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重难点突破01 平面向量中最值、范围问题
以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
一、几何投影法
侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积a·b＝|a||b|cos θ，其几何意义为其中一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，从而转化为数量积问题．
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分析．
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
一．选择题（共20小题）
1．（2023 宣化区校级三模）已知正方形的边长为2，是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
【解答】解：当弦的长度最大时，弦过正方形的外接圆的圆心，
正方形的边长为2，圆的半径为，
如图所示：
则，，
，
点为正方形四条边上的动点，
，又，
，
故选：．
2．（2023 榆林一模）的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：因为，由正弦定理得，
又，
所以，
因为，
所以，故．
故选：．
3．（2023 重庆模拟）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：作，则，如图，
，
，与成角，且，点在射线上，
，
的取值范围为：．
故选：．
4．（2023 广东模拟）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，，
所以，即恒成立，
则△，解得，
故，的夹角的取值范围是．
故选：．
5．（2023 鼓楼区校级模拟）在矩形中，，．若，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：在矩形中，，，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
又，
则可设，其中，，
则，，
则，
又，，
则，，
故选：．
6．（2023 思明区校级四模）已知直线与圆相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：点为线段的中点，，
由平面向量数量积的几何意义知：，
直线与圆相交，圆心到直线的距离，，
，．
故选：．
7．（2023 河南三模）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知在上的投影数量的取值范围为，
又因为，
所以的取值范围是．
故选：．
8．（2023 开封二模）已知等边的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【解答】解：以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
由题意设，，
则，，
，
，，可得，．
故选：．
9．（2023 厦门模拟）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：由为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，
又，而，若外接圆半径为，
因为，
，
，
两边平方得，，
，
则，
故，且，即，
由，
对于且在圆上，当为直径时，当，重合时，
，
综上，，
锐角三角形中，则，即恒成立，
，则恒成立，
综上所述，的取值范围为，．
故选：．
10．（2023 河南模拟）在锐角三角形中，，，则边上的高的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：设的内角，，的对边分别为，，，
则边上的高，
由正弦定理得．
由为锐角三角形，可知，
则，
所以，从而，
因此边上的高的取值范围是．
故选：．
11．（2023 合肥模拟）已知线段的中点为等边三角形的顶点，且，当绕点转动时，的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：以点为原点，以与平行的直线为轴，与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，易知、两点都是圆上的动点，
方法一：当直线斜率不存在时，，，
此时，，则，
当直线斜率不存在时，可设直线的方程为，
当时，联立，解得，，
则，，，，
，
，
同理，当时，，，
，，
综上所述，的取值范围是，；
方法二：设点，，，
则，
，，
，
，，，．
故答案选：．
12．（2023 重庆模拟）已知向量的夹角为，，若对任意的、，且，，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解答】解：已知向量的夹角为，，
则，
所以，
所以对任意的、，且，，则，
所以，即，设，即在上单调递减，
又时，，解得，
所以，，在上单调递增；
，，，在，上单调递减，
所以．
故选：．
13．（2023 盐山县校级三模）在中，若，，，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为，
所以为的外心，且为外接圆上一动点，
又，，
所以外接圆的半径．
如图，
作，垂足为，则．
所以，当与圆相切时，取最值，即在处取最大值6，
在处取最小值．
故选：．
14．（2022 滨州二模）在中，为边上任意一点，为线段上任意一点，若，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有，
当时，因为，，
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即，，
综上，的取值范围是，．
故选：．
15．（2023 姜堰区模拟）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由平面向量，，均为单位向量，且，
根据向量的减法的几何意义，可得，向量夹角为，
则
，
所以当与同向时，原式取到最小值；
当与反向时，原式取到最大值4．
故选：．
16．（2023 迎江区校级模拟）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：因为，
所以，
设的外接圆的半径为，
则，
在中，由正弦定理得，
又，所以，
则，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，，
所以，
又可得，则，
所以，，
又，在上都为增函数，
所以，故，
又，，，
所以，
故，
所以，当时，即点与点重合时等号成立，
所以的取值范围为，．
故选：．
17．（2023 郑州三模）已知中，，，，，，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由平面向量的加法法则可得，就是点到的距离，
，是的平分线，
，
即，
，，
，，，
为等腰直角三角形，，
设，为斜边的两个四等分点，
，，且，
，，三点共线且在的两个四等分点之间运动，
，，，
由图易得：当时，最小，此时，
，，
当在时，最大，此时在中，
由余弦定理有：．
的取值范围为．
故选：．
18．（2023 天津二模）在平面四边形中，，，．若、为边上的动点，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设、交于．不妨设点到点的距离大于点到点的距离，
，且，
平面四边形是平行四边形，
设，，
，
，平面四边形是菱形，
又，，
，又，，
，
，
设的中点为，则，，
，
又易知的最小值为，
的最大值为，
的最小值为，的最大值为，
的取值范围为，．
故选：．
19．（2023 开封三模）等腰直角三角形的直角顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且，为坐标原点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得：为直角三角形，且，
不妨设，，其中，
如图所示，由等腰直角三角形的性质及全等三角形性质易得：
点坐标为，
，
又，，
，．
故选：．
20．（2023 渝中区校级模拟）已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：，
