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专题8.1 直线的方程
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题型一： 直线倾斜角、斜率大小判断 5
题型二： 直线的倾斜角和斜率关系 7
题型三： 线段公共点 9
题型四： 选择合适的形式确定直线方程 12
题型五： 两条直线的平行与垂直 14
题型六： 两条直线相交 16
题型七： 距离问题 17
题型八： 对称问题 21
题型九： 直线方程的综合应用 24
直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
(3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)).
直线的斜率
(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率．
(2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
(3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量.
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180°
斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0
直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 局限性
点斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直线上一定点，k为斜率 不垂直于x轴(k存在)
斜截 式 y＝kx＋b k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例 不垂直于x轴(k存在)
两点 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点 不垂直于x轴和y轴(x1≠x2，y1≠y2)
截距 式 ＋＝1 a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例 不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab≠0)
一般 式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) A，B，C为系数 任何位置的直线
特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线．
两条直线的特殊位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2.
(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2 k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2.
两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
三种距离公式
(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
【常用结论与知识拓展】
1．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程
(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；
(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；
(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.
2．过定点(x0，y0)的直线系方程
过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示为λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ为参数).
3．两条直线平行、垂直的充要条件
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
4．常见直线系方程
(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．对称常用结论
(1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y).
(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y).
直线倾斜角、斜率大小判断
【要点讲解】直接由斜率的定义判断大小即可．
图中的直线，，的斜率分别为，，，则有　　
A． B． C． D．
【解答】解：由图象可得，．
故选：．
如图，已知直线、、的斜率分别为、、，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据函数的图象得：，，
，
故选：．
已知直线，，的斜率分别是，，，如图所示，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线，，的倾斜角分别为：，，．
则，
，即．
故选：．
直线的倾斜角和斜率关系
【要点讲解】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R，同时要知道正切函数在[0，π)上不单调；②求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直线的方程可得直线的斜率，设直线的倾斜角为，且，，
所以，
所以，即．
故选：．
已知直线经过点，，该直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设直线的倾斜角为，
则，又，，
所以，
故选：．
已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知直线的斜率一定存在，
设直线倾斜角为，则斜率为，
由，得，因此．
故选：．
直线的倾斜角的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【解答】解：由于直线，即，故它的斜率为，．
设它的倾斜角为，则，．
或．
故选：．
直线的倾斜角的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由直线的方程可得斜率，
可得，，设直线的倾斜角为，，，
即，，所以，，．
故选：．
已知直线的方程为，，则该直线的倾斜角的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由直线的方程可得直线的斜率，，设直线的倾斜角为，且，，
所以，，
当，时，则，，
所以，，则，，
所以，，．
故选：．
线段公共点
已知，，过点的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，，，
所以，即直线的倾斜角为0，
，即直线的倾斜角为，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的范围为，，
所以直线倾斜角的范围为，．
故选：．
已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：直线，即，
则直线过定点，
，，，
，，
直线与线段（含端点）有公共点，
或，解得或，
故实数的取值范围为．
故选：．
已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　
A． B．，，
C．， D．，，
【解答】解：点，，过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
的斜率为，的斜率为，
直线的斜率或，
故选：．
已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为　　
A．， B．， C．，， D．，
【解答】解：点，，，
的斜率为，的斜率为，
过点的直线与线段有公共点，
直线的斜率或，
直线的斜率或．
故选：．
已知两点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：，即，经过定点，
，．
直线与线段有公共点，
或．
则实数的取值范围，，．
故选：．
选择合适的形式确定直线方程
【要点讲解】根据题目特征，恰当选择合适的直线方程的形式确定直线方程时，要注意每一种直线方程形式的“局限性”，以免得出不全面的结果．
求满足下列条件的直线的点斜式方程：
（1）过点，倾斜角为；
（2）过两点，．
【解答】解：（1）直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为；
（2）直线的斜率为，
所以直线的点斜式方程为．
求满足下列条件的直线方程．
（1）过点，；
（2）在轴、轴上的截距分别为4，；
（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．
【解答】解：（1）由两点式得，化简得．
（2）由直线方程的截距式得，化简得．
（3）当直线过原点时，所求直线方程为；
当直线不过原点时，设所求直线方程 为．
因为直线过点，
所以，解得，
所以所求直线方程为，即．
所以所求直线方程为 或．
已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线的方程：
（1）过点；
（2）在轴上的截距为；
（3）在轴上的截距为3．
【解答】解：直线的斜率为，其倾斜角为，
则直线的倾斜角为，即直线的斜率为，
（1）直线的斜率为，过点，
则直线的方程为，即．
（2）直线的斜率为，在轴上的截距为，
则直线的方程为，即．
（3）直线的斜率为，在轴上的截距为3，
则直线的方程为．
两条直线的平行与垂直
【要点讲解】1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
若，2，，，，，，，三点共线，则　　
A． B． C． D．2
【解答】解：因为，2，，，，，，，，
所以，，
因为，，三点共线，所以向量共线，即，解得，，所以．
故选：．
已知直线，，若，则的值为　　
A． B．6 C．4 D．
【解答】解：因为，所以．
故选：．
已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为直线与直线平行，
所以，解得，
直线可变形为，
所以两平行线之间的距离．
故选：．
已知直线与互相平行，则它们之间的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，且，解得，
此时直线，即，
直线，
所以它们之间的距离．
故选：．
已知直线，，，若且，则值为　　
A． B．10 C． D．2
【解答】解：且，
，，
解得，．
经过验证满足条件，
则．
故选：．
已知直线，，，若，且，则的值为　　
A．4 B． C．2 D．0
【解答】解：直线，，，
若，则，解得；
若，则，解得；
所以．
故选：．
已知直线过点，且与直线垂直，则直线的一般式方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线与直线垂直，
则可设直线为，
直线过点，
，解得，
．
故选：．
两条直线相交
【要点讲解】求两条直线的交点坐标，一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．同时，亦可以采用过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0，通过待定系数法确定．
设直线与直线的交点为，则到直线的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：联立，解得，．可得，
直线，化为：，
因此到直线的距离．
故选：．
已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线过定点，直线过定点，且，互相垂直，
则点的轨迹是以，为半径的圆，圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
故，即．
故选：．
已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设所求直线的方程为，即，
因为直线与垂直，
所以，解得，
所以直线的方程为，即．
故选：．
距离问题
【要点讲解】特别注意的是两点间距离公式的“几何特征”，从而将问题化为几何最值问题，所以必须能够在复杂的题目情境中识别出来，并将问题转化，体现数形结合的数学思想. 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点间的距离，若给了能够联想到两点间距离公式，这里就提醒我们要掌握知识的“直用”也要会“逆用”．
点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．两平行线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式d＝.
