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专题01 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
题型一： 导数的概念 3
题型二： 导数的运算 5
题型三： 导数的几何意义——求切线方程 8
题型四： 导数的几何意义——求切点坐标 12
题型五： 导数的几何意义——求参数的值 14
题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数 16
题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线 18
题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围 20
导数的概念及其意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应的切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(3)导函数的概念：当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝ .
导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln_a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
运算法则
和差 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)
积 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)， 特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商 ′＝ (g(x)≠0)
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
导数的概念
【要点讲解】　求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)得导数,简记作:一差、二比、三极限.
函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
（2023春 儋州校级月考）已知函数，则　　
A．3 B．5 C．7 D．6
【解答】解：根据题意，，则（3），又．
故选：．
（2023春 民勤县校级月考）已知，则　　
A． B． C．1 D．4
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
（2023春 江西月考）若，则　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：，
则，解得．
故选：．
（2023春 青岛期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
则，
故（5）．
故选：．
（2023春 江西月考）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【解答】解：由题意得，故△（1），
故，
即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1．
故选：．
（2023春 驻马店月考）已知某质点的位移与时间的关系式是，则质点在时的瞬时速度为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为质点的位移与时间的关系式是，
所以，
故质点在时的瞬时速度为．
故选：．
导数的运算
【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
（2023春 天祝县校级月考）函数的导函数是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
（2023春 青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于选项，，故错误；
对于选项，，故正确；
对于选项，，故错误；
对于选项，，故错误．
故选：．
（2023春 高新区校级月考）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
则．
故选：．
（2023春 深圳校级月考）已知函数（2），其中是的导函数，则（2）　　
A．12 B．20 C．10 D．24
【解答】解：（2），
则，
令，
则（2），
故，
（2）．
故选：．
（2023春 葫芦岛月考）已知函数（1），则（1）　　
A． B．4 C． D．2
【解答】解：，所以（1）（1），解得（1），
则，故（1）．
故选：．
（2023春 濮阳期末）已知函数，则（2）　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，函数定义域为，
可得，
则（2）．
故选：．
（2023春 河池月考）已知，若，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
令，即，所以．
故选：．
（2023春 梅河口市校级月考）设，若，则　　
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：，，解得：．
故选：．
（2023春 定远县校级期中）设，若在处的导数，则的值为　　
A．0 B． C．3 D．6
【解答】解：，
，解得．
故选：．
导数的几何意义——求切线方程
【要点讲解】求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
（2023春 武功县期中）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是　　
A．（2）（3）（3）（2）
B．（2）（3）（2）（3）
C．（3）（3）（2）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
【解答】解：由函数的图象可知：
当时，单调递增，且当时，，
（2），（3），（3）（2），
由此可知，
直线的斜率逐渐减小，
单调递减，
（2）（3），
为凸函数，
（3）（2）（2），
（3）（3）（2）（2），
故选：．
（2023 麒麟区校级模拟）已知函数与的部分图象如图所示，则　　
A． B．
C．（3）（3） D．（3）（3）
【解答】解：根据题意，由函数的图象，
函数与在区间，上单调递增，则有，，、错误；
在处，和都是增函数，但的图象更陡，则的切线斜率小于的切线斜率，即（3）（3），错误，正确．
故选：．
（2023春 通州区期中）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　
A．（3）（2）（1） B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（3）（2）（1）
【解答】解：由图可得，函数一直单调递增，且递增速度越来越慢，
故（3）（2）（1）．
故选：．
（2023春 恩阳区 期中）的图象如图所示，下列数值的排序正确的是　　
A．（2）（3）（3）（2） B．（3）（3）（2）（2）
C．（3）（2）（3）（2） D．（3）（2）（3）（2）
【解答】解：设，（2），，（3）为的图象上两点，
则（3）为函数在处切线的斜率，
（2）为函数在处切线的斜率，
，
函数为增函数，但增加的越来越慢，
则（3）（3）（2）（2）．
故选：．
（2022秋 衡水月考）已知函数，则曲线在点，（1）处的切线方程为 　　．
【解答】解：，
，
（1），（1），
曲线在点处的切线方程为：
，即，
故答案为：．
（2022 辽宁三模）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点，处的切线方程是 　　．
【解答】解：，，，
，，
所求切线方程为，即．
故答案为：．
（2021春 昌邑市校级月考）曲线，在点处的切线方程为　　．
【解答】解：由，
则，
所以，
所以在点处的切线方程为，
即，
故答案为：．
（2021春 石首市校级月考）已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线相切的直线方程．
【解答】解：（1）
当时，
点处的切线方程为：即：
（2）设切点坐标为
则直线斜率，
而，
整理得到：
解得，，
当时：，直线方程为；
当时，，直线方程为
当时，，直线方程为
导数的几何意义——求切点坐标
【要点讲解】求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
（2023春 海淀区校级期中）若曲线的一条切线的斜率为4，则切点的横坐标为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设切点的横坐标为，
则由题意可得：．
故选：．
（2021秋 开封期末）如图，函数的图象在点处的切线方程是，若点的横坐标是5，则（5）（5）　　
A． B．1 C．2 D．0
【解答】解：函数的图象在点处的切线方程是，
（5），（5），
（5）（5），
故选：．
（2020 沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为　　．
【解答】解：因为，
所以，设切点为，，
，根据题意可得，
，即切点坐标．
故答案为：．
（2023 鹰潭一模）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为　　．
【解答】解：，，
令，则，，
点的坐标是，
故答案为：．
导数的几何意义——求参数的值
【要点讲解】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
（2023春 扬中市校级月考）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，则，且，，
角的范围是：．
故选：．
（2022 呼和浩特模拟）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：设切点为，，过点的切线方程为，
代入点坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，
令，
求导得到，
令，得，或，
令，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
故得到，即
故选：．
（2021春 临渭区期末）设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是　　
A． B．，， C． D．
【解答】解：，，
，，，
故选：．
（2022 新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 　，，　．
【解答】解：，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，
故答案为：，，．
若曲线为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则值可以是　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：，设切点坐标为，，
切线的斜率，
切线方程为，
又切线过原点，，
整理得：，
切线存在两条，方程有两个不等实根，
△，解得或，
即的取值范围是，，，所以正确；
