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重难点突破01 切线与公切线
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养．
解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．
一．选择题（共10小题）
1．（2023 长沙模拟）一条斜率为1的直线分别与曲线和曲线相切于点和点，则公切线段的长为　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由，得，
由，得，则，可得切点；
由，得，
由，，得，则，得．
公切线段的长为．
故选：．
2．（2023 武昌区校级模拟）已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于，点，与、分别相切于，两点，则线段与　　
A．总是互相垂直 B．总是互相平分
C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确
【解答】解：抛物线，，
两曲线分别是经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，
和是它们的公切线，和、分别相切于，两点，和、分别相切于，两点，
，关于对称中心对称，，关于对称中心对称，线段与互相平分．
故选：．
3．（2023 徐汇区校级一模）若直线是曲线与的公切线，则　　
A． B．1 C． D．2022
【解答】解：设直线与的图象相切于点，，与的图象相切于点，，
又，，且，．
曲线在点，处的切线方程为，
曲线在点，处的切线方程为．
故，解得，
故．
故选：．
4．（2023 道里区校级模拟）已知函数，，若直线为和的公切线，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线与曲线的切点设为，，
与曲线的切点为，
由，得，可得，即，
由，得，可得，即，
又，即，①
，即，②
由①②解得，．
故选：．
5．（2023春 祁东县校级期中）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，是公切线和曲线的切点，则斜率为，
故切线方程为，整理得，
设，是公切线和曲线的切点，则切线斜率为，
故切线方程为：，整理得：，其中，
所以，
将①代入②式整理后得，
又，则，
设，，
则，，易知，所以在上单调递减，
而，当时，，
故，即即为所求．
故选：．
6．（2023 重庆模拟）在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设公切线与两曲线与的切点分别为，，，，
由，，
得，整理可得，
令，则，
由，得，可得，
当时，，当时，，
可得的最大值为．
实数的取值范围是，．
故选：．
7．（2023春 湖北期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则　　
A．26 B．23 C．15 D．11
【解答】解：设直线与曲线切于，
由，得，
由，解得或（舍去），
切点坐标为，代入，得；
则切线方程为．
再设直线与曲线切于，
由，得，
，且，
联立解得，．
．
故选：．
8．（2023 浙江模拟）已知两曲线与，则下列结论正确的是　　
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若，则两曲线只有一条公切线
C．若，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若，，分别是两曲线上的点，则，两点距离的最小值为1
【解答】解：若两曲线只有一个交点，记交点为，则，
且在此处的切线为公切线，所以，即满足．
设，则时单调递增，（1），所以错误．
如图，时，设，
则，由于（1），，
所以存在，使得，
那么当时，，为单调递减函数，
当，时，，为单调递增函数，
且，所以有两个零点，
则两曲线有两个公共点，故没有公切线，所以错误．
时，设是曲线上的一点，，
所以在点处的曲线切线方程为，即①，
设是曲线上的一点，，
所以在点处的切线方程为，即，
所以，解得或，
所以两斜率分别是1和，所以正确．
时，曲线的一条切线为，的一条切线，
两切线间的距离为最小值，所以错误．
故选：．
9．（2023 上饶二模）若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设（x1，y1）是曲线y＝lnx+1的切点，设（x2，y2）是曲线y＝x2+x+3a的切点，
对于曲线y＝lnx+1，其导数为，对于曲线y＝x2+x+3a，其导数为y′＝2x+1，
∴切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），
令h（x）＝﹣ln（2x+1）+x2（），，得：，
当时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
当时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，
∴，且当x→时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞；
∴，∴．
故选：D．
10．（2023 保山模拟）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函数，可得，
因为，设切点为，则，
则公切线方程为，即，
与联立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，
函数在上单调递增，且（1），
当时，，即，此时函数单调递减，
当时，，即，此时函数单调递增，
所以（1），且当时，，
所以函数的值域为，，
所以且，解得，即实数的取值范围为．
故选：．
二．多选题（共2小题）
11．（2023春 重庆期中）已知直线是曲线与的公切线，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设曲线上切点，，，
切线斜率，切线方程，
即，
同理，设曲线上切点，，，
切线斜率，切线方程，
即，
所以，解得，
所以，，．
故选：．
12．（2023 建华区校级三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的是　　
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
【解答】解：选项，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故正确；
选项，当时，，，
对于，有，
因为直线为曲线的切线，
所以，即，此时，
所以切点坐标为，将其代入切线方程中，
有，整理得，可得，即正确；
选项，当时，公切线为，
设，，则，，
所以，，解得，，故错误；
选项，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，
由选项可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即正确．
故选：．
三．填空题（共17小题）
13．（2022秋 启东市期末）已知直线是曲线与的公切线，则　　．
【解答】解：设切点，，，，
由题意得，，切线方程分别可以表示为：
，
，
，得，则，．
则．
故答案为：．
14．（2022秋 张家口期末）已知直线是函数与函数的公切线，若，（1）是直线与函数相切的切点，则　　．
【解答】解：，
，，
，（1）是直线与函数相切的切点，
（1），（1），
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，，
，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
故答案为：．
15．（2023 鼓楼区校级模拟）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量 　（答案不唯一）　．
【解答】解：设两曲线的公切线与曲线切于，与曲线切于，，
曲线在处的切线方程为，
曲线在，处的切线方程为．
则，且，
可得，即．
曲线与曲线的公切线的方程为，该公切线的一个方向向量为．
故答案为：（答案不唯一）．
16．（2023 惠安县模拟）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为 　　．
【解答】解：由，得，
由，得，
设直线与曲线和分别切于，，，，
则，即，代入，
可得，解得，
，切点为，，则切线方程为，
取，得．
直线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
17．（2023 防城港模拟）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则　　．
【解答】解：设公切线在曲线与上的切点分别为，，，，
由得，则，解得，
，则，
故在点的切线方程为，
又得，则，即，
，
又切点，，则，在切线上，
，解得，
．
故答案为：．
18．（2023 广东模拟）曲线与的公共切线的条数为 　2　．
【解答】解：设曲线上的切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
由得，
则，
所以，
所以曲线上的切点为，，
所以切线方程为，
所以，
所以，
在同一坐标系中作出曲线和的图象，
由图可知，两函数图象有两个交点，
故答案为：2．
19．（2023春 重庆期末）已知直线是函数与函数的公切线，若，（1）是直线与函数相切的切点，则　　．
【解答】解：，
，，
，（1）是直线与函数相切的切点，
（1），（1），
，
，
即直线的方程为，
，
，
设与的切点坐标为，，
，，
切线方程为，
即，
，，
解得，
，
．
故答案为：．
20．（2023春 涪城区校级期中）若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则　0　．
【解答】解：，，
如图所示，设公切线与相切于，，与相切于，，则有以下关系：
，求得，
故公切线方程为，所以，
即，．
故答案为：0．
21．（2023 浠水县校级三模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围为 　，　．
【解答】解：设公切线与曲线的切点为，，与曲线的切点为，，
，，
在处的切线方程为，
同理可得，在处的切线方程为，
由题意可知，，即①，
，，
，，
方程组①消去，整理得，
设，则，
，
令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，
又（1），
，
即的取值范围为，．
故答案为：，．
22．（2023 厦门模拟）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 　　．
【解答】解：，
假设两曲线在同一点，处相切，
则，可得，即，
因为函数单调递增，且时，
所以，则，此时两曲线在处相切，
根据曲线的变化趋势，若继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以的最大值为．
故答案为：．
23．（2023春 广西期中）已知曲线与的公切线为，则实数　1　．
【解答】解：对曲线求导数得，
设切点为，则切线为，
即，与公切线对照得，
解得，所以切线方程为，
对于，设切点为，，
则，解得，．
故答案为：1．
24．（2023 邯郸三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 　　．
【解答】解：曲线在点，处的切线方程为，
由于直线与圆相切，得，
因为曲线与圆有三条公切线，故式有三个不相等的实数根，
即方程有三个不相等的实数根．
令，则曲线与直线有三个不同的交点，
显然，，
当时，，当时，，当时，，
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
且当时，，当时，，
因此，只需，即，
解得，即实数的取值范围是．
故答案为：．
25．（2023春 靖江市校级月考）已知曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 　，　．
【解答】解：由，得，由，得，
设直线分别与、切于，、，，
则直线的方程为，，
即，．
，可得．
令，则，
则当时，，单调递增，
当，时，，单调递减．
．
又当时，，当时，，
，，可得，．
故答案为：，．
26．（2023春 香坊区校级月考）定义：若直线与函数，的图象都相切，则称直线为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为 　　．
【解答】解：设直线与切于，与切于，
，，
与切线方程分别为，，
由题意得，则．
令，，
则，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减．
．
又当时，，当时，，且已知，
若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为．
故答案为：．
27．（2023 鼓楼区校级模拟）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则　　．
【解答】解：曲线，，
设公切线与，的切点为，，可知，
由，
得，，
，，可得，即，
，
构造函数，，
问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点，
，当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
的最大值为（2），（1），当时，，
故．
故答案为：．
28．（2023 蓬莱区三模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则　3　．
【解答】解：曲线与互为反函数，图象关于对称，如图所示，
由题意可知，，
所以，
，解得，或，
因为为锐角，
所以，
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为，
，
设切点的横坐标为，切点的横坐标为，则，，
，所以，
所以直线的方程为，即，
，
所以，
所以直线的方程为，即．
所以，即，
所以，即，
所以，即，则，
所以．
故答案为：3．
29．（2023 浙江开学）已知曲线与的两条公切线的夹角正切值为，则　　．
【解答】解：与互为反函数，图像关于直线对称，如图所示，
由题意，两条公切线的夹角正切值为，
解得或，又为锐角，所以．
由对称性，不妨取直线进行研究，则直线的倾斜角为：
，，
设点的横坐标为，切点的横坐标为，
则，，
，即，
所以，，
，即．
，则，
即，则，
所以，
即，
所以．
故答案为：．
四．解答题（共1小题）
30．（2023 郴州模拟）已知函数，．
（1）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，当时，设，
则，，
令，得（舍负）在上单调递减，在上单调递增，（1）．
根据题意的取值范围为，．
（2）设函数在点，处与函数在点，处有相同的切线，
则，，
，代入，
得．问题转化为：关于的方程有解，
设，则函数有零点，
，当时，，，
问题转化为：的最小值小于或等于，
设，
则当时，，当时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
的最小值为，
由知，
故，
设，
则，
故在上单调递增，
（1），当，时，，的最小值等价于．
又函数在，上单调递增，．重难点突破01 切线与公切线
导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养．
解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．
一．选择题（共10小题）
1．（2023 长沙模拟）一条斜率为1的直线分别与曲线和曲线相切于点和点，则公切线段的长为　　
A．2 B． C．1 D．
2．（2023 武昌区校级模拟）已知抛物线和，若和有且仅有两条公切线和，和、分别相切于，点，与、分别相切于，两点，则线段与　　
A．总是互相垂直 B．总是互相平分
C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确
3．（2023 徐汇区校级一模）若直线是曲线与的公切线，则　　
A． B．1 C． D．2022
4．（2023 道里区校级模拟）已知函数，，若直线为和的公切线，则等于　　
A． B． C． D．
5．（2023春 祁东县校级期中）若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（2023 重庆模拟）在数学王国中有许多例如，等美妙的常数，我们记常数为的零点，若曲线与存在公切线，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
7．（2023春 湖北期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则　　
A．26 B．23 C．15 D．11
8．（2023 浙江模拟）已知两曲线与，则下列结论正确的是　　
A．若两曲线只有一个交点，则这个交点的横坐标
B．若，则两曲线只有一条公切线
C．若，则两曲线有两条公切线，且两条公切线的斜率之积为
D．若，，分别是两曲线上的点，则，两点距离的最小值为1
9．（2023 上饶二模）若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
10．（2023 保山模拟）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
11．（2023春 重庆期中）已知直线是曲线与的公切线，则下列说法正确的是　　
A． B． C． D．
12．（2023 建华区校级三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线为曲线和的公切线，则下列结论正确的是　　
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
三．填空题（共17小题）
13．（2022秋 启东市期末）已知直线是曲线与的公切线，则 ．
14．（2022秋 张家口期末）已知直线是函数与函数的公切线，若，（1）是直线与函数相切的切点，则 ．
15．（2023 鼓楼区校级模拟）写出曲线与曲线的公切线的一个方向向量 ．
16．（2023 惠安县模拟）已知直线是曲线与的公切线，则直线与轴的交点坐标为 ．
17．（2023 防城港模拟）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则 ．
18．（2023 广东模拟）曲线与的公共切线的条数为 ．
19．（2023春 重庆期末）已知直线是函数与函数的公切线，若，（1）是直线与函数相切的切点，则 ．
20．（2023春 涪城区校级期中）若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则 ．
21．（2023 浠水县校级三模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围为 ．
22．（2023 厦门模拟）已知函数，，若曲线与曲线存在公切线，则实数的最大值为 ．
23．（2023春 广西期中）已知曲线与的公切线为，则实数 ．
24．（2023 邯郸三模）若曲线与圆有三条公切线，则的取值范围是 ．
25．（2023春 靖江市校级月考）已知曲线与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为 ．
26．（2023春 香坊区校级月考）定义：若直线与函数，的图象都相切，则称直线为函数和的公切线．若函数和有且仅有一条公切线，则实数的值为 ．
27．（2023 鼓楼区校级模拟）已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则 ．
28．（2023 蓬莱区三模）已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则 ．
29．（2023 浙江开学）已知曲线与的两条公切线的夹角正切值为，则 ．
四．解答题（共1小题）
30．（2023 郴州模拟）已知函数，．
（1）若，在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数和有公切线，求实数的取值范围．重难点突破02 导数中的构造问题
(1)构造函数 : 当条件中含 “+” 时优先考虑 ；当条件中含 “ - ” 时优先考虑 .
(2)构造函数 ：条件中含 “ ” 的形式；构造函数 ：条件中含 “ ” 的形式.
(3)构造函数 : 条件中含 “ ” 的形式.
(4)构造函数 : 条件中含 “ ” 的形式.
