，说明函数在上单调递减．
不满足②，不满足①，
不满足②，因为在单调递减，在单调递增．
对于，满足①，当，，单调递减，也满足②．
故选：．
已知函数．
（1）若，求；
（2）用定义法证明：函数在区间上单调递减．
【解答】解：（1）由，得
故，解得或；
（2）证：任取，
则，
，
，，
故，即，
故在区间上单调递减．
已知，．
（1）解不等式；
（2）判断并证明函数的单调性．
【解答】解：（1）由，，，得，
解得，
即不等式解集为；
（2）在，为减函数．证明如下：
设，则，
因为，，，
所以，
即．
所以是，上的减函数．
已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．
（1）求，的解析式；
（2）设，根据定义证明：在上为增函数．
【解答】解：（1）依题意，，因此，
设二次函数，不等式，即为，
则，4是关于的一元二次方程的两个实根，且，
于是得，又（1），解得，，，
于是得，
所以，．
（2）证明：由（1）知，，
任取，，且，，
因为，有，，，则，即，
所以函数在上为增函数．
函数单调性的应用——比较大小
【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，函数在，上是增函数，
再根据函数的图象关于直线对称，可得函数在，上是减函数．
故离直线越近的点，函数值越小．，，，
，
故选：．
函数，若，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数，
函数为增函数，
又，
则，
即，
故选：．
若实数，满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，可得定义域为，且在上单调递增，
，
即，可得，
，
可得，，
，故，对，错，
又和的大小关系不确定，故不成立．
故选：．
已知是定义在上的增函数，，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数为上单调增函数，故，而，
由于是定义在上的增函数，故，
即．
故选：．
已知定义在上的函数满足，设，，，则（a），（b），（c）的大小顺序是 　（c）（a）（b）　．（用“”号连接）
【解答】解：定义在上的函数满足，
则函数在上为增函数，
又由，，，即，，，
则有，则（c）（a）（b）．
故答案为：（c）（a）（b）．
函数单调性的应用——解不等式
【要点讲解】往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域
设函数在上是奇函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数在上是奇函数
则
函数在上是奇函数，且在上是减函数，
解得，
的取值范围是：，
故选：．
已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数在定义域上是减函数，且，
则有，
解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函数是实数集上的减函数，又，
所以，解得．
故选：．
已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题知关于直线对称，
故为偶函数，，
当时，恒成立，
则在，上单调递增，
，
，，
即，
解得：．
故选：．
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：幂函数在上单调递减，故，解得，
又，故或2，
当时，的图象关于轴对称，满足题意，
当时，的图象不关于轴对称，舍去，故，
不等式化为，
函数在和上单调递减，
故或或，解得或．
故选：．
函数单调性的应用——求参数
【要点讲解】通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小关系
已知函数在，上是增函数，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：设，根据对数函数及复合函数的单调性知：
在，上是增函数，且（2）；
；
；
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
已知，若函数在区间，上为减函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，
所以，
所以在，上递减，
因为函数在区间，上为减函数，
所以，得．
故选：．
若函数与函数在区间，上都是减函数，则的取值范围是　　
A．，， B．，， C． D．，
【解答】解：函数在区间，上是减函数，
，
又在区间，上是减函数，，
故的取值范围是，即，，
故选：．
若函数是上的增函数，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．
【解答】解：若函数是上的增函数，
则满足，解得，
即的取值范围为，．
故选：．
函数单调性的应用——求最值
【要点讲解】利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时
函数在区间，上的最小值是　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：函数在，上减函数，
所以函数的最小值为：．
故选：．
已知函数，则在区间的最大值为 　　．
【解答】解：，
，
令，则，
在，单调递减，在，单调递增，
，，，
则在区间的最大值为．
故答案为：．
已知函数是定义在，上的奇函数，且当，时，，则的最小值是　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根据题意，当，时，，变形可得，则有，，
又由是，上的奇函数，
则，
故的值域，，，
故的最小值是．
故选：．
已知函数，则函数有　　
A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值
【解答】解：函数的定义域为，，
由和在，均为增函数，
可得在，为增函数，
则有最小值，无最大值．
故选：．
的最大值是　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由已知可得，解得，故函数的定义域为，，
令，则，且，
则，
当且仅当，即时取等号，
故函数的最大值为．
故选：．
已知函数
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围
（2）求函数在区间，上的最小值．
【解答】解：（1），
由在上是增函数，则，
即，
则范围为，；
（2）①当时，在区间，上，，
其图象是开口向上的抛物线，对称轴是，
，，
（1）；
②当时，在区间，上，，
；
③当时，在区间，上，，
其图象是开口向下的抛物线，对称轴是，
当即时，（2）；
当即时，（1）．
综上，．
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中，在，内为增函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，在，内为减函数，故不符合题意；
对于，在内没有意义，故不符合题意；
对于，在，内为增函数，故符合题意；
对于，在，内没有意义，故不符合题意．
故选：．
2．下列函数中是减函数的为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为在单调递增，所以选项错误，
因为单调递增，所以选项错误，
因为底数大于1即为增函数，所以选项错误．
故选：．
3．下列函数中，在区间上是减函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，是二次函数，在区间上是增函数，不符合题意；
对于，，是幂函数，在区间上是增函数，不符合题意，
对于，，是指数函数，在区间上是增函数，不符合题意；
对于，，是一次函数，在区间上是减函数，符合题意；
故选：．
4．已知定义在，上的函数满足对于任意的，，，且，都有，则不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：对于任意的，，，且，都有，
时，，
在，上单调递减，
由得，，解得，
不等式的解集为，．
故选：．
5．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，不一定是增函数，例如，，为减函数，故错误；
对于，一定是增函数，任取，，且，
由于在上是增函数，在上是减函数，
有，，
，
，函数在上是增函数，故正确；
对于，为减函数，任取，，且，
由于在上是增函数，在上是减函数，
有，，
，
，函数在上是增函数，故错误；
对于，不一定是增函数，例如，，在上不是增函数，故错误；
故选：．
6．下列函数中，在区间上是增函数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：选项，是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上递减，在上递增，不符合题意；
选项，在上是减函数，不符合题意；
选项，，在上是增函数，符合题意；
选项，因为在上是增函数，所以在上是减函数，不符合题意．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．已知是定义在，上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是　　
A．对任意，都有
B．对任意，，，且，都有
C．对任意，，，且，都有
D．对任意，，，且，都有
【解答】解：对于，设函数为取整函数，对任意，都有，但函数不是增函数，不符合题意；
对于，若函数为常函数，且满足对任意，，，，都有，但不是增函数，不合题意；
对于，对任意，，，且，都有，即当时，都有，所以是增函数；
对于，对任意，，，设，若，
必有，所以函数在，上为增函数．
故选：．
8．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数，过定点
C．定义在上的函数满足，且（3），则不等式的解集为
D．已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是，
【解答】解：对于选项：结合可得，可得出，而得不出，
所以是的充分不必要条件，故正确；
对于选项：，当，（2），即过定点，故错误；
对于选项：不妨设，则，两边同时除以，得，
令，，则，所以在单调递减，
由变形，，即（3），
得，故正确；
对于选项：因为在区间上为减函数，
由复合函数可知只需要在恒成立并且令该二次函数
在单调递增即可，由二次函数图像可得，得，故选项正确；
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知函数在，上的最大值为3，则实数的值为 　3　．
【解答】解：，
显然，
当时，函数在，上单调递减，则，解得；
当时，函数在，上单调递增，则，解得（舍；
综上，．
故答案为：3．
10．函数的最小值是 　　．
【解答】解：．
当且仅当，即，时等号成立．
函数的最小值是．
故答案为：．
11．已知函数，则的单调增区间为 　，　．
【解答】解：由，得，解得，
令，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线，
则在，上为增函数，
又为定义域内的增函数，
则的单调增区间为，．
故答案为：，．
12．若函数单调递增，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：函数单调递增，
，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为16，求实数的值．
【解答】解：（1）当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：不等式的解集为．
（2）（当且仅当，即时取等号），
，解得．
14．已知，函数的最大值为4，
（1）求实数的值；
（2）若实数，，满足，求的最小值．
【解答】解：（1），
，，当时取等号，
，又的最大值为4，，即．
（2）根据柯西不等式得：，
，
当且仅当，即，，时等号成立．
的最小值为．
15．设．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数在上最小值为，求实数的值；
（3）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值．
【解答】解：（1），
，即，也即
所以
若，该不等式无解；
若，，所以或；
若，，所以
综上，当时，；当时，，，；当时，；
（2）若，在单调递增，故在上无最小值；
若，在单调递增，故在上无最小值；
若，，
所以，解得或，
所以或；
（3）因为对任意的正实数，存在，使得，所以，
当时，在上单调递增，
所以，
所以，
当，即，由，解得，
当时，，即（1），所以，
当时，，即，所以，
所以，
所以实数的最大值为．专题02 函数的单调性与最值
目录
题型一： 求单调区间 4
题型二： 判断函数的单调性 5
题型三： 函数单调性的应用——比较大小 6
题型四： 函数单调性的应用——解不等式 7
题型五： 函数单调性的应用——求参数 8
题型六： 函数单调性的应用——求最值 9
函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
条件 (1) x∈D，都有f(x)≤M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M (1) x∈D，都有f(x)≥M； (2) x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【常用结论与知识拓展】
1．函数单调性的等价定义
设任意x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) f(x)在D上单调递增；
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) f(x)在D上单调递减．
2．函数f(x)＝ax＋的单调性
若a>0，b<0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数，若a<0，b>0，则函数在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；若a>0，b>0，则函数在区间，上是减函数，在区间，上是增函数．
特别地，“对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)；单调递减区间是[－，0)，(0，]．
3．与函数运算有关的单调性结论
(1)函数f(x)与f(x)＋c(c为常数)具有相同的单调性．
(2)k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反．
(3)若f(x)恒为正值或恒为负值，则f(x)与具有相反的单调性．
(4)若f(x)，g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x)·g(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x)·g(x)是减(增)函数．
(5)在公共定义域内，增＋增＝增，减＋减＝减．
(6)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．
求单调区间
【要点讲解】(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.
函数的单调递减区间为　　
A． B． C． D．
函数的递增区间是　 ．
函数的增区间为 　 　．
函数的单调递减区间为 　 　．
函数的单调增区间是　 　．
函数的单调减区间为　 　．
已知函数，则的单调递增区间为 　 　．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
画出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1）； （2）．
判断函数的单调性
【要点讲解】(1)定义法:一般步骤为取值→作差→变形→判断符号→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性(或单调区间).
下列函数为增函数的是　　
A． B． C． D．
下列函数中，在区间上为增函数的是　　
A． B． C． D．
下列函数为增函数的是　　
A． B． C． D．
已知函数同时满足性质：①；②当，时，，则函数可能为　　
A． B． C． D．
已知函数．
（1）若，求；
（2）用定义法证明：函数在区间上单调递减．
已知，．
（1）解不等式；
（2）判断并证明函数的单调性．
已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为．
（1）求，的解析式；
（2）设，根据定义证明：在上为增函数．
函数单调性的应用——比较大小
【要点讲解】将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决
设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有　　
A． B．
C． D．
函数，若，，，则　　
A． B． C． D．
若实数，满足，则　　
A． B． C． D．
已知是定义在上的增函数，，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
已知定义在上的函数满足，设，，，则（a），（b），（c）的大小顺序是 　 　．（用“”号连接）
函数单调性的应用——解不等式
【要点讲解】往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域
设函数在上是奇函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
已知函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知函数是实数集上的减函数，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
已知函数关于直线对称，且当时，恒成立，则满足的的取值范围是　　
A． B．
C． D．
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为　　
A． B．
C． D．
函数单调性的应用——求参数
【要点讲解】通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小关系
已知函数在，上是增函数，则实数的取值范围是　 　．
已知，若函数在区间，上为减函数，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
若函数与函数在区间，上都是减函数，则的取值范围是　　
A．，， B．，，
C． D．，
若函数是上的增函数，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．
函数单调性的应用——求最值
【要点讲解】利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时
函数在区间，上的最小值是　　
A． B． C．1 D．
已知函数，则在区间的最大值为 　 　．
已知函数是定义在，上的奇函数，且当，时，，则的最小值是　　
A． B． C．1 D．2
已知函数，则函数有　　
A．最小值1，无最大值 B．最大值，无最小值
C．最小值，无最大值 D．无最大值，无最小值
的最大值是　　
A． B．2 C． D．4
已知函数
（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围
（2）求函数在区间，上的最小值．
一．选择题（共6小题）
1．下列函数中，在，内为增函数的是　　
A． B． C． D．
2．下列函数中是减函数的为　　
A． B． C． D．
3．下列函数中，在区间上是减函数的是　　
A． B． C． D．
4．已知定义在，上的函数满足对于任意的，，，且，都有，则不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
5．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是　　
A． B． C． D．
6．下列函数中，在区间上是增函数的是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．已知是定义在，上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是　　
A．对任意，都有
B．对任意，，，且，都有
C．对任意，，，且，都有
D．对任意，，，且，都有
8．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是　　
A．“”是“”的充分不必要条件
B．函数，过定点
C．定义在上的函数满足，且（3），则不等式的解集为
D．已知在区间上为减函数，则实数的取值范围是，
三．填空题（共4小题）
9．已知函数在，上的最大值为3，则实数的值为 　　．
10．函数的最小值是 　　．
11．已知函数，则的单调增区间为 　　．
12．若函数单调递增，则实数的取值范围是 　　．
四．解答题（共3小题）
13．设函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的最小值为16，求实数的值．
14．已知，函数的最大值为4，
（1）求实数的值；
（2）若实数，，满足，求的最小值．
15．设．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数在上最小值为，求实数的值；
（3）若对任意的正实数，存在，使得，求实数的最大值．专题03 函数的奇偶性、周期性、对称性
目录
题型一： 函数奇偶性的判断 3
题型二： 函数奇偶性求值 5
题型三： 函数奇偶性求解析式 7
题型四： 函数奇偶性求参数 10
题型五： 函数奇偶性与不等式 12
题型六： 函数的周期性 15
题型七： 函数的对称性 18
题型八： 函数性质综合 21
函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论与知识拓展】
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
函数奇偶性的判断
【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1），，；
（2），；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），，，定义域关于原点不对称，故函数为非奇非偶函数；
（2），，，，故函数为偶函数；
（3），，故函数为奇函数；
（4），满足，故函数为奇函数．
判断下列函数的奇偶性，并证明．
（1）；
（2）；
（3），，；
（4）；
（5）；
（6），．
【解答】解：（1）函数的定义域为，关于坐标原点对称，且：