故选：．
公切线问题的求法——判断公切线的条数
【要点讲解】解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
（2023 广东模拟）曲线与的公共切线的条数为 　2　．
【解答】解：设曲线上的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
由得，
则，
所以，
所以曲线上的切点为，，
所以切线方程为，
所以，
所以，
在同一坐标系中作出曲线和的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
（2023秋 镇江期末）曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为　1　．
【解答】解：设与曲线和曲线相切的切点分别为，，
则，，，
由，，
即有，
即，，
即为，，
令，则有，
令，
，递增，
（2），（3），
由零点存在定理可得有且只有一个实根，
即有唯一，唯一，
则有公切线的条数为1．
故答案为：1．
公切线问题的求法——求两曲线的公切线
【要点讲解】
（2023秋 岳阳楼区校级月考）已知为自然对数的底数），，直线是与的公切线，则直线的方程为 　或　．
【解答】解：根据题意，设直线与相切于点，与相切于点，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
对于，其导数为，
则有，
则直线的方程为，即，
直线是与的公切线，
则，
变形可得：，
则或0，
当时，直线的方程为，
当时，直线的方程为；
故直线的方程为或；
故答案为：或．
（2023春 涪城区校级期中）若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则　0　．
【解答】解：，，
如图所示，设公切线与相切于，，与相切于，，则有以下关系：
，求得，
故公切线方程为，所以，
即，．
故答案为：0．
（2020春 丽江期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则　　．
【解答】解：根据题意，设与的切点为，，
与的切点为，；
对于，其导数，则切线的斜率，
切线的方程为，即；
对于，其导数，
则切线的斜率，
切线的方程为，
即；
又由直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
则有，且；
若，则，
则；解可得，；
则；
故答案为：．
公切线问题的求法——求参数的值或范围
（2023春 靖江市校级月考）已知曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 　，　．
【解答】解：由，得，由，得，
设直线分别与、切于，、，，
则直线的方程为，，
即，．
，可得．
令，则，
则当时，，单调递增，
当，时，，单调递减．
．
又当时，，当时，，
，，可得，．
故答案为：，．
（2023 唐山三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：设公切线与曲线和的切点分别为，，，其中，
对于有，则上的切线方程为，即，
对于有，则上的切线方程为，即，
所以，有，即，
令，，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，故，即．
正实数的取值范围是．
故答案为：．
（2022秋 安徽月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，，．
设公切线与的图象切于点，
与的图象切于点，，
，
，
，
，
．
设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，
实数的最大值为，
故选：．
（2022秋 淅川县校级月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，得，，
设公切线与的图象切于点，与曲线切于点，，
，得，
，可得，
，，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，可得实数的最大值为．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，由，解得或（舍去），
因为，则，
当时，，
故选：．
2．一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在，内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，
，
，
，
故选：．
3．若函数在处的导数为2，则　　
A．2 B．1 C． D．6
【解答】解：由题意可知（1），
则（1）．
故选：．
4．已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
【解答】解：由题意得，故△（1），
故，
即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1．
故选：．
5．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则　　
A．（1）（2）
B．（2）（1）
C．（2）（1）
D．（2）（1）
【解答】解：由函数图象可知，当时，函数匀速递增，
故是一个大于0的常数，
当时，函数递减，且递减幅度越来越快，
，且单调递减，
则（2）（1），
故选：．
6．一个质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系，则质点在时的瞬时速度为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
质点在时的瞬时速度为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是　　
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
【解答】解：在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故选项错误；
在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故选项错误；
在到范围内，，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项正确；
在0到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
所以甲的平均速度大于乙的平均速度，故选项正确．
故选：．
8．在附近，取△，下列函数中平均变化率为负数的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：对于，平均变化率为1，故错误；
对于，平均变化率为，故错误；
对于，平均变化率为，故正确；
对于，平均变化率为，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　．
【解答】解：由题意，如图，设时刻水面高为，水面圆半径是，
由图知可得，此时水的体积为，
又由题设条件知，此时的水量为，
故有，
故有，
，
又当时，此时，
故时，，
当水深为时，水升高的瞬时变化率，
故答案为：．
10．函数在，处的切线与直线垂直，则实数的值为　　．
【解答】解：，，
在，处的切线斜率为3，直线的斜率为，
在，处的切线与直线垂直，
，解得．
故答案为：．
11．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 　　．
【解答】解：因为，
所以，
设切点为，
则，所以，解得，
所以，即切线的斜率为．
故答案为：．
12．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：与时间（单位：之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为 　13.5　．
【解答】解：，，
则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为，
故答案为：13.5．
四．解答题（共3小题）
13．已知质点按照规律（距离单位：，时间单位：运动，求：
（1）质点开始运动后内的平均速度；
（2）质点在到内的平均速度；
（3）质点在时的瞬时速度．
【解答】解：（1）时，，
所以平均速度；
（2）时，，
所以到内的平均速度；
（3）因为，
所以在时的瞬时速度为：．
14．求函数在区间，上的平均变化率．
【解答】解：函数在区间，上的平均变化率．
故其平均变化率为．专题01 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
题型一： 导数的概念 3
题型二： 导数的运算 4
题型三： 导数的几何意义——求切线方程 6
题型四： 导数的几何意义——求切点坐标 9
题型五： 导数的几何意义——求参数的值 10
题型六： 公切线问题的求法——判断公切线的条数 11
题型七： 公切线问题的求法——求两曲线的公切线 11
题型八： 公切线问题的求法——求参数的值或范围 11
导数的概念及其意义
(1)导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′| x＝x0，即f ′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义：函数y＝f (x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应的切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
(3)导函数的概念：当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f ′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称导数)．y＝f (x)的导函数有时也记作y′，即f ′(x)＝y′＝ .
导数的运算
(1)基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝αxα－1
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin_x
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln_a
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ln x f ′(x)＝
(2)导数的四则运算法则
运算法则
和差 [f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)
积 [f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)， 特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)
商 ′＝ (g(x)≠0)
(3)简单复合函数的导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．它的导数与函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
导数的概念
【要点讲解】　求函数y=f(x)在点x0处导数的步骤
(1)求函数的增量
(2)求平均变化率
(3)得导数,简记作:一差、二比、三极限.
