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专题01 任意角和弧度制、三角函数的概念
目录
题型一： 象限角及终边相同的角 2
题型二： 扇形的弧长及面积公式 7
题型三： 根据定义求三角函数值 11
题型四： 三角函数的符号 12
角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角)．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度和弧度的换算
→
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角函数 定义域(弧度制下) 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
象限角及终边相同的角
【要点讲解】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定nα,(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置.
（2023秋 绥化期末）已知集合，，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：集合，，表示第一象限的角，
故选：．
（2022秋 南京期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 　，　．
【解答】解：分别与角，终边相同的角为，．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是，．
故答案为：，．
（2023春 浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 　，　．
【解答】解：分别与角，终边相同的角为，．
因此终边落在阴影区域（包括边界）的角的集合是，．
故答案为：，．
（2022秋 荔湾区期末）已知是第二象限角，则可以是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：因为是第二象限角，即，；
所以，；
当为偶数时，是第一象限角；
当为奇数时，是第三象限角．
故选：．
（2022秋 建华区校级期末）已知是锐角，则　　
A．是小于的正角 B．是第三象限角
C．只是锐角 D．是第一或第二象限角
【解答】解：因为已知是锐角，所以．故选项符合题意，选项不符合题意；
所以，即是第三象限角，故选项符合题意．
所以，即只是锐角．故选项符合题意．
故选：．
（2022秋 瑶海区校级月考）若是第四象限的角，则是　　
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【解答】解：由是第四象限的角，可得是第一象限角，
是第四象限角．
故选：．
（2021秋 宁武县校级期末）设是第四象限的角．
（1）试讨论是哪个象限的角；
（2）写出的范围；
（3）写出的范围．
【解答】解：（1）角是第四象限角，即：，．
，．
当取偶数时，是第四象限角，当取奇数时，是第二象限角，
故是第二象限角或第四象限角．
（2），，
，，即的范围为，，．
（3），，
，，即的范围为，．
（2022秋 荔湾区校级期末）若角与角的终边关于轴对称，则必有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：角与角的终边关于轴对称，
，，
即，，
故选：．
（2023 石城县校级开学）已知角与的终边关于轴对称，则与的关系为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：角与的终边关于轴对称，
，，
即，，
故选：．
（2022春 浦东新区校级月考）的终边与的终边关于直线对称，则　　．
【解答】解：
故答案为：．
（2021春 延庆区期中）直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 　轴　对称；角的终边与的终边关于 　　对称．
【解答】解：以原点为顶点，以轴正半轴为始边，
角的终边与的和为，故角的终边与的终边关于轴对称；
角的终边与的和等于，角的终边与的终边关于直线对称，
故答案为：轴；直线．
扇形的弧长及面积公式
【要点讲解】1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
（2023春 顺庆区校级期中）在直径为的圆中，的圆心角所对的弧长是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以的圆心角所对的弧长为．
故选：．
（2023春 湖北期中）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：根据题意：作出如下图形，
，
则为等边三角形，故，
则这条弦所对的圆心角为．
故选：．
（2023春 钦南区校级期中）已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，则，
解得，．
故选：．
（2023春 葫芦岛月考）已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的弧度数为　　
A．3 B．1 C． D．
【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数为，扇形弧长为，周长为，圆的半径为，
由题意可得：，，
可得：，
则由，可得：．
故选：．
（2023春 辽宁月考）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设扇形的圆心角为，
由扇形面积公式可知，所以，
如图，取的中点，连接，交于点，
则．易知，则，
所以，，，
所以扇形弧长的近似值为．
故选：．
（2023春 浙江期中）如图从半径为定值的圆形纸片上，以为圆心截取一个扇形卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设扇形的半径为，圆心角为，，则扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，高为，则，
则，
因为，
则圆锥体积，
当且仅当，即时取等号．
故选：．
（2023春 振兴区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由弧田所在圆的半径为2，圆心角为，
如图所示，
过点作，垂足为，
可得，，
可得扇形的面积为，的面积为，
所以此弧田的面积为．
故选：．
（2023春 海陵区校级月考）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，矩形面积为，
扇形的半径为，圆心角为，
所以，，，
所以．
化简得：，，
当，即时，
取最大值．
故选：．
根据定义求三角函数值
【要点讲解】(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
（2023春 辽宁月考）已知角的终边经过点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，得．
故选：．
（2022秋 汕尾期末）已知角的终边经过点，且，则　　
A．8 B． C．4 D．
【解答】解：角的终边经过点，且，
，解得．
故选：．
（2022秋 揭东区期末）已知角的终边点为，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：角的终边点为，
．
故选：．
（2023 开封三模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由三角函数定义可知：，
又是第二象限角，
故，
所以．
故选：．
三角函数的符号
【要点讲解】已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
（2023春 深圳校级月考）已知满足：，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可得．
故选：．
（2023春 红花岗区期中）若，，则是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解答】解：由，，
得，，是第一象限角．
故选：．
（2023春 皇姑区校级期中）点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，
，
所以点位于第三象限．
故选：．
（2023 广西模拟）的值所在的范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
且，所以，
所以，
所以的值所在的范围是，．
故选：．
（2023春 天河区校级期中）已知是第二象限角，则点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：是第二象限角，
，，
，
点在第三象限．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋 徐汇区校级期末）以下命题正确的是　　
A．终边重合的两个角相等 B．小于的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
【解答】解：，当，时，与终边重合，但两个角不相等，错误，
，，但它不是锐角，错误，
，是第二象限角，但不是钝角，错误，
，锐角一定是第一象限角，正确，
故选：．
2．（2023春 浦东新区期末）下列命题中正确的是　　
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于的角都是锐角
【解答】解：对于，终边相同的角可表示为，故错误；
对于，锐角的取值范围为，故正确；
对于，第二象限角的取值范围为，故错误；
对于，锐角的取值范围为，其，则，但不是锐角，故错误．
故选：．
3．（2023春 丰城市校级期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为1密位等于圆周角的，
所以密位的圆心角为，
又圆的半径为1，
所以弧长．
故选：．
4．（2022秋 襄城区校级期末）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设，由，得，即，
所以
．
故选：．
5．（2023春 和平区校级期中）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积的最大值为　　
A．10 B．15 C．20 D．25
【解答】解：设扇形的弧长为，半径为，
则，即，
扇形的面积，，
当且仅当时，该扇形的面积取到最大值25．
故选：．
6．（2022秋 苏州期末）毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，
所以由弧长公式得：．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2022秋 聊城期末）下列说法正确的是　　
A．在范围内，与角终边相同的角是
B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
C．不等式的解集为
D．函数的定义域是
【解答】解：：与角终边相同的角为，，
令，则，故正确；
：由已知可得圆的半径为，所以弧长为，故正确；
：解不等式可得：，故错误；
：令，解得，，故正确，
故选：．
8．下列命题中正确的是　　
A．若角的终边上有一点，则角不是象限角
B．和均是第一象限角
C．若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是
D．若，且角与角的终边相同，则的值是或
【解答】解：对于，因为点在轴上，所以角的终边在轴负半轴上，所以角不是象限角，故正确；
对于，，因为为第一象限角，所以为第一象限角，由于，因为不是第一象限角，所以不是第一象限角，故错误；
对于，可得，解得，或，所以圆心角的弧度数为，或5，故错误；
对于，因为角与角的终边相同，所以，，所以，，所以，，所以，2，所以，或，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 新余期末）如图所示，已知扇形的圆心角为，半径长为6，则阴影部分的面积是 　　．
【解答】解：由图像知，记阴影部分面积为，扇形面积为，则，
由题意得，，
所以，
所以阴影部分的面积为．
故答案为：．
10．（2022秋 荔湾区校级期末）已知扇形的面积为，则该扇形的周长的最小值为 　8　．
【解答】解：设半径为，弧长为，则，
，
扇形周长为，
当且仅当，即，时，扇形周长的最小值为．
故答案为：8．
11．（2023 柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心在线段上，若，，则扇形的面积为 　　．
【解答】解：如图，过点作，设所在圆的半径为，
则，在中，，，
所以，，
所以，．
在中，有，
，
整理可得，，
因为，所以，
所以，扇形的面积为．
故答案为：．
12．（2023春 西湖区校级月考）已知扇形的圆心角为，周长为12，则扇形的面积为 　8　．
【解答】解：设扇形的半径为，
由题意得，即，
所以扇形的面积．
故答案为：8．
四．解答题（共3小题）
13．（2020秋 唐山月考）如图，某游乐园的平面图呈圆心角为的扇形，其两个出入口设置在点及点处，且园内有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了8分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求的面积；
（2）求该扇形的半径的长．
【解答】解：（1）由题意（米，（米，，
可得的面积（平方米），
所以的面积为平方米．
（2）设扇形的半径为，连结，
由题意，
在中，，
即，
解得（米，
则该扇形半径的长为370米．
14．（2023春 静安区校级期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
【解答】解：（1）如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，，，
，
，
；
（2）因为，
则，，，
，
，
，
即时，，此时在弧的四等分点处．
15．（2014春 泗县校级月考）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）内的角．
【解答】解：
和终边相同
其余的终边相同的角度可以写成
（1）当时是最小的正角，；
（2）当时是最大的负角，；
（3）当，，0，1时，、、、符合条件．专题01 任意角和弧度制、三角函数的概念
目录
题型一： 象限角及终边相同的角 2
题型二： 扇形的弧长及面积公式 5
题型三： 根据定义求三角函数值 7
题型四： 三角函数的符号 8
角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角)．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度和弧度的换算
→
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.
三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)，正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角函数 定义域(弧度制下) 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α {α|α≠kπ ＋，k∈Z} ＋ － ＋ －
象限角及终边相同的角
【要点讲解】1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角
先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
2.确定nα,(n∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同角的形式表示出角α的范围,再写出nα或的范围,然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置.