，函数是奇函数．
（2）函数的定义域为，关于坐标原点对称，且：
，而，函数是非奇非偶函数．
（3）函数的定义域不关于坐标原点对称，故函数是非奇非偶函数．
（4）函数的定义域为，关于坐标原点对称，且：
，函数是奇函数．
（5）函数的定义域为，且，关于坐标原点对称，且：
，，
函数是奇函数．
（6）函数的定义域关于坐标原点对称，且：
，，
函数是偶函数．
函数奇偶性求值
【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
已知是奇函数，当时，，则的值为 　　．
【解答】解：因为是奇函数，当时，，
所以，
则．
故答案为：．
已知是奇函数，当时，，则的值是　　
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：因为是奇函数，当时，，
所以（8），
则（8）．
故选：．
已知函数为奇函数，且当时，，则　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：已知函数为奇函数，且当时，，
则（1）．
故选：．
已知函数为奇函数，当时，，且，则　　
A． B． C． D．2
【解答】解：根据题意，函数为奇函数，且，则（3），
又由当时，，则（3），
即，解可得，
故选：．
已知，且，（5）　　
A． B． C． D．
【解答】解：关于对称，
，
即（5），得（5），
故选：．
已知函数，若，则（2）　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，则令，
又，
则（2），
则（2），
若，
则，
故选：．
已知函数且，则的值为 　　．
【解答】解：因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：．
函数奇偶性求解析式
【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出
下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：是奇函数，最小正周期为，在 上先增后减，故错；
是偶函数，最小正周期为，在 单调递减，故错；
是偶函数，最小正周期为，在 上单调递增，故错；
是奇函数，最小正周期为，在 上单调递增，故正确．
故选：．
下列既是奇函数且在上单调递增的函数为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，为奇函数，在区间上递减，在区间上单调递增，不符合题意；
对于，为奇函数，且在区间上递增，在区间上单调递减，不符合题意；
对于，为奇函数，在上单调递增，符合题意；
对于，为偶函数，不符合题意．
故选：．
已知定义在，上的奇函数，当时，，则的值为　　
A． B．8 C． D．24
【解答】解：在，上是奇函数，
，解得，
又时，，
（4）．
故选：．
已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为　　．
【解答】解：任取，，则，
因为是奇函数，所以，
解得．
故答案为：．
已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　
A． B． C． D．
【解答】解：任取则，
时，，
，①
又函数在上为奇函数
②
由①②得时，
故选：．
已知为奇函数，为偶函数，且满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，，①，则，
又由为奇函数，为偶函数，则有，②，
①②可得：，
故选：．
已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数，都有；②对任意实数，，当时，都有．则函数的解析式可能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：对任意实数，都有，故函数为奇函数；
对任意实数，，当时，都有，即，
即，，故函数单调递减．
对选项单调递增，不满足；
对选项单调递减，且函数为奇函数，满足；
对选项单调递增，不满足；
对选项不是奇函数，不满足．
故选：．
已知函数同时满足性质：①；②对于，，，则函数可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数满足，，，则函数在区间上单调递增，
选项中四个函数定义域均为，，都有，
对于，，故为奇函数，满足性质①，在上单调递增，满足性质②；
对于，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；
对于，，故为奇函数，满足性质①，
令，，解得，，
的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；
对于，由幂函数的性质，为偶函数，在区间，单调递增，不满足性质①，满足性质②．
故选：．
函数奇偶性求参数
【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值
若函数为上的奇函数，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根据题意，若函数为上的奇函数，
则恒成立，即恒成立，
必有，即，
故选：．
已知函数，若是偶函数，则　　
A． B． C．2 D．4
【解答】解：函数，
则有．
因为是偶函数，所以，解得．
故选：．
若是奇函数，则　　，　　．
【解答】解：，
若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，
，
由函数解析式有意义可得，且，
且，
函数为奇函数，定义域必须关于原点对称，
，解得，
，定义域为且，
由得，，
，
故答案为：；．
若函数为奇函数，则（a）　　（结果用数字表示）．
【解答】解：设，则，
是奇函数；
，
，
．
故答案为：2．
函数奇偶性与不等式
【要点讲解】(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，当时，，在区间上为增函数且，且（2），
又由为上的奇函数，则在区间上为增函数，且，
（2），解可得，
即原不等式的解集为；
故选：．
已知为常数）为奇函数，则满足（1）的实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为为奇函数，
由奇函数性质可知，
所以，此时单调递增，
由（1）得．
故选：．
设是定义域为的偶函数，且在，上单调递减，则满足的的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为是定义域为的偶函数，
所以，
又在，上单调递减，
所以在上单调递增，
若，则，解得．
故选：．
函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，（1），则不等式的解集为　　
A．， B．
C．，， D．
【解答】解：因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，（1），
则不等式可转化为或，
即．
故选：．
已知定义在上的函数在，上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数为偶函数，
，即，
函数的图象关于直线对称，
又函数定义域为，在区间，上单调递减，
函数在区间上单调递增，
由得，，解得．
故选：．
定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
【解答】解：因为对任意的，，，有，
所以在，上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则（2）（3）（4），
又（2），所以（3）（4）．
故选：．
已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由题意可知在上单调递增，（1），且，
又函数是定义在上的奇函数，，则有在，上单调递增，
则是在上的增函数，，
则不等式等价于或
解得或．
故选：．
函数的周期性
【要点讲解】(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
已知是定义在上的偶函数，并满足，当，，则　　
A．5.5 B． C． D．2.5
【解答】解：，函数的一个周期为4
是定义在上的偶函数
当，
故选：．
是以2为周期的函数，若，时，，则（3）　2　．
【解答】解：因为是以2为周期的函数，若，时，，
所以（3）（1）．
故答案为：2．
已知函数满足，且，当时，，则　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：，
，
又，
，即，
，
，
（1）．
故选：．
已知函数的周期为1，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数的周期为1，则的周期为4，
依次分析选项：
对于，的周期为4，则有，正确；
对于，表示周期为1，而的周期为4，错误；
对于，由，可得，将代替，可得，可得的周期为8，而的周期为4，错误；
对于，不能确定的图象是否关于点对称，即不一定成立，错误；
故选：．
已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则　　
A．2021 B．1 C． D．0
【解答】解：因为，
所以，
所以，所以函数的周期为4，
所以（1），
因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，
所以（1），
所以，
故选：．
设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，上，，则　　．
【解答】解：因为是奇函数，
所以（1），即，
解得，
又因为的周期为4，
所以（2），即，
解得，
所以，
所以，
故答案为：
函数是定义在上的偶函数，且，若，，，则　　
A．4 B．2 C．1 D．0
【解答】解：因为，且是定义在上的偶函数，
所以，
令，则，
所以，即，
所以函数的周期为2，
所以（1）．
故选：．
已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数的图象关于原点对称，
所以为奇函数，所以，
因为，
所以，
所以是周期为4的周期函数，
故（1），又（1），
所以由，可得，
而，解得．
故选：．
函数的对称性
【要点讲解】(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(,).
已知函数，则的图象　　
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
【解答】解：，
则，
所以，
则函数的图象关于点对称，
故选：．
函数的图象关于直线对称，那么　　
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是偶函数
【解答】解：由的图象关于对称可知，，，
把函数的图象向左平移1个单位可得的图象，关于对称，即为偶函数，
把函数的图象向右平移1个单位可得的图象，关于对称，
故选：．
已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，，
故，，正确，错误，正确；
所以，正确．
故选：．
函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论：
①图象的对称中心是；
②图象的对称中心是；
③类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数：
④类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数．
其中所有正确结论的序号是 　①③　．
【解答】解：函数是奇函数，对称中心为，将图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得的图象，
所以图象的对称中心是，故①正确，②错误，
若函数的图象关于直线成轴对称图形，图象向左平移个单位长度可得关于即轴对称，
所以为偶函数，故③正确，④错误，
所以所有正确结论的序号是①③，
故答案为：①③．
设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，，若（1），则　　．
【解答】解：是奇函数，是偶函数，
，
则，则，
即是周期为4的周期函数，
则时，（1）（1），则（1），
（1），，
即（2），
则，得，，
，
故答案为：．
函数性质综合
【要点讲解】(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
已知函数满足，且是偶函数，当时，，则　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：根据题意，由是偶函数，得，
令，则．
由，令，则，
则有，即，所以函数周期为4．
因为，则有，
所以．
故选：．
已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由为奇函数，得，即，
又由为偶函数，得，即，
于是，即，因此的周期为8，
又当，时，，则在，上单调递增，
由，得的图象关于点成中心对称，则函数在，上单调递增，
因此函数在，上单调递增，由，得的图象关于直线对称，
（3）（1），，，
，显然，即有，即，
所以，，的大小关系为．
故选：．
已知函数，则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C． D．，，
【解答】解：依题意，，，
故，
故函数的图象关于中心对称，
当时，，，单调递减，
故在上单调递减，且，
函数的图象关于中心对称，在上单调递减，
所以，
而，
故或或，
解得或，
故所求不等式的解集为，，．
故选：．
已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且（2），则　　
A．5 B．4 C．3 D．0
【解答】解：，以为对称中心，且（1），
，即，
为偶函数，以轴为对称轴，
，即，
由知，，
，，
从而，即，
的周期为4，的周期为4，
故（2）（1）．
故选：．
已知函数，若的最小值为0，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：若的最小值为0，
则等价为当时，恒成立，
且存在，使得，同除以，得，
整理得，
，，当且仅当时，取等号．
当时，即时，，不合题意，
当时，即时，由判别式△，得，得符合题意．
综上．
故选：．
已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为　　
A．或 B．或 C． D．
【解答】解：因为①，
又函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
则即②，
①②可得，，
由于关于直线对称，
则关于直线对称，
因为为偶函数，则关于轴对称，
所以关于对称，
关于对称，
由于函数有唯一零点，
则必有，且，
即，
解得或．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
【解答】解：因为对任意的，，，有，
所以在，上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则（2）（3）（4），
又（2），所以（3）（4）．
故选：．
2．下列函数为偶函数且在上单调递减的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于：定义域为，，，，则是偶函数．
当时，，在上单调递减，故正确；
对于，则不是偶函数，故错误；
对于的对称轴为，即在上单调递增，故错误；
对于的定义域为，，不关于原点对称，即不是偶函数，故错误．
故选：．
3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于函数是定义在上的偶函数，且在，为单调递减函数，
由于，，，
又，
故．
故选：．
4．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若（1），则（2）（3）　　
A．3 B．2 C．0 D．50
【解答】解：因为函数是定义在 上的奇函数，所以，且，
又的图象关于对称，则，即①，
则（2），（3）（1）．
在①中，，则，所以函数的周期为4，
即（4）．则有（1）（2）（3）（4），
所以（2）（3）（1）（2）（1）
（1）（2）（1）（1）（2）（1）（2）
故选：．
5．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且（3），则满足的的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：因为定义在上的奇函数在上单调递增，且（3），
所以在上也是单调递增，且，，
所以当，，时，，当，，时，，
所以由，可得或
解得或，即，，，
故选：．
6．已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为　　
A． B．
C． D．，，
【解答】解：因为是定义在上的偶函数，
所以的图象关于对称，
因为对任意的，都有恒成立，
所以在，上单调递减，
根据函数对称性可知，在上单调递增，
则关于的不等式可转化为，
解得．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的，，当时，都有的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数在上单调递增，
对于，由二次函数的性质可知，为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
对于，由反比例函数的性质可知，为奇函数，且在上单调递减，不合题意；
对于，由绝对值函数的性质可知，为偶函数，且在上单调递增，符合题意；
对于，函数的定义域为，为非奇非偶函数，不合题意．
故选：．
8．若函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有　　
A． B．
C．（2）（3） D．（2）（3）
【解答】解：根据题意，函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，①
则，变形可得，②，
联立①②可得：，，故正确，错误；
则（2），，（3），
则有（2）（3），故错误，正确；
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知是定义在上的奇函数，且在，上单调递减，为偶函数，若在，上恰好有4个不同的实数根，，，，则　24　．
【解答】解：由为偶函数，则，故，
又是定义在上的奇函数，则，
所以，故，即有，
综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，
由在，上单调递减，结合上述分析知：在，上递增，，上递减，，上递增，
所以在，的大致草图如下：
要使在，上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于，对称，则．
故答案为：24．
10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　．
【解答】解：由为奇函数，
则，①
由为偶函数，
则，②
由①可得：（2），
由②可得：（3）（1），
又（3），
则，
即，
由①，令，则（1），
即，
即，
又由①②可得：，
即函数为周期为4的周期函数，
即，
故答案为：．
11．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，，，且，，则不等式的解集为 　　．
【解答】解：令，则，，，且，
根据题意，，
所以在，上单调递增，
又是偶函数，所以为上奇函数，
所以在上单调递增，
由，
得，
即，
所以，
得．
故答案为：．
12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：　（答案不唯一）　．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
【解答】解：由题意满足条件的函数为，
理由如下：因为恒成立，所以函数的定义域为，
则，由，
则，所以，则，
所以函数的值域为，
又，
所以函数为奇函数，
故答案为：（答案不唯一）．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数是奇函数．
（1）求的值，并求的定义域；
（2）已知实数满足，求的取值范围．
【解答】解：（1）是奇函数．
，
，
解得，
，其定义域为；
（2）由得，在上是减函数，
，
即，
或，
即，，．
14．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若（a），求实数的值；
（3）若，求证：为偶函数，并求的解集．
【解答】解：（1）要使得有意义，只需，得，故得，
所以函数的定义域为；
（2）因为（a），得，即，解得；
（3）因为，
由，得或，则的定义域为，，，
又，所以为偶函数；
由，得，则，所以或，
所以的解集为或．
15．设．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由；
（3）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数为奇函数，证明如下：
由，可得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
，所以函数为奇函数．
（2）函数在其定义域上单调递增，理由如下：
，
因为函数在上单调递增，为增函数，
所以由复合函数的单调性可知在定义域上单调递增．
（3），则，
所以，
解得，
即的取值范围是．专题03 函数的奇偶性、周期性、对称性
目录
题型一： 函数奇偶性的判断 3
题型二： 函数奇偶性求值 4
题型三： 函数奇偶性求解析式 5
题型四： 函数奇偶性求参数 7
题型五： 函数奇偶性与不等式 7
题型六： 函数的周期性 9
题型七： 函数的对称性 10
题型八： 函数性质综合 12
函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x) 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【常用结论与知识拓展】
1．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
2．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
3．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
4．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
函数奇偶性的判断
【要点讲解】(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于±f(x).
