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专题7.1 基本立体图形
目录
题型一： 空间几何体的结构特征 5
题型二： 直观图的斜二测画法 6
题型三： 最短路径问题 8
题型四： 求几何体的表面积 10
题型五： 求几何体的体积 14
题型六： 球的表面积和体积 19
题型七： 截面问题 22
棱柱、棱锥、棱台
棱柱 棱锥 棱台
图 形
定 义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分的多面体
结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是平行四边形；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为梯形
圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱 圆锥 圆台 球
图 形
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体
结 构 特 征 ①母线互相平行且相等，并垂直于底面； ②轴截面是全等的矩形； ③侧面展开图是矩形 ①母线相交于一点； ②轴截面是全等的等腰三角形； ③侧面展开图是扇形 ①母线延长线交于一点； ②轴截面是全等的等腰梯形； ③侧面展开图是扇环 截面是圆面
简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式主要有：由简单几何体拼接而成，或由简单几何体截去或挖去一部分而成.
立体图形的直观图
(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面积 公式 S圆柱侧 ＝2πrl S圆锥侧 ＝πrl S圆台侧 ＝π(r＋r′)l
其中r，r′为底面半径，l为母线长.
(2)柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体 表面积 体积(S是底面积， h是高)
柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝S侧 ＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝S侧 ＋S底 V＝Sh
台体(棱台 和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋ S下＋)h
球(R是 半径) S表面积＝4πR2 V＝πR3
常见四棱柱及其关系
空间几何体的结构特征
【要点讲解】解决此类问题的基本方法：①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
下列说法正确的是　　
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【解答】解：选项，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故错误；
选项，其余各面的边延长后不一定交于一点，故错误；
选项，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是时，
各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故错误；
选项，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，
又底面也是长方形，符合长方体的定义，故正确．
故选：．
下列命题正确的是　　
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【解答】解：对于，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形，错误；
对于，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台，错误；
对于，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，正确；
对于，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，错误．
故选：．
下列说法正确的是　　
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
【解答】解：对于，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，错误；
对于，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面为底面的斜三棱柱，错误；
对于，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体，正确；
对于，不符合台体的结构特征，截面应该跟底面平行，错误．
故选：．
直观图的斜二测画法
【要点讲解】在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
水平放置的的直观图如图所示，是△中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段，，，对于这三条线段，正确的判断是　　
A．最短的是 B．最短的是 C． D．
【解答】解：因为平行于轴，所以在中，，
又因为是△中边的中点，
所以是的中点，
所以．
故选：．
如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为直观图的面积为，
所以原四边形的面积为．
故选：．
一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△，其中，则平面图形的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，在直观图等腰直角△，其中，则，
故其面积，
故原图平面图形的面积．
故选：．
如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：因为直观图是底角为的等腰梯形，且，，
所以等腰梯形的高为，
所以等腰梯形的面积为，
所以原平面图形的面积为．
故选：．
最短路径问题
在一个长方体中，已知，，，则从点沿表面到点的最短路程为　　
A． B． C． D．15
【解答】解：将长方体展开共三种情况如下：
（1），
（2），
（3），
所以从点沿表面到点的最短路程为．
故选：．
如图，某圆柱体的高为1，是该圆柱体的轴截面．已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为2，则该圆柱体的底面周长为 　2　．
【解答】解：设圆柱体底面圆的半径为，将侧面的一半展开后得四边形为矩形，矩形的对角线是点到点的最短距离，
依题意得：，
所以，解得，
所以该圆柱体的底面周长为．
故答案为：2．
如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
【解答】解：（1）根据题意，旋转后的几何体为上底半径为1，下底半径为2，母线为3的圆台，
其侧面展开图如图：
其变面积，
（2）根据题意，在圆台的侧面展开图中，，则，
设，则有，则，
蚂蚁爬行的最短距离即，而，
故蚂蚁爬行的最短距离为．
求几何体的表面积
【要点讲解】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．
已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，
所以，得，
所以圆锥的侧面积为，
故选：．
一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设圆台的上、下底面的半径为，，母线长为，
所以，，，
．
故选：．
在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnào．已知在鳖臑中，面，，则该鳖臑的表面积为 　　．
【解答】解：根据题意，已知在鳖臑中，面，，
如图所示：
在中，，则，
在中，，有，则，
在中，，，则，
在中，，，，
故该鳖臑的表面积．
故答案为：．
如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，圆柱上下底面圆的半径为，，，
则圆柱的上底面面积为，圆柱的侧面面积为；
又由圆台下底面圆半径为，则圆台的下底面面积为，
圆台的母线长为，
所以圆台的侧面面积为，
故该组合体的表面积为．
故选：．
南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　
A．86.4 B．172.8 C．864 D．950.4
【解答】解：由题意可得，
又棱锥的高为，
所以，
又长方体的体积，
所以该模型体积，
故该模型所需原料的质量为．
故选：．
求几何体的体积
【要点讲解】求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记.
圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，
则，
所以，，
所以圆锥的体积为．
故选：．
一个直角三角形的两条直角边长分别为1和，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为　　
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
若绕边长为1的直角边旋转得到圆锥，其底面的半径，高，
所以圆锥的体积；
若绕边长为的直角边旋转得到圆锥，其底面的半径，高，
所以圆锥的体积；
所以．
故选：．
已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为　　
A．3 B．4 C．6 D．8
【解答】解：三棱锥与三棱柱等底等高，
则三棱锥的体积是三棱柱体积的，
即三棱锥的体积为4．
故选：．
已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为，底面圆的半径为，则，
又因为圆锥的体积为，可得，解得，则，
设圆锥的顶点为，底面圆心为，则高为，与正方体的上底面交点为，
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，
上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图，
设正方体的棱长为，可得，
由△，可得，即，
解得，
所以该正方体的棱长为．
故选：．
如图，一个三棱锥中，，，分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比　　
A． B． C． D．
【解答】解：作，交于点，
，又，
，可得点，到平面的距离相等，
．
由题意，小三棱锥与大三棱锥相似，相似比为，则体积比为，
设，则，，
．
故选：．
随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面是矩形，，，四边形、是两个全等的等腰梯形，、是两个全等的等腰三角形．若，，，则该几何体的体积为　　
A．90 B． C． D．135
【解答】解：过点作，，
又，，平面，
所以平面，
过点作，，
又，，平面，
所以平面，
因为底面，平面，平面平面，
所以，同理，
所以，，，，
平面，平面，
又平面，平面，
所以，，
因为，，，与是全等的等腰三角形，
由对称性可得，，
所以，
连接点与的中点，
则，
所以，
又，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，，
所以平面，
又，
所以，
所以五面体的体积为．
故选：．
在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，
所以，
设到平面的距离，到平面的距离，则，
则三棱锥的体积为．
故三棱锥和三棱锥的体积之比为．
故选：．
球的表面积和体积
【要点讲解】解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相应公式计算即可．
棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为．
故选：．
正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为，
正四棱锥的高为，又球心在正四棱锥的高上，
该正四棱锥的体积为，，，
设外接球的半径为，则在直角三角形中，
，解得．
球的表面积．
故选：．
在三棱锥中，、、两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，因为，，两两互相垂直，故将三棱锥补成一个长方体，
由题意知球心为中点，所以外接球半径，
因为，，，所以，
则，
所以球的表面积为．
故选：．
已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为正三角形，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：令所在圆的圆心为，则圆的半径，
因为平面底面，
所以，
则球的半径，
所以球的表面积．
故选：．
圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：根据题意，设圆台的上底半径为，下底半径为，其内切球的半径为，
该圆台和其内切球的轴截面如图：作，交于点，作，交于点，
分析可得，，则圆台的母线为，
在中，，，，
则有，变形可得，
故该圆台的侧面积，
内切球的表面积，
又由圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则有，
变形可得，即，
设圆台母线与底面所成角为，则．
故选：．
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则　　
A．1 B． C． D．2
【解答】解：设球的半径为，则根据题意可得：
，
由，
外接圆半径，
如图，根据线面垂直模型知：．
故选：．
截面问题
用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，
所以根据球的体积公式知，
故选：．
已知圆锥的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设圆锥的高为，
圆锥的轴截面为等腰三角形，其底边长为，
则，解得，
故圆锥的体积为．
故选：．
如图，在三棱柱中，过的截面与交于点，与交于点，都不与重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为三棱柱，
所以，面面，
又因为面面，面面，
所以，
显然为三棱台，
设，，
三棱柱的高为，
则，
所以三棱柱体积为，
三棱台的体积为，
①三棱台的体积占，
则，得，
解得或，均不符合题意；
②三棱台的体积占，
则，得，
解得或，
因为，
所以．
故选：．
如图：正方体的棱长为2，为的中点，过点作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，取，中点，，连接，，，，
如图：
四边形为平行四边形，，
四边形为平行四边形，，
即为过点长方体截面，
证明如下：
，平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，平面平面，
则截面的面积．
故选：．
已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：记，的中点分别为，，连接，，，，，
由正方体性质可知，平面，
因为平面，所以，
又为正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以
因为，分别为，的中点，所以，所以，
同理可证，，
又，，平面，
所以平面，
所以三角形即为平面截正方体所得截面，
易知三角形为正三角形，，
所以截面周长为．
故选：．专题7.1 基本立体图形
目录
题型一： 空间几何体的结构特征 5
题型二： 直观图的斜二测画法 6
题型三： 最短路径问题 7
题型四： 求几何体的表面积 8
题型五： 求几何体的体积 10
题型六： 球的表面积和体积 12
题型七： 截面问题 13
棱柱、棱锥、棱台
棱柱 棱锥 棱台
图 形
定 义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分的多面体
结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是平行四边形；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为梯形
圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱 圆锥 圆台 球
图 形
定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体
结 构 特 征 ①母线互相平行且相等，并垂直于底面； ②轴截面是全等的矩形； ③侧面展开图是矩形 ①母线相交于一点； ②轴截面是全等的等腰三角形； ③侧面展开图是扇形 ①母线延长线交于一点； ②轴截面是全等的等腰梯形； ③侧面展开图是扇环 截面是圆面
简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式主要有：由简单几何体拼接而成，或由简单几何体截去或挖去一部分而成.
立体图形的直观图
(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展 开图
侧面积 公式 S圆柱侧 ＝2πrl S圆锥侧 ＝πrl S圆台侧 ＝π(r＋r′)l
其中r，r′为底面半径，l为母线长.
