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重难点突破01 求函数中值域、最值常用方法
函数的值域、最值是函数的重要性质,求函数的值域常用的方法有函数单调性法、图像法、换元法、分离常数法、判别式法和基本不等式法等
一．选择题（共28小题）
1．函数在区间，上的最大值是　　
A． B．（4） C．（1） D．（9）
【解答】解：，
设，
，，
则函数等价为，
则当时，函数取得最大值，，
此时，即（4），
故选：．
2．若函数的定义域为，，则的值域为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为的定义域为，，
所以的定义域为，，
令，
因为，，
所以，，
所以，
所以函数的值域即为，，的值域，
由二次函数的性质可知在，上单调递增，
所以，．
故选：．
3．已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：令，即，解得，
所以，
当时，由在定义域内单调递减可得，
当时，由二次函数的性质可得，
综上，函数的最大值为，
故选：．
4．函数且的值域是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：由题意得，2，
故的值域为，．
故选：．
5．函数，，的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，，，，
设，则，
则，为二次函数，开口向上且对称轴为，
在，上为增函数，则，
故选：．
6．函数在，上的图象如图所示．则此函数的最大值、最小值分别为　　
A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，
【解答】解：由函数图象可知，当时，函数有最大值，最大值为3，无最小值，
故选：．
7．已知函数，则函数的最小值为　　
A．0.4 B． C．2 D．
【解答】解：因为，
易知在，上单调递增，
所以．
故选：．
8．已知，且满足，则的最小值为　　
A．4 B．8 C． D．10
【解答】解：，且满足，
则，且，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
故选：．
9．若正数，满足，则的最小值为　　
A．4 B．1 C．5 D．2
【解答】解：，
，即，
则，当且仅当即时，等号成立．
故选：．
10．已知函数的定义域为，则的最大值为　　
A．5 B． C．1 D．
【解答】解：，令，，
，当且仅当，即时取得．
（1）．
故选：．
11．已知函数是定义在，上的奇函数，且当，时，，则的最小值是　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：根据题意，当，时，，变形可得，则有，，
又由是，上的奇函数，
则，
故的值域，，，
故的最小值是．
故选：．
12．已知函数在，上的值域为，，则实数的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：①当时，函数在，上为增函数，
则，
即；
②当时，函数在，上为减函数，
则，
此方程无解，
综合①②可得，
故选：．
13．函数的值域为　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：，
，
原函数的值域为，．
故选：．
14．已知，，，则的最小值是　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：，，，
，当且仅当即时取等号，
的最小值为．
故选：．
15．设函数的定义域、值域分别为集合，，为实数集，则集合是　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：根据条件可得，；
则，，所以，，
故选：．
16．已知函数在，上的最大值和最小值分别为，，则　　
A． B． C．0 D．2
【解答】解：，则，
令，定义域为，，
则，故为奇函数，
所以，
即，故．
故选：．
17．函数在，上的最大值是　　
A． B．8 C．5 D．6
【解答】解：因为，
所以，
令，
则，
则有，
因为，，
所以，，
由二次函数的性质可知在，上的最大值为：6．
故选：．
18．给定函数，，，用表示，中最小者，记为，，则函数的最大值为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由双勾函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增，
令，解得，
令，
所以的零点为，
当时，，即；当时，，即；
所以，
所以．
故选：．
19．设函数，，若，则函数的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，即，解得或．
又，作出的图象如图：
的最大值为．
故选：．
20．的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．2
【解答】解：令，
则，
在，上是增函数，
故，
故选：．
21．用，表示，两个数中的较小者，已知函数，，，，则的最值是　　
A．最大值为3，最小值为 B．最大值为3，最小值为1
C．最大值为，无最小值 D．最大值为，无最小值
【解答】解：，
由，与
得交点坐标为，，，，
如图所示：由图象，可知最大值为，无最小值，
故选：．
22．若对，，有，则函数在，上的最大值与最小值的和为　　
A．4 B．6 C．9 D．12
【解答】解：令，，
令则，，
令则，，
；
为奇函数，则其在对称区间，上的最大值和最小值的和为0，
又，故在，上的最大值和最小值的和为6．
故选：．
23．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为，
令，，
则，
所以为奇函数，
所以，
所以，，
所以，
解得．
故选：．
24．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．
【解答】解：由，取，
则，
联立解得，．
，当且仅当，即时等号成立．
的最小值为．
故选：．
25．已知函数，若，则的最小值为　　
A．4 B． C． D．5
【解答】解：易知函数在和上分别单调递减，
且，则，，，
若，不妨设，且，则，
同样，则，
由，得，于是得，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为．
故选：．
26．当时，函数的最大值为　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：由题意，，
则，
令，则，
则当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
，得函数的最大值为．
故选：．
27．代数式的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以问题转化为直线上的点到点的距离与到点的距离之和的最小值，
又因为点，点均位于直线的同侧，
点关于直线的对称点为，
所以当，，三点共线时，，
即，
即的最小值为．
故选：．
28．若函数，则下列说法错误的是　　
A．当时，在上单减
B．若在上单增，则的取值范围为，
C．若的定义域为，则的取值范围为，
D．若的值域为，则的取值范围为，
【解答】解：当时，，由，得，则在上单减，
而，，，则在上单减，故正确；
若在上单增，则在上单增且大于0恒成立，
则，解得，则的取值范围为，，故错误；
若的定义域为，则对任意恒成立，则，解得，
的取值范围为，，故正确；
若的值域为，则取到大于0的所有实数，则或，即，
的取值范围为，，故正确．
故选：．
二．多选题（共3小题）
29．定义一种运算．设，为常数），且，，则使函数最大值为4的值可以是　　
A． B．6 C．4 D．
【解答】解：在，上的最大值为4，
所以由，解得或，
所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，
当时，即时，，此时解得，
当时，即时，，此时解得，
故或4，
故选：．
30．已知，，，则　　
A．无最小值 B．最小值 C．无最大值 D．最大值为
【解答】解：在同一坐标系中先画出与的图象，
然后根据定义画出，如图所示：
由图象可得有最大值，无最小值，
当时，由，解得（舍或，
此时的最大值为，无最小值．
故选：．
31．已知函数，，则　　
A．（2）
B．（1）
C．当时，的最小值为2
D．当时，的最小值为1
【解答】解：（2），（2）（1），正确，
（1），（1）（2），正确，
：当时，，
设，则在上单调递减，
（1），错误，
：当时，，
当且仅当，即时取等号，
设，，，
则，正确．
故选：．
三．填空题（共7小题）
32．函数的最小值是 　　．
【解答】解：．
当且仅当，即，时等号成立．
函数的最小值是．
故答案为：．
33．若函数的定义域为，，则该函数的值域是 　，　．
【解答】解：因为，
所以，，
故，．
故答案为：，．
34．已知二次函数，为常数）满足，且方程有两等根，在，上的最大值为，则的最大值为 　1　．
【解答】解：已知方程有两等根，即有两等根，
△，解得，
，得，
是函数图象的对称轴，
而此函数图象的对称轴是直线，，
故，
若在，上的最大值为，
当时，在，上是增函数，
，
当时，在，上是增函数，在，上是减函数，
（1），
综上，的最大值为1．
故答案为：1．
35．已知函数，若，则的值域是 　，　；若的值域是，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，根据二次函数的性质可知，，
，的值域是，．
若的值域是，则，解得，．
故答案为：，；，．
36．函数，，的最小值为 　　．
【解答】解：函数，，，，所以函数是奇函数，
当，时，，当且仅当时取等号，所以，时，函数的最大值为2．
所以函数，，的最小值为：．
故答案为：．
37．设函数的定义域为，，值域为，，则区间，长度的最小值　　．
【解答】解：根据题意知，函数在，上的值域为，时，最小；
时，，时，；
，；
即的最小值为，
故答案为：．
38．已知，设函数的表达式为．若存在，，，，使得，则实数的最大值为 　　．
【解答】解：因为存在，，，，使得，
所以只需．
由对勾函数的性质可知：在，上单减，在，上单增．
而（1），，且在，上的最小值为，在，上的最大值为（1），所以恒成立．
所以（1）．
设，解得：．
因为（1）（3），，
所以要使成立，只需，即解得：．
由，所以．
故实数的最大值为．
故答案为：．重难点突破01 求函数中值域、最值常用方法
函数的值域、最值是函数的重要性质,求函数的值域常用的方法有函数单调性法、图像法、换元法、分离常数法、判别式法和基本不等式法等
一．选择题（共28小题）
1．函数在区间，上的最大值是　　
A． B．（4） C．（1） D．（9）
2．若函数的定义域为，，则的值域为　　
A．， B．， C．， D．，
3．已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
4．函数且的值域是　　
A． B． C．， D．，
5．函数，，的最大值为　　
A． B． C． D．
6．函数在，上的图象如图所示．则此函数的最大值、最小值分别为　　
A．3，0 B．3，1 C．3，无最小值 D．3，
7．已知函数，则函数的最小值为　　
A．0.4 B． C．2 D．
8．已知，且满足，则的最小值为　　
A．4 B．8 C． D．10
9．若正数，满足，则的最小值为　　
A．4 B．1 C．5 D．2
10．已知函数的定义域为，则的最大值为　　
A．5 B． C．1 D．
11．已知函数是定义在，上的奇函数，且当，时，，则的最小值是　　
A． B． C．1 D．2
12．已知函数在，上的值域为，，则实数的值是　　
A． B． C． D．
13．函数的值域为　　
A．， B． C．， D．，
14．已知，，，则的最小值是　　
A． B．1 C． D．
15．设函数的定义域、值域分别为集合，，为实数集，则集合是　　
A． B．， C．， D．，
16．已知函数在，上的最大值和最小值分别为，，则　　
A． B． C．0 D．2
17．函数在，上的最大值是　　
A． B．8 C．5 D．6
18．给定函数，，，用表示，中最小者，记为，，则函数的最大值为　　
A． B． C． D．2
19．设函数，，若，则函数的最大值为　　
A． B． C． D．
20．的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．2
21．用，表示，两个数中的较小者，已知函数，，，，则的最值是　　
A．最大值为3，最小值为 B．最大值为3，最小值为1
C．最大值为，无最小值 D．最大值为，无最小值
22．若对，，有，则函数在，上的最大值与最小值的和为　　
A．4 B．6 C．9 D．12
23．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
24．已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．
25．已知函数，若，则的最小值为　　
A．4 B． C． D．5
26．当时，函数的最大值为　　
A． B． C．0 D．1
27．代数式的最小值为　　
A． B． C． D．
28．若函数，则下列说法错误的是　　
A．当时，在上单减
B．若在上单增，则的取值范围为，
C．若的定义域为，则的取值范围为，
D．若的值域为，则的取值范围为，
二．多选题（共3小题）
29．定义一种运算．设，为常数），且，，则使函数最大值为4的值可以是　　
A． B．6 C．4 D．
30．已知，，，则　　
A．无最小值 B．最小值 C．无最大值 D．最大值为
31．已知函数，，则　　
A．（2）
B．（1）
C．当时，的最小值为2
D．当时，的最小值为1
三．填空题（共7小题）
32．函数的最小值是 ．
33．若函数的定义域为，，则该函数的值域是 ．
34．已知二次函数，为常数）满足，且方程有两等根，在，上的最大值为，则的最大值为 ．
35．已知函数，若，则的值域是 ；若的值域是，则实数的取值范围是 ．
36．函数，，的最小值为 ．
37．设函数的定义域为，，值域为，，则区间，长度的最小值 ．
38．已知，设函数的表达式为．若存在，，，，使得，则实数的最大值为 ．重难点突破02 函数性质综合
