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专题01 数列的概念
目录
题型一： 数列的通项 3
题型二： 已知Sn＝f(n)求通项公式 4
题型三： 数列的单调性 5
题型四： 数列的最值 9
题型五： 数列的周期性 13
1．数列的概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列
数列 的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项
通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n 项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn
2.数列的分类
分类标准 类型 含义
按项数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)
3.数列的表示法
表示法 定义
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 an＝f(n)
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如an＋1＝f(an)，an＝f(an－1，an＋1)(n≥2)等
4.an与Sn的关系
数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
5．数列最值：若(n≥2)，则an最大；若(n≥2)，则an最小．
数列的通项
【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等．
数列2，5，11，20，，47，中的值为　　
A．28 B．32 C．33 D．27
【解答】解：由题意知，数列2，5，11，20，，47，
，，，
则，解得，
故选：．
数列，7，，13，的一个通项公式为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该是，
数值4，7，10，13，满足，所以通项公式可以是．
故选：．
数列的一个通项公式可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，数列，
即，，，，，
故该数列的一个通项公式可以为．
故选：．
已知Sn＝f(n)求通项公式
【要点讲解】Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
值得注意的是：最后要么确定首项a1，要么就是验证a1是否满足n≥2时得到的通项，满足的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式．
已知数列的前项和，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：因为数列的前项和，
所以．
故选：．
若数列的前项和，则　　
A．7 B．8 C．9 D．17
【解答】解：数列的前项和，
．
故选：．
设数列的前项和，则的值为　　
A．15 B．17 C．49 D．64
【解答】解：数列的前项和，则．
故选：．
设数列前项和为，，求数列的通项公式．
【解答】解：由．
当时，；
当时，．
不适合上式．
已知数列的前项和为．
（1）求出的通项公式；
（2）求的最小值及取最小值时的值．
【解答】解：（1）因为，所以当时，；
当时，；
显然是，也满足，所以；
（2）因为，
又，所以当或时，取得最小值．
数列的单调性
【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意n∈N*取值的离散性.
下列通项公式中，对应数列是递增数列的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，选项对应数列是递减数列；
对于选项，，数列是递增数列；
对于选项，，数列不是递增数列．
故选：．
已知数列的前项的积为，且，2，3，，则数列　　
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【解答】解：当时，当时，
所以，而，
故为最小项，为最大项．
故选：．
已知数列中，，则数列的最小项是　　
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
【解答】解：根据题意，数列中，，则，
当时，有，则有，
当时，有，则有，
当时，有，则有，
故数列的最小项是第2项、第3项．
故选：．
写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式：　（符合此种形式即可）　．
①，，；
②单调递增．
【解答】解：假设数列为等差数列，设其公差为，首项为，
由性质①可得：，
即，
再根据②可知，公差，显然满足题意．
故答案为：（符合此种形式即可）．
已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 　　．
【解答】解：数列的通项公式为，且数列是递增数列，
，恒成立，
即，恒成立，
而，随的增大而增大，
即当时，，取得最小值2，则，
所以实数的取值范围是，
故答案为：．
设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是 ．
【解答】解：因为是递增数列，所以，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：对于任意的都有，
数列单调递减，可知．
①当时，，单调递减，
而单调递减，
，解得，
因此：．
②当时，，单调递增，应舍去．
综上可知：实数的取值范围是，．
故答案为：，．
若数列的通项公式是，且恒成立，则 ．
【解答】解：因为，
则，
所以，
故当或6时，取得最大项，
因为恒成立，
则或6．
故答案为：5或6．
已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是 ．
【解答】解：①当时，，
②当时，，，
当时，，数列递减，
综上所述，若使为递减数列，只需满足，即，
解得，
故答案为：．
数列的最值
【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”．解决“项的最值”问题，一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足
通过解不等式组得到n的范围，再结合n∈N*，确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，以函数的视角从单调性出发得到最值．
解决“和的最值”问题，一般有两种角度：(1)从“通项”着手，研究通项的函数单调性和“变号”情况，从而确定“和的最值”；(2)从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性得到最值．
在数列中，，则数列中的最大项是第 项．
【解答】解：根据题意知：，解得；
，解得，
所以，，
所以．
故答案为：8．
在数列中，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得．
根据对勾函数与复合函数的单调性，在上递增，在上递减，
所以在中，，．
当时，，；
当时，．；
因为，所以，
所以的最大值是．
故选：．
若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是　　
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
【解答】解：，
，
当且仅当，即时，取等号，
当时，取得最大值．
故选：．
若，则数列的最大项是第 项．
【解答】解：根据题意，设，是开口向下，对称轴为的二次函数，
距离对称轴最近的正整数为8，
若，该数列中最大项是第8项．
故答案为：8．
已知数列的通项公式为，设数列的最大项和最小项分别为，，则 ．
【解答】解：当时，，
由，得，
则当且时，，
，，
，；
当时，，
由，得，
则当且时，，
又，，，
．
故答案为：0．
记为数列的前项和．若，2，，则　　
A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项
【解答】解：根据题意，数列，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，
对于，时，最大；
且当时，，当时，，当时，，
故当或8时，最大，
故有最大项，有最大项；
故选：．
已知数列的前项和．
（1）求的最大值；
（2）求数列的通项公式．
【解答】解：（1）数列的前项和．
对称轴为，
因为，将，代入得，，，
所以当时，取得最大值15．
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以．
已知等差数列中满足，，
（1）求通项公式；
（2）试求数列中的最大项与最小项．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，，，
，解得．
或．
（2）时，数列单调递增，时，取得最小值为，无最大值；
时，数列单调递减，时，取得最大值为，无最小值．
数列的周期性
【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如an＋1＝，即f(x＋1)＝，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.
(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、余弦函数的最小正周期公式T＝得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题．
数列中，，，，那么　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，
，
，
，
故选：．
在数列中，已知，，则 ．
【解答】解：由，，
可得，，，
，，
所以数列的最小正周期为4，
所以．
故答案为：1．
在数列中，已知，，记为数列的前项和，则　　
A．1 B．1010 C．1 D．2019
【解答】解：可得，，，，．
，，，；
，；，，
所以每四项和为2，
则．
故选：．
已知各项都为正数的等比数列，若，则 ；
【解答】解：各项都为正数的等比数列，，
，解得，
．
故答案为：19．
一．选择题（共6小题）
1．若数列的前项和，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：当时，，
当时，，
经检验，可得．
故选：．
2．已知函数，设数列的通项公式为，则下列选项错误的是　　
A．的值域是 B．的最小值为
C． D．数列是单调递增数列
【解答】解：由于函数，
所以，
故，
由于，故，
所以，故错误；正确；
由于故函数为单调递增函数，故数列是单调递增数列，故正确；
由于函数为单调递增函数，故的最小值为，故正确．
故选：．
3．已知数列中，，则数列的最小项是　　
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
【解答】解：根据题意，数列中，，则，
当时，有，则有，
当时，有，则有，
当时，有，则有，
故数列的最小项是第2项、第3项．
故选：．
4．记为数列的前项和．若，2，，则　　
A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项
【解答】解：根据题意，数列，，
对于二次函数，，其开口向下，对称轴为，即当时，取得最大值，
对于，时，最大；
且当时，，当时，，当时，，
故当或8时，最大，
故有最大项，有最大项；
故选：．
5．若数列为，，，，，则是这个数列的　　
A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项
【解答】解：设数列7，10，13，16，，为数列，
则数列是以7为首项，3为公差的等差数列，其通项公式为，
令解得．
故选：．
6．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：若为递增数列，则，
则有，对于恒成立．
，对于恒成立，．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是　　
A．是递减数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
【解答】解：当时，，又，
所以，则是递减数列，故正确；
，故错误；
当时，，故正确；
因为的对称轴为，开口向下，
而是正整数，且或4距离对称轴一样远，
所以当或4时，取得最大值，故正确．
故选：．
8．已知数列的通项公式为，则　　
A．数列为递增数列 B．
C．为最小项 D．为最大项
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，数列的通项公式为，当时，，当时，，故数列不是递增数列，错误；
对于，数列的通项公式为，，，，则错误；
对于和，由于，
易得当时，，有，
当时，，有，
则为最小项，为最大项，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令，则的最小值点　7　．
【解答】解：，
结合二次函数可得当时，取得最小值，
即的最小值点．
故答案为：7．
10．已知数列为递增数列，．则的取值范围是 　　．
【解答】解：数列为递增数列，，
，
，
，，
的取值范围是．
故答案为：．
11．已知数列的前项和，则数列的通项公式为　　．
【解答】解：由，
当时，．
当时，．
所以．
故答案为．
12．，，，，，的一个通项公式是 　　．
【解答】解：分子为偶数列，分母为两个相邻连续奇数相乘，
则，，，，，的一个通项公式是．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
13．已知数列的通项公式为．
（1）数列中有多少项是负数？
（2）为何值时，有最小值？并求出最小值．
【解答】解：（1）由，得，
故数列中有两项为负数；
（2），
因此当或3时，有最小值，最小值为．
14．用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若，求．
【解答】解：（1）由题意可得，数列的前8项分别为：111，112，113，114，121，122，123，124，
故这个数列的第8项为124．（3分）
（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，