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
（1），，；
（2），；
（3）；
（4）．
判断下列函数的奇偶性，并证明．
（1）；
（2）；
（3），，；
（4）；
（5）；
（6），．
函数奇偶性求值
【要点讲解】将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
已知是奇函数，当时，，则的值为 　 ．
已知是奇函数，当时，，则的值是　　
A．8 B． C．4 D．
已知函数为奇函数，且当时，，则　　
A．1 B． C．2 D．
已知函数为奇函数，当时，，且，则　　
A． B． C． D．2
已知，且，( )
A． B． C． D．
已知函数，若，则( )
A． B． C． D．
已知函数且，则的值为 　 　．
函数奇偶性求解析式
【要点讲解】将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出
下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是　　
A． B． C． D．
下列既是奇函数且在上单调递增的函数为　　
A． B．
C． D．
已知定义在，上的奇函数，当时，，则的值为　　
A． B．8 C． D．24
已知为奇函数，当时，；则当，的解析式为　 　．
已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是　　
A． B．
C． D．
已知为奇函数，为偶函数，且满足，则　　
A． B． C． D．
已知函数同时满足以下两个条件：①对任意实数，都有；②对任意实数，，当时，都有．则函数的解析式可能为　　
A． B． C． D．
已知函数同时满足性质：①；②对于，，，则函数可能是　　
A． B． C． D．
函数奇偶性求参数
【要点讲解】利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值
若函数为上的奇函数，则实数的值为　　
A． B． C．1 D．2
已知函数，若是偶函数，则( )
A． B． C．2 D．4
若是奇函数，则　 　，　 　．
若函数为奇函数，则　 　（结果用数字表示）．
函数奇偶性与不等式
【要点讲解】(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
已知函数是定义在实数集上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知为常数）为奇函数，则满足（1）的实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
设是定义域为的偶函数，且在，上单调递减，则满足的的取值范围是　　
A． B． C． D．
函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，（1），则不等式的解集为　　
A．， B．
C．，， D．
已知定义在上的函数在，上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
已知函数是定义在上的奇函数，当，，则不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
函数的周期性
【要点讲解】(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
已知是定义在上的偶函数，并满足，当，，则　　
A．5.5 B． C． D．2.5
是以2为周期的函数，若，时，，则　 　．
已知函数满足，且，当时，，则　　
A． B．0 C．1 D．2
已知函数的周期为1，则　　
A． B．
C． D．
已知函数为定义在上的奇函数，且，当时，，则　　
A．2021 B．1 C． D．0
设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，，上，，则　 　．
函数是定义在上的偶函数，且，若，，，则　　
A．4 B．2 C．1 D．0
已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则　　
A． B． C． D．
函数的对称性
【要点讲解】(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(,).
已知函数，则的图象　　
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
函数的图象关于直线对称，那么　　
A． B．
C．函数是偶函数 D．函数是偶函数
已知函数的图象关于直线对称，关于对称，则下列说法正确的是　　
A． B．
C． D．
函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，给出下列四个结论：
①图象的对称中心是；
②图象的对称中心是；
③类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数：
④类比可得函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是为偶函数．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当，时，，若，则　 　．
函数性质综合
【要点讲解】(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
已知函数满足，且是偶函数，当时，，则　　
A． B．3 C． D．
已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
已知函数，则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C． D．，，
已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则　　
A．5 B．4 C．3 D．0
已知函数，若的最小值为0，则　　
A． B． C． D．
已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为　　
A．或 B．或 C． D．
一．选择题（共6小题）
1．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
2．下列函数为偶函数且在上单调递减的是　　
A． B． C． D．
3．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则，，大小关系为　　
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称．若（1），则（2）（3）　　
A．3 B．2 C．0 D．50
5．若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且（3），则满足的的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．已知是定义在上的偶函数，且对任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为　　
A． B．
C． D．，，
二．多选题（共2小题）
7．下列函数中，既是偶函数，又满足对任意的，，当时，都有的是　　
A． B． C． D．
8．若函数，分别为上的奇函数、偶函数，且满足，则有　　
A． B．
C．（2）（3） D．（2）（3）
三．填空题（共4小题）
9．已知是定义在上的奇函数，且在，上单调递减，为偶函数，若在，上恰好有4个不同的实数根，，，，则　　．
10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当，时，．若（3），则　　．
11．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，，，且，，则不等式的解集为 　　．
12．写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式：　　．
①定义域为；②值域为；③是奇函数．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数是奇函数．
（1）求的值，并求的定义域；
（2）已知实数满足，求的取值范围．
14．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若（a），求实数的值；
（3）若，求证：为偶函数，并求的解集．
15．设．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数在其定义域上的单调性，并说明理由；
（3）若，求的取值范围．专题04 二次函数与幂函数
目录
题型一： 幂函数的图像与性质 4
题型二： 利用幂函数比较大小 7
题型三： 二次函数解析式 9
题型四： 二次函数单调性求参数 12
题型五： 二次函数最值问题 15
题型六： 二次函数恒成立问题 20
幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点 (1,1)
(3)幂函数y＝xα的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
二次函数
(1)二次函数解析式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
【常用结论与知识拓展】
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
幂函数的图像与性质
【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是　　
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【解答】解：由幂函数在第一象限内的图象知，
图中对应的，对应的，对应的；
结合选项知，指数的值依次可以是，和3．
故选：．
如图所示是函数，均为正整数且，互质）的图象，则　　
A．，是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．，是奇数，且
【解答】解：由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则，
又图象关于轴对称，
为偶函数，
，
又，互质，
为偶数，为奇数．
故选：．
已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数　2　．
【解答】解：因为函数是幂函数，
所以，所以或，
时，，是偶函数，
时，，是奇函数，不符合题意，
所以．
故答案为：2．
已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点　　
A． B． C． D．
【解答】解：幂函数在上单调递减，
且，，，
则，
令，求得，，
可得的图象过定点，
故选：．
已知幂函数的图象过，，，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设幂函数，图象经过点，，
所以，解得，所以，
因为函数在定义域，内单调递增，所以当时，，
所以，选项，错误；
又因为函数单调递增，
所以当时，，选项正确．
所以，即，选项错误．
故选：．
若，则实数的取值范围　　．
【解答】解：考察幂函数，它在，上是增函数，
，
，
解得：，
则实数的取值范围．
故答案为：．
关于的不等式的解集为　，　．
【解答】解：关于的不等式，即，
求得，
故答案为：，．
已知幂函数在上单调递增，函数，，，，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：幂函数在上单调递增，
，解得，
，
当，时，，，则，
又当，时，，，，
由题意得：，解得：，
故选：．
利用幂函数比较大小
【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，，，
函数在上是增函数，
．
故选：．
设，则，，的大小顺序是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
；
且，函数在上是单调增函数，
所以，
所以；
综上知，．
故选：．
已知，若，则下列各式中正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数在上单调递增，
因为，所以，
则有．
故选：．
已知幂函数满足（2），若，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：幂函数中，（2），
所以，即，
所以，解得，
所以，
所以是定义域为上的单调增函数；
又，，，
且，，，
所以，
即，
所以．
故选：．
已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：幂函数的图象过点，
，且，
求得，，故．
，，，
，
故选：．
二次函数解析式
【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解
已知二次函数满足，（2）（1），若不等式有唯一实数解．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在，上的最小值为．
①求；
②解不等式
【解答】解：（1）根据题意，二次函数满足，则的对称轴为；
设，
又由（2）（1），则有，解可得，
又由不等式有唯一实数解，即有唯一实数解，必有△，解可得；
故；
（2）①根据题意，由（1）的结论，，其对称轴为；
当时，在，上为单调增函数，此时，
当时，有，此时（2），
当时，在，上为单调减函数，此时，
故；
②根据题意，，其图象关于直线对称，
若，分2种情况讨论：
、时，只需或，解可得或，此时有；
、当或时，有，解可得或，此时有或；
综合可得：的取值范围为或．
已知二次函数，，均为常数，，若和3是函数的两个零点，且最大值为4．
（1）求函数的解析式；
（2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立．
【解答】解：（1）二次函数且和3是函数的两个零点，且最大值为4，
所以，解得，，，
所以；
（2）函数的图象开口向下，对称轴为，
则函数在，上单调递增，在区间，上单调递减，
由不等式在区间上恒成立，
则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由不等式，可得，
所以不等式的解集为，，
要使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立，
则，，
故可取区间，．
在①（4），（3），②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数，且 _______．
（1）求的解析式；
（2）若在，上的值域为，，求的值．
【解答】解：（1）若选①，
由题意可得
解得，，
故；
若选②，
由题意可得
解得，，
故；
若选③，
因为，
所以图象的对称轴方程为，
则，即，因为，所以，
故．
（2）因为在上的值域为，，
所以，即，
因为图象的对称轴方程为，且，
所以在，上单调递增，
则
整理得，即，
因为，所以，即．
二次函数单调性求参数
【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动
若函数在，上是单调函数，则的取值范围是　　
A．， B．，，
C．， D．，
【解答】解：因为的对称轴为，且其图象开口向上，
所以或，解得或，
所以的取值范围是，，．
故选：．
已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，显然不满足题意；
当时，由题意得，，
解得，．
故选：．
函数满足条件：当，随的增大而增大，则实数的取值范围是　　
A． B． C．且 D．
【解答】解：当时，满足，随的增大而增大，
当时，根据二次函数的性质可知，，
解得，
综上，．
故选：．
已知在区间，上是单调函数，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．，， D．，，
【解答】解：函数，对称轴为，
在区间，上是单调函数，
或，
解得或，
即实数的取值范围是，，．
故选：．
已知二次函数在区间内不单调，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
【解答】解：二次函数，对称轴为，
二次函数在区间内不单调，
．
故选：．
函数在，上不单调，则实数的取值可能是　　
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解：因为函数的对称轴为，且开口向上，
又函数在，上不单调，
则，解得，
所以满足范围的选项为，，
故选：．
已知函数在，上具有单调性，则实数的取值范围为　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：函数，对称轴为，
函数在，上具有单调性，
或，解得或．
故选：．
二次函数最值问题
【要点讲解】抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
已知，则的最大值是　　．
【解答】解：令
其图象为开口朝下，且以为对称轴的抛物线
又，
当时，取最大值
故答案为：
函数的值域是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：函数的对称轴为，
故函数在，上单调递增，
又，（2），
所以函数的值域是，．
故选：．
函数在区间，上　　
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
【解答】解：因为，
所以函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴为，如图所示：
由此可得函数在，上单调递增，在，上单调递减，
所以（1），无最小值．
故选：．
已知函数在区间，上的最小值为，最大值为，则　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：的对称轴为代入，，
所以，即，
又因为对称轴方程为，
函数在区间，上单调递增，所以，
所以方程的两个根为和，所以．
故选：．
设二次函数在上有最大值，最大值为（a），当（a）取最小值时，　　
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：在上有最大值（a），
且当时，的最大值为，
即且（a），
当时，即时，（a）有最小值2，
故选：．
已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是　　
A．在区间，上的最小值为1
B．在区间，上既有最小值，又有最大值
C．在区间，上的最小值为2，最大值为5
D．在区间，上的最大值为（a）
【解答】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线．
在选项中，因为在区间，上单调递减，
所以在区间，上的最小值为，错误．
在选项中，因为在区间，上单调递减，在，上单调递增，
所以在区间，上的最小值为（1）．
又因为，（2），（2），
所以在区间，上的最大值为，正确．
在选项中，因为在区间，上单调递增，
所以在区间，上的最小值为（2），最大值为（3），正确．
在选项中，当时，在区间，上的最大值为2，
当时，由图象知在区间，上的最大值为（a），错误．
故选：．
已知二次函数，若函数的值域是，，且（1），则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：二次函数的值域是，，
△，解得，且，
又（1），，
，
，
由，，可得，
，
即的取值范围是，．
故选：．
已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
（1）求函数的表达式；
（2）设，求函数在区间，上的最小值．
【解答】解：（1）由题意得，
所以，，，
因为对于任意，都有，
所以恒成立，
故△，即，，
所以；
（2），对称轴，
当，即，函数在，上单调递增，
故在，上的最小值为，
当，即时，函数在，上单调递减，
故在，上的最小值为（1）；
当，即时，函数在，上先减后增，
故在，上的最小值为，
综上，当，在，上的最小值为，
当，故在，上的最小值为（1）；
当时，在，上的最小值为．
已知二次函数．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）在区间，上的最小值记为，求的最大值．
【解答】解：（1）因为是奇函数，所以是偶函数，
即二次函数对称轴为，即；
（2）的对称轴为，
当时，即，，即；
当，即，时，，故；
当时，即，时，（1）；
综上，，
故，时，，，时，，，对称轴为，，
所以的最大值为0．
二次函数恒成立问题
【要点讲解】(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤
f(x)恒成立 a≤f(x)min.
已知两函数，，其中为实数．
（1）对任意，，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，，，都有，求的取值范围．
【解答】解：（1）设，
问题转化为当，时恒成立，故．
由二次函数性质可知（3），，
的取值范围是，；
（2）设，
由题意可知当，时，
的取值范围是，；
（3）由题意可知，
由二次函数性质可知（3），，
，，的取值范围是，．
已知函数，，且对任意的，，都存在，，使，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
，时，的最小值为（1），最大值为，
可得值域为，
又，，，
为单调增函数，值域为，（2）
即，
对任意的，都存在，，使得
，
，
故选：．
已知二次函数，且对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为对任意的，都有恒成立，
不妨设，则，
所以函数在上单调递减，
又二次函数的对称轴为，图像开口向下，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，．
故选：．
函数，则恒成立的解集是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，
，
故，即，解得．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．函数，在上，随着的增大而减小，则实数范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：的对称轴为，
故当时，满足随着的增大而减小，
解得：，所以实数范围为，．
故选：．
2．设，其中，，1，2，，则“函数的图像经过点 “是“函数在上单调递减”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，其中，，1，2，，
函数的图像经过点，可得，
函数在上单调递减可得，，2，
“函数的图像经过点 “是“函数在上单调递减”的充分不必要条件，
故选：．
3．已知方程在，上有实数解，则实数的取值范围为　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【解答】解：令，则对称轴为，
当时，在，为增函数，
方程在，上有实数解，
（2），即，解得，
当时，方程在，上有实数解，
△，解得或（舍去），
综上，实数的取值范围为，，．
故选：．
4．设，若幂函数定义域为，且其图像关于轴成轴对称，则的值可以为　　
A．1 B．4 C．7 D．10
【解答】解：由于幂函数定义域为，且图像关于轴对称，故幂函数是偶函数，
且为正的偶数，
则的值可以为7．
故选：．
5．已知函数，则存在，，对任意的有　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于：当时，，故错误；
对于为四次函数，为单调递增的指数函数，当足够大时，总有，错误；
对于，，则当的对称轴在左边时，即时，，故正确；
对于，若，分别取，，可得（1），则（1），但对二次函数来说是不可能，故错误．
故选：．
6．已知幂函数的图象过点，则（4）的值为　　
A．4 B．8 C．16 D．64
【解答】解：幂函数的图象过点，
，
解得，
，
则（4）．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．下列区间中，函数在其上单调增加的是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：根据二次函数的性质可知，的单调递增区间，．
故选：．
8．已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有　　
A． B．函数的定义域为
C．函数为偶函数 D．若，则
【解答】解：设幂函数，
幂函数图象过点，
，，故正确，
，
由的性质知，是非奇非偶函数，定义域为，，故错误，
在定义域内单调递增，当时，，故正确，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知函数经过点，则不等式的解集为 　　．
【解答】解：函数经过点，
，
，
，
在，单调递增，
恒成立，
又（1），
，
解得，
故不等式的解集为．
故答案为：．
10．若函数且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（4）　16　．
【解答】解：令，解得，
函数的图象恒过定点，
又点在幂函数的图象上，
，解得，
函数，
（4）．
故答案为：16．
11．已知抛物线经过点、、，则该抛物线上纵坐标为的另一个点的坐标为 　　．
【解答】解：根据题意，抛物线经过点、，
则有，变形可得，
则，其对称轴为，
，其纵坐标为，其横坐标为2，
则该抛物线上纵坐标为的另一个点的横坐标为4，
故要求点的坐标为；
故答案为：．
12．若幂函数的图象经过点，则（2）　　．
【解答】解：因为函数为幂函数，设．
由函数的图象经过点，
所以，得．
所以．
则（2）．
故答案为．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数在，上为减函数．
（1）求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）当时，在，上为减函数，符合题意，
当时，为二次函数，则，解得，
综上所述：实数的取值范围为，；
（2）当时，，
所以；
当时，的零点为，，
当即时，；
当即时，；
当即时，；
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
14．已知函数，的解集为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值．
【解答】解：（1）函数，的解集为，
方程的两个根为，2，且，
由韦达定理得，解得，，
．
（2），
由，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，
当时，．
15．已知二次函数的最小值为，且（2）．
（1）求的解析式；
（2）若在区间，上不单调，求实数的取值范围；
（3）在区间，上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，是二次函数，且（2），可得函数对称轴为，
又最小值为，故可设，
又，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知函数的对称轴为，
要使在区间，上不单调，则，解得，
即实数的取值范围是．
（3）在区间，上，的图象恒在的图象上方，
可得在区间，上恒成立，
化简得在区间，上恒成立，
设函数，
则在区间，上单调递减，
在区间，上的最小值为（1），
即，
，解得，
的范围为．专题04 二次函数与幂函数
目录
题型一： 幂函数的图像与性质 4
题型二： 利用幂函数比较大小 5
题型三： 二次函数解析式 6
题型四： 二次函数单调性求参数 7
题型五： 二次函数最值问题 9
题型六： 二次函数恒成立问题 10
幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
图象
性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点 (1,1)
(3)幂函数y＝xα的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
二次函数
(1)二次函数解析式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 R R
值域
单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝－对称
【常用结论与知识拓展】
1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．
2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限．
(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.