，即，
，则，
，
，可得，
．
故选：．
二．多选题（共6小题）
21．（2023 浉河区校级模拟）已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，，为切点，则　　
A．点与曲线上点的最小距离为
B．线段长度的最小值为
C．的最小值为3
D．存在点，使得的面积为3
【解答】解：已知曲线上的动点满足，为坐标原点，
则点的轨迹方程为，
又直线过和两点，
则直线的方程为，
对于选项，圆的圆心到直线的距离为，
则点与曲线上点的最小距离为，
即选项错误；
对于选项，，
即选项错误；
对于选项，由题意可得，
则，
则，
又，
则的值随着的值增大而增大，
即当取最小值时，取最小值3，
即选项正确；
对于选项，由题意可得，
又，
显然当时，的面积随着的增大而减小，
即时，的面积取最小值，
又，
即存在点，使得的面积为3，
即选项正确．
故选：．
22．（2023 桐城市校级一模）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是　　
A．若点在上时，则
B．的取值范围为，
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
【解答】解：如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，，设，，，，
，
，，，，，
对于，由题意可得线段的方程为，，，
点在上，，
，，
，故正确；
对于，，，，
，，，，，
，，故错误；
对于，，，，
，，，，
，，
，则，，
，不满足，
不成立，故错误；
对于，，当且仅当时取等号，
当在线段上时，的最小值为，故正确．
故选：．
23．（2023 黄州区校级二模）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是　　
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为，
D．的取值范围为
【解答】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图所示：
设，
所以，，，
设，则，
由于，所以，，，，整理得，，则，，
对于：当为上的中点时，则，故，故正确；
对于，由于，当时的最大值为，故正确；
对于：由于，，所以，故的取值范围为，，故正确；
对于，，故的取值范围为，，故错误．
故选：．
24．（2023 香坊区校级三模）已知的三个内角，，所对边的长分别为，，，若，则下列正确的是　　
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
即，又，所以，
，
因为，
所以，，所以，
所以，故错误；
因为，所以，
所以，
，当且仅当，即时取等号，，
的面积的最大值为，故正确；
，
是锐角三角形，，
，，
，，故正确；
由题意得：，
可得：，
可得：，
得
，
当且仅当，即时取等号，的最小值为，故正确．
故选：．
25．（2023 湖南模拟）如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则　　
A．的最大值为4 B．的最大值为
C．的最大值为2 D．的最大值为
【解答】解：以为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，
则，，
内切圆的方程为，
可设，
则，，
所以，当，即为的中点时取等号，
所以的最大值为4，正确；
因为，
所以，当，即时等号成立，
所以的最大值为，错误，
由，可得，，，，，
得，，
，，
当，即时，所以所以的最大值为，正确，
当，即时，所以所以的最大值为，正确．
故选：．
26．（2023 葫芦岛二模）已知向量满足，，，．则下列说法正确的是　　
A．若点在直线上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点在直线上运动，在上的投影的数量的取值范围是
C．若点在以为半径且与直线相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点在以为半径且与直线相切的圆上，的范围是，
【解答】解：因为，即有，
则以点为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，由，得，
点，确定的直线方程为：，即，
当点在直线上时，，即，，
因此当时，取得最大值，
此时，，错误；
在上的投影的数量为，
当时，，当时，，当且仅当时取等号，即，
当时，，
因为恒成立，则，
所以，即在上的投影的数量的取值范围是，正确；
当点在以为半径且与直线相切的圆上时，
因为与直线相切，且半径为的圆的圆心轨迹是与直线平行，且到直线距离为的两条平行直线，
设这两条与平行的直线方程为，，
则，解得或，
因此动圆圆心的轨迹为直线或直线，
设圆心为，则点在圆上，其中或，
于是令，
则
，显然点是直线或上任意一点，
即，，从而无最大值，即无最大值，错误；
，其中锐角满足，
显然，当圆心在直线时，，则，，
当圆心在直线时，，则，，
所以的范围是，，正确．
故选：．
三．填空题（共9小题）
27．（2023 沈阳三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 　，，　．
【解答】解：，，与的夹角是锐角，
则且、不同向，即，解得且，
故实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
28．（2023 广陵区校级模拟）已知平面直角坐标系内的两个向量，，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成，为实数），则的取值范围是　，，　．
【解答】解：平面内的任一向量都可以唯一的表示成，为实数），则，为基底，即基底不共线．
，
．
故答案为：，，．
29．（2023 漳州模拟）已知，点满足，点为线段上异于，的动点，若，则的取值范围是 　　．
【解答】解：由题意设，，因为，所以，
所以，
又，则，
所以，
又因为，由二次函数得性质得，
所以得取值范围为．
故答案为：．
30．（2022 宝山区校级二模）已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是 　　．
【解答】解：由题意，，．
，，，则，，
的取值范围是．
故答案为：．
31．（2023 海淀区校级模拟）已知点是边长为4的正方形的中心，点是正方形所在平面内一点，，若．
（1）的取值范围是 　　；
（2）当取得最大值时，　　．
【解答】解：（1）建立以为原点的坐标系，如图所示：
由可得的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
设，则有，
所以，
又因为，
所以，
由的轨迹方程可知，
即，所以，
所以的范围为：；
（2）将代入，得，
所以点在圆上，
设，
则，
所以当时，取最大值，此时，
所以，
所以，
所以．
故答案为：；．
32．（2023 盐城三模）在中，，，，则的取值范围是 　　．
【解答】解：根据正弦定理得，即，
，
，
，，
，
即的取值范围．
故答案为：．
33．（2023 虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 　　．
【解答】解：不妨设，则，
由，可得，
则，
所以的取值范围是．
故答案为：．
34．（2023 黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是 　　．
【解答】解：根据题意可知，
向量在方向上的投影向量为，
，
的取值范围是，
．
故答案为：．
35．（2023 武清区校级模拟）在四边形中，，，，则　　；若，分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是 　　．
【解答】解：在四边形中，，，，
四边形为等腰梯形，，，
，，
．
，，，
，，，
，，
，
，，
解得或，
，，
的取值范围是，
故答案为：，．重难点突破01 平面向量中最值、范围问题
以平面图形为载体的有关数量积的最值问题和范围问题是高考的热点之一，常以选择题、填空题的形式呈现．要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化．
[解题思路]建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数等)的最值或应用基本不等式．同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.