（2023秋 绥化期末）已知集合，，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是　　
A． B．
C． D．
（2022秋 南京期末）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 　 ．
（2023春 浦北县校级月考）如图所示，终边落在阴影部分区域（包括边界）的角的集合是 　　 ．
（2022秋 荔湾区期末）已知是第二象限角，则可以是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（2022秋 建华区校级期末）已知是锐角，则　　
A．是小于的正角 B．是第三象限角
C．只是锐角 D．是第一或第二象限角
（2022秋 瑶海区校级月考）若是第四象限的角，则是　　
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
（2021秋 宁武县校级期末）设是第四象限的角．
（1）试讨论是哪个象限的角；
（2）写出的范围；
（3）写出的范围．
（2022秋 荔湾区校级期末）若角与角的终边关于轴对称，则必有　　
A． B．
C． D．
（2023 石城县校级开学）已知角与的终边关于轴对称，则与的关系为　　
A． B．
C． D．
（2022春 浦东新区校级月考）的终边与的终边关于直线对称，则　　 　．
（2021春 延庆区期中）直角坐标系中，以原点为顶点，以轴正半轴为始边，那么，角的终边与的终边关于 　　 　对称；角的终边与的终边关于 　　 　对称．
扇形的弧长及面积公式
【要点讲解】1.求扇形面积最大值的问题时,常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题;
2.在解决弧长问题、扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
（2023春 顺庆区校级期中）在直径为的圆中，的圆心角所对的弧长是　　
A． B． C． D．
（2023春 湖北期中）一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为　　
A．1 B．2 C． D．
（2023春 钦南区校级期中）已知扇形的周长为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为　　
A．2 B．4 C．6 D．8
（2023春 葫芦岛月考）已知扇形的周长为9，半径为3，则扇形圆心角的弧度数为　　
A．3 B．1 C． D．
（2023春 辽宁月考）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为　　
A． B． C． D．
（2023春 浙江期中）如图从半径为定值的圆形纸片上，以为圆心截取一个扇形卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为　　
A． B． C． D．
（2023春 振兴区校级期中）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为，则此弧田的面积为　　
A． B． C． D．
（2023春 海陵区校级月考）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为　　
A． B． C． D．
根据定义求三角函数值
【要点讲解】(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离|OP|=r,然后利用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离r,再利用三角函数的定义求解,应注意分情况讨论.
（2023春 辽宁月考）已知角的终边经过点，则　　
A． B． C． D．
（2022秋 汕尾期末）已知角的终边经过点，且，则　　
A．8 B． C．4 D．
（2022秋 揭东区期末）已知角的终边点为，则等于　　
A． B． C． D．
（2023 开封三模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则　　
A． B． C． D．
三角函数的符号
【要点讲解】已知一角的三角函数值(sin α,cos α,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角的终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
（2023春 深圳校级月考）已知满足：，则　　
A． B． C． D．
（2023春 红花岗区期中）若，，则是　　
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（2023春 皇姑区校级期中）点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2023 广西模拟）的值所在的范围是　　
A． B． C． D．
（2023春 天河区校级期中）已知是第二象限角，则点在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
一．选择题（共6小题）
1．（2022秋 徐汇区校级期末）以下命题正确的是　　
A．终边重合的两个角相等 B．小于的角都是锐角
C．第二象限的角是钝角 D．锐角是第一象限的角
2．（2023春 浦东新区期末）下列命题中正确的是　　
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于的角都是锐角
3．（2023春 丰城市校级期中）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为　　
A． B． C． D．
4．（2022秋 襄城区校级期末）如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春 和平区校级期中）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积的最大值为　　
A．10 B．15 C．20 D．25
6．（2022秋 苏州期末）毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2022秋 聊城期末）下列说法正确的是　　
A．在范围内，与角终边相同的角是
B．已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是
C．不等式的解集为
D．函数的定义域是
8．下列命题中正确的是　　
A．若角的终边上有一点，则角不是象限角
B．和均是第一象限角
C．若某扇形的面积为，半径为，弧长满足，则该扇形圆心角的弧度数是
D．若，且角与角的终边相同，则的值是或
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 新余期末）如图所示，已知扇形的圆心角为，半径长为6，则阴影部分的面积是 　　．
10．（2022秋 荔湾区校级期末）已知扇形的面积为，则该扇形的周长的最小值为 　　．
11．（2023 柳州模拟）圣彼得大教堂坐落在梵蒂冈城内，是世界上最大的天主教教堂．作为最杰出的文艺复兴建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特点之一就是窗门处使用尖拱造型，其结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形．如图，所在圆的圆心在线段上，若，，则扇形的面积为 　　．
12．（2023春 西湖区校级月考）已知扇形的圆心角为，周长为12，则扇形的面积为 　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2020秋 唐山月考）如图，某游乐园的平面图呈圆心角为的扇形，其两个出入口设置在点及点处，且园内有一条平行于的小路．已知某人从沿走到用了8分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．
（1）求的面积；
（2）求该扇形的半径的长．
14．（2023春 静安区校级期中）如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段；
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
15．（2014春 泗县校级月考）在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最小的正角；
（2）最大的负角；
（3）内的角．专题02 同角三角函数基本关系式及诱导公式
目录
题型一： 简单的求值问题 3
题型二： 弦化切的求值 4
题型三： 形如的求值问题 6
题型四： 诱导公式及应用 10
题型五： 综合应用 12
同角三角函数的基本关系
sin2α＋cos2α＝1.
＝tan α.
诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
与α终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y＝x对称
正弦 sin α －sin α －sin α sin_α cos α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos α －cos α sin_α －sin α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan α
记忆 规律 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin_α)(1－sin_α)．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用结论与知识拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式可推广归结为要求角k·±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号．
简单的求值问题
【要点讲解】(1)利用实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用实现角α的弦切互化.
（2023春 海淀区校级期中）已知，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，且，
，
，
．
故选：．
（2022 西湖区校级模拟）已知是第二象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：是第二象限角，且，
则，
．
故选：．
（2022 广南县校级学业考试）已知，且为第四象限的角，则的值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，为第四象限的角，
所以，
所以．
故选：．
（2022春 和平区校级期末）已知，且为第四象限角，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：为第四象限角，，
，
．
故选：．
弦化切的求值
【要点讲解】(1)形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为,转化为形如的式子求值.
（2023春 上饶期末）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
即，
故，
整理得．
故选：．
（2023春 砚山县校级期中）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
（2023春 顺庆区校级期中）已知，则　　
A． B． C．或1 D．或1
【解答】解：因为，
所以，
则解得．
故选：．
（2023 山西模拟）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：，
整理得，
且，可得，
即，，可得，
因为，可得，
所以．
故选：．
（2023春 海淀区校级期中）已知，则　　
A． B． C． D．2
【解答】解：，．
故选：．
（2023春 萍乡期中）已知，则　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
形如的求值问题
【要点讲解】已知sin θ±cos θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
（2023春 南通月考）已知角终边上有一点，则　　．
【解答】解：是角终边上的一点，，
则，
．
故答案为：．
（2023春 重庆月考）已知，且为第三象限角，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，又因为为第三象限角，
所以，
则．
故选：．
（2023春 南阳期中）若为第三象限角且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为为第三象限角且，
则．
故选：．
（2023春 德安县校级期中）已知，那么　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
因此，．
故选：．
（2023春 德安县校级期中）已知，则　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：由，可得，
于是．
故选：．
（2023 潮州模拟）已知为第二象限角，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
又，
，
解得，
又为第二象限角，，
，
．
故选：．
（2023 武侯区校级模拟）如图，的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，
则，，
因，则，
故，
，
故选：．
诱导公式及应用
【要点讲解】1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
(2)角中含有加减的整数倍时,用诱导公式去掉的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.
(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
（2023春 播州区校级月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
由三角函数的定义，可得．
（2）方法1：由（1）知，
则．
方法2：由角终边过点，可得，则，，
所以．
（2023春 朝阳区校级月考）已知函数．
（1）化简函数的解析式；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1）；
（2）由题意，
因为，所以，
由得，
所以，
所以．
（2023春 红花岗区期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）依题意得，，
解得；
（2）．
（2023春 谯城区校级期中）已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
【解答】解：（1）；
（2）因为，又，
所以，又是第三象限的角，
所以，
所以．
综合应用
【要点讲解】利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
（2022秋 花都区校级期末）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图可知，，且．
．
则．
故选：．
（2023春 辽宁月考）若，，　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，，
．
故选：．
（2023春 海安市校级期中）设，则　　．
【解答】解：因为
，
即，
令，可得；
令，可得；
令，可得；
所以．
故答案为：．
（2023 崇川区校级开学）已知函数．
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值．
【解答】解：（1）；
（2），
因为，
所以，
可得，
结合，，
所以．
（3）由（2）得，即为，联立，解得，
所以：．
一．选择题（共6小题）
1．（2023 广西模拟）的值所在的范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
且，所以，
所以，
所以的值所在的范围是，．
故选：．
2．（2023春 李沧区校级月考）已知，则下列描述中正确的是　　
A．函数周期是
B．为锐角，函数最大值是
C．直线不是函数的一条对称轴
D．为钝角，函数没有最小值
【解答】解：，
函数周期是，故错误；
当，所以，，所以函数最大值是，故正确；
当时，，此时函数取到最大值，故直线是函数的一条对称轴，故错误；
当，所以，，所以函数最小值是，故错误．
故选：．
3．（2023春 德阳期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是　　
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．若在上恰有两个极值点，则的取值范围是
D．若在上恰有两个极值点，则的取值范围是
【解答】解：因为的最小正周期为，
所以，解得，
所以，
当时，，，
由正弦函数的性质可知在，上不单调，所以，错误；
当时，，，
当在上恰有两个极值点时，
则有，解得，
所以的取值范围是，故正确，错误．
故选：．
4．（2023春 西城区校级期中）下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由，各项函数单调性如下：
由，，，故在上递增，且周期为；
由，，，故在上不单调；
由定义域为，而不满足定义域；
由，，则在上递增，且周期为．
故选：．
5．（2022秋 宁波期末）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
6．（2023春 龙华区校级月考）已知角的终边过点，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
角的终边过点，
，
，
又，
．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春 成都期中）下列大小关系正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，在上单调递减，，
又，，正确；
对于，在上单调递减，，，正确；
对于，当时，；当时，；，错误；
对于，，，，正确．
故选：．
8．（2022 江门一模）在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点，它与原点的距离是，我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切，分别记作、、，把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是　　
A．
B．的定义域为，
C．
D．
【解答】解：根据、、的定义，可得，，，
可能为负数，故不一定成立，故排除；
的定义域为，，故排除；
，而，故一定成立，故正确；
，故成立，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023 上海模拟）已知为角终边上一点，则　　．
【解答】解：（1）点为角终边上一点，，
则，，
．
故答案为：．
10．（2023春 青浦区校级期中）已知，则　　．
【解答】解：．
故答案为：．
11．（2023春 运城期中）已知角的终边上有一点，，则的值是 　　．
【解答】解：角的终边上有一点，，
，，
．
故答案为：．
12．（2023春 安徽月考）若函数的最小正周期为，则　1　．
【解答】解：，
函数的最小正周期为，
，解得．
故答案为：1．
四．解答题（共3小题）
13．（2023 长宁区二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；
（2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围；
（3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1），
所以振幅为，周期为，初相为．
（2），
设，则，
当时，取得极大值，
由题意，方程在区间上有唯一解，
所以，得，
故的取值范围为；
（3），
当时，
因为，
所以，
进而，，
此时，在区间上是严格增函数，
当时，，不是严格增函数；
当时，设，则，进而，，
此时，在区间上是严格减函数，
综上，若函数在区间上是严格增函数，则，
故的取值范围为．
14．（2023春 伊犁州期中）设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由三角函数的定义可得，，
当时，，当时，；
（2）．
15．（2023春 安徽期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，若点位于轴上方且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，
，，
点位于轴上方且，
，且，
，，
，故是第二象限角．
．
（2）．专题02 同角三角函数基本关系式及诱导公式
目录
题型一： 简单的求值问题 3
题型二： 弦化切的求值 4
题型三： 形如的求值问题 5
题型四： 诱导公式及应用 6
题型五： 综合应用 8
同角三角函数的基本关系
sin2α＋cos2α＝1.