幂函数的图像与性质
【要点讲解】幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是　　
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
如图所示是函数，均为正整数且，互质）的图象，则　　
A．，是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．，是奇数，且
已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数　 　．
已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点　　
A． B． C． D．
已知幂函数的图象过，，，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是　　
A． B．
C． D．
若，则实数的取值范围　 　　．
关于的不等式的解集为　 　　．
已知幂函数在上单调递增，函数，，，，，使得成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
利用幂函数比较大小
【要点讲解】比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
已知，，，则　　
A． B． C． D．
设，则，，的大小顺序是　　
A． B． C． D．
已知，若，则下列各式中正确的是　　
A． B．
C． D．
已知幂函数满足（2），若，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
二次函数解析式
【要点讲解】根据条件不同选择一般式、顶点式、两点式进行求解
已知二次函数满足，（2）（1），若不等式有唯一实数解．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在，上的最小值为．
①求；
②解不等式
已知二次函数，，均为常数，，若和3是函数的两个零点，且最大值为4．
（1）求函数的解析式；
（2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立．
在①（4），（3），②当时，取得最大值3，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知函数，且 _______．
（1）求的解析式；
（2）若在，上的值域为，，求的值．
二次函数单调性求参数
【要点讲解】类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动
若函数在，上是单调函数，则的取值范围是　　
A．， B．，，
C．， D．，
已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
函数满足条件：当，随的增大而增大，则实数的取值范围是　　
A． B． C．且 D．
已知在区间，上是单调函数，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．，， D．，，
已知二次函数在区间内不单调，则的取值范围是　　
A．或 B． C．或 D．
函数在，上不单调，则实数的取值可能是　　
A． B．0 C．1 D．2
已知函数在，上具有单调性，则实数的取值范围为　　
A． B． C．或 D．或
二次函数最值问题
【要点讲解】抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
已知，则的最大值是　 　　．
函数的值域是　　
A．， B． C． D．
函数在区间，上　　
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
已知函数在区间，上的最小值为，最大值为，则　　
A． B． C．2 D．
设二次函数在上有最大值，最大值为（a），当（a）取最小值时，　　
A．0 B．1 C． D．
已知函数，关于的最值有如下结论，其中正确的是　　
A．在区间，上的最小值为1
B．在区间，上既有最小值，又有最大值
C．在区间，上的最小值为2，最大值为5
D．在区间，上的最大值为（a）
已知二次函数，若函数的值域是，，且（1），则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
已知二次函数的图像过点和原点，对于任意，都有．
（1）求函数的表达式；
（2）设，求函数在区间，上的最小值．
已知二次函数．
（1）若是奇函数，求的值；
（2）在区间，上的最小值记为，求的最大值．
二次函数恒成立问题
【要点讲解】(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤
f(x)恒成立 a≤f(x)min.
已知两函数，，其中为实数．
（1）对任意，，都有成立，求的取值范围；
（2）存在，，使成立，求的取值范围；
（3）对任意，，，都有，求的取值范围．
已知函数，，且对任意的，，都存在，，使，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
已知二次函数，且对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
函数，则恒成立的解集是　　
A．， B．， C．， D．，
一．选择题（共6小题）
1．函数，在上，随着的增大而减小，则实数范围为　　
A．， B．， C．， D．，
2．设，其中，，1，2，，则“函数的图像经过点 “是“函数在上单调递减”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知方程在，上有实数解，则实数的取值范围为　　
A．， B．，
C．，， D．，，
4．设，若幂函数定义域为，且其图像关于轴成轴对称，则的值可以为　　
A．1 B．4 C．7 D．10
5．已知函数，则存在，，对任意的有　　
A．
B．
C．
D．
6．已知幂函数的图象过点，则（4）的值为　　
A．4 B．8 C．16 D．64
二．多选题（共2小题）
7．下列区间中，函数在其上单调增加的是　　
A．， B．， C．， D．，
8．已知幂函数图象过点，则下列命题中正确的有　　
A． B．函数的定义域为
C．函数为偶函数 D．若，则
三．填空题（共4小题）
9．已知函数经过点，则不等式的解集为 　　．
10．若函数且的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则（4）　　．
11．已知抛物线经过点、、，则该抛物线上纵坐标为的另一个点的坐标为 　　．
12．若幂函数的图象经过点，则（2）　　．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数在，上为减函数．
（1）求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
14．已知函数，的解集为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值．
15．已知二次函数的最小值为，且（2）．
（1）求的解析式；
（2）若在区间，上不单调，求实数的取值范围；
（3）在区间，上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的取值范围．专题05 指数与指数函数
目录
题型一： 指数的运算 3
题型二： 指数函数的图像 4
题型三： 指数比较大小 6
题型四： 指数函数与不等式 10
题型五： 指数函数性质综合运用 11
根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；
(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
有理数指数幂
概念 正分数指数幂：a＝ a>0，m，n∈N*，n>1
负分数指数幂：a＝＝
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算 性质 ar·as＝ar＋s a>0，b>0，r，s∈Q
(ar)s＝ars
(ab)r＝arbr
指数函数的概念、图象与性质
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象 01
图象特征 在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 递减 递增
函数变 化规律 当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1
【常用结论与知识拓展】
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
指数的运算
【要点讲解】(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.
　　
A．9 B． C．3 D．
【解答】解：．
故选：．
的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：动点，的轨迹方程为，
抛物线的焦点坐标为，，
设到准线的距离为，，，
则原式
，
故选：．
化简，为正数）的结果是　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故选：．
指数函数的图像
【要点讲解】(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知函数为减函数，则，
二次函数的顶点的横坐标为，
，
，，
即横坐标的取值范围是．
故选：．
函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【解答】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，
由，
故选：．
已知，，则函数的图象必定不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，，
的图象过第一、第二象限，且是单调减函数，经过，
的图象可看成把的图象向下平移个单位得到的，
故函数的图象
经过第二、第三、第四象限，不经过第一象限，
故选：．
若函数且的图象经过第一、二、三象限，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数且的图象经过第一、二、三象限，
则根据指数函数的图象可知，，当时，，
即，解得，
由指数函数的性质可知，．
故选：．
指数比较大小
【要点讲解】(1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用　单调性　比较大小
(2)不能化成同底数幂的,一般引入　“1”　等中间量比较大小
已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，
当时，为减函数，
又（7），
，则，
当时，，为减函数，
（9）（8）（7），，
，，
即．
故选：．
设，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为函数在上单调递增，
所以，即，
因为函数为减函数，
所以，即，
综上，．
故选：．
设函数，且，则下列关系式不成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，故，错误；
故可作出的图象如图所示，
由图可知，要使且（c）（a）（b）成立，
则有且，
故必有且，
又（c）（a），即为，
所以，故错误，正确．
故选：．
已知函数，实数，满足，则　　
A． B．，，使得
C． D．
【解答】解：画出函数的图象，如图所示，
由图知，则，故错，对，
由基本不等式可得，所以，则，故错，对．
故选：．
若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
若，则，由，得，与矛盾，故错误；
若，则，由，得成立，此时，故错误；
取，由，得，又单调递增，且，
，此时，故错误；
下面证明，
要证，即证，若，由知，则，可得成立；
若，由知，则，可得成立．
综上可得，．
故选：．
已知函数，且函数的图像与的图像关于直线对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设．则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，，，，
所以，，，
所以．
故选：．
指数函数与不等式
【要点讲解】先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解
已知偶函数，则满足的实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．，，
【解答】解：当时，为增函数，
又由函数为偶函数，
故当时，为减函数，
若（2），
则，
解得：，
故选：．
已知函数，若时，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
若时，由，得，
所以，
若，则，当且仅当时取等号，
又在，上单调递增，
所以，
所以．
故选：．
已知指数函数且，过点．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）指数函数且，过点，
则，解得，
所以；
（Ⅱ）由①可知，，则在上为单调递增函数，
不等式，等价于，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
指数函数性质综合运用
【要点讲解】利用好同增异减去进行分析题目
若函数在上是减函数，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．，， D．，
【解答】解：由于底数，所以函数的单调性与的单调性相同．
因为函数在上是减函数，
所以在上是减函数，所以，即，
从而实数的取值范围是，
故选：．
求函数在区间上的值域．
【解答】解：
，
令，，，，
则，，，
对称轴，函数在，递减，在，递增，
，，
函数的值域是，．
已知函数为常数），若在区间，上是增函数，则的取值范围是　，　．
【解答】解：函数为常数），
令，则，
由为增函数，
在，上为增函数，
故函数的单调递增区间为，，
若在区间，上是增函数，
则，，，
即，
解得：，，
故的取值范围，，
故答案为：，
已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
【解答】解：（1）当，即时，
，，
，，故（4分）
（2）
令
当，即时，函数的最小值（10分）
当，即时，函数的最大值（12分）
一．选择题（共6小题）
1．指数函数与的图象如图所示，则　　
A．， B．， C．， D．，
2．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是　　
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
3．已知，则　　
A． B． C． D．
4．下列结论中，正确的是　　
A．函数是指数函数
B．函数的值域是，
C．若，则
D．函数的图像必过定点
5．设，，若函数在处的函数值大于函数在处的函数值，函数在处的函数值大于函数在处的函数值，则下列关系式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
6．若，则　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．函数且的图象一定不经过的点　　
A． B． C． D．
8．已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
9．当时，　　．
10．若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　．
11．函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 　　．
12．在，，，这4个数中，最小的是 　　，最大的是 　　．
四．解答题（共3小题）
13．化简求值：
（1）；
（2）若，求，的值．
14．已知函数．
（1）求函数在区间，上的最大值和最小值；
（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围．
15．已知函数是指数函数，函数．
（1）求函数在，上的值域；
（2）若函数是定义域为的奇函数，试判断函数的单调性，并用定义证明．专题05 指数与指数函数
目录
题型一： 指数的运算 3
题型二： 指数函数的图像 4
题型三： 指数比较大小 6
题型四： 指数函数与不等式 7
题型五： 指数函数性质综合运用 8
根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根；
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；
(3)()n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝
有理数指数幂
概念 正分数指数幂：a＝ a>0，m，n∈N*，n>1
负分数指数幂：a＝＝
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算 性质 ar·as＝ar＋s a>0，b>0，r，s∈Q
(ar)s＝ars
(ab)r＝arbr
指数函数的概念、图象与性质
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象 01
图象特征 在x轴上方，过定点(0,1)
当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
单调性 递减 递增
函数变 化规律 当x＝0时，y＝1
当x<0时，y>1；当x>0时，00时，y>1
【常用结论与知识拓展】
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
指数的运算
【要点讲解】(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.
　　
A．9 B． C．3 D．
的最小值为　　
A． B． C． D．
化简，为正数）的结果是　　
A． B． C． D．
指数函数的图像
【要点讲解】(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
指数函数的图象如图所示，则图象顶点横坐标的取值范围是　　
A． B． C． D．
函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是　　
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
已知，，则函数的图象必定不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
若函数且的图象经过第一、二、三象限，则　　
A． B． C． D．
指数比较大小
【要点讲解】(1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用　单调性　比较大小
(2)不能化成同底数幂的,一般引入　“1”　等中间量比较大小
已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
设，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
设函数，且，则下列关系式不成立的是　　
A． B． C． D．
已知函数，实数，满足，则　　
A． B．，，使得
C． D．
若，则　　
A． B． C． D．
已知函数，且函数的图像与的图像关于直线对称，函数的图像与的图像关于轴对称，设．则　　
A． B． C． D．
指数函数与不等式
【要点讲解】先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解
已知偶函数，则满足的实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．，，
已知函数，若时，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
已知指数函数且，过点．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．
指数函数性质综合运用
【要点讲解】利用好同增异减去进行分析题目
若函数在上是减函数，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．，， D．，
求函数在区间上的值域．
已知函数为常数），若在区间，上是增函数，则的取值范围是　 ．
已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当，时，求的最大值和最小值．
一．选择题（共6小题）
1．指数函数与的图象如图所示，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：指数函数，当时函数是增函数，时函数是减函数，
有函数的图象可知：，．
故选：．
2．函数①；②；③；④的图象如图所示，，，，分别是下列四个数：，，，中的一个，则，，，的值分别是　　
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【解答】解：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为，，，，
由，
故选：．
3．已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：对选项，因为在有增有减，所以，大小无法判断，故错误；
对选项，因为在为增函数，若，则，故错误；
对选项，因为在为增函数，若，则，故正确；
对选项，因为在为减函数，若，则，故错误．
故选：．
4．下列结论中，正确的是　　
A．函数是指数函数
B．函数的值域是，
C．若，则
D．函数的图像必过定点
【解答】解：．形如的函数是指数函数，不是指数函数，错误；
．，，，函数的值域是，，正确；
时，由得出，错误；
．的图象过定点，错误．
故选：．
5．设，，若函数在处的函数值大于函数在处的函数值，函数在处的函数值大于函数在处的函数值，则下列关系式中一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数的大致图象如图所示，
因为且函数在上单调递减，在上单调递增，
因为时，（c）（a）（b），
所以，，
故，，
所以（c）（a），
所以，错误，正确；
因为在上单调递增且，
所以，错误．
故选：．
6．若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
若，则，由，得，与矛盾，故错误；
若，则，由，得成立，此时，故错误；
取，由，得，又单调递增，且，
，此时，故错误；
下面证明，
要证，即证，若，由知，则，可得成立；
若，由知，则，可得成立．
综上可得，．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．函数且的图象一定不经过的点　　
A． B． C． D．
【解答】解：令可得，不符合题意，符合题意；
令可得（3），则显然不符合且；
令得（2），
故，即可能经过．
故选：．
8．已知函数的图象恒过点，则下列函数图象也过点的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数的图象恒过点，
当时，，故选项正确；
当时，，故选项正确；
当时，，故选项正确；
当时，，故选项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．当时，　　．
【解答】解：，，
则．
故答案为：．
10．若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　，，　．
【解答】解：若时，指数函数的值总大于1，则，解得或．
则实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
11．函数且的图象恒过定点，则点的坐标为 　　．
【解答】解：对于函数且，令，求得，，
可得它的图象恒过定点，
故答案为：．
12．在，，，这4个数中，最小的是 　　，最大的是 　　．
【解答】解：由于，
故，，
故．
故最小的是，最大的是．
故答案为：；．
四．解答题（共3小题）
13．化简求值：
（1）；
（2）若，求，的值．
【解答】解：（1）原式；
（2），
，
，
，
，
，
．
14．已知函数．
（1）求函数在区间，上的最大值和最小值；
（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）函数在区间，上为增函数，
最大值为（1），的最小值为．
（2）方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点．
函数在区间上为增函数，
，，
即实数的取值范围为．
15．已知函数是指数函数，函数．
（1）求函数在，上的值域；
（2）若函数是定义域为的奇函数，试判断函数的单调性，并用定义证明．
【解答】解：（1）函数是指数函数，
，且，
解得，
，
，
令，，
由，可得，，
，，
即函数在，上的值域为，；
（2）是定义域为的奇函数，则，
由，
解得，
是增函数，下面用定义法证明：
设任意的，，且，
则，
，则，
又，，
即，
是上的增函数．专题06 对数与对数函数
目录
题型一： 对数的运算 3
题型二： 对数函数的图像 4
题型三： 比较大小 7
题型四： 对数函数与不等式 11
题型五： 对数函数性质综合 13
对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN.