一、几何投影法
侧重于从投影入手体现几何意义，如平面向量数量积a·b＝|a||b|cos θ，其几何意义为其中一个向量长度乘以另一个向量在其方向上的投影，解题时可结合向量的投影来探寻联系，从而转化为数量积问题．
二、基向量法
解题时有时无法获取对应向量数量积的要素，如模和夹角，此时就可以考虑采用基底法．先设定两个不平行的向量作为基底，然后将所需向量表示出来，最后根据条件进行最值分析．
三、坐标法(数形结合法)
把几何图形放在适当的坐标系中，将向量坐标化，利用向量之间的坐标运算来解答．坐标法是高考中常用的解题技巧，其核心知识点为向量数量积的运算法则，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
一．选择题（共20小题）
1．（2023 宣化区校级三模）已知正方形的边长为2，是它的外接圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是　　
A．， B． C．， D．，
2．（2023 榆林一模）的内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
3．（2023 重庆模拟）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．（2023 广东模拟）已知单位向量，，若对任意实数，恒成立，则向量，的夹角的取值范围为　　
A． B． C． D．
5．（2023 鼓楼区校级模拟）在矩形中，，．若，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2023 思明区校级四模）已知直线与圆相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
7．（2023 河南三模）如图，这是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，已知是平面四边形内一点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
8．（2023 开封二模）已知等边的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
9．（2023 厦门模拟）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为　　
A． B．， C． D．，
10．（2023 河南模拟）在锐角三角形中，，，则边上的高的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
11．（2023 合肥模拟）已知线段的中点为等边三角形的顶点，且，当绕点转动时，的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
12．（2023 重庆模拟）已知向量的夹角为，，若对任意的、，且，，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
13．（2023 盐山县校级三模）在中，若，，，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
14．（2022 滨州二模）在中，为边上任意一点，为线段上任意一点，若，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
15．（2023 姜堰区模拟）已知平面向量，，均为单位向量，且，的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
16．（2023 迎江区校级模拟）已知点为锐角的外接圆上任意一点，，，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，
17．（2023 郑州三模）已知中，，，，，，，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
18．（2023 天津二模）在平面四边形中，，，．若、为边上的动点，且，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
19．（2023 开封三模）等腰直角三角形的直角顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在第一象限，且，为坐标原点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
20．（2023 渝中区校级模拟）已知平面向量，，满足：，，，，则的取值范围是　　
A．， B． C． D．
二．多选题（共6小题）
21．（2023 浉河区校级模拟）已知曲线上的动点满足，为坐标原点，直线过和两点，为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，，，为切点，则　　
A．点与曲线上点的最小距离为
B．线段长度的最小值为
C．的最小值为3
D．存在点，使得的面积为3
22．（2023 桐城市校级一模）在边长为4的正方形中，在正方形（含边）内，满足，则下列结论正确的是　　
A．若点在上时，则
B．的取值范围为，
C．若点在上时，
D．当在线段上时，的最小值为
23．（2023 黄州区校级二模）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是　　
A．当为线段上的中点时，
B．的最大值为
C．的取值范围为，
D．的取值范围为
24．（2023 香坊区校级三模）已知的三个内角，，所对边的长分别为，，，若，则下列正确的是　　
A．的取值范围是
B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为
C．若是锐角三角形，则的取值范围是
D．若是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为
25．（2023 湖南模拟）如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则　　
A．的最大值为4 B．的最大值为
C．的最大值为2 D．的最大值为
26．（2023 葫芦岛二模）已知向量满足，，，．则下列说法正确的是　　
A．若点在直线上运动，当取得最大值时，的值为
B．若点在直线上运动，在上的投影的数量的取值范围是
C．若点在以为半径且与直线相切的圆上，取得最大值时，的值为3
D．若点在以为半径且与直线相切的圆上，的范围是，
三．填空题（共9小题）
27．（2023 沈阳三模）已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ．
28．（2023 广陵区校级模拟）已知平面直角坐标系内的两个向量，，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成，为实数），则的取值范围是 ．
29．（2023 漳州模拟）已知，点满足，点为线段上异于，的动点，若，则的取值范围是 ．
30．（2022 宝山区校级二模）已知单位向量，的夹角为，若，则的取值范围是 ．
31．（2023 海淀区校级模拟）已知点是边长为4的正方形的中心，点是正方形所在平面内一点，，若．
（1）的取值范围是 ；
（2）当取得最大值时， ．
32．（2023 盐城三模）在中，，，，则的取值范围是 ．
33．（2023 虹口区校级三模）已知平面向量满足，则的取值范围是 ．
34．（2023 黄浦区模拟）已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若的取值范围是，则的取值范围是 ．
35．（2023 武清区校级模拟）在四边形中，，，，则 ；若，分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是 ．重难点突破02 奔驰定理与四心问题
奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
三角形的内心
1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P
注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等
常见内心的向量表示：
（1）（或）
其中分别是的三边的长
（2），则点的轨迹一定经过三角形的内心
（注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)）
3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。
拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心．
三角形的外心
外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）
注：外心到三角形各顶点的距离相等.
常用外心的向量表示：
（1）
（2）
变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心
3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。
三角形的“重心”
1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G
注：重心将中线长度分成
2、常见重心的向量表示：
设是的重心，为平面内任意一点.
（1）
（2），，，
（3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心.
注：若、、，重心坐标为.
若，则点经过的重心；
3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义
三角形的“垂心”
1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O
注：高线与对应边垂直
2、常见垂心的向量表示
证明：因为，所以，所以，
同理可得，，所以O为垂心
（2）
一．选择题（共22小题）
