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平面向量的概念及其运算
目录
题型一： 平面向量的有关概念 4
题型二： 平面向量的线性运算 6
题型三： 平面向量的线性运算的几何意义 9
题型四： 范围问题 13
题型五： 共线向量定理的应用 18
1．向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 向量的模是数量
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0
单位 向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行
相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形)．
常用结论与知识拓展
(1)首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)；若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且，不共线，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
平面向量的有关概念
下列命题不正确的是（　　）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
【解答】解：A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；
B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；
C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；
D选项，由向量相等的定义知D正确．
故选：A．
下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【解答】解：．当时，满足，而不一定平行，故错误；
．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
．由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
．若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；
故选：．
下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
【解答】解：若，则与不一定有共线关系，所以选项错误；
若，此时不存在，选项错误；
若，由，，不一定得到，选项不正确；
由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项正确．
故选：．
下列各命题中，正确的是　　
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
【解答】解：对于选项，若，则、的方向关系无法确定，错；
对于选项，与非零向量共线的单位向量是，错；
对于选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，对；
对于选项，若，但向量、不能比大小，错．
故选：．
下列说法中，正确的是　　
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；
④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【解答】解：①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确．
故选：．
平面向量的线性运算
【要点讲解】1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的:可直接运用相应运算法则求解;
(2)含图形的:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位线、平行四边形的性质等,把未知向量用已知向量表示出来求解.
在正方形中，在上且有，与对角线交于，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图：
在正方形中，在上且有，与对角线交于，
，且，
，
可得，可得，
，
故选：．
向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　
A． B．4 C．2 D．
【解答】解：如图，
把向量平移到同一起点，得出，然后把平移到同一起点，则：，
．
故选：．
已知、分别是的边，上的中线，且，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，．
，
解得．
故选：．
设是单位向量，，，，则四边形　　
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【解答】解：，
四边形是平行四边形
又
四边形是菱形
故选：．
设是平行四边形的对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：四边形为平行四边形，是，的中点，
，，
．
故选：．
平面向量的线性运算的几何意义
设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取的中点为，
，
，
，
、、三点共线且，
，
，
故选：．
在中，为的中点，，，与交于，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由中，为的中点，，，与交于，，
则，
由点、、三点共线，
则，
解得，
故选：．
已知是三角形内部一点，满足，，则实数　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：如图，令，则：
，，三点共线；
与共线反向，；
；
解得．
故选：．
我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．
∴x2+4x2＝1，解得x＝．
设∠BAE＝θ，则sinθ＝，cosθ＝．
∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．
设＝m+n，
则（，）＝m（1，0）+n（0，1）．
∴m＝，n＝．
∴＝+，
另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．
通过三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．
即可得出结论．
故选：A．
范围问题
已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：由，得，即．
设，则，显然，
所以，
又，所以，
所以，即的最大值为．
故选：．
已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：平面向量，是单位向量，且，
，
，，设，，则，
，点在以为圆心，以为半径的圆上，
的最大值表示圆上的点到原点距离的最大值，如下图所示：
设圆心为，则，
的最大值为：．
故选：．
中，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
两边同时平方得，
展开整理得，
即，
，
当且仅当时等号成立．
又且，时，
所以取最大值．
故选：．
如图．在直角梯形中．，，，，点是腰上的动点，则的最小值为 ．
【解答】解：在直角梯形中，，，，，
则，则以为原点，，为，轴建立平面直角坐标系，
设，设，则，，，
故，，
所以，故，
当且仅当即时取得等号，
即的最小值为4，
故答案为：4．
若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ．
【解答】解：在平面直角坐标系中，不妨设，，，
，，，
，，，
，
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为2．
故答案为：2．
已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 ．
【解答】解：如图，则，
已知，即，所以，
取的中点，则有，
而，根据三角形的三边关系可知，
则，所以，当，，三点共线时取等号，
记向量的夹角为，则，
同理，
由，可得，
则，
当，即时取等号，
所以，即的最小值是，
故答案为：．
已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 ．
【解答】解：根据题意，，且，，且设与的夹角为，
①时，
，
，当时取等号，
时，取最大值3；
②时，
，
，当时取等号，
时，取最大值2，
综上得，的最大值为3．
故答案为：3．
已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动点，则最大值为　　
A．13 B． C． D．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
则点，
设点，且，
则
故当，时，有最大值为13，
故选：．
共线向量定理的应用
【要点讲解】(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用;
(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线 ,共线;
(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0;
(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
设向量，不平行，向量与平行，则实数　　
A． B． C． D．
【解答】解：不平行，
，且与平行，
存在实数，使，
，解得．
故选：．
设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数　　
A． B．3 C． D．
【解答】解：，是两个不共线的向量，
若与共线，
则存在实数使得：，即，
即，解得：，
故选：．
已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 ．
【解答】解：与平行，设，
由向量与为一组基底，，解得：．
故的值为：2．
为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以，为邻边作平行四边形，连接与相交于点，为的中点．
，，
点是直线的中点．
，，三点共线，，点是与的交点．
过点作交于点，则点为的中点．
则，
，
，
，，
．
另解：由，点是直线的中点．
，，三点共线，存在实数使得，
，，解得．
故选：．
设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是　　
A． B． C． D．且
【解答】解：与共线且同向且，
故选：．
设两个非零向量与不共线．
（1）若，，．求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和共线．
【解答】解：（1）
，
与共线
两个向量有公共点，
，，三点共线．
（2）和共线，则存在实数，使得，
即，
非零向量与不共线，
且，
．
一．选择题（共6小题）
1．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，再沿方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
【解答】解：探究轴正方向的规律，得，
同理也可发现轴正方向形成无穷等比数列的变化规律．
故选：．
2．已知，，则与同向的单位向量的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，，，，
所以与同向的单位向量为．
故选：．
3．下列命题正确的是　　
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【解答】解：．，则，不正确；
．，则与不能比较大小；
，则，正确；
．，则，因此不正确．
故选：．
4．已知向量，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，推不出，
“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
5．已知，为非零向量，且，则　　
A．，且与方向相同 B．，是共线向量
C． D．，无论什么关系均可
【解答】解：，为非零向量，且，
，
，
，
，
，且与方向相同．
故选：．
6．已知点，2，，，11，，，1，，若点满足，则　　
A．37 B． C．57 D．
【解答】解：设，，，则，，，，，，
由题意有，，，，，解得，，，
，，，故．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．已知，，，若，则的值可能是　　
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：，，，
，，
若，则，即或．
故选：．
8．下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D．若，都是单位向量，则
【解答】解：若，满足，，但是不满足，故错误；
若，，则，故正确；
若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反，故正确；
若，都是单位向量，由单位向量的定义可知，，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知，，，则实数　2　．
【解答】解：由已知得，
，
解得．
故答案为：2．
10．若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为 　　．
【解答】解：点在线段的延长线上，且，
，
设，且，，
，，，
，解得，
．
故答案为：．
11．已知，，若向量与共线，则　　．
【解答】解：，，
若向量与共线，则，
解得，
，
．
故答案为：．
12．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，则实数　1　．
【解答】解：，，三点共线，
向量和共线，故存在实数，使，
由题意可得，
即，
故可得，解得，
故，
故答案为：1．
四．解答题（共3小题）
13．如图所示，用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．
【解答】证明：设，，则，，，，
，
同理，
．
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的二倍．
14．向量，与从长度和方向上分析具有怎样的关系？
【解答】解：长度上关系为：，
方向上为：与的方向相同，都与的方向相反．
15．在如图的方格纸中，画出下列向量．
（1），点在点的正西方向．
（2），点在点的北偏西方向．
（3）求出的值．
【解答】解：（1）（2）如下图所示：
（3）根据图形，．平面向量的概念及其运算
目录
题型一： 平面向量的有关概念 4
题型二： 平面向量的线性运算 5
题型三： 平面向量的线性运算的几何意义 7
题型四： 范围问题 8
题型五： 共线向量定理的应用 9
1．向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 向量的模是数量
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0
单位 向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行
相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ||a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反；λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则 λ(μa)＝μ(λa)； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形)．
常用结论与知识拓展
(1)首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)；若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
(3)若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且，不共线，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
平面向量的有关概念
下列命题不正确的是（　　）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．零向量的长度等于0
C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，，则
下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
下列说法正确的是　　
A．若，则
B．若，则存在唯一实数使得
C．若，，则
D．与非零向量共线的单位向量为
下列各命题中，正确的是　　
A．若，则或
B．与非零向量共线的单位向量是
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若，则
下列说法中，正确的是　　
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；
④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
平面向量的线性运算
【要点讲解】1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的:可直接运用相应运算法则求解;
(2)含图形的:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量以及三角形的中位线、平行四边形的性质等,把未知向量用已知向量表示出来求解.