②loga＝logaM－logaN.
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
【常用结论与知识拓展】
1．换底公式及其推论
(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
对数的运算
【要点讲解】(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.
　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故选：．
计算的值为　　
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：原式．
故选：．
　　．
【解答】解：原式．
故答案为：．
求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
对数函数的图像
【要点讲解】在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【解答】解：，
（3）是，（4）是，
（1）是．
故选：．
已知函数①，②，③，④的大致图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，
则，，
即选项正确，选项错误；
又与的大小不确定，
即选项、错误，
故选：．
已知函数，，的图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可知：，
．
故选：．
函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的对称轴为，且恒过定点，观察选项可知，选项可能符合，
若选，则由图象可知，此时，函数单调递减，且恒过定点，符合题意．
故选：．
比较大小
【要点讲解】
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，，，
，，，其中，
在同一坐标系内画出，，，
故．
故选：．
已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
因为，所以且，
同为，所以，
所以．
故选：．
已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
又，，
，
．
故选：．
设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
所以．
故选：．
已知，，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：若，则，，，，故错；
若，则，，，故错；
对于，由得：，即，
同理由得：，
所以，故正确；
对于，同上得：，故错误．
故选：．
设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
设，，时，，
在上单调递减，
又（3），，，，
．
故选：．
已知，，有以下命题：①；②；③，其中正确的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：因为，
，
，所以，①正确；
因为，
，
所以，②正确；
因为
，
因为，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，③正确．
故选：．
若实数，满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
令，可知在上单调递增，
由，则．
故选：．
对数函数与不等式
【要点讲解】(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.
不等式的解集是　　．（用区间表示）
【解答】解：由，可得，求得，故不等式的解集是，
故答案为．
若，则的取值范围为 　　．
【解答】解：，由对数函数的性质，
当即时，有，得，故可得；
当，即时，有，得，
故可得．
综上知，的取值范围为，
故答案为：．
已知实数满足，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，解得，
由，可得，
所以由可得，
综上可知，实数的取值范围是．
故选：．
设函数，则满足的的取值范围是　　
A．， B．，， C．，， D．，
【解答】解：若，由得，得，得，此时，
若，由得，得，此时，
综上，
即实数的取值范围是，，
故选：．
已知函数，若成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．
C．，， D．
【解答】解：设，
，为偶函数，即的图像关于直线对称，
的图像关于直线对称，
设，，
令，则，单调递增，
在，上单调递增，
，
，即，
，，
实数的取值范围为，．
故选：．
已知，且，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：，
，，
设，，则，
则，，，
在，单调递减，在，上单调递增，
，时，；时，，
的取值范围为：．
故选：．
已知函数，，，，有，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：，，有等价于当，，时，，
，时，则，且在定义域内为增函数，
则，
所以函数在，上的最小值（2），
又的图象开口向上且对称轴为，
则在上的最小值（1），
，解得．
故答案为：．
对数函数性质综合
【要点讲解】(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;
(2)底数与1的大小关系;
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
已知函数，则函数的减区间是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，
由可得或，
则在递减，
由在递增，
可得函数的减区间为．
故选：．
函数的单调递减区间为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，
得，
设函数，，
则抛物线的对称轴方程是．
在抛物线上，
增区间是，，减区间是，，
是减函数，
由复合函数的单调性的“同增异减”的性质知：
函数的单调递减区间为：，．
故选：．
已知，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：考察对数函数，
由于，且，
故对数函数是减函数，
．
故选：．
已知函数是上的增函数（其中且，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，
【解答】解：根据题意，函数是上的增函数，
则有，解可得，
即的取值范围为，；
故选：．
函数在区间内恒有，则的取值范围是　　
A． B．或
C．或 D．
【解答】解：函数在区间内恒有，
可得，，
解得，，，
故选：．
函数在区间，上是减函数，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：若，则函数在区间，上不是单调函数，不符合题意；
若，则在区间，上为减函数，且
，
即的取值范围是，
故选：．
已知函数的图象恒过定点，且函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：函数的图象恒过定点，令，求得、，
可得它的图象经过定点，，．
函数 在，上单调递减，
，，
故选：．
若函数且在区间，内单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．，， D．，
【解答】解：令，由得，
解得，，，
由于，则，时，单调递减，
，或，时，单调递增．
当时，函数减区间为，，不合题意，
当时，函数的增区间为，，
，，，
则，解得，
综上，，．
故选：．
若函数，在区间内单调递增，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：令，，
在上单调递减
，在区间内单调递增
函数是减函数，且在上成立
故选：．
若函数且的值域是，，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：由于函数且的值域是，，
故当时，满足．
①若，在它的定义域上单调递增，
当时，由，，，．
②若，在它的定义域上单调递减，
，不满足的值域是，．
综上可得，，
故答案为：，．
一．选择题（共6小题）
1．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
．
故选：．
2．若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，，，
，，，其中，
在同一坐标系内画出，，，
故．
故选：．
3．已知，，，则的最小值为　　
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：，，，，
又，，当且仅当，即时取等号，
的最小值为6．
故选：．
4．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
则．，
因为，，
所以，，
所以，
所以．
故选：．
5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（参考数据：，　　
A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年
【解答】解：由题意大约能用万年，
则，
所以．
故选：．
6．已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是　　
A．4 B． C．6 D．
【解答】解：已知函数，定义域为，
又．
因此函数的图象关于点成中心对称，
又，（2），且点与点也关于点成中心对称，
由基本初等函数的单调性可得函数在区间上单调递减，
因此与坐标轴围成图形的面积是．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
，故错误；
，，，故正确；
，
，故，故错误；
，，
，
，故正确．
故选：．
8．已知，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
，
故选项符合题意；
，
，
故选项符合题意；
若，，则，
故选项不符合题意；
若，，则，
故选项不符合题意；
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知对数函数的图象过点，则　2　．
【解答】解：由题意，（4），
即，，
，且，，
故答案为：2．
10．已知，，现有如下说法：①；②；③．则正确的说法有 　②③　（横线上填写正确命题的序号）
【解答】解：因为，，
所以，，所以，故①错误；
，所以，故②正确；
，所以，故③正确．
故答案为：②③．
11．已知，用表示　　．
【解答】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：．
12．已知，，，则在，，，，，这6个数中，值最小的是 　　．
【解答】解：由，
且，
，，
构造，令，则，
，
在上递减，（1），
，，
综上，，
6个数中，正数有，，负数有，，
只需比较，大小，
又，而，
，
由，
，，，
综上，在，，，，，这6个数中，值最小的是．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．计算：
（1）；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）原式．
（2），
，
．
14．（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式
．
15．已知函数且的图象过点．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式．
【解答】解：（1）根据题意可得（3），
，；
（2）根据（1）可知，
在上单调递增，
又，
，
解得，
不等式的解集为．专题06 对数与对数函数
目录
题型一： 对数的运算 3
题型二： 对数函数的图像 4
题型三： 比较大小 6
题型四： 对数函数与不等式 7
题型五： 对数函数性质综合 9
对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN.
②loga＝logaM－logaN.
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
对数函数的概念
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
对数函数的图象及性质
a的范围 01
图象
性质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
定点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
指数函数与对数函数的关系
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．
【常用结论与知识拓展】
1．换底公式及其推论
(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．
对数的运算
【要点讲解】(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.
　　
A． B． C． D．
计算的值为　　
A．4 B．6 C．8 D．10
　 ．
求值：
（1）；
（2）．
对数函数的图像
【要点讲解】在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
已知函数①，②，③，④的大致图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
已知函数，，的图象如图所示，则　　
A． B． C． D．
函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是　　
A． B．
C． D．
比较大小
【要点讲解】
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
若，则　　
A． B． C． D．
已知，，，则　　
A． B． C． D．
已知，，，则　　
A． B． C． D．
设，，，则　　
A． B． C． D．
已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
已知，，则　　
A． B．
C． D．
设，，，则　　
A． B． C． D．
已知，，有以下命题：①；②；③，其中正确的个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
若实数，满足，则　　
A． B． C． D．
对数函数与不等式
【要点讲解】(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.
不等式的解集是　 　．（用区间表示）
若，则的取值范围为 　 　．
已知实数满足，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
设函数，则满足的的取值范围是　　
A．， B．，， C．，， D．，
已知函数，若成立，则实数的取值范围为　　
A．， B．
C．，， D．
已知，且，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
已知函数，，，，有，则实数的取值范围是 　 　．
对数函数性质综合
【要点讲解】(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;
(2)底数与1的大小关系;
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
已知函数，则函数的减区间是　　
A． B． C． D．
函数的单调递减区间为　　
A．， B．， C．， D．，
已知，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知函数是上的增函数（其中且，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．，
函数在区间内恒有，则的取值范围是　　
A． B．或
C．或 D．
函数在区间，上是减函数，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
已知函数的图象恒过定点，且函数在，上单调递减，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
若函数且在区间，内单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．，， D．，
若函数，在区间内单调递增，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
若函数且的值域是，，则实数的取值范围是　 　．
一．选择题（共6小题）
1．已知，，，则　　
A． B． C． D．
2．若，则　　
A． B． C． D．
3．已知，，，则的最小值为　　
A．4 B．6 C．8 D．10
4．已知，，，则　　
A． B． C． D．
5．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（参考数据：，　　
A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年
6．已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是　　
A．4 B． C．6 D．
二．多选题（共2小题）
7．下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
8．已知，则　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
9．已知对数函数的图象过点，则　　．
10．已知，，现有如下说法：①；②；③．则正确的说法有 　　（横线上填写正确命题的序号）
11．已知，用表示　　．
12．已知，，，则在，，，，，这6个数中，值最小的是 　　．
四．解答题（共3小题）
13．计算：
（1）；
（2）若，求的值．
14．（1）；
（2）．
15．已知函数且的图象过点．
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式．专题07 函数的图象
目录
题型一： 作函数图像 4
题型二： 函数图像的判断 7
题型三： 结合函数图像解不等式 12
利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
函数图象的变换
(1)平移变换
左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把x提出来，再进行操作．
上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x>0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
【常用结论与知识拓展】
1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
3．两个函数图象的对称性(相互对称)
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线(a＋x)－(b－x)＝0，即x＝对称．
(2)函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称．
作函数图像
【要点讲解】(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
利用指数函数的图象，作出下列各函数的图象：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【解答】解：（1）把的图象向右平移一个单位得到图象如图所示：
（2）把的图象轴右边不动，轴左边的去掉，再把轴右边图象沿轴对折即可得到图象如图所示：
（3）把的图象向下平移一个单位得到图象如图所示：
（4）把的图象沿轴对折得到图象如图所示：
（5）把的图象向下平移一个单位得到图象，图象轴右边不动，轴左边的图象沿轴对折即可得到图象如图所示：
（6）把的图象绕着原点旋转，即可得到的图象如图所示：
作出下列函数的图象
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），故它的图象如图1所示．
（2）把的图象位于轴上方的保留不变，再把图象位于轴下方的部分对称到轴的上方，
即可得到的图象，如图2所示．
（3）为偶函数，它的图象关于对称，它的图象如图3所示．
（4）在上是增函数，且；在上是增函数，且，
它的图象关于点对称，如图4所示．
函数图像的判断
【要点讲解】(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数，必有，解可得，
即函数的定义域为，
有，则为奇函数，可排除；
又由（1），排除，
故选：．
已知函数，则的图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数，则，
其图象与对应，
故选：．
函数的图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，
有，则函数为偶函数，排除，
在区间上，，，则，排除，
故选：．
函数的大致图像是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，，其定义域为，
则，则函数为偶函数，排除，
当时，，有，排除，
当时，，有，排除．
故选：．
函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，得，函数的定义域为，关于原点对称，
，
为奇函数，排除选项和，
，
在定义域内为减函数，
故选：．
函数，，的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，则函数是奇函数，排除，
当，时，函数，排除选项、．
故选：．
已知函数的部分图象大致如图所示，则其解析式可以是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据函数的对称性，可得函数为偶函数，
对于，（2），排除．
对于，，选项不经过原点，排除，
对于，，选项为奇函数，排除，
故选：．
函数的图象可能为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因为函数的定义域为，，，且，
所以函数是奇函数，故错误；
当时，，故错误；
当时，，因为的变化速度越来越快，