若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1 f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1 f(x)为奇函数．
函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．
一．选择题（共16小题）
1．已知函数，则　　
A．为奇函数，且在是增函数
B．为偶函数，且在是增函数
C．为奇函数，且在是减函数
D．为偶函数，且在是减函数
【解答】解：函数的定义域为，且，所以为奇函数，
因为在是增函数，在是减函数，
所以在是增函数，
故选：．
2．设是定义在上的偶函数，且在，单调递增，则（4）的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由于是偶函数，且在，单调递增，
则（4），有，解得，即不等式的解集为．
故选：．
3．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
【解答】解：因为对任意的，，，有，
所以在，上单调递减，又为偶函数，
所以在上单调递增，则（2）（3）（4），
又（2），所以（3）（4）．
故选：．
4．已知是定义在上的偶函数且在，上为减函数，若，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为是偶函数，所以，
由，由指数函数的性质知，函数 在上单调递减，
且，所以，所以，
因为在，上为减函数，所以，
即．
故选：．
5．已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为　　
A．，， B．，，
C． D．，，
【解答】解：函数为偶函数，且有（1），
，，
函数，
又在上单调递增，，
抛物线的开口向上，则的解集为．
故选：．
6．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由为奇函数，得，即，
又由为偶函数，得，即，
于是，即，因此的周期为8，
又当，时，，则在，上单调递增，
由，得的图象关于点成中心对称，则函数在，上单调递增，
因此函数在，上单调递增，由，得的图象关于直线对称，
（3）（1），，，
，显然，即有，即，
所以，，的大小关系为．
故选：．
7．已知函数是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若，，且，，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，
函数是定义在上的奇函数，函数是定义在上的偶函数，
，，且，，即，
在，上单调递增，
又为偶函数，在，上单调递减，
不等式，可化为，即，
，
①当时，，即，无解，
②当时，，即，
解得，
综上所述，原不等式的解集为，．
故选：．
8．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在，上有4个零点；
④的值域是，．
其中所有正确结论的编号是　　
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【解答】解：对于①，，
故是偶函数，故①正确，
对于②，当时，，
令，，则，
因为在上单调递增，而函数在单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确；
对于③，当，时，由，
即或，
得，或，或，由①知是偶函数，
故当，时，得，或，或，
所以在，有6个零点，③错误；
对于④，当，时，，
因为，所以当时，，
当时，，
此时，又是偶函数，
故值域为，④错误；
故选：．
9．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意的，，，且，都有成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设函数，
对任意的，，，且，都有成立，
对任意的，，，且，都有成立，
在，上单调递减，
又函数是定义在上的偶函数，
函数是定义在上的奇函数，
在上单调递减，
不等式，可化为，
即，
即，
在上单调递减，
，
解得，
即原不等式的解集为．
故选：．
10．已知函数是定义在上的偶函数，若，，，且，都有成立，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：令，由题意知在，上为减函数，
又为上的偶函数，所以为上的奇函数，
又在，上为减函数，，
所以在上为减函数，
①当时，，即，
所以，所以，解得；
②当时，，即，
所以，所以，解得．所以或．
故选：．
11．已知函数，则不等式的解集为　　
A．，， B．
C．，， D．
【解答】解：对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，，，
又，所以为偶函数，
当时，则在上单调递增，
令，，所以，
所以在上单调递增，
则在上单调递增，从而得到在上单调递减，
则不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为，，．
故选：．
12．定义在上的偶函数满足，且在区间，上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，
所以的图象关于对称，且，
又因为为偶函数，
所以，
所以，
所以的周期为4，
所以（6）（2），
又因为在区间，上单调递增，
所以在区间，上单调递减，
又因为，
所以，
因为，，
因为，，
所以，
所以，
又因为在区间，上单调递减，
，
所以（2），
即（6），
故选：．
13．已知定义在，，上的奇函数，对任意的，，，满足，且（1），则的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：构建，则，
故在定义域内为偶函数，
任意的，，，满足，则在上单调递增，
故在上单调递减，
对于不等式，则有：
当时，可得，即，
在上单调递增，且（1）（1），
的解集为；
当时，可得，即，
在上单调递减，且（1）（1），
的解集为；
综上所述：不等式的解集为，，．
故选：．
14．设定义在上的奇函数满足，对任意，，且，都有，且（3），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：设，且，，
由题意，
可得函数在单调性递减，
（3），可得（3），
那么不等式，即求的解集，
是上的奇函数，
，
，
当时，，
可得成立；
当时，，
可得成立；
综上可得不等式的解集为，，．
故选：．
15．已知函数是定义域为，，的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：设，则不等式等价为，
即当时，为减函数，
是奇函数，是偶函数，且（2），
作出的图象如图：，当时，，即，
当时，，即，
综上的取值范围是，，，
故选：．
16．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
函数关于对称，
又函数为奇函数，故关于原点中心对称，即，
，则，
函数是周期为2的函数，
令，
，
当时，，
当时，，
函数在，上为增函数，
当时，，即，
又由时，，
当时，，即，
由对称性及周期性作函数的示意图及函数的图象如下，
由图象可知，不等式在上的解集为．
故选：．
二．多选题（共3小题）
17．若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则　　
A． B．是奇函数
C．是偶函数 D．在上是减函数
【解答】解：因为定义在上的函数满足：对任意的，，都有，
所以，即，正确；
令，
则，
所以，即为奇函数，正确，错误；
设，则，
当时，，
所以，
所以，即在上单调递减，正确．
故选：．
18．下列说法不正确的是　　
A．函数的最小值为2
B．已知，，，则
C．函数在定义域上是减函数
D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为
【解答】解：对于，，
令，则，由对勾函数的性质可知，在，上单调递增，
故，即的最小值不是2，故错误；
对于，，，，
，，，
，即（当且仅当时取等号），故正确；
对于，当时，，当时，（1），（1），
函数在定义域上不是减函数，故错误；
对于，在上为增函数，且，
，解得，
实数的取值范围为，故错误；
故选：．
19．若定义域为的函数满足为奇函数，且对任意，，，都有，则下列正确的是　　
A．的图像关于点对称
B．在上是增函数
C．
D．关于的不等式的解集为
【解答】解：因为定义域为的函数满足为奇函数，
所以函数关于对称，错误；
因为对任意，，，都有，
所以在，上单调递增，
根据函数的对称性可知在上单调递增，正确；
由关于对称可知，错误；
因为为奇函数且定义域为，所以（2），
由可得，正确．
故选：．
三．填空题（共13小题）
20．已知函数，则关于的不等式的解集为 　　．
【解答】解：设，定义域为，且，所以为奇函数，
且在上单调递增，
所以，即为奇函数向上平移一个单位，
所以的对称中心为，
所以等价于，
即
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：．
21．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 　或　．
【解答】解：是偶函数，
，即：，
关于对称．
当时，，
在，上单调递增，
又，
，即：，
，即：，解得：或．
故答案为：或．
22．已知是定义在，上的减函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 　，　．
【解答】解：设函数，因为的图象关于点对称，
所以的图象关于原点对称，故是定义在，上的奇函数．
因为是定义在，上的增函数，所以也是定义在，上的增函数．
由，得，
即，即，则，
解得，即不等式的解集为，．
故答案为：，．
23．已知函数为定义在上的奇函数，且对于，，，都有，且（3），则不等式的解集为 　或　．
【解答】解：因为对于，，，都有，
故令，则该函数在上单调递增，
又函数为定义在上的奇函数，故，且是偶函数，
因为（3）（3），
所以当时，即为，故此时解为，
当时，原式转换为，
故此时解为，
综上所述，原不等式的解集为或．
故答案为：或．
24．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，，，且，，则不等式的解集为 　　．
【解答】解：令，则，，，且，
根据题意，，
所以在，上单调递增，
又是偶函数，所以为上奇函数，
所以在上单调递增，
由，
得，
即，
所以，
得．
故答案为：．
25．已知函数，若，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：因为，
设，定义域，
，所以为奇函数，
，所以单调递增，
不等式，即为，
即，所以，
即，
解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
26．设函数是定义在，上的偶函数，且在，上单调递减，若（a），则实数的取值范围是　　．
【解答】解：为定义在，上的偶函数，
由（a）得，，
又在，上单调递减，
，
解得．
的取值范围为．
故答案为：．
27．已知函数，若，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：因为，定义域满足，解得，
所以
，
故，所以，
则不等式，转化为，
即，
又函数在上单调递增，在上单调递减，，，且设，
所以
，
又，因为，所以，
所以，由于函数在上单调递增，
所以，故函数在上单调递增，
所以由函数单调性的性质可得在上单调递增，
故，可得，解得，
所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
28．已知函数，若，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：由得：，故为奇函数，
恒成立，故在上是增函数，
所以，
所以，即，解得，
故的范围是，．
故答案为：，．
29．已知，则不等式的解集是　，　．
【解答】解：构造函数，那么 是单调递增函数，
且向左移动一个单位得到，
的定义域为，且，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 图象关于对称．
不等式 等价于，
等价于
结合单调递增可知，
，
所以不等式 的解集是，．
故答案为，．
30．若是上的奇函数，且在上是增函数，若，那么的解集是 　，，　．
【解答】解：因为是上的奇函数，且在上是增函数，，
故在上单调递增，且（1），
则或；或；
而，即，
即或，解得或，
故不等式的解集为是：，，．
故答案为：，，．
31．已知函数，则使得成立的的取值范围是 　　．
【解答】解：令，将其向右平移1个单位长度，
得，
所以是函数向右平移1个单位得到的．
而易知是偶函数，
当时，，，
时，显然，当，，，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而可知在上单调递增，在上单调递减
所以时，有，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
32．已知函数，则不等式的解集为　　．
【解答】解：是上的偶函数，
在上单调递增，是减函数，
复合函数在上是减函数，且幂函数在上是减函数，
在上是减函数，
，
由得，，且（1），
（1），
（1），
，解得，且，
原不等式的解集为．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
33．已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）求关于的不等式的解集．
【解答】解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，解得；
（2）在上单调递增；
证明：为上的增函数，且，
为上的减函数，为上的增函数，
在上单调递增；
（3）奇函数在上单调递增，
可化为，
，即，
解得：，
不等式的解集为．
34．已知函数为奇函数，且（3）（5）．
（1）求函数的解析式；
（2）若且在区间，上为增函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由条件幂函数，在上为增函数，