在正方形中，在上且有，与对角线交于，则　　
A． B． C． D．
向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　
A． B．4 C．2 D．
已知、分别是的边，上的中线，且，，则　　
A． B． C． D．
设是单位向量，，，，则四边形　　
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
设是平行四边形的对角线的交点，则　　
A． B． C． D．
平面向量的线性运算的几何意义
设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为、，则　　
A． B． C． D．
在中，为的中点，，，与交于，，则　　
A． B． C． D．
已知是三角形内部一点，满足，，则实数　　
A．2 B．3 C．4 D．5
我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（　　）
A． B． C． D．
范围问题
已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为　　
A． B．2 C． D．
已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为　　
A． B． C． D．
中，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
如图．在直角梯形中．，，，，点是腰上的动点，则的最小值为 ．
若平面向量，，满足，，，，则的最小值为 ．
已知非零平面向量、、满足，，且，则的最小值是 ．
已知空间向量、、、满足：，，，，则的最大值为 ．
已知平面内一正三角形的外接圆半径为4，在三角形中心为圆心为半径的圆上有一个动点，则最大值为　　
A．13 B． C． D．
共线向量定理的应用
【要点讲解】(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用;
(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线 ,共线;
(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0;
(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.
设向量，不平行，向量与平行，则实数　　
A． B． C． D．
设，是两个不共线的向量，且与共线，则实数　　
A． B．3 C． D．
已知向量与为一组基底，若与平行，则实数 ．
为内一点，且，，若，，三点共线，则的值为　　
A． B． C． D．
设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是　　
A． B． C． D．且
设两个非零向量与不共线．
（1）若，，．求证：，，三点共线；
（2）试确定实数，使和共线．
一．选择题（共6小题）
1．如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，再沿方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，则点的坐标是　　
A． B． C． D．
2．已知，，则与同向的单位向量的坐标为　　
A． B． C． D．
3．下列命题正确的是　　
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
4．已知向量，，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，为非零向量，且，则　　
A．，且与方向相同 B．，是共线向量
C． D．，无论什么关系均可
6．已知点，2，，，11，，，1，，若点满足，则　　
A．37 B． C．57 D．
二．多选题（共2小题）
7．已知，，，若，则的值可能是　　
A．2 B． C．1 D．
8．下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若与是非零向量且，则与的方向相同或者相反
D．若，都是单位向量，则
三．填空题（共4小题）
9．已知，，，则实数　　．
10．若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为 　　．
11．已知，，若向量与共线，则　　．
12．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且，，三点共线，则实数　　．
四．解答题（共3小题）
13．如图所示，用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的2倍．
14．向量，与从长度和方向上分析具有怎样的关系？
15．在如图的方格纸中，画出下列向量．
（1），点在点的正西方向．
（2），点在点的北偏西方向．
（3）求出的值．平面向量的基本定理及坐标表示
目录
题型一： 平面向量基本定理及其应用 3
题型二： 平面向量的坐标运算 4
题型三： 平面向量坐标应用 6
题型四： 共线向量坐标表示及其应用 12
题型五： 利用向量求最值问题 14
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)．
②向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
③向量坐标的求法
a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
3．平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t.特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点．
②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线 存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
常用结论与知识拓展
已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，△ABC的重心坐标为.
平面向量基本定理及其应用
【要点讲解】(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：对，不能用表示，故，不共线，所以符合；
对，，所以，共线，故不符合；
对，不能用表示，故，不共线，所以符合；
对，不能用表示，故，不共线，所以符合．
故选：．
设，是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：根据两不共线向量可以作为平面内一组基底，
则选项中因为，即两向量共线，所以不可以，
故选：．
已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：是平面内两个不共线的向量，
对于A，，即向量共线，A不是；
对于B，，即向量共线，B不是；
对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是．
对于D，，即向量共线，D不是．
故选：C．
平面向量的坐标运算
【要点讲解】(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；
(2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一结论，列方程(组)进行求解．
已知，，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
若向量，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，则，
故选：．
已知向量，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
已知向量与，且，则　　
A． B． C．1 D．4
【解答】解：向量与，且，
．
故选：．
如果向量，，那么等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，
则于，，，，，，，
故选：．
平面向量坐标应用
如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：
设正方形边长为1，则，，，．
，
，解得．
．
故选：．
已知矩形中，，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由题意可知，，
，
因为为的中点，
所以，
所以，，．
故选：．
在中，点，满足与交于点，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为在上，故，所以存在唯一实数，使得，又，故为的中点，
所以，所以；同理存在，使得，
又，
所以，所以，所以，所以，所以．
故选：．
如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意及图，，
又，，所以，，
又，所以，解得，，
故选：．
向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　
A． B． C．4 D．2
【解答】解：设正方形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系
则易知，，，
，
，，，，
解得，，，故．
故选：．
如图，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：由已知得，
结合，，所以．
又因为，，三点共线，所以，
所以．
故选：．
中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是　　
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【解答】解：因为，所以，
所以，
因为、、三点共线，所以，故错误；
则，则，
即最大值为，当且仅当，即，时取等号，故正确；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，故错误；
，当且仅当，时取等号，
所以的最小值为，故正确．
故选：．
设为的重心，过作直线分别交线段，（不与端点重合）于，．若，．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）连接并延长，交于，则是的中点，设，
，
，．
，，三点共线，故存在实数，使，
，；
（2）由（1）得，
，，，解得．．
．
当时，取得最小值，当或2时，取得最大值．
的取值范围是，．
共线向量坐标表示及其应用
【要点讲解】)利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题；
利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
已知向量，，，若，则 ．
【解答】解：，
，
所以
故答案为：
已知向量，，若与共线，则等于　　
A． B． C． D．2
【解答】解：，，与共线，
，，则，
故选：．
已知平面向量，，若与共线，则实数　　
A． B．8 C． D．2
【解答】解：因为，，
所以，
因为与共线，所以，
解得．
故选：．
已知向量，，，若，则 ．
【解答】解：由题意可得，
，
，，，
，，解得，
故答案为 5．
设向量，，若向量与向量共线，则 ．
【解答】解：向量，，若向量，
又向量与向量共线，
，
．
故答案为：2．
已知向量，，，若，则实数 ．
【解答】解：向量，，，
，
，
，
解得．
实数．
故答案为：．
已知向量，，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为向量，，
若，则，即，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
利用向量求最值问题
如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 ．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．
，
，，，
，，，，．
，，，
，，，
，．
设，
与比较，可得：，，
解得．
，，，，
．
故答案为：．
在中，已知，，点满足，其中满足，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，所以，
所以，
则，
所以当时，取最小值，
则的最小值为，