根据分步计数原理，共有项．（6分）
（3）比小的数有两类：①百位上是1或2的，共有（个；
②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有（个．
再根据分类计数原理可得，比小的数有 （个．
所求的．（10分）
15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且是，的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求使成立的所有的值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差，是，的等比中项，，，
化为：，又，联立解得：，，
．
（2）由（1）可得：．
不等式，即，化为：，解得．
，3，4，5，6．
使成立的所有的值为2，3，4，5，6．
16．已知数列满足．
（1）数列是递增数列还是递减数列？为什么？
（2）证明：对一切正整数恒成立．
【解答】解：（1），
，
，
又，，，
数列是递增数列．
（2）由（1）知数列为递增数列，
所以数列的最小项是，
所以即对一切正整数恒成立．专题01 数列的概念
目录
题型一： 数列的通项 3
题型二： 已知Sn＝f(n)求通项公式 3
题型三： 数列的单调性 5
题型四： 数列的最值 6
题型五： 数列的周期性 8
1．数列的概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数称为数列
数列 的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项，其中第1项也叫首项
通项 公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n 项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn
2.数列的分类
分类标准 类型 含义
按项数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*)
递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)
3.数列的表示法
表示法 定义
列表法 列出表格表示n与an的对应关系
图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 式 法 通项公式 an＝f(n)
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 如an＋1＝f(an)，an＝f(an－1，an＋1)(n≥2)等
4.an与Sn的关系
数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
5．数列最值：若(n≥2)，则an最大；若(n≥2)，则an最小．
数列的通项
【要点讲解】给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑：①熟悉一些常见数列的通项公式，如{n}，{2n}，{(－1)n}，{2n}，{n2}，{2n－1}等；②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；③若第n项和第n＋1项正负交错，那么用符号(－1)n或(－1)n＋1来适配；④对于较复杂数列的通项公式，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳；⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1,0,1,0，…的通项公式可写成an＝或an＝，甚至分段形式an＝等．
数列2，5，11，20，，47，中的值为　　
A．28 B．32 C．33 D．27
数列，7，，13，的一个通项公式为　　
A． B．
C． D．
数列的一个通项公式可以是　　
A． B． C． D．
已知Sn＝f(n)求通项公式
【要点讲解】Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
值得注意的是：最后要么确定首项a1，要么就是验证a1是否满足n≥2时得到的通项，满足的话，可以“合并统一”，不满足只能写成分段形式．
已知数列的前项和，则　　
A．2 B．3 C．4 D．5
若数列的前项和，则　　
A．7 B．8 C．9 D．17
设数列的前项和，则的值为　　
A．15 B．17 C．49 D．64
设数列前项和为，，求数列的通项公式．
已知数列的前项和为．
（1）求出的通项公式；
（2）求的最小值及取最小值时的值．
数列的单调性
【要点讲解】数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用. 解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组来求，在根据函数的单调性判断时，要时刻注意n∈N*取值的离散性.
下列通项公式中，对应数列是递增数列的是　　
A． B．
C． D．
已知数列的前项的积为，且，2，3，，则数列　　
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
已知数列中，，则数列的最小项是　　
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式： 　．
①，，；
②单调递增．
已知数列的通项公式为，，且为单调递增数列，则实数的取值范围是 　 ．
设且，已知数列满足，且是递增数列，则的取值范围是 ．
已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 ．
若数列的通项公式是，且恒成立，则 ．
已知数列为递减数列，其前项和，则实数的取值范围是 ．
数列的最值
【要点讲解】数列的最值一般包括“项的最值”和“和的最值”．解决“项的最值”问题，一般有两种角度：(1)通过不等式组研究，如求最大项，则需满足
通过解不等式组得到n的范围，再结合n∈N*，确定具体项；(2)从项的“函数性”出发，以函数的视角从单调性出发得到最值．
解决“和的最值”问题，一般有两种角度：(1)从“通项”着手，研究通项的函数单调性和“变号”情况，从而确定“和的最值”；(2)从“和”的函数单调性出发，直接根据单调性得到最值．
在数列中，，则数列中的最大项是第 项．
在数列中，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是　　
A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第15项
若，则数列的最大项是第 项．
已知数列的通项公式为，设数列的最大项和最小项分别为，，则 ．
记为数列的前项和．若，2，，则　　
A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项
已知数列的前项和．
（1）求的最大值；
（2）求数列的通项公式．
已知等差数列中满足，，
（1）求通项公式；
（2）试求数列中的最大项与最小项．
数列的周期性
【要点讲解】(1)解决数列周期性问题，一般先写出前几项从而确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如an＋1＝，即f(x＋1)＝，由函数周期性相关结论可知该数列的一个周期为4.
(2)通项中函数和三角函数的数列的周期性问题的突破点往往从三角函数出发，根据正弦、余弦函数的最小正周期公式T＝得出三角函数的周期，研究该周期对数列通项的周期性变化的影响，通过“周期性并项”发现规律，从而解决问题．
数列中，，，，那么　　
A． B． C． D．
在数列中，已知，，则 ．
在数列中，已知，，记为数列的前项和，则　　
A．1 B．1010 C．1 D．2019
已知各项都为正数的等比数列，若，则 ；
一．选择题（共6小题）
1．若数列的前项和，则下列结论正确的是　　
A． B．
C． D．
2．已知函数，设数列的通项公式为，则下列选项错误的是　　
A．的值域是 B．的最小值为
C． D．数列是单调递增数列
3．已知数列中，，则数列的最小项是　　
A．第1项 B．第3项、第4项 C．第4项 D．第2项、第3项
4．记为数列的前项和．若，2，，则　　
A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项
C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项
5．若数列为，，，，，则是这个数列的　　
A．不在此数列中 B．第25项 C．第26项 D．第27项
6．已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共2小题）
7．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是　　
A．是递减数列 B．
C．当时， D．当或4时，取得最大值
8．已知数列的通项公式为，则　　
A．数列为递增数列 B．
C．为最小项 D．为最大项
三．填空题（共4小题）
9．已知数列的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令，则的最小值点 ．
10．已知数列为递增数列，．则的取值范围是 ．
11．已知数列的前项和，则数列的通项公式为 ．
12．，，，，，的一个通项公式是 ．
四．解答题（共4小题）
13．已知数列的通项公式为．
（1）数列中有多少项是负数？
（2）为何值时，有最小值？并求出最小值．
14．用1、2、3、4四个数字可重复地任意排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列．
（1）写出这个数列的第8项；
（2）这个数列共有多少项？
（3）若，求．
15．已知数列是公差不为0的等差数列，，且是，的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，求使成立的所有的值．
16．已知数列满足．
（1）数列是递增数列还是递减数列？为什么？
（2）证明：对一切正整数恒成立．专题02 等差数列
目录
题型一： 等差数列的基本运算 3
题型二： 等差数列的证明与判断 8
题型三： 等差数列的前n项和 11
题型四： “绝对值”求和 13
题型五： 等差数列中的恒成立 14
1．等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数.
(2)前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. 该式又可以写成Sn＝n2＋n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
3．等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0).
③{an}为等差数列 为等差数列.
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为＝ (bn≠0，T2n－1≠0).
常用结论与知识拓展
(1)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列.
(2)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
(3){an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.
等差数列的基本运算
【要点讲解】在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
已知数列为等差数列，若，，则　　
A．15 B．16 C．17 D．18
【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，
由，得，，
又，，即，
得．
．
故选：．
已知数列是等差数列，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为数列是等差数列，且，
所以，所以．
故选：．
在等差数列中，若，，则等于　　
A．20 B．25 C．30 D．33
【解答】解：根据题意，设等差数列的公差为，
若，，则有，解得，
则，
故选：．
在等差数列中，，，则　　
A． B． C． D．0
【解答】解：根据题意，等差数列中，有，
又由，，则；
故选：．
如果一个等差数列的相邻4项是，，，，那么，的值分别是　　
A．0，5 B．1，6 C．2，7 D．无法确定
【解答】解：一个等差数列的相邻4项是，，，，
公差为，，
，，，
即这个数列中的，的值分别为2，7，
故选：．
公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
等差数列的公差不为零，，
，错误，正确，
令，则，，，错误．
故选：．
在等差数列中，其前项和为，若，是方程的两个根，那么的值为　　
A．88 B． C．110 D．
【解答】解：在等差数列中，其前项和为，，是方程的两个根，
，
．
故选：．
在等差数列中，若，则　　
A．13 B．26 C．39 D．52
【解答】解：因为是等差数列，
所以，解得，
所以．
故选：．
已知等差数列的前项和为，，，则　　
A．55 B．60 C．65 D．75
【解答】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，，
．
故选：．
设等差数列的前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等差数列中，，，成等差数列，
即，
设，则，于是，解得，
所以．
故选：．
已知等差数列和的前项和分别为，，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，
，
等差数列和的前项和分别为，，，
，即，
．
故选：．
已知为等差数列，为其前项和，，，则　　
A．36 B．45 C．54 D．63
【解答】解：设等差数列的公差为，
，
则，
故，即，解得，
．
故选：．
已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．77 B．88 C．99 D．110
【解答】解：，，
则，解得，，解得，
，解得，
．
故选：．
等差数列的证明与判断
【要点讲解】证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).