＝tan α.
诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
与α终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y＝x对称
正弦 sin α －sin α －sin α sin_α cos α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos α －cos α sin_α －sin α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan α
记忆 规律 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin_α)(1－sin_α)．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝.
(4)cos2α＝＝.
【常用结论与知识拓展】
1．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式可推广归结为要求角k·±α的三角函数值，只需直接求α的三角函数值，其转化过程及所得结果满足：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指k的奇和偶，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变；若是偶数倍，则函数名称不变．“符号看象限”是把α当成锐角时，原三角函数式中的角所在象限的三角函数值的符号．
简单的求值问题
【要点讲解】(1)利用实现角α的正弦、余弦的互化.
(2)利用实现角α的弦切互化.
（2023春 海淀区校级期中）已知，且，则　　
A． B． C． D．
（2022 西湖区校级模拟）已知是第二象限角，且，则　　
A． B． C． D．
（2022 广南县校级学业考试）已知，且为第四象限的角，则的值等于　　
A． B． C． D．
（2022春 和平区校级期末）已知，且为第四象限角，则　　
A． B． C． D．
弦化切的求值
【要点讲解】(1)形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正、余弦转化为正切,从而求值.
(2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为,转化为形如的式子求值.
（2023春 上饶期末）已知，则　　
A． B． C． D．
（2023春 砚山县校级期中）已知，则的值为　　
A． B． C． D．
（2023春 顺庆区校级期中）已知，则　　
A． B． C．或1 D．或1
（2023 山西模拟）已知，则　　
A． B． C． D．
（2023春 海淀区校级期中）已知，则　　
A． B． C． D．2
（2023春 萍乡期中）已知，则　　
A．0 B． C． D．
形如的求值问题
【要点讲解】已知sin θ±cos θ求值的问题涉及的三角恒等式
(1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ;
(2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ;
(3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2;
(4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ.
已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
（2023春 南通月考）已知角终边上有一点，则　 ．
（2023春 重庆月考）已知，且为第三象限角，则　　
A． B． C． D．
（2023春 南阳期中）若为第三象限角且，则　　
A． B． C． D．
（2023春 德安县校级期中）已知，那么　　
A． B． C． D．
（2023春 德安县校级期中）已知，则　　
A．2 B． C．1 D．
（2023 潮州模拟）已知为第二象限角，且，则　　
A． B． C． D．
（2023 武侯区校级模拟）如图，的值为　　
A． B． C． D．
诱导公式及应用
【要点讲解】1.诱导公式用法的一般思路
(1)化负为正,化大为小,化到锐角为终了.
(2)角中含有加减的整数倍时,用诱导公式去掉的整数倍.
2.常见的互余和互补的角
(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.
(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.
3.求解与三角形内角有关的三角函数问题,要充分利用三角形内角和为π的性质进行转化.
（2023春 播州区校级月考）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
（2023春 朝阳区校级月考）已知函数．
（1）化简函数的解析式；
（2）若，，求的值．
（2023春 红花岗区期中）已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
（2023春 谯城区校级期中）已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求的值；
综合应用
【要点讲解】利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简的方法
(1)对于含有根号的,常把被开方数(式)化成完全平方数(式),然后去根号达到化简的目的;
(2)化切为弦,即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的;
(3)化简含高次的三角函数式,常借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
（2022秋 花都区校级期末）黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形），例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形中，，根据这些信息，可得　　
A． B． C． D．
（2023春 辽宁月考）若，，　　
A． B． C． D．
（2023春 海安市校级期中）设，则　 ．
（2023 崇川区校级开学）已知函数．
（1）化简；
（2）若，且，求的值；
（3）若，求的值．
一．选择题（共6小题）
1．（2023 广西模拟）的值所在的范围是　　
A． B． C． D．
2．（2023春 李沧区校级月考）已知，则下列描述中正确的是　　
A．函数周期是
B．为锐角，函数最大值是
C．直线不是函数的一条对称轴
D．为钝角，函数没有最小值
3．（2023春 德阳期末）已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是　　
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．若在上恰有两个极值点，则的取值范围是
D．若在上恰有两个极值点，则的取值范围是
4．（2023春 西城区校级期中）下列函数中，周期为且在区间上单调递增的是　　
A． B．
C． D．
5．（2022秋 宁波期末）已知，则　　
A． B． C． D．
6．（2023春 龙华区校级月考）已知角的终边过点，且，则　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春 成都期中）下列大小关系正确的是　　
A． B．
C． D．
8．（2022 江门一模）在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点，它与原点的距离是，我们规定：比值、、分别叫做角的正割、余割、余切，分别记作、、，把、、分别叫做正割函数、余割函数、余切函数，则下列叙述正确的是　　
A．
B．的定义域为，
C．
D．
三．填空题（共4小题）
9．（2023 上海模拟）已知为角终边上一点，则　　．
10．（2023春 青浦区校级期中）已知，则　　．
11．（2023春 运城期中）已知角的终边上有一点，，则的值是 　　．
12．（2023春 安徽月考）若函数的最小正周期为，则　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023 长宁区二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位；
（2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围；
（3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．
14．（2023春 伊犁州期中）设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为．
（1）求，的值；
（2）求的值．
15．（2023春 安徽期中）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆相交于点，若点位于轴上方且．
（1）求的值；
（2）求的值．专题03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
题型一： 给值求值 2
题型二： 给值求角问题 5
题型三： 辅助角公式 6
题型四： 两角和与差的正切公式的逆用 7
题型五： 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用 8
题型六： 综合运用 10
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
给值求值
【要点讲解】(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;常见的配角技巧: ,,,,等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（2023春 台江区校级期末）已知，都是锐角，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，都是锐角，，，
，为钝角，
，
则
．
故选：．
（2022春 东城区校级期中）若，都是锐角，且，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，都是锐角，，，
则，
又，，
，．
．
故选：．
（2021秋 北海期末）已知角为第二象限角，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，且是第二象限角，
，
，
故选：．
（2021秋 安庆期末）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
（2021秋 河北月考）若，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
故选：．
给值求角问题
【要点讲解】依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值
（2023春 高安市校级期中）　　
A． B． C． D．
【解答】解：记题中代数式为，
．
故选：．
　　
A． B． C．1 D．
【解答】解：．
故选：．
（2023春 分宜县校级月考）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
，，
因为，
所以．
故选：．
（2023春 泉山区校级月考）　　
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故选：．
（2023春 吴江区校级月考）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以
．
故选：．
（2023春 辽宁月考）　　
A． B． C． D．
【解答】解：
．
辅助角公式
【要点讲解】,其中的值由,及符号确定
（2022 杭州模拟）已知函数，当时，取得最大值，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，（其中，，
当时，取得最大值，此时，
得到，．
故选：．
（2022秋 南安市期中）已知函数，当时，取得最大值，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
故，，
因为时，取得最大值，
所以，
所以，．
故选：．
两角和与差的正切公式的逆用
【要点讲解】涉及两角的正切的积与和差的混合运算问题,常考虑两角和与差的正切公式的变形.
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
【要点讲解】三角形中的三角函数问题,要应用A+B+C=π减少角的种类.
(1)常用结论有:,,,
(2)sin A>sin B A>B等.