若点到直线的距离不大于3，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：直线可化为，
点到直线的距离不大于3，
，解得，
故的取值范围为，．
故选：．
若实数，，，满足，，则的最小值为 　　．
【解答】解：，，
令，，
转化为两个函数与的点之间的距离的最小值，
，设与直线平行且与曲线相切的切点为，，
则，，解得，可得切点，
切点到直线的距离．
的最小值为．
故答案为：．
已知实数、、、满足，，其中是自然对数的底数，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．8
【解答】解：看作直线上的点与函数的图象的点的距离，转化为平行线之间的距离．
的斜率是，
由，可得，解得．当时，，
的最小值为：看作直线，
与之间的距离：．
故选：．
设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 　　．
【解答】解：由题可设，，，，
则，则，
即，
即的最小值为，到，距离平方的最小值，
其中点在曲线上，在直线上，
的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离，
设切点为，，因为曲线导数，
则，解得，所以切点为，
所以，所以．
故答案为：．
直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：且，解得，
两直线方程为与直线，
即与，
故两平行线之间的距离为．
故选：．
已知直线与直线平行，则与之间的距离为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：直线与直线平行，
可得，直线化为，即，
所以与之间的距离：．
故选：．
已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线与直线平行，
，求得，
故两条平行直线与直线，
则它们之间的距离为，
故选：．
若平面内两条平行线与间的距离为，则实数　　
A． B．2 C．或2 D．或
【解答】解：当时，可得，，由，则此时不符合题意；
当时，可得直线的斜率，直线的斜率，
由，整理可得，则，解得或，
当时，可得，，整理的方程可得，
由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意．
当时，可得，，整理的方程可得，
由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意；
综上可得．
故选：．
对称问题
【要点讲解】关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.
已知直线过定点，则点关于直线对称的点的坐标为　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线过定点，
即：，解得，
故；
由于点关于对称，
故对称点的坐标为．
故选：．
已知直线，直线关于直线对称的直线为，则必过点　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线，整理得，故，解得，即直线恒过点；
设点关于直线的对称点的坐标为，
故，解得，即直线必过点．
故选：．
不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可得：，
令，解得：，，所以定点的坐标为，
设直线关于点的对称直线方程为，其中，
因为到直线与的距离相等，
所以，解得，即（舍去）或，
故直线关于点的对称直线方程为．
故选：．
已知直线与直线关于点对称，则实数的值为　　
A．2 B．6 C． D．
【解答】解：设直线关于点对称，设点关于点的对称点的坐标为，
所以，解得，故所求的直线方程为，整理得；
即与直线是同一条直线，
故，．
故选：．
已知点，，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设的坐标为，，则，则的坐标为，
设，，
即．
所以．
故选：．
已知直线：与关于直线对称，与平行，则　　
A． B． C． D．2
【解答】解：直线关于直线对称的直线，即是交换，位置所得，
即，，相互平行，的斜率为，
，
故．
故选：．
直线方程的综合应用
已知的顶点，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
【解答】解：（1），，
直线的斜率，
边上的高所在直线的斜率为2，
边上的高所在直线过点，
边上的高所在直线的方程为，即．
（2），
，
即为以角为直角的直角三角形，
故的外接圆以中点为圆心，为半径，
的外接圆的方程为．
在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点．
（1）求点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线．
【解答】解：（1）四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：（舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是，中点，点坐标为，
（2），，由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：6，
所求直线方程为：，即．
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
（1）直线的一般式方程；
（2）求的边的长．
【解答】解：（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故，
直线方程为，即；
（2）设，，则的中点坐标为，
则，解得，即，
故．
直线经过点，直线．
（1）若，求的直线方程；
（2）若，求的直线方程．
【解答】解：（1）设与直线平行的直线为，
因为直线经过点，则，．
所求直线方程为．
（2）设与直线垂直的直线为，
因为直线经过点，则，解得．
所求直线方程为．
已知的三个顶点是，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求的面积．
【解答】解：（1），，
中点为，
所以中线斜率为，
所以边上的中线所在直线的方程为即．
（2），
边所在的直线方程为，
点到直线的距离，
所以．专题8.1 直线的方程
目录
题型一： 直线倾斜角、斜率大小判断 5
题型二： 直线的倾斜角和斜率关系 7
题型三： 线段公共点 8
题型四： 选择合适的形式确定直线方程 9
题型五： 两条直线的平行与垂直 10
题型六： 两条直线相交 11
题型七： 距离问题 12
题型八： 对称问题 14
题型九： 直线方程的综合应用 15
直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
(3)范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)).
直线的斜率
(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率．
(2)过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
(3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量.
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α ＜90° α＝90° 90°＜α ＜180°
斜率 (范围) k＝0 k＞0 不存在 k＜0
直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 局限性
点斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直线上一定点，k为斜率 不垂直于x轴(k存在)
斜截 式 y＝kx＋b k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例 不垂直于x轴(k存在)
两点 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个定点 不垂直于x轴和y轴(x1≠x2，y1≠y2)
截距 式 ＋＝1 a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例 不垂直于x轴和y轴，且不过原点(ab≠0)
一般 式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) A，B，C为系数 任何位置的直线
特殊地，横截式x＝my＋n表示直线横截距为n，斜率不为零的直线．
两条直线的特殊位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 k1＝k2，特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为l1∥l2.
(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则有l1⊥l2 k1k2＝－1，特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的关系为l1⊥l2.
两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行.
三种距离公式
(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝.
【常用结论与知识拓展】
1．过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程
(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；
(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；
(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0.
2．过定点(x0，y0)的直线系方程
过定点(x0，y0)的直线系方程：y－y0＝k(x－x0)和x＝x0，也可以表示为λ(y－y0)＋μ(x－x0)＝0(λ，μ为参数).
3．两条直线平行、垂直的充要条件
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
4．常见直线系方程
(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0.
5．对称常用结论
(1)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y).
(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y).