(2)柱、锥、台、球的表面积和体积
几何体 表面积 体积(S是底面积， h是高)
柱体(棱柱 和圆柱) S表面积＝S侧 ＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥 和圆锥) S表面积＝S侧 ＋S底 V＝Sh
台体(棱台 和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋ S下＋)h
球(R是 半径) S表面积＝4πR2 V＝πR3
常见四棱柱及其关系
空间几何体的结构特征
【要点讲解】解决此类问题的基本方法：①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
下列说法正确的是　　
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
下列命题正确的是　　
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
下列说法正确的是　　
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
直观图的斜二测画法
【要点讲解】在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
水平放置的的直观图如图所示，是△中边的中点，且平行于轴，则，，对应于原中的线段，，，对于这三条线段，正确的判断是　　
A．最短的是 B．最短的是 C． D．
如图，边长为2的正方形是用斜二测画法得到的四边形的直观图，则四边形的面积为　　
A． B． C． D．
一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△，其中，则平面图形的面积为　　
A． B． C． D．
如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为的等腰梯形，已知直观图中，，则该平面图形的面积为　　
A． B．2 C． D．
最短路径问题
在一个长方体中，已知，，，则从点沿表面到点的最短路程为　　
A． B． C． D．15
如图，某圆柱体的高为1，是该圆柱体的轴截面．已知从点出发沿着圆柱体的侧面到点的路径中，最短路径的长度为2，则该圆柱体的底面周长为 　 　．
如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
求几何体的表面积
【要点讲解】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．
已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为　　
A． B． C． D．
一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积为　　
A． B． C． D．
在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnào．已知在鳖臑中，面，，则该鳖臑的表面积为 　 　　．
如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱组成的，其中为圆台下底面圆心，，分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得到圆柱上下底面圆的半径为，，，圆台下底面圆半径为，则该组合体的表面积为　　
A． B． C． D．
南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为　　
A．86.4 B．172.8 C．864 D．950.4
求几何体的体积
【要点讲解】求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记.
圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
一个直角三角形的两条直角边长分别为1和，将该三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为　　
A．1 B． C．3 D．
已知三棱柱的体积为12，则三棱锥的体积为　　
A．3 B．4 C．6 D．8
已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为．在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则该正方体的棱长为　　
A． B．1 C． D．
如图，一个三棱锥中，，，分别为棱，，上的点，且，则三棱锥的体积与三棱锥的体积之比　　
A． B． C． D．
随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面是矩形，，，四边形、是两个全等的等腰梯形，、是两个全等的等腰三角形．若，，，则该几何体的体积为　　
A．90 B． C． D．135
在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为　　
A． B． C． D．
球的表面积和体积
【要点讲解】解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相应公式计算即可．
棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A． B． C． D．
正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
在三棱锥中，、、两两互相垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为正三角形，，则球的表面积为　　
A． B． C． D．
圆台的内切球的表面积与圆台的侧面积之比为，则圆台母线与底面所成角的正切值为　　
A． B．1 C． D．
已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，平面，在底面中，，，若球的体积为，则　　
A．1 B． C． D．2
截面问题
用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为　　
A． B． C． D．
已知圆锥的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为　　
A． B． C． D．
如图，在三棱柱中，过的截面与交于点，与交于点，都不与重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为的两部分，则　　
A． B． C． D．
如图：正方体的棱长为2，为的中点，过点作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为　　
A． B． C． D．
已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得截面的周长为　　
A． B． C． D．专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
题型一： 位置关系的判定 4
题型二： 共点、共线、共面的证明 7
题型三： 异面直线所成角 10
题型四： 综合运用 17
平面的基本事实及推论
(1)基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上
(2)基本事实1与2的推论
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
共面 直线 相交直线 在同一个平面内 1
平行直线 在同一个平面内 0
异面直线 不同在任何一个平面内 0
(2)空间中直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线与 平面相交 直线与 平面平行
公共点个数 无数个 1 0
图形表示
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
(3)空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面相交 两个平面平行
公共点个数 无数个 (有一条公共直线) 0
符号表示 α∩β＝a α∥β
图形表示
常用唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)判定方法：
①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
位置关系的判定
【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，
可得若、、、中有三点在同一直线上，则、、、在同一个平面上，则必要性成立，
由推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，则若、、、在同一个平面上，
不能得到、、、中有三点在同一直线上，则充分性不成立，
故“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”必要不充分条件．
故选：．
下列说法中正确的是　　
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个互异平面和有三个不共线的交点
【解答】解：中，不在同一直线上的三点确定一个平面，所以不正确；
中，四边形有可能是空间几何体，即三棱锥，所以不正确；
中，因为梯形的两底平行，两条平行线确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以正确；
中，两个互异平面和有交点，则交点在同一条直线上，所以不正确．
故选：．
空间不重合的三个平面可以把空间分成　　
A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分
【解答】解：空间不重合的三个平面，
若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平面平行，则第三个平面与其它两个平面相交，可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为8部分．
所以空间不重合的三个平面可以把空间分成4或6或7或8个部分．
故选：．
在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为　　
A．一个定点 B．一个平面上任意一点
C．一条直线上任意一点 D．一个圆上任意一点
【解答】解：在正方体中，因为，
所以点在过点且与垂直的一个平面内，
即为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，且与不平行，
所以平面与平面一定相交于直线，
所以点在直线上运动．
故选：．
共点、共线、共面的证明
【要点讲解】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.
在四棱柱中，，，，．
（1）当时，试用表示；
（2）证明：，，，四点共面；
（3）判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由．
【解答】解：（1）由三角形相似及几何关系，得；
（2）证明：由三角形相似原理可得，，，，所以，四边形与四边形相似，所以，，，四点共面；
（3）可以，
理由如下：若四棱柱为正四棱柱，则与平行且相等，
所以四边形是平行四边形，平面与平面重合，
又与平行且相等，所以四边形是平行四边形，平面与平面重合，
此时即为平面和平面的交线．
如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点，
求证：（1）、、三点共线
（2）、、、四点共面
（3）、、三线共点．
【解答】证明：（1）平面，，平面；
又平面，平面；
、交于点，，；
又平面，平面，
平面，平面；
又平面，平面；
、、三点在平面与平面的交线上，
、、三点共线；
（2）为的中点，为的中点，
，
又，，
四边形是平行四边形，
；
，
、、、四点共面；
（3）平面平面，
设与交于一点，则：
，平面，
平面；
同理，平面，
平面平面，
直线、、三线交于一点，
即三线共点．
如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．
【解答】证明：（1），
，
，分别为，的中点，，
，
，，，四点共面．
（2）、不是、的中点，
，且，
与必相交，设交点为，
平面，平面，
平面，且平面，
平面平面，
，
与的交点在直线上．
异面直线所成角
【要点讲解】求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是　　
A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
【解答】解：根据题意，直线与相交，与相交，
直线与直线可能相交、平行、异面，
故选：．
在长方体中，已知，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，2，，
所以，1，，，2，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是　　
A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交
【解答】解：因为平面平面，直线，直线，
所以与没有交点，即与可能平行，也可能异面．
故选：．
堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，1，，，0，，，0，，，1，，
所以，1，，，，，
所以，，
因为异面直线夹角的取值范围为，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：建立空间直角坐标系，如图所示；
，0，，，0，，，0，，，2，，，0，；
，0，，，2，，，
，；
所以，；
所以异面直线和所成角的余弦值为．
故选：．
在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，以点为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则：
，0，，，1，，，2，，，0，，
，
，
直线和所成角的余弦值是．
故选：．
在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取的中点，连接，，
因为是棱中点，
所以，故或其补角为异面直线与夹角，
又正四面体棱长为2，故，
，
故异面直线与夹角的余弦值为．
故选：．
已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，把三棱柱补成四棱柱，由题意得，
易知该四棱柱为长方体，，异面直线与所成角为（或其补角），
，
．
故选：．
如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成二面角的平面角为，且异面直线与所成角为，则　　
A．2 B． C．0 D．
【解答】解：根据题意可知，即为平面与平面构成二面角的平面角，
所以，
设正方形边长为1，异面直线与所成的角为，
故或，
又，
所以，
即
所以，
所以，所以或2（舍去）．
故选：．
如图，，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在中，由余弦定理得：
，
，
在中，由余弦定理得：
，
，
，．
故选：．
综合运用
如图，在正方体中，，分别是和的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求异面直线且所成的角．
【解答】解：（1）证明：连接，
因为，分别是和的中点，
所以且，
又因为且，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，，
即，，，四点共面；
（2）连结，，
在正方体中，平行且等于，
所以四边形为平行四边形，可得，
因此（或其补角）是异面直线与所成的角，
设正方体的棱长为，则△中，
所以△是等边三角形，可得，
即异面直线与所成的角等于．
如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点．
（1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示（不必写出作图过程）；
（2）为棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值．
【解答】解：（1）取中点，连结，，则四边形是平面与该棱柱的截面图形．
（2）因为直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点，
所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，
设异面直线与所成角为，
，
异面直线与所成角的正弦值为．
如图，所有棱长均为2的斜三棱柱中，，，分别是，的中点．
（1）求四边形的面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：（1）令，，，
则，．
因为，，
所以，
所以，即，
所以四边形 是边长为2的正方形．
所以四边形 的面积为4；
（2）如图，连接，，由（1）易得，
所以，
因为，所以异面直线与所成的角，即直线与所成的角．
因为，所以
所以，
设直线与所成的角为．
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目录
题型一： 位置关系的判定 4
题型二： 共点、共线、共面的证明 5
题型三： 异面直线所成角 7
题型四： 综合运用 10
平面的基本事实及推论
(1)基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α 确定直线在平面内；判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上
(2)基本事实1与2的推论
推论 文字语言 图形语言 符号语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 A l 有且只有一个平面α，使A∈α，l α
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
空间点、直线、平面之间的位置关系
(1)空间中直线与直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
共面 直线 相交直线 在同一个平面内 1
平行直线 在同一个平面内 0
异面直线 不同在任何一个平面内 0
(2)空间中直线与平面的位置关系
位置 关系 直线在 平面内 直线与 平面相交 直线与 平面平行
公共点个数 无数个 1 0
图形表示
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
(3)空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面相交 两个平面平行
公共点个数 无数个 (有一条公共直线) 0
符号表示 α∩β＝a α∥β
图形表示
常用唯一性结论
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
异面直线
(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．
(2)判定方法：
①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
②分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
(3)异面直线所成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
位置关系的判定
【要点讲解】结合平面的基本事实及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
设、、、为空间中的四个不同点，则“、、、在同一个平面上”是“、、、中有三点在同一直线上”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
下列说法中正确的是　　
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个互异平面和有三个不共线的交点
空间不重合的三个平面可以把空间分成　　
A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分
C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分
在正方体中，点是棱的中点，点是平面内的一点，且，则点为　　
A．一个定点 B．一个平面上任意一点
C．一条直线上任意一点 D．一个圆上任意一点
共点、共线、共面的证明
【要点讲解】(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用基本事实或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可；(2)要证明点共线问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用基本事实3，即证点在两个平面的交线上，本题即采用这种证法；或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上；(3)证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.