（2023春 招远市校级期中）在中，已知，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得．
又因为，所以，所以．
所以，
所以．
故选：．
（2022秋 永丰县校级期末）在中，，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
为钝角，从而为锐角，
，，
．
故选：．
（2021秋 雨花区校级期末）在中，已知，，则的大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：（1）由题意知，，，
则，
，，
．
故选：．
（2023春 上城区校级期中）在中，为锐角，若，，则　　
A． B． C．或 D．
【解答】解：中，，，
为锐角，为锐角，
，，
则
．
故选：．
（2018秋 益阳期末）已知角，，为的内角，，，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，，
，
．
故选：．
综合运用
（2023春 达州期末）在中，若，则的最小值是　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：，由正弦定理得，根据余弦定理得：，
当且仅当时等号成立，又因为，所以，，
即的最小值是．
故选：．
（2023春 青羊区校级月考）已知，，且满足．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
【解答】（1）证明：由已知，，
；
（2）解：，则，，
由（1）得
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是．
（2023春 如皋市月考）已知角，满足，，则的最大值为　　
A． B． C． D．1
【解答】解：，即，
设，
可得：，，
则，
又，则最大值为1，则的最大值为．
故选：．
（2023 朝阳区校级模拟）已知，均为锐角，且，则的最大值是　　
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：，，
，，
，，
，又因为为锐角，所以该方程有解，
△，解得，又为锐角，．
所以的最大值是．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 郫都区期末）已知，，则　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：，，
，则，
．
故选：．
2．（2023春 成都期末）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
所以，即，
所以，则，
所以
．
故选：．
3．（2023春 泗阳县校级月考）已知，，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，①
，②
由①②两式平方相加可得，
即有，
由，，，可得，则，
可得，
故选：．
4．（2023春 泗阳县期中）已知函数在，上有两个不同的零点，则的取值范围为　　
A．， B．， C． D．，
【解答】解：函数，
则，所以，
因为，，所以，
故函数的图象满足：
函数在在，上有两个不同的零点，
即与函数有两个不同的交点，
所以，解得．
即的取值范围为，．
故选：．
5．（2023 玉树市校级模拟）若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：
，
由，得，
所以，所以，
所以，
所以．
故选：．
6．（2023 鲤城区校级模拟）若，则　　
A．0 B． C．3 D．7
【解答】解：因为，
所以，
即，
所以，
所以．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2022 杭州模拟）已知函数图象的最小正周期是，则　　
A．的图象关于点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C．在上的值域为，
D．在上单调递增
【解答】解：因为，
函数的最小正周期是，
，
，，
，
关于对称，故正确．
，
关于轴对称，故正确．
当时，有，则，所以，
，故错误．
由，解得，
所以的一个单调增区间为，而，
在上单调递增，故正确．
故选：．
8．（2023春 西湖区校级期中）已知函数的图象为，则下列结论中正确的是　　
A．图象关于直线对称
B．图象的所有对称中心都可以表示为，
C．函数在上的最大值为
D．函数在区间上单调递减
【解答】解：，
对于，因为当时，，为最大值，
所以直线是图象的对称轴，故正确；
对于，，，故正确；
对于，若，，可得，，可得，，
所以函数在，上的最大值为3，故错误．
对于，当，时，，，
因此在区间，上是增函数，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 南充期末）若，则　　．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
10．（2023春 萍乡期中）若，则　　．
【解答】解：若，则，
则，
故答案为：．
11．（2023春 大祥区校级期末）若，则　　．
【解答】解：
．
故答案为：．
12．（2023春 湖南期中）若，则　　．
【解答】解：若，
则．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春 聊城期中）已知函数，周期是．
（1）求的解析式，写出函数的对称轴；
（2）若成立的充分条件是，求的取值范围．
【解答】解：（1），
，，即．
故，
令，可得，
即函数的对称轴为．
（2）由可得，
又当时，，此时，
由题意，当时，恒成立，
则有，，，解得．
即的取值范围是．
14．（2023春 西城区期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因为，，
所以，
又因为，
所以．
所以；
（2）．
15．（2022秋 西昌市期末）（1）在中已知，求，的值；
（2）在中已知，求的值．
【解答】解：（1）在中，，故为钝角，
，．
（2）在中，，
，
．专题03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
目录
题型一： 给值求值 2
题型二： 给值求角问题 3
题型三： 辅助角公式 4
题型四： 两角和与差的正切公式的逆用 5
题型五： 两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用 5
题型六： 综合运用 6
两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
给值求值
【要点讲解】(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;常见的配角技巧: ,,,,等.
(2)当“已知角”有一个时,此时寻找“所求角”与“已知角及特殊角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（2023春 台江区校级期末）已知，都是锐角，，则　　
A． B． C． D．
（2022春 东城区校级期中）若，都是锐角，且，，则　　
A． B． C． D．
（2021秋 北海期末）已知角为第二象限角，，则的值为　　
A． B． C． D．
（2021秋 安庆期末）已知，则　　
A． B． C． D．
（2021秋 河北月考）若，，则　　
A． B． C． D．
给值求角问题
【要点讲解】依条件求出所求角的范围,选择一个在角的范围内严格单调的三角函数求值
（2023春 高安市校级期中）　　
A． B． C． D．
　　
A． B． C．1 D．
（2023春 分宜县校级月考）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
（2023春 泉山区校级月考）　　
A． B． C． D．
（2023春 吴江区校级月考）已知，则　　
A． B． C． D．
（2023春 辽宁月考）　　
A． B． C． D．
辅助角公式
【要点讲解】,其中的值由,及符号确定
（2022 杭州模拟）已知函数，当时，取得最大值，则　　
A． B． C． D．
（2022秋 南安市期中）已知函数，当时，取得最大值，则　　
A． B． C． D．
两角和与差的正切公式的逆用
【要点讲解】涉及两角的正切的积与和差的混合运算问题,常考虑两角和与差的正切公式的变形.
两角和与差的三角函数公式在三角形中的应用
【要点讲解】三角形中的三角函数问题,要应用A+B+C=π减少角的种类.
(1)常用结论有:,,,
(2)sin A>sin B A>B等.
（2023春 招远市校级期中）在中，已知，，则　　
A． B． C． D．
（2022秋 永丰县校级期末）在中，，，则的值为　　
A． B． C． D．
（2021秋 雨花区校级期末）在中，已知，，则的大小为　　
A． B． C． D．
（2023春 上城区校级期中）在中，为锐角，若，，则　　
A． B． C．或 D．
（2018秋 益阳期末）已知角，，为的内角，，，则的值为　　
A． B． C． D．
综合运用
（2023春 达州期末）在中，若，则的最小值是　　
A．1 B． C． D．
（2023春 青羊区校级月考）已知，，且满足．
（1）证明：；
（2）求的最大值．
（2023春 如皋市月考）已知角，满足，，则的最大值为　　
A． B． C． D．1
（2023 朝阳区校级模拟）已知，均为锐角，且，则的最大值是　　
A．4 B．2 C． D．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 郫都区期末）已知，，则　　
A． B．3 C． D．
2．（2023春 成都期末）已知，则　　
A． B． C． D．
3．（2023春 泗阳县校级月考）已知，，，，则　　
A． B． C． D．
4．（2023春 泗阳县期中）已知函数在，上有两个不同的零点，则的取值范围为　　
A．， B．， C． D．，
5．（2023 玉树市校级模拟）若，则　　
A． B． C． D．
6．（2023 鲤城区校级模拟）若，则　　
A．0 B． C．3 D．7
二．多选题（共2小题）
7．（2022 杭州模拟）已知函数图象的最小正周期是，则　　
A．的图象关于点对称
B．将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称
C．在上的值域为，
D．在上单调递增
8．（2023春 西湖区校级期中）已知函数的图象为，则下列结论中正确的是　　
A．图象关于直线对称
B．图象的所有对称中心都可以表示为，
C．函数在上的最大值为
D．函数在区间上单调递减
三．填空题（共4小题）
9．（2023春 南充期末）若，则　　．
10．（2023春 萍乡期中）若，则　　．
11．（2023春 大祥区校级期末）若，则　　．
12．（2023春 湖南期中）若，则　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023春 聊城期中）已知函数，周期是．
（1）求的解析式，写出函数的对称轴；
（2）若成立的充分条件是，求的取值范围．
14．（2023春 西城区期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
15．（2022秋 西昌市期末）（1）在中已知，求，的值；
（2）在中已知，求的值．专题04 简单的三角恒等变换
目录
题型一： 三角函数式的化简 2
题型二： 二倍角公式在求值中的应用——给值求值 4
题型三： 二倍角公式在求值中的应用——给角求值 6
题型四： 三角恒等变换的应用 8
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
三角函数式的化简
【要点讲解】(1)从幂、名称及角的差异三个方面对所给的三角函数式进行适当的变形,结合所给的“形”的特征求解.
(2)常用技巧:弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
（2023 湖南模拟）已知是直线的倾斜角，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，为锐角），
，
．
故选：．
（2023春 肥城市期中）已知，则的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，即，
则．
故选：．
（2023春 岳麓区校级月考）若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
又，
所以，
所以，
所以．
故选：．
（2023春 淮安区月考）计算求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
（2023春 沈河区校级月考）化简求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
二倍角公式在求值中的应用——给值求值
【要点讲解】(1)“变角”,使相关角相同或具有某种关系,结合相应的公式求解,一般地已知条件中含的三角函数值;
(2)求2α的三角函数值时,要注意型诱导公式的应用.
（2023春 镇巴县期末）已知锐角满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为且为锐角，
所以，
解得，
则．
故选：．
（2023 安阳三模）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
又，解得，
所以．
故选：．
（2023春 宁波期中）已知为第三象限角，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：为第三象限角，，则，
故，
所以．
故选：．
（2022 沈阳模拟）已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：已知，整理得，
所以，，
故．
故选：．
（2023春 河南月考）已知，则的值为　　
A． B． C．3 D．
【解答】解：因为，
所以，
则．
故选：．
二倍角公式在求值中的应用——给角求值
【要点讲解】明确所给角与特殊角的关系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
切弦共存时,需将切化弦
（2023春 阜宁县期中）已知，化简的结果是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
所以
．
故选：．
化简的结果是　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故选：．
计算的值是　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
（2023春 永昌县校级期中）下列化简正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于，，故不正确；
对于，，故不正确；
对于，，故正确；
对于，根据同角平方关系可得，，故不正确．
故选：．
（2023春 如东县期中）求的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
三角恒等变换的应用
【要点讲解】形如 (其中f(x)表示正弦或余弦)型的化简问题,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及辅助角公式,将所给函数化为只含一个角的一种三角函数形式.