故选：．
如图，在四边形中，，，，，，，则　　
A． B．2 C．3 D．6
【解答】解：以为坐标原点，以为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，
故，
则由可得，
即，，
故．
故选：．
中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是　　
A．的最小值为16 B．的最大值为
C．的最大值为16 D．的最小值为4
【解答】解：因为为上一点且满足，
所以，因为，则，
又为上一点，所以，，三点共线，则有，
由基本不等式可得，，解得，当且仅当时取等号，
故的最大值为，故选项错误，选项正确；
由公式可得，，当且仅当时取等号，
故的最小值为4，故选项错误，选项正确．
故选：．
一．选择题（共6小题）
1．在中，点在线段上，，则　　
A． B． C． D．1
【解答】解：因为点在线段上，
所以存在实数，使得，
由平面向量的减法法则可得：，
即，
所以，
又，
所以，所以．
故选：．
2．已知向量，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意．
故选：．
3．如图，在中，，，设，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以．
因为，所以．
故选：．
4．若向量，则向量的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
5．已知O为△ABC的重心，AD＝2DC，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：取BC的中点M，
因为O为△ABC的重心，
所以，
又因为AD＝2DC，所以，
则＝＝＝．
故选：B．
6．下列各组向量中，可以作为基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：对于，，不可以作为基底，错误；
对于，，， 共线，不可以作为基底，错误；
对于， 与 为不共线的非零向量，可以作为一组基底，正确；
对于，，， 共线，不可以作为基底，错误．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
【解答】解：，
，不共线，
，可作为一组基底，
故选项正确；
同理可判断，
选项、正确，选项错误；
故选：．
8．已知，则下列结论正确的有　　
A．
B．与方向相同的单位向量是
C．
D．与平行
【解答】解：，则，正确；
与方向相同的单位向量是，正确；
，而，所以，正确；
因，则与不平行，不正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．如图，在中，向量，且，则　1　．
【解答】解：，，，三点共线，
，
，
故答案为：1．
10．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 　　．
【解答】解：由题意可知，为的外心，
设半径为，在圆中，过作，，垂足分别为，，
因为，两边乘以，即，的夹角为，而，
则，得①，
同理两边乘，即，，
则，得②，
①②联立解得，，
所以．
故答案为：．
11．如图，点，是线段的三等分点，以为基底表示　　．
【解答】解：因为、是线段的三等分点，所以，
故
．
故答案为：．
12．半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则　　．
【解答】解：建立直角坐标系，如图所示，．
，．
，即．
．
，即．
．
．
，解得．
．
故答案为：．
四．解答题（共3小题）
13．已知平面上两点、的坐标分别为、，求的单位向量的坐标．
【解答】解：，，
的单位向量．
14．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．求证：．
【解答】证明：因为，，，分别是边，，，的中点，
所以在中，为中位线，所以且，
所以，
在中，为中位线，所以且，
所以，
所以．
15．如图，在四边形中，，，，，是的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若，与交于点，求．
【解答】解：如图建立直角坐标系：
（1）由题意易知，，，，则，．
因为是的中点，所以点坐标为，则．
令，则，，，，解得，．
所以．
（2）因为，所以点坐标为，又点坐标为，所以直线的方程为，整理得到①．
因为点坐标为，点坐标为，所以直线的方程为，整理得到②．
联立①②，解得点坐标为，．
则，，则．平面向量的基本定理及坐标表示
目录
题型一： 平面向量基本定理及其应用 3
题型二： 平面向量的坐标运算 4
题型三： 平面向量坐标应用 5
题型四： 共线向量坐标表示及其应用 7
题型五： 利用向量求最值问题 8
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R)．
②向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
③向量坐标的求法
a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
3．平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)平面向量基本定理的推论：
①已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝(1－t)＋t.特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点．
②对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线 存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
常用结论与知识拓展
已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，△ABC的重心坐标为.
平面向量基本定理及其应用
【要点讲解】(1)合理选择基底，注意基底必须是两个不共线的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用基底表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的．
设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的　　
A．， B．，
C．， D．，
设，是同一平面内两个不共线的向量，以下不能作为基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
平面向量的坐标运算
【要点讲解】(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；
(2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一结论，列方程(组)进行求解．
已知，，若，则　　
A． B． C． D．
若向量，，则　　
A． B． C． D．
已知向量，，则　　
A． B． C． D．
已知向量与，且，则　　
A． B． C．1 D．4
如果向量，，那么等于　　
A． B． C． D．
平面向量坐标应用
如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则　　
A．2 B． C． D．
已知矩形中，，若，则　　
A． B． C． D．
如图所示的矩形中，，满足，为的中点，若，则的值为　　
A． B． C． D．2
在中，点，满足与交于点，若，则　　
A． B． C． D．
如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为　　
A． B． C． D．
向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则　　
A． B． C．4 D．2
如图，在中，点是的中点．过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则的值为　　
A．1 B．2 C． D．
中，为边上的一点，且满足，若为边上的一点，且满足，则下列结论正确的是　　
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
设为的重心，过作直线分别交线段，（不与端点重合）于，．若，．
（1）求的值；
（2）求的取值范围．
共线向量坐标表示及其应用
【要点讲解】)利用两向量共线求参数时，如果已知两向量共线，求某些参数的取值，则利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题；
利用两向量共线的条件求向量坐标，一般地，求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
已知向量，，，若，则 ．
已知向量，，若与共线，则等于　　
A． B． C． D．2
已知平面向量，，若与共线，则实数　　
A． B．8 C． D．2
已知向量，，，若，则 ．
设向量，，若向量与向量共线，则 ．
已知向量，，，若，则实数 ．
已知向量，，则“”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
利用向量求最值问题
如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 ．
在中，已知，，点满足，其中满足，则的最小值为　　
A． B． C． D．
如图，在四边形中，，，，，，，则　　
A． B．2 C．3 D．6
中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是　　
A．的最小值为16 B．的最大值为
C．的最大值为16 D．的最小值为4
一．选择题（共6小题）
1．在中，点在线段上，，则　　
A． B． C． D．1
2．已知向量，则　　
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，设，，则　　
A． B． C． D．
4．若向量，则向量的坐标为　　
A． B． C． D．
5．已知O为△ABC的重心，AD＝2DC，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．下列各组向量中，可以作为基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
二．多选题（共2小题）
7．下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量的基底的是　　
A．， B．，
C．， D．，
8．已知，则下列结论正确的有　　
A．
B．与方向相同的单位向量是
C．
D．与平行
三．填空题（共4小题）
9．如图，在中，向量，且，则　　．
10．已知中，，，，为的外心，若，则的值为 　　．
11．如图，点，是线段的三等分点，以为基底表示　　．
12．半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则　　．
四．解答题（共3小题）
13．已知平面上两点、的坐标分别为、，求的单位向量的坐标．
14．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点．求证：．
15．如图，在四边形中，，，，，是的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若，与交于点，求．平面向量的数量积及应用
目录
题型一： 平面向量数量积的运算 4
题型二： 求平面向量的模 6
题型三： 向量积求范围 9
题型四： 平面向量中的投影 16
题型五： 求平面向量的夹角 18
题型六： 平面向量的垂直问题 20
题型七： 平面向量与三角函数 22
1．向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．向量的投影
(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe.
3．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
4．向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；
|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)|x1x2＋y1y2|≤.
(4)设θ是a与b的夹角，则
cos θ＝＝.