在四棱柱中，，，，．
（1）当时，试用表示；
（2）证明：，，，四点共面；
（3）判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由．
如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点，
求证：（1）、、三点共线
（2）、、、四点共面
（3）、、三线共点．
如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
（1），，，四点共面；
（2）与的交点在直线上．
异面直线所成角
【要点讲解】求异面直线所成的角的三个步骤
一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是　　
A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能
在长方体中，已知，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是　　
A．平行 B．平行或异面 C．异面 D．异面或相交
堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
如图在棱长为2的正方体中，点是的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
在正方体中，，分别是棱，的中点，则直线和所成角的余弦值是　　
A． B． C． D．
在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则异面直线与夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成二面角的平面角为，且异面直线与所成角为，则　　
A．2 B． C．0 D．
如图，，分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为　　
A． B． C． D．
综合运用
如图，在正方体中，，分别是和的中点．
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求异面直线且所成的角．
如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点．
（1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示（不必写出作图过程）；
（2）为棱的中点，求异面直线与所成角的正弦值．
如图，所有棱长均为2的斜三棱柱中，，，分别是，的中点．
（1）求四边形的面积；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．专题7.3 空间直线、平面的平行
目录
题型一： 直线与平面平行的判定 3
题型二： 直线与平面平行的性质 13
题型三： 平面与平面平行的判定 16
题型四： 平面与平面平行的性质 20
题型五： 平行关系的综合应用 25
直线与直线平行
(1)基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 a∥c
作用 基本事实4表明了平行线的传递性. 可用来证明两直线平行
(2)等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
图形语言
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
直线与平面平行的判定
【要点讲解】直线与平面平行的判定问题的解题策略：(1)主旨思想：“线线平行”→“线面平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线，在平面内解决线线平行问题；(3)再交代清楚哪条直线在平面外，哪条直线在平面内，严格依据判定定理进行即可．
下列各图中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【解答】解：对①，、、分别为其所在棱的中点，可证、与平面，平面平面，平面，故①正确；
对②，如图：与平面不可能平行，设平面，若平面，则，则为底面对角线的中点，显然错误，故②不正确；
对③，如图，可证平面平面，平面，平面，故③正确；
对④，若平面，则可证平面平面，由图知平面与平面不可能平行，故④不正确；
故选：．
如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足；
对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足；
对于，作出完整的截面，由正方体的性质可得，可得直线平面，能满足；
对于，作出完整的截面，如图，可得在平面内，不能得出平行，不能满足．
故选：．
如图，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是　　
A．与是异面直线
B．
C．，为异面直线，且
D．平面
【解答】解：对于项，与在同一个侧面中，故不是异面直线，所以错误；
对于项，由题意知与为异面直线，所以错误；
对于项，因为，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，
由底面是正三角形，是中点，根据等腰三角形三线合一可知，
结合棱柱性质可知，则，所以正确；
对于项，因为所在的平面与平面相交，
且与所在的平面和平面的交线有公共点，
故平面不正确，所以错误．
故选：．
在长方体中，底面为正方形，平面，为的中点，则下列结论错误的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
【解答】解：平面，平面，可得，故正确；
连接，由平面，可得，
由平面，可得，
而，可得平面，．
在矩形中，设，，
由，，而，
所以，
又，所以四边形为正方形，即有，故正确；
设与交于，连接，可得，而平面，平面，
可得平面，故正确；
平面即为平面，而平面，可得平面平面，
若平面平面，又平面平面，可得平面，显然不成立，故错误．
故选：．
在正方体中，已知为中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与夹角大小．
【解答】解：（1）证明：在正方体中，为中点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，1，，，1，，，1，，
，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，1，，
，平面，
平面；
（2），0，，，
，
设异面直线与夹角为，
则，，
异面直线与夹角大小为．
如图，在正方体中，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接交于点，连接，
由于为的中点，为的中点，则，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，0，，，0，，，0，，
所以，，，，0，，
设与所成角为，
则，，
所以与所成角的余弦值为．
如图，在直三棱柱中，已知，，，为的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）；
（2）求证：平面．
【解答】（1）解：如图，取的中点，连结，，，
由是平行四边形知，
则（或其补角）就是异面直线与所成的角．
在△中，，
，，
则．
所以异面直线与所成角的大小为．
（2）证明：如图，连结，交于点，连结．
因为四边形为矩形，所以为中点，
又因为为的中点，所以，又因为平面，
平面，所以平面．
如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：如图所示，以为原点，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴，方向为轴正半轴建立空间直角坐标系，
则，3，，，2，，，0，，，0，，，3，，，0，，
，
，
又平面，
平面；
（2）解：由（1）知，
则，，，
则，
直线与直线所成角的余弦值为．
直线与平面平行的性质
【要点讲解】直线与平面平行的性质定理问题的解题策略：(1)主旨思想“线面平行” →“线线平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线进而得到过原直线的一个“新平面”；(3)确定“新平面”与“原平面”的交线，则交线与原直线平行．
如图，在四面体中，是中点，是中点．在线段上存在一点，使得平面，则的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：如图所示，取中点，且是中点，
且，
取的四等分点，使，
在平面内作交于点，连接，
显然，
故，且，
则四边形是平行四边形，
则，满足平面，
此时是的四等分点，故．
故选：．
如图，已知圆锥的顶点为，为底面圆的直径，点，为底面圆周上的点，并将弧三等分，过作平面，使，设与交于点，则的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接交于点，连接，，，则平面即为平面，
因为，平面，平面，
所以，
因为为底面圆的直径，点，将弧三等分，
所以，，
所以且，
所以，
又，
所以，
所以，即，
故选：．
如图，在多面体中，平面平面，，且，，则　　
A．平面 B．平面
C． D．平面平面
【解答】解：取的中点为，连结，如图所示，
因为，且，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，且，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，所以，
又，所以，
所以四边形是平行四边形，即，
又平面，平面，
所以平面．故选项正确，
而根据已知条件只能推出上面的关系，无法判断与平面是否平行，故选项错误；
没有任何关系可以推导，故选项错误；
没有条件可以判断平面与平面是否平行，故选项错误．
故选：．
平面与平面平行的判定
【要点讲解】证明面面平行的常用方法
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
(4)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【解答】证明：（1）连接，如图所示：
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
直线平面；
（2）连接，如图所示：
，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
由（1）得平面，且平面，平面，，
平面平面．
正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．
（1）求证：、、、共面；
（2）求证：平面平面．
【解答】证明：（1）连接，由题意可得：，分别为，的中点，
则，
，，
则为平行四边形，
，
则，
故、、、共面．
（2）由题意可得：，分别为，的中点，
则，
，则，且平面，平面，
平面，
连接，由题意可得：，分别为，的中点，
则，，
，，
则，，即为平行四边形，
，平面，平面，
平面，，，平面，
故平面平面．
如图，在正方体中，与交于点，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【解答】证明：（1）因为正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
由（1）知平面，
因为，，平面，
所以平面平面．
平面与平面平行的性质
【要点讲解】平面与平面平行的性质应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
下列说法正确的是　　
A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
【解答】解：对于：如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，
则这两个平面平行或这两个平面相交，故错误；
对于：如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，
则这两个平面平行或这两个平面相交，故错误；
对于：如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，故正确；
对于：如果两个平面平行于同一条直线，
则这两个平面平行或这两个平面重合或这两个平面相交，故错误．
故选：．
如图，在长方体中，若，，，分别是棱，，，上的动点．且，则必有　　
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
【解答】解：当与重合，与重合时，与的夹角便是与的夹角，显然与的夹角不是，错误，错误；
当不与重合，，平面，；当与重合时，显然，正确；
当平面与平面重合时，平面与平面不垂直，错误；
当与重合时，平面与平面相交，错误．
故选：．
如图，平面平面，平面，平面，，，，，，则　　．
【解答】解：因为平面平面，平面，平面，
所以，因，则，
则．
故答案为：．
由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面的交线为，求证：．
【解答】证明：（1）取的中点，连接，，
是四棱柱，平行且等于，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（2）平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
由（1）得平面且，、平面，
平面平面．
（3）由（2）得平面，
又平面，平面平面，
．
如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：．
【解答】证明：（1）因为、、分别为、、的中点，
底面为平行四边形，
所以，，
又平面，平面，
则平面，
同理可得平面，
所以平面平面；
（2），
平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
如图，四棱柱的底面是正方形．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面直线，证明．
【解答】（1）证明：四棱柱中，，，所以，
且，，所以，所以四边形是平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面，
同理，平面，
又因为，
且平面，平面，
所以平面平面；
（2）证明：四棱柱中，平面，
且平面平面直线，平面平面，
所以．
平行关系的综合应用
【要点讲解】证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．，，，则
【解答】解：如图所示正方体中，
若直线、分别对应、，底面对应，显然有，，
但，即错误；
若底面对应，侧面、分别对应、，显然有，，
但，即错误；
同上假设底面对应，侧面、分别对应、，
则直线、、分别对应、、，显然三条直线两两垂直，即错误；
由面面平行的性质可知项正确．
故选：．
已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是　　
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【解答】解：平面，，，直线，，，