函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
（2023春 儋州校级月考）已知函数，则　　
A．3 B．5 C．7 D．6
（2023春 民勤县校级月考）已知，则　　
A． B． C．1 D．4
（2023春 江西月考）若，则　　
A．1 B．2 C． D．
（2023春 青岛期中）质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度为　　
A． B． C． D．
（2023春 江西月考）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
（2023春 驻马店月考）已知某质点的位移与时间的关系式是，则质点在时的瞬时速度为　　
A． B． C． D．
导数的运算
【要点讲解】(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
（2023春 天祝县校级月考）函数的导函数是　　
A． B．
C． D．
（2023春 青铜峡市校级期中）下列求导数运算中正确的是　　
A． B．
C． D．
（2023春 高新区校级月考）已知，则　　
A． B． C． D．
（2023春 深圳校级月考）已知函数（2），其中是的导函数，则（2）　　
A．12 B．20 C．10 D．24
（2023春 葫芦岛月考）已知函数（1），则（1）　　
A． B．4 C． D．2
（2023春 濮阳期末）已知函数，则（2）　　
A． B． C． D．
（2023春 河池月考）已知，若，则等于　　
A． B． C． D．
（2023春 梅河口市校级月考）设，若，则　　
A．1 B． C．3 D．
（2023春 定远县校级期中）设，若在处的导数，则的值为　　
A．0 B． C．3 D．6
导数的几何意义——求切线方程
【要点讲解】求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
（2023春 武功县期中）函数的图象如图所示，则下列关系正确的是　　
A．（2）（3）（3）（2）
B．（2）（3）（2）（3）
C．（3）（3）（2）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
（2023 麒麟区校级模拟）已知函数与的部分图象如图所示，则　　
A． B．
C．（3）（3） D．（3）（3）
（2023春 通州区期中）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是　　
A．（3）（2）（1） B．（1）（2）（3）
C．（1）（2）（3） D．（3）（2）（1）
（2023春 恩阳区 期中）的图象如图所示，下列数值的排序正确的是　　
A．（2）（3）（3）（2）
B．（3）（3）（2）（2）
C．（3）（2）（3）（2）
D．（3）（2）（3）（2）
（2022秋 衡水月考）已知函数，则曲线在点，（1）处的切线方程为 ．
（2022 辽宁三模）已知函数的图象经过坐标原点，则曲线在点，处的切线方程是 ．
（2021春 昌邑市校级月考）曲线，在点处的切线方程为 ．
（2021春 石首市校级月考）已知曲线．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求过点并与曲线相切的直线方程．
导数的几何意义——求切点坐标
【要点讲解】求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
（2023春 海淀区校级期中）若曲线的一条切线的斜率为4，则切点的横坐标为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2021秋 开封期末）如图，函数的图象在点处的切线方程是，若点的横坐标是5，则（5）（5）　　
A． B．1 C．2 D．0
（2020 沈阳三模）过点作曲线的切线，则切点坐标为 ．
（2023 鹰潭一模）已知曲线在点，处的瞬时变化率为，则点的坐标为 ．
导数的几何意义——求参数的值
【要点讲解】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
（2023春 扬中市校级月考）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是　　
A． B． C． D．
（2022 呼和浩特模拟）若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．
（2021春 临渭区期末）设点是曲线上的任意一点，点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是　　
A． B．，， C． D．
（2022 新高考Ⅰ）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ．
若曲线为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则值可以是　　
A． B． C．0 D．1
公切线问题的求法——判断公切线的条数
【要点讲解】解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
（2023 广东模拟）曲线与的公共切线的条数为 ．
（2023秋 镇江期末）曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 ．
公切线问题的求法——求两曲线的公切线
【要点讲解】
（2023秋 岳阳楼区校级月考）已知为自然对数的底数），，直线是与的公切线，则直线的方程为 ．
（2023春 涪城区校级期中）若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则 ．
（2020春 丽江期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
公切线问题的求法——求参数的值或范围
（2023春 靖江市校级月考）已知曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 ．
（2023 唐山三模）已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为 ．
（2022秋 安徽月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
（2022秋 淅川县校级月考）若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为　　
A． B． C． D．
一．选择题（共6小题）
1．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为．假设“绿巨人”开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则出站后“绿巨人”速度首次达到时加速度为　　
A． B． C． D．
2．一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在，内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则　　
A． B． C． D．
3．若函数在处的导数为2，则　　
A．2 B．1 C． D．6
4．已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为　　
A．1 B．1.1 C．2 D．2.1
5．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则　　
A．（1）（2）
B．（2）（1）
C．（2）（1）
D．（2）（1）
6．一个质点沿直线运动，位移（单位：与时间（单位：之间的关系，则质点在时的瞬时速度为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．如图所示物体甲、乙在时间0到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是　　
A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
8．在附近，取△，下列函数中平均变化率为负数的是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
9．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　．
10．函数在，处的切线与直线垂直，则实数的值为　　．
11．曲线的一条切线经过点，则该切线的斜率为 　　．
12．2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程（单位：与时间（单位：之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪瞬时速度为 　　．
四．解答题（共2小题）
13．已知质点按照规律（距离单位：，时间单位：运动，求：
（1）质点开始运动后内的平均速度；
（2）质点在到内的平均速度；
（3）质点在时的瞬时速度．
14．求函数在区间，上的平均变化率．专题02 导数与函数的单调性
目录
题型一： 函数的单调性 2
题型二： 含参数的函数的单调性 5
题型三： 函数单调性的应用——比较大小或解不等式 8
题型四： 函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围 12
题型五： 函数单调性的应用——构造函数 16
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递增；如果f ′(x)<0，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递减．
利用导数判断函数f (x)单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
【常用结论与知识拓展】
1．在某区间内，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
2．构造函数解抽象不等式
(1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B．
(2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)．
(3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)．
(4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝.
(5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x.
函数的单调性
【要点讲解】求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f'(x).
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间.
(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
确定不含参数的函数的单调性,应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）函数的递增区间为，，，递减区间为，，，
则函数的递增区间为，，，递减区间为，，．
（2）函数的递增区间为，，，递减区间为，，，
则函数的递减区间为，，，递增区间为，，．
（3）由，，得，，即，即函数的递增区间为，，．
由，，得，，即，即函数的递减区间为，，．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）函数的增区间，即函数的减区间，为，，；
函数的减区间，即函数的增区间，为，，．
（2）对于函数，令，，求得，，
可得函数的增区间为，，．
令，，求得，，
可得函数的减区间为，，．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1），令，，得，，
令，，得，，
则单调增区间为，，；单调减区间为，，；
（2），令，，得，，
令，，得，，
则单调增区间为，，；单调减区间为，，；
（3），令，，得，，
令，，得，，
则单调增区间为，，；单调减区间为，，；
（4），根据正切函数的特点，此函数没有单调减区间，
令，，，，
则单调增区间为，，．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得函数的定义域为，，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在，上单调递增；
（2）由题意得函数定义域为，，
当时，，由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得或，
，
由得或，由得，
在，上单调递减，在和上单调递增．
含参数的函数的单调性
【要点讲解】函数在某区间上的单调性的讨论
(1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件: x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
(3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的问题.要注意“=”能否取到.