1．（2023春 资溪县校级期末）已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，（2），当时，，则不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C． D．，，
【解答】解：令，则，
当时，，故，
所以在上单调递减，又，
所以即（2），
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
即为定义域为的偶函数，
所以由（2）可得（2），
所以，即或，
即不等式的解集是，，，
故选：．
2．（2022春 赣州期末）已知定义在上的函数，其导函数为．若，且当时，，则不等式的解集为　　
A． B．， C． D．
【解答】解：设，
因为，
所以，
所以，
即为奇函数，
而，则在上单调递增，，
即，
即，
所以的范围为．
故选：．
3．（2021春 海安市校级期中）设定义在，上的函数的导函数，若，则　　
A．（1）（3） B．（1）（3） C．（3）（1） D．（3）（1）
【解答】解：令，，
因为，
所以，
所以在，上单调递减，
所以（3）（1），即，
所以（1）（3）．
故选：．
4．（2023春 鄄城县校级月考）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：构造函数，
因为对任意的，都有，
则，
所以函数在上单调递减，
因为，所以．
由，得，
即，
所以．
故选：．
5．（2023春 泉州期末）设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是　　
A．（1） B．（2）（1）
C． D．
【解答】解：当时，有，即，
令，则，
即在上单调递增，
又为偶函数，则，即为偶函数，
故（2）（1），即，
即，故错误，正确；
由（2）（1），即，即，错误；
而（1），故，则不一定成立，错误，
故选：．
6．（2023春 上高县校级期末）已知若为定义在上的偶函数，且当，时，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设，
则，
若为偶函数，则，即可得函数为偶函数，
又由当，时，，则单调递增，则在，上递减，
则，解可得，
即不等式的解集为，；
故选：．
7．（2023春 东莞市期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意知，当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，
解得．
故选：．
8．（2023春 西青区期末）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
，
因为对任意的，都有，
所以对任意的，都有，
所以对任意的，都有，单调递增，
不等式可化为，进而可得，
所以，
所以，
故选：．
9．（2023春 嘉陵区校级期中）已知函数的导函数是，对任意的，，若，则的解集是　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，
，，则单调递减，
又，，
，得．
的解集是．
故选：．
10．（2023春 蒲城县校级期中）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为　　
A． B．
C． D．，，
【解答】解：设，则，
，，
又，
，
在上单调递增，
又，
的解集为，
即不等式的解集为，
故选：．
11．（2023春 龙岩期末），，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，①
，
因为，
所以，
设，
由①知，
所以，
所以，二次函数对称轴为，且（2），
在上单调递增，在，上单调递减，
不等式可化为，即，
所以．
故选：．
12．（2023春 渭滨区期末）已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且（2），则不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【解答】解：由题意设，则，
当时，，
在上单调递增，
是定义在上奇函数，
是定义在上偶函数，
在上单调递减，
又（2），则（2）（2），（2），
当时，不等式等价于，由（2），得；
当时，不等式等价于，由，得，
故不等式的解集为，，．
故选：．
13．（2023春 沙坪坝区校级期末）设函数的定义域为，是其导函数，若，（1），则不等式的解集是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，
所以函数在上单调递增，
不等式等价于，
又（1）（1），
则等价于（1），
又在上单调递增，
则所求不等式的解集为．
故选：．
14．（2023春 武汉期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且（3），则关于的不等式的解集为　　
A． B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：由题可知，在上单调递增，在上单调递减，
又是定义域为的奇函数，
，且在上单调递减，在上单调递增．
不等式等价于或，
（3），
，，．
故选：．
15．（2023春 台州期中）已知函数是定义在上的可导函数，满足（1），且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
变形为，
令．
又（1），
（1），
则不等式变为（1），
，
又是定义在上的可导函数，且，
，
，
在上是减函数，
．
故选：．
16．（2023春 响水县校级期中）已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是　　
A． B．，，
C．，， D．
【解答】解：根据题意，构造函数，
则，
所以函数在上单调递增，
又，即，
所以，即，解得．
故选：．
17．（2023春 武清区校级期中）已知定义在上的奇函数满足时，成立，且（1）则的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【解答】解：令，，（1）（1），
是定义在上的奇函数，
函数是定义在上的偶函数，
时，，
函数在上单调递减，
函数在上单调递增．
时，；时，；不符合题意．
，，，
故选：．
18．（2023春 通许县期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题可设，
，则，
函数在上单调递增，
由已知有，不等式两边同时除以可得：，
即，因为在上单调递增，
故，解得：，
故选：．
19．（2023春 惠州月考）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，（2），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，则，
对任意都有，
恒成立，即在上单调递增，
又（2），则（2）（2），
不等式，即（2），
，即不等式的解集为．
故选：．
20．（2023春 重庆期中）已知定义在上的函数满足：，且（1），则的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意设，函数定义域为，则，
，
在，，上恒成立，
即在和上单调递增，
又（1），则（1），
，即，
（1），
，解得，
又当时，（1），不符合，
故的解集为．
故选：．
21．（2023春 涪城区校级期中）函数定义域为，其导函数为，若，，且（1），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，
则
故在单调递减，
又因为（1）（1），
所以不等式等价于（1），故．
故选：．
22．（2023春 南阳月考）已知函数满足：，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，
对于恒成立
，
在上递减，
则不等式，
等价为，
即，
在上递减，
，
即不等式的解集为，
故选：．
23．（2023春 薛城区校级月考）已知定义在上的函数的导数为，且（e），若对任意恒成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，（e）（e），，
，在上恒成立，
函数在上单调递增，
，不等式等价于，即，即（e），
又函数在上单调递增，
，
不等式的解集为．
故选：．
24．（2023春 绿园区期中）设是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 （3）的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，
得，即，
令，则，
则当时，得，即在上是增函数，
，（3）（3），
即不等式等价为（3），
在是增函数，
由（3），得，
即，而，故，
不等式 （3）的解集是．
故选：．
25．（2023春 普陀区校级期末）已知，下列判断错误的是　　
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
【解答】解：因为，所以，
所以（1），因此函数的图像在点处的切线方程为，即，故正确；
当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故错；
当时，，由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即，故正确；
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
由可得，解得：，故正确；
故选：．
26．（2023春 新城区校级期中）定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式（1）的解集为　　
A． B．，，
C． D．
【解答】解：令，则，
所以在定义域上单调递增，
不等式（1），即（1），
即（1），
所以，解得，
即不等式（1）的解集为．
故选：．
27．（2023春 浙江期中）已知定义在上的奇函数满足，，若，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知是定义在上的奇函数，
所以，
易得，
所以是偶函数，
因为，
所以，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数单调递增，
此时不等式 可转化为，
即（1），
此时，
解得．
故选：．
28．（2023春 南岸区校级期中）已知函数是定义在上的可导函数，满足（1），且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
变形为，
令．
又（1），
（1），
则不等式变为（1），
，
又是定义在上的可导函数，且，
，
，
在上是减函数，
．
故选：．
29．（2023春 三台县期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，（1），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．，
【解答】解：令，则，
，
，在上递减，
（1），（1），
不等式，
（1），
，解得：，
故不等式的解集是，
故选：．
30．（2023 全国二模）已知函数，则关于的不等式的解集为　　
A． B．
C．，， D．，，
【解答】解：因为，
所以，
因为，当且仅当时取等号，，
所以，
故在上单调递增，
由可得，
所以，即，
解得．
故选：．重难点突破02 导数中的构造问题
(1)构造函数 : 当条件中含 “+” 时优先考虑 ；当条件中含 “ - ” 时优先考虑 .
(2)构造函数 ：条件中含 “ ” 的形式；构造函数 ：条件中含 “ ” 的形式.
(3)构造函数 : 条件中含 “ ” 的形式.
(4)构造函数 : 条件中含 “ ” 的形式.
1．（2023春 资溪县校级期末）已知函数是定义域为的奇函数，是其导函数，（2），当时，，则不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C． D．，，
2．（2022春 赣州期末）已知定义在上的函数，其导函数为．若，且当时，，则不等式的解集为　　
A． B．， C． D．
3．（2021春 海安市校级期中）设定义在，上的函数的导函数，若，则　　
A．（1）（3） B．（1）（3） C．（3）（1） D．（3）（1）
4．（2023春 鄄城县校级月考）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
5．（2023春 泉州期末）设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是　　
A．（1） B．（2）（1）
C． D．
6．（2023春 上高县校级期末）已知若为定义在上的偶函数，且当，时，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
7．（2023春 东莞市期末）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为　　
A． B．
C． D．
8．（2023春 西青区期末）已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
9．（2023春 嘉陵区校级期中）已知函数的导函数是，对任意的，，若，则的解集是　　
A． B． C． D．
10．（2023春 蒲城县校级期中）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为　　
A． B．
C． D．，，
11．（2023春 龙岩期末），，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
12．（2023春 渭滨区期末）已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且（2），则不等式的解集是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
13．（2023春 沙坪坝区校级期末）设函数的定义域为，是其导函数，若，（1），则不等式的解集是　　
A． B． C． D．
14．（2023春 武汉期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且（3），则关于的不等式的解集为　　
A． B．，，
C．，， D．，，
15．（2023春 台州期中）已知函数是定义在上的可导函数，满足（1），且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
16．（2023春 响水县校级期中）已知函数的定义域为，为的导函数，且，则不等式的解集是　　
A． B．，，
C．，， D．
17．（2023春 武清区校级期中）已知定义在上的奇函数满足时，成立，且（1）则的解集为　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
18．（2023春 通许县期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
19．（2023春 惠州月考）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，（2），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
20．（2023春 重庆期中）已知定义在上的函数满足：，且（1），则的解集为　　
A． B． C． D．
21．（2023春 涪城区校级期中）函数定义域为，其导函数为，若，，且（1），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
22．（2023春 南阳月考）已知函数满足：，，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
23．（2023春 薛城区校级月考）已知定义在上的函数的导数为，且（e），若对任意恒成立，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
24．（2023春 绿园区期中）设是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 （3）的解集为　　
A． B． C． D．
25．（2023春 普陀区校级期末）已知，下列判断错误的是　　
A．函数的图像在点处的切线方程为
B．是函数的一个极值点
C．当时，
D．当时，不等式的解集为
26．（2023春 新城区校级期中）定义在上的函数的导函数为，满足，则不等式（1）的解集为　　
A． B．，，
C． D．
27．（2023春 浙江期中）已知定义在上的奇函数满足，，若，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
28．（2023春 南岸区校级期中）已知函数是定义在上的可导函数，满足（1），且，则不等式的解集为　　
A． B． C． D．
29．（2023春 三台县期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，（1），则不等式的解集为　　
A． B． C． D．，
30．（2023 全国二模）已知函数，则关于的不等式的解集为　　
A． B．
C．，， D．，，重难点突破03 同构
三种基本模式：
①积型：
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。
②商型：
③和差型：
无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.
一．选择题（共29小题）
1．（2023春 上犹县校级期末）若在，上恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：已知在，上恒成立，
即在，上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得恒成立，
所以在上单调递增，
此时原不等式等价于在，上恒成立，
即在，上恒成立，
不妨设，函数定义域为，，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以（1），
此时，
则实数的取值范围为，．
故选：．
2．（2022春 柴桑区校级期中）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
即为，
即有，
所以，
设，
所以，
，
所以单调递增，
所以，
所以，
令，
所以，
所以时，函数递减，时，函数递增，
（e），
即的最大值为．
故选：．
3．（2023 酒泉模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：等价于，
令，
则，
所以是增函数，
所以等价于，
所以，
所以，
令，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以（e），
所以实数的取值范围为，．
故选：．
4．（2023 香坊区校级三模）设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
令，则，
，
令，得，
所以在，上，，单调递增，
所以当，时，，
因为对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，，不等式恒成立，
即对任意的，，不等式恒成立，
令，
，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以（e），
所以，
所以，
所以实数的取值范围为，，
故选：．
5．（2021秋 周口月考）若不等式对任意恒成立，则正实数的最大值为　　
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：由题意得，，
即，
令，
所以函数在上单调递增，
从而不等式转化为，
则，
即，
令，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，
即（1），
则的最大值为，
故选：．
6．（2021 沙坪坝区校级开学）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因为，不等式成立，即，
转化为恒成立，
构造函数，
可得，
当时，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，进而转化为恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值（e），
所以，
所以实数的取值范围为，，
故选：．
7．（2021春 利通区校级月考）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为的定义域为关于原点对称，且，
所以为上的奇函数，
又因为，
而，当且仅当，即时等号成立，
故恒成立，
所以为上的增函数，
不等式对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
当时，不等式恒成立，
当时，则，
解得，
综上所述，，，
故选：．
8．（2023 辽宁一模）设，若不等式在时恒成立，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：对于，即，
因为是的反函数，
所以与关于对称，原问题等价于对一切恒成立，即，
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以（1），
所以，
所以的最大值为．
故选：．
9．（2022 秦皇岛开学）已知，若对任意的恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，得，即．设，
则原不等式等价于，因为，
故在上单调递增，故对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
设，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以，
，
故选：．
10．（2023春 湖北期中）若存在正实数，使得不等式成立是自然对数的底数），则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：
设，则，
则在上单增，
则
设，则，
当时，，当时，
得在上单增，在上单减，
则当时取得最大值，故，
的最大值为．
故选：．
11．（2023春 渝中区校级期末）若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．
【解答】解：由，可得，即，
即，
设，则在上恒成立，
又，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
当时，由于，则，
此时，，满足在上恒成立；
当时，由于，则，
要使在上恒成立，
则需，即在上恒成立，
设，则，
易知当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则（e），
综上，实数的取值范围为，．
故选：．
12．（2023春 盐城月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．以上均不正确
【解答】解：因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，
则，所以在上单调递增，
依题意对任意恒成立，
即对任意恒成立，
两边取对数可得，所以，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，所以，即，；
故选：．
13．（2023 亭湖区校级三模）设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：对恒成立，即，即，
令，则，
故在单调递增，故，故，问题转化为，
令，，令，解得，令，解得，
故在单调递增，在单调递减，
故（e），故．
故选：．
14．（2023 江西模拟）已知，，，若恒成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，所以，即，
令，则，所以在上单调递增，
由，可得，，则恒成立，
所以，
令，，
令，得，
当，，在上单调递减，
当，，在单调递增，
所以（1），所以，解得，
则的最大值为．
故选：．
15．（2022秋 宛城区校级月考）设函数，不等式对恒成立，则实数的最大值为　　
A． B．1 C．0 D．
【解答】解：因为的定义域为，，
为奇函数，
，
在上单调递增，
，
，
，
令，，
，在上单调递增，，
令，，，，
，在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，
故选：．
16．（2023 河南模拟）若，恒成立，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，，
，，
若，显然成立，此时满足；
若，令，在上恒成立，
在上单调递增，而，．
综上，在上恒成立，．
令，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
，即．的最小值为．
故选：．
17．（2022秋 滨江区校级期末）已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题设，即，
令且，上述不等式等价于（1），
而，故在上递增，则有在上恒成立，
所以在上恒成立，记，令，则，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
所以在上递减，在上递增，则，故．
故选：．
18．（2023 滨州二模）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：等价于，
令函数，则，故是增函数，
等价于，即，
令函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以．
故实数的取值范围为．
故选：．
19．（2023 吉林模拟）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由得，
即，
令，，则，
所以在上单调递增，
而等价于，
，即，
令，，则，
所以在时，为增函数；在在时，为减函数，
所以最大值为，
．
故选：．
20．（2023 柳州三模）已知，，若在上恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
即在上恒成立，
易知当，时，，，
令函数，则，函数在上单调递增，
故有，则在上恒成立，
令，则，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以（e），
所以，即实数的最小值为．
故选：．
21．（2021 雅安三模）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
令，，，
令，解得，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
因为，
又，所以，即，
题意转化为存在正实数，使得成立，即，
令，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以，所以，
所以的最大值为，
故选：．
22．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不等式，
即为，
即有，
可令，
则成立，
由和互为反函数，可得图象关于直线对称，
可得有解，
则，即，
可得，导数为，
可得时，函数递减，时，函数递增，
则时，取得最大值，
可得即有，
可得，
即的最大值为．
故选：．
23．（2023 大观区校级三模）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：等价于．
令函数，则，
故是增函数．
所以等价于，即．
令函数，则．
当时，，单调递增：
当时，，单调递减．
所以．
故实数的取值范围为．
故选：．
24．（2023春 连城县校级月考）若，则实数的取值范围为　　
A． B．， C． D．
【解答】解：根据题意易知，
设，求导可得，所以在上单调递增，而，
所以可得，如果得到，只需满足恒成立，
令，求导可得，
当时，，所以单调递减，
当时，，所以单调递增，
所以（1），
故只需，即，
故选：．
25．（2022春 繁昌县校级月考）对任意，若不等式恒成立为自然对数的底数），则正实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：，
令（由可知，则，
设，则即可，
易得，
①当时，，此时是增函数，
故，解得，又，；
②当时，则在，上单调递减，在上单调递增，
故（a），（a），
设（a），故（a）即可，
而（a），显然（a），
即（a）在上单调递减，又，而（a），
（a），，又，
因此．
综上所述，正实数的取值范围是，．
故选：．
26．（2023春 谯城区校级期中）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，若显然不是恒大于零，故．（由4个选项也是显然，可得，
则显然在，上恒成立；
当时，，
令，，在上单调递增．
因为，，所以，即，
再设，令，则，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
所以的取值范围为．
故选：．
27．（2022秋 荔湾区校级月考）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：由题意，不等式恒成立，即成立，即，
进而转化为恒成立．
令，则，当时，，
所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立．
因为，，所以，，
所以对任意的恒成立，所以恒成立．
设，可得．当时，，单调递增；
当时，，单调递减．所以当时，函数取得最大值，最大值为，
此时，所以，解得，即实数的取值范围是．
故选：．
28．（2023 齐齐哈尔二模）已知不等式对恒成立，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，
C．，， D．
【解答】解：当时，，而当时，，不符合题意，所以，
不等式对恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
设，则，可得，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极小值，且极小值为2，
所以恒成立，在上单调递增，则在上恒成立，
即有恒成立，设，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取得极大值，且最大值为，此时，
故的取值范围是，．
故选：．
29．（2023 渭南二模）已知，恒成立，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，得，
所以，
所以，即．
构造函数，
所以．
因为，
所以单调递增．
所以．
所以，即，
记，
所以，
又因为，
所以在区间，，单调递减；
在区间，，单调递增．
所以（1）．
所以，
解得，所以的取值范围是，．
故选：．
二．填空题（共1小题）
30．（2016秋 清浦区校级月考），不等式恒成立，则的取值范围是　　．
【解答】解：当，由题意可得与互为反函数，
故问题等价于在区间上恒成立．
构造函数，则，
令，得，且此时函数取到最小值，
故有，解得；
当时，不符合条件，舍去，
故的取值范围是：；
故答案为：．重难点突破03 同构
三种基本模式：
①积型：
说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知。
②商型：
③和差型：
无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量.