对于，若，，，则与相交或平行，故错误；
对于，若，，则或，故错误；
对于，若，，，则，，故正确；
对于，若，，，则与相交或平行，故错误．
故选：．
设，是空间中的两条直线，，是空间中的两个平面，下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则与相交
C．若，，，则
D．若，，，则与没有公共点
【解答】解：选项，若，，则，或与异面，
如图1，满足，，但与不平行，错误；
选项，若，，则与平行或相交，
如图2，满足，，但与平行，错误；
选项，若，，，则，或与异面，
如图3，满足，，，但不满足，错误；
选项，结合选项的分析可知：若，，，则，或与异面，
即与没有公共点，
假设与有公共点，设公共点为，则，，则，但，
故矛盾，假设不成立，即与没有公共点，正确．
故选：．
若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
【解答】解：对于、若，，则或与相交，故错误；
对于、若，，，则，的位置关系有平行、相交或异面，故错误；
对于、若，，，则，的位置关系有：平行、相交或直线在平面内，故错误；
对于、若，，则存在，使得，则，故，故正确．
故选：．
设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，由，，可得，故①正确；
对于②，若，，则或，故②错误；
对于③，，，则和可能平行、异面或相交，故③错误；
对于④，根据线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行，故④正确．
正确命题的个数是2．
故选：．
已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题：
（1）若，，则且；
（2）若平面内有不在同一直线的三点、、到平面的距离都相等，则；
（3）若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交；
（4）若，，是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与，，都相交．
其中正确的命题是　　
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
【解答】解：两个不同平面，和三条不重合的直线，，，
对于（1），若，，则有可能在内或在内，故（1）错误；
对于（2），若平面内有不在同一直线的三点、、到平面的距离都相等，则与相交或平行，故（2）错误；
对于（3），假设既不与相交，也不与相交，
，都在内，则，平行，同理，平行，
根据平行公理得，平行，
这与，为异面直线矛盾，故假设不成立，
必与或相交，故（3）正确；
对于（4），如图，，，是异面直线，
上下两个平面，是分别经过，中的一条而与另一条平行的平面，
直线与这两个平面都相交，交点，都不在直线，上，
在直线上任取一点不同于，的点，
，异面，，
则直线与点确定一个平面，
可知这平面与直线相交，设交点为，连接的直线必然相交，
否则这条直线必在平面内，
由于点的任意性，可知这样可以做出无数条直线与，，都相交，故（4）正确．
故选：．
在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则　　
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
【解答】解：对于，假设在正方形内存在一点，使得，
作，，垂足分别为，，连接，
则为矩形，且与相交，
，，，
这与，相交矛盾，故错误；
对于，假设为正方形的中心，为正方形的中心，
作，，垂足分别为，，连接，，
则为矩形，
则，且，为，的中点，连接，，
则，
，，即，故正确；
对于，在正方形内一定存在一点，使得平面平面，
由于平面平面，平面平面，
，而，
则在上，这与题意矛盾，故错误；
对于，假设在正方形内一定存在一点，使得平面，
平面，则，
又，，平面，故，
而平面，平面，故，
而，，平面，
故平面，
平面，故，重合，与题意不符，故错误．
故选：．
如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是　　
A．
B．平面
C．
D．存在点，使得平面平面
【解答】解：对，连接，，分别是，的中点，则，
又，，则为平行四边形，即，
，正确；
对，连接，，，即，
，即，
又平面，平面，则，
因为，，平面，
平面，正确；
对，分别连接，，，
平面，平面，
，，，且，平面，
平面，平面，，
平面，平面，，
，，，平面，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，故正确；
对，是的中点，则，，则为梯形，
与相交，则平面与平面相交，故不正确．
故选：．
如图，在长方体中，，，分别为所在棱的中点，，分别为，的中点，连接，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说出理由．
【解答】解：（1）证明：连接，，，，分别为所在棱的中点，
，，，，
又平面，平面，平面，
同理可证平面，又，平面平面；
（2）线段上存在点，当时，满足平面，
证明如下；如右图，取上靠近点的三等分点为，连接，连接并延长交于点，
连接，则平面与平面为同一平面，
取线段的中点为，连接，，
由平行关系及为的中点，得，则，
因为，分别为，的中点，所以，且，
又且，即且，
所以四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面．
如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：连接，则为的中点，且为的中点，
为的中位线，
；
（2）在上存在点使得平面平面，为的中点，证明如下：
取的中点，连接，，且为的中点，
，且平面，平面，
平面，同理，平面，且，平面，平面，
平面平面．
如图，在三棱柱中，点，分别在线段，上，且满足，．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求出；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由题意可知，
根据相似三角形原理有，
又平面，且不在平面上，
所以平面；
（2）存在．
由于，只需，即有平面平面，
当，
因为，，
所以平面平面，
根据相似三角形原理可知．专题7.3 空间直线、平面的平行
目录
题型一： 直线与平面平行的判定 3
题型二： 直线与平面平行的性质 7
题型三： 平面与平面平行的判定 9
题型四： 平面与平面平行的性质 11
题型五： 平行关系的综合应用 14
直线与直线平行
(1)基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言
符号语言 a∥c
作用 基本事实4表明了平行线的传递性. 可用来证明两直线平行
(2)等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
图形语言
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
直线与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
平面与平面平行
文字语言 图形语言 符号语言
判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 β∥α
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
直线与平面平行的判定
【要点讲解】直线与平面平行的判定问题的解题策略：(1)主旨思想：“线线平行”→“线面平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线，在平面内解决线线平行问题；(3)再交代清楚哪条直线在平面外，哪条直线在平面内，严格依据判定定理进行即可．
下列各图中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是　　
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
如图，点，，，，为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面的是　　
A． B．
C． D．
如图，直三棱柱中，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是　　
A．与是异面直线
B．
C．，为异面直线，且
D．平面
在长方体中，底面为正方形，平面，为的中点，则下列结论错误的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
在正方体中，已知为中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与夹角大小．
如图，在正方体中，为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
如图，在直三棱柱中，已知，，，为的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）；
（2）求证：平面．
如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值．
直线与平面平行的性质
【要点讲解】直线与平面平行的性质定理问题的解题策略：(1)主旨思想“线面平行” →“线线平行”；(2)借助顶点、等分点等作出辅助线进而得到过原直线的一个“新平面”；(3)确定“新平面”与“原平面”的交线，则交线与原直线平行．
如图，在四面体中，是中点，是中点．在线段上存在一点，使得平面，则的值为　　
A．1 B．2 C．3 D．
如图，已知圆锥的顶点为，为底面圆的直径，点，为底面圆周上的点，并将弧三等分，过作平面，使，设与交于点，则的值为　　
A． B． C． D．
如图，在多面体中，平面平面，，且，，则　　
A．平面 B．平面
C． D．平面平面
平面与平面平行的判定
【要点讲解】证明面面平行的常用方法
(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
(2)利用面面平行的判定定理．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
(4)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．
（1）求证：、、、共面；
（2）求证：平面平面．
如图，在正方体中，与交于点，求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面．
平面与平面平行的性质
【要点讲解】平面与平面平行的性质应用
(1)两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行．
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
下列说法正确的是　　
A．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行
C．如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行
D．如果两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行
如图，在长方体中，若，，，分别是棱，，，上的动点．且，则必有　　
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
如图，平面平面，平面，平面，，，，，，则　 ．
由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，为与的交点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面的交线为，求证：．
如图，四棱锥的底面为平行四边形．设平面与平面的交线为，、、分别为、、的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：．
如图，四棱柱的底面是正方形．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面直线，证明．
平行关系的综合应用
【要点讲解】证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，下列结论正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．，，，则
已知平面，，，直线，，，下列说法正确的是　　
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
设，是空间中的两条直线，，是空间中的两个平面，下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则与相交
C．若，，，则
D．若，，，则与没有公共点
若，为空间中两条不同的直线，，，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，则
设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
其中正确命题的个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知两个不同平面，和三条不重合的直线，，，则下列命题：
（1）若，，则且；
（2）若平面内有不在同一直线的三点、、到平面的距离都相等，则；
（3）若，分别经过两异面直线，，且，则必与或相交；
（4）若，，是两两互相异面的直线，则存在无数条直线与，，都相交．
其中正确的命题是　　
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）
在正方体中，点在正方形内，且不在棱上，则　　
A．在正方形内一定存在一点，使得
B．在正方形内一定存在一点，使得
C．在正方形内一定存在一点，使得平面平面
D．在正方形内一定存在一点，使得平面
如图，正方体的棱长为1，动点在直线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是　　
A．
B．平面
C．
D．存在点，使得平面平面
如图，在长方体中，，，分别为所在棱的中点，，分别为，的中点，连接，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说出理由．
如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由．
如图，在三棱柱中，点，分别在线段，上，且满足，．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面平面．若存在，求出；若不存在，请说明理由．专题7.4 空间直线、平面的垂直
目录
题型一： 直线与平面垂直的判定与性质 3
题型二： 平面与平面垂直的判定与性质 10
题型三： 垂直关系的判断 15
题型四： 直线与平面所成的角 30
题型五： 二面角 40
题型六： 存在性问题 47
直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范围是[0°，180°].