已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是等差数列．
【解答】解：（1）设各项均为正数的等差数列的公差为，
，，
，解得，
，
，
数列的通项公式为；
（2）证明：由（1）知，，
，
，
数列是首项为，公差为的等差数列．
已知数列，其前项和为．
（1）求，．
（2）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
【解答】解：（1），根据，解得．
（2）证明：当时，．
又满足，
数列的通项公式为．
，为常数，
数列是以5为首项，3为公差的等差数列．
数列的前项和为．
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）若，求证：数列是等差数列．
【解答】证明：（1）当时，，
当时，，
综上，，其中，
所以当时，，
故数列是等差数列．
（2）当时，．
当时，有和，
所以．
即．
所以当时，有，，
从而，．
即，其中．
故数列是等差数列．
已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；
②数列是等差数列；
③数列是等比数列．
【解答】证明：若选①②③，设的公差为，
则，所以，
即，
故数列是以2为公比的等比数列，
所以，
所以；
①③②，设的公比为，，
则，
又，所以，
所以，
当时，，
时，适合上式，
故，，
所以数列是等差数列；
②③①，
因为数列是等差数列，则为常数，
所以为常数，设为，
所以，
因为数列是等比数列，
则，
故，
整理得，
解得或（舍，
所以．
等差数列的前n项和
【要点讲解】求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值. 无论用哪种方法，都要注意an＝0的情形.
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
由，，得，，解得，，
所以．
（2）方法一：由知是递增数列，
当时，；当时，．
所以，
所以当时，最小，最小值为．
方法二：，
又，所以当时，最小，最小值为．
已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
【解答】解：（1）设的公差为，则，
解得，
所以．
（2），
所以当或时，取得最小值，最小值为．
已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
则，解得：，
则的通项公式为；
（2）因为，
令得：，令得：，
故当时，取得最大值，
其中，，故最大值为．
“绝对值”求和
【要点讲解】在等差数列中，解决涉及“绝对值”求和问题的关键是，把握好通项的“变号”特征，根据“变号”特征分别讨论，求解过程中，由于含有绝对值，可以直接分段求解，也可以间接求解．
在公差为的等差数列中，已知，且．
（1）求，；
（2）若，求．
【解答】解：（1）由，，
，解得或，
当时，，
当时，；
（2）由，，
所以数列前10项为正数，第11项为0，从第12项起为负数，
所以．
已知数列是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前17项和．
【解答】解：（1）数列是等差数列，，．
由题意可知，，
故，
故数列的通项公式．
（2）令，解得，
当时，；当时，，
，
数列的前17项和为217．
等差数列中的恒成立
已知等差数列的前项和公式为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若对，恒成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，
且，则，
可得，，
所以．
（2）由（1）可得：，
则，
因为的开口向上，对称轴为，
且，则当时，取到最小值，
可得，即，
所以的取值范围为，．
已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）因为，
所以，解得，
所以公差，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，
所以当时，取得最小值，
因为对任意恒成立，所以，
故实数的取值范围为．
一．选择题（共6小题）
1．等差数列的前项和为，且，，则　　
A．45 B．49 C．56 D．63
【解答】解：等差数列的前项和为，且，，
，
解得，，
．
故选：．
2．设等差数列的前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：在等差数列中，，，成等差数列，
即，
设，则，于是，解得，
所以．
故选：．
3．已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和　　
A．5 B．45 C．55 D．110
【解答】解：设等差数列的公差为，
由题意知，，
所以，
解得或（舍去），
所以，
所以．
故选：．
4．已知等差数列，，，，的公差为，则，，，，为常数且，是　　
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．非等差数列 D．公差为的等差数列
【解答】解：由题意，可得
，
，，，，是公差为的等差数列，
故选：．
5．已知等比数列的前项和为，且数列，2，是等差数列，则　　
A．1或 B．2或 C．2或 D．或
【解答】解：设等比数列的公比为，由，，成等差数列，可得，
即，化简得，解得或．
当时，；当时，．
故选：．
6．在等差数列中，若，，则　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设等差数列的公差为，
由，，
可得；
故．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．已知数列为等差数列，若，且数列的前项和有最大值，则下列结论正确的是　　
A．中的最大值为 B．的最大值为
C． D．
【解答】解：因为数列的前项和有最大值且，
所以，
所以，，，中的最大值，错误；
的最大值为，正确；
，错误；
，正确．
故选：．
8．已知两个等差数列，的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：因为，
所以
，
要使为整数，则为整数，即为整数，
所以的取值可以是1，2，4，不可能为3，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知等差数列的前项和为，若，，则等于 　42　．
【解答】解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，，
由等差中项的性质可得．
故答案为：42．
10．已知是等差数列，，，则　5　．
【解答】解：由，得，
所以．
故答案为：5．
11．记为等差数列的前项和．若，，则　144　．
【解答】解：设等差数列的公差为，
则解得，，
所以．
故答案为：144．
12．若关于的方程和，，且的四个根组成首项为的等差数列，则的值为 　　．
【解答】解：设方程 的根是，，方程 的根是，，
，，
四个根排成等差数列，不妨设为，，，，
则，于是，，
，因此，，
，．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值．
注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】解：（1）选①，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，，
数列的通项公式为；
选②，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，，
数列的通项公式为；
选③，设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，，
数列的通项公式为；
（2），，
，
时，取得最大值为49．
14．在等差数列中满足，，．
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若数列的前项的和为，判断是否有最小值，若有最小值，求此时的值；若没有最小值，说明理由．
【解答】解：由题意得，
解得，，
所以；
（2）由（1）得，
故当或7时，取得有最小值．
15．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式和；
（2）求的值．
【解答】解：设等差数列的公差为，
由，，得，即．
（1），；
（2）．
16．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求证数列是等差数列．
【解答】解：（1），，
当时，，
将代入上式，可得，故时满足上式，
；
（2）证明：，，
，且，
是以3为首项，1为公差的等差数列．专题02 等差数列
目录
题型一： 等差数列的基本运算 3
题型二： 等差数列的证明与判断 5
题型三： 等差数列的前n项和 7
题型四： “绝对值”求和 9
题型五： 等差数列中的恒成立 10
1．等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an－an－1＝d(n∈N＋，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N＋).
(2)等差中项：若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d. 该式又可以写成an＝nd＋(a1－d)，这表明d≠0时，an是关于n的一次函数，且d>0时是增函数，d<0时是减函数.
(2)前n项和公式：Sn＝＝na1＋d. 该式又可以写成Sn＝n2＋n，这表明d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
3．等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0).
③{an}为等差数列 为等差数列.
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为＝ (bn≠0，T2n－1≠0).
常用结论与知识拓展
(1)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列.
(2)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值.
②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值.
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
(3){an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.
等差数列的基本运算
【要点讲解】在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
已知数列为等差数列，若，，则　　
A．15 B．16 C．17 D．18
已知数列是等差数列，且，则　　
A． B． C． D．
在等差数列中，若，，则等于　　
A．20 B．25 C．30 D．33
在等差数列中，，，则　　
A． B． C． D．0
如果一个等差数列的相邻4项是，，，，那么，的值分别是　　
A．0，5 B．1，6 C．2，7 D．无法确定
公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是　　
A． B． C． D．
在等差数列中，其前项和为，若，是方程的两个根，那么的值为　　
A．88 B． C．110 D．
在等差数列中，若，则　　
A．13 B．26 C．39 D．52
已知等差数列的前项和为，，，则　　
A．55 B．60 C．65 D．75
设等差数列的前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
已知等差数列和的前项和分别为，，若，则　　
A． B． C． D．
已知为等差数列，为其前项和，，，则　　
A．36 B．45 C．54 D．63
已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知等差数列的前项和为，若，，则　　
A．77 B．88 C．99 D．110
等差数列的证明与判断
【要点讲解】证明等差数列的常用方法：(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数；(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通项公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常数)；(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常数).
已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明数列是等差数列．
已知数列，其前项和为．
（1）求，．
（2）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
数列的前项和为．
（1）若，求证：数列是等差数列；
（2）若，求证：数列是等差数列．
已知数列的各项均为正数，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①；
②数列是等差数列；
③数列是等比数列．
等差数列的前n项和
【要点讲解】求等差数列前n项和最值的主要方法：①利用等差数列的基本性质或单调性求出其正负转折项，便可求得和的最值；②将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作关于n的二次函数，根据二次函数的性质求最值. 无论用哪种方法，都要注意an＝0的情形.