1．（2023春 叙州区校级期中）若点是的重心，则下列向量中与共线的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：点是的重心，
设，，分别是边，，的中点，
，
同理，
，
，
零向量与任意的向量共线，
故选：．
2．（2023 西安模拟）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
由于点为的重心，
所以，故，
故．
故选：．
3．（2022 昌吉州模拟）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点，与点，不重合），设，，则的最小值为　　
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：为的重心，
，
又在线段上，
，
，
，
，
由题意可知，，
，，
，
当且仅当，时等号成立，
，
即的最小值为4．
故选：．
4．（2022 大武口区校级四模）在等边中，为重心，是的中点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等边中，为重心，是的中点，
设是中点，
．
故选：．
5．（2023 普陀区校级模拟）已知点为的外心，且，则为　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【解答】解：由三角形的外心为各边中垂线的交点，结合向量投影的运算可得：
，，，
又，
则，
则，
即，
即为钝角三角形，
故选：．
6．（2020 青秀区校级模拟）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，．则点的轨迹一定通过三角形的　　
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【解答】解：由正弦定理可知：，为三角形的外接圆的半径，
所以动点满足．因为是以，为邻边的平行四边形的对角线为起点的向量，经过的中点，
所以点的轨迹一定通过三角形的重心．
故选：．
7．（2022 安徽模拟）平面上有及其内一点，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角，，的对边分别为，，，若满足，则为的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【解答】解：由，得，
由，得，
根据平面向量基本定理可得，
所以，
延长交于，延长交于，
则，又，
所以，
所以为的平分线，
同理可得是的平分线，
所以为的内心．
故选：．
8．（2020 重庆模拟）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，由题知为垂心，所以，
．
同理，，
，
所以．
．
又，
．
由奔驰定理得，
故选：．
9．（2023 河北区二模）在中，角，的对边长分别为，，点为的外心，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知得，所以，
因为为的外心，则
，，
故时，取最小值为，时取得上界为2，
故的取值范围是．
故选：．
10．（2023 重庆模拟）已知点是的外心，，，，若，则　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，
，，，且，
，，，
，
，整理得，，
．
故选：．
11．（2023 海淀区校级模拟）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则　　
A． B． C．0 D．2
【解答】解：如图所示：
是的外心，且满足，
为的中点，，
在上的投影向量为，外接圆半径为2，
，，
，
故选：．
12．（2021 聊城三模）在中，，，，为中点，为的内心，且，则　　
A． B． C． D．1
【解答】解：为中点，，，
为的内心，，
，，．
故选：．
13．（2021 迎江区校级三模）等边的面积为，且的内心为，若平面内的点满足，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设三角形边长为，由题可得，解得，
如图，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
因为为等边的内心，故在上，且，
则，，，，，
因为，则点在以为圆心，1为半径的圆上，
设，则，即，且，
，，
所以，
故选：．
14．（2022 新华区校级模拟）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点，，分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据欧拉定理可知，点，，三点共线，且，
对于，，，故错误，
对于，，，故错误，
对于，，故错误，
对于，，故正确，
故选：．
15．（2021 吉林模拟）下列关于平面向量的说法正确的是　　
A．若共线，则点，，，必在同一直线上
B．若且，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，则
【解答】解：若与共线，则直线与平行或重合，点，，，不一定在同一直线上，错；
当时与不一定共线，错；
当为重心时满足，错；
若为的垂心，则，，，，同理，对．
故选：．
16．（2020 安徽模拟）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
即，，即（点是边的中点），所以点在边的中垂线上．
同理点在边的中垂线上．因此点是的外心．
设外接圆的半径是
．
故选：．
17．（2023 浑南区校级模拟）在中，，是的外心，若，则　　
A． B．3 C．6 D．
【解答】解：如图，取中点，连接，
则，，所以，
在中，，，由正弦定理得，
所以，
所以，
故选：．
18．（2021 碑林区校级模拟）在中，若，则下列说法正确的是　　
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心 D．是的垂心
【解答】解：，，，
，
同理由，得到，
点是的三条高的交点，是的垂心．
故选：．
19．（2021 綦江区校级模拟）在中，，，，是的内心，若，其中，，动点的轨迹所覆盖的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，根据题意知，点在以，为邻边的平行四边形内部，动点的轨迹所覆盖图形的面积为；
在中，，，；
由余弦定理得，；
解得，或（舍去）；
又为的内心；
；
动点的轨迹所覆盖图形的面积为．
故选：．
20．（2023 毕节市模拟）已知点为三角形的重心，且，当取最大值时，　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，
所以，
即，
所以，
所以，
又，，
则，
所以，即，
由，，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又在上单调递减，，
所以当取最大值时，．
故选：．
21．（2021 全国Ⅲ卷模拟）已知的内角，，所对的边分别为，，．内一点满足：，则一定为的　　
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【解答】解：由题意可设，，，
其中，，分别为，，方向上的单位向量，
，
，
则，
．
在的角分线上，同理在与的角分线上．
为的内心．
故选：．
22．（2023 河南模拟）在锐角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，是的重心，延长交的中点为，且，
又，，，
又据，，两式展开相加可得：
，
，，，
，
又为锐角，，，，
再将代入上面三个不等式中可解得，
，
设，则，，，
又，，，
当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为（1），
又，
，．
即的取值范围是，．
故选：．
二．多选题（共5小题）
23．（2023 潍坊模拟）已知点为内的一点，，分别是，的中点，则　　
A．若为中点，则
B．若为中点，则
C．若为的重心，则
D．若为的外心，且，则
【解答】解：如图1，为边的中点，是的中点，
，正确；
，
，正确；
如图2，为的重心，为的中点，则，，错误；
如图3，为的外心，，则，正确．
故选：．
24．（2023 五华区校级模拟）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是　　
A．若，，，则
B．为锐角的充要条件是
C．若为所在平面内一点，且，则为的重心
D．若，且，则为等边三角形
【解答】解：对于选项，，，且，
，，选项正确；
对于选项，当时，，
，选项错误；
对于选项，在中，由，
可得，即，
同理，，
为的垂心，选项错误；
对于选项，，
，又，，
为等边三角形，选项正确．
故选：．
25．（2023 黄冈模拟）点，分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是　　
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为，
D．若，则
【解答】解：．由，可知，点，，共线，
又可知，点在的角平分线上，
所以为的角平分线，与不一定相等，故错误；
．若，则点是的中点，点又是的外心，
所以，，故正确；
．因为，所以，如图，建立平面直角坐标系，
设，，，
因为，所以，
得，，
，，
，，则，，故正确；
．因为，所以，
即，则，
同理，，所以，
设，
因为，所以，
即，则，
，即，
则，
，，故正确．
故选：．
26．（2023 湖北模拟）下列关于平面向量的说法中正确的是　　
A．已知，，点在直线上，且，则的坐标为
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心
【解答】解：对于，设，则，
因为点在直线上，且，
所以或，
则或，
从而可得或，
所以或，故错误；
对于，如图，设为的中点，则，
则，故正确；
对于，当时，，
满足，则与不一定相等，故错误；
对于，因为，
所以，所以，
同理可得，，
所以是的垂心，故正确．
故选：．