得到，解得，
又因为，所以或1．
又因为是奇函数，
当时，，满足为奇函数；
当时，，不满足为奇函数；
所以．
（2）由（1）知：且在区间，上为增函数．
令，；
①当时，为增函数，只需在区间，上为增函数．
即：，解得：，所以；
②当时，为减函数，只需在区间，上为减函数．
即，解得：，此时无解；
综上可知：的取值范围为：，．
35．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（2）已知函数在，上单调递减，在，上单调递增，令，，若对，，都有，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数是定义域上的奇函数，且，有（1），
则，解得，，函数，
显然，
即函数是定义域，，上的奇函数，则，，
，
函数在上有两个零点，等价于方程有两个不等的正根，，
于是得，解得，
所以实数的取值范围是．
（2）由（1）知，
而，当时，函数在上单调递减，在，上单调递增，
函数图象的对称轴，因此函数在上单调递增，
则当，即时，，当，即或时，，
从而当时，，当或时，，
对，，都有，等价于，
即，解得，而，即有，
所以实数的取值范围是．重难点突破02 函数性质综合
一．选择题（共16小题）
1．已知函数，则　　
A．为奇函数，且在是增函数
B．为偶函数，且在是增函数
C．为奇函数，且在是减函数
D．为偶函数，且在是减函数
2．设是定义在上的偶函数，且在，单调递增，则（4）的解集为　　
A． B． C． D．
3．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，则　　
A．（3）（4） B．（3）（4）
C．（3）（4） D．（4）（3）
4．已知是定义在上的偶函数且在，上为减函数，若，，，则　　
A． B． C． D．
5．已知函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为　　
A．，， B．，，
C． D．，，
6．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且当，时，，若，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
7．已知函数是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线．若，，且，，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
8．关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调递增；
③在，上有4个零点；
④的值域是，．
其中所有正确结论的编号是　　
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
9．已知函数是定义在上的偶函数，若对任意的，，，且，都有成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
10．已知函数是定义在上的偶函数，若，，，且，都有成立，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
11．已知函数，则不等式的解集为　　
A．，， B．
C．，， D．
12．定义在上的偶函数满足，且在区间，上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
13．已知定义在，，上的奇函数，对任意的，，，满足，且（1），则的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
14．设定义在上的奇函数满足，对任意，，且，都有，且（3），则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
15．已知函数是定义域为，，的奇函数，且，若对任意的，，且，都有成立，则不等式的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
16．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
17．若定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，则　　
A． B．是奇函数
C．是偶函数 D．在上是减函数
18．下列说法不正确的是　　
A．函数的最小值为2
B．已知，，，则
C．函数在定义域上是减函数
D．若定义在上的函数为增函数，且，则实数的取值范围为
19．若定义域为的函数满足为奇函数，且对任意，，，都有，则下列正确的是　　
A．的图像关于点对称
B．在上是增函数
C．
D．关于的不等式的解集为
三．填空题（共13小题）
20．已知函数，则关于的不等式的解集为 ．
21．已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则不等式的解集为 ．
22．已知是定义在，上的减函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 ．
23．已知函数为定义在上的奇函数，且对于，，，都有，且（3），则不等式的解集为 ．
24．已知是定义在上的偶函数，的图象是一条连续不断的曲线，若，，，且，，则不等式的解集为 ．
25．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
26．设函数是定义在，上的偶函数，且在，上单调递减，若（a），则实数的取值范围是 ．
27．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
28．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
29．已知，则不等式的解集是 ．
30．若是上的奇函数，且在上是增函数，若，那么的解集是 ．
31．已知函数，则使得成立的的取值范围是 ．
32．已知函数，则不等式的解集为 ．
四．解答题（共3小题）
33．已知函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）求关于的不等式的解集．
34．已知函数为奇函数，且（3）（5）．
（1）求函数的解析式；
（2）若且在区间，上为增函数，求实数的取值范围．
35．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）令函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围；
（2）已知函数在，上单调递减，在，上单调递增，令，，若对，，都有，求实数的取值范围．重难点突破03 幂、指、对数的大小比较
比较大小是高考常考题型,常以选择题的形式出现,解决这类问题需要学生具备一定的数学灵感和知识积累．求解问题时,需通过分析条件和结论,或对其进行合理的变形,找到解决问题的突破口,再结合条件和选项中给出的相关值加以赋值,最后利用指数与对数的运算等知识判断出大小．本文结合例题对比较大小的方法进行归纳总结．
一．选择题（共25小题）
1．已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，，
又，
，
，
故选：．
2．设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
，
，
所以．
故选：．
3．设，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
故．
故选：．
4．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
综上，．
故选：．
5．设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
所以．
故选：．
6．已知实数，，，其中，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，
则，
即；
又，
；
又，
，
即．
故选：．
7．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
，所以且，
，
所以．
故选：．
8．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则在上递增，
因为，，
所以，（1），，
所以．
故选：．
9．已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，
所以．
故选：．
10．若，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，
所以．
故选：．
11．已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
．
故选：．
12．已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据幂函数在上为增函数，可得，即，
又，所以．
故选：．
13．已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
，，
，
故选：．
14．已知函数，若，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，即，
又是增函数，所以．
故选：．
15．已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：，，且，则，
因为，则，
所以．
故选：．
16．已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可知，
所以，所以错误；
因为，但无法判定与1的大小，所以错误；
当时，，故错误；
因为，所以，故正确．
故选：．
17．已知，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
故．
故选：．
18．设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
19．已知，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：显然，，，
，
显然，有，，于是得，即，
所以．
故选：．
20．若正数，，满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，在同一坐标系中作出，，的图象，如图所示：
易得，即．
故选：．
21．已知，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
又因为，
所以，即，
因为，
又因为，
所以，即，
所以．
故选：．
22．已知，，，则，，大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知，．
故选：．
23．已知，，满足，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
由题意知，为函数与函数交点的横坐标，
为函数与函数交点的横坐标，
为函数与函数交点的横坐标，
分别画出函数，，与函数的图像，
由图像得，．
故选：．
24．，，，，则，，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
25．已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，且，，
，即，
，，
，即，
，，且，
，即，
．
故选：．
二．多选题（共6小题）
26．已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
则，
对于，，
，故正确，
对于，令，，满足，但，故错误，
对于，，
则，故正确，
对于，，
，故正确．
故选：．
27．已知，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．若，则
【解答】解：，
，
，
，
对于，，，故正确；
对于，，，，故错误；
对于，设，，则，，是减函数，
，，故正确；
对于，，，
，
若，则，故错误．
故选：．
28．下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：，
，故错误；
，，，故正确；
，
，故，故错误；
，，
，
，故正确．
故选：．
29．下列不等式中成立的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，在上为增函数，，错误，
，，正确，
，，，，正确，
，，，，错误，
故选：．
30．已知，，，，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，即，错误，正确，
，，，
，
，错误，正确，
故选：．
31．已知实数，，满足，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以函数为增函数，
又，所以，故正确；
因为，所以函数为增函数，
又，所以，即，
所以，故错误；
因为函数在上为减函数，
又，所以，故正确；
因为，所以，，故，故正确．
故选：．
三．填空题（共5小题）
32．已知，，，则，，的大小关系为 　　．
【解答】解：因为在上单调递减，，
故且，所以，
因为在上单调递减，，
所以，
，
故．
故答案为：．
33．已知，，分别满足以下三个方程：；；，则，，的大小关系为　　．
【解答】解：，，
，，
，，
．
故答案为：．
34．设，则，，按从小到大顺序排列依次为　　．
【解答】解：，，，
即，，，
，
故答案为：
35．已知，，，则，，的大小关系是　　．
【解答】解：，，
．
故答案为：．
36．已知，，，则，，的大小关系是 　　（用“”连接）
【解答】解：，，
，，
，，
，
故答案为：．重难点突破03 幂、指、对数的大小比较
比较大小是高考常考题型,常以选择题的形式出现,解决这类问题需要学生具备一定的数学灵感和知识积累．求解问题时,需通过分析条件和结论,或对其进行合理的变形,找到解决问题的突破口,再结合条件和选项中给出的相关值加以赋值,最后利用指数与对数的运算等知识判断出大小．本文结合例题对比较大小的方法进行归纳总结．