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值．
已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求的最小值及取得最小值时的值．
已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值．
“绝对值”求和
【要点讲解】在等差数列中，解决涉及“绝对值”求和问题的关键是，把握好通项的“变号”特征，根据“变号”特征分别讨论，求解过程中，由于含有绝对值，可以直接分段求解，也可以间接求解．
在公差为的等差数列中，已知，且．
（1）求，；
（2）若，求．
已知数列是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前17项和．
等差数列中的恒成立
已知等差数列的前项和公式为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若对，恒成立，求的取值范围．
已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
一．选择题（共6小题）
1．等差数列的前项和为，且，，则　　
A．45 B．49 C．56 D．63
2．设等差数列的前项和为，若，则　　
A． B． C． D．
3．已知是各项不相等的等差数列，若，且，，成等比数列，则数列的前10项和　　
A．5 B．45 C．55 D．110
4．已知等差数列，，，，的公差为，则，，，，为常数且，是　　
A．公差为的等差数列 B．公差为的等差数列
C．非等差数列 D．公差为的等差数列
5．已知等比数列的前项和为，且数列，2，是等差数列，则　　
A．1或 B．2或 C．2或 D．或
6．在等差数列中，若，，则　　
A．8 B．9 C．10 D．11
二．多选题（共2小题）
7．已知数列为等差数列，若，且数列的前项和有最大值，则下列结论正确的是　　
A．中的最大值为 B．的最大值为
C． D．
8．已知两个等差数列，的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
三．填空题（共4小题）
9．已知等差数列的前项和为，若，，则等于 ．
10．已知是等差数列，，，则 ．
11．记为等差数列的前项和．若，，则 ．
12．若关于的方程和，，且的四个根组成首项为的等差数列，则的值为 ．
四．解答题（共4小题）
13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
设等差数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值．
注：作答前请先指明所选条件，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
14．在等差数列中满足，，．
（1）求等差数列的通项公式；
（2）若数列的前项的和为，判断是否有最小值，若有最小值，求此时的值；若没有最小值，说明理由．
15．记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式和；
（2）求的值．
16．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求证数列是等差数列．专题03 等比数列
目录
题型一： 等比数列的基本运算 4
题型二： 等比数列中的最值问题 9
题型三： 等比数列实际应用 10
题型四： 等比数列的证明与判断 12
题型五： 等比数列求通项与求和 14
题型六： 等比数列的最值和范围问题 17
1．等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.
(2)前n项和公式：
Sn＝
当q≠1时，该式又可以写成Sn＝－·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点.
3．等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝a.
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；仍为等比数列，且公比为.
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lg an}是等差数列，首项为lg a1，公差为lg q.
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.
③在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
④在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.
4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1＜0,0(2)当a1>0,01时，等比数列{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，它是一个常数列．
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
常用结论与知识拓展
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列．
2．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
3．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
即若Sn＝Aqn＋B(AB≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列 A＋B＝0.
等比数列的基本运算
【要点讲解】方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
分类讨论的思想：当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则的值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，4成等差数列，
；
，，，，4成等比数列，
，又，
；
．
故选：．
等比数列为递减数列，若，，则　　
A． B． C． D．6
【解答】解：由为等比数列，得，又，
，为方程的两个根，
解得，或，，
由为递减数列得，，，
，
则．
故选：．
等比数列的各项均为正数，且，则　　
A．20 B．15 C．8 D．
【解答】解：是等比数列，
，
又，
，
．
故选：．
设数列为等比数列，若，，则数列的前6项和为　　
A．18 B．16 C．9 D．7
【解答】解：因为数列为等比数列，，，
所以，
所以，，
则数列的前6项和为．
故选：．
若各项均为正数的等比数列满足，则公比　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，设等比数列的公比为，
若，则，
变形可得：，
解可得：或（舍；
故选：．
已知等比数列为递减数列，若，，则　　
A． B． C． D．6
【解答】解：由为等比数列，得，又，
，为方程的两个根，
解得，或，，
由为递减数列得，，，
，
则．
故选：．
已知等比数列的各项均为正数，若，，则　　
A． B． C．27 D．
【解答】解：设的公比为，则，，．
因为，所以，
因为，所以，
所以．
因为的各项均为正数，
所以，
因为，所以．
故选：．
已知等比数列的前项和为，，且，则　　
A．3 B．5 C．30 D．45
【解答】解：等比数列中，，且，
所以，，
解得，，
则．
故选：．
已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为　　
A．12 B．22 C．26 D．32
【解答】解：设等比数列的前项和为，公比为，
则，，则，
而，，，
故，
所以数列前6项和为．
故选：．
已知正项等比数列中，，则　　
A．1012 B．2024 C． D．
【解答】解：是等比数列，且，
，
．
故选：．
已知是等比数列的前项和，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，，
，
又是等比数列，所以，即，解得，所以．
当时，，又满足，
对任意的，，故数列是公比为2的等比数列，
所以，，故数列是公比为4，首项为的等比数列，
所以．
故选：．
已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则　　
A．3 B． C． D．13
【解答】解：等比数列各项均为正数，，的前项和为，
，
解得，
则．
故选：．
记为等比数列的前项和，若，，则　　
A．120 B．85 C． D．
【解答】解：等比数列中，，，显然公比，
设首项为，则①，②，
化简②得，解得或（不合题意，舍去），
代入①得，
所以．
故选：．
记为等比数列的前项和，若，，则　　
A．6 B． C． D．18
【解答】解：设等比数列的公比为，
若，则由得，，不合题意；
故，则由得，
则，所以，
因为，所以，
所以．
故选：．
在等比数列中，，，则　　
A． B． C．32 D．64
【解答】解：设等比数列的公比为，
则，
即，解得，
所以．
故选：．
等比数列中的最值问题
已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为　　
A．8 B． C． D．10
【解答】解：由正项等比数列 可知，，成等比数列，
则，
又，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为．
故选：．
在等比数列中，，则的最小值是　　
A．12 B．24 C．36 D．48
【解答】解：的公比是，则，．
因为，所以，．
由等比数列的性质可得，
则，当且仅当时，等号成立．
故选：．
在正项等比数列中，，则的最小值是　　
A．12 B．18 C．24 D．36
【解答】解：在正项等比数列中，，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值是24．
故选：．
等比数列实际应用
《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，
所以前5项和为．
故选：．
在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则第五天走的路程为　　里．
A．6 B．12 C．24 D．48
【解答】解：根据题意：，，
所以，
故．
故选：．
如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，将正方形面积按作法次序排成一列得数列，，
因为后一个正方形边长是相邻前一个正方形边长的，
因此，即数列是等比数列，公比，
所以前10个正方形的面积之和．
故选：．
等比数列的证明与判断
【要点讲解】等比数列的四种常用判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项 和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足．
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
【解答】（1）证明：因为数列为等差数列，，，
所以，
，
则，
则，，
故数列是以1为首项，以为公差的等差数列；
（2）假设数列中的任意不同的三项，，构成等比数列，
则，
即，
则，
故，即，与假设矛盾，
故数列中的任意三项均不能构成等比数列．
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，问：数列中是否存在互不相同的三项，，构成等比数列？若存在，求出一组符合题意的项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
由题意得，，
，
故．
（2）由（1）得，，
假设数列中存在互不相同的三项，，构成等比数列，
则，即，
，
，，，，
，，
，与矛盾，
故数列中不存在互不相同的三项，，构成等比数列．
已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点，均在函数图像上．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：中任何不同三项不构成等差数列．
【解答】证明：（1）点，均在函数图像上，
则，
故，
，
故是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）因为，
当时，，
时，，
故，，且从第二项起严格增，
假设存在使得，，成等差数列，则，
即，等式左边为偶数，右边为奇数，故假设不成立．
故中任何不同三项不构成等差数列．
等比数列求通项与求和
【要点讲解】判断数列{an}是等比数列的常用方法与证明数列{an}是等比数列的方法基本一致，通常有四种方法：定义法、中项公式法、通项公式法和前n项和公式法，值得注意的是，若要判断的数列不是等比数列，往往通过特殊验证(举反例)来进行否定即可．
等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，若，求．
【解答】解：（1）设的公比为，由题设得，
由已知得，即，
解得（舍去），或，
故或；
（2）若，则，
由得，此方程没有正整数解．
若，则，
由得，解得，
综上所述，．
已知等比数列的前项和为，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）求的值．
【解答】解：（1）由已知可知．
因为，，所以，
即，解得，
则有：；
（2）由（1）知，则，
所以，且，
所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，
所以．
已知等比数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列中，满足，求数列的前项和．
【解答】解：（1）记等比数列的公比为，由可知，
，，
解得，，所以数列的通项公式为．
（2），
．
等差数列中，，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的，，组合，并求数列的通项公式；
（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
①，，，此时等差数列，，，
所以其通项公式为．
②，，，此时等差数列，，，
所以其通项公式为．
（2）若选择①，．
则．
若，，成等比数列，则，
即，整理，得，
此方程无正整数解，故不存在正整数，使，，成等比数列．
若选择②，，
则，
若，，成等比数列，则，
即，整理得，因为为正整数，所以，．
故存在正整数，使，，成等比数列．
等比数列的最值和范围问题
【要点讲解】等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量a1，q等，充分运用方程、函数、转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域.