常用结论与知识拓展
1．数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0 a＝0且b＝0.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
平面向量数量积的运算
【要点讲解】(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
若向量，且，则＝（　　）
A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13
【解答】解：由向量，
因为，可得x×2﹣（﹣3）×（﹣4）＝0，
解得x＝6，即，
所以．
故选：A．
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，M是BC中点，则＝（　　）
A． B．5 C．6 D．7
【解答】解：由于M是BC中点，则，
所以
＝．
故选：A．
已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
、分别是边、的中点，且，
．
故选：．
如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
【解答】解：，
，，
又，，
，
故，
故答案为：22．
在等腰梯形中，已知，，，，点和分别在线段和上，且，，则的值为 ．
【解答】解：，，，
，，，
，，
，
故答案为：
求平面向量的模
【要点讲解】(1)定义法：|a|＝；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝．
若向量，满足，，，则 ．
【解答】解：由题意，可得，
因为，，所以，
所以．
故答案为：．
已知向量，的夹角为，，，则 ．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为，且，，
，
．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形；
在中，由余弦定理得
，
即．
故答案为：．
已知向量，，则　　
A． B．2 C． D．50
【解答】解：，，
，，，，
．
故选：．
已知正方形的边长为2，点满足，则 ； ．
【解答】解：由，可得为的中点，
则，
，
，
故答案为：，．
平面向量与的夹角为，，，则　　
A． B． C．4 D．12
【解答】解：由已知，
，
．
故选：．
已知向量，满足，，且，则 ．
【解答】解：设．
向量，满足，，且，
，，，，
，化为．
解得．
故答案为：．
设，，向量，，，且，，则　　
A． B． C． D．10
【解答】解：，且，
，解得．
又，且，
，解之得，
由此可得，，
，
可得．
故选：．
向量积求范围
已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最大值为（　　）
A．0 B． C． D．3
【解答】解：由，可得，
设∠DAB＝θ，
可得＝
＝
＝
＝cosθ﹣1
＝，
所以，
因为θ∈[0，π]，
所以，
以AC与BD交点O为原点，以AC，BD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，
如图所示，
则，，B（0，﹣1），
设F（0，t），且﹣1≤t≤1，
则，，，
当t＝1时，．
故选：D．
已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
方法2：取的中点，的中点，
则，，
当且仅当与重合时，取得等号．
故选：．
如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
【解答】解：如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，
过点做轴，过点做轴，
，，，，
，，
，
，
，
，
，，，，
设，
，，，，
，
当时，取得最小值为．
故选：．
如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，
，，
，，
，
，
，
，
设，，
，，，，
，解得，
，，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，，，
，当时取得最小值，最小值为，
故答案为：，．
已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：画出图形如图，
，它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，显然，在处时，取得最大值，，可得，最大值为6，
在处取得最小值，，最小值为，
是边长为2的正六边形内的一点，
所以的取值范围是．
故选：．
已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设，
则，，
．
故答案为5．
在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 ；的最小值为 ．
【解答】解：如图，设，
是边长为1等边三角形，，
，，，，
，是边长为等边三角形，，
，
则，
，，
的最小值为．
故答案为：1，．
如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
【解答】解：，
，
，，
，
故答案为：
平面向量中的投影
已知点A（﹣2，3），B（1，﹣1），则在方向上的数量投影为 ．
【解答】解：点A（﹣2，3），B（1，﹣1），
则，，
，||＝，
在方向上的数量投影为．
故答案为：．
已知，，，则在方向上的投影是 ．
【解答】解：在方向上的投影是．
故答案为：．
设向量，，则在上的投影为　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：，，
，，
在上的投影为．
故选：．
已知向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
【解答】解：由题意，，
故向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，是的中点，
即是的外接圆的直径，
，是等边三角形，
则，则，
则向量在向量上的投影为，
则对应的投影向量为，
故选：．
求平面向量的夹角
【要点讲解】(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
已知向量，满足，，，则，　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，满足，，，
可得，
，．
故选：．
已知，为单位向量，且，若，则， ．
【解答】解：，
，
，
，．
故答案为：
若向量，的夹角为，且，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量，的夹角为，且，，
．
，．
两向量的夹角的取值范围是，，
，
与的夹角为．
故选：．
已知向量，满足，，则向量，的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为，
若，则，，
若，则，
解可得，
又由，故，
故选：．
已知，，．
（1）求的值；
（2）求与的夹角．
【解答】解，，，
，解得．
（1）；
（2）设与的夹角，则，
又，，．
平面向量的垂直问题
【要点讲解】(1)依据：非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的关系式，求解参数．
已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由单位向量的夹角为，
则，
由，
可得，，
即，
则，
解得．
故选：．
若非零向量、满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为，
非零向量、满足，则有，变形可得，
又由，则有，即，即，
则有，
又由，则，
故选：．
已知向量，，则的最大值是　　
A．7 B．5 C．4 D．1
【解答】解：向量，，
则，其中．
，的最大值是5．
故选：．
已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为，
因为，，
所以，变形可得．
则．
又由，，所以．
故选：．
已知平面向量，，且，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由平面向量，可得，
由，可得，
即，
则，
，
故选：．
平面向量与三角函数
【要点讲解】向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系．
在中，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，由正弦定理可得，，
再由余弦定理可得，，整理得，即，
又，
，即，得，
，得，从而．
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
可得，，，，
为线段上的一点，则存在实数使得，，，
设，，，，，
由，，，，
得，，则，
求的最小值，则，均不为0，
则．
当且仅当时等号成立．
故选：．
在平面直角坐标系中，已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值．
【解答】解：（1）若，
则，，，
即
，即；
（2），，，，，
若与的夹角为，
则，
即，
则，
．
，．
则
即．
已知，，．
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值．
【解答】解：（1）由，，
则，
由，
得．
所以．即；
（2）由
得，①②得：．
因为，所以．
所以，，
代入②得：．
因为．所以．
所以，．
设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）设函数，求的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，，
由，可得，即．
，，，即．
（2）函数，，．
，，，，
当，取得最大值为．
已知向量，，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的图象经过点，求函数在区间，上的取值范围．
【解答】解：（1）
图象关于直线对称，，
，又，
时，
函数的最小正周期为
（2）
由，
，
，
，
故函数在区间，上的取值范围为，
一．选择题（共6小题）
1．已知向量，的夹角为，，，则　　
A．2 B．3 C．6 D．12
【解答】解：根据题意可得．
故选：．
2．已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，向量，满足，则有，
变形可得，则有，
故向量在向量上的投影向量为．
故选：．
3．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由已知可得，，，，
又，所以，
故，．
故选：．
4．若，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
在上的投影向量为：．
故选：．
5．已知向量，满足，，且，则与的夹角是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设与的夹角为，
向量，满足，，若，则，
解可得：，
又由，则，
故选：．
6．若向量，满足，，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为，，，
所以，
所以，解得．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．对于任意向量，，，下列命题中正确的是　　
A．若，则与中至少有一个为
B．向量与向量夹角的范围是，
C．若，则
D．
【解答】解：，当为非零向量，且时，，所以选项错误．
，向量与向量夹角的范围是，，所以选项错误．
，若，则，选项正确．
，，选项正确．
故选：．
8．已知平面向量，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，．
所以，解得：，错误；
所以，，正确；
则，正确；
因为，所以，正确；
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知，，向量在方向上的投影向量是是与方向相同的单位向量），则　12　．
【解答】解：由题意知，在方向上的投影向量为，
所以．
故答案为：12．
10．已知，则　21　．
【解答】解：因为，
所以，
所以．
故答案为：21．
11．在矩形中，，点为边的中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 　，　．
【解答】解：以为坐标原点，，分别为，轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，其中，，
所以，，
所以，．
故答案为：，．
12．向量在向量方向上的投影坐标为 　（﹣1，﹣2）　．
【解答】解：cos＜，＞＝＝﹣，||＝，
与同向的单位向量为＝（，），
所以向量在向量方向上的投影坐标为||cos＜，＞ ＝（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
四．解答题（共3小题）
13．已知向量，，．
（1）当时，求的值；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，
得，
又因为，
所以．
（2），
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
故的取值范围为，．
14．（1）已知向量，．若，求的值；
（2）已知，，，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解答】解：（1）根据题意，向量，．
则，，
若，则有，
解可得．
（2）因为，，，
，，，
易得，所以与共线且方向相同．
15．已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值．
【解答】解：（1）根据题意，向量，，．
若，则，，，，
则有，解可得，故；
（2）根据题意，，，
若向量与向量共线，则有，
解可得：．平面向量的数量积及应用
目录
题型一： 平面向量数量积的运算 4
题型二： 求平面向量的模 6
题型三： 向量积求范围 9
题型四： 平面向量中的投影 16
题型五： 求平面向量的夹角 18
题型六： 平面向量的垂直问题 20
题型七： 平面向量与三角函数 22
1．向量数量积的定义
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b(如图所示)，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量的平行与垂直：当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(3)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
2．向量的投影
(1)定义：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，作如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．
(2)计算：设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe.
3．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
4．向量数量积运算的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；a2＝x＋y；
|a|＝.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
(3)|x1x2＋y1y2|≤.
(4)设θ是a与b的夹角，则
cos θ＝＝.