（2022秋 佛山期末）从①，②，③，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知，且满足_____．
（1）判断是第几象限角；
（2）求值：．
【解答】解：（1）若选①，
两边同时平方得，
所以，
因为，
所以，，
故为第二象限角；
（2）由（1）得，
所以，
所以，，
所以；
（1）若选②，
两边同时平方得，
所以，
因为，
所以，，
故为第二象限角；
（2）由（1）得，
所以，
所以或，
所以；
（1）若选③，
则，
因为，
故为第二象限角；
（2）．
（2022 沈北新区校级开学）（1）在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角为锐角，　若选择①，；若选择②，；若选择③，　．求角的大小；
（2）是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）若选择①，
由于，可得，可得，即，
因为为锐角，
可得；
若选择②，
由于，，可得，解得或（舍去），
因为为锐角，可得．
若选择③，
因为，可得或，
因为为锐角，，可得，可得；
（2）存在，使等式同时成立．理由如下：
由条件得，
两式平方相加得，，
，即，
，，
或，
将代入②，得，
又，
，代入①可知，符合，
将代入②得，代入①可知，不符合，
综上可知，．
（2022秋 和平区校级月考）已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求；
（3）若角是的内角，且，求的值．
【解答】解：（1）；
（2）若是第三象限角，且，即，
即有，，
所以；
（3）若角是的内角，且，即，
，，
所以．
（2021秋 下城区校级期末）（1）化简．
（2）已知关于的方程的两根为和，．求实数以及的值．
【解答】解：（1）原式；
（2）由已知得，，
所以，结合，
得，故，故；
，结合，
得．
（2022秋 和平区校级期中）已知函数，．
（1）化简；
（2）若，，求的值．
【解答】解：（1），
所以，，，，，
所以，
．
即．
法二：，
，，，，
直接第一个根号内分子分母同乘，第二个根号内分子分母同乘，
．
（2）因为，所以，
所以，
，
所以．
即．
一．选择题（共6小题）
1．（2023 三明三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于，两点，当面积最大时　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，圆的半径为，圆心，
故面积．
当面积最大时，，此时，，点到直线的距离为．
而直线的方程为，即．
根据点到直线的距离公式可得，求得，
故．
故选：．
2．（2023 南充模拟）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，
所以．
故选：．
3．（2023 鼓楼区校级模拟）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
．
故选：．
4．（2023春 番禺区期末）已知函数，则　　
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递增
D．在上单调递减
【解答】解：，周期，
的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
对于，在，上单调递增，故错误，
对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，
对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误；
对于，在上单调递减，故正确．
故选：．
5．（2023 南关区校级模拟）若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
故选：．
6．（2022秋 宝鸡期末）　　
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2022 南京模拟）下列式子正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对；
对；
对：因为，
所以；
对：因为，
所以．
故选：．
8．（2021春 十堰期末）中，内角，的对边分别为，，则下列能成为“”的充要条件的有　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，
对于，由正弦定理得，，故正确；
对于，，在上单调递减，、，故正确；
对于，，即，故正确；
对于，不能推出，如，时满足，但，故错误；
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023 松江区二模）已知，且，则　　．
【解答】解：因为，且，
所以，可得，
则．
故答案为：．
10．（2021秋 武汉期末）已知为第四象限的角，，则　　．
【解答】解：，①
两边平方得：，
，
为第四象限角，
，，．
，②
①②可解得：，
．
故答案为：．
11．（2023 沙坪坝区校级模拟）若，则　　．
【解答】解：，
．
故答案为：．
12．（2022秋 沙坪坝区校级月考）已知锐角满足，则　　．
【解答】解：，
，
得，两边平方得，解得．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．（2021春 广安期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1），，，
．
（2）．
14．（2021春 河南期末）已知是第二象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以，即．
因为是第二象限角，
所以，，
所以．
（2），
由（1）可知，
所以．
15．（2022春 润州区校级期中）（1）已知，，求，，；
（2）已知，求．
【解答】解：（1），，，
，，
，．
（2），
．专题04 简单的三角恒等变换
目录
题型一： 三角函数式的化简 2
题型二： 二倍角公式在求值中的应用——给值求值 3
题型三： 二倍角公式在求值中的应用——给角求值 4
题型四： 三角恒等变换的应用 5
二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
三角函数式的化简
【要点讲解】(1)从幂、名称及角的差异三个方面对所给的三角函数式进行适当的变形,结合所给的“形”的特征求解.
(2)常用技巧:弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂或升幂等.
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律.
（2023 湖南模拟）已知是直线的倾斜角，则的值为　　
A． B． C． D．
（2023春 肥城市期中）已知，则的值是　　
A． B． C． D．
（2023春 岳麓区校级月考）若，则　　
A． B． C． D．
（2023春 淮安区月考）计算求值：
（1）；
（2）．
（2023春 沈河区校级月考）化简求值：
（1）；
（2）．
二倍角公式在求值中的应用——给值求值
【要点讲解】(1)“变角”,使相关角相同或具有某种关系,结合相应的公式求解,一般地已知条件中含的三角函数值;
(2)求2α的三角函数值时,要注意型诱导公式的应用.
（2023春 镇巴县期末）已知锐角满足，则　　
A． B． C． D．
（2023 安阳三模）已知，则　　
A． B． C． D．
（2023春 宁波期中）已知为第三象限角，，则　　
A． B． C． D．
（2022 沈阳模拟）已知，则　　
A． B． C． D．
（2023春 河南月考）已知，则的值为　　
A． B． C．3 D．
二倍角公式在求值中的应用——给角求值
【要点讲解】明确所给角与特殊角的关系,正用、逆用倍角公式及和差公式消去非特殊角.
切弦共存时,需将切化弦
（2023春 阜宁县期中）已知，化简的结果是　　
A． B． C． D．
化简的结果是　　
A． B． C． D．
计算的值是　　
A．1 B． C． D．
（2023春 永昌县校级期中）下列化简正确的是　　
A．
B．
C．
D．
（2023春 如东县期中）求的值为　　
A． B． C． D．
三角恒等变换的应用
【要点讲解】形如 (其中f(x)表示正弦或余弦)型的化简问题,主要是逆用二倍角的正、余弦公式及辅助角公式,将所给函数化为只含一个角的一种三角函数形式.
（2022秋 佛山期末）从①，②，③，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知，且满足_____．
（1）判断是第几象限角；
（2）求值：．
（2022 沈北新区校级开学）（1）在条件①；②；③中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角为锐角，　 　．求角的大小；
（2）是否存在角和，当，，时，等式同时成立？若存在，则求出和的值；若不存在，请说明理由．
（2022秋 和平区校级月考）已知．
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求；
（3）若角是的内角，且，求的值．
（2021秋 下城区校级期末）（1）化简．
（2）已知关于的方程的两根为和，．求实数以及的值．
（2022秋 和平区校级期中）已知函数，．
（1）化简；
（2）若，，求的值．
一．选择题（共6小题）
1．（2023 三明三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于，两点，当面积最大时　　
A． B． C． D．
2．（2023 南充模拟）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则　　
A． B． C． D．
3．（2023 鼓楼区校级模拟）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则　　
A． B． C． D．
4．（2023春 番禺区期末）已知函数，则　　
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在上单调递增
D．在上单调递减
5．（2023 南关区校级模拟）若，则　　
A． B． C． D．
6．（2022秋 宝鸡期末）　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2022 南京模拟）下列式子正确的是　　
A．
B．
C．
D．
8．（2021春 十堰期末）中，内角，的对边分别为，，则下列能成为“”的充要条件的有　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
9．（2023 松江区二模）已知，且，则　　．
10．（2021秋 武汉期末）已知为第四象限的角，，则　　．
11．（2023 沙坪坝区校级模拟）若，则　　．
12．（2022秋 沙坪坝区校级月考）已知锐角满足，则　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2021春 广安期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
14．（2021春 河南期末）已知是第二象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
15．（2022春 润州区校级期中）（1）已知，，求，，；
（2）已知，求．专题05 三角函数的图象与性质
目录
题型一： 三角函数的定义域 3
题型二： 三角函数的值域 5
题型三： 三角函数的单调性 8
题型四： 三角函数的周期性、对称性、奇偶性 10
题型五： 综合运用 15
“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在确定余弦函数y＝cos x在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，，(0,1)，，(π，－1)．
三角函数的图象和性质
函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象(一 个周期)
定义域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
值域 [－1,1] [－1,1] R
最值 (k∈Z) 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 无
对称性 (k∈Z) 对称轴： x＝kπ＋； 对称中心： (kπ，0) 对称轴： x＝kπ； 对称中心： 无对称轴； 对称中心：
最小正 周期 2π 2π π
单调性 (k∈Z) 单调递增区间：； 单调递减区间： 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π] 单调递增区间：
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
三角函数的定义域
【要点讲解】根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象求解.
涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
函数的定义域为　，且，　．
【解答】解：函数，
，且，，
函数的定义域为，且，，，
故答案为：，且，，，
（2022春 南阳期末）函数的定义域是　　．
【解答】解：要使函数有意义，需要满足，
解得：，
即，
故答案为．
（2023春 金牛区校级月考）定义域为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得，
解得，故定义域为．
故选：．
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）要使有意义，可得，解得，；
（2）要使有意义，
可得，即：，
解得，；
（3）要使有意义，可得．
所以函数的定义域为：，．
三角函数的值域
【要点讲解】(1)求解形如或可化为或的值域,先求出的范围,再结合三角函数的性质求最值.
(2)形如或可化为的函数值域问题,可以通过换元转化为二次函数最值问题.
(3)形如或可化为,其中f(x),g(x)为正、余弦函数,常将已知条件式变形后,利用正、余弦函数的有界性求解;
(4)形如的三角函数,可先设,化为关于t的二次函数再求值域(最值).