已知正项等比数列满足条件，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）设正项等比数列的公比为，
，，
，，
，，
．
（Ⅱ）随着的增大而减小，
最大时，需要是最后一项为大于1的数，
当时，即，，
当 时，有最大值．
已知数列为等比数列，其前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的正整数的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：等比数列的公比，
又，所以，解得，
所以；
（2），
令，解得，
所以使得成立的正整数的最大值为3．
设正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项积为，求使得取得最大值的的值．
【解答】解：（1）正项等比数列中，，，
所以，
所以，
解得或（舍，
则，
故；
（2）因为，，
故当时，取得最大值．
一．选择题（共6小题）
1．等比数列为递减数列，若，，则　　
A． B． C． D．6
【解答】解：由为等比数列，得，又，
，为方程的两个根，
解得，或，，
由为递减数列得，，，
，
则．
故选：．
2．已知等比数列的前项和为，且，若，，则　　
A．90 B．135 C．150 D．180
【解答】解：由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，
，即，
整理可得，
解得（舍或，
，
有，
解得．
故选：．
3．已知等比数列的各项均为正数，公比，，则　　
A．12 B．15 C．18 D．21
【解答】解：因为等比数列的各项均为正数，公比，
，，
又，
所以，
所以，即，
解得或（舍去），
所以．
故选：．
4．在等比数列中，且，则　　
A．16 B．8 C．4 D．2
【解答】解：等比数列中，且，由等比中项的性质可得：，
可得，
故选：．
5．已知是等比数列的前项和，且，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，，
，
又是等比数列，所以，即，解得，所以．
当时，，又满足，
对任意的，，故数列是公比为2的等比数列，
所以，，故数列是公比为4，首项为的等比数列，
所以．
故选：．
6．已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：是等比数列，设公比为，
对于①，可得，故数列是等比数列，①正确；
对于②，，故，，则，②错误；
对于③，，若得，不符合等比数列的性质，③错误；
对于④，，
若，此时，即是递增数列，
若，此时，即是递增数列，
故④正确．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．记为等比数列的前项和，则　　
A．是等比数列
B．是等比数列
C．，，成等比数列
D．，，成等比数列
【解答】解：为等比数列的前项和，设公比为，则，
是以为首项，以为公比的等比数列，故正确；
，是以为首项，以为公比的等比数列，故正确；
，，，
当时，，，，
，，不成等比数列，故错误；
对于数列1，，1，，1，，，
，，，显然，，，，
不能构成等比数列，故，，不一定成等比数列，故错误，
故选：．
8．等比数列的公比为（常数），其前项的和为，则下列说法正确的是　　
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．是等差数列 D．，，成等差数列
【解答】解：设数列首项为，，．
选项，因，则当且仅当，即为常数列时，数列是等比数列，故错误；
选项，因为常数，则数列是等比数列，故正确；
选项，因，则为常数，即是等差数列，故正确；
选项，若，则，此时，，成等差数列；
若，，．
令，则．
综上，当且仅当时，，，成等差数列，故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．设等比数列的前项和为，写出一个满足下列条件的的公比　2（答案不唯一）　．
①，②是递增数列，③．
【解答】解：由等比数列的通项公式可得，则，
因为，且是递增数列，所以，
因为，所以，即，
因为，所以，解得，
综上．
故答案为：2（答案不唯一）．
10．在等比数列中，，，则公比为 　2　．
【解答】解：当时，，无实数解；
当时，由题知，，
两式相除得，即，解得．
综上，．
故答案为：2．
11．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为 　880　．
【解答】解；设等比数列的公比为，
则，所以，
则左起第61个键的音的频率为．
故答案为：880．
12．已知等比数列满足．能说明“若，则”为假命题的数列的通项公式　　（写出一个即可）
【解答】解：，时，满足，则”为假命题，
故．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
13．在递增的等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解答】解：（1）根据题意，设等比数列的公比为，
则有，
解可得，，
故，
（2）由（1）可得，则，
故．
14．（1）已知是等比数列，，．求的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，若，求．
【解答】解：（1）设等比数列的公比为，
则，
即，
故，
故数列的通项公式；
（2）当时，
，
当时，
，
也满足，
故．
15．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，证明：数列是等比数列．
【解答】证明：设等比数列的公比为，则，
，
，
，，，
，
，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列．
16．在等比数列中，
（1）已知，求前4项和；
（2）已知公比，前5项和，求，．
【解答】解：（1）设公比为，由，
的，所以，
所以；
（2）由，得，
所以．等比数列
目录
题型一： 等比数列的基本运算 4
题型二： 等比数列中的最值问题 6
题型三： 等比数列实际应用 6
题型四： 等比数列的证明与判断 7
题型五： 等比数列求通项与求和 9
题型六： 等比数列的最值和范围问题 11
1．等比数列的概念
(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即＝q(n∈N*)，或＝q(n∈N*，n≥2).
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1. 该式又可以写成an＝·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.
(2)前n项和公式：
Sn＝
当q≠1时，该式又可以写成Sn＝－·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋A图象上一群孤立的点.
3．等比数列的性质
(1)与项有关的性质
①在等比数列{an}中，an＝amqn－m(n，m∈N*).
②在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，m，n，p，q，k∈N*，则aman＝apaq＝a.
③在公比为q的等比数列{an}中，取出项数成等差数列的项ak，ak＋d，ak＋2d，…，仍可组成一个等比数列，公比是qd.
④m个等比数列，由它们的各对应项之积组成一个新数列，仍然是等比数列，公比是原来每个等比数列对应的公比之积.
⑤若{an}，{bn}均为等比数列，公比分别为q1，q2，则{kan}(k≠0)仍为等比数列，且公比为q1；{anbn}仍为等比数列，且公比为q1q2；仍为等比数列，且公比为.
⑥当{an}是公比为q(q>0)的正项等比数列时，数列{lg an}是等差数列，首项为lg a1，公差为lg q.
(2)与和有关的性质
①等比数列连续k项的和仍为等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，仍为等比数列，且公比为qk(q≠－1，或q＝－1且k为奇数).
②在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q.
③在等比数列中，当qm≠1时，＝，n，m∈N*.
④在等比数列中，Sn＋m＝Sn＋qnSm，n，m∈N*.
4．等比数列的单调性
(1)当a1>0，q>1或a1＜0,0(2)当a1>0,01时，等比数列{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，它是一个常数列．
(4)当q<0时，它是一个摆动数列.
常用结论与知识拓展
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列．
2．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
3．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
即若Sn＝Aqn＋B(AB≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列 A＋B＝0.
等比数列的基本运算
【要点讲解】方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
分类讨论的思想：当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则的值等于　　
A． B． C． D．
等比数列为递减数列，若，，则　　
A． B． C． D．6
等比数列的各项均为正数，且，则　　
A．20 B．15 C．8 D．
设数列为等比数列，若，，则数列的前6项和为　　
A．18 B．16 C．9 D．7
若各项均为正数的等比数列满足，则公比　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知等比数列为递减数列，若，，则　　
A． B． C． D．6
已知等比数列的各项均为正数，若，，则　　
A． B． C．27 D．
已知等比数列的前项和为，，且，则　　
A．3 B．5 C．30 D．45
已知等比数列的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为　　
A．12 B．22 C．26 D．32
已知正项等比数列中，，则　　
A．1012 B．2024 C． D．
已知是等比数列的前项和，且，则　　
A． B． C． D．
已知等比数列各项均为正数，，的前项和为，则　　
A．3 B． C． D．13
记为等比数列的前项和，若，，则　　
A．120 B．85 C． D．
记为等比数列的前项和，若，，则　　
A．6 B． C． D．18
在等比数列中，，，则　　
A． B． C．32 D．64
等比数列中的最值问题
已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为　　
A．8 B． C． D．10
在等比数列中，，则的最小值是　　
A．12 B．24 C．36 D．48
在正项等比数列中，，则的最小值是　　
A．12 B．18 C．24 D．36
等比数列实际应用
《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山．问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？　　
A． B． C． D．
在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则第五天走的路程为　　里．
A．6 B．12 C．24 D．48
如图，正方形的边长为5，取正方形各边的中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和等于　　
A． B． C． D．
等比数列的证明与判断
【要点讲解】等比数列的四种常用判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项 和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列
已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足．
求证：
（1）数列为等差数列；
（2）数列中的任意三项均不能构成等比数列．
已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，问：数列中是否存在互不相同的三项，，构成等比数列？若存在，求出一组符合题意的项；若不存在，请说明理由．
已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点，均在函数图像上．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：中任何不同三项不构成等差数列．
等比数列求通项与求和
【要点讲解】判断数列{an}是等比数列的常用方法与证明数列{an}是等比数列的方法基本一致，通常有四种方法：定义法、中项公式法、通项公式法和前n项和公式法，值得注意的是，若要判断的数列不是等比数列，往往通过特殊验证(举反例)来进行否定即可．
等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和，若，求．
已知等比数列的前项和为，，．
（1）求等比数列的通项公式；
（2）求的值．
已知等比数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列中，满足，求数列的前项和．
等差数列中，，，分别是如表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在如表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的，，组合，并求数列的通项公式；
（2）记（1）中您选择的的前项和为，判断是否存在正整数，使得，，成等比数列，若有，请求出的值；若没有，请说明理由．
等比数列的最值和范围问题
【要点讲解】等比数列中的最值(范围)问题，要抓住基本量a1，q等，充分运用方程、函数、转化等数学思想，合理调用相关知识构造函数，再用基本不等式法、单调性法等求值域.