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
空间距离
(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
垂直、平行关系的相互转化
直线与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
【解答】解：若，，，则与可能平行与可能异面，故错误；
若，，则或，故错误；
若，，则或，故错误；
若，根据线面垂直的判定方法，易得，故正确；
故选：．
已知直线，和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直线与平面垂直的性质定理可知，要使，
只需在已知直线、和平面、，若，，，则应增加的条件，
故选：．
已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【解答】解：三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，
那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影，满足充分性；
三垂线定理，指的是平面内的一条直线，
如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，
那么它也和这条斜线垂直．所以满足必要性．
故选：．
已知直线和平面，则下列命题中正确的是　　
A．若与斜交，则内不存在与垂直的直线
B．若，则内的所有直线与都垂直
C．若与斜交，则内存在与平行的直线
D．若，则内的所有直线与都平行
【解答】解：对于，若与斜交，则内存在与垂直的直线，故错误；
对于，若，则由线面垂直的性质得内的所有直线与都垂直，故正确；
对于，若1与斜交，则内不存在与平行的直线，故错误；
对于，若，则内的直线与平行或异面，故错误．
故选：．
若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是　　
A．， B．若，
C．， D．若，
【解答】解：对，若，，，可能相交也可能平行，故项不正确；
对，，，则可能有，故，项不正确；
对，，，则必有，故项正确．
故选：．
已知直线，与平面，，，能使的充分条件是　　
A．，， B．，
C．， D．，，
【解答】解：直线，与平面，，，
对于，，，时，也可能满足，如图1，故错误；
对于，，时，也可能满足，如图2，故错误；
对于，，时，一定有，故正确；
对于选项，，，时，不一定成立，如图3，故错误．
故选：．
如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点．
（Ⅰ）若点为线段中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．
【解答】证明：（Ⅰ）平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点，
连结交于，连结，，如图，
四边形是矩形，，且，
又，分别为，的中点，四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，为的中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）在矩形中，，
平面平面，平面平面，平面，
面，
平面，，
，点是的中点，，
，平面．
如图，在长方体中，，，，分别是，的中点．求证：
（1）四边形为平行四边形；
（2）平面．
【解答】证明：（1）以为坐标原点，分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，2，，，1，，，2，，
所以，，
所以，
又，，，四点不共线，所以四边形为平行四边形．
（2）由（1）知，，
所以，
所以，即，，
又因为，，平面，
所以平面．
如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
【解答】证明：（1）在三棱锥中，侧面底面，侧面底面，
而，故平面，平面，
故；
又，是的中点，故，
而，，平面，
故平面；
（2）因为平面，平面，
故，又，，，平面，
故平面，平面，
故，又，，平面，
故，平面，平面，
故平面．
如图，在三棱锥中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【解答】解：（1）
证明：在三角形中，因为，且是的中点，所以，
且，连接，在等边三角形中易得，
所以，所以．
因为，且，平面，所以平面．
（2）
分别取，的中点，，连接，，，
因为，且，，且，
所以或其补角就是异面直线，所成角，
连接，因为平面，所以，
所以在中，斜边上的中线，
又因为，，
所以在三角形中，，
因为，所以异面直线与所成角为．
平面与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）证明：平面平面．
【解答】证明：（1）因为，分别是，的中点，所以，
又因为为正方形，则，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，分别是，的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
且，，平面，
所以平面平面．
（2）因为平面，平面，则，
又因为是正方形，则，
且，，平面，所以平面，
又因为，所以平面，
且平面，所以平面平面．
如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
【解答】证明：（1）因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
由（1）知，所以平面，又平面，
所以平面平面．
如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为2，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【解答】证明：（1）因为四棱柱为正四棱柱，
所以平面，且，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．得证．
解：（2）设点到平面的距离为，与相交于点，连接，
因为正方形的边长为2，，
所以，，
由三线合一可得：，且，
由勾股定理得：，
所以，
，
又，又平面，
故，
由，
故点到平面的距离为．
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为棱上一动点．
（1）在棱上何处时，可使得平面？并证明你的结论；
（2）求证：平面平面．
【解答】解：（1）当为棱的中点时，平面，理由如下：
因为为的中点，为的中点，得，
由四边形为正方形，得，因此，
因为平面，平面，所以平面；
证明：（2）在四棱锥中，平面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，．点为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【解答】（1）证明：四棱锥的底面是矩形，底面，，．点为的中点，
记，因为四边形是矩形，
所以，
所以，
因为点是的中点，所以，
在中，，所以，
因为四边形是矩形，所以，所以，
所以，
又，
所以，
在中，，
所以，所以，即，
因为平面，又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：因为平面，所以是三棱锥的高，故，
连接，因为平面，，平面，所以，，
在中，，所以，
在中，，所以，
在中，由余弦定理得，所以，所以，
所以，即点到平面的距离是．
垂直关系的判断
【要点讲解】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，平面，于．给出下列四个结论：
①；
②平面；
③平面；
④．
其中正确的选项是 　①②③④　．
【解答】解：在中，，，，
可得，
即有，可得；
由平面，可得，
而，可得平面；
由平面，可得，
而，又，
可得平面，即有．
故答案为：①②③④．
已知，是两个互相垂直的平面，，是一对异面直线，下列五个结论：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），，．
其中能得到的结论有　（3）（5）　（把所有满足条件的序号都填上）
【解答】解：，是两个互相垂直的平面，，是一对异面直线，下列五个结论：
（1），，也可能．推不出，所以不正确．
（2），，可能与相交，推不出，所以不正确；
（3），，能得到的结论，正确；
（4），，可能与相交，推不出，所以不正确；
（5），，．能得到的结论，正确；
故答案为：（3）（5）．
如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点．则满足的是 　①③　．（填写正确的序号）
【解答】解：设正方体的棱长为2，
对于①，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，1，，
则，
所以，
所以，故①正确，
对于②，建立如图所示的空间直角坐标系，则，2，，，0，，，1，，，1，，
则，
所以，
所以与不垂直，故②错误，
对于③，建立如图所示的空间直角坐标系，则，2，，，2，，，0，，，1，，
则，
所以，
所以，故③正确，
对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，1，，
则，
所以，
所以与不垂直，故④错误，
故答案为：①③．
以下四个正方体中，满足平面的有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：对，，，
与所成角为，
故与平面不垂直，故错误；
对，在正方体中，平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，故正确；
对，连接，，如图，
在正方体中，由正方体面上的对角线相等可知，为正三角形，
所以，
又，与所成的角为，
所以与平面不垂直，故不正确；
对，连接，，如图，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可得，
再由，，平面，
所以平面，故正确．
故选：．
如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有　　
A．平面 B． C．平面 D．平面
【解答】解：在三棱锥中，平面，可得．
又，，可得平面，故正确；
由，为的中点，可得，而平面，平面，可得，
则平面，所以，故、都正确；
若平面，可得，而平面，即有，
可得在平面内，与重合，显然矛盾，故错误．
故选：．
如图，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则　　
A．
B．平面
C．直线与是异面直线
D．直线与平面的交点是的外心
【解答】解：以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
对于选项，，1，，，0，，，1，，
，，，，即，故正确；
对于选项，，1，，，，即，
又，，平面，
平面，故正确；
对于选项，连接，，
，1，，，0，，，1，，，
则，，所以，
由图知，，不共线，所以，则 ，，四点共面，
所以直线与是共面直线，故错误；
对于选项，设直线与平面的交点为，
由正方体的性质知，，则四面体为正四面体，
又因为平面，则为正三角形的中心，
即为正三角形的外心，故正确．
故选：．
棱长为2的正方体的展开图如图所示．关于该正方体，下列说法正确的是　　
A．
B．平面
C．平面平面
D．动点在正方体的表面上运动，为中点，且，则点的运动轨迹围成的面积为
【解答】解：由展开图还原正方体，如下图．
对于，，且，
四边形是平行四边形，
，故正确；
对于，平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，故正确；
对于，平面，平面，
，
，，、平面，
平面，
又平面，
平面平面，故正确；
对于，，，且，
所以平面，
又平面，
所以．
同理，又，，平面，
所以平面．
分别取、、、、的中点，，，，，
连接，，，，，，
易知，，，
所以，，，，，六点共面，且所在平面平行于平面，
又平面，
所以平面，
点的轨迹是正六边形的边，
点的轨迹围成的面积为，故错误．
故选：．
在正四面体中，，，分别为，，的中点，则　　
A．与平行，平面平面
B．与异面，平面平面
C．与平行，与平面平行
D．与异面，与平面平行
【解答】解：与
平面，平面，，
所以与异面，故选项错误，
与
由于，分别是，的中点，所以，，
由于，所以与是异面直线，选项错误，
连接，由于，是等边三角形，
所以，，由于，，平面，
所以平面，由于平面，
所以平面平面，所以选项正确，
设是的中点，连接，，
由于是的中点，所以，，
所以，所以平面也即平面，
平面，所以选项错误．
故选：．
在三棱柱中，为的中点，，平面，，则下列结论错误的是　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面 D．
【解答】解：在三棱柱中，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则，则，0，、，0，、，2，、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
设平面的法向量为，，，
则，取，
对于选项，因为，即与不垂直，
所以，平面与平面不垂直，错；
对于选项，，所以与不垂直，即平面与平面不垂直，错；
对于选项，，因为，即与不垂直，则与平面不平行，错；
对于选项，，则，所以，对．
故选：．
如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
【解答】解：选项，平面，，
，，、平面，
平面，，即选项正确；
选项，平面，，
，，、平面，
平面，，即选项正确；
选项，若平面，平面，，这与过一点有且仅有一条直线垂直于同一个平面矛盾，即选项错误；
选项，平面，平面，平面平面，即选项正确．
故选：．
如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是　　
①与异面；
②平面；
③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形；
④平面平面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：对于①，连接，，
，，四边形是平行四边形，
又平面，，平面，平面，
平面，又，与是异面直线，故①正确；
对于②，连接，则，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面，故②正确；
对于③，取的中点，当与重合时，连接，则有，，，，四点共面，
即平面截正方体的图形是四边形，如下图：
当点在线段上时，在平面内作直线，交的延长线于，交于，连接，
，，，，四点共面，平面，
，
即平面截正方体的图形是五边形，如下图：
故③错误；
对于④，在正方形内，，，
，
，又平面，平面，
，，平面，，
平面，又平面，
平面平面，故④正确．
故选：．
设，为两条直线，，为两个平面，若，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【解答】解：对于，若，，，则与平行、相交或异面，故错误；
对于，若，，，则与平行、相交或异面，故错误；
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，，则与平行、相交或异面，故错误．
故选：．
直线与平面所成的角
【要点讲解】(1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找) 证 求(算)三步曲．(2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cos θ＝；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cos θ＝. (3)向量法，详见后续内容.