1．（2023春 上犹县校级期末）若在，上恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
2．（2022春 柴桑区校级期中）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
3．（2023 酒泉模拟）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
4．（2023 香坊区校级三模）设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．（2021秋 周口月考）若不等式对任意恒成立，则正实数的最大值为　　
A．2 B． C．3 D．
6．（2021 沙坪坝区校级开学）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
7．（2021春 利通区校级月考）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
8．（2023 辽宁一模）设，若不等式在时恒成立，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
9．（2022 秦皇岛开学）已知，若对任意的恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
10．（2023春 湖北期中）若存在正实数，使得不等式成立是自然对数的底数），则的最大值为　　
A． B． C． D．
11．（2023春 渝中区校级期末）若时，关于的不等式恒成立，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．
12．（2023春 盐城月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．以上均不正确
13．（2023 亭湖区校级三模）设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
14．（2023 江西模拟）已知，，，若恒成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
15．（2022秋 宛城区校级月考）设函数，不等式对恒成立，则实数的最大值为　　
A． B．1 C．0 D．
16．（2023 河南模拟）若，恒成立，则的最小值为　　
A． B． C． D．
17．（2022秋 滨江区校级期末）已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
18．（2023 滨州二模）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
19．（2023 吉林模拟）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
20．（2023 柳州三模）已知，，若在上恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
21．（2021 雅安三模）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
22．设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　
A． B． C． D．
23．（2023 大观区校级三模）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
24．（2023春 连城县校级月考）若，则实数的取值范围为　　
A． B．， C． D．
25．（2022春 繁昌县校级月考）对任意，若不等式恒成立为自然对数的底数），则正实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
26．（2023春 谯城区校级期中）已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
27．（2022秋 荔湾区校级月考）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
28．（2023 齐齐哈尔二模）已知不等式对恒成立，则实数的取值范围为　　
A．，， B．，
C．，， D．
29．（2023 渭南二模）已知，恒成立，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二．填空题（共1小题）
30．（2016秋 清浦区校级月考），不等式恒成立，则的取值范围是 ．重难点突破04 导数中的取整问题
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 孝感期中）已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，得，
令，则，
当时，，在上递增，
当时，，在上递减，
令，画出，的图象如图：
根据条件，由图象，可得，解得，．
故选：．
2．（2023春 石家庄期中）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知函数，则有且只有一个负整数解．
令，则，
当时，，
当时，，
所以在上递减，在上递增，
当时，取得最小值为，
设，则恒过点，
在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示：
显然，依题意得且，即且，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：．
3．（2023春 安徽期中）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点，在直线上方，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：点，在直线上方，即，
因为，
所以有且仅有一个正整数解．
，
则，，单调递增；
，，单调递减，
所以．
又，；，；，，故可得图象如下图，
直线过定点，
当，有无数个正整数解，不合题意，故，
又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即．
故选：．
4．（2022秋 萍乡期末）已知函数，，若关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
【解答】解：显然，
由，得，得，
得，
令，，则，
所以函数区间内为增函数，
所以可化为，即，即，
所以关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，
令，则，
令，得，令，得，
所以在上为减函数，在上为增函数，
因为关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，
结合图形可知，满足题意的整数解只能是1和2，
所以（2）（3），即．
故选：．
5．（2023 长沙模拟）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：函数，不等式化为：．
分别令，．
．
可得：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
，（2）．如图所示．
不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
正整数解为1，2，
，即．
解得：．
数的取值范围是，．
故选：．
6．（2023 浑南区一模）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：法：由，得，
令，则，
设，即，可得，
在单调递增，在，单调递减，
当的解中仅有2个整数为1，2，
则需满足，可得；
法：由，得，
设，，，
令，得，即在单调递增，在，单调递减，
当时，可以有无数个整数解，不满足题意；
当时，如图所示：
需满足，得，
故选：．
二．多选题（共6小题）
7．（2023春 浙江期中）对于函数，则下列说法正确的是　　
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．若关于的不等式有唯一的负整数解，则实数的取值范围是
D．若过点与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是
【解答】解：对于、，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，没有极大值，故错误，正确；
对于：由上可知，
时，；时，，
当时，不等式，有无数个负整数解，
当时，恒过点，
此时与交点的横坐标为正数，不妨设为
所以当时，，
所以有无数个负整数解，
当时，若不等式有唯一的负整数解，
则，解得，
综上所述，的取值范围为，，故正确；
对于：设切点的坐标为，，
所以，且，
又切线过点，
所以，
所以，
所以，
因为过点与曲线相切的直线有3条，
所以方程有三个解，
令，
，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，（1），
所以时，；时，，
所以，故正确，
故选：．
8．（2023 黄州区校级三模）已知函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值可以为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为定义域为，由，
可得，
即不等式有且只有三个整数解，
令，则，所以当时，
当时，则在上单调递增，在上单调递减，
又（1），
所以当时，当时，
易知函数的图象恒过点，
在同一平面直角坐标系中作出与的图象如下图所示：
由题意及图象可知，要使不等式有且只有三个整数解，
则，即，解得，
故符合题意的有、．
故选：．
9．（2023 泰安二模）已知函数，，．　　
A．若曲线在点，处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
【解答】解：选项，，
则（1），，则，，故错误；
选项，当时，，
，
因为，则，
或在 上单调递增，
则在上单调递增，故正确；
选项，当时，令，
注意到当 时，，则，
则函数有三个零点，相当于直线与函数的图象有三个交点．
令，其中，
或，则在，上单调递增，
或或或，
则在，，，，，上单调递减，
又，，，，
则可得大致图象如下，
则由图可得，当时，直线与函数 图象有三个交点，
即此时函数有三个零点，故正确；
选项，由题可得，，
即存在唯一整数，使得的图象在下方，
则，，
得在 上单调递减，在 上单调递增，
又，，，，过定点，
可在同一坐标系下做出与图象，
又设过点切线方程的切点为，，
则切线方程为：，因其过，
则，解得或，
又注意到（1）（1），结合两函数图象，可知 或2．
当时，如图1，需满足，解得，
当时，如图2，需满足，解得，
综上所述，，，，故正确．
故选：．
10．（2023春 鼓楼区校级期中）已知函数，下面选项正确的有　　
A．的最小值为
B．时，
C．
D．若不等式有且只有2个正整数解，则
【解答】解：，，
令，解得且，
令，解得，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
（2），
如图，
所以函数没有最小值，故错误；
：当时，，
即，
即，
设，则，
所以函数在上单调递增，且，
所以，即，故正确；
：设，则，
又，
所以当时，，即．
令，则，得，
所以，故错误；
：作出函数图象和直线，如图，
由不等式有两个正整数解知，（3）（1），
即，故正确．
故选：．
11．（2022秋 揭阳期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数的可能取值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令，可得，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
如图，
分别作出函数与的图象，
其中直线恒过定点；
由可知，，，
需满足：，
故实数的取值范围是，
其中，，
故选：．
12．（2023春 玉林期中）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值可能是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
若有且只有一个整数，使得，则存在唯一的整数，使得在直线的上方，
因为，（1）（1），另外恒过定点且斜率为，
所以，即，
所以实数的取值范围为，，对比选项，可知正确．
故选：．
三．填空题（共10小题）
13．（2023 洪山区校级模拟）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数的取值范围为 　，　．
【解答】解：若，则，
所以，
所以，
令，
则，
令，
则在上单调递增，且，（1），
所以存在，当，则，，单调递减，
当，时，，，单调递增，
因为（1），
所以只需且且（2），
所以，
解得，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
14．（2023春 建华区校级月考）已知不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：原不等式等价于，
设，，令，得
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，取极大值，又，且时，，
因此的图像如下，
直线恒过点．
当显然不满足条件；
当时，只需要满足，即，解得．
则实数的取值范围为．
故答案为：．
15．（2023 云南模拟）设函数，，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 　　．
【解答】解：由函数，，
设和，
因为存在唯一整数，使得，
所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示，
因为，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
当时，取得极小值，也为最小值，
且当时，，当时，，
又由直线恒经过原点，斜率为（其中，
所以且，
解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
16．（2023 南关区校级模拟）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：由函数，则不等式，即，
因为，则可化为，
令，可得，
令，可得，
所以在上单调递增，
又由，（1），
所以存在唯一的使得，
当时，，可得，所以单调递减；
当，时，，可得，所以单调递增，且，
又因为，
所以当原不等式有且仅有两个整数解时，则满足，
解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
17．（2023 河南模拟）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，
所以不等式有且仅有1个整数解．
设，则，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数．
又（1），则当时，；当时，．
设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，
由图象可知，，
要使不等式有且仅有1个整数解，
则，解得，实数的取值范围为．
故答案为：．
18．（2023春 浦东新区校级期末）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：设，，则，
，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
时函数取极大值即最大值，
又，（1），（3），
直线恒过定点且斜率为，
要使有且仅有两个整数满足，
即有且仅有两个整数满足，
（1）（1）且，
解得，即．
故答案为：．
19．（2023春 工业园区校级月考）已知函数恰有三个正整数，2，，使得，，2，3，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：的定义域为，
由可得
（1）显然时，不等式在上无解，不符合题意；
（2）当时，不等式为，
令，，则当时，，
故不等式没有正整数解，不符合题意；
（3）当时，不等式为为增函数，
，令，则，
当时，，故在上单调递减，
而，
存在使得，
当，时，，当时，，
即当，时，，当时，，
在，上单调递增，在，上单调递减，
又（1），且时，，
故不等式的三个正整数解为1，2，3，
，即，解得：．
故答案为：．
20．（2023春 永春县校级期末）已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：已知，即，
令，，，
则，易知在上单调递增，
又（1），（2），所以存在实数，使得，
且当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，又（1）（2），是过定点的直线，
所以画出函数和的大致图象如图所示，
令，，，
由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，，
而，所以，
因为，所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
21．（2023 河南模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：由，，
化为，
分别令，，
则（2）（2），
，
可得函数在上单调递增，在，上单调递减．
由存在唯一的整数，使得，
，即，
解得，
实数的取值范围是，．
故答案为：，．
22．（2023 重庆模拟）已知函数在区间内存在极值点，且在上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：若时，在上单调递增，不合题意，则，
由题意可得：，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得有唯一极值点，
若函数在区间内存在极值点，则，解得，
又因为在上恰好有唯一整数解，且，则有：
①当，即时，则当时，则在，上单调递增，可得，
所以在上恰好有唯一整数解为，
则，解得；
②当，即时，则在，上单调递增，在上单调递减，可得，不合题意；
③当，即时，则当时，则在，上单调递减，可得，
所以在上恰好有唯一整数解为1，
则，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
故答案为：．重难点突破04 导数中的取整问题
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 孝感期中）已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
2．（2023春 石家庄期中）已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
3．（2023春 安徽期中）已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点，在直线上方，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
4．（2022秋 萍乡期末）已知函数，，若关于的不等式在区间内有且只有两个整数解，则实数的取值范围为　　
A．， B． C．， D．
5．（2023 长沙模拟）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围　　
A．， B．，
C．， D．，
6．（2023 浑南区一模）已知不等式的解集中仅有2个整数，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
二．多选题（共6小题）
7．（2023春 浙江期中）对于函数，则下列说法正确的是　　
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．若关于的不等式有唯一的负整数解，则实数的取值范围是
D．若过点与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是
8．（2023 黄州区校级三模）已知函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值可以为　　
A． B． C． D．
9．（2023 泰安二模）已知函数，，．　　
A．若曲线在点，处的切线方程为，且过点，则，
B．当且时，函数在上单调递增
C．当时，若函数有三个零点，则
D．当时，若存在唯一的整数，使得，则
10．（2023春 鼓楼区校级期中）已知函数，下面选项正确的有　　
A．的最小值为
B．时，
C．
D．若不等式有且只有2个正整数解，则
11．（2022秋 揭阳期末）已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数的可能取值为　　
A． B． C． D．
12．（2023春 玉林期中）函数，其中，若有且只有一个整数，使得，则的取值可能是　　
A． B． C． D．
三．填空题（共10小题）
13．（2023 洪山区校级模拟）已知函数，若有且仅有两个整数，满足，则实数的取值范围为 ．
14．（2023春 建华区校级月考）已知不等式恰有1个整数解，则实数的取值范围为 ．
15．（2023 云南模拟）设函数，，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是 ．
16．（2023 南关区校级模拟）设函数，若不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是 ．
17．（2023 河南模拟）已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数的取值范围为 ．
18．（2023春 浦东新区校级期末）设函数，，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 ．
19．（2023春 工业园区校级月考）已知函数恰有三个正整数，2，，使得，，2，3，则实数的取值范围为 ．
20．（2023春 永春县校级期末）已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数的取值范围为 ．
21．（2023 河南模拟）已知函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是 ．
22．（2023 重庆模拟）已知函数在区间内存在极值点，且在上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是 ．重难点突破05 含参导数的分类讨论
一、当导函数对应的值含有参数,不能区分大小时,需要对导函数方程根的大小,即的值进行分类讨论,从而得到对应所求函数的单调性.
对导函数方程根分类讨论的解题思路一般为:
(1)对原函数解析式求导,令导函数,求出对应的和;
(2)分三种情况分类讨论的大小关系,判断不同区间对应导数的正负;
(3)通过分类讨论情况,综合得到所求的函数单调性及单调区间.
二、当导函数属于一元二次函数类型时,需要对对应的判别式的大小进行分类讨论,根据与0的大小关系判断实数根的个数,从而对函数单调性作出解答.
根据判别式讨论函数单调性问题,基本思路为:
(1)求出导函数解析式,判断判别式的符号的正负;
(2)讨论大小对应情况,从而确定方程实数根的个数;
(3)结合实数根对应不同的具体图象,从而判断函数的单调区间.
三、当导函数类型不明确时,参数的不同情况会导致函数导函数类型不同,因此当参数决定导函数类型时,应对参数进行分类讨论从而判断对应函数的单调区间。
以导函数类型为依据的分类讨论解题思路一般为:
(1)对所求函数求导,得到具体到函数解析式;
(2)对参数进行分类讨论,探讨不同类别导函数在规定区间的具体值,判断对应函数单调区间;
(3)综合所有情况,对函数的单调区间做出总结,即对应问题所求.