一．选择题（共25小题）
1．已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
2．设，，，则　　
A． B． C． D．
3．设，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
4．已知，，，则　　
A． B． C． D．
5．设，，，则　　
A． B． C． D．
6．已知实数，，，其中，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
7．已知，，，则　　
A． B． C． D．
8．已知，，，则　　
A． B． C． D．
9．已知，则　　
A． B． C． D．
10．若，，，则　　
A． B． C． D．
11．已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
12．已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
13．已知，则　　
A． B． C． D．
14．已知函数，若，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
15．已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
16．已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
17．已知，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
18．设，，，则　　
A． B． C． D．
19．已知，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
20．若正数，，满足，则　　
A． B． C． D．
21．已知，，，则　　
A． B． C． D．
22．已知，，，则，，大小为　　
A． B． C． D．
23．已知，，满足，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
24．，，，，则，，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
25．已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共6小题）
26．已知，则下列不等式一定成立的是　　
A． B．
C． D．
27．已知，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．若，则
28．下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
29．下列不等式中成立的是　　
A． B．
C． D．
30．已知，，，，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
31．已知实数，，满足，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
32．已知，，，则，，的大小关系为 ．
33．已知，，分别满足以下三个方程：；；，则，，的大小关系为 ．
34．设，则，，按从小到大顺序排列依次为 ．
35．已知，，，则，，的大小关系是 ．
36．已知，，，则，，的大小关系是 （用“”连接）重难点突破04 函数中的零点问题01
函数的零点是新高考的一大亮点和热点．函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要桥梁,它充分体现了函数与方程间的紧密联系,展现了数形结合的美,诸如,方程的根的问题、存在性问题与交点问题等都可以转化为零点问题．这类问题形式多样,但只要牢牢抓住导数这一研究函数的有力工具,通过研究函数的单调性、极值、最值、图像等性质,对问题进行恰当分类、合理转化,便能解决与函数零点有关的问题
一．选择题（共25小题）
1．用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：令，
函数在上单调递增，
（1），（2），（3），
故，可以作为初始区间．
故选：．
2．函数的零点为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：函数的零点解得方程的根，可得，
，解得．
故选：．
3．已知函数，则的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得在上单调递增，
（1），，（2），，（3），
（3），
的零点所在的区间为．
故选：．
4．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有　　
（1）当，时，；
（2）；
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，，
则，所以，
同理：当时，，
以此类推，我们可以得到如下的图象：
对于（1）：根据上述规律，当时，，故（1）错误；
对于（2）：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，
则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故（2）正确；
对于（3）：根据图象，当时，由图像可得（3）正确；
对于（4）：有三个零点，
等价于函数与函数有三个不同的交点，设，则函数的图象为恒过点的直线，如图所示．
当函数与，相切的时候，有三个交点，
相切时斜率小于直线的斜率，直线的斜率为，
故有三个零点，，故（4）错误．
说法正确的个数为2．
故选：．
5．已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，作出函数与的图象，
易得两函数交点位于两侧，不妨设，
若存在使得成立，
即，
又关于对称，
故，
因为，
所以，
所以，
即在有解，
则．
故选：．
6．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，，，或．
作出函数的图像如图所示，
由图知的图像与有两个交点，
若关于的方程恰有5个不同的实根，则的图像与有三个公共点，
所以的取值范围，．
故选：．
7．设函数在上满足，，且在闭区间，上只有（1）（3），则方程在闭区间，上的根的个数　　
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
【解答】解：在上满足，，
关于直线和直线对称，且，，
所以，所以，所以的周期为6，
又在闭区间，上只有（1）（3），则（7），，
且当，时，通过其关于直线对称，得其值对应着，的值，
则在闭区间，上只有（7）（3），
同理可推得在，也只有两个零点，
因为，则在，共有个零点，
因为，且在，的图象与，的图象相同，
则在，上有个零点，
则方程在闭区间，上的根的个数为1347个．
故选：．
8．已知函数，则函数的零点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：令得，
在同一直角坐标系中作出，的大致图象如下：
由图象可知，函数与的图象有3个交点，
即函数有3个零点，
故选：．
9．方程的解所在的区间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则函数的定义域为，
在上单调递增，
又（1），（2），
由零点存在性定理得的零点所在区间为，
故方程的解所在的区间为，
故选：．
10．函数的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，函数的定义域为，
而在为单调递减函数，在为单调递减函数，
因为，所以，即，
所以，，
所以（2）（3），
所以由零点存在性定理可知，
函数在区间有零点．
故选：．
11．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：，，
当时，，，
当时，，，，有；，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
，，，，
，（1）（e），（e），
由零点存在定理，所以在，，上各有一个零点，
又是定义域为的偶函数，则函数有6个零点．
故选：．
12．已知函数，则方程的实根个数为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：，解得或，
当时，，解得，，解得（舍；
当时，，解得或（舍，，解得或（舍；
综上，方程的实根为或或，
即方程的实根个数为3个，
故选：．
13．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：由得，
作出函数的图象如图：
由图象知，要使有四个不同的零点，
则需要与有4个不同的交点，
则此时，
即实数的取值范围是，．
故选：．
14．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
【解答】解：当时，，又，所以在上有唯一零点，
要使有3个零点，即在，上有2个零点，
即与的图象有2个交点，
设切点为设切点坐标为，
由，得，则过切点的切线方程为，
把点代入，可得，
得，则切点坐标为，
即过与相切的直线方程为，
所以实数的取值范围是．
故选：．
15．设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是　　
A． B．，
C． D．
【解答】解：令，作出的图象，如图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是，．
故选：．
16．设有三个不同的零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图像，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为，，
由，得，
所以切线的斜率，故切线方程为，
把定点代入得：，即，
所以，即直线的斜率为，
由图知，当时，与有三个交点，
所以使有三个不同的零点的的取值范围是．
故选：．
17．函数的零点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：函数的零点个数，等价于方程的根的个数，
即函数与的图象交点个数，
画出函数与的大致图象，如图所示：
由图象可知，函数与的图象只有1个交点，
所以函数有1个零点．
故选：．
18．定义在上的奇函数满足，且在，上单调递减，若方程在，有实数根，则方程在区间，上所有实数根之和是　　
A．6 B．12 C．30 D．56
【解答】解：因为函数满足，所以函数的图像关于直线对称，故，
又是上奇函数，所以，所以，故函数的周期为4，
考虑一个周期，，由函数在区间，上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，
知在区间，上单调递增，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
因为，（2），
故当，时，，当，，（2），
当，时，，当，时，（2），
因为方程在区间，有实数根，则这实根是唯一的，
又因为函数的图像关于直线对称，则方程在区间，有唯一实数根，
方程在区间，和区间，上没有实根，
所以方程在一个周期内有且只有2个实数根，根据对称性，知这两根之和为2，
因为函数在区间，上恰好3个周期，
所以根据函数周期性和对称性知，方程在区间，上所有实数根之和为．
故答案为：．
19．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：画出、和的图象如下图所示，
由解得．由，解得，
设，对于函数，要使与的图象有两个交点，
结合图象可知，．
故选：．
20．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【解答】解：如图，作函数的大致图像（实线），
平移直线，由可得，，
，
故当时，直线与曲线相切；
当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；
当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．
由图分析可知，当，时，的图像与直线有3个不同的交点．
故选：．
21．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当，时，，则在区间，内关于的方程的根的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：是定义在上的偶函数，对任意的，都有，
，
即，即函数的周期是4．
当，时，，，
此时，
即，，．
由得：
，
分别作出函数和图象如图：
则由图象可知两个图象的交点个数为4个，
即方程的根的个数为是4个．
故选：．
22．已知定义在上的函数对于任意的都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是　　
A． B．，
C． D．，
【解答】解：由知是周期为2的周期函数，
函数至少有6个零点等价于函数与的图象至少有6个交点，
①当时，画出函数与的图象如图所示，
根据图象可得（5），即．
②当时，画出函数与的图象如图所示，
根据图象可得，即．
综上所述，的取值范围是．
故选：．
23．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有30个整数解，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
又函数为偶函数，，即函数周期为，
因为不等式在，上有且只有30个整数解，所以不等式在，上恰有3个整数解，
又，可知时，，时，，
所以在上递增，在上递减，，所以1，2，3满足不等式，
故，且需解得．
故选：．
24．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为　　
A．9 B．11 C．13 D．15
【解答】解：因为，，
所以为奇函数，
又因为，即，
所以，