正方体中，直线与平面所成的角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：正方体中，连接，连接，如图，
则有，而平面，平面，即有，
又，，平面，因此平面，
则是直线与平面所成的角，
在△中，，，则有，
所以直线与平面所成的角为．
故选：．
正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，
因为正四棱柱中，，四面体体积为，
所以，
所以，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，2，，，0，，
，2，，，0，，，，，
设，，是平面平面的一个法向量，则，
令，则，
所以，1，，
，，，
所以，，
所以与平面所成角的正弦值为．
故选：．
在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如，分别取，的中点，．由正三棱柱易证，平面．
连接，易知，，两两垂直．
以为原点直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系
由已知得：，0，，，，，，，，，，．
所以，，，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，
所以，即，
令，则，，故，，．
设与侧面所成角为，则．
故选：．
在棱长为2的正方体中，为上的动点，则与平面所成角的正切值不可能为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：如图，
在上取点，使得，连接，
由可知，四边形为平行四边形，则，
因为平面，，所以平面，
所以与平面所成角为，，而．
所以．显然，故不可能．
故选：．
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：（法一）
取的中点，连接，，
因为直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（法二）
取的中点，连接，，
由直三棱柱可得四边形为平行四边形，
又因为为的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为点，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
而，平面，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面．
（2）因为在直三棱柱中又有，
所以，，两两垂直，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，0，，，2，，，1，，，1，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的余弦为．
如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
【解答】解：（Ⅰ）在中，，，，
由余弦定理得，
将代入上式整理得到：
所以，
所以，
在中，，，，
易得，
所以，
又因为，
所以平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，0，，，0，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，
设，
易知，
故，
又因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
即，
解得，
即．
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）取中点为，连接，，如图所示，
因为，分别是，的中点，所以且，
又因为且，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
解：（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，1，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，解得，
即，
又因为，，，
所以直线与平面所成角的正弦值为，．
二面角
【要点讲解】根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找) 证 求(算)三步曲．
如图，在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，连接交于点，连接，
则，，为二面角的平面角，
设，则，
所以．
故选：．
如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，4，，，2，，，4，，设平面的法向量，
，则，
令，则，，
，
同理可得：平面的法向量，
故，
设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值．
故选：．
如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为二面角为，，为棱上的两点，，分别在半平面、内，，，
所以，，，，
又，
所以
．
故选：．
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接交于点，连接，
，分别为，的中点，
，
又在平面内，不在平面内，
平面；
（2）平面，
，
又四边形为正方形，
，
平面，
以点为坐标原点，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
各点坐标如下，，0，，，0，，，2，，
，2，，，0，，，1，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
平面，，
平面的一个法向量为，
，
又二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点，如图：
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求平面与平面所成的二面角的大小．
【解答】解：（1）证明：如图所示，取中点，连、．
，，
，且．
又，且，
且．
四边形为平行四边形，．
平面，平面，
平面．
（2）证明：平面，
．
又是正三角形，是的中点，
．
平面．
又，
平面．
平面平面．
，，
．
平面，
．
（3）解：延长交延长线于，连．
由，知，为的中点，
．
又平面，．
平面．
为所求二面角的平面角．
在等腰直角三角形中，可得．
平面与平面所成的较小二面角是．
如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角大小的余弦值．
【解答】证明：为正三角形，为的中点．
，
平面，面，，
，
面，又面，
平面平面
（Ⅱ）解：取的中点，连接，，为正三角形，，
平面，又，平面，为二面角平面角，
侧面是边长为2的正方形，所以，
为正三角形，，
所以，
，
二面角大小的余弦值为．
存在性问题
如图，在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线　　
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在
【解答】解：作交于，连接，在正方体中，可知，
当，的高度一样时，则，
可得四边形为平行四边形，所以，
正方体中，面，面，
所以，进而可证得，
因为，点的位置无数多个，所以这样的直线由无数多条．
故选：．
在正四面体中，已知，分别是，上的点（不含端点），则　　
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
【解答】解：（1）对于，选项，取，分别为，的中点如图：
因为是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．
所以，所以，同理可证．故错误；
又因为，，且，故平面，又平面，
所以平面平面．故正确．
（2）对于选项，将看成正三棱锥的顶点，易知当在上移动时，的最小值为直线与平面所成的角，即（1）中的，显然为锐角，最大角为，故当在上移动时，不存在，使得．故错误．
（3）对于选项，将看成顶点，则由向底面作垂线，垂足为底面正三角形的中心，不落在上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在，使得平面，故错误．
故选：．
如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为　　
A．存在点，使得 B．存在点．使得
C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面
【解答】解：正方体中，易得平面，
点在直线上，为线段的中点，
当点和重合时，平面，
，故正确；
连接，如图所示：
当点为线段的中点时，为三角形的中位线，即，故正确；
平面，当点和点重合时，平面，
则直线和在同一平面内，故错误；
平面，平面，，
故直线始终与直线不相交，且不平行，是异面直线，故正确．
故选：．
如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面相互垂直，已知，．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：平面平面，
平面平面，，平面，
平面．
平面，
．
过作于，则，，，
，，
，
，
平面，
平面，
．
（2）解：存在满足条件的点，且，理由如下：
由（1）可知，、、两两垂直，
以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，．
假设在线段上存在一点满足题意，则点不与点、重合，
设，则，，设平面的法向量为，，，
由，，可得，
令，则，所以为平面的一个法向量．
同理，可求得为平面的一个法向量．
当时，即时，平面平面，解得，
因此，存在满足题意的点，此时．
如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）证明：取中点，连接，．
在中，因为为中点，所以，．
在矩形中，因为为中点，所以，．
所以，．
所以 四边形为平行四边形，所以．（4分）
因为平面，平面，
所以平面． （6分）
（Ⅱ）解：线段上存在点，且为中点时，
有平面．（8分）
证明如下：连接．
在正方形中易证．
又平面，所以，从而平面．
所以． （10分）
同理可得，所以平面．
故线段上存在点，使得平面．（12分）
如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使面面？并证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：由正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点，
可得，平面，
而平面，则；
（2）在线段上存在一点，且为的中点，使面面．
证明：由（1）可得平面，
又平面，可得．
由为的中点，可得，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
而，则，
，
可得，
即有，
可得平面，
又平面，可得面面．
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：在四棱锥中，
面，面，面，
，，
由在直角梯形中，，
又面，面，
面，又面，
；
（2）由题意及（1）得，存在一点，使得直线垂直于平面．
在四棱锥中，，，
建系如图所示，根据题意可得：
，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，
，，，
设，，，，
又点在线段上，，
，
，，，，
若面，
则，
解得，
，
．专题7.4 空间直线、平面的垂直
目录
题型一： 直线与平面垂直的判定与性质 3
题型二： 平面与平面垂直的判定与性质 7
题型三： 垂直关系的判断 10
题型四： 直线与平面所成的角 14
题型五： 二面角 18
题型六： 存在性问题 21
直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的范围是[0°，180°].
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
空间距离
(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
垂直、平行关系的相互转化
直线与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　
A．，， B．，
C．， D．，
已知直线，和平面，，若，，，要使，则应增加的条件是　　
A． B． C． D．
已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
已知直线和平面，则下列命题中正确的是　　
A．若与斜交，则内不存在与垂直的直线
B．若，则内的所有直线与都垂直
C．若与斜交，则内存在与平行的直线
D．若，则内的所有直线与都平行
若为一条直线，，，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是　　
A．， B．若，
C．， D．若，
已知直线，与平面，，，能使的充分条件是　　
A．，， B．，
C．， D．，，
如图，已知平面平面，四边形是矩形，，点，分别是，的中点．
（Ⅰ）若点为线段中点，求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．
如图，在长方体中，，，，分别是，的中点．求证：
（1）四边形为平行四边形；
（2）平面．
如图，在三棱锥中，侧面底面，，，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
如图，在三棱锥中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
平面与平面垂直的判定与性质
【要点讲解】判定面面垂直的方法：
(1)面面垂直的定义．
(2)面面垂直的判定定理．
如图所示，在四棱锥中，是正方形，平面，，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）证明：平面平面．
如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面平面．
如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为2，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为棱上一动点．
（1）在棱上何处时，可使得平面？并证明你的结论；
（2）求证：平面平面．
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，．点为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
垂直关系的判断
【要点讲解】三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，，平面，于．给出下列四个结论：
①；
②平面；
③平面；
④．
其中正确的选项是 　．
已知，是两个互相垂直的平面，，是一对异面直线，下列五个结论：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），，．
其中能得到的结论有　 　（把所有满足条件的序号都填上）
如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，，为正方体的顶点．则满足的是 　 　．（填写正确的序号）
以下四个正方体中，满足平面的有　　
A． B．
C． D．
如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列结论正确的有　　
A．平面 B． C．平面 D．平面
如图，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则　　
A．
B．平面
C．直线与是异面直线
D．直线与平面的交点是的外心
棱长为2的正方体的展开图如图所示．关于该正方体，下列说法正确的是　　
A．
B．平面
C．平面平面
D．动点在正方体的表面上运动，为中点，且，则点的运动轨迹围成的面积为
在正四面体中，，，分别为，，的中点，则　　
A．与平行，平面平面
B．与异面，平面平面
C．与平行，与平面平行
D．与异面，与平面平行
在三棱柱中，为的中点，，平面，，则下列结论错误的是　　
A．平面平面 B．平面平面
C．平面 D．
如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是　　
A． B．
C．平面 D．平面平面
如图，正方体中，点、、、分别为棱，，，的中点，点为棱上的动点，则下列说法中正确的个数是　　
①与异面；
②平面；
③平面截正方体所得的截面图形始终是四边形；
④平面平面．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
设，为两条直线，，为两个平面，若，则　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
直线与平面所成的角
【要点讲解】(1)根据线面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找) 证 求(算)三步曲．(2)射影法：设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cos θ＝；设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cos θ＝. (3)向量法，详见后续内容.
正方体中，直线与平面所成的角为　　
A． B． C． D．
正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
在棱长为2的正方体中，为上的动点，则与平面所成角的正切值不可能为　　
A．1 B． C． D．
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
如图1，是边长为6的等边三角形，点，分别在线段，上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求．
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
二面角
【要点讲解】根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，步骤是作(找) 证 求(算)三步曲．
如图，在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为　　
A． B． C． D．
如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为　　
A． B． C． D．
如图，二面角等于，，是棱上两点，，分别在半平面，内，，，且，，则　　
A． B． C． D．
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点，如图：
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求平面与平面所成的二面角的大小．
如图，在三棱柱中，平面，为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角大小的余弦值．
存在性问题
如图，在正方体中，点，分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线　　
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在
在正四面体中，已知，分别是，上的点（不含端点），则　　
A．不存在，，使得
B．存在，使得
C．存在，使得平面
D．存在，，使得平面平面
如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为　　
A．存在点，使得 B．存在点．使得
C．直线始终与直线异面 D．直线始终与直线异面
如图，正方形所在平面和等腰梯形所在平面相互垂直，已知，．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
如图示，正方形与正三角形所在平面互相垂直，是的中点．
（1）求证：；
（2）在线段上是否存在一点，使面面？并证明你的结论．
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）证明：；
（2）线段上是否存在一点，使得直线垂直平面，若存在，求出线段的长，若不存在，说明理由．专题7.5 空间向量与立体几何
目录
题型一： 空间向量的线性运算 3
题型二： 共线、共面向量定理 10
题型三： 数量积运算 15
题型四： 求夹角取值范围 17
空间向量及其有关概念
名称 定义
共线(平行) 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向 量定理 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝
.