已知正项等比数列满足条件，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求的最大值．
已知数列为等比数列，其前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）求使成立的正整数的最大值．
设正项等比数列的前项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）记的前项积为，求使得取得最大值的的值．
一．选择题（共6小题）
1．等比数列为递减数列，若，，则　　
A． B． C． D．6
2．已知等比数列的前项和为，且，若，，则　　
A．90 B．135 C．150 D．180
3．已知等比数列的各项均为正数，公比，，则　　
A．12 B．15 C．18 D．21
4．在等比数列中，且，则　　
A．16 B．8 C．4 D．2
5．已知是等比数列的前项和，且，则　　
A． B． C． D．
6．已知数列是等比数列，则下列结论：①数列是等比数列；②若，，则；③若数列的前项和，则；④若，则数列是递增数列；其中正确的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共2小题）
7．记为等比数列的前项和，则　　
A．是等比数列
B．是等比数列
C．，，成等比数列
D．，，成等比数列
8．等比数列的公比为（常数），其前项的和为，则下列说法正确的是　　
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．是等差数列 D．，，成等差数列
三．填空题（共4小题）
9．设等比数列的前项和为，写出一个满足下列条件的的公比 ．
①，②是递增数列，③．
10．在等比数列中，，，则公比为 ．
11．88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数列．若中音（左起第49个键）的频率为，钢琴上最低音的频率为，则左起第61个键的音的频率为 ．
12．已知等比数列满足．能说明“若，则”为假命题的数列的通项公式 （写出一个即可）
四．解答题（共4小题）
13．在递增的等比数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
14．（1）已知是等比数列，，．求的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，若，求．
15．已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，证明：数列是等比数列．
16．在等比数列中，
（1）已知，求前4项和；
（2）已知公比，前5项和，求，．专题04 求数列通项公式
目录
题型一： 累加/累乘 1
题型二： 求和公式 2
题型三： 3
题型四： 4
题型五： 4
题型六： 5
题型七： 同除、平衡指数、因式分解 5
累加/累乘
【要点讲解】
已知数列，其中，满足，试求数列的通项
【解答】
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
解法：
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】
求和公式
【要点讲解】
已知数列，满足，试求数列的通项
【解答】
①当时，
②当时，，作差可得
很明显，时也成立，故而数列的通项公式为：。
已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。
【解答】
①当时，，解得
②当时，，作差可得，化简可得：
故而数列是以3为首项，以2位公差的等差数列，即。
已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。
【解答】
当时，；
当时，，作差可得，化简可得：
很明显，时也成立，故而数列的通项公式为：。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】设，化简可得，对比原式可得，代入假设的式子可得：，故而可得数列是以4为首项，以2为公比的等比数列，故而
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】设，化简可得，对比原式可得，代入假设的式子可得：，故而可得数列是以-2为首项，以2为公比的等比数列，故而
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】将递推公式两边同时取倒数可得，故而可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，故而。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】将两边同时加1可得，同时取倒数，将式子右侧化简可得，假设，故而可得，为线性数列。根据线性数列的性质可得，数列是以为首项，以2为公比的等比数列，故而可得，亦即化简可得，。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】将根据递推公式可得，故而数列是以-3为首项，以3为公比的等比数列，故而可得，根据线性数列的性质可得：，故而数列是以5为首项，以2为公比的等比数列，故而可得。
同除、平衡指数、因式分解
【解答】已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
递推公式可化简为，两边同除，化简可得。故而数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，故而可得，，化简可得。
已知正项数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】观察到递推公式存在根式，故而两边同时加1可得化简可得，故而数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，故而可得，，化简可得。
已知正项数列，其中，满足，试求数列的通项。
【解答】将递推公式因式分解可得，因为正项数列，故而可得化简为，由线性数列的性质可得，故而数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，此时。
一．选择题（共6小题）
1．已知数列满足，则　　
A．当时，则
B．当时，则
C．当时，则
D．当时，则
【解答】解：，
，即，
对于：当时，，故，故错误；
对于：当时，，故，故错误；
对于：当时，，，故错误；
对于，由于，所以，所以，同理可推，
当时，，成立，
假设当时成立，，即，
当时：，
由于，所以，
所以成立，
故恒成立，得证．
故选：．
2．已知数列的前项和为，且满足，若，则　　
A．2027 B．1012 C．1013 D．1014
【解答】解：，
当时，，
当时，，
故数列从第2项开始都是偶数，而是奇数，
故正整数和其中必有一个等于，另一个就是，
故．
故选：．
3．在数列中，若，，则　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为，，
所以，，
，
所以数列为周期数列，周期为3，
则，
故选：．
4．数列满足，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：数列满足，①
当时，，②
①②得：，，
由①得适合上式，
故，
，
故选：．
5．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则　　
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
【解答】解：数列是“等比差”数列，
，
，，
，
，
由累加法得，
，
由累乘法得，
．
故选：．
6．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为　　
A． B．4 C．3 D．2
【解答】解：各项为正的数列的前项和为，满足，①
，，
当时，，②
①②整理得：，
可得，舍）
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为2，
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．对于数列，若，，则下列说法正确的是　　
A． B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【解答】解：对于数列，已知，，①
则，②
由②①可得：，
又，
即数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
则，，
对于选项，，即选项正确；
对于选项，，，，数列不是等差数列，即选项错误；
对于选项，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，即选项正确；
对于选项，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则，即选项正确．
故选：．
8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：对于，，
，，，，，，，即，故正确；
对于，
，故正确；
对于，，，
，
，即，故正确；
对于，
，，，，
将以上各式相加得，
，即，
，故错误，
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：因为，两边取倒数可得，
变形可得，所以数列是等比数列，且首项为，公比为2，所以，
则，又，数列为递增数列，
所以，即．
当时，，即，解得．
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
10．已知为数列的前项和，且，若，则　8　．
【解答】解：已知为数列的前项和，且，
则，
则，
即，
又，
则．
故答案为：8．
11．已知数列的前项和为，且，则　　．
【解答】解：因为，
所以当时，，两式相减得，整理得，
即时，，
又当时，，解得，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以．
故答案为：．
12．已知数列的前项和为正整数），则此数列的通项公式　　．
【解答】解：已知数列的前项和为正整数），
则当时，，
又，
即．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
13．已知等差数列的前项和为，，．数列的前项和为，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的最大项．
【解答】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则，所以，
所以，
因为，
当时，，则，所以；
当时，，所以，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以；
（2）因为，所以，，，
当时，，
因为在时单调递减，所以，
所以当时，，即，
所以，
所以数列 的最大项为．
14．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值．
【解答】解：（1）由题意，，，，，，
，，，
所以，
又，，都符合上式，所以，
所以当，，
又符合上式，所以；
（2）结合（1）可知，，
设数列的前项和，则，
因为每一项都为正，所以是单调递增的，
又，，
所以所求最小正整数为11．
15．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若存在正整数，使得成立，求的值．
【解答】解：（1），
，
两式相减可得，
等比数列的各项均为正数，；
设公比为，则，
解得，即，
当时，，
解得，；
（2）若存在正整数，使得，
即，，
解得，存在，使得．
16．30．设数列的前项和是，且满足．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值．
【解答】解：（1），解得；
（2），时，，
两式作差得到，
即，由于，
所以是以1为首项，为公比的等比数列，
所以；
（3），由题意，，
，，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
，，，
由题意只需，即，
所以整数的最小值为14．专题04 求数列通项公式
目录
题型一： 累加/累乘 1
题型二： 求和公式 3
题型三： 3
题型四： 4
题型五： 4
题型六： 5
题型七： 同除、平衡指数、因式分解 5
累加/累乘
【要点讲解】
已知数列，其中，满足，试求数列的通项
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
求和公式
【要点讲解】
已知数列，满足，试求数列的通项
已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。
已知正项数列，满足，试求数列的通项公式。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知数列，其中，满足，试求数列的通项。
同除、平衡指数、因式分解
已知正项数列，其中，满足，试求数列的通项。
已知正项数列，其中，满足，试求数列的通项。
一．选择题（共6小题）
1．已知数列满足，则　　
A．当时，则
B．当时，则
C．当时，则
D．当时，则
2．已知数列的前项和为，且满足，若，则　　
A．2027 B．1012 C．1013 D．1014
3．在数列中，若，，则　　
A． B．1 C． D．2
4．数列满足，则等于　　
A． B． C． D．
5．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列．已知“等比差”数列中，，，则　　
A．1763 B．1935 C．2125 D．2303
6．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为　　
A． B．4 C．3 D．2
二．多选题（共2小题）
7．对于数列，若，，则下列说法正确的是　　
A． B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
8．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是　　
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为 　　．
10．已知为数列的前项和，且，若，则　　．
11．已知数列的前项和为，且，则　　．
12．已知数列的前项和为正整数），则此数列的通项公式　　．
四．解答题（共4小题）
13．已知等差数列的前项和为，，．数列的前项和为，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的最大项．
14．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）为满足的的个数，求使成立的最小正整数的值．
15．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若存在正整数，使得成立，求的值．
16．30．设数列的前项和是，且满足．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）若数列的通项公式是（其中常数是整数），对于任意，都有成立，求整数的最小值．专题05 数列求和
目录
题型一： 等差、等比数列性质求和 3
题型二： 倒序相加求和 7
题型三： 错位相减法求和 9
题型四： 裂项相消法求和 14
题型五： “奇偶项”求和 17
题型六： 与两数列“相同项”有关的求和 20
1．特殊数列的求和公式
(1)等差数列前n项和公式：
Sn＝＝na1＋.