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故错误；
故选：．
结合函数图像解不等式
已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设（a）（b）（c），作出函数与的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
由图可知，点、关于直线对称，则，
且函数在上为增函数，
由（c），，因为，解得，
所以，，
故选：．
若函数的图象上存在两点关于直线对称，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：要使函数的图象上存在两点关于直线对称，
只需的图象关于的对称图象与在上有交点即可，
作出它们的图象如右：要使图象满足上述情况，只需即可，
即．
故选：．
已知函数，若存在非零实数满足（a）（b）（c）（d），，，互不相等），则的取值范围是 　　．
【解答】解：函数的图象如下图所示：
存在实数，满足（a）（b）（c）（d），，，互不相等），
不妨设，则由图可知，关于对称，所以；
当时，令，解得或，故而，，
且由图可得，，
，，
，，，，
设，则，在上单调递减，
，，，，
所以，所以，
综上所述．
故答案为：．
已知函数．
（1）画出的图象，并写出的单调递减区间；
（2）当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；（不必求出方程的解）；
（3）若关于的方程的有4个不同的实数根，求的取值范围．
【解答】解：（1）解：当时，，图象为开口向上的抛物线，对称轴为，两个零点分别为，，最小值为；
当时，，在上单调递减，零点为．
作出图象如右：所以的单调递减区间为和；
（2）解：因为，时，，在上单调递减，且，
故当时，有1个根；
当时，有2个根；
当时，有3个根；
当时，有1个根；
当时，没有根；
（3）解：设，
则由已知得方程有两个不同的根，．
要使原方程有4个不同的实数根，
则方程的两个根必需满足：
一个根大于3，一个根位于，或一个根等于，一个根位于，
当一个根大于3，一个根位于时，，解得；
当一个根等于，一个根位于时，，解得；
综上所述，的取值范围为．
一．选择题（共6小题）
1．函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除．
当时，，排除，
当时，，则，排除．
故选：．
2．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，由分析，该同学所选的函数为偶函数，在轴右侧开始的一部分为减函数；
由此分析选项：
对于，，，在区间上，，为增函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，为偶函数，
且，在区间上，，为减函数，符合题意；
对于，，，在区间上，，则，在上为增函数，不符合题意；
对于，，其定义域为，有，为奇函数，不符合题意．
故选：．
3．已知函数的大致图象如图所示，则　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
【解答】解：由图可知，函数有两个递增区间，一个递减区间，
所以函数图象开口方向朝上，且于轴有两个交点，
故；
又函数的极大值点在轴左侧，极小值点在轴右侧，且极大值点离轴较近，
所以方程的两根，满足，，
即，得，，
因此，，．
故选：．
4．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象　　
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【解答】解：根据题意，函数，
要得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位．
故选：．
5．函数在区间，内的图象是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，，
，
当时，，
，
由选项可判定选项图象正确．
故选：．
6．函数的部分图象大致为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的定义域为，且，
则为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项；
又，
则排除选项．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．已知函数，，，的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是　　
A．， B．，，，
C．， D．，，，
【解答】解：根据题意，函数，则有，
由图象知，的定义域为且，则方程的两个根分别为，，
所以，，所以，，
故有，异号，，同号，又因为，所以，异号，
分析选项可得：正确，错误；
故选：．
8．在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：当时，函数是一条与轴交在点上方的直线，它的倾斜角是的钝角，
而要得到的图像是将单调递增的指数函数向下移动1个单位，再将得到的图像轴下方的翻上来，上方的图像保持不变，只有选项满足条件．
当时，函数是一条与轴交在原点与之间的直线，它的倾斜角是的钝角，
而要得到的图像是将单调递减的指数函数向下移动1个单位，再将得到的图像轴下方的翻上来，上方的图像保持不变，只有选项满足条件．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．函数是定义在，上的奇函数，若当，时，的图象如图所示，则不等式的解集为 　，，　．
【解答】解：根据题意，奇函数的图象关于原点对称，
则在，上的图象如下所示：
结合图像可得：的解集为，，；
故答案为：，，．
10．函数的图象如图所示，那么，的定义域是　，，　；值域是　　．
【解答】解：观察函数的图象，图象上各点的横坐标范围为，，，
函数的定义域为，，，
观察函数的图象，图象上各点的纵坐标范围为，，，
，，，，
故函数的值域为，，
11．设函数，则函数与的图象的交点的个数是　4　．
【解答】解：当时，，解得或，
当，，时，，解得或，
综上所述函数与的图象的交点的个数是4，
故答案为：4
12．函数的图像不经过第 　三　象限．
【解答】解：函数的图像在二、四象限，以坐标轴为渐近线，
将它的图像向右平移1个单位，得到的图像，该图像以为渐近线，图像位于第一、二、四象限，
再将的图像向下平移2个单位，得到函数的图像，此时，函数图像位于第一、二、四象限，故不经过第三象限，
故答案为：三．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数是定义域在上的奇函数，当时，．
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的大致图象并写出函数的单调区间．
【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，所以；
设，则，所以，
又是奇函数，所以，
，
；
（2）由（1）知，
由图可知单调递增区间为和，
单调递减区间为，，，．
14．作出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原函数解析式可化为，
故函数图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，
如图1所示．
（2）原函数解析式化成分段形式，得，
再分别作出两段的图象，得图象如图2所示．
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式，并作出函数的大致的简图；
（作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）；
（2）根据图象写出函数单调区间；
（3）若不等式在，上有解，求的取值范围．
【解答】解：（1）令，则，
，
是定义在上的奇函数，
，
函数的解析式为．
列表如下：
0 1 2
0 1 0 0
函数的大致简图如下所示．
（2）由（1）中的函数图象可知，的单调增区间为和，单调减区间为，．
（3）由（1）可知，在，上单调递减，在，上单调递增，
而，（3），
（3），
由于在，上有解，即在，上有解，可转化为成立，
，解得，
故实数的取值范围为，．专题07 函数的图象
目录
题型一： 作函数图像 4
题型二： 函数图像的判断 5
题型三： 结合函数图像解不等式 8
利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
函数图象的变换
(1)平移变换
左右平移仅仅对x而言，利用“左加右减”进行操作，若x的系数不是1，需要先把x提出来，再进行操作．
上下平移是对y而言，利用“上加下减”进行操作．
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x>0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)y＝f(ax)．
②y＝f(x)y＝af(x)．
【常用结论与知识拓展】
1．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．
2．对于函数y＝f(x)定义域内任意一个x的值，若f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点中心对称．特别地，若f(a＋x)＝－f(a－x)，则函数f(x)的图象关于点(a,0)中心对称．
3．两个函数图象的对称性(相互对称)
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线(a＋x)－(b－x)＝0，即x＝对称．
(2)函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)的图象关于直线x＝0对称．
作函数图像
【要点讲解】(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
利用指数函数的图象，作出下列各函数的图象：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
作出下列函数的图象
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
函数图像的判断
【要点讲解】(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
已知函数，则的图象是　　
A． B．
C． D．
函数的图象是　　
A． B．
C． D．
函数的大致图像是　　
A． B．
C． D．
函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
函数，，的图象大致为　　
A． B．
C． D．
已知函数的部分图象大致如图所示，则其解析式可以是　　
A． B．
C． D．
函数的图象可能为　　
A． B．
C． D．
结合函数图像解不等式
已知函数，若存在，使得（a）（b）（c），则的取值范围是　　
A． B． C． D．
若函数的图象上存在两点关于直线对称，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
已知函数，若存在非零实数满足，，，互不相等），则的取值范围是 　 ．
已知函数．
（1）画出的图象，并写出的单调递减区间；
（2）当实数取不同的值时，讨论关于的方程的实根的个数；（不必求出方程的解）；
（3）若关于的方程的有4个不同的实数根，求的取值范围．
一．选择题（共6小题）
1．函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
2．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的，那么该同学所选的函数最有可能是　　
A． B．
C． D．
3．已知函数的大致图象如图所示，则　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象　　
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．函数在区间，内的图象是　　
A． B．
C． D．
6．函数的部分图象大致为　　
A． B．
C． D．
二．多选题（共2小题）
7．已知函数，，，的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是　　
A．， B．，，，
C．， D．，，，
8．在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
9．函数是定义在，上的奇函数，若当，时，的图象如图所示，则不等式的解集为 　　．
10．函数的图象如图所示，那么，的定义域是　　；值域是　　．
11．设函数，则函数与的图象的交点的个数是　 　．
12．函数的图像不经过第 　　象限．
四．解答题（共3小题）
13．已知函数是定义域在上的奇函数，当时，．
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的大致图象并写出函数的单调区间．
14．作出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式，并作出函数的大致的简图；
（作图要求：①列表描点；②先用铅笔作出图象，再用黑色签字笔将图象描黑）；
（2）根据图象写出函数单调区间；
（3）若不等式在，上有解，求的取值范围．专题08 函数与方程
目录
题型一： 函数零点存在性 2
题型二： 函数零点个数的判断 4
题型三： 函数零点个数求参数 9
题型四： 嵌套函数零点问题 16
题型五： 最大最小值函数与零点问题 26
函数的零点
(1)函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有零点 函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点．
函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【常用结论与知识拓展】
1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
函数零点存在性
【要点讲解】(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
函数在以下哪个区间内一定存在零点　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数定义域为，故错误；
又，，
（3）（4），
由零点存在性定理可得函数在内一定存在零点，
故选：．
函数在下列区间内一定存在零点的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，
构建，则在上单调递增，
，
在内有且仅有一个零点，且零点所在的区间是，
故函数一定存在零点的区间是．
故选：．
函数的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函数，可得（1），（2），
（1）（2）．
根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间为，
故选：．
函数的零点所在的大致区间是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数满足（2），（3），（2）（3），
根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
函数的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：（1），
（2），
（3），
（4），
（2）（3），
的所在区间为．
故选：．
函数零点个数的判断
【要点讲解】(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
函数在区间，上的零点个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：函数在区间，上的零点个数，转化为方程在区间，上的根的个数，
由，得或，
解得：或或，
所以函数在区间，上的零点个数为3．
故选：．
函数的零点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：记，函数的定义域为，，
故函数在上单调递增．
又，
所以函数的零点个数为1．
故选：．
设函数的定义域为，，，当，时，，则函数在区间上零点的个数为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：，为偶函数，图象关于对称，
又，关于对称，
，即，
所以，
是以2为周期的函数，
在，上共有3条对称轴，分别为，，，
又关于，，对称，
，，为的对称轴，
作出和在，上的图象如图所示：
由图象可知在区间上有7个零点．
故选：．
已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为　　
A．9 B．11 C．13 D．15
【解答】解：因为，，
所以为奇函数，
又因为，即，
所以，
即，
所以为周期函数，且周期，
所以（2）（2），即（2），
作出函数的大致图象如图所示：
由图象可知，在，上零点个数为13．
故选：．
已知函数的周期为2，当，时，．如果，那么的零点个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，
因为函数的定义域为，
所以当时，函数与的图象没有交点，
当，时，，
所以当，时，，．
又函数的周期为2，所以，．
当时，，
所以当时，函数与的图象没有交点，
作函数和函数在区间，上的图象，
观察图象可得两函数图象有5个交点，
所以函数的零点个数为5．
故选：．
已知函数，若函数，则函数的零点个数为　　
A．1 B．3 C．4 D．5
【解答】解：当时，，，
当时，，，
，
，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，
所以我们求出时零点个数即可，，，，令，解得，
故在上单调递增，在单调递减，
且，而（2），故在有1零点，
，故在上有1零点，图像大致如图所示：
故在上有2个零点，又因为其为奇函数，
则其在上也有2个零点，且，故共5个零点．
故选：．
已知函数，则函数的零点个数是　　
A．1 B．0 C．2 D．3
【解答】解：函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个．
故选：．
函数零点个数求参数
【要点讲解】
函数在区间上存在零点．则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数在区间上是单调增函数，
函数在区间上存在零点．
可得，解得．
故选：．
设有三个不同的零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图像，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为，，
由，得，
所以切线的斜率，故切线方程为，
把定点代入得：，即，
所以，即直线的斜率为，
由图知，当时，与有三个交点，
所以使有三个不同的零点的的取值范围是．
故选：．
已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：方程有三个不同的实数解，
可转化为的图象与有三个交点，
，
令，解得．
则当时，，单调递减；
当，时，，单调递增；
当时，，单调递增．
又．
画出的图象如下：
由图可知与有三个交点时，的范围是，．
故选：．
已知函数恰有两个零点，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：因为，
所以（1），所以为函数一个零点，
若，函数可化为，
则，
当时，，函数在上单调递减，
又（1），
此时函数在上没有零点，
当时，，函数在上单调递增，
又（1），
此时函数在上没有零点，
当时，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在，上单调递减，
又（1），所以当时，，，
又，所以函数在，上存在一个零点，
若，函数可化为，
，
当时，，函数在上单调递减，又（1），
此时函数在上没有零点，
当时，，函数在上单调递减，
此时函数在上没有零点，
当时，令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在，上单调递增，
又（1），
所以当时，，．
又，所以函数在上存在一个零点，
综上可得当时，函数有两个零点，
当时，函数有一个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有一个零点，
所以的取值范围为，，．
故选：．
已知函数有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：当时，，又，所以在上有唯一零点，
要使有3个零点，即在，上有2个零点，
即与的图象有2个交点，
设切点为设切点坐标为，
由，得，则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
得，则切点坐标为，
即过与相切的直线方程为，
所以实数的取值范围是．
故选：．
已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为当时，，
则，
，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，，当时，，
当时，，
则在，上单调递增，
，当时，，
综上，的图象如图所示，
因为，
所以或，
又因为恰有4个不等的实根，且，
所以恰有3个不等的实根，
即恰有3个不同的交点，
所以由图象可知，，
故实数的取值范围是．
故选：．
已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数的图象与直线有4个交点，
当，时，，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；
当，时，，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；
作函数图象如下：
由图象可知，直线与函数有两个交点，且；直线与函数有两个交点，且；
又过点作函数在，上的切线切于点，作函数在，上的切线切于点，则．
由图象可知，满足条件的实数的取值范围为．
故选：．
已知函数，，若存在2个零点，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：存在2个零点，
函数的图像与直线有2个交点，
画出函数图像，如图所示，
平移直线，可以看出当且仅当，即时，
直线与函数的图像有2个交点．
故选：．
嵌套函数零点问题
【要点讲解】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．3