1．（2023春 商洛期末）已知函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值（2），
又，（4），
所以在，上的最大值为32，最小值为；
（2）易知，
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
若，即时，，单调递增；
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当 时，函数在和上单调递增，
在上单调递减．
2．（2023春 荔湾区期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1），
，
当时，，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
当时，令得或，
①若，即时，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
在，上，单调递增，
②若，即时，
在上，单调递增，
在，上，单调递减，
在上，单调递增，
③若，即时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在，，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在，上单调递减，
当时，在单调递增．
3．（2023春 朝阳期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
【解答】解：（1）因为，
所以，
当时，，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
4．（2023春 铁西区校级期中）已知函数．
（1）当时，求函数在，上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数的单调性．
【解答】解：（1）当时，，
，
令，得或，
所以在上，，单调递减，
在，上，单调递增，
，
，
（1），
（4），
所以，．
（2），
令得或，
当，即时，，
所以在上单递增，
当，即时，
在，上，，单调递增，
在上，，单调递减，
当，即时，
在，上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在上单递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
5．（2023春 越秀区校级月考）设函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，的图象与的图象有2条公切线．
【解答】解：（1），
，
令，，
△，且，
方程的根为或，，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减．
（2）证明：设，，，分别是，图象上的点，
所以在，处的切线方程为，即，
所以在，处的切线方程为，
在，处的切线方程为，即，
所以在，处的切线方程为，
若和有共切线，则，
所以，
若的图象与的图象有2条公切线．则有两个根，
令，
，
，
所以在上单调递减，
又（1），（2），
所以存在使得，即，即，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以当时，方程有两个根，得证．
6．（2023春 仁寿县校级期中）已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围．
（2）求的单调区间．
【解答】解：（1）由题意得的定义域为，，
当时，，在单调递增，满足题意；
当时，由得（不符合题意，舍去）或，
要使在，上单调递增，则，即，
综上所述，的取值范围为，；
（2）由（1）得当时，在单调递增，
当时，在单调递增，
由得，即在单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
7．（2023 中卫一模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）的定义域为，，．
当时，，则，
当时，可知在上单调递增，
当时，令，得，今，得．
因为，所以为偶函数，
所以当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
8．（2023春 怀仁市期末）已知函数，．
（1）若时，求在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
【解答】解：（1）当时，，，，，
切线方程为：，即．
（2）因为，，
所以．
①当时，令，得，在上单调递减；
令，得，在上单调递增；
②当时，令，得，在上单调递减；
令，得或，在和上单调递增，
③当时，在时恒成立，在单调递增；
④当时，令，得，在上单调递减；
令，得或，在和上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
9．（2023春 芗城区校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
【解答】解：（1），函数定义域为，，
若，则，在递增，
若，，解得：，，解得：，
在单调递减，在单调递增．
10．（2023春 唐山期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，是减函数，时，，是增函数；
综上，时，在上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）当时，由（1）得在上是增函数，不符合题意；
当时，由（1）得；
①当时，，只有一个零点，不符合题意；
②当时，，故在有一个零点，
又在上是增函数，
设（a）（a），（a）（a），（a）（1），
（a）在单调递增，（a）（1），
（a）在单调递增，（a）（a）（1），
设，由知，
当，，单调递减，当，，单调递增，
（1），即，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
③当时，，故有一个零点，
又在上是减函数，，由②得，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
综上，或，
实数的取值范围为，，．
11．（2023春 锦州期末）已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求的值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1），
令，得：，，
由于是函数的极小值点，所以（1），即，
此时因为时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，故满足题意．
（2）时或，
时，的解为或，此时在，和，上单调递增；
的解为，此时在，上单调递减；
时，的解为或，此时在，和上单调递增；
的解为，此时在，上单调递减；
时，恒成立，此时在上单调递增．
12．（2023春 斗门区校级月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）讨论函数在，上的单调性．
【解答】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；
（2）解：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，对于任意的，，此时函数的减区间为；
当时，由，可得；由，可得，
此时函数的减区间为，增区间为，
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为．
13．（2023春 青山区校级月考）已知，函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间．
【解答】解：（1）当时，，
则，（1），
又（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．
（2）当时，，
则
令，得；令，得；
所以函数的单调增区间为，单调减区间为．
14．（2023春 仁寿县校级期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）时，，
则，
故（1），（1），
故切线方程是：，即；
（2）因为，
对求导，，，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；
③当时，令，解得，
因为当，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可知，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
15．（2023春 忠县校级月考）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a≤0，试讨论函数f（x）的单调性
【解答】解：（1）由题意a＝1时，函数，
则有f'（x）＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），，
故所求切线方程为，即15x﹣3y﹣25＝0；
（2）f'（x）＝x2+2ax﹣3a2＝（x+3a）（x﹣a），且x∈（﹣∞，+∞），
当a＝0时，f'（x）＝x2≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）单调递增．
当a＜0时，x∈（﹣∞，a）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
x∈（a，﹣3a）时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减；
x∈（﹣3a，+∞）时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增．
综上，当a＝0时，函数f（x）单调递增区间为（﹣∞，+∞），
当a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（﹣∞，a），（﹣3a，+∞）；
函数f（x）单调递减区间为（a，﹣3a）．
16．（2023春 顺义区期中）已知函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）已知，，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，在定义域上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（Ⅱ）由得，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，在上单调递增，在，上单调递减，
当时，，时，，
若函数有两个零点，则，
解得，
故的取值范围为．
17．（2023春 江苏月考）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
【解答】解：（1）由题意得函数的定义域为，，
当时，由得，由得，
在内单调递减，在内单调递增，
当时，由得或，
当时，由得，由得或，
在上单调递减，在和上单调递增，
当时，恒成立，
在内单调递增，
当时，由得，由得或，
在上单调递减，在和上单调递增；
综上所述，当时，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在及内单调递增；
当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在及内单调递增；
18．（2023 德州三模）已知函数，其中．
（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1）当时，，定义域为，
所以，
所以（1），
又（1），
所以函数在，（1）处的切线方程为，即．
（2）的定义域是，
，，
令，则△．
①当或△，即时，恒成立，
所以在上单调递增．
②当，即时，
由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
19．（2023春 青岛期中）设函数．
（1）求的单调区间；
【解答】解：（1）因为定义域为，
所以，
因为，所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
20．（2023春 全南县校级期末）已知，．
（1）求的单调区间；
【解答】解：（1），
当时，在上恒成立，在上单调递减，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
21．（2023春 湛江期末）已知函数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
【解答】解：（Ⅰ）函数，为自然对数的底数），
的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当，时，，当，时，，
在，上单调递减，在，上单调递增．
综上，当时，，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增．
22．（2023春 博白县校级期中）已知函数，其中，为的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，试讨论函数在上的零点个数．
【解答】解：（1）函数，定义域为，
则，
①当时，令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
③当时，在恒成立，所以在上单调递增；
④当时，令得；令得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）①当时，在上单调递增，（1），故在上没有零点；
②当，即时，在上单调递减，
要使在上有零点，则，解得；
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由于（1），．
令，
令，
则，所以（a）在上单调递减，
故（a）（2），即（a），
所以（a）在上单调递增，，
所以在上没有零点．
综上所述，当时，在上有唯一零点；
当时，在上没有零点．
23．（2023春 越秀区校级期末）已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
【解答】解：（1），
令得，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，或时，，
时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，或时，，时，，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
24．（2023春 怀仁市校级期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
【解答】解：（1）的定义域为，，
①当时，令，，则在单调递增，在，单调递减，
②当时，△，
当△时，即时，在单调递增，
当△时，或，
此时方程有两个实根，，
，，
当时，，，
则在单调递增，在，单调递减，
当时，，，
则在单调递增，在，单调递减，在，单调递增，
综上，当时，在单调递增，在，单调递减；
当时，在单调递增，在，单调递减，
当时，在单调递增，
当时，在单调递增，在，单调递减，在，单调递增．重难点突破05 含参导数的分类讨论
一、当导函数对应的值含有参数,不能区分大小时,需要对导函数方程根的大小,即的值进行分类讨论,从而得到对应所求函数的单调性.
对导函数方程根分类讨论的解题思路一般为:
(1)对原函数解析式求导,令导函数,求出对应的和;
(2)分三种情况分类讨论的大小关系,判断不同区间对应导数的正负;
(3)通过分类讨论情况,综合得到所求的函数单调性及单调区间.
二、当导函数属于一元二次函数类型时,需要对对应的判别式的大小进行分类讨论,根据与0的大小关系判断实数根的个数,从而对函数单调性作出解答.
根据判别式讨论函数单调性问题,基本思路为:
(1)求出导函数解析式,判断判别式的符号的正负;
(2)讨论大小对应情况,从而确定方程实数根的个数;
(3)结合实数根对应不同的具体图象,从而判断函数的单调区间.
三、当导函数类型不明确时,参数的不同情况会导致函数导函数类型不同,因此当参数决定导函数类型时,应对参数进行分类讨论从而判断对应函数的单调区间。
以导函数类型为依据的分类讨论解题思路一般为:
(1)对所求函数求导,得到具体到函数解析式;
(2)对参数进行分类讨论,探讨不同类别导函数在规定区间的具体值,判断对应函数单调区间;
(3)综合所有情况,对函数的单调区间做出总结,即对应问题所求.
1．（2023春 商洛期末）已知函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）讨论的单调性．
2．（2023春 荔湾区期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
3．（2023春 朝阳期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
4．（2023春 铁西区校级期中）已知函数．
（1）当时，求函数在，上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数的单调性．
5．（2023春 越秀区校级月考）设函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，的图象与的图象有2条公切线．
6．（2023春 仁寿县校级期中）已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围．
（2）求的单调区间．
7．（2023 中卫一模）已知函数．
（1）讨论的单调性；
8．（2023春 怀仁市期末）已知函数，．
（1）若时，求在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性．
9．（2023春 芗城区校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
10．（2023春 唐山期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有2个零点，求实数的取值范围．
11．（2023春 锦州期末）已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求的值；
（2）讨论的单调性．
12．（2023春 斗门区校级月考）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）讨论函数在，上的单调性．
13．（2023春 青山区校级月考）已知，函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间．
14．（2023春 仁寿县校级期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
15．（2023春 忠县校级月考）已知函数．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若a≤0，试讨论函数f（x）的单调性
16．（2023春 顺义区期中）已知函数，．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围．
17．（2023春 江苏月考）已知函数，．
（1）讨论的单调性；
18．（2023 德州三模）已知函数，其中．
（1）当时，求函数在，（1）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
19．（2023春 青岛期中）设函数．
（1）求的单调区间；
20．（2023春 全南县校级期末）已知，．
（1）求的单调区间；
21．（2023春 湛江期末）已知函数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
22．（2023春 博白县校级期中）已知函数，其中，为的导函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，试讨论函数在上的零点个数．
23．（2023春 越秀区校级期末）已知函数，其中．
（1）求函数的单调区间；
24．（2023春 怀仁市校级期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；重难点突破06 恒成立与能成立问题
1．恒成立问题的转化：恒成立；
2．能成立问题的转化：能成立；
3．恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M
另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值．
4．设函数、，对任意的，存在，使得，则
5．设函数、，对任意的，存在，使得，则
6．设函数、，存在，存在，使得，则
7．设函数、，存在，存在，使得，则
8．设函数、，对任意的，存在，使得，设在区间[a，b]上的值域为A，在区间[c，d]上的值域为B，则AB．
9．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方．
10．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方．
恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．
函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等…
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点．
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象．
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题．等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的．
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1．
思路2．
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数的最值．
1．（2023春 海淀区期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的零点个数；
（Ⅲ）若对任意的，，都有，求实数的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
所以（1），
又（1），
所以曲线在，（1）处的切线方程为，
即；
（Ⅱ）当时，，
要求函数的零点个数，
即求方程的根，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
此时，
所以与轴无交点，
即方程无实数根，
故函数没有零点；
（Ⅲ）若对任意的，，都有，
不妨设，函数定义域为，，
可得，
当时，
易知方程中△，
所以该方程有两个实数根，设为，，
因为，，
不妨设，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，极大值（1），不符合题意；
当时，
易知方程中△，
即方程与轴至多有一个交点，
又函数为开口向下的二次函数，对称轴，
当时，函数取得最大值，
此时（1），
即恒成立，
则满足条件的的取值范围为，，
故实数的最大值为2．
2．（2023 青羊区校级模拟）已知函数，其中为实数．
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）求证：对任意的实数，方程均有解．
【解答】解：（1）在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
，
令，
在上单调递增且恒大于0，在上单调递增，
当时，，即不可能取得最大值；
当时，且单调递增，单调递增且恒大于0，
在上单调递增，即，
故，即的取值范围是；
（2）证明：设，由方程得，
即，
，
令，
当时，由得，，故原方程有解；
当时，，
，
则，
由零点存在定理得在上有零点，故原方程有解，
综上所述，对任意的实数，方程均有解．
3．（2023春 通州区期末）已知函数，．
（Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求的零点个数；
（Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有．
【解答】解：（Ⅰ）已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
若在区间上恰有一个极值点，
此时，
解得，
则实数的取值范围为；
（Ⅱ）已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
当时，，
即，
此时函数在上无零点；
当时，
易知，（e），
所以函数在，上存在唯一一个零点，
综上，有1个零点；
（Ⅲ）证明：若，
此时，
若对于任意，恒有，
此时在上恒成立，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值（1），
则，，
故对于任意，恒有．
4．（2023春 渝中区校级期末）（1）不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
（2）当，求证：（参考数据：，．
【解答】解：（1）因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意恒成立，
令，，
，
令得，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，
所以（1），
所以，
所以的取值范围为，．
（2）证明：因为，
所以，
由（1）知当时，，
所以只需证明，
所以只需证明，
令，
，
，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，（1），（2），
所以存在，，
当，，
当，，，
所以，其中，
则，
所以放缩有些过了，需要调整的取值范围，
，
所以需要比较与大小，
因为，
所以，
所以，则，
所以成立，得证．
5．（2023 宜章县二模）已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
【解答】解：（1）因为，
所以，，
设，
△，即时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
△，即时，方程有两个不等的实数根，且，
，
所以任意，，，单调递增，
任意，，，，单调递减，
任意，，，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：因为（1），
所以（1），
由（1）可得时，在上单调递增，
不妨设，
要证，即证，
所以，
所以，
所以，
设，，
，
所以时，，单调递增，
所以（1）（1），
所以．
6．（2023 河南开学）已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
所以不等式等价于或或，
解得或，
即不等式的解集为，，．
（2）当时，，
因存在，使得成立，
所以，即，所以实数的取值范围是，．
7．（2023春 西城区期末）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个不同的极值点，，证明：．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，，
，
当时，，
令得或（舍，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（Ⅱ）证明：若函数存在两个不同的极值点，，则有两个不等的实数根，，
所以有两个不等的实数根，，
所以，
解得，
令（a），，
（a），
因为，
所以，
所以，
所以，
所以（a），
所以（a）在，上单调递增，
所以（a），
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
8．（2023春 东城区校级月考）设函数，．
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，则，
由得或，
函数的单调增区间是，；
（2）函数，则，
函数在区间上为减函数，
，成立，即，，
又在上单调递减，即，，
，
的取值范围是，；
（3）由（2）得，
函数在区间内存在两个极值点，，则在区间内有两个不等根，，
即，解得，且有①，
不妨令，则，
当或时，，当时，，
则在处取得极大值，在取得极小值，显然，，
由两边平方得，
则，即，
整理得②，
联立①②得，解得，
综上所述，，
实数的取值范围是．
9．（2023春 朝阳期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，
当时，，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）因为在处取得极值，
所以（2），即，
所以，
所以，，
，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以在处取得极值，合题意，
因为对，恒成立，
所以对，恒成立，
所以对，恒成立，
令，，
，
令，得，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，．
10．（2023春 大连期末）已知函数．
（1）判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）在上只有一个极值点和一个零点．
证明：，，
当时，，单调递减，
又，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以为的一个极大值点，
因为，，，
所以在，上无零点，在上有唯一零点，
所以在上有且只有一个极值点和零点．
（2）由，得，
令，则，
，，
①若，则，
当时，，
令，则，
当时，，单调递减，
又，，
所以当，
所以，即，
由，
所以，
所以当时，恒成立，
②若，因为时，单调递减，
又，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，单调递增，不满足恒成立，
③若，
因为，
不满足恒成立，
综上所述，实数的取值范围为，．
11．（2023春 滨海新区校级月考）已知函数（a∈R）．
（1）a＝0时，求函数f（x）的单调性；
（2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒有成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵（a∈R），
∴当a＝0时，，x∈（0，+∞），
∴，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
即f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）当a≠0时，函数（a∈R），x∈（0，+∞），
，
①当a＞0时，2ax+1＞0，
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；
②当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝1或，
（i）若，则，
∴当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，
当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（ii）若时，则恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（iii）若，则，
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调递减，
当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增；
综上可得：当a＞0时f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当时f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；
当时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．
（3）当a∈[﹣2，﹣1）时，由（2）可知，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴，
∵对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒成立，
∴对任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
即对任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
∵当时单调递增，所以，
∴m≤5，
故实数m的取值范围为（﹣∞，5]；
12．（2023春 咸阳期末）已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）若对于任意，，都有成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为．
当时，，（2），
，则（2）．
所以曲线在点，（2）处的切线方程为，
即．
（2）因为对于任意，，都有成立，
则，等价于．
令，则当，时，，．
因为当，时，，所以在，上单调递增．
所以（e）．
所以．
即的取值范围是．
13．（2023 乌鲁木齐模拟）已知在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．
【解答】解：（1）由题意可得，（1），且，则（1），即，
则，，
所以；
（2）证明：由（1）可知，，，
所以，
令，
则，
所以时，，