27．（2021 香洲区校级模拟）若点在所在的平面内，则以下说法正确的是　　
A．若，则点为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
【解答】解：对于：设点为的中点，若，
则，，
所以点为边上的中线的三等分点，
故点为的重心，故正确；
对于分别为的单位向量，
任意两个向量的单位向量的差为三角形的第三边的向量，
所以、垂直于构成菱形的对角线，
所以点在角平分线上，故点为内心，故错误；
对于，
整理得，
所以，故点为的外心，故正确；
对于，
所以，整理得，同理，
即，，
故点为的垂心，故错误．
故选：．
三．填空题（共10小题）
28．（2023 河北模拟）已知为的外心，若，且，则　　．
【解答】解：因为是的外心，所以，
又因为，所以，
所以．
故答案为：．
29．（2020 江苏四模）设为的垂心（三角形三条高的交点），且，则的值为 　　．
【解答】解：由题，为的垂心（三角形三条高的交点），
，
．
同理，，
即．
设，
，
，
，同理可求得，
．
故答案为：．
30．（2023 新城区校级模拟）在平行四边形中，为的重心，，则　　．
【解答】解：在平行四边形中，为的重心，设点为的中点，
如图所示：
故，，
所以；
故．
由于，故，
所以．
故答案为：．
31．（2021 商丘模拟）在中，，，为的垂心，且满足，则　　．
【解答】解：如图所示，为的中点，不妨设，则．因为，则，则，，由此可得．
故答案为：．
32．（2023 浦东新区模拟）已知是的外心，且，则　　．
【解答】解：设外接圆的半径为1，
，
，
，
是的外心，
，，
，
是的外心，
，
，
，，
故答案为：．
33．（2022 陕西模拟）已知中，角，，所对的边分别是，，，且，，，设为的内心，则的面积为 　　．
【解答】解：当时，由正弦定理，可得，
结合，由余弦定理，解之得，，
若为的内心，则设的内接圆半径为，
由，可得，，
故，
所以，
所以．
故答案为：．
34．（2022 宁波模拟）在中，点、点分别为的外心和垂心，，，则　8　．
【解答】解：，
，
因为为垂心，
所以，
设，，外接圆的半径为，
由余弦定理得，
同理，
所以．
所以，
故答案为：8．
35．（2023 北辰区三模）在中，，，若为其重心，试用，表示为 　　；若为其外心，满足，且，则的最大值为 　　．
【解答】解：设的中点为，
在中，，，为其重心，
；
若为其外心，
则，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
当且仅当时取等号，
则的最大值为1．
故答案为：；1．
36．（2023 黄埔区校级模拟）已知是三角形的外心，，，若，且，则三角形的面积为　24或　．
【解答】解：当为直角时，由，，求得，满足，且，
此时三角形的面积为；
当不是直角时，
取中点为，则，，
，
．
又，
，
，
又，
，则．
三角形的面积为．
故答案为：24或．
37．（2022 浙江模拟）在中，已知，，，为的内心，的延长线交于点，则的外接圆的面积为 　　，　　．
【解答】解：由余弦定理得，所以，
设三角形的外接圆的半径为，所以，所以，
所以的外接圆的面积为，
由余弦定理得，
所以，，
所以，
由正弦定理得，
所以．
故答案为：；．
四．解答题（共3小题）
38．（2022 齐齐哈尔二模）的内角，，的对边分别为，，，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①为的内心；
②为的外心．
（1）求；
（2）若，，_______，求的面积．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理得，
，
，
三角形中，，所以，
，则，
所以；
（2）选①为的内心，如图，，，分别是内切圆在各边上的切点，
，
，
设内切圆半径为，则，
所以；
选②为的外心，在外部，如图，外接圆上，
由（1），
所以，
又，
，
．
39．（2022 福建模拟）的内角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求的大小；
（2）为内一点，的延长线交于点，______，求的面积．
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，又因为，，
所以，整理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
即，
又因为，所以；
选①，
设的外接圆半径为，则在中，由正弦定理得，即，
因为为外心，所以，与矛盾，故不能选①；
选②，
因为为的垂心，所以，
又，所以在中，，
同理可得，
又因为，所以，
即，
又因为在中，，
所以，
因此，
故，为方程两根，
即，
因为，，所以，
所以为等边三角形，
所以；
选③，
因为为的内心，所以，
由，
得，
由（1）可得，即，所以，
即，
又因为，所以，
所以．
40．（2022 广东模拟）的内角，，的对边分别为，，，且．从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①为的内心；②为的外心；③为的重心．
（1）求；
（2）若，，________，求的面积．
【解答】解：（1）由正弦定理及知，，
整理得，，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以．
（2）在中，由余弦定理知，，
所以，
选择条件①：为的内心，
因为的面积，其中为内切圆的半径，
所以，解得，
故的面积．
选择条件②：为的外心；
在外接圆上取一点，连接，，则，
所以，
在中，由正弦定理知，，其中为外接圆半径，
所以，
所以的面积．
选择条件③：为的重心，
设边上的高为，
的面积，即，解得，
因为为的重心，所以点到的距离，
所以的面积．重难点突破02 奔驰定理与四心问题
奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．
三角形的内心
1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P
注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等
常见内心的向量表示：
（1）（或）
其中分别是的三边的长
（2），则点的轨迹一定经过三角形的内心
（注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)）
3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。
拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心．
三角形的外心
外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心）
注：外心到三角形各顶点的距离相等.
常用外心的向量表示：
（1）
（2）
变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心
3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。
三角形的“重心”
1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G
注：重心将中线长度分成
2、常见重心的向量表示：
设是的重心，为平面内任意一点.
（1）
（2），，，
（3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心.
注：若、、，重心坐标为.
若，则点经过的重心；
3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义
三角形的“垂心”
1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O
注：高线与对应边垂直
2、常见垂心的向量表示
证明：因为，所以，所以，
同理可得，，所以O为垂心
（2）
一．选择题（共22小题）
1．（2023春 叙州区校级期中）若点是的重心，则下列向量中与共线的是　　
A． B． C． D．
2．（2023 西安模拟）在中，设，，为的重心，则用向量和为基底表示向量　　
A． B． C． D．
3．（2022 昌吉州模拟）如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点（点，与点，不重合），设，，则的最小值为　　
A．2 B． C．4 D．
4．（2022 大武口区校级四模）在等边中，为重心，是的中点，则　　
A． B． C． D．
5．（2023 普陀区校级模拟）已知点为的外心，且，则为　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
6．（2020 青秀区校级模拟）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，．则点的轨迹一定通过三角形的　　
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
7．（2022 安徽模拟）平面上有及其内一点，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角，，的对边分别为，，，若满足，则为的　　
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．（2020 重庆模拟）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有　　
A．
B．
C．
D．
9．（2023 河北区二模）在中，角，的对边长分别为，，点为的外心，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
10．（2023 重庆模拟）已知点是的外心，，，，若，则　　
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2023 海淀区校级模拟）已知是的外心，外接圆半径为2，且满足，若在上的投影向量为，则　　
A． B． C．0 D．2
12．（2021 聊城三模）在中，，，，为中点，为的内心，且，则　　
A． B． C． D．1