【解答】解：令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，所以，
令，得，令，得，
所以在上是减函数，在上是增函数，
所以，
又因为当时，，当时，，
的图象如图所示：
则有3个不同的零点，即关于的方程有3个不同的实数根．
令，则，解得，．
由图可知方程有一个正根，因为方程有3个不同的实数根，
所以方程有两个不相等的负根，
所以，
解得，
实数的取值范围为，．
故选：．
已知函数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
已知函数，如果关于的方程有四个不等的实数根，则的取值范围　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：函数，
当时，，则，
故在，上单调递增，
当时，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，
作出函数的图象如图所示，
令，由图象可知，
当时，与有两个交点，
当或时，与有1个交点，
当时，与有3个交点，
当时，与没有交点，
因为有四个不等的实数根，
则方程有两个不同的实数根，，
因为，，所以，
所以，且，
所以，，
设，，则，
所以在上单调递减，
则，
故，
所以．
故选：．
已知函数，关于的方程恰有4个零点，则的取值范围是　　
A．，， B．，， C．， D．，
【解答】解：因为当时，，，
由，得，由，得，
则在，上单调递减，在上单调递增，
故的大致图象如图所示：
又因为，
即，
解得：或，
由图可知或或或，
解得或，
即的取值范围是，．
故选：．
已知函数，若函数，恰有4个零点，则的取值范围　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，，则，
所以在，上单调递增，
若恰有4个零点，
即恰有4个根，即与有四个交点，
当时，与的图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴相交于两点与，
图象如下：
当时，函数的函数值为，
当时，函数的函数值为，
所以两图象有四个交点，符合题意；
当时，与轴相交于两点与，
图象如下：
在，内两图象有两个交点，
所以若有四个交点，
只需要与在，内还有两个根，
因为，所以，
所以有在，内还有两个根，
即在，内还有两个根，
所以在在，内还有两个根，
因为（当且仅当时，取等号），
所以且，解得，
综上所述，的取值范围为，，．
故选：．
已知函数，则函数零点个数最多是　　
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：由题意可得，
作出的图象，如图所示：
由此可得，
令，则，
所以，
令，则有，
则有，，
当时，有三个实数根，分别为，，，
若，即时，则有，，，
若，即时，则，
当，即时，没有实数根，
又，，
若，，即时，有3个零点；，即时，有4个零点；，，即时，有4个零点，
所以此时共有11个零点；
若时，，，各自对应着4个零点，此时共有12个零点，
所以函数零点个数最多为12个．
故选：．
已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为　　
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：设，令可得：，
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，，
，切线斜率，则切线方程为：，
即，，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，，，，由图象可知：，
作出函数，的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与，各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：．
最大最小值函数与零点问题
设，表示，中的较小数．若函数，至少有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C．， D．
【解答】解：由题意可得有解，
所以△，解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，不等式组无解，
综上所述，，
的取值范围为，．
故选：．
设函数，，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：由题意知，令，解得，，根据，，得，
作出函数的图象如图所示，
由方程有3个不等的根，
得函数图象与直线有3个不同的交点，
由图象可得，当时函数图象与直线有3个不同的交点，
所以的取值范围为．
故答案为：．
设，若函数，有且只有三个零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，故（1），
又因为对于任意，在总存在，使得，
在上由于的增长速率比的增长速率要快得多，所以总存在，使得，
所以在与上都趋于无穷大；
令，则开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递增，故，
因为函数，有且只有三个零点，
而已经有唯一零点，所以必须有两个零点，则，即，解得或，
当时，（1），则（1）（1），（1）（1），
即在处取不到零点，故至多只有两个零点，不满足题意，
当时，（1），则（1）（1），（1）（1），所以在处取得零点，
结合图像又知与必有两个交点，故在与必有两个零点，
所以有且只有三个零点，满足题意；
综上：，即．
故选：．
定义函数，，，，若至少有3个不同的解，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：令，，
由题意可得有解，
所以△，
解得或，
当时，必有，解得；
当时，必有，无解，
综上所述，，
所以的取值范围为，．
故选：．
记设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，，
则函数在上递增，（2），且函数至多有两个零点，
当时，，
若函数在上有零点，则在上有零点，
不妨设零点为，则，
此时，则，，与题意矛盾，
故函数在上无零点．
二次函数图象的对称轴为直线，
若，当△，解得时，设函数的两个零点为、，
则，故，，函数有两个负零点，符合题意；
若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，
则，解得，
综上，，，．
故选：．
设，对任意实数，记，．若有三个零点，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：令，，
因为函数有一个零点，函数至多有两个零点，
又有三个零点，
所以必须有两个零点，且其零点与函数的零点不相等，
且函数与函数的零点均为函数的零点，
由可得，，所以，
所以为函数的零点，
即，
所以，
令，可得，
由已知有两个根，
设，则有两个正根，
所以，，，
所以，故，
当时，有两个根，
设其根为，，，则，
设，则（2），，
所以，
令，则，，
则，，
且，，
所以当时，，
所以当时，，为函数的零点，又也为函数的零点，
且，与互不相等，
所以当时，函数有三个零点．
故答案为：．
设，对于任意实数，记，，若方程至少有3个根，则实数的最小值为 　10　．
【解答】解：设，，由可得．
要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点，
则△，解得或．
①当时，，作出函数、的图象如图所示：
此时函数只有两个零点，不满足题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如图所示：
由图可知，函数的零点个数为3，满足题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有3个零点，则，
可得，解得，此时．
综上所述，实数的取值范围是．
故答案为：10．
已知，，其中且．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）用，表示，中的最大者，设，，讨论零点个数．
【解答】解：（1）对，恒成立，△，解得：，
又且，则实数的取值范围为，，；
（2）①若或，则由（1）知：恒成立，此时无零点；
②若，则当时，，
又，恰有1个零点；
③若，则当时，；
当时，，又，
在区间内恰有2个零点，则在区间内恰有2个零点；
又（1）（1），（1），，恰有2个零点；
④若，则当时，；
当时，，又，
在区间内恰有1个零点，则在区间内恰有1个零点；
又（1）（1），（1），，恰有2个零点；
综上所述：当，，时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2．
一．选择题（共6小题）
1．函数的零点为　　
A．4 B．4或5 C．5 D．或5
【解答】解：由题意可得，解得，故的定义域为，
令，得，则，解得或，
又，
．
故选：．
2．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数的图象与直线有三个交点，
作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，，
故选：．
3．函数的零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数在上单调递增，
（2），（3），
函数的零点所在的区间是．
故选：．
4．函数的零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得函数定义域为，在上单调递减，
又（3），
（2），
（3）（2），
故函数在有唯一零点，
故选：．
5．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：由得，
作出函数的图象如图：
由图象知，要使有四个不同的零点，
则需要与有4个不同的交点，
则此时，
即实数的取值范围是，．
故选：．
6．若函数有三个零点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
设，
令，解得，，
当时，，当或时，，
且，时，，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．设函数，则　　
A．在区间内无零点 B．在区间内有零点
C．在区间内无零点 D．在区间内有零点
【解答】解：，，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递减，
又（1），，（e），
在内无零点，在内有零点，
故选：．
8．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，，则下列说法正确的有　　
A． B． C． D．可以取到3
【解答】解：画出的图象如右图，令，则有，，其△，
关于的方程有2不等根，，且，，不妨设，，
要使已知中关于的复杂方程有4个不等实根，
则关于的2简单方程与总共有4个不等实根，
如图即与，共有4个交点，交点的横坐标即为根，
，，，，且，
当时，，
当时，代入得，选项正确，
此时，
，，．选项错误，
又，，，选项正确，
又，，
，，
，选项错，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知函数，则函数零点的个数是 　6　．
【解答】解：令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有3个实数解，有3个实数解，且均互不相同，
所以的实数解有6个，
所以函数零点的个数是6个．
故答案为：6．
10．已知函数，，若函数与的图象有4个交点，，，，，，，，则　16　．
【解答】解：由可知，函数满足，
所以的图象关于点成中心对称，
而，
显然函数的图象是由先向右平移一个单位，再向上平移三个单位得到的，
而的图象关于原点对称，
所以的图象也关于点成中心对称，
所以函数与的图象的4个交点两两关于点成中心对称，
即．
故答案为：16．
11．对于函数、，设，，若存在、使得，则称与互为“友好函数”．已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：由于函数为增函数，函数为减函数，则函数为增函数，
因为，．
由于与互为“友好函数”，
则，可得，解得，
所以，函数的零点的取值范围是，
由可得，
令，，则实数的取值范围即为函数在的值域．
当时，．
因此，实数的取值范围是．
故答案为：．
12．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：函数有两个零点等价于有两个解，
令，，
上述问题可进一步转化为与图像有2个交点，
易知函数在或上递增，
当时，（1）；
当时，（1），但不取点．
易作出与图像如下：
由图像易知，，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值；
（3）求使的值为整数的实数的整数值．
【解答】解：（1）因为，是关于的一元二次方程的两个实数根，
从而，解得，
故实数的取值范围为．
（2）由韦达定理可知，，，，
所以，
解得．
从而实数的值为．
（3）结合（2）中韦达定理可知，，
因为，
所以欲使的值为整数，只需为或或，
从而实数的整数值为或或．
14．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求的取值范围”，某个同学给出了如下解答：
由（1），解得．所以，实数的取值范围是．上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
【解答】解：该同学解答不正确，没有分类讨论而且解答也不完整；
正确解答如下：
函数，
①当时，，令，得，满足题意，
②当时，△，
若△，即，
则，
当时，，
则函数的图象与轴交于点，，
是内的唯一零点，
若△，即，
则，
．
检验：当时，函数在区间内存在零点成立．
综上的取值范围为，．
15．已知为上的奇函数，当时，．
（1）作出的图像，并求的解析式；
（2）关于的方程有三个不同的根，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）如图所示，
因为为上的奇函数，
所以当，，，
当时，，，
所以．
（2）方程化为，要使有3个根，结合函数图像，只需，
所以实数的取值范围为．专题08 函数与方程
目录
题型一： 函数零点存在性 2
题型二： 函数零点个数的判断 3
题型三： 函数零点个数求参数 4
题型四： 嵌套函数零点问题 6
题型五： 最大最小值函数与零点问题 8
函数的零点
(1)函数零点的定义：使f (x)＝0的实数x叫做函数y＝f (x)的零点．
(2)三个等价关系：方程f (x)＝0有实数解 函数y＝f (x)有零点 函数y＝f (x)的图象与x轴有公共点．
函数零点存在定理
如果函数y＝f (x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f (a)·f (b)<0，那么，函数y＝f (x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c)＝0，这个c也就是方程f (x)＝0的解．
二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
【常用结论与知识拓展】
1．若连续不断的函数f (x)在定义域上是单调函数，则f (x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
函数零点存在性
【要点讲解】(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.
函数在以下哪个区间内一定存在零点　　
A． B． C． D．
函数在下列区间内一定存在零点的是　　
A． B． C． D．
函数的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
函数的零点所在的大致区间是　　
A． B． C． D．
函数的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
函数零点个数的判断
【要点讲解】(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
函数在区间，上的零点个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
函数的零点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
设函数的定义域为，，，当，时，，则函数在区间上零点的个数为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为　　
A．9 B．11 C．13 D．15
已知函数的周期为2，当，时，．如果，那么的零点个数是　　
A．3 B．4 C．5 D．6
已知函数，若函数，则函数的零点个数为　　
A．1 B．3 C．4 D．5
已知函数，则函数的零点个数是　　
A．1 B．0 C．2 D．3
函数零点个数求参数
【要点讲解】
函数在区间上存在零点．则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
设有三个不同的零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知函数恰有两个零点，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
已知函数有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
已知函数，，若存在2个零点，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
嵌套函数零点问题
【要点讲解】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．3
已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
已知函数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
已知函数，如果关于的方程有四个不等的实数根，则的取值范围　　
A． B．， C． D．，
已知函数，关于的方程恰有4个零点，则的取值范围是　　
A．，， B．，， C．， D．，
已知函数，若函数，恰有4个零点，则的取值范围　　
A． B．
C． D．
已知函数，则函数零点个数最多是　　
A．10 B．12 C．14 D．16
已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为　　
A．3 B．5 C．7 D．9
最大最小值函数与零点问题
设，表示，中的较小数．若函数，至少有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C．， D．
设函数，，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围是 　 ．
设，若函数，有且只有三个零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
定义函数，，，，若至少有3个不同的解，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
记设函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围的是　　
A． B．
C． D．
设，对任意实数，记，．若有三个零点，则实数的取值范围是 　 　．
设，对于任意实数，记，，若方程至少有3个根，则实数的最小值为 　 　．
已知，，其中且．
（1）若，，求实数的取值范围；
（2）用，表示，中的最大者，设，，讨论零点个数．
一．选择题（共6小题）
1．函数的零点为　　
A．4 B．4或5 C．5 D．或5
2．已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
4．函数的零点所在的区间是　　
A． B． C． D．
5．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
6．若函数有三个零点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．设函数，则　　
A．在区间内无零点 B．在区间内有零点
C．在区间内无零点 D．在区间内有零点
8．已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，，则下列说法正确的有　　
A． B． C． D．可以取到3
三．填空题（共4小题）
9．已知函数，则函数零点的个数是 　　．
10．已知函数，，若函数与的图象有4个交点，，，，，，，，则　　．
11．对于函数、，设，，若存在、使得，则称与互为“友好函数”．已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是 　　．
12．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 　　．
四．解答题（共3小题）
13．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的值；
（3）求使的值为整数的实数的整数值．
14．有一道题“若函数在区间内恰有一个零点，求的取值范围”，某个同学给出了如下解答：
由（1），解得．所以，实数的取值范围是．上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
15．已知为上的奇函数，当时，．
（1）作出的图像，并求的解析式；
（2）关于的方程有三个不同的根，求实数的取值范围．专题09 函数模型的应用
目录
题型一： 函数图像信息 3
题型二： 应用函数模型解决实际问题 8
六种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
“对勾”函数模型 y＝x＋(a为常数，a>0)
三种函数模型性质比较
y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
【常用结论与知识拓展】
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”是先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”是先快后慢，其增长速度缓慢．
2．函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值：
(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝ 时取最小值2，
当x<0时，x＝－ 时取最大值－2.