研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
（2023春 凉山州期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1），
，
①时，，在递增，
②时，令，解得，令，解得，
故在递增，在，递减，
综上：时，在递增，
时，在递增，在，递减．
（2023春 天祝县校级月考）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）当时，，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以当时，（2），无极小值．
（2），
令，，
当时，，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
当时，令得或2，
若，即时，在上，，单调递增，
若，即时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
若，即时，在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
在上，，单调递增，
当时，令得或2，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增．
（2023春 合肥期中）设函数．
（1）求的单调区间；
【解答】解：（1）的定义域为，，
若，则，在上单调递增；
若，由，解得．
当变化时，，变化如下表：
0
减 极小值 增
所以的单调减区间是：，增区间是：．
（2023春 武功县期中）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
【解答】解：（1）由题意得函数定义域为，，
当时，恒成立，
当时，由得，由得，由得，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2023春 江宁区期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）由，得，
①当时，，在上单调递减，
②当时，令，得，
当时，，单调递增，
，，单调递减；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在递增，在递减．
函数单调性的应用——比较大小或解不等式
【要点讲解】1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较.
2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式.
3.常构造的辅助函数:，，，,,等.
（2023春 青岛期中）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，，，
令，
则，
由得，即在上单调递减，
又，则（e）（4）（5），即，
．
故选：．
（2023春 天祝县校级月考）已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
，
，
，
因为，
所以，
所以，
故选：．
（2023春 齐齐哈尔月考）已知，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则．
令，解得．
则在上单调递减．
，，
．
又，，
．
故选：．
（2023春 辽宁期中）设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
令，，
，
由得，
在上单调递减，
，，
即，
；
，
设，则，
则，
当时，，
，
在单调递减，
又，则，
，
，即，
．
故选：．
函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围
【要点讲解】1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
（2023春 民勤县校级月考）已知函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：函数在，上单调递增，
即在，恒成立，
则在，恒成立，
而在处取得的最大值0，
所以．
故选：．
（2023春 驻马店月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　
A． B．， C． D．
【解答】解：因为在上单调递增，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以任意，恒成立，
所以，
故选：．
（2023春 武安市校级月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，函数定义域为，
①当时，，即函数单调递减，
当时，函数在区间内存在单调递减区间，符合题意；
②当时，由得，
当时，，即在单调递减；
当时，，即在上单调递增，
函数的减区间为，增区间为，
若函数在区间内存在单调递减区间，
只需满足，解得，
综上所述，，即实数的取值范围是．
故选：．
（2023春 濮阳期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：的定义域为，，
得，；得，；
函数定义域内的一个子区间内不是单调函数，
，
．
故选：．
（2023春 石景山区校级期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数在区间，上单调递减，，
在区间，上恒成立，
在区间，上恒成立，
，
又函数在，上单调递减，
当时，函数，，取最大值，且最大值为，
，即的取值范围为．
故选：．
（2023春 利州区校级期中）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：由题意得，函数定义域为，
函数有三个单调区间，
有两个不相等的实数根，
，即实数的取值范围是．
故选：．
（2023春 永昌县校级期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为　　
A． B．，，
C． D．
【解答】解：由题意得，
在上不单调，
在上有极值点，
当时，在上恒成立，在上单调递减，不满足题意；
当时，由得，则，解得，
故实数的取值范围为，．
故选：．
（2023春 西夏区校级月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，
在区间上恒成立，
而在区间上单调递减，，
，．
故选：．
（2023春 洛阳月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：由题意得，，
函数在上单调递增，
在上恒成立，即在上恒成立，
令，
，即实数的取值范围是，．
故选：．
函数单调性的应用——构造函数
【要点讲解】解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题
（2023春 上高县校级期末）已知若为定义在上的偶函数，且当，时，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设，
则，
若为偶函数，则，即可得函数为偶函数，
又由当，时，，则单调递增，则在，上递减，
则，解可得，
即不等式的解集为，；
故选：．
（2023春 平度市期末）定义在上的函数满足，且时，，则　　
A． B．
C．（4）（2） D．
【解答】解：令，则，
因为时，，
所以时，，单调递增，
所以（4）（3）（2），（1），
即，所以（4）（2），故错误；
（2）（1），（3）（1），（4）（3），
因为定义在上的函数满足，
所以（4），（3）（3），（2），（1），
所以，即，故正确；
所以，即，故错误；
所以，即，故错误．
故选：．
（2023春 东莞市期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，
解得．
故选：．
（2023春 静海区期中）已知是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且，，则不等式的解集为　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因为为偶函数，
所以，所以，
即函数是周期为4的周期函数，
因为（1），
令，则，
因为，
则，即在上单调递减，
由不等式可得，即（1），
解得，即不等式的解集．
故选：．
（2023春 高陵区校级期中）设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：设，
则，
当时总有成立，
即当时，，
当时，函数为减函数，
又，
是奇函数，
在上是减函数，
，
，
（1），
当，要使得，
即，解得：，
当时，要使得，
即，解得：，
故不等式的解集是，，，
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 西青区期末）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
，
因为对任意的，都有，
所以对任意的，都有，
所以对任意的，都有，单调递增，
不等式可化为，进而可得，
所以，
所以，
故选：．
2．（2023春 涪城区校级期中）函数定义域为，其导函数为，若，，且（1），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
则
故在单调递减，
又因为（1）（1），
所以不等式等价于（1），故．
故选：．
3．（2023春 鄠邑区期末）如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是　　
A．函数在上的图象越来越陡
B．1不是函数的极值点
C．在处切线的斜率小于零
D．在区间上单调递增
【解答】解：由的图象可知，导函数在上单调递增，
所以函数在上的图象越来越陡，故选项正确；
因为当时，在该点的左、右两侧的导函数值均为正，
所以1不是函数的极值点，故选项正确；
因为，