即在，上单调递减，
所以（1），即，
所以，即．
14．（2023春 朝阳区校级期末）已知函数，（其中．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以的增区间为；减区间为；
（2）因为对于任意，都有成立，
所以在上恒成立，
即恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
因为时，，
所以，单调递增，
此时（e），
所以，
即，
又，
则的取值范围为．
15．（2023春 鼓楼区校级期末）已知定义在上的奇函数和偶函数满足．
（1）求函数的值域；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）已知定义在上的奇函数和偶函数满足，
此时，使得，
即，
整理得，，
则函数，
解得，
所以，
故函数的值域为；
（2）若存在，使得不等式成立，
即当，不等式成立，
不妨令，，
此时存在，使得不等式成立，
不妨设，函数定义域为，，
令，且，
此时，
易知，
所以，
即，
则函数在定义域上单调递减，
同理得函数在区间，上单调递增，
又，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则实数的取值范围为．
16．（2023春 芗城区校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当，时恒成立，求实数的的取值范围．
【解答】解：（1），函数定义域为，，
若，则，在递增，
若，，解得：，，解得：，
在单调递减，在单调递增．
（2）当，时，恒成立，
当，时，恒成立，即，
设则显然当，时，恒成立，
在，上单调递增，，则，即，
实数的的取值范围．
17．（2023春 驻马店月考）已知函数．
（1）求曲线在点，（4）处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），
，（4）．
则曲线在点，（4）处的切线方程为，
即．
（2），
令函数，．
所以在上单调递增．
因为（1），所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则．
因为恒成立，所以．
故的取值范围为．
18．（2023春 运城期末）已知，
（1）证明：关于对称；
（2）若的最小值为3
（ⅰ）求；
（ⅱ）不等式恒成立，求的取值范围
【解答】解：（1）证明：因为，
所以，
所以，
所以关于对称．
（2）（ⅰ）任取，，且，
，
，
，
，
，，
，
所以在，上单调递增，
又关于对称，
则在，上单调递减．
所以（1），
所以．
（单调性也可以用单调性的性质、复合函数的单调性判断、导数证明）
（ⅱ）不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，
即
令，则，
令，，则，
则，
因为，取等号，
则，
所以，
所以，
即．
19．（2023春 湖北期末）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若曲线在处的切线方程为．
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）关于的不等式对任意的恒成立，求正实数的值．
【解答】解：（1）的定义域为，
，
当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，，，的单调递增区间为，
，，的单调递减区间为．
综上：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为．
（2）由题意，所以，
记，且（1），
所以，
①，，则，（1），不合题意；
②，令，则，
当，，，，
所以，
所以，令，，则，
记，则，
又，所以当时，，当时，，所以（1），
所以，所以，所以．
20．（2023春 肥西县期中）已知函数，．
（Ⅰ）求的极小值；
（Ⅱ）若对任意的，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
，
令，解得或，
令，解得，
故在递增，在递减，在递增，
故（2）．
（Ⅱ）若对任意的，，，不等式恒成立，
则在，恒成立，
结合（Ⅰ），时，在，递减，在，递增，
故（2），
由，得，
①时，，在，递增，
故（e），
则，解得（舍，
②时，令，解得，令，解得，
故在递增，在，递减，
，即时，在，递减，（1），
则，则；
，即时，在，递增，在，递减，
故，
则，解得（舍；
，即时，在，递增，
故（e），
故，解得（舍；
综上：的取值范围是，．
21．（2023 福建模拟）已知函数，．
（1）讨论在的单调性；
（2）是否存在，，，且，使得曲线在和处有相同的切线？证明你的结论．
【解答】解：（1），
故时，；时，，
当，即时，在单调递减，在单调递增；
当，即时，在单调递增．
综上，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增．
（2）解法一：不存在，，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
证明如下：假设存在满足条件的，，，
因为在，处的切线方程为，
即，
同理在，处的切线方程为，
且它们重合，所以，，
整理得，
即，，
所以，
由两边同乘以，
得，
令，，则，且，
由得，代入得，两边取对数得，
令，
当时，，，
所以在上单调递增，又（1），所以，从而，与矛盾；
当时，，，
所以在上单调递增，又，所以，从而，与矛盾；
综上，不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
解法二：不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
证明如下：假设存在满足条件的，，，
因为在，处的切线方程为，
即，
同理在，处的切线方程为，
且它们重合，所以，，
整理得，
令，，可得，
由两边同乘以，
得，则，且，
令，则，且．
由（1）知，当时，单调递增，当时，单调递减，
又当时，，当时，，
所以若，存在，不妨设，
设，，又，所以，则，
由，得，即，
则，所以，
所以，即，
令，，则，
所以在上单调递减，所以当时，（1），
即，取，即，
所以在时无解，
综上，不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
解法三：不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
证明如下：假设存在满足条件的，，，
因为在，处的切线方程为，
即，
同理在，处的切线方程为，
且它们重合，所以，，
整理得，
即，，
所以，
由两边同乘以，
得，
令，，则．，且，
令，则，且．
由（1）知，当时，单调递增，当时，单调递减，
又当时，，当时，，
所以若，存在，不妨设，
则，，
所以，
以下证明．
令，，则，
所以在上单调递减，所以当时，（1），
因为，所以，，
整理得．
因为，所以，与矛盾；
所以不存在，，使得，且．
故不存在，，且，使得曲线在和处有相同的切线．
22．（2023春 昆明期末）已知函数在处取得极值0．
（1）求，；
（2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，
所以（1），（1），
所以，；
（2）由（1）可知，，
过点存在3条直线与曲线相切，等价于
关于的方程有三个不同的根，
设切点坐标为，
所以切线方程为，因为切线过点，
所以，即，
令，则，
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表所示，
1
0 0
单调递减 单调递增 0 单调递减
因此，当时，有极大值（1），
当时，有极小值；
则，
故实数的取值范围是．
23．（2023春 大余县校级期末）已知函数，．
（1）设，求函数的极大值点；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，求导得，由，得，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
因此函数在处有极大值，
所以函数的极大值点为．
（2）依题意，，，不等式，
当时，成立，则，
当时，，，
令，，求导得，
令，，求导得，
因此在上单调递增，即有，而，
又函数在上的值域是，，则函数，即在上的值域是，，
当时，，当且仅当，时取等号，于是函数在上单调递增，
对，，因此，
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
所以的取值范围为，．
24．（2023春 日照期末）已知函数，为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
【解答】解：（1）对函数求导得，
，
又，
曲线在处的切线方程为，
即；
（2）记，其中，
由题意知在上恒成立，
下面求函数的最小值，
对求导得，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
，
0
递减 极小值 递增
，
，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
1
0
递增 极大值 递减
（1），
故当且仅当时取等号，
又，从而得到；
（3）证明：先证，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
，
0
递减 极小值 递增
，
恒成立，即，
记直线，分别与交于，，，，
不妨设，则，
从而，当且仅当时取等号，
由（2）知，，则，
从而，当且仅当时取等号，
故，
因等号成立的条件不能同时满足，故．
25．（2023春 高台县校级月考）已知函数，为的导数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2），若对任意，，均存在，，使得，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），所以，，
从而曲线在点，处的切线方程为．
（2）由已知，转化为，且（1）．
设，则，．
当时，；
当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
又，，，
故在存在唯一零点．
所以在存在唯一零点．
设为，且当时，；
当，时，，
所以在单调递增，在，单调递减．
又，，
所以当，时，．
所以，即，
因此，的取值范围是．
26．（2023春 朝阳区期末）已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．
【解答】证明：（Ⅰ）当时，设，
则，令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
故，故成立．
（Ⅱ）由已知得，设切点为，
则且，解得：，，
所以，，
要证，
即证，
即证，即证，
令，，原不等式等价于，即，
设，则，
所以在区间上单调递增，
所以，所以成立，
所以对任意，都有．
27．（2023春 平度市期末）已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数在上存在零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题得，
在，上单调递增，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
，
，即的取值范围是，．
（2），，
注意到：，
若，则，在上单调递增，
，在上不存在零点；
若，则，在上单调递减，
，在上不存在零点；
若，显然，在上不存在零点；
若，显然存在，使得，且在上单调递增，
，，
当时，，单调递减，
当时，，在上单调递增，
注意到：，，且，存在唯一使得，
综上，，即实数的取值范围是．
28．（2023春 滨海新区期末）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，（m∈R）．
（1）若f（1）＝﹣1，求m的值及函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
因为f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，f（1）＝﹣1，则f（1）＝﹣3m+2＝﹣1，
解得m＝1．
当m＝1时，f（x）＝lnx﹣x2﹣x+1，．
当时，f′（x）＞0，则f（x）在上单调递增；
当时，f′（x）＜0，则f（x）在上单调递减；
所以f（x）在时取得极大值且极大值为，无极小值．
（2）因为，
当m≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，
当时，f′（x）＞0，则f（x）在上单调递增；
当时，f′（x）＜0，则f（x）在上单调递减；
综上：当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）解法一：若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，
所以lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1≤0，即lnx+x+1≤m（x2+2x）在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立，
设，则．
设φ（x）＝﹣（x+2lnx），则，
所以φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为φ（1）＝﹣1＜0，，
所以，使得φ（x0）＝0，即x0+2lnx0＝0．
当x∈（0，x0）时，φ（x）＞0，
当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0．
所以F（x）在﹣（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
所以．
因为，所以，
故整数m的最小值为1．
解法二：若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，
由（2）可知，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为f（1）＝﹣3m+2＞0，显然不符合对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立
由（2）可知，当m＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）有最大值．
若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，只需要即可．
设，显然在（0，+∞）上单调递减，
因为g（x）min＞h（x）max，，，
所以要使，只需要整数m≥1，
故整数m的最小值为1．
29．（2023春 台江区校级期末）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）对任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有对恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又（1），，
所以存在，，使得，即，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
由，得，
设，，，
所以在上为增函数，
所以由，得，
所以，即，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围为．
30．（2023春 天津期末）已知函数．
（1）证明：当时，恒成立；
（2）若且，证明：，，．
【解答】证明：（1）当时，，
，
令，可得，令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在时取得极大值，也是最大值为（1），
所以恒成立．
（2），
，
令，解得或，
所以当，，时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
因为（1），，
所以，所以，
，
由（1）可知，
所以，
所以要证，即证，
即证，
即证，
令，
，，
所以单调递增，又因为（1），
所以，所以单调递增，
又因为（1），
所以（1），所以得证，
即得证．重难点突破06恒成立与能成立问题
1．恒成立问题的转化：恒成立；
2．能成立问题的转化：能成立；
3．恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M
另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值．
4．设函数、，对任意的，存在，使得，则
5．设函数、，对任意的，存在，使得，则
6．设函数、，存在，存在，使得，则
7．设函数、，存在，存在，使得，则
8．设函数、，对任意的，存在，使得，设在区间[a，b]上的值域为A，在区间[c，d]上的值域为B，则AB．
9．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方．
10．若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方．
恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．
函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a等等…
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点．
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象．
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题．等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的．
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1．
思路2．
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数的最值．
1．（2023春 海淀区期末）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的零点个数；
（Ⅲ）若对任意的，，都有，求实数的最大值．
2．（2023 青羊区校级模拟）已知函数，其中为实数．
（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）求证：对任意的实数，方程均有解．
3．（2023春 通州区期末）已知函数，．
（Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求的零点个数；
（Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有．
4．（2023春 渝中区校级期末）（1）不等式对任意的恒成立，求的取值范围．
（2）当，求证：（参考数据：，．
5．（2023 宜章县二模）已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
6．（2023 河南开学）已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围．
7．（2023春 西城区期末）已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数存在两个不同的极值点，，证明：．
8．（2023春 东城区校级月考）设函数，．
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；
（3）若函数在区间内存在两个极值点，，且，求的取值范围．
9．（2023春 朝阳期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围．
10．（2023春 大连期末）已知函数．
（1）判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
11．（2023春 滨海新区校级月考）已知函数（a∈R）．
（1）a＝0时，求函数f（x）的单调性；
（2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒有成立，求实数m的取值范围．
12．（2023春 咸阳期末）已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）若对于任意，，都有成立，求的取值范围．
13．（2023 乌鲁木齐模拟）已知在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．
14．（2023春 朝阳区校级期末）已知函数，（其中．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围．
15．（2023春 鼓楼区校级期末）已知定义在上的奇函数和偶函数满足．
（1）求函数的值域；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
16．（2023春 芗城区校级月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当，时恒成立，求实数的的取值范围．
17．（2023春 驻马店月考）已知函数．
（1）求曲线在点，（4）处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围．
18．（2023春 运城期末）已知，
（1）证明：关于对称；
（2）若的最小值为3
（ⅰ）求；
（ⅱ）不等式恒成立，求的取值范围
19．（2023春 湖北期末）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若曲线在处的切线方程为．
（ⅰ）求实数的值；
（ⅱ）关于的不等式对任意的恒成立，求正实数的值．
20．（2023春 肥西县期中）已知函数，．
（Ⅰ）求的极小值；
（Ⅱ）若对任意的，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（2023 福建模拟）已知函数，．
（1）讨论在的单调性；
（2）是否存在，，，且，使得曲线在和处有相同的切线？证明你的结论．
22．（2023春 昆明期末）已知函数在处取得极值0．
（1）求，；
（2）若过点存在三条直线与曲线相切，求实数的取值范围．
23．（2023春 大余县校级期末）已知函数，．
（1）设，求函数的极大值点；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
24．（2023春 日照期末）已知函数，为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
25．（2023春 高台县校级月考）已知函数，为的导数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2），若对任意，，均存在，，使得，求实数的取值范围．
26．（2023春 朝阳区期末）已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．
27．（2023春 平度市期末）已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数在上存在零点，求的取值范围．
28．（2023春 滨海新区期末）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，（m∈R）．
（1）若f（1）＝﹣1，求m的值及函数f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．
29．（2023春 台江区校级期末）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
30．（2023春 天津期末）已知函数．
（1）证明：当时，恒成立；
（2）若且，证明：，，．重难点突破06 零点与隐零点问题
导数问题中遇到隐零点问题的解决方法
第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围；
第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参
1．（2022春 昭通月考）设函数，曲线在点，处切线的斜率为1，为的导函数．
（1）求；
（2）证明：在，上存在唯一的极大值点．
【解答】解：（1），
由题意得，，
即；
（2）证明：令，则，
所以且，
当，时，，单调递增，当，时，，单调递减，
又，，，
由零点存在定理可知，在，上存在唯一的，使得，
当时，，当，时，，
所以即在，上存在唯一的极值点．
2．（2023春 阜阳期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）令，若不等式恒成立，求的最小值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以单调递增，即单调递增，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，函数在上单调递减，在，上单调递增；
（2）若，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在单调递增，即上单调递增，
又，
，
所以存在，，使得，①
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
要使不等式恒成立，
需满足，②
联立①②，解得，
由①式知，，
解得，
则的最小值为．
3．（2023春 河池期末）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求证：．
【解答】（1）解：，，
设，，
在上为单调递增函数，
（1），（1），当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
时，取得最小值，（1）；
（2）证明：要证，只需证，
即证，令，则，
当时，令，则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又，
存在，使得，
由，
得，即，即，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
令，
则，
在上单调递增，，
，，
即．
4．（2023 东莞市校级三模）已知函数．
（1）证明：；
（2）证明：函数在上有唯一零点，且．
【解答】证明：（1）令，求导得，，
即函数在上单调递增，由，得，由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，
．
（2）由，求导得，
，即函数在上单调递减，
又，
由零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，
则当，，单调递增，单调递减，而，则，
且在恒成立，又，
因此存在唯一，使得，
下面证明，由知，即，
则只需证，即证，
由（1）知：，只需证：，
令，而，
故只需证，其中，
令，
则，函数在上单调递增，
因此，即时，，
．
5．（2023春 咸阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，得，
，又（1），
曲线在点，（1）处的切线方程为，
即；
（2），
，
，
，
令，改函数在上单调递增，可得．
当时，，则，
在上单调递增，有，
在上单调递减，则，
符合题意；
当时，存在实数，使，时，，
即，在，上单调递减，
，则在，上单调递增，
，时，，可知不符合题意．
综上所属，正实数的取值范围为，．
6．（2021春 雨花区校级月考）已知函数，，．
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）记函数的最小值为，求的最小值．
【解答】解：（1）的定义域为，，
①当时，，单调递增，又，，
所以函数有唯一零点，
②当时，恒成立，所以函数无零点，
③当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
故当时，，所以函数无零点，
综上所述，当时，函数无零点，当时，有一个零点．
（2）由题意得，，
则，令，则，
所以在上为增函数，即在上为增函数，
又（1），，所以在上存在唯一零点，且，，
，即，
当时，，在上为减函数，当，时，，在，上为增函数，的最小值，
因为，所以，所以，
由，得，在上为增函数，
因为，所以（1），，
所以在上存在唯一零点，且，
，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
所以，
因为，所以，所以，
又，
所以，
又函数在上为增函数，所以，
，
因为，所以，即在上的最小值为0．
7．（2023 葫芦岛二模）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
【解答】解：（1）由恒成立，
令且，
①当时，（2）（舍；
②当时，，
在上，，单调递减，在上，，单调递增，
．
令（a），（a），
在上，（a），（a）单调递增，在上，（a），（a）单调递减，
，则．
（2）证明：由（1）知：，，则，
令，则，
在上，，则单调递减，在上，，则单调递增，
，，
有两个根，图象如下，
在上单调递增，在，上单调递减，在上单调递增，
存在唯一极大值为，又，
，
令，在上，故单调递增．
，故，且为极大值，
，
，
．
8．（2020秋 开福区校级期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：．
【解答】解：（1）的定义域为，
又，
①当时，，若，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，若，即时，同理可得，在，，上单调递增，在上单调递减；
若，即时，，在上单调递增；
若，即时，同理可得，在，上单调递增，在，上单调递减；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，；单调递减区间为，；
当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为，；
（2）证明：当时，，
则，
当时，，
令，则，
所以在，上单调递增．
因为，（1），
所以存在，，使得，即，即，
故当，时，，；当，时，，；
即在，上单调递增，在，上单调递减．
所以．
令，，，则，
所以在，上单调递增，
所以，（1），
所以．
9．（2021春 河南月考）已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在，上的最大值为，求证：；
【解答】解：（1）．
，
（2），
时，，此时函数单调递增；时，，此时函数单调递减．
在处取得极小值，（2），无极大值．
（2）证明：，，．
．
，，．
函数在，上单调递增，
又，（1），
因此函数在，上存在唯一零点，并且，，（可得．
时，函数取得极大值即最大值
，．
而函数在上单调递减．
，
而，，
．
10．（2018 呼和浩特一模）已知二次函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，记为函数极大值点，求证：．
【解答】解：（1），
，
当时，在上恒正；
所以，在上单调递增，
当时，由得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，
当时，单调递减；
当时，单调递增．
（2）证明：
则
，
令，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
所以，在处取得极大值，一定有2个零点，
分别是的极大值点和极小值点．
设是函数的一个极大值点，则，
所以，，
又，
所以，，
此时，
所以．重难点突破06 零点与隐零点问题
导数问题中遇到隐零点问题的解决方法
第一步：利用特殊点处的函数值、零点存在定理、函数的单调性、函数的图象等，判断零点是否存在以及取值范围；
第二步：把导数零点处导数值等于0作为条件带回原函数，进行化简或消参
1．（2022春 昭通月考）设函数，曲线在点，处切线的斜率为1，为的导函数．
（1）求；
（2）证明：在，上存在唯一的极大值点．
2．（2023春 阜阳期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）令，若不等式恒成立，求的最小值．
3．（2023春 河池期末）已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）求证：．
4．（2023 东莞市校级三模）已知函数．
（1）证明：；
（2）证明：函数在上有唯一零点，且．
5．（2023春 咸阳期末）已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）记，若当时，恒成立，求正实数的取值范围．
6．（2021春 雨花区校级月考）已知函数，，．
（1）当时，讨论函数的零点个数；
（2）记函数的最小值为，求的最小值．
7．（2023 葫芦岛二模）已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
8．（2020秋 开福区校级期末）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，记函数在上的最大值为，证明：．
9．（2021春 河南月考）已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在，上的最大值为，求证：；
10．（2018 呼和浩特一模）已知二次函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，记为函数极大值点，求证：．重难点突破08 极值点偏移
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论型,构造函数;对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式.