常用结论与知识拓展
1．数量积的有关结论
(1)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a2＋b2＝0 a＝0且b＝0.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
平面向量数量积的运算
【要点讲解】(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
若向量，且，则＝（　　）
A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，M是BC中点，则＝（　　）
A． B．5 C．6 D．7
已知是边长为1的等边三角形，点、分别是边、的中点，连接并延长到点，使得，则的值为　　
A． B． C． D．
如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是 ．
在等腰梯形中，已知，，，，点和分别在线段和上，且，，则的值为 ．
求平面向量的模
【要点讲解】(1)定义法：|a|＝；
(2)坐标法：设a＝(x，y)，则|a|＝．
若向量，满足，，，则 ．
已知向量，的夹角为，，，则 ．
已知向量，，则　　
A． B．2 C． D．50
已知正方形的边长为2，点满足，则 ； ．
平面向量与的夹角为，，，则　　
A． B． C．4 D．12
已知向量，满足，，且，则 ．
设，，向量，，，且，，则　　
A． B． C． D．10
向量积求范围
已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足，，则的最大值为（　　）
A．0 B． C． D．3
已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　
A． B． C． D．
如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若，是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为 ．
在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为 ；的最小值为 ．
如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ．
平面向量中的投影
已知点A（﹣2，3），B（1，﹣1），则在方向上的数量投影为 ．
已知，，，则在方向上的投影是 ．
设向量，，则在上的投影为　　
A． B． C．1 D．2
已知向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
求平面向量的夹角
【要点讲解】(1)定义法：cos θ＝，θ的取值范围为[0，π].
(2)坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
已知向量，满足，，，则，　　
A． B． C． D．
已知，为单位向量，且，若，则， ．
若向量，的夹角为，且，，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
已知向量，满足，，则向量，的夹角为　　
A． B． C． D．
已知，，．
（1）求的值；
（2）求与的夹角．
平面向量的垂直问题
【要点讲解】(1)依据：非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(2)方法：根据两个向量垂直的充要条件判断或列出相应的关系式，求解参数．
已知两个单位向量的夹角为，且满足，则实数的值为　　
A．1 B． C． D．2
若非零向量、满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
已知向量，，则的最大值是　　
A．7 B．5 C．4 D．1
已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
已知平面向量，，且，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
平面向量与三角函数
【要点讲解】向量与三角函数结合时，通常以向量为表现形式，解决三角函数问题，要注意向量夹角与三角形内角的区别与联系．
在中，，，为线段上的动点，且，则的最小值为　　
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若与的夹角为，求的值．
已知，，．
（1）若，求证：；
（2）设，若，求，的值．
设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）设函数，求的最大值．
已知向量，，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的图象经过点，求函数在区间，上的取值范围．
一．选择题（共6小题）
1．已知向量，的夹角为，，，则　　
A．2 B．3 C．6 D．12
2．已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
3．已知正方形的边长为2，点满足，则的值为　　
A．2 B． C．4 D．
4．若，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为　　
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，，且，则与的夹角是　　
A． B． C． D．
6．若向量，满足，，，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
二．多选题（共2小题）
7．对于任意向量，，，下列命题中正确的是　　
A．若，则与中至少有一个为
B．向量与向量夹角的范围是，
C．若，则
D．
8．已知平面向量，且，则　　
A． B． C． D．
三．填空题（共4小题）
9．已知，，向量在方向上的投影向量是是与方向相同的单位向量），则　　．
10．已知，则　　．
11．在矩形中，，点为边的中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 　　．
12．向量在向量方向上的投影坐标为 　 　．
四．解答题（共3小题）
13．已知向量，，．
（1）当时，求的值；
（2）求的取值范围．
14．（1）已知向量，．若，求的值；
（2）已知，，，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
15．已知平面内的三个向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值．余弦定理、正弦定理
目录
题型一： 利用正、余弦定理解三角形 4
题型二： 利用正、余弦定理判断三角形形状 8
题型三： 与三角形面积有关的问题 11
题型四： 最值或范围问题 14
题型五： 正弦定理、余弦定理的应用 20
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C
常见 变形 (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A cos A＝， cos B＝， cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
(4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长．
3．常用定理
(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子； sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；
cos＝sin.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos A．
(3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．即若AD为∠A的平分线，则有比例关系：＝.
4．重要关系
(1)等价关系：A>B a>b sin A>sin B
cos A(2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.
(3)等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝，A＋C＝；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c 2sin B＝sin A＋sin C．
5．解三角形中的常用术语
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似．
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比．
6．解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
利用正、余弦定理解三角形
【要点讲解】(1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　
A． B． C．2 D．3
【解答】解：，，，
由余弦定理可得：，整理可得：，
解得：或（舍去）．
故选：．
设的内角，，的对边分别为，，．若，，．且，则　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：，，．且，
由余弦定理可得，
，
即有，
解得或4，
由，可得．
故选：．
在中，，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，，，
，，则．
故选：．
的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：的内角，，的对边分别为，，，
，，
由正弦定理得：
，
解得，
．
故选：．
在中，，边上的高等于，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：设中角、、、对应的边分别为、、，于，令，
在中，，边上的高，
，，
在中，，故，
．
故选：．
在中，，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
【解答】解：（1），，
由正弦定理可得，
（2），则，
，
，又由（1）可得，
，
．
在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及，，，
则，
，
；
（Ⅱ）由正弦定理，以及，，，可得；
（Ⅲ） 由，及，可得，
则，
，
．
在中，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求边上的高．
【解答】解：（Ⅰ），，即是锐角，
，，
由正弦定理得得，
则．
（Ⅱ）由余弦定理得，
即，
即，
得，
得或（舍，
则边上的高．
利用正、余弦定理判断三角形形状
设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
【解答】解：，
，
，
，，
故三角形为直角三角形，
故选：．
在中，若，则的形状为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：，
．
．
，
或．
，，或．
为直角三角形或等腰三角形．
故选：．
若在中，，则的形状一定是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解答】解：在中，
，
，
，
，
，即，
为等腰三角形，
故选：．
在中，、、分别为角、、的对应边），则的形状为　　
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：因为，即，由余弦定理可得，
可得，所以三角形是直角三角形．
故选：．
已知非零向量与满足且．则为　　
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
【解答】解：因为，
所以的平分线与垂直，三角形是等腰三角形．
又因为，所以，
所以三角形是正三角形．
故选：．
在中，、、分别为内角、、的对边，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
变形得
又，得
上述两式联立得
因为，，
故
所以是等腰的钝角三角形．
在中，已知，且．
（1）试确定的形状；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由可得
得，，
即，根据正弦定理，，①，
又由正弦定理及可知，②，由①②得，
所以是直角三角形，且；
（2）由（1）知，
则，即，
故．
根据正弦定理，得．
因为，即，，成等比数列，
因为，所以，即，，
所以，，
，
，
即的取值范围是．
与三角形面积有关的问题
【要点讲解】(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为 ．
【解答】解：由余弦定理有，
，，，
，
，
，
故答案为：．
的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