即，
所以为周期函数，且周期，
所以（2）（2），即（2），
作出函数的大致图象如图所示：
由图象可知，在，上零点个数为13．
故选：．
25．已知函数，若函数，恰有4个零点，则的取值范围　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，，则，
所以在，上单调递增，
若恰有4个零点，
即恰有4个根，即与有四个交点，
当时，与的图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意，
当时，与轴相交于两点与，
图象如下：
当时，函数的函数值为，
当时，函数的函数值为，
所以两图象有四个交点，符合题意；
当时，与轴相交于两点与，
图象如下：
在，内两图象有两个交点，
所以若有四个交点，
只需要与在，内还有两个根，
因为，所以，
所以有在，内还有两个根，
即在，内还有两个根，
所以在在，内还有两个根，
因为（当且仅当时，取等号），
所以且，解得，
综上所述，的取值范围为，，．
故选：．
二．多选题（共5小题）
26．已知函数，则下列结论正确的是　　
A．当时，无零点
B．当时，只有一个零点
C．当时，有两个零点
D．若有两个零点，，则
【解答】解：令，则，即，即，
考察直线和抛物线的位置关系，
由图可知，当时，无零点，故正确；
当或时，只有一个零点，故正确；
当且时，有两个零点，故错误；
若有两个零点，，则，是方程的两根，
由韦达定理，得，故正确．
故选：．
27．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数不可能是　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，
则函数的图象，如图所示：
函数恰有两个零点，即有两个实数根，转化为的图象与有两个交点，
由图象得，
又当时，，由图象得，或，符合题意，
故实数的取值范围为，
故选：．
28．已知函数是定义在，，上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知当时，，当时，，
当，时，，
又为偶函数，函数的图象关于轴对称，根据以上信息可作出函数的图象如下，
对于：再作函数，观察图象可得与的图象有四个交点，
方程有四个不相等的实数根，故正确；
对于：再作函数的图角可得，
观察图象可得与的图象有三个交点，
方程有三个不相等的实数根，故不正确；
对于：再作函数的图角可得，
观察图象可得与的图象有四个交点，
方程有四个不相等的实数根，故正确；
对于：再作函数的图角可得，
观察图象可得与的图象有一个交点，
方程有一个不相等的实数根，故不正确；
故选：．
29．已知函数为自然对数的底数），，若（a）（b），则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，由于，，
而在上单调递增，
则，故，即，选项正确；
对于，由于，
则由函数零点存在性定理可知，，
所以，选项正确；
对于，易知，若，则，即，这与矛盾，选项错误；
对于，，令，
作出函数和的函数图象如下所示，
由图象可知，函数（a）在上单调递减，则，选项正确．
故选：．
30．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，，在，单调递减，，，
在，单调递增，，；
当时，，
在，单调递减，，，
在单调递增，，，
若有四个不同的实数解，则，故正确；
因为，所以，，，所以，，故错误；
因为，，根据韦达定理可知在方程中，故正确；
，，，
所以，正确．
故选：．
三．填空题（共8小题）
31．设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数的一个值为 　3（答案不唯一）　．
【解答】解：作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，要使方程有三个实数解，则需，
则符合题意的一个的值为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
32．函数的零点的个数为 　3　．
【解答】解：由题意，
即函数的零点的个数即为，的交点的个数，
在同一直角坐标系中画出两个函数图像，如图所示，
数形结合可知，两个函数有3个交点，
故函数的零点的个数是3．
故答案为：3．
33．已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：令，
可得或，
作出函数的大致图象如下图所示，
由图象可知，有2个解，
要使函数有5个零点，则需有3个解，
由图象可知，，解得．
故答案为：．
34．已知，若存在三个不同实数、、使得（a）（b）（c），则的取值范围是 　，　．
【解答】解：由题意，可画出函数的图象大致如下：
存在三个不同实数，，，使得（a）（b）（c），
可假设，
根据函数图象，可知：，，．
又（b）（c），
，
即：．
．
，即．
．
，
．
故答案为：，．
35．若对任意，，关于的方程在区间，上总有实根，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：设，，
因为，，所以在定义域上单调递增，
又因为，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又因为方程在区间，上总有实根，
所以在，上总有零点，
又因为在，上单调递增，
所以（2）或或（3），
即或或，
解得，
即有在，上恒成立，
所以，
又因为，，
所以．
故答案为：，．
36．已知函数若恰有2个零点，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：由，得，得；
由，得，得或，
因为恰有2个零点，
所以若和是函数的零点，则不是函数的零点，则；
若和是函数的零点，则不是函数的零点，则，
若和是函数的零点，不是函数的零点，则不存在这样的．
综上所述：或，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
37．已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是 　3　．
【解答】解：作函数与图象如下：
由图可得，
存在四个不相等的实根，，，，可得，
可得，，即，，
所以，
当且仅当即且等号成立，
则的最小值是3．
故答案为：3．
38．定义函数，设，，
若含有3个不同的实数拫，则实数的取值范围是 　或　．
【解答】解：设，，
由，解得，，
由于含有3个不同的实数拫，
所以有两个相等的实根或者两个相异的实根，
则△，
即，解得，或．
当时，，解得，又，满足题意；
当时，如下图，的对称轴方程，（2），则有4个根，不合题意，舍去；
当时，，解得，即（2），含有2个不同的实数拫，不满足题意；
当时，如下图，（2），若含有3个不同的实数拫，则，解得；
综上，或．
故答案为：或．
四．解答题（共2小题）
39．已知函数．
（Ⅰ）用定义证明在定义域上是减函数；
（Ⅱ）若函数在，上有零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：根据题意，函数，
则有，解可得，即函数的定义域为，
设，则，
由于，则，必有，
故，
则函数在定义域上是减函数；
（2）根据题意，由（1）的结论，函数在定义域为上的减函数，则为减函数，
若函数在，上有零点，则，解可得：，
故的取值范围为，．
40．已知函数．
（1）当时，判断在上的单调性并证明；
（2）讨论函数的零点个数．
【解答】解：（1）当，时，，此时在上单调递减，
证明：任取，，且，
则，
，则，，
，即，
故在上单调递减；
（2）令，即的根的个数，
令，作出函数的图象，如图所示：
由图象得当或或时，直线与有两个交点；
当或时，直线与只有一个交点；
当或时，直线与有三个交点，
综上所述，当，，时，有2个零点；
当，，时，有1个零点；
当，，时，有3个零点．重难点突破04 函数中的零点问题01
函数的零点是新高考的一大亮点和热点．函数的零点是沟通函数、方程、图像的重要桥梁,它充分体现了函数与方程间的紧密联系,展现了数形结合的美,诸如,方程的根的问题、存在性问题与交点问题等都可以转化为零点问题．这类问题形式多样,但只要牢牢抓住导数这一研究函数的有力工具,通过研究函数的单调性、极值、最值、图像等性质,对问题进行恰当分类、合理转化,便能解决与函数零点有关的问题
一．选择题（共25小题）
1．用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是　　
A．， B．， C．， D．，
2．函数的零点为　　
A． B．2 C． D．
3．已知函数，则的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
4．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的个数有　　
（1）当，时，；
（2）；
（3）若，则实数的最小值为
（4）若有三个零点，则实数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当时，若存在使得成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
6．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
7．设函数在上满足，，且在闭区间，上只有（1）（3），则方程在闭区间，上的根的个数　　
A．1348 B．1347 C．1346 D．1345
8．已知函数，则函数的零点个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
9．方程的解所在的区间为　　
A． B． C． D．
10．函数的零点所在的区间为　　
A． B． C． D．
11．已知是定义域为的偶函数且，则函数零点个数是　　
A．6 B．5 C．4 D．3
12．已知函数，则方程的实根个数为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
13．已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为　　
A．， B．， C． D．
14．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．，
15．设，函数若恰有一个零点，则的取值范围是　　
A． B．，
C． D．
16．设有三个不同的零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
17．函数的零点个数为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
18．定义在上的奇函数满足，且在，上单调递减，若方程在，有实数根，则方程在区间，上所有实数根之和是　　
A．6 B．12 C．30 D．56
19．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
20．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．，
21．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当，时，，则在区间，内关于的方程的根的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
22．已知定义在上的函数对于任意的都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则的取值范围是　　
A． B．，
C． D．，
23．已知偶函数满足，且当，时，，关于的不等式在，上有且只有30个整数解，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
24．已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为　　
A．9 B．11 C．13 D．15
25．已知函数，若函数，恰有4个零点，则的取值范围　　
A． B．
C． D．
二．多选题（共5小题）
26．已知函数，则下列结论正确的是　　
A．当时，无零点
B．当时，只有一个零点
C．当时，有两个零点
D．若有两个零点，，则
27．已知函数，若函数恰有两个零点，则实数不可能是　　
A． B． C．0 D．1
28．已知函数是定义在，，上的偶函数，当时，，若方程有四个不相等的实数根，则满足条件的可以为　　
A． B． C． D．
29．已知函数为自然对数的底数），，若（a）（b），则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
30．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，，，，则　　
A． B．
C． D．
三．填空题（共8小题）
31．设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数的一个值为 ．
32．函数的零点的个数为 ．
33．已知函数若函数有5个零点，则实数的取值范围是 ．
34．已知，若存在三个不同实数、、使得（a）（b）（c），则的取值范围是 ．
35．若对任意，，关于的方程在区间，上总有实根，则实数的取值范围是 ．
36．已知函数若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
37．已知函数，若存在四个不相等的实根，，，，则的最小值是 ．
38．定义函数，设，，
若含有3个不同的实数拫，则实数的取值范围是 ．
四．解答题（共2小题）
39．已知函数．
（Ⅰ）用定义证明在定义域上是减函数；
（Ⅱ）若函数在，上有零点，求实数的取值范围．
40．已知函数．
（1）当时，判断在上的单调性并证明；
（2）讨论函数的零点个数．重难点突破05 嵌套函数
我们把形如或的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式:
"型
这一类型是同一个函数自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后根据题设条件解出相应的值或范围,最后利用函数或利用函数与的图像关系解得问题.