（2022秋 南关区校级期末）函数的值域是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：由于函数，
在处，函数最大值2，在处，取得最小值为，
故可知函数的值域为：，．
故选：．
（2023春 郫都区校级期中）若函数的最大值为，则的值等于　　
A．2 B． C．0 D．
【解答】解：由于，所以时，取最大值，
故，所以．
故选：．
（2023春 全南县校级期中）已知函数，任取，记函数在，上的最大值为，最小值为，设，则函数的值域为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，其中，分别是指在区间，上的最大值和最小值，
因为的周期，故在区间，的图象与在区间，上的图象完全相同，
故，，故，即是周期为4的函数，故，的值域与，，时的值域相同；
又在，单调递减，，单调递增，在，单调递减，
故当时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
当时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
当，时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
当时，在区间，上的最大值为1，最小值为，此时；
当时，在区间，上的最大值为1，最小值为，此时；
当，时，在区间，上的最大值为，最小值为，此时；
故在，的函数图象如下所示：
数形结合可知，的值域为．
故选：．
（2023春 长葛市校级月考）求下列函数的值域，并求出最值．
（1），，
（2）．
【解答】解：（1），，
，
，
，
值域为，，最小值是1，最大值是2；
（2）
，
又，
当时，
当时，，
所以的值域为，，最小值是，最大值是1．
三角函数的单调性
【要点讲解】1.形如的单调区间求法
将看作一个整体,结合的性质求解,若时,先利用诱导公式将x的系数化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
（2023春 凌源市月考）下列区间中，函数单调递增的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
得．
所以在上不单调递增，
在上单调递增．
故选：．
（2023秋 崂山区校级期末）下列区间中，函数的单调递增区间是　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：函数，
由，，
解得，，
取，可得．
，，，
函数单调递增的区间是，．
故选：．
（2022 长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间是，
因为，
所以函数单调递增的是，
故选：．
（2022春 河北月考）函数的单调递减区间为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：将整体代入正弦函数单调递减区间，即．解得，
所以函数的单调递减区间为．
故选：．
三角函数的周期性、对称性、奇偶性
【要点讲解】1.三角函数周期的求法
①求或或 (为常数,)的周期直接应用公式或求解.
②形如y=(其中f(x)是三角函数)的周期,可以借助函数图象特征或定义求解.
2.三角函数奇偶性判断及应用
三角函数奇偶性判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质为奇函数,则,若为偶函数,则.
（2023春 镇巴县期末）已知函数在上单调递减，且，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为函数，
当 时，，
因为函数在上单调递减，
则，其中，
所以，其中，解得，
所以，解得，又因为且，则，
所以，因为，，即，
所以，解得，因此，．
故选：．
（2023 镇安县校级模拟）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据在区间上单调递减，
得，
可得，
又由，
必有，
可得，
即正数的取值范围为，．
故选：．
（2023 烟台模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，所以，
又，所以，
且函数在上单调递增，
所以，解得，
即的取值范围为．
故选：．
（2023 宜春模拟）已知函数满足，且在上单调，则在上的值域为　　
A．， B．， C．， D．
【解答】解：由得，或，
当时在上不单调，
当时在上单调，
所以．
当时，，
所以，
所以在上的值域为，．
故选：．
（2023春 新邱区校级期中）函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由正切函数的周期公式得函数的最小正周期是；
故选：．
（2023春 凉州区期中）函数的最小正周期和最大值分别是　　
A．和3 B．和2 C．和3 D．和2
【解答】解：的最小正周期，最大值为．
故选：．
（2023春 金安区校级期中）函数的最小正周期为，则　　
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：由得，
故选：．
（2023 广东模拟）已知函数，的最小正周期为，若，且为函数的极值点，则的最小值为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：，，
，
得．
则，
为函数的极值点，
，，
得，，
，当时，最小，最小为．
故选：．
（2023春 房山区期中）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递减区间．
【解答】解：因为．
（Ⅰ）故的最小正周期；
（Ⅱ）令，，
则，
故的单调递减区间为，，．
（2023春 简阳市校级期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求当时，的值域．
【解答】解：（1），
，
，
，
的最小正周期．
（2），，
，
故的值域．
（2023春 合江县校级期中）下列直线中，是函数图象的对称轴的是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【解答】解：，
由，，得，．
取，可得．
函数图象的一条对称轴为直线．
故选：．
（2023 扬州三模）以点为对称中心的函数是　　
A． B． C． D．
【解答】解：的对称中心为，，错误；
的对称中心为，，错误；
的对称中心为，，正确；
令，
，不恒等于0，
的图象不关于，成中心对称，错误；
故选：．
（2023春 朝阳区校级月考）已知函数的最小正周期为，且恒成立，则图象的一个对称中心坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，，
解得，
又，则，
所以，
令，
解得，
令，可得，
所以函数的一个对称中心为．
故选：．
综合运用
（2023春 焦作期末）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数，，
令，；
，；
图象的一个对称中心的横坐标在区间内，
所以，
又因为，所以，；
时，，
又因为图象两个相邻对称中心之间的距离大于，
所以，由，所以，
所以的取值范围是，．
故选：．
（2023春 高安市校级期中）函数，则下列结论正确的是　　
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
【解答】解：
．
对于选项，，错；
对于，选项，，
所以函数的图象关于点对称，不关于点对称，
没有取得最值，则的图象不关于直线对称，，均错；
对于选项，当时，，
所以在上单调递增，对．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 盐城期中）设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由函数，，
可得，．
由题意可得，
解得．
故选：．
2．（2023 唐山二模）函数的单调递减区间为　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：令，
解得，
故单调递减区间为，
故选：．
3．（2023 武侯区校级模拟）当，时，函数的值域是，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：法一：由题意，画出函数的图象．
由，，可知，
因为且，
要使的值域是，，只要，
即，．
法二：由题，，可知，
由的图像知，要使的值域是，，
则，解之得，．
故选：．
4．（2023 武侯区校级模拟）已知函数在上单调递增，则在上的零点可能有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：由，
，，
即只能取0，得，
因为在上单调递增，则解得，
由，则，设，
则，
因为，且，
所以函数在上的零点最多有2个．
故选：．
5．（2023春 西城区校级期中）函数的图象　　
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【解答】解：对于函数，
令，求得函数值，不是最值，故它的图象不关于直线对称，也不关于点对称，故，错误；
令，求得函数值，是最值，故它的图象关于直线对称，故正确；
令，求得函数值，是最值，故它的图象不关于点对称，故错误．
故选：．
6．（2023 广州二模）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数，其中为实数，若，对恒成立，
则：为函数的对称轴，
，，，，
由于，，
不妨取，
即：，
令：，，
解得：，，
则的单调递增区间为，，．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春 振兴区校级期中）下列关于函数的表述正确的是　　
A．函数的最小正周期
B．是函数的一条对称轴
C．是函数的一个对称中心
D．函数在区间上是增函数
【解答】解：对于函数，
对于：由于函数的周期，故正确；
对于：当时，，故正确；
对于：根据选项的结论，故错误；
对于：由于，所以，故正确．
故选：．
8．（2022秋 保定期末）已知函数，对，，，，且，都有，满足 的实数有且只有3个，则下列选项中正确的是　　
A．的取值范围是
B．的最小值为
C．满足条件的实数有且只有2个
D．满足条件的实数有且只有2个
【解答】解：函数，对，，，，
且，都有，
的极大值为，极小值为．
满足 的实数有且只有3个，
在区间，上，有且只有3个零点，故函数的最大值为2，最小值为，故错误；
设，则当，时，，，
作的图象如图所示：
，求得，故正确；
满足条件的实数可能有1个，也可能2个，故错误；
结合函数的图象可得，满足条件的实数有且只有2个，故正确，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023 湖北模拟）已知函数，若是函数的图像的一条对称轴，是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为 　　．
【解答】解：根据题意可得，，，，，
，，
又，故．
故答案为：．
10．（2023 闵行区校级一模）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），则实数的取值范围是 　，　．
【解答】解：因为，所以，
因为在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），且，
所以，函数在上恰有两个最大值点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是，．
故答案为：，．
11．（2023 绵阳模拟）已知函数，则在，上的零点个数为 　2　．
【解答】解：函数
的零点个数，即方程的
实数根的个数．
当时，
0，，
本题即求函数， 0，和直线交点的个数．
由于，
故函数， 0，图中蓝色曲线和直线交点的个数为2．
故答案为：2．
12．（2022秋 荔湾区校级期末）函数图象的一个对称中心为，图象的对称轴为 　　．
【解答】解：函数的图象对称中心为，
可知，可得，令．
得．
故答案为：
四．解答题（共3小题）
13．（2022秋 金凤区校级月考）已知函数，．
（1）求的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调区间．
【解答】解：（1）
，
令，，解得，，
的对称轴方程为，．
（2），
，，
当，，即，时，函数单调递减；
，，即，时，函数单调递增．
在区间上的单调递减区间为，，单调递增区间为，．
14．（2022秋 河南月考）已知函数的最大值为．
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求使成立的的取值集合．
【解答】解：函数
的最大值为，，
函数，故它的最小正周期为．
令，，求得，，
故函数的增区间为，，．
（2），即，即，
，求得，，
故使成立的的取值集合为，．
15．（2022春 凉州区校级期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求函数的单调递减区间．
【解答】解：因为，
所以（1）；
（2）；
（3）由，，
可得，，
所以的单调递减区间为：，，．专题05 三角函数的图象与性质
目录
题型一： 三角函数的定义域 3
题型二： 三角函数的值域 4
题型三： 三角函数的单调性 5
题型四： 三角函数的周期性、对称性、奇偶性 6
题型五： 综合运用 9
“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在确定余弦函数y＝cos x在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，，(0,1)，，(π，－1)．
三角函数的图象和性质
函数性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象(一 个周期)
定义域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
值域 [－1,1] [－1,1] R
最值 (k∈Z) 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 无
对称性 (k∈Z) 对称轴： x＝kπ＋； 对称中心： (kπ，0) 对称轴： x＝kπ； 对称中心： 无对称轴； 对称中心：
最小正 周期 2π 2π π
单调性 (k∈Z) 单调递增区间：； 单调递减区间： 单调递增区间：[2kπ－π，2kπ]； 单调递减区间：[2kπ，2kπ＋π] 单调递增区间：
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
三角函数的定义域
【要点讲解】根据函数解析式特征列出与三角函数有关的不等式,借助三角函数性质及图象求解.