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|P1P2|＝.
用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向 向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m m·n＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
空间向量的线性运算
【要点讲解】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
已知点，3，，，3，，，则点的坐标为　　
A．，3， B．，， C．，6， D．，3，
【解答】解：设，，，
因为，3，，，3，，
所以，，
因为，所以，，，0，，
所以，解得，即，3，．
故选：．
在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：在正四面体中，平面，
为的中心，连接，
则，
．
故选：．
如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：在空间四边形中，，，，，点为的中点，
则
．
故选：．
在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，．
故选：．
如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，，．
因为是的中点，
所以，
又因为点在上，且，
所以
，
所以．
故选：．
如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：根据题意，，
又，
则，，，
则．
故选：．
平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：依题意
，
又，所以，．
故选：．
如图，平行六面体的各棱长均为1，，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，，，
而，
，
．
故选：．
在平行六面体中，，，，，，则的长　　
A．10 B． C． D．
【解答】解：如下图，，则，
所以，
又，，，，，
所以．
故选：．
三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若，，，求的长．
【解答】解：（Ⅰ）由图形知．
（Ⅱ）由题设条件
，
，．
如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，则下列说法错误的是　　
A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上
【解答】解：如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，
对于：当时，，又，，所以，
则点在棱上，故正确；
对于：当时，，，，点在线段上，故错误；
对于：当时，，
所以，及，且，，点在棱上，故正确；
对于；当时，，，
即，所以点在线段上，故正确．
故选：．
共线、共面向量定理
【要点讲解】(1)对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①＝λ；②对空间任一点O，存在实数t，使＝＋t；③对空间任一点O，＝(1－t)＋t或＝x＋y，这里x＋y＝1.
(2)对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①＝x＋y；②对空间任一点O，＝＋x＋y；③对空间任一点O，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1；④∥.
已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：向量与向量，共面，不共线，则，
即，2，，，，
所以，解得．
故选：．
在下列条件中，点与点，，一定共面的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：若点与点，，共面，则，，共面，从而存在实数，使得，
即，
，
，
而选项都不满足，故错误；
对，由，可得，
因为，所以错误；
对，可得，化简可得，满足，故正确．
故选：．
已知是空间两个不共线的向量，，那么必有　　
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
【解答】解：若共线，则，
又，所以，，则共线，
与条件矛盾，故错误；
同理若共线，则，
又，所以，，则共线，
与条件矛盾，故错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即正确，错误．
故选：．
在下列条件中，一定能使空间中的四点，，，共面的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据共面向量定理，，
若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是，
由此得到选项，，均不正确；
对于，，，，，四点共面．
故选：．
已知，若共面，则实数的值为　　
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：显然向量与不平行，而，，共面，
则存在实数，使，即，5，，，，4，，
于是，解得，所以实数的值为5．
故选：．
已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．7
【解答】解：由，可得，
即，，，0，，
即，解得，，
则．
故选：．
在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，．
（1）用，，表示，；
（2）求证：，，，四点共面．
【解答】解：（1），分别是，的中点，
，
，分别是，的中点，
；
证明：（2），，，
，
，
从而，，，四点共面．
已知空间三点，，，，1，，，3，，设，，．
（1）判断的形状；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）由于空间三点，，，，1，，，3，，
故，，，
所以，故为等腰直角三角形；
（2）空间三点，，，，1，，，3，，设，，．
故，，
由于，故，解得．
已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值．
【解答】解：（1）由已知可得，，
．
（2），，
，存在实数使得，
，，，联立解得．
如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，．
（1）证明、、、四点共面；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）证明：，
又，
又，
，
，
故、、、四点共面；
（2），
又，
，，，．
数量积运算
【要点讲解】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
向量，，满足，，且，则　　
A． B． C．22 D．
【解答】解：因为，，且，
所以，
所以．
故选：．
已知点，2，，，1，，，0，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为点，2，，，1，，，0，，
则，
所以．
故选：．
设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：向量 在向量 上的投影向量为，
又向量在向量上的投影向量为，
则．
当且仅当 时，等号成立，所以的最小值为．
故选：．
已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，2， D．，2，
【解答】解：空间向量在坐标平面上的投影向量为，2，．
故选：．
已知四面体的所有棱长都等于2，是棱的中点，是棱靠近的四等分点，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图：是棱的中点，是棱靠近的四等分点，
，
空间四面体的每条棱长都等于2，
每个面都是等边三角形，
．
故选：．
已知向量，若，，，共面，则在上的投影向量的模为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，共面，则存在实数，，使得，即，1，，，，
于是，
所以在上的投影向量的模为．
故选：．
已知空间向量，，，，2，，若，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：空间向量，，，，2，，
，
．
故选：．
求夹角取值范围
已知空间三点，，，，0，，，3，，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，
所以，
又，所以．
故选：．
已知向量，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据，
可得，2，，，，，
于是，
即，
所以与的夹角为．
故选：．
若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因为，，
令与共线，则，即，，，0，，
即，解得，
此时，，即，与反向，
又与的夹角为钝角，
所以且与不反向共线，
即且，
解得且．
故选：．
已知向量，，，，2，的夹角为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：向量，，，，2，的夹角为钝角，
，
解得，且，
实数的取值范围为，，．
故选：．
若单位向量与向量的夹角等于，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：单位向量，，与向量，1，的夹角等于，
，且，
即，
，即，
故选：．
设，，向量，1，，，，，，，，且，，
（1）求；
（2）求向量与夹角．
【解答】解：（1），，向量，1，，，，，，，，且，，
可得，，解得，，
则，，，
则．
（2）因为，4，，
所以
向量与夹角为．
如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面，为棱上一点，且，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）求，．
【解答】解：（1）依题意可得，，，，3，，，3，，，0，．
（2）因为，，
所以，．专题7.5 空间向量与立体几何
目录
题型一： 空间向量的线性运算 3
题型二： 共线、共面向量定理 6
题型三： 数量积运算 10
题型四： 求夹角取值范围 11
空间向量及其有关概念
名称 定义
共线(平行) 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向 量定理 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝
.
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|P1P2|＝.
用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向 向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m m·n＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
空间向量的线性运算
【要点讲解】用基向量表示指定向量的步骤：①结合已知向量和所求向量观察图形；②将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中；③利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
已知点，3，，，3，，，则点的坐标为　　
A．，3， B．，， C．，6， D．，3，
在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则　　
A． B．
C． D．
如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则　　
A． B． C． D．
在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，，则　　
A． B． C． D．
如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且，设，，．则　　
A． B．
C． D．
如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则，则　　
A．1 B． C． D．
平行六面体的所有棱长都是1，为中点，，，则　　
A．， B．， C．， D．，
如图，平行六面体的各棱长均为1，，，则　　
A． B． C． D．
在平行六面体中，，，，，，则的长　　
A．10 B． C． D．
三棱柱中，、分别是、上的点，且，．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若，，，求的长．
如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，则下列说法错误的是　　
A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上
C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上
共线、共面向量定理
【要点讲解】(1)对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①＝λ；②对空间任一点O，存在实数t，使＝＋t；③对空间任一点O，＝(1－t)＋t或＝x＋y，这里x＋y＝1.
(2)对空间四点P，M，A，B，可通过证明下列结论成立来证明四点共面：①＝x＋y；②对空间任一点O，＝＋x＋y；③对空间任一点O，＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1；④∥.
已知向量，，，若向量与向量，共面，则实数的值为　　
A．1 B． C． D．
在下列条件中，点与点，，一定共面的是　　
A． B．
C． D．
已知是空间两个不共线的向量，，那么必有　　
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
在下列条件中，一定能使空间中的四点，，，共面的是　　
A． B．
C． D．
已知，若共面，则实数的值为　　
A．6 B．5 C．4 D．3
已知向量，，若，则　　
A． B． C． D．7
在正四面体中，，，，分别是，，，的中点．设，，．
（1）用，，表示，；
（2）求证：，，，四点共面．
已知空间三点，，，，1，，，3，，设，，．
（1）判断的形状；
（2）若，求的值．
已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值．
如图所示，在平行六面体中，、分别在和上，且，．
（1）证明、、、四点共面；
（2）若，求的值．
数量积运算
【要点讲解】由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
向量，，满足，，且，则　　
A． B． C．22 D．
已知点，2，，，1，，，0，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为　　
A． B． C． D．
已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是　　
A．，2， B．，2， C．，2， D．，2，
已知四面体的所有棱长都等于2，是棱的中点，是棱靠近的四等分点，则等于　　
A． B． C． D．
已知向量，若，，，共面，则在上的投影向量的模为　　
A． B． C． D．
已知空间向量，，，，2，，若，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
求夹角取值范围
已知空间三点，，，，0，，，3，，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
已知向量，则与的夹角为　　
A． B． C． D．
若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
已知向量，，，，2，的夹角为钝角，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
若单位向量与向量的夹角等于，则　　
A． B． C． D．
设，，向量，1，，，，，，，，且，，
（1）求；
（2）求向量与夹角．
如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面，为棱上一点，且，．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出，，，四点的坐标；
（2）求，．专题7.6 向量法求空间角和距离
目录
题型一： 异面直线所成角 2
题型二： 直线与平面所成角 9
题型三： 平面与平面的夹角 18
题型四： 点到平面的距离 26
用空间向量研究距离、夹角问题
分类 图示 计算公式
夹 角 异面直线所成的角 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ ＝
直线与平面所成的角 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ＝
两个平面的夹角 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝
距 离 点到直线的距离 PQ＝＝(u是直线l的单位方向向量)
点到平面的距离 PQ＝＝ ＝(n是平面α的法向量)
异面直线所成角
【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和异面直线所成角的范围即可求得答案．
在长方体中，已知，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接，，
由几何体的特征可得，
所以异面直线与所成角为，
设，则，，
所以，，
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设与所成角为．
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．
则，0，，，1，，，1，，，0，，
，，0，，，
设，
则，．
，，
当时，，；
当时，，，
此时，，
当且仅当时等号成立．
．
故选：．
如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，将该几何体补成一个直四棱柱，由题易得底面为菱形，且为等边三角形．
连接，，易得，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．
设，则，
所以．
故选：．
如图所示，在正方体中，为线段上的动点，则下列直线中与直线夹角为定值的直线为　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【解答】解：设正方体的棱长为1，如图，以为原点，
分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，
设，，，，，则，，
，，，
，不是定值，故错；
，不是定值，故错；
，所以直线与直线所成角为，故正确；
，不是定值，故错．
故选：．
某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：取正方体的相邻两个面，，
它们的中心分别为，，是对应钟面圆心，
0点时，两个钟面时针分别指向点，，
显然，直线，分别为正方体相邻两个正方形的面对角线所在直线，
它们成的角，即两个钟面时针分别指向点时，两个时针所成的角为，
当两个钟面时针分别指向点，时，有，
因此当时针从0点转到3点的过程中，两个时针所在直线所成的角从逐渐增大到，
令成角的位置时针分别指向棱，上的点，，
如图，建立空间直角坐标系，令，
则，1，，，2，，设，
显然，则，，，，2，，
，，
，解得，
因此时针从0点转到3点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有1个，
同理时针从3点转到6点，6点转到9点，9点转到12点，两个时针所成的角为的位置各有1个，
所以从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有4个．
故选：．
正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接，则，
则（或其补角）为异面直线与所成角，
设正方体的棱长为，则在中，，，
由余弦定理得，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
直线与平面所成角
【要点讲解】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是.