由正弦定理得：，，
，
则．
故选：．
在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：，
，
即，
，
，
解得，
则三角形的面积，
故选：．
在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，且，
由正弦定理可得：，
即有；
（Ⅱ）因为，
所以，故，
又因为，所以，
所以；
由正弦定理可得：，
所以，
所以．
已知，，分别为三个内角，，的对边，
（1）求；
（2）若，的面积为，求，．
【解答】解：（1）由正弦定理得：，
即
，
即
．
；
（2）若，的面积，
．①
再利用余弦定理可得：
，
．②
结合①②求得．
最值或范围问题
【要点讲解】(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为　　
A． B．， C．， D．，
【解答】解：中，由余弦定理得，，
且的面积为，
由，
得，
化简得；
又，，
所以，
化简得，
解得或（不合题意，舍去）；
所以，
由，且，，，解得，，，，
所以，所以，
所以，；
故选：．
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得：，
即，
，，即，
又为三角形的内角，则；
（2）方法一：，即，，
由余弦定理，得，
即，
，，则．
的取值范围为，．
方法二：，即，，
由余弦定理，得，
即
，
，又，，
的取值范围为，．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知
（1）求角A；
（2）若a＝2，求的取值范围．
【解答】解：（1）已知，由余弦定理和三角形的面积公式，
得，即，
若cosA＝0，则sinA＝0，不符合题意，故cosA≠0，
所以，由A∈（0，π），得．
（2）a＝2，，，
由正弦定理，
＝，
由，则，得，
所以，即的取值范围（﹣2，4]．
在中，角，，的对边分别为，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
【解答】解：（1）中，由，
利用正弦定理可得，
因为，
所以，
又，
所以，或；
（2）若为锐角三角形，，
由正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
又为锐角三角形，则，且，
又，则，所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是，．
记钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求A；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得，cosA﹣cosAsinA+cosAsinB＝cosA+cosB﹣cosAsinA﹣cosBsinA，
即sinAcosB+cosAsinB＝cosB，
即sin（A+B）＝cosB，
即sinC＝cosB．
若，
则，
因为B∈（0，π），
故．
从而；
（2）由sinC＝cosB，可得，
若，则，
即，与△ABC为钝角三角形矛盾．
因此，得，
故，，
所以＝
＝
＝
＝
＝
＝，
因为，
所以，，
所以的取值范围为（1，+∞）．
的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解答】解：（1），即为，
可得，
，
，
若，可得，不成立，
，
由，可得；
（2）若为锐角三角形，且，
由余弦定理可得，
由三角形为锐角三角形，可得且，且，
解得，
可得面积，．
在中，角，，的对边分别是，，，，且的面积为．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）中，，
①
的面积为，
②
由①②得，，；（4分）
，
又，则，
；（6分）
（2）由（1）知，
；（10分）
又，，，
的取值范围是，．（12分）
正弦定理、余弦定理的应用
【要点讲解】(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．
【解答】解：设此山高，则，
在中，，，，．
根据正弦定理得，
解得
故答案为：．
如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由正弦定理得，
，
故，两点的距离为，
故选：．
如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可得中，，，
；
中，，，
，
由正弦定理，得，
解得，
在中，．
故选：．
如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为 ．
【解答】解：根据题意，可得中，，，
．
中，，，
，
由正弦定理，得，
在中，．
故答案为：300
一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点．现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？
【解答】解：由题意知，，，
．
在中，由正弦定理得：，
又．
在中．由余弦定理得：
救援船到达时间为（小时）
答：该救援船到达点需要1小时．
如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．
【解答】解：（1）依题意，，，，．（2分）
在中，由余弦定理，得（4分）
．
解得．（6分）
所以渔船甲的速度为海里小时．
答：渔船甲的速度为14海里小时．（7分）
（2）方法1：在中，因为，，，，
由正弦定理，得．（9分）
即．
答：的值为．（12分）
方法2：在中，因为，，，，
由余弦定理，得．（9分）
即．
因为为锐角，所以．
答：的值为．（12分）
如图，在中，，，点在边上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，求的长．
【解答】解：（Ⅰ），，且，
，
根据正弦定理，
可得；
（Ⅱ），
，
，得，
又，
由余弦定理得，
．
如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形和△．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合，设．
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度．
【解答】解：（1）△，，
，．
，
，，，，
是等边三角形，
．
（2），，
．
，即，
．
在中，由正弦定理可得：，
，
令．
，当即时取最大值，
当时最短，此时是等边三角形，．
一．选择题（共6小题）
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝4，b＝4，B＝60°，则A＝（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【解答】解：因为a＝4，b＝4，B＝60°，
所以由正弦定理有：，
所以＝，
因为b＞a，所以60°＝B＞A＞0°，
所以A＝30°．
故选：A．
2．在中，角，，所对的边分别为，，．若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
则，
所以．
故选：．
3．在中，已知，，，则角等于　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：在中，已知，，，
由正弦定理可得，
解得．
再根据，可得，
故，
故选：．
4．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为　　
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【解答】解：由题意可知海里，，，
所以，
所以，，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，解得海里，
故选：．
5．在中，、、所对的边分别为，，，若，，，则　　
A． B． C． D．或
【解答】解：由正弦定理，得，
又，
所以，
则角为锐角，所以．
故选：．
6．中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为三角形有两解，
所以，
即，
所以．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．在中，下列结论中正确的有　　
A．若，则等于
B．若，则等于
C．若，则等于
D．若，则
【解答】解：由余弦定理可得，，
对于，，
，即，
，
，故正确，
对于，，
，即，
，
，故正确，
对于，，
，即，
，
，故错误，
对于，，，
，，，
，，，
，故错误．
故选：．
8．以下关于正弦定理或其变形正确的有　　
A．在中，
B．在中，若，则
C．在中，若，则，若，则都成立
D．在中，
【解答】解：对于，由正弦定理，
可得：，故正确；
对于，由，可得，或，即，或，
，或，故错误；
对于，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，正确；
对于，由正弦定理，
可得右边左边，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．在中，角，，的对边分别为，，，，．，则　　．
【解答】解：在中，
，．，
由余弦定理得，
．
故答案为：．
10．在中，角，，，所对的边为，，，若，且，则的形状是 　等腰直角三角形　．
【解答】解：，
则由正弦定理可得，，
由勾股定理可知，，
，，
，即，
，，为三角形的内角，
，
故的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
11．已知的内角，，所对的边分别是，，，且，则角　　．
【解答】解：由正弦定理及，
得，
，
，
，
，
，，
，
，．
故答案为：．
12．在中，，，，则的解的个数是 　2　个．
【解答】解：由正弦定理知，，
所以，
因为，所以，即，
又，所以有两解．
故答案为：2．
四．解答题（共3小题）
13．在中，，，分别为内角，，的对边，．
（1）求角；
（2）若，为中点，，求的长度．
【解答】解：（1），
，
，
由正弦定理可得：，
，
，，解得．
（2），，
，
由正弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：，
解得．
14．的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，在三角形中可得，，
可得，，可得，
可得；
（2）因为，，，由余弦定理可得，
即，
解得，即，，
所以，
所以的面积为．
15．中，．
（1）若，求；
（2）求三角形面积的最大值．
【解答】解：（1），，
由余弦定理可得，，即，解得．
（2）由余弦定理可得，，
当且仅当时，等号成立，故，
三角形面积，
故三角形面积的最大值为．余弦定理、正弦定理
目录
题型一： 利用正、余弦定理解三角形 4
题型二： 利用正、余弦定理判断三角形形状 5
题型三： 与三角形面积有关的问题 7
题型四： 最值或范围问题 8
题型五： 正弦定理、余弦定理的应用 9
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则
正弦定理 余弦定理
文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式 ＝＝ a2＝b2＋c2－2bccos_A， b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C
常见 变形 (1)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝. a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C． asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A cos A＝， cos B＝， cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
(4)S＝，即海伦公式，其中p＝(a＋b＋c)为△ABC的半周长．
3．常用定理
(1)三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π，进而有＝－等式子； sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；
cos＝sin.
(2)射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B，b＝acos C＋ccos A，c＝acos B＋bcos A．
(3)角平分线定理：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．即若AD为∠A的平分线，则有比例关系：＝.
4．重要关系
(1)等价关系：A>B a>b sin A>sin B
cos A(2)三角函数关系：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.