13．（2021 迎江区校级三模）等边的面积为，且的内心为，若平面内的点满足，则的最小值为　　
A． B． C． D．
14．（2022 新华区校级模拟）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点，，分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是　　
A． B． C． D．
15．（2021 吉林模拟）下列关于平面向量的说法正确的是　　
A．若共线，则点，，，必在同一直线上
B．若且，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，则
16．（2020 安徽模拟）设是所在平面上一点，点是的垂心，满足，且，则角的大小是　　
A． B． C． D．
17．（2023 浑南区校级模拟）在中，，是的外心，若，则　　
A． B．3 C．6 D．
18．（2021 碑林区校级模拟）在中，若，则下列说法正确的是　　
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心 D．是的垂心
19．（2021 綦江区校级模拟）在中，，，，是的内心，若，其中，，动点的轨迹所覆盖的面积为　　
A． B． C． D．
20．（2023 毕节市模拟）已知点为三角形的重心，且，当取最大值时，　　
A． B． C． D．
21．（2021 全国Ⅲ卷模拟）已知的内角，，所对的边分别为，，．内一点满足：，则一定为的　　
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
22．（2023 河南模拟）在锐角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共5小题）
23．（2023 潍坊模拟）已知点为内的一点，，分别是，的中点，则　　
A．若为中点，则
B．若为中点，则
C．若为的重心，则
D．若为的外心，且，则
24．（2023 五华区校级模拟）已知，是两个非零向量，则下列说法正确的是　　
A．若，，，则
B．为锐角的充要条件是
C．若为所在平面内一点，且，则为的重心
D．若，且，则为等边三角形
25．（2023 黄冈模拟）点，分别是的外心、垂心，则下列选项正确的是　　
A．若且，则
B．若，且，则
C．若，，则的取值范围为，
D．若，则
26．（2023 湖北模拟）下列关于平面向量的说法中正确的是　　
A．已知，，点在直线上，且，则的坐标为
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心
27．（2021 香洲区校级模拟）若点在所在的平面内，则以下说法正确的是　　
A．若，则点为的重心
B．若，则点为的垂心
C．若，则点为的外心
D．若，则点为的内心
三．填空题（共10小题）
28．（2023 河北模拟）已知为的外心，若，且，则 ．
29．（2020 江苏四模）设为的垂心（三角形三条高的交点），且，则的值为 ．
30．（2023 新城区校级模拟）在平行四边形中，为的重心，，则 ．
31．（2021 商丘模拟）在中，，，为的垂心，且满足，则 ．
32．（2023 浦东新区模拟）已知是的外心，且，则 ．
33．（2022 陕西模拟）已知中，角，，所对的边分别是，，，且，，，设为的内心，则的面积为 ．
34．（2022 宁波模拟）在中，点、点分别为的外心和垂心，，，则 ．
35．（2023 北辰区三模）在中，，，若为其重心，试用，表示为 ；若为其外心，满足，且，则的最大值为 ．
36．（2023 黄埔区校级模拟）已知是三角形的外心，，，若，且，则三角形的面积为 ．
37．（2022 浙江模拟）在中，已知，，，为的内心，的延长线交于点，则的外接圆的面积为 ， ．
四．解答题（共3小题）
38．（2022 齐齐哈尔二模）的内角，，的对边分别为，，，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①为的内心；
②为的外心．
（1）求；
（2）若，，_______，求的面积．
39．（2022 福建模拟）的内角，，所对的边分别为，，，，．
（1）求的大小；
（2）为内一点，的延长线交于点，______，求的面积．
请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心，．
40．（2022 广东模拟）的内角，，的对边分别为，，，且．从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①为的内心；②为的外心；③为的重心．
（1）求；
（2）若，，________，求的面积．重难点突破03 解三角形大题专项训练
(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形的面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形面积公式S＝absin C，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．
(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
(3)若c＝，△ABC的面积为S，求△ABC面积S的最大值；
(4)若c＝，△ABC的周长为L，求△ABC的周长L的取值范围；
(5)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC周长L的取值范围；
(6)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC面积S的取值范围．
(1)由已知及正弦定理得
【解答】
(1)由已知及正弦定理得
,
整理得,
的内角为,
,且,
,又.
(2)由余弦定理,得,
又,
得,
,
.
的周长为.
(3)因为,由余弦定理得
,
即,
当且仅当时“”成立。解得.
又面积,
则.
故面积的最大值为.
(4)由余弦定理得
,
即,所以,又,解得,则的周长.
(5)
为锐角三角形,且,
则,
所以,
,
所以.
(6)由正弦定理得,
则,
所以
.
为锐角三角形,且,则,
所以,
所以.
1．（2023 临沂一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
【解答】解：（1）在中，由已知及正弦定理得：，
即有，即，
而，，则，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，，
因此，即，当且仅当时取等号，
又，
所以面积的取值范围是．
2．（2023 泉州模拟）在中，角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围．
【解答】解：（1）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，
则，
则，
即，
又，
即，
又，
则；
（2）由，
由正弦定理可得：，，
则，
又，
即，
即，
则，
则的周长的取值范围为．
3．（2023 德州一模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．
【解答】证明：（1），
由正弦定理可得，，
，
，
，
，
为锐角三角形，
，，
，
在，上单调递增，
，即；
（2）解：，
在中，，
由正弦定理可得，，
，
，
为锐角三角形，
，解得，
，
面积的取值范围为．
4．（2023 盐城三模）在中，为的角平分线，且．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求边的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，
得：，
解得，
所以．
（2）设，，，
由得
，
即，
所以，
又在中，
所以，
得，
因为且，
得，
则，
所以，
即边的取值范围为．
5．（2023 抚松县校级模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且____（填序号）．
（1）若，，求的面积；
（2）求的取值范围．
【解答】解：选①：由可得：，
即，化简可得：，
因为，则；
选②：由可得：，
则，则，
因为，所以，则；
选③：由可得：，
化简可得：，
因为，则；
（1）选①②③均可得，，
则，，
由正弦定理可得：，则，，
所以；
（2）因为
，
为锐角三角形，则，
解得，所以，所以．
6．（2023 龙凤区校级模拟）如图，在中，．延长到，使得，且．
（1）若，求的面积；
（2）当时，求面积的取值范围．
【解答】解：（1）在中，，则，即，
，
的面积为，
在中，，即，
，
的面积为．
的面积．
（2）在中，设，
，则，
的面积，
，则，，，，
则，
面积的取值范围为，．
7．（2023 安康一模）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）若，求外接圆的面积；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解答】解：（1），
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，故，
设外接圆的半径为，则，解得，
故外接圆的面积为．
（2）由（1）得，则，
为锐角三角形，
，解得，
又由正弦定理得，即，
，
又，则，
，
故面积的取值范围是．
8．（2023 定远县校级模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
【解答】解：（1），，，
，
在中，由正弦定理得，即，
，
又，则；
（2）由（1）得，由余弦定理得，即，
又，则，
，即，
的周长为．
9．（2023 湖南三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
【解答】解：（1）因为，
所以由得，
所以，解得或，
因为，
所以，
则，故，
则，解得；
（2）因为，令，
则，
由三角形面积公式可得，则，故，
由余弦定理可得，则，解得，
从而，，，
故的周长为．