所以在 处切线的斜率大于零，故选项错误；
在区间上，，
所以函数在上单调递增，故选项正确．
故选：．
4．（2023春 和平区期末）若函数在，上存在单调递减区间，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．
【解答】解：因为在，上单调递减，
所以存在，时，，
即存在，，，
令，，，
则由题意可知，只需，
而，
因为，，所以，，
所以（此时，
所以，
所以的取值范围是，
故选：．
5．（2023春 桃江县期末）已知，，，其中为自然对数的底数，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设，，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递减，
则，
所以函数在定义域上单调递减，
则，
当时，，
即，
则，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
此时，
则，
即，
可得，
则，
故．
故选：．
6．（2023春 顺德区校级月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，函数定义域为，
①当时，，即函数单调递减，
当时，函数在区间内存在单调递减区间，符合题意；
②当时，由得，
当时，，即在单调递减；
当时，，即在上单调递增，
函数的减区间为，增区间为，
若函数在区间内存在单调递减区间，
只需满足，解得，
综上所述，，即实数的取值范围是．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春 杭州期中）已知函数，则下列结论中正确的是　　
A．导函数的单调递减区间为
B．的图象关于点中心对称
C．过原点只能作一条直线与的图象相切
D．恰有两个零点
【解答】解：因为，所以，
则导函数为对称轴是，且开口向上的抛物线，
故其单调减区间为，错误；
因为，
所以的图象关于点中心对称，正确；
设过原点的直线与相切于点，，
则，整理得，
令，，
令，得或，令，得，
故有极大值，极小值（1），
由三次函数性质得只有一个解，
则过原点只能作一条直线与的图象相切，正确；
令，得或，令，得，
所以函数有极大值，极小值（2），
由三次函数性质得有三个解，即有三个零点，
故错误．
故选：．
8．（2022秋 安丘市期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是　　
A．（a）（e）（d）
B．函数在，上递增，在，上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为（b）
【解答】解：由导数与函数单调性的关系知，当时递增，时递减，
结合所给图象知，时，，
在上单调递增，
时，，
在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值；
（c）（e），
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 松江区校级期中）若函数在，上严格增，那么的取值范围是 　，　．
【解答】解：函数在，上严格增，
在，上恒成立，
在，上恒成立，
而在，上的最大值是2，
故的取值范围是，，
故答案为：，．
10．（2023春 阳高县校级期末）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　，　．
【解答】解：因为，
所以函数为奇函数，
又，所以函数为增函数，
由，可知，，即，解之得，
故答案为：，．
11．（2023春 叙州区校级期中）函数的单调递减区间为　，和　．
【解答】解：，因为定义域为，，，
所以时，，所以单调减区间为．
故答案为：．
12．（2023 徐汇区校级三模）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：令，
因为，
则，
所以，即为偶函数，
因为在上，
所以，
故在上单调递增，在上单调递减，
由可得，
所以，
故，
所以，
解得．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春 鄄城县校级月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）由题意得函数的定义域为，则，
①当时，；
②当时，由得，由得，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
14．（2023春 浙江月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
【解答】解：（1）当时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数单调递减区间为，单调递增区间为；
15．（2023 雅安三模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
当时，恒成立，单调递减，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．专题02 导数与函数的单调性
目录
题型一： 函数的单调性 2
题型二： 含参数的函数的单调性 5
题型三： 函数单调性的应用——比较大小或解不等式 7
题型四： 函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围 7
题型五： 函数单调性的应用——构造函数 9
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递增；如果f ′(x)<0，那么函数y＝ f (x)在区间(a，b)上单调递减．
利用导数判断函数f (x)单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f (x)在定义域内的单调性．
【常用结论与知识拓展】
1．在某区间内，f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件．可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(减)的充要条件是对 x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)且f ′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
2．构造函数解抽象不等式
(1)对于不等式f ′(x)>k(k≠0)，构造函数g(x)＝f (x)－kx＋B．
(2)对于不等式xf ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝xf (x)；对于不等式xf ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)．
(3)对于不等式xf ′(x)＋nf (x)>0，构造函数g(x)＝xnf (x)；对于不等式xf ′(x)－nf (x)>0，构造函数g(x)＝(x≠0)．
(4)对于不等式f ′(x)＋f (x)>0，构造函数g(x)＝exf (x)；对于不等式f ′(x)－f (x)>0，构造函数g(x)＝.
(5)对于不等式f ′(x)sin x＋f (x)cos x>0(或f (x)＋f ′(x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)sin x；对于不等式f ′(x)cos x－f (x)sin x>0(或f ′(x)－f (x)tan x>0)，构造函数g(x)＝f (x)cos x.
函数的单调性
【要点讲解】求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f'(x).
(3)在定义域内解不等式f'(x)>0,得单调递增区间.
(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
确定不含参数的函数的单调性,应注意一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
求下列函数的单调区间：
（1）；
（2）．
含参数的函数的单调性
【要点讲解】函数在某区间上的单调性的讨论
(1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的充分不必要条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件: x∈(a,b),都有f'(x)≥0(或f'(x)≤0),且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
(3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立的问题.要注意“=”能否取到.
研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.
（2023春 凉山州期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2023春 天祝县校级月考）已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论的单调性．
（2023春 合肥期中）设函数．
（1）求的单调区间；
（2023春 武功县期中）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2023春 江宁区期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
函数单调性的应用——比较大小或解不等式
【要点讲解】1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较.
2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式.
3.常构造的辅助函数:，，，,,等.