(3)等差关系：若三角形三内角A，B，C成等差数列，则B＝，A＋C＝；若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c 2sin B＝sin A＋sin C．
5．解三角形中的常用术语
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图3)．北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．南偏西等其他方向角类似．
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡度，i＝tan θ)．坡度又称为坡比．
6．解三角形的应用问题的要点
(1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；
(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．
利用正、余弦定理解三角形
【要点讲解】(1)求边:利用正弦定理变形公式a=等或余弦定理a2=b2+c2-2bccos A等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=等或余弦定理变形公式cos A=等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　
A． B． C．2 D．3
设的内角，，的对边分别为，，．若，，．且，则　　
A． B．2 C． D．3
在中，，，，则　　
A． B． C． D．
的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
在中，，边上的高等于，则等于　　
A． B． C． D．
在中，，．
（1）求的值；
（2）若，求的面积．
在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
在中，，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求边上的高．
利用正、余弦定理判断三角形形状
设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为　　
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
在中，若，则的形状为　　
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
若在中，，则的形状一定是　　
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
在中，、、分别为角、、的对应边），则的形状为　　
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
已知非零向量与满足且．则为　　
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
在中，、、分别为内角、、的对边，且．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状．
在中，已知，且．
（1）试确定的形状；
（2）求的值．
与三角形面积有关的问题
【要点讲解】(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为 ．
的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为　　
A． B． C． D．
在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为　　
A．3 B． C． D．
在中，角，，所对的边分别为，，．已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积．
已知，，分别为三个内角，，的对边，
（1）求；
（2）若，的面积为，求，．
最值或范围问题
【要点讲解】(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.
在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为　　
A． B．， C．， D．，
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知
（1）求角A；
（2）若a＝2，求的取值范围．
在中，角，，的对边分别为，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围．
记钝角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求A；
（2）求的取值范围．
的内角、、的对边分别为，，．已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
在中，角，，的对边分别是，，，，且的面积为．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
正弦定理、余弦定理的应用
【要点讲解】(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.
如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．
如图，设、两点在河的两岸，一测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出的距离为，，后，就可以计算出、两点的距离为　　
A． B． C． D．
如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为　　
A． B． C． D．
如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为 ．
一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”在长江中游湖北监利水域遭遇龙卷风翻沉．如图所示，，是江面上位于东西方向相距千米的两个观测点．现位于点北偏东，点北偏西的客船东方之星点）发出求救信号，位于点南偏西且与点相距千米的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30千米每小时，该救援船到达点需要多长时间？
如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．
如图，在中，，，点在边上，．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若的面积为，求的长．
如图，某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地，图中．设计时要求绿地部分（如图中阴影部分所示）有公共绿地走道，且两边是两个关于走道对称的三角形和△．现考虑方便和绿地最大化原则，要求点与点，均不重合，落在边上且不与端点，重合，设．
（1）若，求此时公共绿地的面积；
（2）为方便小区居民的行走，设计时要求，的长度最短，求此时绿地公共走道的长度．
一．选择题（共6小题）
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝4，b＝4，B＝60°，则A＝（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
2．在中，角，，所对的边分别为，，．若，则　　
A． B． C． D．
3．在中，已知，，，则角等于　　
A． B． C．或 D．或
4．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为　　
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
5．在中，、、所对的边分别为，，，若，，，则　　
A． B． C． D．或
6．中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．在中，下列结论中正确的有　　
A．若，则等于
B．若，则等于
C．若，则等于
D．若，则
8．以下关于正弦定理或其变形正确的有　　
A．在中，
B．在中，若，则
C．在中，若，则，若，则都成立
D．在中，
三．填空题（共4小题）
9．在中，角，，的对边分别为，，，，．，则　　．
10．在中，角，，，所对的边为，，，若，且，则的形状是 　　．
11．已知的内角，，所对的边分别是，，，且，则角　　．
12．在中，，，，则的解的个数是 　　个．
四．解答题（共3小题）
13．在中，，，分别为内角，，的对边，．
（1）求角；
（2）若，为中点，，求的长度．
14．的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
15．中，．
（1）若，求；
（2）求三角形面积的最大值．复数
目录
题型一： 复数的有关概念 4
题型二： 求复数的值 6
题型三： 与复数的模有关的计算问题 8
题型四： 复数的几何意义 9
题型五： 范围问题 12
1．复数的概念
概念 定义
复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数 相等 a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
复数 分类 复数z＝a＋bi
共轭 复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
3．复数的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③＝＋i(z2≠0)．
(2)复数加、减法的几何意义
加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
常用结论与知识拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*.
3．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
复数的有关概念
【要点讲解】　解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数 z+=0(z≠0);③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=a-bi,则z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,则=z.
已知，且，其中，为实数，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为，且，
所以，
所以，
解得，．
故选：．
设，其中，为实数，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，
，即，
解得．
故选：．
已知，，为虚数单位），则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，，
，，
故选：．
为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于　　
A． B．1 C． D．0
【解答】解：由题意可知是实数，
已知复数是纯虚数，可得，，
解得．
故选：．
下面四个命题中的真命题为　　
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
【解答】解：若复数满足，则，故命题为真命题；
复数满足，则，故命题为假命题；
若复数，满足，但，故命题为假命题；
若复数，则，故命题为真命题．
故选：．
求复数的值
复数满足为虚数单位），则的共轭复数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
．
故选：．
设复数满足关系：，那么等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：法1：设由已知
由复数相等可得故
故选．
法2：由已知可得①取模后平方可得
，所以，代入①得，
故选．
法3：选项中的复数的模均为，又，
而方程右边为，它的实部，虚部均为正数，因此复数的实部，虚部也必须为正，
故选：．
的共轭复数　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
．
故选：．
已知，则复数　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
故选：．
复数　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为复数，
故选：．
已知复数是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值．
【解答】解：（1）若复数是实数，则，得，
即；
（2）复数是虚数，则，即，
即且；
（3）复数是纯虚数，则，得，
即，或
与复数的模有关的计算问题
【要点讲解】记住以下结论,可提高运算速度.
①(1±i)2=±2i;②=i;③=-i;④=b-ai.
2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法
(1)根据复数的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)直接计算得解;
(2)利用模的性质|z|2=||2=z·求解.
已知，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，
得
，
则，．
故选：．
是虚数单位，复数　　 ．
【解答】解：复数，
故答案为：．
复数满足，则　　
A．最小值为1，无最大值 B．最大值为1，无最小值
C．恒等于1 D．无最大值，也无最小值
【解答】解：设复数，其中，，
由，得，
，
解得；
，
即有最小值为1，没有最大值．
故选：．
已知复数满足，则　　
A． B． C．10 D．18
【解答】解：，
，
，
．
则．
故选：．
设复数满足为虚数单位），则　 ．
【解答】解：由，得，
．
故答案为：．
复数的几何意义
【要点讲解】(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程求解.
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解.
(4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上.