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的欢变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明.
1．已知函数，函数在处的切线斜率为．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若函数的图象与直线交于不同的两点，，，，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，，又，故，
，则，
令，解得，，，
故函数的减区间为，；
（2）证明：因为函数的图象与直线交于不同的两点，，，，设，
则，则，故，
令，则，
，
要证，只要证，
由于，只要证，
设，，则，
设，则，
函数在上单调递减，则（1），
又，故，
函数在上单调递增，则（1），即，即得证．
2．已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
【解答】解：（1）因为，
所以，，
设，
△，即时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
△，即时，方程有两个不等的实数根，且，
，
所以任意，，，单调递增，
任意，，，，单调递减，
任意，，，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：因为（1），
所以（1），
由（1）可得时，在上单调递增，
不妨设，
要证，即证，
所以，
所以，
所以，
设，，
，
所以时，，单调递增，
所以（1）（1），
所以．
3．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性：
（Ⅱ）若，是方程的两不等实根，求证：
；
．
【解答】解：（Ⅰ），
当时，，在上单调递增，
当时，令得，
令得，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（Ⅱ）证明：因为，是方程的两个不等实数根，即，是方程的两个不等实数根，
令，则，，即，是方程的两个不等实数根，
令，
则，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
（e），
当时，；当时，且，
所以，即，
令，
要证明，只需证明，
设，，
则，，
令，
则，
所以在上单调递增，（e），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以得证．
要证，只需证，
只需证，
只需证，
只需证，
因为，
令得，
即①，
令得，
即②，
①②得，
所以，得证．
4．已知函数．
（1）若为的导函数），求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，
，
，
当时，在上恒成立，单调递增，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）当时，在，上是增函数，最大值为（e），
当，即时，在，是减函数，最大值为（1），
当，即时，在是增函数，在，是减函数，最大值为，
当，即时，在，是增函数，最大值为（e），
综上所述，当时，最大值为（e），
当时，最大值为，
当时，最大值为（1）．
（3）证明：，
因为函数有两个极值点，，
所以在上有两个不等的实数根，（假设，
则在上有两个不等的实数根，（假设，
所以与的图象有两个交点，
由函数的图象知，，，
要证：，
可得变形为，
因为，，
所以，
即证可以变形为，
进一步变形为，
令，
即证，
令，
，在上单调递增，
所以（1），即证．
5．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若对于，都有，求实数的取值范围；
（3）若的函数图象与交于不同的两点，，，，证明：．
【解答】解：（1）因为函数定义域为，
所以，（1），
又因为（1），
所以曲线在点，（1）处的切线方程为．
（2）当时，“”等价于“”恒成立，
令，，，，
当时，，所以在区间单调递减．
当，时，，所以在区间，单调递增，
而，，
所以在区间上的最大值为．
所以当时，对于任意，都有．
（3）证明：函数定义域为，
由（1）可知，，
令，解得，与在区间上的情况如下：
0
减函数 极小值 增函数
故的增区间为，减区间为，
又（1），时，，时，，
与的图像交于，两点，即，
．
设，当时，，
设，则，
，
，
，
，
即当时，为增函数，
即当时，，
，
此时，
，
当时，可得，
记，即，
由当时，，即，
，此时，
又当时，为增函数，
可得，
．
6．已知函数，．
（1）若，为的导函数），求函数在区间，上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．
【解答】解：（1）函数的定义域为，，，
①当时，显然在上恒成立，所以在上单调递增，
所以在区间，上的最大值为（e）；
②当时，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在区间，上的最大值为；
③当时，显然在上恒成立，所以在上单调递减，
所以在区间，上的最大值为（1）．
综上所述，当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为．
（2）证明：，有题意可知 至少有两个零点，所以．
由，，可得，．
所以，
不妨设，令，则，下面证明．
令，则，
所以在单调递增，（1），即．
于是，，即．
7．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，，，求证：．
【解答】解：（1）
．变化时，与变化情况如下
0
单调递减 极小值 单调递增
当时，有极小值为，
极小值为，无极大值．
（2）证明：设：，由（1）知，，，
欲证：，需证：．
由，，且在是单调递减函数，
即证：
即证：
令，，
当时，，单调递增，
，
时，．
由时，，
得证．
8．设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足，且，证明：．
【解答】解：（1）的定义域是，
，
当时，，即在上递增，不合题意，
当时，令，解得：，
故时，，当，时，，
故在递增，在，递减，
故，
若存在，使得成立，
则，
即，即，
令，则，
在上单调递增，
又（1），，
即实数的取值范围是；
（2）证明：当时，，则，
当时，，当时，，
在递增，在递减，
由且知，
令
，，
则，
在递增，（1），即，
，又，，
，，
又且在递减，
，即．
9．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数对任意满足，求证：当，；
（3）若，且，求证：．
【解答】解：（1），．
令，解得．
2
0
极大值
在内是增函数，在内是减函数．
当时，取得极大值（2）．
（2）证明：，，
．
当时，，，从而，
，在是增函数．
．
（3）证明：在内是增函数，在内是减函数．
当，且，、不可能在同一单调区间内．
不妨设，由（2）可知，
又，．
，．
，，，且在区间内为增函数，
，即．
10．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间及极值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）如果，且，求证：．
【解答】
（Ⅰ）解：
令，则
当变化时，，的变化情况如下表：
1
0
极大值
在上是增函数，在上是减函数
在处取得极大值；
（Ⅱ）证明：令
则
，，
又，，在，上是增函数
又（1）时（1）
即当时，
（Ⅲ）证明：当，都在或都在时由于是单调函数，
所以，这与已知矛盾，所以，一个在内，另一个在内
不妨设，，则
由（Ⅱ）知时，，
又，
，，，
在上是增函数，，重难点突破08 极值点偏移
极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数:对结论型,构造函数;对结论型,构造函数,通过研究的单调性获得不等式.
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的欢变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式,利用函数单调性证明.
1．已知函数，函数在处的切线斜率为．
（1）求函数的单调减区间；
（2）若函数的图象与直线交于不同的两点，，，，求证：．
2．已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
3．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性：
（Ⅱ）若，是方程的两不等实根，求证：
；
．
4．已知函数．
（1）若为的导函数），求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
5．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若对于，都有，求实数的取值范围；
（3）若的函数图象与交于不同的两点，，，，证明：．
6．已知函数，．
（1）若，为的导函数），求函数在区间，上的最大值；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．
7．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，，，求证：．
8．设函数．
（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足，且，证明：．
9．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若函数对任意满足，求证：当，；
（3）若，且，求证：．
10．已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间及极值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）如果，且，求证：．重难点突破09 导数与三角函数
1．已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）函数，，
，
令，，
，函数在上单调递减，
又当时，，而，
存在唯一，使得，
当时，，即，函数单调递增；当，时，，即，函数单调递减，
函数在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）可知，函数在上单调递增，在，上单调递减，
是函数的极大值点，且，
，
又当时，；，
在区间内存在一个零点，在区间，上存在一个零点，
当时，设，则，
在上单调递减，，
①当时，，当时，，无零点，
②时，，又，当时，，无零点，
当时，，函数在区间内无零点，
函数有且仅有2个零点．
2．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由于，
所以，
当，即时，；
当，即时，．
所以的单调递增区间为，
单调递减区间为；
（2）令，
要使总成立，只需时，
对求导，可得，
令，
则，
所以在上为增函数，
所以；
对分类讨论：
①当时，恒成立，
所以在上为增函数，
所以，
即恒成立；
②当时，在上有实根，
因为在上为增函数，
所以当时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，
所以在上为减函数，
则，不符合题意．
综上，可得实数的取值范围是，．
3．已知函数，其中，是自然对数的底数．
（1）当时，证明：对，，；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：当时，，，
当，时，，且，
所以当，时，，且时，，
函数在，上单调递增，，
所以，对，，．
（2）解：若函数在上存在极值，
则在上存在零点．
①当时，为上的增函数，
，
则存在唯一实数，使得成立，
当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数，
所以为函数的极小值点；
②当时，在上恒成立，
函数在上单调递增，在上无极值；
③当时，在上恒成立，
函数在上单调递減，在上无极值．
综上知，使在上存在极值的的取值范围是．
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由于，
所以，
当，，即，，时，；
当，，即，，时，．
所以的单调递增区间为，，，
单调递减区间为，，；
（2）令，
要使总成立，只需，时，
对求导，可得，
令，
则，
所以在，上为减函数，
所以，；
对分类讨论：
①当时，恒成立，
所以在，上为增函数，
所以，
即，故成立；
②当时，在上有实根，
因为在，上为减函数，
所以当，时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，
所以在，上为减函数，
则，
由，可得，
即有．
综上，可得实数的取值范围是，．
5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）,
令,即,解得：,
令,即,解得：,
故在,递增，在,递减．
,
故对于任意的，恒成立，
等价于恒成立，
即,令,
则,
由（1）的结论知在,上为增函数，
,,
①当,即时，恒成立，
故在,上递增，即,符合题意，
②当即时，恒成立，
故在,递减，即,不合题意，
③当时，存在,使得,
当时，,在递减，
当,时，,在,递增，
故,不合题意，
综上：实数的取值范围是，．
6．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【解答】证明：（1）的定义域为，
，，
令，则在恒成立，
在上为减函数，
又，，由零点存在定理可知，
函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，
在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；
（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；
当时，单调递增，，单调递增；
由于在，上单调递减，且，，
由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，
当，时，单调递减，，单调递增；
当时，单调递减，，单调递减．
当，时，，，于是，单调递减，
其中，
．
于是可得下表：
0
0 0
单调递减 0 单调递增 大于0 单调递减 大于0 单调递减 小于0
结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，
由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，
当，时，，则恒成立，
因此函数在，上无零点．
综上，有且仅有2个零点．
7．已知定义在，上的函数，为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）证明：当时，，则，
当时，，，则，
所以在，上为增函数，从而．
所以；
（2）因为，
所以，
由，可得．
因为在上存在极值，
所以直线与曲线在内有交点（非切点）．
令，其中，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，且，，
结合函数与函数在上的图象可知，
当时，直线与曲线在上的图象有交点（非切点），
即实数的取值范围为；
（3）依题意得在，上恒成立．
设，其中，
则，
由（1）知，
则．
①当时，，此时在，上单调递增，故，符合题意；
②当时，由（1）知在，上为增函数，
且．
而，
于是时，，故存在，（唯一），
使得，当，时，，此时单调递减，当，时，，此时单调递增，
所以，不符合题意．
综上，实数的取值范围为，．
8．已知是函数的导函数．
（1）求不等式的解集；
（2）如果对于任意的，，总成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，，
所以不等式等价于，
即，
故原不等式的解集为，，；
（2）令，
要使总成立，只需，时，
对求导，可得，
令，
则，，
所以在，上为增函数，
所以，；
对分类讨论：
①当时，恒成立，
所以在，上为增函数，
所以，
即恒成立；
②当时，在上有实根，
因为在上为增函数，
所以当时，，
所以，不符合题意；
③当时，恒成立，
所以在上为减函数，
则，不符合题意．
综上，可得实数的取值范围是，．
9．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在上有两个零点，，且，求证：．
【解答】解：（1）由于函数为偶函数，要求函数的最小值，只需求，时的最小值即可．
因为，
所以，当时，设，，显然单调递增，而，，由零点存在定理，存在唯一的，使得，分
当，，单减，当，，，单增，而，
，，，即，，单减，分
又当，，，，单增，所以；分
（2）只需证，其中，，，
构造函数，，
，即单增，
所以，，即当时，
，
而，
所以，，又，即，
此时，，，由第（1）问可知，在，上单增，所以，，，即证分
10．已知函数．
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若，，求的取值范围．
【解答】解：（1）证明：，
因为，所以，，
于是（等号当且仅当时成立）．
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得在上单调递增，
又，所以，
（ⅰ）当时，成立．
（ⅱ）当时，令，则，
当时，，单调递减，
又，所以，
故时，．
由式可得，
令，则
由式可得
令，得在上单调递增，
又，，所以存在使得，
即时，，
所以时，，单调递减，
又，所以，
即时，，与矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是，．重难点突破09 导数与三角函数
1．已知函数，证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
2．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．
3．已知函数，其中，是自然对数的底数．
（1）当时，证明：对，，；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．
4．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．
5．已知函数（其中为自然对数的底数），是函数的导函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
6．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
7．已知定义在，上的函数，为自然对数的底数．
（1）当时，证明：；
（2）若在上存在极值，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若恒成立，求实数的取值范围．
8．已知是函数的导函数．
（1）求不等式的解集；
（2）如果对于任意的，，总成立，求实数的取值范围．
9．已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若函数在上有两个零点，，且，求证：．
10．已知函数．
（1）证明：函数在上单调递增；
（2）若，，求的取值范围．重难点突破10 导数大题60题专项训练
1．求下列函数的导数．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，则．
（2）因为，则．
2．已知函数的图像与直线相切，切点为．
（1）求，，的值；
（2）设，求在，上的最大值和最小值．
【解答】解：（1），
函数的图像与直线相切，切点为，
则．
（2）由（1）可知，，，
或；
．
则在，单调递增，在，单调递减，在，上单调递增，
故，（2），，
，（4），．
3．已知函数．
（1）求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）求在区间，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ）对函数求导，，
（2），（2），
所求得的切线方程为，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有，
令，解得：或者，
故函数在，递增，在，递减，
故函数在取最大值，
，，
故函数在，的最大值为4，最小值为0．
4．已知函数（a∈R）．
（1）a＝0时，求函数f（x）的单调性；
（2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒有成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵（a∈R），
∴当a＝0时，，x∈（0，+∞），
∴，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，
即f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．
（2）当a≠0时，函数（a∈R），x∈（0，+∞），
，
①当a＞0时，2ax+1＞0，
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递减；
②当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝1或，
（i）若，则，
∴当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增，
当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（ii）若时，则恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（iii）若，则，
∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当时，f'（x）＜0，函数f（x）在上单调递减，
当时，f'（x）＞0，函数f（x）在上单调递增；
综上可得：当a＞0时f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
当时f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；
当时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．
（3）当a∈[﹣2，﹣1）时，由（2）可知，函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴，
∵对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒成立，
∴对任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
即对任意的a∈[﹣2，﹣1）恒成立，
∵当时单调递增，所以，
∴m≤5，
故实数m的取值范围为（﹣∞，5]；
5．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的最小值；
（3）若函数的图象与直线有两个不同的交点，、，，证明：．
【解答】解：（1），，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
（2）令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
，即的最小值是；
证明：（3）由（2）可知，
即，直线为函数的一条切线，
由，得，取，得，又，
在处的切线方程为，即，
令，，
令，，单调递增，