10．（2023 重庆模拟）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若的面积为1，求的周长的最小值．
【解答】解：（1），
，
在中，由正弦定理得，即，
，
又，则，
，，
，；
（2）由（1）得，的面积为1，
，即，
在中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，
，
故的周长的最小值为．
11．（2023 青羊区校级模拟）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
【解答】解：（1）为在方向上的投影向量，
，
又，
，
，
又，，
，
，，，，
又，
，
解得；
（2），，
，，
，
，，
，
，
解得，
，
的周长为．
12．（2023 麒麟区校级模拟）在锐角中，角，，，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【解答】解：（1）选条件①：因为，所以，即，
又因为为锐角三角形，所以，
，所以；
选条件②：因为，所以，所以，
又因为，所以；
选条件③：由正弦定理可得，
即，
又因为，所以，
，所以；
（2）
，
，，
所以，即，
又，
周长的取值范围为，．
13．（2023 云南模拟）已知函数在上单调，且．
（1）求的解析式；
（2）若钝角的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．
【解答】解：（1）
，
在上单调，且，
，解得，
又，则为的一条对称轴，
，解得，，
，即；
（2）由（1）得，
则，即，
又，则，
或，解得或，
为钝角三角形，，
由余弦定理，即，
即，当且仅当时取等号，
，
，
即周长的最大值为．
14．（2023 晋中模拟）的内角，，的对边分别为，，，其中，且满足．
（1）求的外接圆半径；
（2）若的平分线交于点，且，求的面积．
【解答】解：（1），
由正弦定理，得，则，
即，
因为，
所以，
设的外接圆半径为，由正弦定理知，
所以的外接圆半径为；
（2）由平分，得，
则，即，
在中，由余弦定理可得，
又，
则，
联立，可得，解得舍去），
故．
15．（2023 枣强县校级模拟）已知的内角，，满足．
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．
【解答】解：（1）设内角、、所对的边分别为、、，
根据，
可得，
，
，
又，
；
（2）由正弦定理得，
，
由余弦定理得，
的面积为，
（当且仅当时等号成立），
面积的最大值为．
16．（2023 湖南一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，且．
（1）求的外接圆半径；
（2）求内切圆半径的取值范围．
【解答】解：（1）在中，由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，则，
又，解得；
（2）由（1）得，则，，
则，
在中，由正弦定理得，即，
则，
又，则，，，
．
17．（2023 西固区校级二模）若的内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
【解答】解：（1）中，因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
由①②解得，
又，所以；
（2）由，，
根据正弦定理得，
所以，，
所以；
又，所以，所以，
所以周长的取值范围为，．
18．（2023 榆林三模）已知，，分别为的内角，，所对的边，，且．
（1）求；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
即，
而，
故，
所以；
（2）
，
因为，
所以，，
故，．
19．（2023 武昌区校级模拟）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围．
【解答】解：（1）中，角，，所对边分别为，，，若满足，
由正弦定理知，，
，，
，
化简得，
，（其中舍去），即；
（2）由（1）知，则，
那么的面积（当且仅当时等号成立），
则面积的取值范围为，．
20．（2023 晋江市校级模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，的面积．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理得：，
即，即，
因为，所以，即，
由得：；
由得：，即，即，
由余弦定理可得：，
故，则，
令，则，解得，
由正弦定理得：，故的值为或；
（2）由得：，即，
由余弦定理可得：，
即，
故，
令，则，即，
由得，故，
故，即得，
故的取值范围是．
21．（2023 安徽三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）设的中点为，且，求的取值范围．
【解答】解：（1）由及正弦定理知，，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以，即．
（2）设，则，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
所以，
因为，所以，，
所以，，
所以的取值范围为，．
22．（2023 济宁三模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因为，所以，
所以，又，所以．
（2）由正弦定理，
所以
．
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范围为．
23．（2023 浙江模拟）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，且．
（1）求证：；
（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
【解答】解：（1）证明：由题意得，
即，由正弦定理得，
由余弦定理知，，
，，
，，
又是锐角三角形，，；
（2）在中，由正弦定理得，
，
是锐角三角形，且；
，解得，
，，
线段长度的取值范围为，．
24．（2023 叙州区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求周长的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由，可知：，
．由正弦定理得．
由余弦定理得，
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，．
的周长为
，
，，
，，
的周长的取值范围为，．
25．（2023 长沙模拟）已知向量，且函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，．若，且的面积为，求的周长．
【解答】解：（1），
由，
故最小正周期为，
由，，
，，
的对称中心为，，．
（2）由于，
故，
于是，
又，解得，
所以，解得，
故或（舍去），
由余弦定理，则，
化简得：，
，
，
的周长为．
26．（2023 琼海校级三模）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足____．
（1）求；
（2）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值．
【解答】解：（1）若选①：因为，整理得，
由余弦定理可得，
因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理可得，
则，
因为，，则，则，
可得，所以；
若选③：因为，由正弦定理可得，
则，
因为，，则，则
可得，所以．
（2）由题意可得：，且，
则，
即，且，，
则，当且仅当时，等号成立，
可得，
所以，
故的面积的最小值为．
27．（2023 沙坪坝区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若为中点，且，求面积的最大值．
【解答】解：（1），
由正弦定理得：，
，．
，且，
，，
；
（2）由（1），在中，由余弦定理可得：
，
，
，
当且仅当时取等号，此时，，
，
．
28．（2023 邵阳一模）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为，，，，．
（1）求；
（2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值．
【解答】解：（1）已知，由正弦定理可得，由，
所以，即，
所以，
因为，，，
所以，则，
所以；
（2）在中，由余弦定理得知：，
即，
因为，
所以，
因为，
所以，
，，
因为，
所以当，即时，面积有最大值．
29．（2023 大连模拟）已知函数的最小正周期为是函数一个零点．
（1）求，；
（2）在中，角，，的对边分别为，求面积的最大值．
【解答】解：（1）依题意，，解得，
则，
又是函数一个零点，
则，可得，
又，则；
（2）由（1）可知，，
则，
又为的内角，则，
由余弦定理可得，，
则，当且仅当时等号成立，
故，即面积的最大值为．
30．（2023 茂名一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
【解答】证明：（1）在中，由及正弦定理得：，
又，
，即，
，即，
，
，
，
，；
（2）解：由得，
，
，
由题意，及正弦定理得：，
，
，即，
故的取值范围为．
31．（2023 鼓楼区校级模拟）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
（1）求角的值；
（2）求面积的取值范围．
【解答】解：（1）因为，且，
由正弦定理得，
得到，
所以，
因为，
所以．
（2）因为，，
所以由正弦定理，可知，可得，，
所以面积
，
因为，
所以，
所以，，
所以．
32．（2023 乌鲁木齐三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【解答】解：（1）由余弦定理得，即，
再由正弦定理得，
，
，
，
又，
；
（2）由正弦定理得即，，
而，
由为锐角三角形，
且，则，