涉及与正切函数有关的定义域,要注意正切函数本身的定义域.
函数的定义域为　 ．
（2022春 南阳期末）函数的定义域是　 　．
（2023春 金牛区校级月考）定义域为　　
A． B．
C． D．
求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）．
三角函数的值域
【要点讲解】(1)求解形如或可化为或的值域,先求出的范围,再结合三角函数的性质求最值.
(2)形如或可化为的函数值域问题,可以通过换元转化为二次函数最值问题.
(3)形如或可化为,其中f(x),g(x)为正、余弦函数,常将已知条件式变形后,利用正、余弦函数的有界性求解;
(4)形如的三角函数,可先设,化为关于t的二次函数再求值域(最值).
（2022秋 南关区校级期末）函数的值域是　　
A．， B． C． D．
（2023春 郫都区校级期中）若函数的最大值为，则的值等于　　
A．2 B． C．0 D．
（2023春 全南县校级期中）已知函数，任取，记函数在，上的最大值为，最小值为，设，则函数的值域为　　
A． B． C． D．
（2023春 长葛市校级月考）求下列函数的值域，并求出最值．
（1），，
（2）．
三角函数的单调性
【要点讲解】1.形如的单调区间求法
将看作一个整体,结合的性质求解,若时,先利用诱导公式将x的系数化为正数.
2.已知单调区间求参数范围的两种方法
(1)求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.
(2)由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.
（2023春 凌源市月考）下列区间中，函数单调递增的是　　
A． B． C． D．
（2023秋 崂山区校级期末）下列区间中，函数的单调递增区间是　　
A． B．， C．， D．，
（2022 长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是　　
A． B． C． D．
（2022春 河北月考）函数的单调递减区间为　　
A． B．
C． D．
三角函数的周期性、对称性、奇偶性
【要点讲解】1.三角函数周期的求法
①求或或 (为常数,)的周期直接应用公式或求解.
②形如y=(其中f(x)是三角函数)的周期,可以借助函数图象特征或定义求解.
2.三角函数奇偶性判断及应用
三角函数奇偶性判断借助定义,而根据奇偶性求解问题则利用性质为奇函数,则,若为偶函数,则.
（2023春 镇巴县期末）已知函数在上单调递减，且，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023 镇安县校级模拟）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为　　
A． B． C． D．
（2023 烟台模拟）已知函数在上单调递增，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
（2023 宜春模拟）已知函数满足，且在上单调，则在上的值域为　　
A．， B．， C．， D．
（2023春 新邱区校级期中）函数的最小正周期是　　
A． B． C． D．
（2023春 凉州区期中）函数的最小正周期和最大值分别是　　
A．和3 B．和2 C．和3 D．和2
（2023春 金安区校级期中）函数的最小正周期为，则　　
A．4 B．2 C．1 D．
（2023 广东模拟）已知函数，的最小正周期为，若，且为函数的极值点，则的最小值为　　
A．3 B． C． D．
（2023春 房山区期中）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递减区间．
（2023春 简阳市校级期中）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求当时，的值域．
（2023春 合江县校级期中）下列直线中，是函数图象的对称轴的是　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
（2023 扬州三模）以点为对称中心的函数是　　
A． B． C． D．
（2023春 朝阳区校级月考）已知函数的最小正周期为，且恒成立，则图象的一个对称中心坐标是　　
A． B． C． D．
综合运用
（2023春 焦作期末）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
（2023春 高安市校级期中）函数，则下列结论正确的是　　
A．的最大值为1
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
一．选择题（共6小题）
1．（2023春 盐城期中）设函数在区间恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（2023 唐山二模）函数的单调递减区间为　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023 武侯区校级模拟）当，时，函数的值域是，，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．（2023 武侯区校级模拟）已知函数在上单调递增，则在上的零点可能有　　
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2023春 西城区校级期中）函数的图象　　
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
6．（2023 广州二模）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．
二．多选题（共2小题）
7．（2023春 振兴区校级期中）下列关于函数的表述正确的是　　
A．函数的最小正周期
B．是函数的一条对称轴
C．是函数的一个对称中心
D．函数在区间上是增函数
8．（2022秋 保定期末）已知函数，对，，，，且，都有，满足 的实数有且只有3个，则下列选项中正确的是　　
A．的取值范围是
B．的最小值为
C．满足条件的实数有且只有2个
D．满足条件的实数有且只有2个
三．填空题（共4小题）
9．（2023 湖北模拟）已知函数，若是函数的图像的一条对称轴，是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为 　　．
10．（2023 闵行区校级一模）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足（a）（b），则实数的取值范围是 　　．
11．（2023 绵阳模拟）已知函数，则在，上的零点个数为 　　．
12．（2022秋 荔湾区校级期末）函数图象的一个对称中心为，图象的对称轴为 　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2022秋 金凤区校级月考）已知函数，．
（1）求的对称轴方程；
（2）求在区间上的单调区间．
14．（2022秋 河南月考）已知函数的最大值为．
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求使成立的的取值集合．
15．（2022春 凉州区校级期中）已知函数．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期；
（3）求函数的单调递减区间．专题06 函数y＝Asin(ωx＋φ)
目录
题型一：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 3
题型二：已知函数图象求解析式 5
题型三：三角函数图象变换与性质的综合 9
题型四：三角函数模型及其应用 16
函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表.
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描点．在同一平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【要点讲解】(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos,cos α=sin将不同名函数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2023春 樟树市校级期中）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．，
【解答】解：将的图象向右平移个单位长度后，
得到，即的图象，
令，，
解得，，
所以的单调递增区间为，．
故选：．
（2022秋 上城区校级期末）已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线．
故选：．
（2022秋 上城区校级期末）将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．已知，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：函数的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，得到的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到的图象；
故选：．
（2023 昌平区二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数　　
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
【解答】解：函数，即，将其图象向右平移个单位长度，
所得图象对应的函数是，
当时，，
因为余弦函数在上不单调，
因此函数在上不单调，错误；
当时，，
因为余弦函数在上单调递减，
因此函数在上单调递减，错误，正确．
故选：．
已知函数图象求解析式
【要点讲解】　确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
（2023春 驻马店月考）已知函数，的部分图象如图所示，则　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：由函数的部分图象知，，
解得，所以，
又因为，解得，，
所以，；
由，得，所以，
所以．
故选：．
（2021 宝鸡模拟）已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是　　
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上是增函数
D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
【解答】解：由函数，的部分图象得，
，由五点法画图知，
又，所以，解得，
所以．
对于，，所以的图象不关于直线对称，错误；
对于，，所以的图象不关于点，对称，错误；
对于，，时，，，所以在区间，上是增函数，正确；
对于，把向右平移个单位，得，得不到的图象，错误．
故选：．
（2023春 谯城区校级期中）已知函数，，的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点中心对称，则下列判断正确的是　　
A．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．函数在上单调递减
【解答】解：由函数的最大值可知，
因为函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以周期，则，解得：，
又函数关于点对称，则，
解得：，，因为，所以，
所以函数，
对于，向右平移个单位后得到，，所以正确；
对于，当时，，所以不是函数的对称轴，所以不正确；
对于，当时，，所以，
所以，故错误；
对于，若，则，
所以函数在上不具有单调性，故错误．
故选：．
（2023春 南阳期中）已知函数，，的部分图象如图，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图象知，即周期，即，得，
则，
，，即，，
，当时，，
则，
，即，
则，
．
故选：．
三角函数图象变换与性质的综合
【要点讲解】(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
（2023春 丽水期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到的图象，求，的值域．
【解答】解：（1）由题，周期，
令，
得，
所以的单调递增区间是．
（2）由已知可得，．
因为，所以．
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
所以，所以，
所以所求值域为．
（2023春 焦作期末）已知函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．
【解答】解：（1）由已知得的最小正周期，所以，
从而，又，，所以，
所以．
（2）由已知得．
故，
令，，得，，
所以函数的单调递减区间为，．
（2023春 成都期末）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）由函数的部分图象知，
，所以，所以，
又因为，
所以，，解得，，
又因为，所以，
所以，解得，
所以；
（2）因为，，所以，，
所以，，
所以，，
即的取值范围是，．
（2023春 朝阳区校级月考）函数的部分图像如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范围．
【解答】解：（1）由图像可知，即，
解得：，
由图知函数过点，
，即，
，解得，
又，，
所以的解析式为：；
（2），，
利用余弦函数的图像与性质知：，
即，
令，则由题可知恒成立，
令，，对称轴为，开口向上，
①当时，二次函数在上单调递增，
（1），
解得，此时无解；
②当时，二次函数在上单调递减，在上单调递减，
，
解得：；
③当时，二次函数在上单调递减，
，
解得：，此时无解；
综上可知，的取值范围是．
（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【解答】解：由五点对应法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4个，
由得，1，2共3个，合计个．
故选：．
（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【解答】解：由题图得，所以，因为，
所以，，，，
因为，所以，所以，
，，令，
或，，由于，，
则，，，，，，，有7个值，
故的图象与直线在此区间上有7个交点．
故选：．
（2023春 柯桥区期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数，的周期为，
令，可得，，
所以，即，，
又，
所以，，，
又，所以，
所以．
故选：．
（2023 郑州模拟）已知函数（其中，的图象如图所示，且满足，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：设的最小正周期为，根据及函数图象的对称性知，，
所以，得．由，得，即，
因为，结合图知，故．
由，得，即，
由图象易知，得．
故选：．
（2023 鲤城区校级模拟）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围　　
A． B． C． D．
【解答】解：，其中（取为锐角），
，其中（取为锐角），
设，由，可得．
在区间内没有零点，但有极值点时，，可得．
所以．
因为，，所以．
所以，
所以在上的最大值在取得，故．
又
，
，
所以的取值范围是．
故选：．
三角函数模型及其应用
【要点讲解】(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立三角函数关系式;
(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题;
(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.