又，可得当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，，
可得函数图像夹在直线和直线之间，
直线与直线的交点为，
与直线的交点为，不妨设，
则．
6．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的单调递增区间为，，，单调递减区间为；
（2）不妨设切点坐标为，
此时，①
因为，
所以，
此时切线斜率，
整理得，②
联立①②，解得，
所以，
故切点坐标为．
7．已知函数．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若恒成立，求实数的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得：的定义域为，且，
①当时，恒成立，在上单调递减，无极值点；
②当时，，
设，
因为对恒成立，所以在上递增，
又因为，且，
所以存在，使得，即，
，
0
单调递减 极小值 单调递增
所以在上恰有1个极小值点；
综上所述：当时，极小值点个数为0；
当时，极小值点个数为1．
（2）由题意，由（1）可知：在上单调递减，在，上单调递增，
则，
其中，则，且，
于是不等式恒成立，
整理得，
设，
则，
则在上单调递增，且，所以可得，
又因为在定义域内单调递减，可得，
所以，即的最大值为．
8．已知函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求整数的最小值；
（3）求证：，．
【解答】解：（1）当，，
，
，，
所以的图象在处的切线方程为，
（2）对任意的恒成立，等价于为恒成立，
构造函数，，
因为函数，在单调递减，
所以函数在单调递减，
且，，，
，，，
所以存在唯一的实数，，使得，即，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以当时，时，取极大值也是最大值，，
因为函数，在，单调递增，且均为正，故单调递增，
因此，所以，
所以整数的最小值为1；
（3）由（2）知当时，对任意的恒成立，即对任意的恒成立，
取，则，
所以，
因此，
故，．
9．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且对任意，，（其中都有，求实数的最小值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，
所以对任意，，，都有，
已知，
可得，
当，时，，单调递减，
所以对任意，，，都有，
易知当，时，，
因为，
所以，
整理得，
不妨设，函数定义域为，，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
则，
即，
所以当，，时，恒成立，
不妨设，函数定义域为，，
可得恒成立，
所以在，恒成立，
不妨设，函数定义域为，，
可得，
当时，，
所以，单调递减，
则（3），
可得，
故实数的最小值为．
10．已知函数恰有两个零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数，求证：在上单调递减；
（3）证明：．
【解答】解：（1）由题意得，
当时，；当时，．
函数在上单调递增；在上单调递减，
．
又当时，，可取到负的无穷小值；
当时，，也可取到负的无穷小值；
函数恰有两个零点，，即．
实数的取值范围为．
（2）证明：，，
，令，，
，
又时，有，，
，在上单调递增，
在上单调递增，从而，
在上单调递减．
（3）证明：由（1）知，，
要证，只需证，
在上单调递减，
只需证．
，
只需证，其中，
只需证，其中，
由（2）知，当时，，
．
．
11．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）时，，
则，
故（1），（1），
故切线方程是：，即；
（2）因为，
对求导，，，
①当时，恒成立，此时在上单调递增；
②当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；
③当时，令，解得，
因为当，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上可知，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
12．已知函数，求函数的极值．
【解答】解：，，
，，
当时，；当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增，
仅有极小值为．
13．已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数在上存在零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题得，
在，上单调递增，
在，上恒成立，
即在，上恒成立，
，
，即的取值范围是，．
（2），，
注意到：，
若，则，在上单调递增，
，在上不存在零点；
若，则，在上单调递减，
，在上不存在零点；
若，显然，在上不存在零点；
若，显然存在，使得，且在上单调递增，
，，
当时，，单调递减，
当时，，在上单调递增，
注意到：，，且，存在唯一使得，
综上，，即实数的取值范围是．
14．已知在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．
【解答】解：（1）由题意可得，（1），且，则（1），即，
则，，
所以；
（2）证明：由（1）可知，，，
所以，
令，
则，
所以时，，
即在，上单调递减，
所以（1），即，
所以，即．
15．已知，，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若恒成立，且存在使得方程恒有两个交点，求的范围．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，，
当，，
可得，
此时（1），
又（1），
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）若恒成立，
此时（1），
解得，
因为存在使得方程恒有两个交点，
此时函数在定义域上不单调，
即在上存在零点，
当时，，
函数在，上单调递增，不符合题意；
当时，
因为在，上单调递增，
若（1），即时，
可得恒成立，函数单调递减，不符合题意；
若（1），即时，
可得，
因为，
所以，
此时需满足在上存在实数根，
不妨设，，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时（1），
即，
此时在区间上存在一点，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以符合题意，
综上，满足条件的的取值范围为．
16．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）判断与1.01的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1），所以，
，所以切点为，
所以曲线在点，处的切线方程为．
（2）定义域为，
当时，对恒成立，
在上为增函数；
当时，令，所以，，
，，函数单调递减，
，，函数单调递增，
综上所述：当时，在上为增函数；
当时，，函数单调递减；，函数单调递增；
（3）记，则，
当时，，故在上单调递增，
，即，，
故有：．
17．已知函数，为的导数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2），若对任意，，均存在，，使得，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），所以，，
从而曲线在点，处的切线方程为．
（2）由已知，转化为，且（1）．
设，则，．
当时，；
当时，，
所以在单调递增，在单调递减．
又，，，
故在存在唯一零点．
所以在存在唯一零点．
设为，且当时，；
当，时，，
所以在单调递增，在，单调递减．
又，，
所以当，时，．
所以，即，
因此，的取值范围是．
18．已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）若对于任意，，都有成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数的定义域为．
当时，，（2），
，则（2）．
所以曲线在点，（2）处的切线方程为，
即．
（2）因为对于任意，，都有成立，
则，等价于．
令，则当，时，，．
因为当，时，，所以在，上单调递增．
所以（e）．
所以．
即的取值范围是．
19．已知函数．
（1）证明；
（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：，
由，可得；由，可得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以（1），即．
（2）解：由得，
因为为增函数，则，
则，
令，则，
由，可得，由，可得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，最大值为（1），
所以实数的取值范围是，，
20．已知函数．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在，上有且仅有2个零点，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
则（1），即，所以，经检验符合题意；
（2），则，
当时，，在上单调递增，
当时，由，得，
若，则；若，则，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上所述，当时，函数的增区间为，
当时，函数的增区间为，减区间为；
（3）当，时，由可得，令，其中，，
则直线与函数在，上的图像有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减．
所以，函数的极大值为，且（1），，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在，上的图像有两个交点，
因此，实数的取值范围是．
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值与最小值．
【解答】解：（1）函数，
，
由，解得或；
由，解得；
函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）由（1）的单调性可得：
当时，取得极大值，
当时，取得极小值（1），
又，（2）．
在区间，上的最大值为11，最小值为．
22．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若函数至少有两个不同的零点，求的最大值．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值（1）；
（2）若函数至少有两个不同的零点，
此时方程至少有两个相异实数根，
即方程至少有两个相异实数根，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
又（1），
所以当时，，
因为，
所以在区间，上存在一点，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值，极小值（1），
又（1），，
当时，，
此时（1），
则当时，函数与直线的图象至少有两个交点，
故的最大值为．
23．已知函数．
（1）求在处的切线；
（2）若，证明当时，．
【解答】解：（1）因为，
所以（a），
切线斜率为
因为（a），
所以切点为，
切线方程为，即；
（2）证明：令，，
所以，
所以在单调递增，
，
，
所以，
所以，
所以要证，只需证明，
变形得，
因为，
所以只需证明，即，
两边同取对数得：，
令，
则，
显然在递增，，（2），
所以存在，当时，（a），（a）递减，
当时，（a），（a）递增；
因为，
所以（a）在上恒成立，所以原命题成立．
24．已知函数．
（1）当时，求函数在，上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数的单调性．
【解答】解：（1）当时，，
，
令，得或，
所以在上，，单调递减，
在，上，单调递增，
，
，
（1），
（4），
所以，．
（2），
令得或，
当，即时，，
所以在上单递增，
当，即时，
在，上，，单调递增，
在上，，单调递减，
当，即时，
在，上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在上单递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
25．已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：．
【解答】解：（1），，
当时，，在上递增，至多一个零点；
所以，且时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
须有，．
又时，；时，．
所以有两个零点，的取值范围为．
证明：（2）不妨设，由，则．
设，
，
因为，，即，
所以在上单调递增，又，
所以，，
．
又，．
又，，在上递减，
所以，即，
所以．
26．已知函数．
（1）若函数在区间上恰有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，在上，恒成立．
【解答】解：（1）由已知可得，，
由可得，．
令，则，
当时，有，所以，所以在上单调递减．
又，
所以在上的值域为；
当时，有，所以，所以在上单调递增．
又，所以在上的值域为．
作出函数在的图象如下图所示，
由图象可知，当时，有两解，
设为，，且，．
由图象可知，当时，有，即；
当时，有，即；
当时，有，即．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
综上所述，的取值范围为．
（2）构造函数，，则，
令，则在时恒成立，
所以即在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，当时，．
因为，故在上，．
令，则，
令，，
故，即为增函数，所以，
所以为增函数，所以，
即，即，
所以，．
又，
所以，当时，有；
在上，因为，，
所以．
令，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，
所以当时，有，
所以．
又，所以．
综上所述，在上，恒成立．
27．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数的图象与轴交于两点，，，，，且，证明：．
【解答】解：（1）当时，，，
求导得，
令得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得极大值（1），无极小值；
根据定义域，容易得到在处取得最大值，得到函数的最大值为．
证明：（2）根据条件得到，，
两式相减得，
即，
因为，
所以，
因为，所以，要证，
即证，
即证，
即证，
设，原式即证，
即证，
构造，则，
因为，所以恒成立，
所以在上单调递减，
所以（1）得证．
28．已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
（1）已知函数，，求实数取值的集合；
（2）已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．
【解答】解：（1）由，得，
当时，，不合题意，
当时，当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
（1），则由，得，
，故实数的取值的集合为；
（2）①由已知，，
函数有两个不同极值点、．
有两个零点，
若时，则在上单调递增，在上至多一个零点，与已知矛盾，舍去，
当时，由，得，令，
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
（1），当，，，，
故实数的取值范围，；
②证明：设．由①得．
，，，
，取对数得，
令，，则，即，．
令，则，
，在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又（1），时，（1），即，
，，在）1，上单调递增，，
，即．
，
故成立．
29．已知函数有两个零点，，且，
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
【解答】解：（1）因为的定义域为，
所以．
当时，恒成立，所以在上单调递增，
故不可能有两个零点，故舍去；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，要使有两个零点，则，
解得，
又，
设，，，
所以在单调递减，
所以（2），
所以，
所以，
所以当时，在和上各有一个零点，，
且，所以，由单调性知：
当，时，；当，时，；
因为，所以，即，
所以，而，所以，所以，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，所以．
（2）只需证，
由题意：，设，．
所以，即，所以，
，即，所以
，
令，，
令，，
设，
所以函数在单调递增，（1），
在单调递增，
（1），在单调递增，（2）．
，，
，（由于，此处无法取得等号），得证．
30．已知的两个极值点分别为，2．
（1）求，的值；
（2）求函数在区间，上的最值．
【解答】解：（1）由题意可得：，
则，
解得
经检验，，2为函数的极值点，
故，．
（2）由（1）知，．
令，解得，或；
令，解得，
则的递增区间为，，递减区间为，
因为，，
所以在，上单调递增，在，上单调递减，
则函数在区间，上的最大值为，
又因为，（2），即（2），
则函数在区间，上的最小值为（2），
故函数在区间，上的最大值为，最小值为（2）．
31．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）函数有两个不同的极值点，，证明：．
【解答】解：（1），
当时，，则在为增函数，
当时，令得，
当时，当时，，
在为减函数，在为增函数，
综上：当时，在为增函数；
当时，在为减函数，在为增函数．
（2）证明：，，
则，，
，
要证，只要证，即证，
，，
只要证，只要证，
设，则只要证，只要证，
设，则，，
为减函数，（1），为增函数，
（1），成立，原式得证．
32．已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
【解答】解：（1）因为，
所以，，
设，
△，即时，恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
△，即时，方程有两个不等的实数根，且，
，
所以任意，，，单调递增，
任意，，，，单调递减，
任意，，，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在，，上单调递增，在，上单调递减．
（2）证明：因为（1），
所以（1），
由（1）可得时，在上单调递增，
不妨设，
要证，即证，
所以，
所以，
所以，
设，，
，
所以时，，单调递增，
所以（1）（1），
所以．
33．已知函数在处有极值．
（Ⅰ）求的值并判断是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最值．
【解答】解：（Ⅰ），
若函数在时取得极值，
则（2），解得：，
时，，
令，解得：或，
令，解得：，
在递增，在递减，在递增；
是极小值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，
在，递减，在，递增，
在最小值是（2），的最大值是．
34．已知函数在时取得极大值4．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间，上的最值．
【解答】解：（1），由题意得，解得，，
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值．
所以，．
（2）由（1）可知，在，单调递增，在单调递减，在，单调递增．
又因为，，，（1），
所以函数在区间，上的最大值为4，最小值为0．
35．已知函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1）已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值（2），
又，（4），
所以在，上的最大值为32，最小值为；
（2）易知，
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
若，即时，，单调递增；
若，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当 时，函数在和上单调递增，
在上单调递减．
36．已知函数．
（Ⅰ）求的图象在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，．
【解答】解：（Ⅰ），
则（1），
又（1），
则的图象在点，（1）处的切线方程为；
（Ⅱ）证明：，即，即，
设，则，
易知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
则当时，．
37．已知函数．
（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅲ）判断的零点个数，并说明理由．
【解答】解：，则，
若在上是增函数，即恒成立，得，
设，，得，得，
即在递减，在递增，则，
故，即，．
（Ⅱ）当时，，，得，
则递增，，
则时，，时，，
则在上递减，在上递增，
故是函数的极小值点．
（Ⅲ）令，即，显然是函数的一个零点，
时，，无零点，故有1个零点，
时，令，解得，
令，解得，
故时，有2个零点，分别为，0，
时，个零点，为0，
时，个零点，为0，，
综上：或时，个零点，为0，
或时，个零点，为0，．
38．（1）已知函数，指出函数的单调性．（不需要证明过程）；
（2）若关于的方程在有实数解，求实数的最大值．
【解答】解：（1）当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）因为，，
令，，
则，，
则原方程化简为，
因为，
所以，
令，
由（1）及，，知，，
所以，
由（1）知关于的函数在，上单调递减，
所以当时，的最大值为．
39．已知函数，，．若在处与直线相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）函数，
，
函数在处与直线相切，
，解得；
（2）由（1）可得，
，
所以当时，，当时，，
所以在，上单调递减，在，上单调递增，在处取得极大值即最大值，
所以（1），
又，，
所以．
40．已知函数，．
（1）若，求函数的图象在，处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）当时，，
则，
，
又，
函数的图象在，处的切线方程为，即．
（2），
令，
则，
，，则单调递增，，
①当时，，在，上单调递增，，
对任意的，恒成立，
，解得，
，
②当时，存在，使，即，即，
当，时，，上单调递减，当，时，，上单调递增，
，
对任意的，恒成立，
，
，，
又，，
设，，
则，
在，上单调递减，
，
即，
，
综上所述，的取值范围为，．
41．已知函数．
（1）若的单调递减区间为，求实数的值；
（2）若函数在，单调递减，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，
因为的单调递减区间为，
即的解集为，
故，1是 的两根，
即，
，
当时，，
由，解得，
等号仅在，1时取得，即的单调递减区间为，符合题意，
故．
（2）函数在，单调递减，即 在，上恒成立，
即在，上恒成立，