直线倾斜角、斜率大小判断
【要点讲解】直接由斜率的定义判断大小即可．
图中的直线，，的斜率分别为，，，则有　　
A． B． C． D．
如图，已知直线、、的斜率分别为、、，则、、的大小关系为　　
A． B． C． D．
已知直线，，的斜率分别是，，，如图所示，则　　
A． B． C． D．
直线的倾斜角和斜率关系
【要点讲解】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R，同时要知道正切函数在[0，π)上不单调；②求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
已知直线经过点，，该直线的倾斜角为　　
A． B． C． D．
已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数的值为　　
A． B． C． D．
直线的倾斜角的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．
直线的倾斜角的取值范围是　　
A． B．
C． D．
已知直线的方程为，，则该直线的倾斜角的取值范围是　　
A． B． C． D．
线段公共点
已知，，过点的直线与线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为　　
A． B．
C． D．
已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是　　
A． B．，，
C．， D．，，
已知两点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为　　
A．， B．， C．，， D．，
已知两点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围是　　
A． B．
C． D．
选择合适的形式确定直线方程
【要点讲解】根据题目特征，恰当选择合适的直线方程的形式确定直线方程时，要注意每一种直线方程形式的“局限性”，以免得出不全面的结果．
求满足下列条件的直线的点斜式方程：
（1）过点，倾斜角为；
（2）过两点，．
求满足下列条件的直线方程．
（1）过点，；
（2）在轴、轴上的截距分别为4，；
（3）过点，且在两坐标轴上的截距相等．
已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的5倍，分别求满足下列条件的直线的方程：
（1）过点；
（2）在轴上的截距为；
（3）在轴上的截距为3．
两条直线的平行与垂直
【要点讲解】1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
若，2，，，，，，，三点共线，则　　
A． B． C． D．2
已知直线，，若，则的值为　　
A． B．6 C．4 D．
已知直线与直线平行，则它们之间的距离是　　
A． B． C． D．
已知直线与互相平行，则它们之间的距离为　　
A． B． C． D．
已知直线，，，若且，则值为　　
A． B．10 C． D．2
已知直线，，，若，且，则的值为　　
A．4 B． C．2 D．0
已知直线过点，且与直线垂直，则直线的一般式方程为　　
A． B． C． D．
两条直线相交
【要点讲解】求两条直线的交点坐标，一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．同时，亦可以采用过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)和A2x＋B2y＋C2＝0，通过待定系数法确定．
设直线与直线的交点为，则到直线的距离为　　
A． B． C． D．
已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知两条直线和的交点为，则过点且与直线垂直的直线的方程为　　
A． B． C． D．
距离问题
【要点讲解】特别注意的是两点间距离公式的“几何特征”，从而将问题化为几何最值问题，所以必须能够在复杂的题目情境中识别出来，并将问题转化，体现数形结合的数学思想. 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点间的距离，若给了能够联想到两点间距离公式，这里就提醒我们要掌握知识的“直用”也要会“逆用”．
点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．两平行线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式d＝.
若点到直线的距离不大于3，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
若实数，，，满足，，则的最小值为 　 ．
已知实数、、、满足，，其中是自然对数的底数，则的最小值为　　
A．2 B． C． D．8
设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为 　 　．
直线与直线平行，那么该两平行线之间距离是　　
A．0 B． C． D．
已知直线与直线平行，则与之间的距离为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知直线与直线平行，则它们之间的距离为　　
A． B． C． D．
若平面内两条平行线与间的距离为，则实数　　
A． B．2 C．或2 D．或
对称问题
【要点讲解】关于中心对称问题的处理方法：①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.
已知直线过定点，则点关于直线对称的点的坐标为　　
A． B． C． D．
已知直线，直线关于直线对称的直线为，则必过点　　
A． B． C． D．
不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为　　
A． B． C． D．
已知直线与直线关于点对称，则实数的值为　　
A．2 B．6 C． D．
已知点，，点关于直线的对称点为点，在中，，则面积的最大值为　　
A． B． C． D．
已知直线：与关于直线对称，与平行，则　　
A． B． C． D．2
直线方程的综合应用
已知的顶点，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点．
（1）求点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线．
已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：
（1）直线的一般式方程；
（2）求的边的长．
直线经过点，直线．
（1）若，求的直线方程；
（2）若，求的直线方程．
已知的三个顶点是，，．
（1）求边上的中线所在直线的方程；
（2）求的面积．专题8.2 圆的方程
目录
题型一： 圆的方程 3
题型二： 与圆有关的轨迹问题 6
题型三： 与圆有关的最值问题 8
圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆.
(3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝.
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点；
③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系
已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.
位置 关系 d与r的 大小关系 图示 点P的坐标满足条件
点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2
点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在 圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
【常用结论与知识拓展】
1．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2 ＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数. 可用来设圆上的点的坐标．
圆的方程
【要点讲解】充分把握题目的特征，标准方程形式更具“几何特征”明确圆心和半径即可；而一般方程形式则更具“代数方程特征”，得到关于待定系数的方程组即可，依据圆的“直径式”方程可以直接写出圆的方程. 几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形；代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或D，E，F.
若圆的半径为2，则实数的值为　　
A． B． C．9 D．8
【解答】解：由，得，
所以，解得．
故选：．
已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：因为圆的一条直径的端点分别为，，
所以圆的圆心，，
则此圆的标准方程是．
故选：．
若圆经过点，，且圆心在直线 上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：圆经过点，，
可得线段的中点为，又，
所以线段的中垂线的方程为，
即．
由，解得，
即，圆的半径，
所以圆的方程为．
故选：．
若方程表示圆，则的范围是　　
A． B．， C． D．，
【解答】解：根据题意，若方程表示圆，则有，
即，解可得，即的取值范围为，
故选：．
经过点，且以为圆心的圆的一般方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意得，圆的半径，
所以圆的标准方程为，
所以圆的一般方程为．
故选：．
若方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由得，解得．
故选：．
圆的圆心和半径分别是　　
A．，3 B．，3 C．，1 D．，1
【解答】解：将圆化成标准方程，得，
圆心坐标为，．
故选：．
设，，则以线段为直径的圆的方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题设，所求圆的圆心为，半径为，
所以以线段为直径的圆的方程是．
故选：．
与圆有关的轨迹问题
【要点讲解】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；还需注意是否有“特殊点”的需要“抠除”．
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，则由中点坐标公式可得，
将代入中得．
故选：．
圆关于直线对称的图形轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：化圆为标准方程，得，
已知圆的圆心为，半径．
所求的圆与圆关于直线对称，
所求圆的半径也等于2，圆心为满足与关于直线对称，
由，解出，，得，
所求圆的方程为．
故选：．
点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设点的坐标为，
，线段的中点为，
，
又点在圆上，
，
即．
故选：．
已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形．
【解答】解：由题可知，，
又因为三角形为等腰三角形，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，
所以点的轨迹方程为，且，
故轨迹为圆（去掉与在同一直线上的点）．
在平面内，，，为动点，若．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于，，求的长．
【解答】解：（1）设，，，
所以，，，
所以，
即，
所以点的轨迹方程为．
（2）由（1）可知点的轨迹为以为圆心，3为半径的圆，
若曲线截直线所得的弦长最小，则圆心到直线的距离最大，
又圆心到直线的距离为，
所以由弦长公式可得弦长为．
与圆有关的最值问题
【要点讲解】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.