（2023春 青岛期中）已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
（2023春 天祝县校级月考）已知，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
（2023春 齐齐哈尔月考）已知，，，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
（2023春 辽宁期中）设，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
函数单调性的应用——根据函数的单调性求参数的范围
【要点讲解】1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
（2023春 民勤县校级月考）已知函数在，上单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B． C． D．
（2023春 驻马店月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　
A． B．， C． D．
（2023春 武安市校级月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
（2023春 濮阳期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
（2023春 石景山区校级期中）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
（2023春 利州区校级期中）若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．，
（2023春 永昌县校级期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为　　
A． B．，，
C． D．
（2023春 西夏区校级月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
（2023春 洛阳月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
函数单调性的应用——构造函数
【要点讲解】解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来,合理构造出相关的可导函数,然后利用该函数的性质解决问题
（2023春 上高县校级期末）已知若为定义在上的偶函数，且当，时，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
（2023春 平度市期末）定义在上的函数满足，且时，，则　　
A． B．
C．（4）（2） D．
（2023春 东莞市期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
（2023春 静海区期中）已知是定义在上的偶函数，其导函数为，若，且，，则不等式的解集为　　
A． B． C．， D．，
（2023春 高陵区校级期中）设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 西青区期末）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
2．（2023春 涪城区校级期中）函数定义域为，其导函数为，若，，且（1），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
3．（2023春 鄠邑区期末）如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是　　
A．函数在上的图象越来越陡
B．1不是函数的极值点
C．在处切线的斜率小于零
D．在区间上单调递增
4．（2023春 和平区期末）若函数在，上存在单调递减区间，则实数的取值范围为　　
A． B． C．， D．
5．（2023春 桃江县期末）已知，，，其中为自然对数的底数，则　　
A． B． C． D．
6．（2023春 顺德区校级月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春 杭州期中）已知函数，则下列结论中正确的是　　
A．导函数的单调递减区间为
B．的图象关于点中心对称
C．过原点只能作一条直线与的图象相切
D．恰有两个零点
8．（2022秋 安丘市期末）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是　　
A．（a）（e）（d）
B．函数在，上递增，在，上递减
C．函数的极值点为，
D．函数的极大值为（b）
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 松江区校级期中）若函数在，上严格增，那么的取值范围是 　　．
10．（2023春 阳高县校级期末）已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是　　．
11．（2023春 叙州区校级期中）函数的单调递减区间为　　．
12．（2023 徐汇区校级三模）设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为 　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春 鄄城县校级月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
14．（2023春 浙江月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
15．（2023 雅安三模）已知函数．
（1）讨论的单调性；专题03 导数与函数的极值、最值
目录
题型一： 根据函数图象判断极值 4
题型二： 求函数的极值 7
题型三： 已知极值(点)求参数 8
题型四： 利用导数求函数最值问题 13
函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值；b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f (x)在某一点的导数值为0是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件：
①f ′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f ′(x0)>0(<0)，右侧f ′(x0)<0(>0)．
(3)导数求极值的方法：解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值．
注意　对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
②若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数在[a，b]上的最小值，f (b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数在[a，b]上的最大值，f (b)为函数在[a，b]上的最小值．
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1(1)a>0
Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减 在R上是增函数
极值点个数 2 0
(2)a<0
Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减 在R上是减函数
极值点个数 2 0
根据函数图象判断极值
【要点讲解】　由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
（2023春 监利市期中）如图，可导函数在点，处的切线为，设，则下列说法正确的是　　
A．，是的极大值点
B．，是的极小值点
C．，不是的极值点
D．，是的极值点
【解答】解：可导函数在点，处的切线为，
则，，
，
，
设，
，，
由图象可得：导函数单调递增，
时，；时，．
是的极小值点，故正确．
故选：．
（2023春 霞山区校级期中）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是　　
A．是函数的极大值点
B．是函数的极值点
C．在处取得极大值
D．函数在区间上单调递增
【解答】解：根据题中导函数的图象可知，
在上小于零，在，上大于零，且，
故函数在上为减函数，在上为增函数，
对于选项，是函数的极小值点，故错误；
对于选项，不是函数的极值点，故错误；
对于选项，根据的两侧均为单调递增函数，故不是极值点，故错误；
对于选项，根据在区间上的导数大于或等于零可知，在区间上单调递增，故正确．
故选：．
（2023春 南岸区校级期中）如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是　　
A．是函数的极小值点
B．当或时，函数的值为0
C．函数在上是增函数
D．函数在上是增函数
【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得极小值．
结合选项可知，正确．
故选：．
（2023春 华龙区校级期中）已知函数的导函数的图象大致如图所示，则关于函数，下列结论正确的是　　
A．无极大值点 B．有2个零点
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【解答】解：在导函数的图象上作出的图象如下所示：
因为当时，，在上单调递减，
易知，使，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，排除选项；
所以是函数的极大值点，的零点个数无法判断，排除选项和选项．
故选：．
求函数的极值
【要点讲解】　运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).
(2)求方程f'(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
（2023春 科左中旗校级期中）已知函数，则的极小值为　　
A． B． C．0 D．1
【解答】解：函数的定义域为．
导函数．
令，解得：．
列表得：
1
0
单减 极小值 单增
的极小值为．
故选：．
（2023 武鸣区校级三模）函数的极小值点为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为定义域为，
所以，令得，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值．
故选：．
（2023 阿勒泰地区三模）函数的极值点是　　
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时，函数取极大值，所以，函数的极值点是1．
故选：．
已知极值(点)求参数
【要点讲解】　已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
（2023春 涪城区校级月考）已知函数在处有极值，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．4
【解答】解：由，得，
所以，即，
由题意，得，
当且仅当，即，时，取等号．
故选：．
（2023春 临沂期中）函数在时有极大值0，则　　
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：，
，
在时有极大值0，
，，
解得，．
则，
故选：．