“型
这一类型是两个函数的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后通过中间变量即是“内层函数”的函数值,又是的自变量,或利用与两个函数的性质,或做出并利用与两个函数的图像来解决问题.
在数学命题中,嵌套函数问题常以能力型问题出现,且常处于客观题压轴的位置.这类问题因其抽象程度高,综合性强,能很好地考查数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养,因而是高考或各地模拟考试的热点题型.
一．选择题（共11小题）
1．已知函数是上的奇函数，当时，．若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由题设，若，则，
所以，值域为，函数图象如下：
当，时，只有一个，与之对应；
当，时，有两个对应自变量，
记为，，则；
当时，有三个对应自变量且，0，；
当，时，有两个对应自变量，
记为，，则；
当，时，有一个，与之对应；
令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，
若有三个解，则，0，，此时有7个解，不满足；
若有两个解，且，此时和各有一个解，
结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的；
若有一个解，则有两个解，此时，，，
所以对应的，，，
综上，，，．
故选：．
2．已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．3
【解答】解：令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
3．已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为　　
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：设，令可得：，
对于，，故在处切线的斜率值为，
设与相切于点，，
，切线斜率，则切线方程为：，
即，，解得：；
由于，故作出与图象如下图所示，
与有四个不同交点，
即与有四个不同交点，
设三个交点为，，，，由图象可知：，
作出函数，的图象如图，
由此可知与无交点，与有三个不同交点，与，各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：．
4．已知函数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：令，则有，
作出的图象，如图所示：
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
设直线与相切，切点为，，
则有，解得，，
所以直线与的图象有4个交点，
不妨设4个交点的横坐标分别为：，，，，且，
由图象可知，，，，
由图象可知无解，有1个解，有3个解，有2个解，
所以有6个零点．
故选：．
5．已知函数，则函数的零点个数为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：设，则，
令，可得，
在处的导数为，
与在轴左边没有交点，
作出与的图象，如图所示，
数形结合可得与两交点横坐标满足：，，
又，作出，与的图象，如图所示，
数形结合可得，与的图象共有三个交点，交点横坐标分别为，，，
故的零点个数为3，
故选：．
6．已知函数，g（x）＝x﹣k，函数g（f（x））有4个不同的零点x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（　　）
A． B． C． D．（0，+∞）
【解答】解：g（f（x））＝f（x）﹣k，令g（f（x））＝0，得f（x）＝k，
函数g（f（x））有4个不同的零点，即f（x）＝k有4个不同的根；
根据题意，作出f（x）的图像，如图：
明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，
因为x4＞x3＞0，故，
令，得或x＝9，故，
又因为x1+x2+x3+x4＝﹣2+x3+x4，
则，整理得，
故x1+x2+x3+x4的取值范围为．
故选：B．
7．已知函数，函数恰有5个零点，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：当时，．由，得，由，得，
则在，上单调递减，在上单调递增，
故的大致图象如图所示．
设，则，由图可知当时，有且只有1个实根，
则最多有3个不同的实根，不符合题意．
当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根，
则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有3个不同的实根，，，且，，，，．
有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有7个不同的实根，不符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，．
有2个不同的实根，有3个不同的实根，
则有5个不同的实根，符合题意．
当时，有2个不同的实根，，且，，
有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意．
当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，的取值范围是，．
故选：．
8．已知函数，则函数的零点个数是　　
A．1 B．0 C．2 D．3
【解答】解：函数，
对，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减，
且趋向负无穷时，，时，，
故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示：
函数的零点，即，令，代入可得，
由图像可知，即，
结合函数图像可知，有1个解，
综合可知，函数的零点有1个．
故选：．
9．已知函数，则函数零点个数最多是　　
A．10 B．12 C．14 D．16
【解答】解：由题意可得，
作出的图象，如图所示：
由此可得，
令，则，
所以，
令，则有，
则有，，
当时，有三个实数根，分别为，，，
若，即时，则有，，，
若，即时，则，
当，即时，没有实数根，
又，，
若，，即时，有3个零点；，即时，有4个零点；，，即时，有4个零点，
所以此时共有11个零点；
若时，，，各自对应着4个零点，此时共有12个零点，
所以函数零点个数最多为12个．
故选：．
10．已知函数则解的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：时，，
则，
在上单调递减，
又时，，，，
作出函数的图象如图：
由，得，即，
则有两个根，即解的个数为2．
故选：．
11．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．
【解答】解：作出函数的图象如图所示：
根据图像可得，当或时，有两个解；
当时，有4个解；
当时，有3个解；
当时，有1个解．
因为最多有两个解．
因此要使有6个零点，则有两个解，设为，．
则存在下列几种情况：
①有2个解，有4个解，即或，，显然，
则此时应满足，解得；
②有3个解，有3个解，设即，，
则应满足，解得；
综上所述，或，
即的取值范围为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
12．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是　　
A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点
C．当，有4个零点 D．当时，有7个零点
【解答】解：，则当时，，
当时，，
令得，设，即，
对于：当时，当时，，对称轴，当时，，
在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，
由得，即，解得，
故时，有1个零点，故正确；
对于：当时，当时，，当时，，
由得，即，即，则当时，，解得，
当时，，解得，
故时，有3个零点，故正确；
对于：当时，当时，，对称轴，，
由得，即，解得，
故当时，有1个零点，故错误；
对于：当时，当时，，当时，，
由得，即，即，则当时，，解得，
当时，，解得，
由得，解得，
则当，即，此时有1解，
当，即，此时有2解，或，此时有1解，
综上所述，当时，有7个零点，故正确，
故选：．
13．若函数和的定义域都是，且关于的方程有实数解，则下列式子中可以是的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
则有解，
对于，当时，方程有解，故选项正确；
对于，当时，方程无解，故选项错误；
对于，当，令，
因为，
由零点的存在性定理可知，在上存在零点，
所以方程有解，故选项正确；
对于，当时，为方程的解，
所以方程有解，故选项正确．
故选：．
14．已知函数和函数，关于的方程有个实根，则下列说法中正确的是　　
A．当时， B．当时， C．， D．，
【解答】解：令，若，则，
解得或，
即或，
当，即，解得，
该方程有一解，正确；
当时，，易知为单调递增函数，
当时，，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
作出图象如图，若，可知，，错误；
若，可知，，正确；
至多三个解，错误．
故选：．
15．已知函数，若，则下列说法正确的是　　
A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点
C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点
【解答】解：令，
当时，作出的图象如图所示：
对于，令，则有，
所以，
由此可得有3个解：，，，
又因为的值域为，，
所以无解；
有一个解；
有三个解；
所以此时共有4个解，
即共有4个零点，故正确，错误；
当时，作出的图象，如图所示：
对于，，令，则有，
所以，
所以，，
又因为的值域为，，，
所以无解，
只有一个解，
所以此时只有一个解，
即只有一个零点，故正确，错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
16．设函数，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 　，　．
【解答】解：函数，，
令，则，
函数有六个不同的零点，
则有6个实数根，
作出函数与的图象如图所示，
当时，与有两个交点，此时或，
此时有3个不同的零点，不符合题意，
当时，与有3个交点，
此时有6个不同的零点，符合题意，
当时，与有2个交点，
此时有4个不同的零点，不符合题意，
故函数有六个不同的零点时，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
17．已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：设，则由得，
若，作出函数的图象如图：
当或时，，此时，无解，
当时，由，得只有一个解且，此时，最多有3个零点，不满足条件．
故，不成立，
当时，作出函数的图象如图：．
则，
由，得方程有3个不同的根，其中，
其中，，，
当时，，只有一个根，
当时，，只有一个根，
要使函数有5个零点，
则必有，有3个零点，
由，得，即，
此时只要，即可，
得，即，
得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
18．已知函数，若有六个零点，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：由，解得或；
由，解得．
因为，所以或或，
即，，，
因为有六个零点，
所以函数的图象与三条直线，，共有六个交点，
因为函数的图象与三条直线，，共有三个交点，
所以的图象与三条直线共有三个交点，
当时，，
所以在区间单调递增，在区间单调递减，
所以时，取得极大值也即是最大值，
，，
结合的图象，可知或或，
所以或或，即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
19．已知函数，若有三个零点，则　　．
【解答】解：令，由可知，
，
，有三个零点，
有三解，
又，的图象开口向下，
函数的顶点为，
，解得（负值舍去），
．
故答案为：．
20．已知函数，若函数有三个零点，则　　．
【解答】解：令，由可知，，
，有三个零点，
有三解，
由图象的图象，可知，
．
故答案为：．重难点突破05 嵌套函数
我们把形如或的一类函数称为嵌套函数,把含有嵌套函数的函数问题称为嵌套函数问题.嵌套函数问题有两类基本形式:
"型
这一类型是同一个函数自身嵌套问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后根据题设条件解出相应的值或范围,最后利用函数或利用函数与的图像关系解得问题.
“型
这一类型是两个函数的互嵌问题,求解这一类型的策略是:首先将“内层函数”换元,即设,然后通过中间变量即是“内层函数”的函数值,又是的自变量,或利用与两个函数的性质,或做出并利用与两个函数的图像来解决问题.