(2)等比数列前n项和公式：
Sn＝
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
常用结论与知识拓展
常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝
.
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)＝－.
等差、等比数列性质求和
已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求的前项和．
【解答】解：（1）由题意，不妨设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，解得，
，注意到，，解得，
因此的通项公式为，的通项公式为；
（2）由（1）可知，，，
由题意有，
当，时，有，
有，
以上两式作差得
，
当时，有，
综上所述：的前项和为．
设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，．若，，成等比数列．
（1）求及；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）设数列的公差为，，且，，成等比数列，
，解得，
，；
（2），
则数列的前项和
．
记递增的等差数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列的公差为，
因为，所以，
由得，，
所以，解得，
所以，
所以，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
所以．
等差数列的前项和为，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求证数列为等比数列，并求其前项和．
【解答】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
化简整理，得，
解得，
，．
（2）证明：由（1）可得，，
则，
，
数列是以8为首项，4为公比的等比数列，
．
已知数列为等比数列，在数列中，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
【解答】解：（1）设数列的公比为，
由，知，为常数，
所以数列是等差数列，设其公差为，
由，，知，
所以，且，
故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
若，则，
所以，
所以．
已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，因为是和的等比中项，
得，即，
化简得，
又，即，
化简得，则，，，
故．
（2）因为①，
则时，，，
；
故当时，②，
①②的得，，而不适合该式，
故，又，所以，
则数列是从第二项起，公比为的等比数列，
时，，
故，
，
，
经检验，时，符合，
综上：，
倒序相加求和
【要点讲解】如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，则　　．
【解答】解：由，可得，
所以，
由，
可得（1），
上面两式相加可得（1）（1）
，
则．
故答案为：．
德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．现有函数，则（1）（2）等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数，
则（1）（2）（3）．
故选：．
设函数，，．则数列的前项和　　．
【解答】解：函数，，解得．
，
，．
，
相加可得：，解得，
则数列的前项和．
故答案为：．
已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为 　2022　．
【解答】解：由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
，
因此数列的前2022项和为．
故答案为：2022．
错位相减法求和
【要点讲解】(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
已知数列，的前项和分别为，，且满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的取值范围．
【解答】解：（1）由已知，所以，
当时，，
两个等式相减得，
整理可得，
即，，，，，
等式左右分别相乘可得，
因为，所以，
（2）由（1）得，
所以，
，
上面两式相减可得，
即，
所以，
则，
恒成立，
所以是关于的增函数，且，
所以，所以，即．
记数列的前项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）若对任意，，求的最小整数值．
【解答】解：（1）因为，
所以，
两式相减得，即，
又，所以，
所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以；
（2）因为，设，
所以，，
两式相减得：，
，
所以，
因为，所以的最小整数值是2．
已知数列满足，数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）依题意，当时，
由，
可得，
两式相减，可得，
即，
当时，，解得，
也适合，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
数列满足，
数列为等比数列，设公比为，
则，
，
即，．
（2）由（1），可得，
，
，
两式相减，
可得
，
．
已知数列为递增的等差数列，为的前项和，，，．
（1）若数列为等差数列，求非零常数的值；
（2）在（1）的条件下，，求的前项和．
【解答】解：（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，
解得（舍去），或，
公差，
首项，
，
，
数列为等差数列，且，
．
（2）由（1），可知，
则，，
，
，
两式相减，
可得
，
．
裂项相消法求和
【要点讲解】利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误．
(3)掌握常见的裂项相消的公式．
已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）证明：数列是公差为2的等差数列；
（Ⅱ）设数列的前项的和为，若．证明．
【解答】证明：（Ⅰ）依题意，由数列是公差为1的等差数列，
可知，
故，，
则当时，
，
当时，也满足上式，
，，
数列是公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ），可知，
解得，
则，
，
，
故不等式对任意恒成立．
在等比数列中，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集．
【解答】解：（1）设数列的公比为，
，，成等差数列，
，即，
又，
则，即，，解得，
数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则，
，
又，则，即，，
即，，解得，2，3，4，5，
不等式的解集为，2，3，4，．
在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式和前项和；
（2）设，求数列的前项和公式．
【解答】解：（1）在公差不为零的等差数列中，，又，，成等比数列，
则，即，解得，，
则，
；
（2）由（1）得，则，
可得数列的前项和．
数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明．
【解答】解：（1），即，
当时，，，，，
由累加法得，
，
又当时，也符合上式，
故；
（2）证明：由（1）得，
则，
．
“奇偶项”求和
【要点讲解】数列“奇偶项”的求和常常采用的策略：“奇偶分组”分别求和、“奇偶并项”求和．
已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以，
设等差数列的公差为，则，
又，，
即有，可得，
当时，，可得，
所以．
（2）当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
．
已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解答】（1）设等差数列的公差为，而
则，，，
于是，解得，，，
所以数列的通项公式是；
（2）由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，
则．
已知数列的首项，且满足．
（1）证明：为等比数列；
（2）已知为的前项和，求．
【解答】解：（1）证明：，
变形为，
，
为等比数列，首项为1，公比为．
（2）由（1）可得：，
，
为奇数时，；
为偶数时，．
．
已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
，为的前项和，，，
则，即，解得，
故；
（2）证明：由（1）可知，，
，
当为偶数时，，
，
，
当为奇数时，，，
，
故原式得证．
与两数列“相同项”有关的求和
【要点讲解】与两个数列“相同项”有关的问题的解题关键：确定好两个数列的“相同项”，再进行下一步研究，一类是去掉“相同项”后，构成新数列；一类是由“相同项”构成的新数列．
已知正项数列和，为数列的前项和，且满足，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
【解答】解：（1）正项数列，为数列的前项和，且满足，
可得时，，解得；
当时，由，可得，
两式相减可得，
化为，
因为，所以，
则；
又，可得，则；
（2）由数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，
可得数列的前100项为中的前107项中去掉中的前7项后所得的项，
则
．
已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前项和，且满足，，，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
【解答】解：（1）设正项等差数列的公差为，
，，
，解得，
，
设正项等比数列的公比为，
，，
，解得，
；
（2）由（1）得数列的前8项依次为2、4、8、16、3264、128、256，对应数列第1、2、4、8、16、32、64、128项，
故数列的前100项为数列的前107项，剔除数列的前7项的数列，
设数列的前项和为，
则．
记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，．
（1）求，的通项公式；
（2）将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和．
【解答】解：（1）由，得，
，，又，
，又，
解得，，
，
；
（2）由（1）可知，当时，．又，
，，，，，，，，，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
令，解得，
数列的前100项中与数列中相同的项共有4项，即4，16，64，256，
即为的前8项中的偶数项．
将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列构成数列，
则的前100项为数列的前100项中剔除与数列相同的4项后剩余的96项与的前8项中剔除与数列相同的4项后剩余的4项，
的前100项和为．
一．选择题（共6小题）
1．已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则　　
A．2022 B．2023 C．4046 D．4048
【解答】解：已知正项等比数列的前项和为，且满足，
当时，，
则，
当时，，
即，
又，
则，
即等比数列的首项为1，公比为2，
则，
则，
又数列中的整数项组成新的数列，
则，
则．
故选：．
2．已知数列的前项和为，且满足，则　　
A．130 B．169 C．200 D．230
【解答】解：依题意，由，
可得
．
故选：．
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数．已知正项数列的前项和为，且，令，则　　
A．7 B．8 C．17 D．18
【解答】解：由题意可得，解得，
当，由得，
化简得，
又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
又数列为正向数列，
所以，即，
所以，
所以
，
由于，所以，
所以．
故选：．
4．已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，可得
，
，，
构造数列：令，
则，
，
，而为一个常数，
数列是以为公差的等差数列，
又数列的前项和的最大值仅为，
数列是递减的等差数列，即，
且有，
整理，得，
解得，
实数的取值范围为，．
故选：．
5．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，，记这个数列的前项和为，则等于　　
A．128 B．144 C．155 D．164
【解答】解：根据题意，解：由题意可得锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，，
即组合数、、、、、、、、
故
．
故选：．
6．已知数列的每一项均为0或1，其前项和为，数列的前项和为，则下列结论中正确的是　　
A．数列，，，，的所有可能情况共有种
B．若为定值，则恒为0
C．若为定值，则为常数列
D．数列可能为等比数列