此时，
即在，上恒成立，
而，
故，
经验证当时，即，
，等号仅在，1时取得，
此时函数在，单调递减，符合题意，
故实数的取值范围是，．
42．已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足（2），．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程．
【解答】解：（1）由，得，
又（2），，，解得，
函数的解析式为；
（2），
点不在函数的图象上，即其不是切点，设切点为，．
由，得，即切线的斜率为．
又该切线过点，
，解得或．
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为，即．
综上所述，所求切线的一般式方程为或．
43．已知函数，．
（Ⅰ）求的极小值；
（Ⅱ）若对任意的，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ），
，
令，解得或，
令，解得，
故在递增，在递减，在递增，
故（2）．
（Ⅱ）若对任意的，，，不等式恒成立，
则在，恒成立，
结合（Ⅰ），时，在，递减，在，递增，
故（2），
由，得，
①时，，在，递增，
故（e），
则，解得（舍，
②时，令，解得，令，解得，
故在递增，在，递减，
，即时，在，递减，（1），
则，则；
，即时，在，递增，在，递减，
故，
则，解得（舍；
，即时，在，递增，
故（e），
故，解得（舍；
综上：的取值范围是，．
44．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1），
当时，，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减．
（2）对任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有对恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又（1），，
所以存在，，使得，即，
所以在上，单调递减，
在，上，单调递增，
由，得，
设，，，
所以在上为增函数，
所以由，得，
所以，即，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围为．
45．已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间，上的最小值为0，求在该区间上的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）当时，
，
则，
（1），
（1），
故曲线在点，（1）处的切线方程为，即；
（Ⅱ）函数，
则，，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为，，
在的极小值也为该函数的最小值，
故，解得，
所以，
，（4），
故在该区间上的最大值为20．
46．设函数的图象在点处切线的斜率为．
（1）求实数，的值．
（2）证明：．
【解答】解：（1），，
，
函数的图象在点处切线的斜率为，
（1），（1），
解得．
（2）证明：要证明．
即证明，化为．
令，，，
，
可得函数在上单调递减，在，上单调递增．
时，函数取得极小值即最小值，．
，
可得函数在上单调递增，在，上单调递减，
时，函数取得极大值即最大值，．
，，
，
．
47．已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求的值；
（2）讨论的单调性．
【解答】解：（1），
令，得：，，
由于是函数的极小值点，所以（1），即，
此时因为时，，在上单调递增，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，故满足题意．
（2）时或，
时，的解为或，此时在，和，上单调递增；
的解为，此时在，上单调递减；
时，的解为或，此时在，和上单调递增；
的解为，此时在，上单调递减；
时，恒成立，此时在上单调递增．
48．已知函数，．
（1）设，求函数的极大值点；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）函数，求导得，由，得，
当时，，即，函数单调递增；
当时，，即，函数单调递减，
因此函数在处有极大值，
所以函数的极大值点为．
（2）依题意，，，不等式，
当时，成立，则，
当时，，，
令，，求导得，
令，，求导得，
因此在上单调递增，即有，而，
又函数在上的值域是，，则函数，即在上的值域是，，
当时，，当且仅当，时取等号，于是函数在上单调递增，
对，，因此，
当时，存在，使得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，不符合题意，
所以的取值范围为，．
49．已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．
【解答】证明：（Ⅰ）当时，设，
则，令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增；
故，故成立．
（Ⅱ）由已知得，设切点为，
则且，解得：，，
所以，，
要证，
即证，
即证，即证，
令，，原不等式等价于，即，
设，则，
所以在区间上单调递增，
所以，所以成立，
所以对任意，都有．
50．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
时，恒成立，在上是增函数；
时，时，，是减函数，时，，是增函数；
综上，时，在上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；
（2）当时，由（1）得在上是增函数，不符合题意；
当时，由（1）得；
①当时，，只有一个零点，不符合题意；
②当时，，故在有一个零点，
又在上是增函数，
设（a）（a），（a）（a），（a）（1），
（a）在单调递增，（a）（1），
（a）在单调递增，（a）（a）（1），
设，由知，
当，，单调递减，当，，单调递增，
（1），即，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
③当时，，故有一个零点，
又在上是减函数，，由②得，
故在有一个零点，故函数有两个零点；
综上，或，
实数的取值范围为，，．
51．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程．
（2）若在定义域上恒成立，则的取值范围．
【解答】解：（1）函数．
，（1），（1），
所以曲线在处的切线方程：，即．
（2），令．可得，时，，函数是减函数，
，时，，函数是增函数，
所以时，函数取得最小值，可得．
所以．即，．
52．已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若在，上单调递减，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故是函数的极小值点，无极大值点；
（2）若在，上单调递减，
则在，上恒成立，
即在，上恒成立，
令，，，
则，
令，，，
则，
令，则，
故，故，在，单调递减，
故（1），故，在，单调递减，
故（1），
故的取值范围是，．
53．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个相异零点，，求证：．
【解答】解：（1）由题意得的定义域是，
，
当时，；
当时，由得，由得，
综上所述，当时，在上单调递增，在，上单调递减；
当时，在上单调递增；
（2）证明：因为有两个相异的零点，又由于，
故不妨令，且有，，
，，
要证
，
令，则，
故只要证明当时，恒成立，
令，，
则，
故在上单调递增，（1），
时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，从而证明，
故．
54．已知函数，为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
【解答】解：（1）对函数求导得，
，
又，
曲线在处的切线方程为，
即；
（2）记，其中，
由题意知在上恒成立，
下面求函数的最小值，
对求导得，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
，
0
递减 极小值 递增
，
，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
1
0
递增 极大值 递减
（1），
故当且仅当时取等号，
又，从而得到；
（3）证明：先证，
记，则，
令，得，
当变化时，，变化情况列表如下：
，
0
递减 极小值 递增
，
恒成立，即，
记直线，分别与交于，，，，
不妨设，则，
从而，当且仅当时取等号，
由（2）知，，则，
从而，当且仅当时取等号，
故，
因等号成立的条件不能同时满足，故．
55．已知函数，．
（Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求的零点个数；
（Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有．
【解答】解：（Ⅰ）已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
若在区间上恰有一个极值点，
此时，
解得，
则实数的取值范围为；
（Ⅱ）已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
当时，，
即，
此时函数在上无零点；
当时，
易知，（e），
所以函数在，上存在唯一一个零点，
综上，有1个零点；
（Ⅲ）证明：若，
此时，
若对于任意，恒有，
此时在上恒成立，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值（1），
则，，
故对于任意，恒有．
56．已知．
（1）若在区间，上单调递减，求实数的取值范围；
（2）设函数在，上有两个零点，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）已知，
可得，
若函数在区间，上单调递减，
此时在区间，恒成立，
即在，上恒成立，
不妨设，函数定义域为，，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时（1），
所以，
即，
则实数的取值范围为，；
（2）若函数在，上有两个零点，
可得在，上有两个不等的实根，
即在，上有两个不等的实根，
不妨设，
易知函数为开口向上的二次函数，对称轴，
要使函数与轴有两个交点，
此时△，且，
需满足，
解得，
则实数的取值范围为，．
57．若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．
（1）判断函数是否为“恒切函数”；
（2）若函数是“恒切函数”，求实数，满足的关系式；
（3）若函数是“恒切函数”，求证：．
【解答】解：（1）根据题意，若函数为“恒切函数”，设切点为，．
则，即．
对于函数，．
设切点为，，则有，
解得：．
故是“恒切函数”；
（2）若函数是“恒切函数”，设切点为，．
则，则有，
解得：，即．
故实数，满足的关系式为：；
（3）证明：根据题意，函数是“恒切函数”，设切点为，．
又由，则，
则有，即．
考查方程的解，
设．
，令，解得：．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
；
当时，，，在上有唯一零点．
又，
则．
当时
，在上有唯一零点0，
则．
综上可知：．
58．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，．
【解答】解：（1），
①当时，，
所以当，，
当，，
所以增区间为，减区间为，
②当时，得，
若，即时，恒成立，
所以为上的增函数
若，即时，
令，得或，
令，得，
所以增区间为，，减区间为，
若，即时，
令，得或，
令，得，
所以增区间为，，减区间为，
综上得：当时，增区间为，减区间为，
当时，增区间为，
当时，增区间为，，减区间为，
当时，增区间为，，减区间为．
（2）证明：当时，要证，
即证，
即证
因为，
令，，
所以，
令，得，
所以在上，单调递增，
在，上，单调递减，
所以最大值为，
所以，得证．
59．已知函数．
（1）证明：函数有唯一的极值点，及唯一的零点；
（2）对于（1）问中，，比较与的大小，并证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减，
又，，
所以函数在，上有且仅有一个零点，无极值点；
当时，不妨设，
可得，
易知函数和在上单调递减，
所以单调递减，
又，，
此时在区间上存在一点，使得，
当时，，单调递增，单调递增；
当时，，单调递减，单调递减，
又，，
所以当时，恒成立，
且在区间，上存在一点，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，
又，，
所以当时，恒成立，函数零点，
综上，函数有唯一的极值点，及唯一的零点；
（2）由（1）知，，
因为是函数的极值点，
所以，
即，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递增，
此时，
即，
则，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以函数在定义域上单调递减，
此时，
则，
又函数在，上单调递减，
故．
60．已知函数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）函数，为自然对数的底数），
的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
当，时，，当，时，，
在，上单调递减，在，上单调递增．
综上，当时，，在上单调递增，
当时，在，上单调递减，在，上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，无极值，
当时，存在极小值，且极小值为．
无极大值，
设，，则，
令，得，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为（1），
函数的极值的最大值为1．重难点突破10 导数大题60题专项训练
1．求下列函数的导数．
（1）；
（2）．
2．已知函数的图像与直线相切，切点为．
（1）求，，的值；
（2）设，求在，上的最大值和最小值．
3．已知函数．
（1）求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）求在区间，上的最值．
4．已知函数（a∈R）．
（1）a＝0时，求函数f（x）的单调性；
（2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈[﹣2，﹣1），当x1，x2∈[1，e]时恒有成立，求实数m的取值范围．
5．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的最小值；
（3）若函数的图象与直线有两个不同的交点，、，，证明：．
6．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）过坐标原点作曲线的切线，求切点坐标．
7．已知函数．
（1）讨论的极值点的个数；
（2）若恒成立，求实数的最大值．
8．已知函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求整数的最小值；
（3）求证：，．
9．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且对任意，，（其中都有，求实数的最小值．
10．已知函数恰有两个零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数，求证：在上单调递减；
（3）证明：．
11．已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
12．已知函数，求函数的极值．
13．已知函数．
（1）若在，上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数在上存在零点，求的取值范围．
14．已知在处的切线方程为．
（1）求函数的解析式；
（2）是的导函数，证明：对任意，，都有．
15．已知，，．
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若恒成立，且存在使得方程恒有两个交点，求的范围．
16．已知函数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）判断与1.01的大小关系，并说明理由．
17．已知函数，为的导数．
（1）求曲线在点，处的切线方程；
（2），若对任意，，均存在，，使得，求实数的取值范围．
18．已知函数，其中．
（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；
（2）若对于任意，，都有成立，求的取值范围．
19．已知函数．
（1）证明；
（2）关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在，上有且仅有2个零点，求的取值范围．
21．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间，上的最大值与最小值．
22．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）若函数至少有两个不同的零点，求的最大值．
23．已知函数．
（1）求在处的切线；
（2）若，证明当时，．
24．已知函数．
（1）当时，求函数在，上的最大值和最小值；
（2）试讨论函数的单调性．
25．已知函数有两个零点．
（1）求的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：．
26．已知函数．
（1）若函数在区间上恰有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，在上，恒成立．
27．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）函数的图象与轴交于两点，，，，，且，证明：．
28．已知函数，其中为实数，为自然对数底数，．
（1）已知函数，，求实数取值的集合；
（2）已知函数有两个不同极值点、．
①求实数的取值范围；
②证明：．
29．已知函数有两个零点，，且，
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
30．已知的两个极值点分别为，2．
（1）求，的值；
（2）求函数在区间，上的最值．
31．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）函数有两个不同的极值点，，证明：．
32．已知函数，为常数，且．
（1）判断的单调性；
（2）当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：．
33．已知函数在处有极值．
（Ⅰ）求的值并判断是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）求函数在区间，上的最值．
34．已知函数在时取得极大值4．
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间，上的最值．
35．已知函数．
（1）当时，求在，上的最值；
（2）讨论的单调性．
36．已知函数．
（Ⅰ）求的图象在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，．
37．已知函数．
（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由；
（Ⅲ）判断的零点个数，并说明理由．
38．（1）已知函数，指出函数的单调性．（不需要证明过程）；
（2）若关于的方程在有实数解，求实数的最大值．
39．已知函数，，．若在处与直线相切．
（1）求，的值；
（2）求在，（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
40．已知函数，．
（1）若，求函数的图象在，处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围．
41．已知函数．
（1）若的单调递减区间为，求实数的值；
（2）若函数在，单调递减，求实数的取值范围．
42．已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足（2），．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程．
43．已知函数，．
（Ⅰ）求的极小值；
（Ⅱ）若对任意的，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
44．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
45．已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间，上的最小值为0，求在该区间上的最大值．
46．设函数的图象在点处切线的斜率为．
（1）求实数，的值．
（2）证明：．
47．已知函数．
（1）若是函数的极小值点，求的值；
（2）讨论的单调性．
48．已知函数，．
（1）设，求函数的极大值点；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围．
49．已知函数，．
（Ⅰ）当时，证明；
（Ⅱ）若直线是曲线的切线，设，求证：对任意的，都有．
50．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有且仅有2个零点，求实数的取值范围．
51．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程．
（2）若在定义域上恒成立，则的取值范围．
52．已知函数．
（1）求函数的极值点；
（2）若在，上单调递减，求实数的取值范围．
53．已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个相异零点，，求证：．
54．已知函数，为自然对数的底数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）对于任意的，不等式恒成立，求实数的值；
（3）若关于的方程有两个实根，，求证：．
55．已知函数，．
（Ⅰ）若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）求的零点个数；
（Ⅲ）若，求证：对于任意，恒有．
56．已知．
（1）若在区间，上单调递减，求实数的取值范围；
（2）设函数在，上有两个零点，求实数的取值范围．
57．若对任意的实数，，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．
（1）判断函数是否为“恒切函数”；
（2）若函数是“恒切函数”，求实数，满足的关系式；
（3）若函数是“恒切函数”，求证：．
58．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：当时，．
59．已知函数．
（1）证明：函数有唯一的极值点，及唯一的零点；
（2）对于（1）问中，，比较与的大小，并证明你的结论．
60．已知函数，为自然对数的底数）．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值的最大值．

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