(1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝m＋r，dmin＝m－r，其中m为圆心到直线的距离.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型：
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题；
④形如|ax＋by＋c|型的最值问题，可转化为动点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的倍的最值问题.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为　　
A．12 B． C．10 D．6
【解答】解：设中点，则，，
所以，
即，
所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
所以，，
所以，
又，
所以的最大值为12．
故选：．
若直线始终平分圆的周长，则的最小值为　　
A． B．5 C． D．10
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，
圆心坐标为，半径，
直线始终平分圆的周长，
直线过圆的圆心，
把代入直线得：
，即，
到直线的距离，
的最小值为．
故选：．
直线被曲线截得的弦长的最小值为　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由，可得直线过定点，
把圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为，
因此当圆心与连线垂直于直线时，
直线被曲线截得的弦长最小，
此时最小值为．
故选：．
已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为2，
如图，过点作，垂足为，连接，
所以为中点，即，又，
所以，
故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
则点的轨迹方程为，
因为是中点，所以，
则，
所以的最大值为．
故选：．
点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点．则的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，可得，解得，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知的最小值为．
故选：．
已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　　
A． B．6 C． D．
【解答】解：根据题意，圆，变形可得，
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时，
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，
故选：．
已知实数，满足方程，则的最大值是　　
A． B． C．0 D．
【解答】解：的方程可化为，
它表示圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点与点的连线的斜率，
设过圆上点与点的直线方程为，
则圆心到直线的距离，
可得，即最大值为，
故选：．
已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知圆的方程为，设，，，
则，所以，
所以，所以，
化简可得的轨迹方程为．如图所示，
如图当与圆相切时，取得最大值，
此时，，
所以的最大值为．
故选：．
已知圆，点是圆上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知四边形的面积，
所以当取得最小值时，四边形的面积取得最小值．
又，所以．
故选：．
已知直线，若直线与圆交于，两点，则的最小值为　　
A． B．2 C． D．4
【解答】解：直线，即，
令，解得，
所以直线过定点，
圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆内，
则圆心到直线的距离时取等号），
所以时取等号），
所以的最小值为．
故选：．
已知圆，直线与相交于，两点，则的最小值为　　
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：直线可化为，
令，
即，
即直线过点，
又，
则，
由圆的性质可得：当时，取最小值，
则．
故选：．
过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：当面积取最大值时， ，圆与直线相交于，两点，
为坐标原点，圆心，半径，，，
圆心到直线直线的距离为1，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
圆心到直线的距离，解得．
故选：．
已知圆的一条直径的两个端点为和．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，求的最小值，并求出当最小时直线的方程．
【解答】解：（1）由题意可知圆的圆心为，半径为，
因此圆的方程为；
（2）易知当时最小，
因为
所以的斜率为2，
因为直线过点，所以的方程为，
即的方程为，
．
已知直线与圆相交于，不同两点．
（1）求的范围；
（2）设是圆上的一动点（异于，，为坐标原点，若，求面积的最大值．
【解答】解：（1）直线与圆交于两点，
，
解得；
（2）设，，，，
将代入方程，
整理得，
，，
则有，
解得，由（1）知，
所以直线的方程为，
可知圆心在直线上，
是圆的直径，且，
是圆上的一动点（异于，，
到直线的最大距离即为半径为1，
面积的最大值为．专题8.2 圆的方程
目录
题型一： 圆的方程 3
题型二： 与圆有关的轨迹问题 5
题型三： 与圆有关的最值问题 7
圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心，r为半径的圆.
(3)圆的一般方程：对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到：2＋2＝.
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点；
③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系
已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.
位置 关系 d与r的 大小关系 图示 点P的坐标满足条件
点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2
点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在 圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
【常用结论与知识拓展】
1．常见圆的方程的设法
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2＝r2 x2＋y2－r2＝0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2 ＝a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2 x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2 x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
2.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
3．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数. 可用来设圆上的点的坐标．
圆的方程
【要点讲解】充分把握题目的特征，标准方程形式更具“几何特征”明确圆心和半径即可；而一般方程形式则更具“代数方程特征”，得到关于待定系数的方程组即可，依据圆的“直径式”方程可以直接写出圆的方程. 几何法确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形；代数法即设出圆的方程(标准方程或一般方程)，用“待定系数法”求解a，b，r或D，E，F.
若圆的半径为2，则实数的值为　　
A． B． C．9 D．8
已知圆的一条直径的端点分别为，，则此圆的标准方程是　　
A． B．
C． D．
若圆经过点，，且圆心在直线 上，则圆的方程为　　
A． B．
C． D．
若方程表示圆，则的范围是　　
A． B．， C． D．，
经过点，且以为圆心的圆的一般方程为　　
A． B．
C． D．
若方程表示一个圆，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
圆的圆心和半径分别是　　
A．，3 B．，3 C．，1 D．，1
设，，则以线段为直径的圆的方程是　　
A． B． C． D．
与圆有关的轨迹问题
【要点讲解】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆的几何性质列方程；还需注意是否有“特殊点”的需要“抠除”．
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
圆关于直线对称的图形轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是　　
A． B．
C． D．
已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，求底边的另一个端点的轨迹方程，并说明它是什么图形．
在平面内，，，为动点，若．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若直线与曲线交于，，求的长．
与圆有关的最值问题
【要点讲解】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化.
(1)已知圆的半径为r，则①圆O上一点到圆外一点P的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；②圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离d的最大值和最小值分别为dmax＝m＋r，dmin＝m－r，其中m为圆心到直线的距离.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型：
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题；
④形如|ax＋by＋c|型的最值问题，可转化为动点(x，y)到直线ax＋by＋c＝0距离的倍的最值问题.
求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
已知点，若过点的直线与圆交于、两点，则的最大值为　　
A．12 B． C．10 D．6
若直线始终平分圆的周长，则的最小值为　　
A． B．5 C． D．10
直线被曲线截得的弦长的最小值为　　
A． B．1 C． D．2
已知点是圆上的动点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值是　　
A． B． C． D．
点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点．则的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　　
A． B．6 C． D．
已知实数，满足方程，则的最大值是　　
A． B． C．0 D．
已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
已知圆，点是圆上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为　　
A． B． C． D．
已知直线，若直线与圆交于，两点，则的最小值为　　
A． B．2 C． D．4
已知圆，直线与相交于，两点，则的最小值为　　
A． B．2 C．4 D．
过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为　　
A． B． C． D．
已知圆的一条直径的两个端点为和．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点，求的最小值，并求出当最小时直线的方程．
已知直线与圆相交于，不同两点．
（1）求的范围；
（2）设是圆上的一动点（异于，，为坐标原点，若，求面积的最大值．专题8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
题型一： 位置关系的判断 4
题型二： 已知位置关系求参数的值(范围) 5
题型三： 圆的切线 10
题型四： 弦长问题 12
题型五： 圆与圆的位置关系 16
题型六： 两圆的公共弦 18
直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解
相离 0 d>r 无实数解
相切 1 d＝r 两组相同实数解
相交 2 d圆与圆的位置关系
位置 关系 图示 (R>r) 公共点 个数 公切线 条数 几何特征 (O1O2＝d) 两个圆的方程组成的方程组的解
外离 0 4 d>R＋r 无实数解
外切 1 3 d＝R＋r 两组相同 实数解
相交 2 2 R－r< d内切 1 1 d＝R－r 两组相同 实数解
内含 0 0 d【常用结论与知识拓展】
与切线、切点弦有关结论
(1)已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若点M(x0，y0)在圆上，则过M的切线方程分别为x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
②若点M(x0，y0)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
(2)圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为y＝kx±r.