【解答】解：对于选项，由分步乘法计数原理可知，2，，的值为0或1，共2种情况，
所以数列，，，，的所有可能情况共有种，
故选项错误；
对于选项，已知为定值，
即为定值，
由题可知或，
当时，，当时，，
故选项错误；
对于选项，已知为定值，
即当时，为定值，
不妨取，，，
则，
则，
此时不为常数列，
故选项错误；
对于选项，当为1，0，0，时，，
则是公比为1的等比数列，
故选项正确．
故选：．
二．多选题（共2小题）
7．设等差数列的前项和为，且，，记为数列的前项和，若恒成立，则的值可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：，，
整理得，即，
由，可得，
即，，
，
，
．
恒成立，．
结合选项可知，的值可以是2或3或4．
故选：．
8．已知集合，，，，集合，将集合中所有元素从小到大依次排列为一个数列，为数列的前项和，则　　
A．
B．或2
C．
D．若存在使，则的最小值为26
【解答】解：对于选项，由题意的前8项为1，2，3，4，5，7，8，9，，故正确；
对于选项，集合为奇数集，集合中的元素都是偶数，按照从小到大排列，
若连续的两个数是奇数，则，
若连续的两个数是一个奇数，一个偶数，则，故正确；
对于选项，令，比小1，
的前项中，来自集合的有个，来自集合的有个，
，
即，故正确；
对于选项，设，则
．
由得．
，．
所以只需研究是否有满足条件的解，
此时，
，为等差数列项数，且．
由得，
，，
故满足条件的最小值为27．故错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
9．已知数列满足，若，则数列的前项和　　．
【解答】解：由题意得，
与原式作差可得，
化简得，所以，
所以，
．
故答案为：．
10．对于数列，令，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
④若对任意的，都有，则有．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【解答】解：对于①，利用并项法得：，故①对；
对于②，，令，则，故，所以，故，故，故②对；
对于③，假设存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立，则必有，且都是正整数，令，则必有，，，，，，则与矛盾，故③错；
对于④，由已知，可知，当时，有，
两式联立解得时，，，
故，，
特别的当时，，
故对任意的，都有成立，即④成立．
故答案为：①②④．
11．已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则　　．
【解答】解：数列为正奇数列，
对于数列，设时，为偶数，
当为偶数时，，则为奇数，
故，
所以，
故．
故答案为：．
12．已知数列的前项和为且，，成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为 　10　．
【解答】解：由题意，当时，．
当时，．
则，．
，，成等差数列，
，即，
解得．
．
，．
．
．
，．
即，
，即，
，，
，即．
满足的最小正整数的值为10．
故答案为：10．
四．解答题（共4小题）
13．已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列的公差不为0时，记数列的前项和为，求证：．
【解答】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，
则，，，
，，成等比数列，
，即，
化简整理，得，
解得，或．
当时，，，
当时，，，
综上所述，可得或，．
（2）证明：由（1）可知，当数列的公差不为0时，，，
此时，
则，
，
，
不等式对任意恒成立．
14．设数列的前项之积为，满足．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项之和为，证明：．
【解答】解：（1）因为数列的前项之积为，满足，
所以当时，，解得．
当时，，
化为，
变形为，
又，所以，即且，
则数列是以为首项，2为公比的等比数列
所以．
（2）证明：由（1）可得：，解得，
当时，．
，
需要证明，
即证明，
设，，
则，
设，，
，
则函数在上单调递增，
所以（1），
即，
所以．
15．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求的取值范围．
【解答】解：（1）由，，且，
可得，
即，
则，解得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
即为，
因为，所以，
且，
所以是首项和公差均为1的等差数列，即有；
（2）证明：，
，
，
上面两式相减可得
，
化简可得．
因为，所以，
由于，，
则数列在上单调递增，
故．
16．数列的满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．
【解答】解：（1）因为，
所以，
又因为，
所以，，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即；
（2）由得，，
因为，，，
所以中要去掉数列的项有5项，
所以
．专题05 数列求和
目录
题型一： 等差、等比数列性质求和 3
题型二： 倒序相加求和 6
题型三： 错位相减法求和 7
题型四： 裂项相消法求和 9
题型五： “奇偶项”求和 11
题型六： 与两数列“相同项”有关的求和 13
1．特殊数列的求和公式
(1)等差数列前n项和公式：
(2)等比数列前n项和公式：
Sn＝
2．数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．
常用结论与知识拓展
常见的裂项公式
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝
.
(4)＝(－).
(5)＝－.
(6)＝－.
等差、等比数列性质求和
已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求的前项和．
设数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，．若，，成等比数列．
（1）求及；
（2）设，求数列的前项和．
记递增的等差数列的前项和为，已知，且．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
等差数列的前项和为，满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求证数列为等比数列，并求其前项和．
已知数列为等比数列，在数列中，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
已知等差数列的公差不为零，其前项和为，且是和的等比中项，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和．
倒序相加求和
【要点讲解】如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.
德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，则　 ．
德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．现有函数，则（1）（2）等于　　
A． B． C． D．
设函数，，
．则数列的前项和　 　．
已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为 　 　．
错位相减法求和
【要点讲解】(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
已知数列，的前项和分别为，，且满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的取值范围．
记数列的前项和为，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）若对任意，，求的最小整数值．
已知数列满足，数列满足，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
已知数列为递增的等差数列，为的前项和，，，．
（1）若数列为等差数列，求非零常数的值；
（2）在（1）的条件下，，求的前项和．
裂项相消法求和
【要点讲解】利用裂项相消法求和的注意事项
(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．
(2)将通项裂项后，一定要注意调整前面的系数，避免失误．
(3)掌握常见的裂项相消的公式．
已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列．
（Ⅰ）证明：数列是公差为2的等差数列；
（Ⅱ）设数列的前项的和为，若．证明．
在等比数列中，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求不等式的解集．
在公差不为0的等差数列中，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式和前项和；
（2）设，求数列的前项和公式．
数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明．
“奇偶项”求和
【要点讲解】数列“奇偶项”的求和常常采用的策略：“奇偶分组”分别求和、“奇偶并项”求和．
已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
已知为等差数列，，记，分别为数列，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
已知数列的首项，且满足．
（1）证明：为等比数列；
（2）已知为的前项和，求．
已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
与两数列“相同项”有关的求和
【要点讲解】与两个数列“相同项”有关的问题的解题关键：确定好两个数列的“相同项”，再进行下一步研究，一类是去掉“相同项”后，构成新数列；一类是由“相同项”构成的新数列．
已知正项数列和，为数列的前项和，且满足，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
已知正项等差数列和正项等比数列，为数列的前项和，且满足，，，．
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，．
（1）求，的通项公式；
（2）将，中相同的项剔除后，两个数列中余下的项按从小到大的顺序排列，构成数列，求的前100项和．
一．选择题（共6小题）
1．已知正项等比数列的前项和为，且满足，设，将数列中的整数项组成新的数列，则　　
A．2022 B．2023 C．4046 D．4048
2．已知数列的前项和为，且满足，则　　
A．130 B．169 C．200 D．230
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数．已知正项数列的前项和为，且，令，则　　
A．7 B．8 C．17 D．18
4．已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
5．如图所示的数阵称为杨辉三角．斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，，记这个数列的前项和为，则等于　　
A．128 B．144 C．155 D．164
6．已知数列的每一项均为0或1，其前项和为，数列的前项和为，则下列结论中正确的是　　
A．数列，，，，的所有可能情况共有种
B．若为定值，则恒为0
C．若为定值，则为常数列
D．数列可能为等比数列
二．多选题（共2小题）
7．设等差数列的前项和为，且，，记为数列的前项和，若恒成立，则的值可以是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知集合，，，，集合，将集合中所有元素从小到大依次排列为一个数列，为数列的前项和，则　　
A．
B．或2
C．
D．若存在使，则的最小值为26
三．填空题（共4小题）
9．已知数列满足，若，则数列的前项和 ．
10．对于数列，令，给出下列四个结论：
①若，则；
②若，则；
③存在各项均为整数的数列，使得对任意的都成立；
④若对任意的，都有，则有．
其中所有正确结论的序号是 ．
11．已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则 ．
12．已知数列的前项和为且，，成等差数列，，数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为 ．
四．解答题（共4小题）
13．已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列的公差不为0时，记数列的前项和为，求证：．
14．设数列的前项之积为，满足．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设数列的前项之和为，证明：．
15．已知各项均为正数的数列的前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，且数列的前项和为，求的取值范围．
16．数列的满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．

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