在数学命题中,嵌套函数问题常以能力型问题出现,且常处于客观题压轴的位置.这类问题因其抽象程度高,综合性强,能很好地考查数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养,因而是高考或各地模拟考试的热点题型.
一．选择题（共11小题）
1．已知函数是上的奇函数，当时，．若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．3
3．已知函数为自然对数的底数），则函数的零点个数为　　
A．3 B．5 C．7 D．9
4．已知函数，则函数的零点个数为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知函数，则函数的零点个数为　　
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知函数，g（x）＝x﹣k，函数g（f（x））有4个不同的零点x1，x2，x3，x4且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（　　）
A． B． C． D．（0，+∞）
7．已知函数，函数恰有5个零点，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．
8．已知函数，则函数的零点个数是　　
A．1 B．0 C．2 D．3
9．已知函数，则函数零点个数最多是　　
A．10 B．12 C．14 D．16
10．已知函数则解的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．
二．多选题（共4小题）
12．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是　　
A．当，有1个零点 B．当时，有3个零点
C．当，有4个零点 D．当时，有7个零点
13．若函数和的定义域都是，且关于的方程有实数解，则下列式子中可以是的是　　
A． B． C． D．
14．已知函数和函数，关于的方程有个实根，则下列说法中正确的是　　
A．当时， B．当时， C．， D．，
15．已知函数，若，则下列说法正确的是　　
A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点
C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点
三．填空题（共5小题）
16．设函数，若函数有六个不同的零点，则实数的取值范围为 ．
17．已知函数，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 ．
18．已知函数，若有六个零点，则实数的取值范围是 ．
19．已知函数，若有三个零点，则 ．
20．已知函数，若函数有三个零点，则 ．跟踪训练09 函数的应用
一．选择题（共15小题）
1．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的　　倍（精确到．（参考数据：，，
A．794 B．631 C．316 D．251
2．某商场要将单价分别为36元，48元，72元的3种糖果按的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等．那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为　　
A．52元 B．50元 C．48元 D．46元
3．据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了，如果按此规律，设2009年的冬季冰盖面积为，从2009年起，经过年后冬季冰盖面积与的函数关系是　　
A． B．
C． D．
4．有一组实验数据如表所示：
3.0 6.0 9.0 12.0 15.0
1.5 2.5 2.9 3.6 4.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是　　
A． B． C． D．
5．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的，则可推断该文物属于　　
参考数据：；参考时间轴：
A．战国 B．汉 C．唐 D．宋
6．中国的技术领先世界，技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中是信道内信号的平均功率，是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上式真数中的1可以忽略不计．若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（附　　
A． B． C． D．
7．某购物网站在2022年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额折后）满300元时可减免60元”．某人在11日当天欲购入原价48元（单价）的商品共45件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为　　
A．7 B．6 C．5 D．4
8．某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过．若该溶质的半成品含杂质，且每过滤一次杂质含量减少，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤　　
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
9．我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”用现代汉语叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前日的一半．现把“一尺之棰”长度看成单位“1”，则第一日所取木棒长度为，那么前四日所取木棒的总长度为　　
A．1 B． C． D．
10．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是　　
（参考数据：，，，．
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
11．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量（单位：与时间（单位：年）近似满足关系式，，其中为抗生素的残留系数，当时，，则　　
A． B． C． D．
12．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在扩增过程中的靶标进行实时检测．已知被标靶的在扩增期间，每扩增一次，的数量就增加．若被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，则的值约为　　．（参考数据：，
A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1
13．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则鲑鱼以游动时的耗氧量是它静止时的耗氧量的　　
A．7倍 B．8倍 C．9倍 D．10倍
14．按复利计算利息的一种储蓄，本息和（单位：万元）与储存时间（单位：月）满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）若本金为5万元，在第22个月时本息和为20万元，则在第33个月时本息和是　　万元．
A．36 B．40 C．50 D．60
15．第19届亚洲运动会将于2022年9月10日至2022年9月25日在浙江省杭州市举行，换上智慧脑、聪明肺的黄龙体育中心将承办足球、体操、水球等项目．为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量）．如果前4小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要　　
A．3.6小时 B．3.8小时 C．4小时 D．4.2小时
二．多选题（共5小题）
16．树人中学的“希望工程”中，甲、乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动．两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第，天募得的捐款数为元．若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则　　
A．
B．甲小组募得捐款为9550元
C．从第7天起，总有
D．，且
17．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是　　
A．消耗汽油，乙车最多可行驶
B．甲车以的速度行驶消耗约汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80千米小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
18．如图，假定两点，相同的初速度运动．点沿直线做匀速运动，；点沿线段（长度为个单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离．令与同时分别从，出发，那么，定义为的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示与的对应关系就是，其中为自然对数的底数．
则下列结论正确的是　　
A．当点在线段的三等分点（靠近点时，
B．当点在线段的中点时，
C．当点从线段的三等分点（靠近点移动到中点时，经过的时间为
D．当点从线段的三等分点（靠近点移动到中点时，经过的时间为
19．某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量．降雨量的等级划分如下：
等级 降用量
小雨
中雨 ，
大雨 ，
暴雨 ，
大暴雨 ，
特大暴雨 ，
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为，瓶口高度为收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是　　
A． B． C． D．
20．地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知，其中为地震震级．下列说法正确的是　　
A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B．若地震震级增加1级，则放出的能量增加到原来的10倍
C．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍
D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量增加到原来的1000倍
三．填空题（共5小题）
21．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是 ．
①浮萍每月的增长率为2；
②浮萍每月增加的面积都相等；
③第4个月时，浮萍面积不超过；
④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则．
22．已知，两城市的距离是、根据交通法规，两城市之间的公路车速应限制在，假设油价是6元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，其它费用是36元．为了这次行车的总费用最少，那么最经济的车速是 （精确到，参考数据
23．个人所得税是指以个人所得为征税对象，并由获取所得的个人缴纳的一种税，我国现行的个人所得税政策主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）收入个税起征点五险一金（个人缴纳部分）累计专项附加扣除；专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用，每月扣除2000元，②子女教育费用，每个子女每月扣除1000元，个税政策的税率表部分内容如下：
级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过3000元的部分
2 超过3000元至12000的部分
3 超过12000元至25000的部分
现王某每月收入为30000元，每月缴纳五险一金（个人缴纳部分）6000元，有一个在读高一的独生女儿，还需独自赡养老人，除此之外无其他专项附加扣除，则他每月应缴纳的个税金额为 ．
24．中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资费“个性化套餐”，具体方案如表：
方案代号 基本月租（元 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元分钟）
1 30 48 0.60
2 98 170 0.60
3 168 330 0.50
4 268 600 0.45
5 388 1000 0.40
6 568 1700 0.35
7 788 2588 0.30
某用户的月通话量平均为320分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择方案 较合算．
25．中国古代数学著作《九章算术》中记载买鸡问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”设人数为，鸡价为，则那么， ， ．
四．解答题（共3小题）
26．某公司有两种活期理财产品，投资周期最多为一年，产品一：投资1万元，每月固定盈利40元．产品二：投资1万元，前个月的总盈利（单位：元）与的关系式为．已知小明选择了产品二，第一个月盈利10元，前两个月盈利30元．
（1）求的解析式；
（2）若小红有1万元，根据小红的投资周期的不同，探讨她在产品一和产品二中选择哪一个，才能获得最大盈利．
27．人对声音的感觉与它的强度有关，声音的强度用（单位：表示，但在实际测量时，声音的强度水平用（单位：分贝）表示，它们满足以下公式：，其中，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端．
（1）若树叶沙沙声的强度，耳语的强度，恬静的无线电广播的强度，分别求出它们的强度水平；
（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度范围为多少？
28．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元
超过但不超过的部分 6元
超过的部分 9元
（1）求出每月用水量和水费之间的函数关系；
（2）若某户居民某月交纳的水费为54元，则此月此户居民的用水量为多少？阶段检测（二）
基本初等函数
考试范围：基本初等函数；考试时间：150分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且（2），则　　
A．5 B．4 C．3 D．0
【解答】解：，以为对称中心，且（1），
，即，
为偶函数，以轴为对称轴，
，即，
由知，，
，，
从而，即，
的周期为4，的周期为4，
故（2）（1）．
故选：．
2．已知是定义在上的奇函数，且满足，当，，则　　
A．0 B． C．1 D．
【解答】解：因为是定义在上的奇函数，且满足，
所以，，
则，即，
则，
即是以4为周期的周期函数，