(3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引圆的切线，T为切点，切线长公式为|MT|＝.
位置关系的判断
【要点讲解】判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系. ②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断. ③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．
若直线与圆相切，则　　
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：圆的圆心，半径，
依题意，，解得，
所以．
故选：．
已知圆，直线经过点，则直线被圆截得的最短弦长为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据圆的几何性质及题意可得：
当直线垂直时，直线被圆截得的弦长最短，
又为，为，，
又圆的半径，
直线被圆截得的最短弦长为．
故选：．
设，则直线与圆的位置关系为　　
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
【解答】解：直线可化为，
由，可得，所以直线恒过点．
又，即点在圆上，
所以，过点的直线与圆相交或相切．
故选：．
直线与圆的位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【解答】解：圆可化为，由于圆心，，半径等于，
圆心到直线的距离为，
故直线和圆相交，
故选：．
已知直线，圆．则“”是“与相切”的　　
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：与相切，则圆心到直线的距离，
解得或．
所以“”是“与相切”的充分不必要条件．
故选：．
已知位置关系求参数的值(范围)
【要点讲解】(1)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式(组)进行求解.
(2)解决直线与“局部圆”的位置关系时，不能直接套用直线与整圆的相关结论，往往是通过“数形结合的思想”加以判断．
已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：曲线表示圆在轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，
解得，当点在直线上时，，
可得，
所以实数取值范围为．
故选：．
已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2，
若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，
又直线的一般方程为，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
故选：．
已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设的坐标为，，的中点坐标为，，，即，
又线段中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以，
解得：，解得：．
故选：．
实数，满足，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：易知，
如图所示，则可表示以为圆心，1为半径的圆上一点与定点的连线斜率，
不妨设过点圆的切线方程为，
则到切线的距离为或，
由图可知．
故选：．
过直线上一点作圆的切线，为切点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心到直线的距离，
的最小值为，则的取值范围是．
故选：．
若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意得：为恒过定点的直线，
由曲线，可得，
所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示，
当直线与圆相切时，有，
解得：（舍去）或，
把代入，得，
的取值范围是，．
故选：．
已知圆和两点，，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：圆的圆心，半径为，
圆和两点，，，
圆上至少存在一点，使得，则，
圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，所以，
又，所以，即．
故选：．
圆的切线
【要点讲解】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条，可根据过圆上一点的切线直接写出；若点在圆外，切线应该有两条，注意数形结合思想的应用，特别是注意是否存在无斜率的切线，切勿漏解.
过点作圆的切线，则切线方程为　　
A． B．
C． D．或
【解答】解：根据题意，设圆的圆心为，则，点，
有，点在圆上，
则，故切线的斜率，
则切线的方程为，变形可得，
故选：．
过点作圆的切线，则切线的方程为　　
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：根据题意，圆，其圆心为原点，半径为1，
当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，
当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
所以，解得或，
时，切线方程为，
时，切线方程为，
所以切线的方程为或．
故选：．
过点作圆的切线，则切线方程为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
【解答】解：根据题意，圆的圆心为，半径，
若切线斜率不存在，其方程为，圆心到的距离，符合题意，
若切线斜率存在，设其斜率为，则切线的方程为，即，
圆心到直线的距离，解可得，
此时切线的方程为，
综合可得：切线的方程为或，
故选：．
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程．
【解答】解：（1）根据题意，因为圆过两点，，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即
又因为圆心在直线上，联立
解得，圆心，半径
故圆的方程为，
（2）当过点的切线的斜率不存在时，此时直线与圆相切，
当过点的切线斜率存在时，切线方程为即
由圆心到切线的距离，可得，
将代入，得切线方程为，
综上，所求切线方程为或．
弦长问题
【要点讲解】①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
直线被曲线截得的弦长的最小值为　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：由，可得直线过定点，
把圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为，
因此当圆心与连线垂直于直线时，
直线被曲线截得的弦长最小，
此时最小值为．
故选：．
点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点．则的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据题意，可得，解得，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
由图可知的最小值为．
故选：．
已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知圆的方程为，设，，，
则，所以，
所以，所以，
化简可得的轨迹方程为．如图所示，
如图当与圆相切时，取得最大值，
此时，，
所以的最大值为．
故选：．
过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为　　
A．5 B．2 C． D．4
【解答】解：将代入，得到，
所以点在圆内，
再根据可得圆心坐标，
可知当与垂直时，弦长最小，
因为，
即最短弦长为的一半为，
所以最短弦长为．
故选：．
圆被过点的直线截得的最短弦长为　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：化圆为，
则圆心坐标为，半径为2，
点在圆内部，
，
圆被过点的直线截得的最短弦长为．
故选：．
如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于，，，四点，为弦的中点，则下列说法正确的是　　
A．线段长度的最大值为
B．弦长度的最小值为
C．点的轨迹是一个圆
D．连接四边形各边中点所得四边形面积的最大值为
【解答】解：由题易知圆的方程为，设圆心为，则，半径，
由三角形两边之和大于第三边可知，且，
所以当长度最大时圆心与，共线且在它们中间，此时错误；
由圆的性质知当即圆心与直线距离最大时的长度最小，
此时圆心与直线距离为，故，正确；
设，，分别是，，的中点，则，
且，且，
又，易知四边形为矩形，
而，
圆心到直线，的距离且，
所以，则，故
所以在以为直径，，的交点为圆心的圆上，正确；
由上知，则，
当且仅当时取等号，
此时四边形的面积，故正确．
故选：．
圆与圆的位置关系
【要点讲解】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些. 其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定.
已知圆和，则两圆的位置关系是　　
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【解答】解：因为圆的圆心，半径为1，
圆即的圆心，半径为2，
所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径和为，
所以圆与圆的位置关系是外切．
故选：．
圆与圆的位置关系为　　
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
【解答】解：圆，即的圆心，半径为2；
圆，即的圆心，半径为3；
圆心距为，
因为，所以两个圆的位置关系是外切，
故选：．
已知圆，圆，则两圆的位置关系为　　
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【解答】解：的圆心为，半径，
的标准方程为，圆心为，半径，
两圆的圆心距，，
故两圆相交，
故选：．
若圆与圆则圆与圆的位置关系为　　
A．外离 B．外切 C．内切 D．内含
【解答】解：由已知得圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为3，
圆和圆心的距离，两圆的半径之和为，
即两圆圆心的距离等于两圆半径之和，此时两圆外切．
故选：．
已知圆，圆．
（1）若圆与圆外切，求的值；
（2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题意圆心，半径为，
又圆可化为，故圆心，半径为1，
因为圆与圆相外切，则点与之间的距离等于，
即，所以．
（2）若圆与圆有两个公共点，
则点与之间的距离属于区间，
即，
解得，
所以的取值范围为．
已知圆，圆．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
【解答】解：（1）圆的圆心为，半径为3．
圆的圆心为，半径为，
，所以两圆相交．
（2）由、，
两式相减并化简得，
即公共弦所在直线方程为．
（3）到直线的距离为，
所以公共弦长为．
两圆的公共弦
【要点讲解】求两圆公共弦，一般联立两圆方程消去x2与y2即可，但要注意确定两圆是否一定相交.
圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为　　
A． B． C． D．1
【解答】解：由题意得圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交，
故将和相减得，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
令，则；令，则，
故与两坐标轴所围城的三角形面积为．
故选：．
已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则　　．
【解答】解：由，得，
所以，半径为，
由，得，
所以，半径为，
因为两圆相交，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以当，满足上式时，两圆的公共弦方程为，
因为公共弦所在的直线与直线平行，
所以，
所以．
故答案为：．
圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 　　，弦长为 　　．
【解答】解：两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，即，
圆的标准方程为，其圆心，半径，
所以圆心到公共弦的距离，
所以公共弦长为．
故答案为：；2．
若圆与圆的公共弦长为，则　　
A． B． C．2 D．4
【解答】解：圆与圆两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为，
又，圆心为，半径为2，公共弦长为，
则圆心到直线的距离，
化简得，
解得：．验证知符合题意．
故选：．
已知圆与圆相交于，两点，则两圆的公共弦　　
A． B． C． D．2
【解答】解：圆与圆相交于，两点，
整理得，
所以直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以所截得弦长为，
故选：．
已知圆和．
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
【解答】解：（1）由题意可知：将两圆方程相减可得：，
也即，故圆和圆的公共弦所在直线的方程为，
圆可化为，
圆心坐标，半径，
由点到直线的距离公式可得：到公共弦的距离，
由垂径定理可知：公共弦长，
（2）由（1）知：圆，
圆心坐标，半径，
过点作圆的切线方程，当切线斜率不存在时，切线方程为；
当切线斜率存在时，设切线方程为，也即，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，所以此时切线方程为：，
综上：过点且与圆相切的直线方程为或．
已知圆与圆
（1）求证：圆与圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【解答】证明：（1）圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆心距，，
所以圆与圆相交；
（2）解：两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，
所求圆的方程为．专题8.3 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
题型一： 位置关系的判断 4
题型二： 已知位置关系求参数的值(范围) 4
题型三： 圆的切线 6
题型四： 弦长问题 7
题型五： 圆与圆的位置关系 8
题型六： 两圆的公共弦 10
直线与圆的位置关系
设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解
相离 0 d>r 无实数解
相切 1 d＝r 两组相同实数解
相交 2 d圆与圆的位置关系
位置 关系 图示 (R>r) 公共点 个数 公切线 条数 几何特征 (O1O2＝d) 两个圆的方程组成的方程组的解
外离 0 4 d>R＋r 无实数解
外切 1 3 d＝R＋r 两组相同 实数解
相交 2 2 R－r< d内切 1 1 d＝R－r 两组相同 实数解
内含 0 0 d【常用结论与知识拓展】
与切线、切点弦有关结论
(1)已知
⊙O1：x2＋y2＝r2；
⊙O2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
⊙O3：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
①若点M(x0，y0)在圆上，则过M的切线方程分别为x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
②若点M(x0，y0)在圆外，过点M引圆的两条切线，切点为M1，M2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x0x＋y0y＝r2；
(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2；
x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0.
(2)圆x2＋y2＝r2的斜率为k的两条切线方程分别为y＝kx±r.
(3)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外一点M(x0，y0)引圆的切线，T为切点，切线长公式为|MT|＝.
位置关系的判断
【要点讲解】判断直线与圆的位置关系常见的方法：①几何法：利用d与r的关系. ②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断. ③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题．
若直线与圆相切，则　　
A．9 B．8 C．7 D．6
已知圆，直线经过点，则直线被圆截得的最短弦长为　　
A． B． C． D．
设，则直线与圆的位置关系为　　
A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交
直线与圆的位置关系是　　
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
已知直线，圆．则“”是“与相切”的　　
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知位置关系求参数的值(范围)
【要点讲解】(1)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式(组)进行求解.
(2)解决直线与“局部圆”的位置关系时，不能直接套用直线与整圆的相关结论，往往是通过“数形结合的思想”加以判断．
已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为　　
A． B． C． D．
已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
实数，满足，则的取值范围是　　
A． B．
C． D．
过直线上一点作圆的切线，为切点，则的取值范围是　　
A． B． C． D．，
若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知圆和两点，，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
圆的切线
【要点讲解】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条，可根据过圆上一点的切线直接写出；若点在圆外，切线应该有两条，注意数形结合思想的应用，特别是注意是否存在无斜率的切线，切勿漏解.
过点作圆的切线，则切线方程为　　
A． B．
C． D．或
过点作圆的切线，则切线的方程为　　
A． B．
C．或 D．或
过点作圆的切线，则切线方程为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程．
弦长问题
【要点讲解】①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆O内过点A的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
直线被曲线截得的弦长的最小值为　　
A． B．1 C． D．2
点是圆上任意一点，为圆的弦，且，为的中点．则的最小值为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
已知圆，点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为　　
A． B． C． D．
过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短为　　
A．5 B．2 C． D．4
圆被过点的直线截得的最短弦长为　　
A．2 B．4 C． D．
如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于，，，四点，为弦的中点，则下列说法正确的是　　
A．线段长度的最大值为
B．弦长度的最小值为
C．点的轨迹是一个圆
D．连接四边形各边中点所得四边形面积的最大值为
圆与圆的位置关系
【要点讲解】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些. 其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定.
已知圆和，则两圆的位置关系是　　
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
圆与圆的位置关系为　　
A．外切 B．相交 C．相离 D．内切
已知圆，圆，则两圆的位置关系为　　
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
若圆与圆则圆与圆的位置关系为　　
A．外离 B．外切 C．内切 D．内含
已知圆，圆．
（1）若圆与圆外切，求的值；
（2）若圆与圆有两个交点，求的取值范围．
已知圆，圆．
（1）试判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在直线的方程；
（3）求公共弦的长度．
两圆的公共弦
【要点讲解】求两圆公共弦，一般联立两圆方程消去x2与y2即可，但要注意确定两圆是否一定相交.
圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为　　
A． B． C． D．1
已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则　　　　　　　．
圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 　　　　　　　，弦长为 　　　　　　　．
若圆与圆的公共弦长为，则　　
A． B． C．2 D．4
已知圆与圆相交于，两点，则两圆的公共弦　　
A． B． C． D．2
已知圆和．
（1）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
已知圆与圆
（1）求证：圆与圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．专题8.4 椭圆
目录
题型一： 椭圆的定义及应用 3
题型二： 椭圆中的最值问题 6
题型三： 椭圆标准方程 7
题型四： 椭圆的焦点三角形 9
题型五： 椭圆的几何性质 12
题型六： 位置关系的判断 17
题型七： 弦长问题 20
题型八： 面积问题 23
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
简单几何性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
离心率 e＝，且e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平
在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在.