函数图像信息
【要点讲解】(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应时），则下列说法中不正确的是　　
A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效
B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值
C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒
D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
【解答】解：由图象知，当服药半小时后，血药浓度大于最低有效浓度，故药物已发挥疗效，故正确；
由图象可知，首次服药1小时药物浓度达到峰值，故正确；
首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，经过1小时后，血药浓度超过，会发生药物中毒，故错误；
服用该药物5.5小时后血药浓度达到最低有效浓度，再次服药可使血药浓度超过最低有效浓度且不超过最低中毒浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确．
故选：．
在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为，是基准声压为，是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为，对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是　　
A．音量同为的声音，的低频比的高频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．的听觉下限阈值的实际声压为
D．的听觉下限阈值的实际声压为的听觉下限阈值实际声压的10倍
【解答】解：对于，的低频对应图像的听觉下限阈值高于，的高频对应的听觉下限阈值低于，所以对比高频更容易被听到，故错误；
对于，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故错误；
对于，对应的听觉下限阈值为，
令，此时，故错误；
对于，的听觉下限阈值为，
令，此时，所以的听觉下限阈值的实际声压为的听觉下限阈值实际声压的10倍，故正确．
故选：．
为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为为常数），函数图象如图所示．如果早上就有学生可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的图象，可得函数的图象过点，
代入函数的解析式，可得，解得，所以，
令，可得或，
解得或，
所以如果商场规定顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是，
故选：．
某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
等级 降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是　　
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【解答】解：圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为，
将，代入公式可得，
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以，
则平地上积水的厚度，
因为，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选：．
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？
【解答】解：（1）由题意，当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，；
当时，函数的解析式为，
此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得
故函数的解析式为，．
所以．
（2）由题意，令，即，
解得，
．
服药一次治疗疾病有效的时间为小时．
应用函数模型解决实际问题
【要点讲解】(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数;
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是　　
（参考数据：，，，．
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
【解答】解：设从2021年后，第年该公司全年投入的研发资金为万元，
则，
由题意可得，，即，
故，则，
故该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2029年．
故选：．
近年来，天然气表观消费量从2006年的不到激增到2021年的．从2000年开始统计，记表示从2000年开始的第几年，，．经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率．已知2009年的天然气消费量为，2018年的天然气消费量为，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为　　
（参考数据：，
A． B． C． D．
【解答】解：2009年的天然气消费量为，2018年的天然气消费量为，
则，，两式相除可得，
又因为．
故选：．
专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为　　（参考数据：
A．38 B．40 C．45 D．47
【解答】解：由题意，，即，
得，
而，
又，，即，
得，即．
故选：．
双碳，即碳达峰与碳中和的简称年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．于1898年提出蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得，
则当时，，
所以，
即当放电电流时，放电时间为，
故选：．
为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要　　（参考数据：，
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【解答】解：依题意，，，当时，，即，可得，
于是，由，得，即，
则，又，因此，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：．
基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
【解答】解：把，代入，可得，，
当时，，则，
两边取对数得，解得．
故选：．
甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为元．
（1）把全部运输成本元表示为速度（千米小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
【解答】解：（1）由题意得每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，
，，；
（2）因为，
当，即时，．
为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表：
上市时间（天 2 6 20
市场价（元 102 78 120
（1）根据如表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由；①，②，③，，，④；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【解答】（1）由题目表格数据可知，随着时间的增大，的值先减小后增大，而①，③，，，④显然都是单调函数，不满足题意，故选择②；
（2）把，，代入，
，解得，
，
二次函数的图象开口向上，
当时，有最小值，且，
故纪念章市场价最低时的上市10天，市场价最低，最低市场价为70元；
（3）由（2）得，令，
存在，使得不等式成立，转化为存在，成立，即，
，当且仅当，即，等号成立，
当时，，
，
故实数的取值范围为，．
设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：百件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是．
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
【解答】解：由题意，利润．
由（1），当时，，
所以，令，则或（舍，
故，，即递增；，，即递减；
所以的极大值也是最大值为（万元）；
当时，递减，此时最大值为（万元）．
综上，使商品的利润最大，产量为90百件．
某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元
占比
（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的．
①某位顾客现有万元现金，欲购买价值万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为，到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到
【解答】解：（1）销售一辆车的价格的数学期望为：
，
（万元）（亿
所以，今年新能源车的销售额预计约为43.3亿元；
（2）①全款购车两年后资产总额为：（万元），
分期付款购车两年后资产总额为（万元），
因为，所以顾客选择全款购车方式收益更多；
②由①得：，所以，
故这一措施对购买，，车型有效．
某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．
（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为，且，求的取值范围；
（2）已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？
【解答】解：（1）令表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，
由题意有，则，
故，
由，有，解得：，
故当时，的取值范围为．
（2）对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，
是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，
当时，由（1）知，，
设需要赔付给消费者的费用为元，
有，由，
以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．
流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系现有三个函数模型：①，②，③可供选择．（参考数据：，
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）
【解答】解：（1）因为的增长速度越来越快，
和的增长速度越来越慢，
所以应选函数模型．
由题意得，解得，
所以该函数模型为；
（2）由题意得，即，
所以，
又，
所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过．
某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米．
（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值．
【解答】解：（1）由已知，，其定义域是．
，
，，
，其定义域是．
（2），
当且仅当，即时，上述不等式等号成立，
此时，，，．
答：设计，时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．
一．选择题（共6小题）
1．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把沏茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为，满足公式．现有一壶水温为的热水用来沏茶，由经验可知茶温为时口感最佳，若空气的温
度为，那从沏茶开始，大约需要　　分钟饮用口感最佳（参考数据：，
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
【解答】解：由题意可得，，
，
，
，
即大约需要2.77分钟饮用口感最佳．
故选：．
2．某种货物的进价下降了，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的增加到，则的值等于　　
A．8 B．15 C．25 D．20
【解答】解：设原来的进货价为元，则进价下降前的销售价为，
进价下降后的销售价为，
于是，解得，
所以的值等于8．
故选：．
3．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（参考数据：，　　
A．2.1天 B．2.4天 C．2.9天 D．1.8天
【解答】解：把，代入，可得，
所以，
当时，，则，
，即，
．
故选：．
4．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，其标准如下：
阶梯 家庭全年用水量 （立方米） 水价 （元立方米） 其中
水费 （元立方米） 污水处理费 （元立方米）
第一阶梯 （含 2.9 2.4 0.5
第二阶梯 （含 5.1 4.6
第三阶梯 260以上 7.4 6.9
如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为　　
A．170立方米 B．200立方米 C．230立方米 D．250立方米
【解答】解：若该户家庭全年用水量为，
则应缴纳元元，
所以该户家庭的全年用水量少于260立方米，
设用水量为立方米，
则应缴纳，解得立方米，
故选：．
5．某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育．为了更好的增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼．锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数．若介于，之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量．已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次分）满足，为俯卧撑个数．已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为为自然对数的底数，　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意，设俯卧撑组数为组，则，
所以，
所以，
所以，
因为，且，所以．
故选：．
6．某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的玩家人数，则玩家超过30000名至少经过的天数为　　（参考数据：
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：由题意得，故，
又，即，
至少经过的天数为13．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是　　
中国社会消费品零售总额
月份 零售总额（亿元） 同比增长 环比增长 累计（亿元）
4 28178 106758
5 31973 138730
6 33526 172256
7 32203 204459
8 33571 238029
9 35295 273324
10 38576 311901
11 39514 351415
12 40566 391981
A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升
B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大
C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大
D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小
【解答】解：选项月到7月为下降，故错误；
由图表中的数据，可以直接判断出选项、、均正确，
故选：．
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是　　
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗8升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油
【解答】解：对于，消耗1升汽油，乙车最多可行驶距离大于5千米，故错误；
对于，因为当速度相同时，甲的燃油效率最高，所以以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故正确；
对于，甲车以80千米小时的速度行驶1小时，此时的燃油效率是，一共开了，所以消耗8升汽油，故正确；
对于，当速度小于80千米小时时，丙车的燃油效率比乙车高，所以相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．始建于宋朝的江心屿江西东塔为温州的地标建筑，历史上为行驶瓯江上下的船只起到航标作用，因此也成为世界历史名胜灯塔百强之一，世界航标遗产之一．现某学校开展研究性活动测量东塔高度，如图所示，选取了与塔底同一水平内的两个基测点与（人的身高不计），塔底在基测点南偏西方向上，且测得东塔塔顶的仰角为，他沿南偏东方向前进28到点处，测得东塔塔顶的仰角为，则塔高约为 　28　．
【解答】解：设塔高为，
依题意，，
所以，
所以，
又，，
在中由余弦定理可知：，
即，
即，
解得或（舍去）；
故答案为：28．
10．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 　10　个“半衰期”．【提示：】
666666666666
【解答】解：设生物组织内原有的碳14含量为，需要经过个“半衰期”才不能被测到碳14，
则，即，
由参考数据可知，，，
，
故答案为：10．
11．若某政府增加环境治理费用亿元，每个受惠的居民会将的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则　200　（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，．
【解答】解：由题意可知，，解得．
故答案为：200．
12．一种食品的保鲜时间与储藏温度满足函数关系式，，为常数），该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是，则在时的保鲜时间是 　48　．
【解答】解：该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是，
，即，
在时的保鲜时间是．
故答案为：48．
四．解答题（共3小题）
13．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，．
（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值．
【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
则，；
（2），
则，
由（1）知：，代入上式得：
，
配方得：，
当时，取到最大值．
14．百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中．
（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围；
（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得，
解得，
故，．
（2）由题意知网店销售的利润为万元，
技术指导后，养羊的利润为万元，
则恒成立，
又，恒成立，
又，当且仅当时等号成立，，
，即的最大值为6.5．
15．已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为．
（1）试把饮料罐的表面积表示为的函数；
（2）求为多少时饮料罐的用料最省？
【解答】解：（1）设圆柱形饮料罐的高为，则，则，
饮料罐的表面积，；
（2）由（1）得，，则，
由得，由得，由得，
函数在上单调递减，在，上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，
故为时饮料罐的用料最省．专题09 函数模型的应用
目录
题型一： 函数图像信息 3
题型二： 应用函数模型解决实际问题 6
六种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f (x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
“对勾”函数模型 y＝x＋(a为常数，a>0)
三种函数模型性质比较
y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x值增大，图象与y轴行 随x值增大，图象与x轴行 随n值变化而不同
3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
【常用结论与知识拓展】
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”是先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”是先快后慢，其增长速度缓慢．
2．函数f (x)＝x＋(a>0)的性质及最值：
(1)该函数在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减．
(2)当x>0时，x＝ 时取最小值2，
当x<0时，x＝－ 时取最大值－2.
函数图像信息
【要点讲解】(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况如图所示（服用药物时间对应时），则下列说法中不正确的是　　
A．首次服药1单位后30分钟时，药物已经在发挥疗效
B．若每次服药1单位，首次服药1小时药物浓度达到峰值
C．若首次服药1单位，3小时后再次服药1单位，一定不会发生药物中毒
D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
在声学中，音量被定义为：，其中是音量（单位为，是基准声压为，是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中对应的听觉下限阈值为，对应的听觉下限阈值为，则下列结论正确的是　　
A．音量同为的声音，的低频比的高频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．的听觉下限阈值的实际声压为
D．的听觉下限阈值的实际声压为的听觉下限阈值实际声压的10倍
为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为为常数），函数图象如图所示．如果早上就有学生可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是　　
A． B． C． D．
某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24 降雨量的等级划分如下：
等级 降雨量（精确到
小雨
中雨
大雨
暴雨
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图所示），则这降雨量的等级是　　
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）写出服药后与之间的函数关系式；
（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病有效的时间？
应用函数模型解决实际问题
【要点讲解】(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数;
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是　　
（参考数据：，，，．
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
近年来，天然气表观消费量从2006年的不到激增到2021年的．从2000年开始统计，记表示从2000年开始的第几年，，．经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率．已知2009年的天然气消费量为，2018年的天然气消费量为，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为　　
（参考数据：，
A． B． C． D．
专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为　　（参考数据：
A．38 B．40 C．45 D．47
双碳，即碳达峰与碳中和的简称年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．于1898年提出蓄电池的容量（单位：，放电时间（单位：与放电电流（单位：之间关系的经验公式：，其中为常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为　　
A． B． C． D．
为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要　　（参考数据：，
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为　　
A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天
甲、乙两地相距1004千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米小时，已知汽车每小时的运输成本（以1元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度（千米小时）的立方成正比，比例系数为2，固定部分为元．
（1）把全部运输成本元表示为速度（千米小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表：
上市时间（天 2 6 20
市场价（元 102 78 120
（1）根据如表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价与上市时间的变化关系并说明理由；①，②，③，，，④；
（2）利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；
（3）利用你选取的函数，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本（单位：万元）与生产量（单位：百件）间的函数关系是；销售收入（单位：万元）与生产量间的函数关系是．
（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量的函数；
（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？
某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元
占比
（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的．
①某位顾客现有万元现金，欲购买价值万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为，到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到
某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．
（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为，且，求的取值范围；
（2）已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？
流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病．了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系现有三个函数模型：①，②，③可供选择．（参考数据：，
（1）选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）
某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为平方米．
（1）分别用表示和的函数关系式，并给出定义域；
（2）怎样设计能使取得最大值，并求出最大值．
一．选择题（共6小题）
1．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，茶文化是把沏茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵相结合而形成的一种文化现象，具有鲜明的中国文化特征．其中沏茶、饮茶对水温也有一定的要求．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为，满足公式．现有一壶水温为的热水用来沏茶，由经验可知茶温为时口感最佳，若空气的温
度为，那从沏茶开始，大约需要　　分钟饮用口感最佳（参考数据：，
A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26
2．某种货物的进价下降了，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率由原来的增加到，则的值等于　　
A．8 B．15 C．25 D．20
3．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（参考数据：，　　
A．2.1天 B．2.4天 C．2.9天 D．1.8天
4．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量划分为三档，水价分档递增，其标准如下：
阶梯 家庭全年用水量 （立方米） 水价 （元立方米） 其中
水费 （元立方米） 污水处理费 （元立方米）
第一阶梯 （含 2.9 2.4 0.5
第二阶梯 （含 5.1 4.6
第三阶梯 260以上 7.4 6.9
如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为777元，则该户家庭全年用水量为　　
A．170立方米 B．200立方米 C．230立方米 D．250立方米
5．某中学坚持“五育”并举，全面推进素质教育．为了更好的增强学生们的身体素质，校长带领同学们一起做俯卧撑锻炼．锻炼是否达到中等强度运动，简单测量方法为，其中为运动后心率（单位：次分）与正常时心率的比值，为每个个体的体质健康系数．若介于，之间，则达到了中等强度运动；若低于28，则运动不足；若高于34，则运动过量．已知某同学正常时心率为80，体质健康系数，经过俯卧撑后心率（单位：次分）满足，为俯卧撑个数．已知俯卧撑每组12个，若该同学要达到中等强度运动，则较合适的俯卧撑组数为为自然对数的底数，　　
A．2 B．3 C．4 D．5
6．某游戏在刚发布时有100名玩家，发布5天后有1000名玩家．加果玩家人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的玩家人数，则玩家超过30000名至少经过的天数为　　（参考数据：
A．11 B．12 C．13 D．14
二．多选题（共2小题）
7．面对新冠肺炎疫情冲击，我国各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展均取得显著成效．如表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长率，则下列说法正确的是　　
中国社会消费品零售总额
月份 零售总额（亿元） 同比增长 环比增长 累计（亿元）
4 28178 106758
5 31973 138730
6 33526 172256
7 32203 204459
8 33571 238029
9 35295 273324
10 38576 311901
11 39514 351415
12 40566 391981
A．2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升
B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大
C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大
D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小
8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是　　
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C．甲车以80千米小时的速度行驶1小时，消耗8升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油
三．填空题（共4小题）
9．始建于宋朝的江心屿江西东塔为温州的地标建筑，历史上为行驶瓯江上下的船只起到航标作用，因此也成为世界历史名胜灯塔百强之一，世界航标遗产之一．现某学校开展研究性活动测量东塔高度，如图所示，选取了与塔底同一水平内的两个基测点与（人的身高不计），塔底在基测点南偏西方向上，且测得东塔塔顶的仰角为，他沿南偏东方向前进28到点处，测得东塔塔顶的仰角为，则塔高约为 　　．
10．当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减．按照惯例，人们将每克组织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．如果用一般的放射性探测器不能测到碳14，那么死亡生物组织内的碳14至少经过了 　　个“半衰期”．【提示：】
11．若某政府增加环境治理费用亿元，每个受惠的居民会将的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则　　（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，．
12．一种食品的保鲜时间与储藏温度满足函数关系式，，为常数），该食品在时的保鲜时间是，在时的保鲜时间是，则在时的保鲜时间是 　　．
四．解答题（共3小题）
13．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，经测量，．
（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值．
14．百年以来，从伟大斗争中提炼伟大精神并引领新的伟大斗争，是我们党的优良传统．这场史无前例、举世瞩目的脱贫攻坚伟大斗争，不仅取得了近1亿人脱贫的伟大物质成就，也铸就了激励14亿人继续乘风破浪前进的伟大精神成果．习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上总结了“上下同心、尽锐出战、精准务实、开拓创新、攻坚克难、不负人民”的脱贫攻坚精神．在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户养羊，每万元可创造利润0.15万元若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中．
（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围；
（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值．
15．已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为．
（1）试把饮料罐的表面积表示为的函数；
（2）求为多少时饮料罐的用料最省？

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