（2023春 朝阳区校级月考）已知实数，，，成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于　　
A．2 B． C． D．1
【解答】解：实数，，，成等比数列，
，
由，
，
令，解得，
函数在上单调递减；函数在上单调递增；函数在上单调递减．
时，函数取得极小值，时，函数取得极大值．
曲线的极大值点为，极大值为，
，（1），即．
，
．
故选：．
（2023春 河南月考）函数的一个极值点是1，则的值　　
A．恒大于0 B．恒小于0 C．恒等于0 D．不确定
【解答】解：，
是的极值点，
（1），
即，令（a），，
则，
令（a），解得：，令（a），解得：，
故（a）在递增，在递减，故，
故，即恒小于0．
故选：．
（2023春 北京期中）若函数恰好有两个极值，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．，， D．，，
【解答】解：，则，函数定义域为，
函数恰好有两个极值，
有两个不相等的零点，
故方程有两个不相等的实根，
则，解得或，
实数的取值范围是，，．
故选：．
（2023春 东光县月考）若函数在上存在极值，则正整数的最小值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：，
，
函数在上存在极值，
函数在上不是单调函数，
可得有两个不等的根，
即△，
解得，或，
正整数的最小值为5．
故选：．
（2023春 峨眉山市校级期中）已知函数有两个极值点，求的范围　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，函数定义域为，
可得，
若有两个极值点，
此时有两个根，
即有两解，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
易知当时，，
所以．
故选：．
（2023春 东城区校级期中）设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
则，即，解得，
函数，有大于零的极值点，
则，即，解得．
故选：．
利用导数求函数最值问题
【要点讲解】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法
(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
（2023春 江城区校级月考）函数在，上的最大值与最小值分别是　　
A．23，5 B．5，4 C．， D．5，
【解答】解：，，，
，
，，，
函数在，上单调递增，
（3），，
故选：．
（2023春 朝阳区校级月考）函数的最小值为　　
A．1 B． C．0 D．
【解答】解：，
，
令，解得，
令，解得或，
故在，递减，在递增，在，递减，
而（3），
故在，上的最小值是0，
故选：．
（2023 阿勒泰地区三模）函数在，上的最小值是　　
A． B． C．0 D．
【解答】解：因为，所以，
当，时，，函数单调递增；
当，时，，函数单调递减；
所以当时，函数值为0，当时，函数值为，所以其最小值为0．
故选：．
（2023春 泸县校级期末）已知函数．求：
（1）曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）函数在区间，上的最值．
【解答】解：（1），则（1），
，切点是，
故切线方程是，即；
（2）令，解得：或，
，，在，的变化如下：
0 2 3
0 0
单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 1
在，和，上单调递增，在，上单调递减，
最大值是（3），又，，
在，的最大值是（3），
在，在最小值是．
（2023春 凉山州期末）已知函数在时取得极值．
（1）求在，处的切线方程；
（2）求在区间，上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
因为在处取得极值，
所以，
解得，
当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当 时，，单调递增，
此时函数在时取得极值，
所以，
此时，
又，
所以在，处的切线方程为，
即；
（2）由（1）知，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，，
又，，
所以在区间，上的最大值为1，最小值为．
（2023春 莱芜区期中）已知函数．
（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（2）令，当时，求在区间，上的最大值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为，
因为函数在区间上不单调，
所以，即，
解得
则的取值范围为；
（2）已知，
所以，函数定义域，
可得，
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在，上单调递减，
则（1）；
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以（a）；
若时，恒成立，单调递增，
所以（2）；
若，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在，上单调递增，
则（1）．
综上，当，在区间，上的最大值为；
当时，在区间，上的最大值为；
当时，在区间，上的最大值为．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 临沂期中）已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：因为对任意两个不等的正数，，都有恒成立，
设，则，
即恒成立，
问题等价于函数，
即在上为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
即实数的取值范围是，，
故选：．
2．（2023 池州模拟）已知函数，记，则下列结论正确的是　　
A．的值域为 B．的值域为，
C．为奇函数 D．为偶函数
【解答】解：，，则，则，错误；
，错误；
设，
则，
则为奇函数，正确；
设，则，
则不为偶函数．
故选：．
3．（2023春 伊州区校级期中）已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为　　
A．0 B．1 C．2 D．4
【解答】解：因为，，
所以，
又因为是函数的极小值点，
所以（1），
解得，
所以，，
令，得，，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以在处取极大值，在处取极小值，
所以的取极大值为．
故选：．
4．（2023春 崇明区期末）将函数，，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图像，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数，，
当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，
（1），可得在处切线的倾斜角为，
因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转后的切线倾斜角最多为，
也就是说，最大旋转角为，
即的最大值为．
故选：．
5．（2023 内江三模）已知函数和有相同的极大值，则　　
A．2 B．0 C． D．
【解答】解：，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
又，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，
故（1）（e），所以，所以．
故选：．
6．（2023 湖北二模）设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
【解答】解：函数，，
，
函数恰有两个极值点，方程恰有两个正根，
显然是方程的一个正根，
方程有唯一正根，即方程有唯一正根，
等价于函数与函数在上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
，函数在上单调递增，
又，（1），
函数的图象如图所示：，
且，
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023 红河州一模）已知函数，则下列说法正确的是　　
A．函数有两个极值点
B．若关于的方程恰有1个解，则
C．函数的图象与直线有且仅有一个交点
D．若，且，则无最值
【解答】解：，
作出的图象可得：
对于：由图象可知和是函数的两个极值点，故正确；
对于：若函数恰有一个零点，则或，故不正确；
对于：因为函数在点处的切线为，
函数在处的切线为，
由图可知，当，即时，的图象与直线恰有一个交点，
当，即时，令，得，
令，
则（1），，
由二次函数的图象及零点存在定理可知，方程有且只有一个实数根，
当，即时，令，
设，，
则（当且仅当时取等号），即函数在上单调递增，
由于，
，
所以函数有且仅有一个实数根，故正确；
对于：由于，，，
则，，，则，
设，
，
设，
所以在上单调递增，且，（1），
所以存在，使得，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以存在最小值，故不正确，
故选：．
8．（2023春 香洲区校级月考）对于函数，下列说法正确的有　　
A．在处取得极大值 B．在处取得最大值
C．有两个不同零点 D．（2）（3）
【解答】解：函数的导数，
令得，则当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，
由知当时，函数取得最大值，最大值为，故正确；
由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，
，由时，函数为减函数，知（3）（4），
故（2）（3）成立，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 怀仁市期末）函数在区间上有最大值，则的取值范围是 　，　．
【解答】解：，，
令解得；令，解得或，
由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，即，解得，
即的取值范围是，．
故答案为：，．
10．（2023 兴庆区校级二模）在等比数列中，，是函数的极值点，则　2　．
【解答】解：因为，所以，
又因为，是的极值点，
所以，是方程的两根，
所以有，
由等比数列的性质可知：，
又因为，
所以，
故答案为：2．
11．（2023春 青羊区校级期中）已知函数，，有以下四个命题：
①对，不等式恒成立；
②是函数的极值点；
③函数的图象与轴及围成的区域面积为；
④．
其中正确的命题有 　①③④　．
【解答】解：对①：，即，设，则恒成立，函数单调递增，故，正确；
对②：恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；
对③：，面积为，正确；
对④：根据①知：在上恒成立，则，故，
则，正确．
故答案为：①③④．
12．（2023 宜章县二模）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数的取值范围为 　，　．
【解答】解：若，则，
所以，
所以，
令，
则，
令，
则在上单调递增，且，（1），
所以存在，当，则，，单调递减，
当，时，，，单调递增，
因为（1），
所以只需且且（2），
所以，
解得，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春 永昌县校级期中）当时，函数取得极小值2．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