若复数z满足2z+|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
2z+|z|＝2i，
则2（a+bi）+＝2i，即，解得，
故z在复平面上对应的点位于（）位于第二象限．
故选：B．
设复数X，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：，，
则其在复平面对应的点为，即在第四象限．
故选：D．
若复数z满足z＝（1+2i）2，则在复平面内复数z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由（1+2i）2＝1﹣4+4i＝﹣3+4i，对应点坐标为 （﹣3，4），在第二象限．
故选：B．
在复平面上，满足的复数的所对应的轨迹是　　
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
【解答】解：设，
则，
，
运动轨迹是圆，
故选：．
已知复数，则下列命题中正确的为　　
A．
B．
C．的虚部为
D．在复平面上对应点在第一象限
【解答】解：复数，则．故正确；
，故正确；
的虚部为1，故错误；
在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故正确．
命题中正确的个数为3．
故选：．
如图，已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．
（Ⅰ）求点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形的面积．
【解答】解：（Ⅰ）依题点对应的复数为，对应的复数为，
得，，可得．
又对应的复数为，得，可得．
设点对应的复数为，，．
得，．
为平行四边形，，解得，，
故点对应的复数为．
（Ⅱ），，
可得：，．
又，．
故平行四边形的面积．
范围问题
已知复数z满足|z﹣1+i|＝2，为z的共轭复数，则z 的最大值为 ．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
则的几何意义为z在复平面内所对应的点（a，b）到（1，﹣1）的距离为，
所以z所对应的点（a，b）的轨迹是以（1，﹣1）为圆心，为半径的圆，
而可看作该圆上的点（a，b）到原点的距离的平方，
所以．
故答案为：18．
如果复数满足，那么最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：
点到点与到点的距离之和为2．
点的轨迹为线段．
而表示为点到点的距离．
数形结合，得最小距离为1
故选：．
已知复数满足，则的最小值是 ．
【解答】解：由复数几何意义知，在复平面内，与分别表示复数对应点到定点与的距离，
而，于是有，动点在线段上，如图所示：
表示定点到动点的距离，是锐角三角形，
点到线段上动点的距离最小值即是边上的高，，由，
所以的最小值是．
故答案为：．
复数满足，则的最小值是 ．
【解答】解：复数满足，
则复数表示的点到，两点的距离之和为2，
而，两点间的距离为2，
设为，，
则表示的点的集合为线段，
的几何意义为点到点的距离，
分析可得，在点时，
取得最小值，且其最小值为1．
若，且，则的最小值为 ．
【解答】解：复数满足，点表示以原点为圆心、1为半径的圆．
则表示点对应的复数与点之间的距离，
圆心到点之间的距离，
的最小值为，
故答案为：4．
已知复数满足，则的最小值是 ．
【解答】解：复数满足，
，
的最小值是3．
故答案为：3．
已知复数满足，则（其中是虚数单位）的最小值为 ．
【解答】解：复数满足为虚数单位），
设，，．
则，当且仅当时取等号．
故答案为：1．
一．选择题（共6小题）
1．已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则ω的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：复数（i为虚数单位），，
则
＝，
所以ω的虚部为．
故选：C．
2．已知复数，则的虚部是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
的虚部为．
故选：．
3．设为虚数单位，且，则　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：由题意，，
则且，
解得．
故选：．
4．已知，则＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【解答】解：＝＝＝﹣1﹣i．
则．
故选：C．
5．复数的模为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：＝2i﹣（i﹣i2）＝2i﹣i﹣1＝﹣1+i，
则|z|＝．
故选：B．
6．已知a∈R，复数z＝a+2i，z2﹣2z是实数，则|z|＝（　　）
A．5 B．10 C． D．
【解答】解：z2﹣2z＝（a+2i）2﹣2（a+2i）＝a2﹣4+4ai﹣2（a+2i）＝a2﹣2a﹣4+（4a﹣4）i∈R，
故4a﹣4＝0，解得a＝1，
故．
故选：C．
二．多选题（共2小题）
7．已知复数，则下列结论中正确的是　　
A．对应的点位于第二象限 B．的虚部为2
C． D．
【解答】解：，所以，
对应的点位于第一象限，错误；
的虚部为，错误；
，正确；，正确．
故选：．
8．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，的共轭复数在复平面内对应的点为，则　　
A．点在第二象限 B．
C． D．点的坐标为
【解答】解：对于，，所以点在第二象限，对；
对于，，，所以，所以，错；
对于，，，所以，对；
对于，，所以，对．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．若复数为虚数单位），的共轭复数记为，则　5　．
【解答】解：由共轭复数的概念可知，复数的共轭复数；
所以．
故答案为：5．
10．设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为 　1　．
【解答】解：因为，
因此，复数的实部与虚部之和为．
故答案为：1．
11．若复数是纯虚数，则实数　2　．
【解答】解：复数是纯虚数，
所以即
得
故答案为：2
12．设复数，在复平面内对应的点为，，若，，则的最大值为 　7　．
【解答】解：因为，则点组成的集合是圆心在原点，半径的圆及其内部．
的坐标为．
所以的最大值为．
故答案为：7．
四．解答题（共3小题）
13．在复平面内，复数，其中．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）复数为纯虚数，
，．
（2）复数对应的点在第二象限，
，，
实数的取值范围为．
14．已知复数为虚数单位）．
（1）求；
（2）求．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以．
15．已知，是虚数单位，复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
【解答】解：（1）若是纯虚数，
则，解得；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，
则，解得．
的取值范围是．复数
目录
题型一： 复数的有关概念 4
题型二： 求复数的值 5
题型三： 与复数的模有关的计算问题 6
题型四： 复数的几何意义 7
题型五： 范围问题 8
1．复数的概念
概念 定义
复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数 相等 a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
复数 分类 复数z＝a＋bi
共轭 复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|.即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
3．复数的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i.
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
③＝＋i(z2≠0)．
(2)复数加、减法的几何意义
加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
(3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
常用结论与知识拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，其中n∈N*.
3．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
复数的有关概念
【要点讲解】　解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R b=0(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R z2≥0.
(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数 z+=0(z≠0);③z是纯虚数 z2<0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=a-bi,则z·=|z|2=||2,即|z|=||=,若z∈R,则=z.
已知，且，其中，为实数，则　　
A．， B．， C．， D．，
设，其中，为实数，则　　
A．， B．， C．， D．，
已知，，为虚数单位），则　　
A．， B．， C．， D．，
为虚数单位，已知复数是纯虚数，则等于　　
A． B．1 C． D．0
下面四个命题中的真命题为　　
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数，满足，则
D．若复数，则
求复数的值
复数满足为虚数单位），则的共轭复数为　　
A． B． C． D．
设复数满足关系：，那么等于　　
A． B． C． D．
的共轭复数　　
A． B． C． D．
已知，则复数　　
A． B． C． D．
复数　　
A． B． C． D．
已知复数是虚数单位）
（1）复数是实数，求实数的值；
（2）复数是虚数，求实数的取值范围；
（3）复数是纯虚数，求实数的值．
与复数的模有关的计算问题
【要点讲解】记住以下结论,可提高运算速度.
①(1±i)2=±2i;②=i;③=-i;④=b-ai.
2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法
(1)根据复数的模的公式|a+bi|=(a,b∈R)直接计算得解;
(2)利用模的性质|z|2=||2=z·求解.
已知，则　　
A． B． C． D．
是虚数单位，复数　　 ．
复数满足，则　　
A．最小值为1，无最大值 B．最大值为1，无最小值
C．恒等于1 D．无最大值，也无最小值
已知复数满足，则　　
A． B． C．10 D．18
设复数满足为虚数单位），则　 ．
复数的几何意义
【要点讲解】(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程求解.
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解.
(4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上.
若复数z满足2z+|z|＝2i，则z在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
设复数X，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
若复数z满足z＝（1+2i）2，则在复平面内复数z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
在复平面上，满足的复数的所对应的轨迹是　　
A．两个点 B．一条线段 C．两条直线 D．一个圆
已知复数，则下列命题中正确的为　　
A．
B．
C．的虚部为
D．在复平面上对应点在第一象限
如图，已知复平面内平行四边形中，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为．
（Ⅰ）求点对应的复数；
（Ⅱ）求平行四边形的面积．
范围问题
已知复数z满足|z﹣1+i|＝2，为z的共轭复数，则z 的最大值为 ．
如果复数满足，那么最小值是　　
A．1 B． C．2 D．
已知复数满足，则的最小值是 ．
复数满足，则的最小值是 ．
若，且，则的最小值为 ．
已知复数满足，则的最小值是 ．
已知复数满足，则（其中是虚数单位）的最小值为 ．
一．选择题（共6小题）
1．已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则ω的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部是　　
A． B． C． D．
3．设为虚数单位，且，则　　
A．1 B． C． D．2
4．已知，则＝（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
5．复数的模为（　　）
A． B． C． D．
6．已知a∈R，复数z＝a+2i，z2﹣2z是实数，则|z|＝（　　）
A．5 B．10 C． D．
二．多选题（共2小题）
7．已知复数，则下列结论中正确的是　　
A．对应的点位于第二象限 B．的虚部为2
C． D．
8．已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，的共轭复数在复平面内对应的点为，则　　
A．点在第二象限 B．
C． D．点的坐标为
三．填空题（共4小题）
9．若复数为虚数单位），的共轭复数记为，则　　．
10．设为虚数单位，若复数，则的实部与虚部的和为 　　．
11．若复数是纯虚数，则实数　　．
12．设复数，在复平面内对应的点为，，若，，则的最大值为 　　．
四．解答题（共3小题）
13．在复平面内，复数，其中．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
14．已知复数为虚数单位）．
（1）求；
（2）求．
15．已知，是虚数单位，复数．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．

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