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
【解答】（1）证明：（法一）
取的中点，连接，，
因为直三棱柱中，为的中点，
所以，且，
因为，分别，的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（法二）
取的中点，连接，，
由直三棱柱可得四边形为平行四边形，
又因为为的中点，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
因为点，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
而，平面，平面，
所以平面平面，
而平面，
所以平面．
（2）因为在直三棱柱中又有，
所以，，两两垂直，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，0，，，2，，，1，，，1，，
所以，，，
设是平面的法向量，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成的角的余弦为．
如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置．
【解答】（1）证明：因为是等边三角形，点是的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面；
（2）解：在平面中，作，以为坐标原点，
，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
因为为等边三角形，，，
则，，，0，，
因为，所以，
设，，则，
所以，
，，，
设平面的一个法向量为，
可得，令，得，
设平面的一个法向量为，
可得，令，得，
设平面与平面所成角为，
则，
又因为，解得，
即平面与平面所成的锐角的余弦值为时，点与重合．
如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：设，连接，
由于，，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于平面，平面，
所以平面；
（2）解：依题意，面面，，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
平面的法向量为，
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设平面与平面的夹角为，
则．
如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由题意可得：，，1，，
，，
设为平面的法向量，
则有：，
令，则平面的法向量，2，，
，又平面，
平面．
（2）设，，为平面的法向量，
又
则有：，
令，则平面的法向量，1，，
又，
设直线与平面所成角为，
，
直线与平面所成的角的正弦值为．
如图，在三棱锥中，，平面平面，平面平面，，，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：在线段上任取一点，过点作，垂足为，
因为平面平面，，平面，
所以平面，从而，
同理，由平面平面，可得，
因为，，平面，
所以平面；
（2）解：以为原点，过作平行于的直线为轴，，所在直线分别为， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：
则，1，，，1，，，0，，，
，，
设平面的法向量为，，，
由得，
令，得，0，，
易知平面的一个法向量为，0，，
设二面角的大小为，观察可得为锐角，
所以，
即二面角的余弦值为．
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面，平面，所以，
又底面为正方形，所以，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（Ⅱ）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，0，，，0，，，2，，，0，，
则，0，，，2，，
设平面的一个法向量为，，，
则，即，令，可得，1，，
易知，2，是平面的一个法向量，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
平面与平面的夹角
【要点讲解】解决平面与平面的夹角问题通常用向量法，具体步骤如下：
(1)建立坐标系，建坐标系的原则是尽可能使已知点在坐标轴上或在坐标平面内．
(2)根据题意正确写出所有“相关点”的坐标以及“相关向量”的坐标．
(3)分别求出二面角所在的两个平面的法向量．
(4)利用夹角公式求得法向量的夹角．
(5)将法向量的夹角“翻译”成为所求两平面的夹角．
如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为平面，且为正方形，
故可建立如图所示空间直角坐标系，
因为正方形边长为1，，
则，0，、，1，、，0，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
又，所以．
故选：．
已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：作，垂足为，连接，
，即，，，平面，
平面，平面，
，又，故平面，平面，
为在内的射影，则为与平面所成角，即，
，，
为二面角的平面角，即，
，
在中，由正弦定理有：
，
，
，又，
，，又，
，即，．
故选：．
如图，在四棱锥中，底面是菱形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】证明：（1）设交于，底面是菱形，
则，是中点，
又，所以，
又，，平面，
则平面，
又平面，
则平面平面．
（2），，
不妨设，则，，，
又，则，所以，
所以，
以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，1，，，，，，，0，，
，，，，
设平面的一法向量为，
则，取，则，
同理，求得平面的一法向量，
设平面和平面所成锐角为，
则，
所以，平面和平面所成锐角的余弦值为．
如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，为中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连结交于，连结，
因为为正方形，所以是中点，
又为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，为正方形，所以，，两两垂直．
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，设，则，
则，0，，，2，，，2，，，
，，，，
设，，是平面的法向量，
则，即，取，可得，，，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角正弦值为；
（3）设，，是平面的法向量，
则，即，取，可得，1，，
则，，
显然二面角是钝二面角，故其余弦值为．
如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，
平面，平面，平面，
又平面，平面平面，，
平面，平面；
（Ⅱ）解：取，的中点分别为，，连接，，则，
平面平面，且交线为，平面，
又平面，，当与半圆弧相切时，，即，
以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，易得，，，，2，，，，，，0，，
则，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，，
令，得，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，得，
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面，与底面所成的角为．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：过作于，因为平面平面，
又平面平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，所以，
又因为底面为正方形，，
所以，又，是中点，
可知，为同一点，所以平面；
（2）解：因为底面是正方形，所以，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
又，所以，
所以，
设平面的法向量是，则，，
则有
令，得，
因为，
设平面的法向量为，则，，
则有令，得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
点到平面的距离
【要点讲解】利用空间向量求距离的基本方法：
①两点间的距离：设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝；
②点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，2，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令，得，
点到平面的距离为．
故选：．
如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，4，，，4，，，4，，，4，，
，．
设为平面的法向量为，
则，即，令，得．
又，
点到平面的距离．
故选：．
如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由题意，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，0，，，4，，，0，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
所以点到平面的距离为．
故选：．
正方体的棱长为，则棱到面的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接，，设交点为，则，
因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
所以的长即为棱到面的距离，
由，知所求距离为．
故选：．
在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，则到平面的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，，，得，，
则，，又四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
在平面内，作于点，平面平面，平面平面，
平面，则即为所求点到平面的距离，
在直角三角形中，，又，
．
到平面的距离为．
故选：．
正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：
（1）点到直线的距离；
（2）点到平面的距离．
【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，
，2，，，4，，，4，，，0，，
，
所以到直线的距离为：
．
（2）由（1）得
设平面的法向量为，，，
由，可取，，则，
可得，
所以点到平面的距离为．专题7.6 向量法求空间角和距离
目录
题型一： 异面直线所成角 2
题型二： 直线与平面所成角 4
题型三： 平面与平面的夹角 7
题型四： 点到平面的距离 11
用空间向量研究距离、夹角问题
分类 图示 计算公式
夹 角 异面直线所成的角 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ ＝
直线与平面所成的角 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ ＝
两个平面的夹角 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ ＝
距 离 点到直线的距离 PQ＝＝(u是直线l的单位方向向量)
点到平面的距离 PQ＝＝ ＝(n是平面α的法向量)
异面直线所成角
【要点讲解】找出两条异面直线的方向向量，结合数量积的运算，利用向量的夹角公式和异面直线所成角的范围即可求得答案．
在长方体中，已知，点是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是　　
A． B． C． D．
如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于　　
A． B． C． D．
如图所示，在正方体中，为线段上的动点，则下列直线中与直线夹角为定值的直线为　　
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
某钟楼的钟面部分是一个正方体，在该正方体的四个侧面分别有四个时钟，如果四个时钟都是准确的，那么从零点开始到十二点的过程中，相邻两个面上的时针所成的角为的位置有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　
A． B． C． D．
直线与平面所成角
【要点讲解】利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：①通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角). 注意：直线与平面所成角的取值范围是.
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点．
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置．
如图，在多面体中，四边形是一个矩形，，，，，．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面的夹角的余弦值．
如图，已知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
如图，在三棱锥中，，平面平面，平面平面，，，为的中点．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
平面与平面的夹角
【要点讲解】解决平面与平面的夹角问题通常用向量法，具体步骤如下：
(1)建立坐标系，建坐标系的原则是尽可能使已知点在坐标轴上或在坐标平面内．
(2)根据题意正确写出所有“相关点”的坐标以及“相关向量”的坐标．
(3)分别求出二面角所在的两个平面的法向量．
(4)利用夹角公式求得法向量的夹角．
(5)将法向量的夹角“翻译”成为所求两平面的夹角．
如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为　　
A． B． C． D．
已知二面角的平面角为，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
如图，在四棱锥中，底面是菱形，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，已知，为中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值．
如图，四棱柱中，底面为正方形，与交于点，平面平面，与底面所成的角为．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
点到平面的距离
【要点讲解】利用空间向量求距离的基本方法：
①两点间的距离：设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝；
②点到平面的距离：如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝.
如图，在正四棱柱中，，．点，，分别在棱，，上，，，，则点到平面的距离为　　
A． B． C． D．
如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截得到的，其中，，，，则点到平面的距离为　　
A． B． C． D．
如图，点为矩形所在平面外一点，平面，为的中点，，，，则点到平面的距离为　　
A．1 B． C． D．
正方体的棱长为，则棱到面的距离为　　
A． B． C． D．
在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面平面，则到平面的距离为　　
A． B． C． D．
正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：
（1）点到直线的距离；
（2）点到平面的距离．

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