（2023春 沂水县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的
点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：在水面下，为负数）表示为时间（单位：的函数，当时，点到水面的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，得筒车旋转的周期是，
第时，点回到原来的位置，第时点旋转了180度，
由三角函数可求出所在直径与水面的夹角为30度，所以此时距离水面的距离为，
故选：．
（2023春 西城区校级期中）如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意，，，
设，，，，
则，，，
可得，
的初始位置在最低点，时，有，即，
解得，，，
与的函数关系为：．
故选：．
（2023春 肥城市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足．
已知筒车的轴心距离水面的高度为2米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）
（盛水筒在水面下时，则为负数）．
（1）将距离表示成旋转时间的函数；
（2）求筒车在，秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？
【解答】解：（1）由题意知，，，所以，
时，，解得，
又因为，所以，
所以点的纵坐标满足，．
所以距离关于时间的函数为，；
（2），时，令，得，
所以，解得，
所以筒车在，秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间是
（秒．
（2023 香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
【解答】解：（1）（其中，，，
由题意知：，
，
故，
，
，
又，
，
，
故解析式为：，，；
（2）令，则，即，
因为，，则，
所以或，
解得或，
故游客甲坐上摩天轮5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为30米．
一．选择题（共6小题）
1．（2023 广东学业考试）要获得，只需要将正弦图像　　
A．向左移动个单位 B．向右移动个单位
C．向左移动个单位 D．向右移动个单位
【解答】解：把的图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式为．
故选：．
2．（2023春 顺德区校级期中），，的一段图象如图，则其解析式为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，
根据图象可得函数最大值为2，则，
点，对应五点作图的第三个点，
则，，
则函数的解析式为：．
故选：．
3．（2023春 金安区校级期中）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，所以，
又，所以，
则，由可得，
所以，，
因为，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为．
故选：．
4．（2023 桃城区校级三模）函数的部分图象如图所示，则　　
A． B． C．0 D．
【解答】解：由图可知，且过点，代入解析式可知，，
即．
因为，所以，
所以，
所以．
故选：．
5．（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
【解答】解：由五点对应法得，得，，
即，
由得或，，
得或，，
由或，
得或，
由得，1，2，3共4个，
由得，1，2共3个，合计个．
故选：．
6．（2023春 深圳期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【解答】解：由于函数，要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度即可．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．（2023 临沂二模）已知函数，，在一个周期内的图象如图，则　　
A．
B．点是一个对称中心
C．的单调递减区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，可得的图象
【解答】解：由图象可得，且，所以最小正周期，
而，即，可得，所以，
由图知，时，，，又，所以，
所以，所以错误；
中，因为，这时，所以 是函数的一个对称中心，所以正确；
中，，，，是函数的单调增区间，项错误，
理由如下：函数的递增区间满足，，
解得，
所以函数的递增区间为，，，所以错误；
中，的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，
可得，再向左平移，可得，
即与该函数图像一样，所以正确；
故选：．
8．（2023 郴州模拟）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在，上有且只有5个零点，则下列结论正确的是　　
A．的图象关于点对称
B．在上有且只有5个极值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
【解答】解：由题设，在，上，若，
所以在上有5个零点，则，解得，故正确；
在上，，当，极值点个数为6个，故错误；
且，故不为0，故错误；
在上，则，故递增，即在上递增，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．（2023 汉滨区校级模拟）把函数的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称，若在区间，上单调递减，则的最大值为 　　．
【解答】解：函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为，
函数的图象关于轴对称，
，
，
又，，
，
，，，，
在区间，上单调递减，
，解得，
的最大值为．
故答案为：．
10．（2022秋 河北区期末）已知函数的部分图象如图所示，则　　．
【解答】解：令，
，
所以，所以，
结合，得，，
易知时，即为所求．
故答案为：．
11．（2023春 顺庆区校级期中）将函数的图象向左平移个单位得到一个偶函数的图象，则　　．
【解答】解：将函数的图象向左平移个单位长度得图象所对应的解析式为，
因为为偶函数，
所以，
即，，
又，
所以．
故答案为：．
12．（2023春 桐柏县校级月考）函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则　　．
【解答】解：，，
因为平移后图象重合，故，因为，故．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．（2023 桃城区校级模拟）如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），为线段的中点，记经过秒后（其中，．
（1）求的函数解析式；
（2）将图像上的各点均向右平移2个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．
【解答】解：（1），是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），
经过秒后（其中，
则．
因为，
所以，
所以，
所以．
即．
（2）依题意可知
由，得，
故函数在，上的单调递减区间为，．
14．（2023春 朝阳区校级期末）某同学用“五点法”画函数，，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）函数的解析式为　　（直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数在区间，上的最小值．
【解答】解：（Ⅰ），，
所以，，结合得，故；
（Ⅱ）由，解得，，
故的单调递增区间为，，；
（Ⅲ）由，，得，
故当时，．
15．（2023春 长寿区期末）若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
【解答】解：（1），
则函数的周期为；
（2）函数的图象向右平移得：，
因为，所以，故，
当时，，当时，，
，故函数的值域为．专题06 函数y＝Asin(ωx＋φ)
目录
题型一： 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 3
题型二： 已知函数图象求解析式 5
题型三： 三角函数图象变换与性质的综合 9
题型四： 三角函数模型及其应用 16
函数y＝Asin(ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝rsin(ωt＋φ)＋h.
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表.
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描点．在同一平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【要点讲解】(1)解题时首先分清原函数与变换后的函数;
(2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos,cos α=sin将不同名函数转换成同名函数;
(3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2023春 樟树市校级期中）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为　　
A． B．
C． D．，
（2022秋 上城区校级期末）已知曲线，，则下面结论正确的是　　
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
（2022秋 上城区校级期末）将函数的图象向左平移个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．已知，则　　
A． B．
C． D．
（2023 昌平区二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数　　
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
已知函数图象求解析式
【要点讲解】　确定y=Asin(ωx+φ)+b(0A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;
(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=;
(3)求φ:常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.
（2023春 驻马店月考）已知函数，的部分图象如图所示，则　　
A．0 B． C． D．
（2021 宝鸡模拟）已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是　　
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．在区间上是增函数
D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
（2023春 谯城区校级期中）已知函数，，的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点中心对称，则下列判断正确的是　　
A．要得到函数的图象只需将的图象向右平移个单位
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最大值为
D．函数在上单调递减
（2023春 南阳期中）已知函数，，的部分图象如图，则　　
A． B． C． D．
三角函数图象变换与性质的综合
【要点讲解】(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;
(2)构造f(x)=··sin x+··cos x;
(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);
(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.
（2023春 丽水期末）已知函数，．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位，得到的图象，求，的值域．
（2023春 焦作期末）已知函数的图象与轴的相邻两个交点之间的距离为，且．
（1）求的解析式；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．
（2023春 成都期末）已知函数，的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
（2023春 朝阳区校级月考）函数的部分图像如图所示．
（1）求的解析式；
（2）若，，求的取值范围．
（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
（2023春 柯桥区期末）已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列为定值的量是　　
A． B． C． D．
（2023 郑州模拟）已知函数（其中，的图象如图所示，且满足，则　　
A． B． C． D．
（2023 鲤城区校级模拟）已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围　　
A． B． C． D．
三角函数模型及其应用
【要点讲解】(1)解题关键:准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则,建立三角函数关系式;
(2)建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题,尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题;
(3)与角度有关的呈周期性变化的问题常转化为三角函数模型.
（2023春 沂水县期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．现有一个筒车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动6圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的
点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点开始计算时间．根据如图所示的直角坐标系，将点到水面的距离（单位：在水面下，为负数）表示为时间（单位：的函数，当时，点到水面的距离为　　
A． B． C． D．
（2023春 西城区校级期中）如图所示，一个大风车的半径为，每旋转一周，最低点离地面，若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点离地面的距离与时间之间的函数关系是　　
A． B．
C． D．
（2023春 肥城市期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为4米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足．
已知筒车的轴心距离水面的高度为2米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）
（盛水筒在水面下时，则为负数）．
（1）将距离表示成旋转时间的函数；
（2）求筒车在，秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？
（2023 香洲区校级模拟）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图，开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．
（1）经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？
一．选择题（共6小题）
1．（2023 广东学业考试）要获得，只需要将正弦图像　　
A．向左移动个单位 B．向右移动个单位
C．向左移动个单位 D．向右移动个单位
2．（2023春 顺德区校级期中），，的一段图象如图，则其解析式为　　
A． B．
C． D．
3．（2023春 金安区校级期中）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为　　
A． B． C． D．
4．（2023 桃城区校级三模）函数的部分图象如图所示，则　　
A． B． C．0 D．
5．（2023春 河南期中）如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间，上交点的个数为　　
A．9个 B．8个 C．7个 D．5个
6．（2023春 深圳期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象　　
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二．多选题（共2小题）
7．（2023 临沂二模）已知函数，，在一个周期内的图象如图，则　　
A．
B．点是一个对称中心
C．的单调递减区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，可得的图象
8．（2023 郴州模拟）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在，上有且只有5个零点，则下列结论正确的是　　
A．的图象关于点对称
B．在上有且只有5个极值点
C．在上单调递增
D．的取值范围是
三．填空题（共4小题）
9．（2023 汉滨区校级模拟）把函数的图象向右平移个单位后，图象关于轴对称，若在区间，上单调递减，则的最大值为 　　．
10．（2022秋 河北区期末）已知函数的部分图象如图所示，则　　．
11．（2023春 顺庆区校级期中）将函数的图象向左平移个单位得到一个偶函数的图象，则　　．
12．（2023春 桐柏县校级月考）函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则　　．
四．解答题（共3小题）
13．（2023 桃城区校级模拟）如图，，是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点出发，沿逆时针方向做匀角速度运动，其角速度分别为（单位：弧度秒），为线段的中点，记经过秒后（其中，．
（1）求的函数解析式；
（2）将图像上的各点均向右平移2个单位长度，得到的图像，求函数的单调递减区间．
14．（2023春 朝阳区校级期末）某同学用“五点法”画函数，，在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
0 2 0 0
（Ⅰ）函数的解析式为　　（直接写出结果即可）；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数在区间，上的最小值．
15．（2023春 长寿区期末）若函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．

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