因为函数在处取得极小值2，
所以满足（1），（1），
解得，，
此时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，满足题意，
所以，；
（2）由（1）可知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，
故．
14．（2023春 泉州期末）已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）证明：．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
所以（1），
又，
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，
即；
（2）证明：不妨设，函数定义域为，
要证，即证，
易得恒成立，
所以函数在定义域上单调递增，
又，
当时，，，；
当时，，，，
当时，．
故．
15．（2023春 曹县校级月考）若函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
，
令，得，
所以在上，单调递增；
在上，单调递减，
所以，无极小值．
（2），
因为在，上恒成立，所以在，上恒成立，
①当时，，
所以在，上单调递减，则，不符合题意，
②当时，，
所以在，上单调递减，则，符合题意，
③当时，令得或，
若，即时，
在上，单调递增，
所以（1），
又，矛盾，不符合题意，
若，即时，
在上，单调递减，
在，上，单调递增，
所以当，时，的最大值为与（1）中的较大者，
要满足在，上恒成立，只需，解得，
又因为，
所以，
若，即时，
在上，单调递增，
所以（1），即，
又，
所以，
若，即时，
在上，单调递减，
所以，符合题意，
综上所述，的取值范围为，．专题03 导数与函数的极值、最值
目录
题型一： 根据函数图象判断极值 4
题型二： 求函数的极值 6
题型三： 已知极值(点)求参数 6
题型四： 利用导数求函数最值问题 8
函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0.类似地，函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值；b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f (x)在某一点的导数值为0是函数y＝f (x)在这点取得极值的必要条件．可导函数y＝f (x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件：
①f ′(x0)＝0；
②在x＝x0附近的左侧f ′(x0)>0(<0)，右侧f ′(x0)<0(>0)．
(3)导数求极值的方法：解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)>0，那么f (x0)是极小值．
注意　对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
函数的最大(小)值
(1)函数最大(小)值的再认识
①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
②若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数在[a，b]上的最小值，f (b)为函数在[a，b]上的最大值；若函数y＝f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数在[a，b]上的最大值，f (b)为函数在[a，b]上的最小值．
(2)导数求最值的一般步骤：设函数y＝f (x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f (x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
三次函数的图象、单调性、极值
设三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，记Δ＝4b2－12ac＝4(b2－3ac)，并设x1，x2是方程f ′(x)＝0的根，且x1(1)a>0
Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减 在R上是增函数
极值点个数 2 0
(2)a<0
Δ>0 Δ≤0
图象
单调性 在(x1，x2)上单调递增；在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减 在R上是减函数
极值点个数 2 0
根据函数图象判断极值
【要点讲解】　由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
（2023春 监利市期中）如图，可导函数在点，处的切线为，设，则下列说法正确的是　　
A．，是的极大值点
B．，是的极小值点
C．，不是的极值点
D．，是的极值点
（2023春 霞山区校级期中）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是　　
A．是函数的极大值点
B．是函数的极值点
C．在处取得极大值
D．函数在区间上单调递增
（2023春 南岸区校级期中）如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是　　
A．是函数的极小值点
B．当或时，函数的值为0
C．函数在上是增函数
D．函数在上是增函数
（2023春 华龙区校级期中）已知函数的导函数的图象大致如图所示，则关于函数，下列结论正确的是　　
A．无极大值点 B．有2个零点
C．在上单调递增 D．在上单调递减
求函数的极值
【要点讲解】　运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f'(x).
(2)求方程f'(x)=0在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
（2023春 科左中旗校级期中）已知函数，则的极小值为　　
A． B． C．0 D．1
（2023 武鸣区校级三模）函数的极小值点为　　
A． B． C． D．
（2023 阿勒泰地区三模）函数的极值点是　　
A．0 B．1 C． D．
已知极值(点)求参数
【要点讲解】　已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
（2023春 涪城区校级月考）已知函数在处有极值，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．4
（2023春 临沂期中）函数在时有极大值0，则　　
A．7 B．6 C．5 D．4
（2023春 朝阳区校级月考）已知实数，，，成等比数列，且曲线的极大值点为，极大值为，则等于　　
A．2 B． C． D．1
（2023春 河南月考）函数的一个极值点是1，则的值　　
A．恒大于0 B．恒小于0 C．恒等于0 D．不确定
（2023春 北京期中）若函数恰好有两个极值，则实数的取值范围是　　
A． B．，
C．，， D．，，
（2023春 东光县月考）若函数在上存在极值，则正整数的最小值为　　
A．4 B．5 C．6 D．7
（2023春 峨眉山市校级期中）已知函数有两个极值点，求的范围　　
A． B． C． D．
（2023春 东城区校级期中）设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
利用导数求函数最值问题
【要点讲解】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法
(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f’(x),并求f’(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的问题中含有参数,则需求f’(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
（2023春 江城区校级月考）函数在，上的最大值与最小值分别是　　
A．23，5 B．5，4 C．， D．5，
（2023春 朝阳区校级月考）函数的最小值为　　
A．1 B． C．0 D．
（2023 阿勒泰地区三模）函数在，上的最小值是　　
A． B． C．0 D．
（2023春 泸县校级期末）已知函数．求：
（1）曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）函数在区间，上的最值．
（2023春 凉山州期末）已知函数在时取得极值．
（1）求在，处的切线方程；
（2）求在区间，上的最大值与最小值．
（2023春 莱芜区期中）已知函数．
（1）若函数在区间上不单调，求的取值范围；
（2）令，当时，求在区间，上的最大值．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 临沂期中）已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数的取值范围　　
A．， B． C．， D．，
2．（2023 池州模拟）已知函数，记，则下列结论正确的是　　
A．的值域为 B．的值域为，
C．为奇函数 D．为偶函数
3．（2023春 伊州区校级期中）已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为　　
A．0 B．1 C．2 D．4
4．（2023春 崇明区期末）将函数，，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图像，则的最大值为　　
A． B． C． D．
5．（2023 内江三模）已知函数和有相同的极大值，则　　
A．2 B．0 C． D．
6．（2023 湖北二模）设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C．，， D．，，
二．多选题（共2小题）
7．（2023 红河州一模）已知函数，则下列说法正确的是　　
A．函数有两个极值点
B．若关于的方程恰有1个解，则
C．函数的图象与直线有且仅有一个交点
D．若，且，则无最值
8．（2023春 香洲区校级月考）对于函数，下列说法正确的有　　
A．在处取得极大值 B．在处取得最大值
C．有两个不同零点 D．（2）（3）
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 怀仁市期末）函数在区间上有最大值，则的取值范围是 　　．
10．（2023 兴庆区校级二模）在等比数列中，，是函数的极值点，则　　．
11．（2023春 青羊区校级期中）已知函数，，有以下四个命题：
①对，不等式恒成立；
②是函数的极值点；
③函数的图象与轴及围成的区域面积为；
④．
其中正确的命题有 　　．
12．（2023 宜章县二模）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数的取值范围为 　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春 永昌县校级期中）当时，函数取得极小值2．
（1）求实数，的值；
（2）求函数的最小值．
14．（2023春 泉州期末）已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）证明：．
15．（2023春 曹县校级月考）若函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若在，恒成立，求的取值范围．

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