，即．
33．（2023 重庆模拟）在锐角中，，，分别是的内角，，所对的边，外接圆周长为，且．
（1）求；
（2）记的面积为，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为外接圆周长为，
则有，解得，
由正弦定理可得：，
又，
，
又，
，，
，
由正弦定理可知：．
（2），，
由正弦定理得：，
，
是锐角三角形，
，
，，
则．
34．（2023 武侯区校级模拟）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①：的最小值为；
条件②：的图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，（A），求面积的取值范围．
【解答】解：（1）图象的相邻两条对称轴之间的距离为，，即，
，．
若选①②，则，，，即，，
，，；
若选①③，则，，即，
，，，得，
；
若选②③，，，即，，
，，此时，
，，，，
．
（2）由（1）知，，，
，
，，
，
，，，，
，即面积的取值范围是．
35．（2023 河北模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
因为，则，可得，
则
，
又因为，，则，，整理得，
且，所以．
（2）由正弦定理，可得，，
因为，则，
则
，
①若，即时，则，
其中，
当，即时，取到最大值，符合题意；
②若，即时，则在上单调递减，无最值，不符合题意；
③若，即时，则，
其中，
当，即时，取到最大值
注意到，则，
可得，解得；
综上所述：实数的取值范围为．重难点突破03 解三角形大题专项训练
(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是求三角形的面积；二是给出三角形的面积，求其他量．解题时主要应用三角形面积公式S＝absin C，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理、余弦定理综合起来求解．
(2)求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求角C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长；
(3)若c＝，△ABC的面积为S，求△ABC面积S的最大值；
(4)若c＝，△ABC的周长为L，求△ABC的周长L的取值范围；
(5)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC周长L的取值范围；
(6)若△ABC为锐角三角形，c＝，求△ABC面积S的取值范围．
(1)由已知及正弦定理得
1．（2023 临沂一模）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
2．（2023 泉州模拟）在中，角，，所对的边分别是，，．已知．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围．
3．（2023 德州一模）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若的角平分线交于，且，求面积的取值范围．
4．（2023 盐城三模）在中，为的角平分线，且．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求边的取值范围．
5．（2023 抚松县校级模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，补充到下面问题中，然后解答．
已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且____（填序号）．
（1）若，，求的面积；
（2）求的取值范围．
6．（2023 龙凤区校级模拟）如图，在中，．延长到，使得，且．
（1）若，求的面积；
（2）当时，求面积的取值范围．
7．（2023 安康一模）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）若，求外接圆的面积；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
8．（2023 定远县校级模拟）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求的周长．
9．（2023 湖南三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且边上的高为，求的周长．
10．（2023 重庆模拟）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求角；
（2）若的面积为1，求的周长的最小值．
11．（2023 青羊区校级模拟）在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，为在方向上的投影向量，且满足．
（1）求的值；
（2）若，，求的周长．
12．（2023 麒麟区校级模拟）在锐角中，角，，，的对边分别为，，，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
13．（2023 云南模拟）已知函数在上单调，且．
（1）求的解析式；
（2）若钝角的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值．
14．（2023 晋中模拟）的内角，，的对边分别为，，，其中，且满足．
（1）求的外接圆半径；
（2）若的平分线交于点，且，求的面积．
15．（2023 枣强县校级模拟）已知的内角，，满足．
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．
16．（2023 湖南一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，且．
（1）求的外接圆半径；
（2）求内切圆半径的取值范围．
17．（2023 西固区校级二模）若的内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）若，求周长的取值范围．
18．（2023 榆林三模）已知，，分别为的内角，，所对的边，，且．
（1）求；
（2）求的取值范围．
19．（2023 武昌区校级模拟）已知中，角，，所对边分别为，，，若满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围．
20．（2023 晋江市校级模拟）在中，，，分别为内角，，的对边，的面积．
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围．
21．（2023 安徽三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）设的中点为，且，求的取值范围．
22．（2023 济宁三模）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
23．（2023 浙江模拟）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足，且．
（1）求证：；
（2）已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
24．（2023 叙州区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，已知的面积，．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）求周长的取值范围．
25．（2023 长沙模拟）已知向量，且函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）在中，内角，，的对边分别为，，，角为锐角，．若，且的面积为，求的周长．
26．（2023 琼海校级三模）在①，②，③中选一个，补充在下面的横线中，并解答．
在中，内角，，的对边分别为，，，且满足____．
（1）求；
（2）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值．
27．（2023 沙坪坝区校级模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若为中点，且，求面积的最大值．
28．（2023 邵阳一模）如图，为内的一点，记为，记为，且，在中的对边分别记为，，，，．
（1）求；
（2）若，，，记，求线段的长和面积的最大值．
29．（2023 大连模拟）已知函数的最小正周期为是函数一个零点．
（1）求，；
（2）在中，角，，的对边分别为，求面积的最大值．
30．（2023 茂名一模）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．
31．（2023 鼓楼区校级模拟）已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
（1）求角的值；
（2）求面积的取值范围．
32．（2023 乌鲁木齐三模）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
33．（2023 重庆模拟）在锐角中，，，分别是的内角，，所对的边，外接圆周长为，且．
（1）求；
（2）记的面积为，求的取值范围．
34．（2023 武侯区校级模拟）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．
条件①：的最小值为；
条件②：的图象的一个对称中心为；
条件③：的图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，（A），求面积的取值范围．
35．（2023 河北模拟）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数的取值范围．

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