【常用结论与知识拓展】
(1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
④S＝r1r2sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为.
(4)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率k＝－；
③k·kOM＝－.
椭圆的定义及应用
【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点．
若的两个顶点坐标、，的周长为18，则顶点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：、，，
又的周长为18，．
顶点的轨迹是一个以、为焦点的椭圆，
则，，，
顶点的轨迹方程为．
故选：．
已知圆，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，联结，由于在的中垂线上，有，
则．
是的半径，．
所以到、的距离之和为定值，轨迹为椭圆
椭圆的焦点是、，中心是中点
由于，，
所以，．
则．
则椭圆的方程是：．
即的轨迹方程为．
故选：．
已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设，，设为，
又易知，，，，
根据三角形的重心坐标公式可得：
，，，
又在椭圆上，
，，
即，
的轨迹方程为，
故选：．
已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设点，，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为，
联立，
消去得，
则，
即，
两切线垂直故其斜率之积为，则由根与系数关系知，即．
当切线斜率不存在或为0时，此时点坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为．
故选：．
椭圆中的最值问题
设椭圆的左焦点为，下顶点为，点在上，则的最大值为　　
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：根据题意可得，设椭圆的右焦点为，
则，又点在上，
，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，
故的最大值为3．
故选：．
椭圆上任一点到点的距离的最小值为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：设点的坐标为，有，
．
故选：．
已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：由椭圆的方程可得，焦点，
因为在椭圆内部，设右焦点，则，
则，
当且仅当，，三点共线时取等号，
故选：．
椭圆标准方程
【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程
为　　
A． B． C． D．
【解答】解：两个焦点的坐标分别是，，
椭圆的焦点在横轴上，并且，
由椭圆的定义可得：，即，
由，，的关系解得，
椭圆方程是．
故选：．
椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，
则，即，，
故，
所以椭圆的标准方程是．
故选：．
焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：焦距为，，
长轴长与短轴长之比为，
，即，
且，联立解得，，
焦点在轴上，所以椭圆方程为：．
故选：．
“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由，，可得，；
由方程表示的曲线为椭圆可得，，．
故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
“”是方程“表示椭圆”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【解答】解：方程表示椭圆，解得，且．
“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
“”是“方程表示椭圆”的　　
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：可得，
方程整理可得：；
若，则方程表示单位圆．
若方程：表示椭圆，则且．
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
椭圆的焦点三角形
【要点讲解】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上一点到与两个焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体. 因此具有“双重特征”，即可以利用椭圆的定义和解三角形知识即可解决相关问题，是高考命题热点，题材内容丰富多变，具备良好的考查背景．
如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点．若，，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，则，又因，
又，可得，解得，可得，，
椭圆方程为：，
故选：．
已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则△的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆，可得，，
设，，
由题意可得：，，
解得，
△的面积为．
故选：．
已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆，，为两个焦点，，
为原点，为椭圆上一点，，
设，，不妨，
可得，，即，可得，，
，
可得
．
可得．
故选：．
已知椭圆的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为　　
A．9 B．12 C．18 D．24
【解答】解：因为椭圆，
所以，解得，
又过点的直线交椭圆于，两点，
所以的周长为
．
故选：．
已知，分别为椭圆的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 　　．
【解答】解：为的中点，且，
，，
，，
，
，
，
的周长为28，
，，
由已知可得，，，，，
，，
，，，
，短轴长为．
故答案为：．
椭圆的几何性质
【要点讲解】求椭圆的离心率一般策略：(1)直接利用公式e＝求解；(2)通过构造关于a，c的“齐次方程”来解决，构造关于的方程求解；(3)值得注意的是，只要再确定a，b，c的一个关系，就可以求离心率，椭圆e＝＝＝.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解．
已知椭圆的左右焦点为，，过的直线与椭圆交于两点，为的中点，，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设，，
此时，
因为，
所以，
因为，
所以为锐角，
可得，
在△中，由余弦定理得，
所以，
则△为直角三角形，
此时，
而△的周长，
解得，
所以，
则，
解得．
故选：．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
由椭圆的对称性可知，四边形为长方形，
则，，
由，且，
得，，
，解得．
故选：．
如图，，是椭圆的左、右顶点，是上不同于，的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得在椭圆上，则设，
，，
①，
又是的直径，则，即，
②，
由①②得，
又，则．
故选：．
已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
则，
故，即，
又，
综上所述，椭圆的离心率的取值范围是．
故选：．
已知椭圆关于轴、轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的方程为，
因为不在椭圆的外部，
所以，因为，
所以，化简得：，
同除以得：，结合，
解得：，
故．
故选：．
已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点（不在坐标轴上），的平分线交于，且，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆的焦距为，则，即，
因为平分，且，
所以，
由椭圆的定义知，，
所以，，
因为，
所以，解得，即，
所以离心率，．
故选：．
已知为坐标原点，，，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：令椭圆中，则，
所以．
因为，所以，则，
即，
所以．
故选：．
位置关系的判断
【要点讲解】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.