又，当时，，
所以（3）（1）．
故选：．
3．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，（1），则不等式的解集为　　
A．，， B．
C．，， D．，，
【解答】解：因为是向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是，
所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以（1），
对任意的，，且，都有成立，
所以，
令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增，
由是上的奇函数可得是，，上的偶函数
所以在上单调递减，
当时，不等式得到，矛盾；
当时，转化成即（1），
所以；
当时，转化成，，所以，
综上所述，不等式的解集为，，．
故选：．
4．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当，时，，则在区间，内关于的方程的根的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：是定义在上的偶函数，对任意的，都有，
，
即，即函数的周期是4．
当，时，，，
此时，
即，，．
由得：
，
分别作出函数和图象如图：
则由图象可知两个图象的交点个数为4个，
即方程的根的个数为是4个．
故选：．
5．游戏一共有20波，你在一波结束时每有点“收获”便获得点材料和经验，获得材料和经验后，你的收获增加，每波获得的经验都可以以的比例转化为收获，每波材料的通货膨胀率为，若你一开始拥5点收获，则20波结束时，你能获得的材料真实收益约为　　，，，，
A．445 B．447 C．449 D．451
【解答】解：设第波时收获为，则易知，
则数列构成公比是1.25的等比数列，首项，
则，
每波材料的通货膨胀率为，
第波时收获的真实收益为，
由题意知20波结束时，你能获得的材料真实收益约为，
又设，则，，
即，
即，则，即，
注意到，
故．
故选：．
6．设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，，，
因为在定义域内单调递减，
所以（3）（1），
即，
因为在定义域内单调递增，
所以，
即，
因为在定义域内单调递增，
所以（1）（2），
即，
综上：．
故选：．
7．已知，，，，，2，3，，使恒成立的有序数对有　　
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解答】解：因为，，
所以的定义域为，
要想恒成立，即恒成立，
即恒成立，恒成立，
设，，
则，
所以当时，（3），
使恒成立的可取1，
所以当时，（1），
使恒成立的可取1，2，3，
所以一共有，，，共4种．
故选：．
8．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　
A．，， B．， C．，， D．，
【解答】解：由对数函数的定义可知，且，
当时，单调递增，，故
因为，则，
所以，解得，与求交集，得到，
当时，单调递减，，故，
由于当时，，故此时无解，
综上：实数的取值范围是，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．已知函数，且的对称中心为，当，时，，则下列选项正确的是　　
A．在上单调递减
B．的最小值是
C．在上的函数值大于0
D．的图像关于直线对称
【解答】解：根据可得为偶函数，对称中心为，可知的图象关于对称，
结合，时，，可画出的部分图象如下：
由图象可知：的最小值是，在上单调递增，
的图像关于直线对称，在上的函数值小于0，
故不正确，正确．
故选：．
10．对于两个均不等于1的正数和，定义：，，则下列结论正确的是　　
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，，则
【解答】解：选项：当时，，即，即；
当时，，即，即．
综上，当时，或，则错误；
选项：由及，得，即，
即，即或，即或．由，得，从而可得，则正确；
选项：若，则，
而由，得，所以成立，则正确；
选项：由指数函数是减函数，且，可得；
由幂函数是增函数，且，可得，于是，
所以，同理，，
所以，则错误．
故选：．
11．已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值可以为　　
A． B． C． D．
【解答】解：作出函数的图象如下：
因为关于的方程有5个不同的实根，
令，则方程有2个不同的实根，，
则△，解得或，
若，则或，
令，或，
解得，得；
当时解得，此时，解得，，不符合题意，故舍去，
综上可得．
故选：．
12．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当，时，，若方程，在，上恰有5个实数解，则　　
A．的周期为4 B．在，上单调递减
C．的值域为， D．
【解答】解：对于，因为是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，
所以，，
则，则函数的周期为4，选项正确；
对于，当，时，，可得在，上单调递增，则函数在，上单调递增，选项错误；
对于，，（2），故的值域为，，选项错误；
对于，作出函数与的图象如下所示，
由图可知，要使与在，上恰有5个实数解，则需，即，
解得，选项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．已知函数，，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：①当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，
，则，
，
，，，，，
或或，
；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，
，即，；
②当时，在，上单调递增，
，
，，因此满足题意；
综上，的取值范围为．
故答案为：．
14．函数，当时，，则的取值范围为 　　．
【解答】解：函数，当时，不等式可化为；
设，，
则在上为增函数，且（b），
当时，，则有时，，
当时，，
即必过点，
则（b），解得，
所以，
则满足的另一个零点，
即，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
15．已知当时，不等式且恒成立，则的取值范围是　　．
【解答】解：，，
当时，不等式恒成立，转化为，
即，而，
；
当时，不等式恒成立，转化为，
即，
，，
．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
16．已知函数，函数，若存在两个不同零点，则的取值范围为　或　
【解答】解：作出函数的函数图象，如图所示：
函数存在两个不同零点，等价于方程有2个不等的实根，
即与有2个不同的交点，
由图当与图像相切满足题意，
此时有两个相等实根，则△，
解得，
又由图，当，即时满足题意，
综上所述，的取值范围为或．
故答案为：或．
四．解答题（共6小题）
17．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若（a），求实数的值；
（3）若，求证：为偶函数，并求的解集．
【解答】解：（1）要使得有意义，只需，得，故得，
所以函数的定义域为；
（2）因为（a），得，即，解得；
（3）因为，
由，得或，则的定义域为，，，
又，所以为偶函数；
由，得，则，所以或，
所以的解集为或．
18．已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值，判断函数的单调性并用定义证明；
（2）若，解关于的不等式：．
【解答】解：（1）是定义在上的奇函数，
（1），
，
当时，，经检验此时为奇函数符合题意，
函数单调递减，证明如下：
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
在上单调递减；
（2）在上单调递减，
，
，即，
，，
当，则；当，则，
综上，当时，；当时，则．
19．（1）已知函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）已知函数，集合，若任意的，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得，
由对勾函数的性质可知在，上单调递减，
所以；
由指数的性质可知在，上单调递增，
所以（2），
所以，解得，
所以的取值范围为，；
（2）由题意可知，
又因为图象开口向上，对称轴为，
当时，函数在，上为增函数，
则，（2），
由，解得；
当时，在区间，上为减函数，在，上为增函数，
（a），（2），
由，解得；
当时，函数在区间，上为减函数，在，上为增函数，
（a），，
由，解得；
当时，在，上单调递减，
所以（2），，
由，解得，
综上所述，实数的取值范围为，，．
20．已知函数．
（1）证明：对任意，总存在，使得对恒成立．
（2）若不等式对，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：的定义域为，
因为在上为增函数，在上为增函数，
所以在为增函数，
因为，（1），
所以在内存在唯一的零点，
所以当时，．
故对任意，总存在，使得对恒成立．
（2）由，得．
设函数，为关于的二次函数．
因为对，恒成立，
由图可知，即，
设函数，
在上为增函数，在上为增函数，
则在上为增函数，
因为（1），所以不等式的解集为，
而当时，显然成立，
所以的取值范围为．
21．若函数在，时，函数值的取值区间恰为，则称，为的一个“倒域区间”．定义在，上的奇函数，当，时，．
（1）求在，上的解析式；
（2）求的“倒域区间”．
【解答】解：（1）定义在，上的奇函数，当，时，，
当，时，，，
由奇函数的定义可得，
在，上的解析式为；
（2）由（1）得，
在，时，函数值的取值区间恰为，
其中，且，，，则，
只考虑或，
①当时，因为函数（1），则，
，，
函数在，上递减，且在，上递减，且在，上的值域为，
，解得，
函数在，内的“递域区间”为，，
②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
当，时，，
，，
，
在，上单调递减，则，
解得，
在，内的“倒域区间”为，，
综上，函数在定义域内的“倒域区间”为，和，．
22．某家具制造公司欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上．
（1）建立适当的坐标系，设点的横坐标为，求矩形桌面板的面积关于的函数；
（2）求矩形桌面板的最大面积．
【解答】解：（1）以为原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
依题意可设抛物线方程为，且，所以，即，
故点所在曲线段的方程为，
设，是曲线段上的任意一点，
则在矩形中，，，
桌面板的面积为，，；
（2），
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以当时，有最大值，，
矩形桌面板的最大面积为平方米．阶段检测（二）
基本初等函数
考试范围：基本初等函数；考试时间：150分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共8小题）
1．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且（2），则　　
A．5 B．4 C．3 D．0
2．已知是定义在上的奇函数，且满足，当，，则　　
A．0 B． C．1 D．
3．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，，且，都有成立，（1），则不等式的解集为　　
A．，， B．
C．，， D．，，
4．设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当，时，，则在区间，内关于的方程的根的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．游戏一共有20波，你在一波结束时每有点“收获”便获得点材料和经验，获得材料和经验后，你的收获增加，每波获得的经验都可以以的比例转化为收获，每波材料的通货膨胀率为，若你一开始拥5点收获，则20波结束时，你能获得的材料真实收益约为　　，，，，
A．445 B．447 C．449 D．451
6．设，，，则　　
A． B． C． D．
7．已知，，，，，2，3，，使恒成立的有序数对有　　
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
8．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　
A．，， B．， C．，， D．，
二．多选题（共4小题）
9．已知函数，且的对称中心为，当，时，，则下列选项正确的是　　
A．在上单调递减
B．的最小值是
C．在上的函数值大于0
D．的图像关于直线对称
10．对于两个均不等于1的正数和，定义：，，则下列结论正确的是　　
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，，则
11．已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值可以为　　
A． B． C． D．
12．设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，当，时，，若方程，在，上恰有5个实数解，则　　
A．的周期为4 B．在，上单调递减
C．的值域为， D．
三．填空题（共4小题）
13．已知函数，，，其中，，若的最小值为2，则实数的取值范围是 ．
14．函数，当时，，则的取值范围为 ．
15．已知当时，不等式且恒成立，则的取值范围是 ．
16．已知函数，函数，若存在两个不同零点，则的取值范围为
四．解答题（共6小题）
17．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若（a），求实数的值；
（3）若，求证：为偶函数，并求的解集．
18．已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的值，判断函数的单调性并用定义证明；
（2）若，解关于的不等式：．
19．（1）已知函数，若对任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）已知函数，集合，若任意的，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．
20．已知函数．
（1）证明：对任意，总存在，使得对恒成立．
（2）若不等式对，恒成立，求的取值范围．
21．若函数在，时，函数值的取值区间恰为，则称，为的一个“倒域区间”．定义在，上的奇函数，当，时，．
（1）求在，上的解析式；
（2）求的“倒域区间”．
22．某家具制造公司欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知，，且米，曲线段是以点为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在、上，且一个顶点落在曲线段上．
（1）建立适当的坐标系，设点的横坐标为，求矩形桌面板的面积关于的函数；
（2）求矩形桌面板的最大面积．

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