若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 　，，　．
【解答】解：椭圆，则，且，
直线恒过点，要使直线与椭圆恒有两个公共点，
则必在椭圆内部，，则，
综上可知：的取值范围：，，．
故答案为：，，．
直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 　　．
【解答】解：如图所示，曲线是焦点在轴的上半个椭圆，长半轴的长为2，短半轴的长为1，
是一个斜率为1的直线，
要使两图形有两个交点，直线经过时，直线与半椭圆有两个交点，可得；
直线与椭圆相切，可得，消去，可得，△，解得，舍去，
所以的取值范围是．
故答案为：．
如图，已知直线和椭圆．为何值时，直线与椭圆
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？
【解答】解：由方程组，
消去，得，①
方程①的根的判别式△．
（1）由△，得，此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．
（2）由△，得或，此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点．
（3）由△，得或，此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．
椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则　　
A． B． C． D．2
【解答】解：设，，，，，，
，
由的中点为可得①，②，
由．在椭圆上，可得，，
两式相减可得③，
把①②代入③可得，
整理可得．
故选：．
弦长问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，，，
则，
所以，
整理得，
因为为弦的中点，
所以，，
所以，
所以弦所在直线的方程为，即．
故选：．
在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设以点为中点弦的两端点为，，，，
则有，
两式相减得可得：，
又由点为的中点，则有，，
则有．
即以点为中点的弦所在直线斜率为；
直线方程为：，即．
故选：．
已知椭圆，点是椭圆的弦的中点．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长度．
【解答】解：（1）因为是椭圆弦的中点，
不妨设，，，，
此时，，
因为，两点都在椭圆，
所以，
两式相减得，
即，
因为，
对等式两边同时除以，
可得，
即，
则直线的方程为，
即；
（2）联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
又△，
则．
椭圆左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点，倾斜角为直线与椭圆交于，两点，求．
【解答】（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为：；
又因为点 在椭圆上，
可得，解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）过点，倾斜角为直线的方程为：，即，
设，，，，
联立椭圆的方程，整理可得，
可得，，
代入直线的方程可得，，
即，，，
所以弦长．
面积问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点，在椭圆上．
（1）是上一动点，求的范围；
（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求△的内切圆面积的最大值．
【解答】解：（1）由题间知，，
将，代入，解得，椭圆的方程为：，
设点，则，，，
又，，的取值范围是，．
（2）依题意可设直线的方程为，，，，，
联立，得，
，，
，
又，
当且仅当时等号成立，，
设△的内切圆半径为，则，
△的内切圆面积的最大值为．
已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过点作直线交圆于点，，求面积的最大值．
【解答】解：（1）不妨令，
由阿波罗尼斯圆定义可得，①
因为椭圆的长轴长为，
所以，②
联立①②，可得，
所以，
则椭圆的标准方程为；
（2）因为，
易知直线的斜率不为0，
不妨设直线的方程为，，，，，
联立，
消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为△，
解得，
易知，
因为，同号，
所以
，
不妨令，，
此时
，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值3．
已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点，且满足，求面积的最大值．
【解答】解：（1）因为经过点，且离心率为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理的，
易知，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
即，
此时，
整理得，
解得或（舍，
当时，满足△，
所以直线恒过定点，
因为
，
不妨令，，
此时，
当时，的面积取得最大值，最大值为．专题8.4 椭圆
目录
题型一： 椭圆的定义及应用 3
题型二： 椭圆中的最值问题 4
题型三： 椭圆标准方程 5
题型四： 椭圆的焦点三角形 6
题型五： 椭圆的几何性质 7
题型六： 位置关系的判断 9
题型七： 弦长问题 10
题型八： 面积问题 12
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
椭圆的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
简单几何性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a
离心率 e＝，且e∈(0,1)，e越接近1，椭圆越扁平
在用椭圆定义时，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在.
【常用结论与知识拓展】
(1)椭圆中的最值：P为椭圆上任一点，B为短轴一个端点，则|OP|∈[b，a]；|PF1|∈[a－c，a＋c]；|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]；∠F1PF2≤∠F1BF2.
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形. r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①焦点三角形的周长为2(a＋c)；
②4c2＝r＋r－2r1r2cos θ；
③当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
④S＝r1r2sin θ＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，为.
(4)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率k＝－；
③k·kOM＝－.
椭圆的定义及应用
【要点讲解】根据题目所给条件，抓住动点所满足的条件，根据椭圆定义得出椭圆的标准方程．在得到的标准方程中，要注意是否需要“去除”某些不满足题设条件的点．
若的两个顶点坐标、，的周长为18，则顶点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
已知圆，点，是圆上任意一点，线段的中垂线和直线相交于点，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
已知，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，点是三角形的重心，则点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
已知椭圆方程为，过平面内的点作椭圆的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
椭圆中的最值问题
设椭圆的左焦点为，下顶点为，点在上，则的最大值为　　
A．1 B． C．3 D．
椭圆上任一点到点的距离的最小值为　　
A． B． C．2 D．
已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　
A．3 B． C． D．
椭圆标准方程
【要点讲解】求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.
两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程
为　　
A． B． C． D．
椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是　　
A． B． C． D．
焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为　　
A． B． C． D．
“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
“”是方程“表示椭圆”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
“”是“方程表示椭圆”的　　
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
椭圆的焦点三角形
【要点讲解】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上一点到与两个焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体. 因此具有“双重特征”，即可以利用椭圆的定义和解三角形知识即可解决相关问题，是高考命题热点，题材内容丰富多变，具备良好的考查背景．
如图，椭圆的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆相交于、两点．若，，，则椭圆的方程为　　
A． B． C． D．
已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则△的面积为　　
A． B． C． D．
已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则　　
A． B． C． D．
已知椭圆的左、右焦点分别为，．若斜率为1，且过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为　　
A．9 B．12 C．18 D．24
已知，分别为椭圆的两个焦点，右顶点为，为的中点，且，直线与交于，两点，且的周长为28，则椭圆的短轴长为 　　　　　　　．
椭圆的几何性质
【要点讲解】求椭圆的离心率一般策略：(1)直接利用公式e＝求解；(2)通过构造关于a，c的“齐次方程”来解决，构造关于的方程求解；(3)值得注意的是，只要再确定a，b，c的一个关系，就可以求离心率，椭圆e＝＝＝.求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解．
已知椭圆的左右焦点为，，过的直线与椭圆交于两点，为的中点，，则该椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是椭圆上关于原点对称的两个点，若，且，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
如图，，是椭圆的左、右顶点，是上不同于，的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
已知椭圆中，，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知椭圆关于轴、轴均对称，焦点在轴上，且焦距为，若点不在椭圆的外部，则椭圆的离心率的取值范围为　　
A． B． C． D．
已知，是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点（不在坐标轴上），的平分线交于，且，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知为坐标原点，，，分别是椭圆的左顶点、上顶点和右焦点，点在椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为　　
A． B．1 C． D．
位置关系的判断
【要点讲解】直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定.
若直线与椭圆恒有两个不同的公共点，则的取值范围是 　　　　　　　．
直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是 　　　　　　　．
如图，已知直线和椭圆．为何值时，直线与椭圆
（1）有两个公共点？
（2）有且只有一个公共点？
（3）没有公共点？
椭圆与直线相交于，两点，过的中点与坐标原点的直线的斜率为2，则　　
A． B． C． D．2
弦长问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为　　
A． B． C． D．
在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为　　
A． B． C． D．
已知椭圆，点是椭圆的弦的中点．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长度．
椭圆左、右焦点为，，离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过点，倾斜角为直线与椭圆交于，两点，求．
面积问题
【要点讲解】设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长公式|AB|＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率)，注意该公式是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式Δ>0这一前提.
已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，点，在椭圆上．
（1）是上一动点，求的范围；
（2）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于，两点，求△的内切圆面积的最大值．
已知平面内的动点的轨迹是阿波罗尼斯圆（动点与两定点，的距离之比，，且是一个常数），其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的长轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左焦点为，过点作直线交圆于点，，求面积的最大值．
已知椭圆经过点，且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点，且满足，求面积的最大值．专题8.5 双曲线
目录
题型一： 双曲线的定义 4
题型二： 双曲线的标准方程 6
题型三： 双曲线的焦点三角形 10
题型四： 双曲线的渐近线 11
题型五： 双曲线的离心率 14
题型六： 直线与双曲线的位置关系 25
双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
双曲线的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
简单几 何性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，且e∈(1，＋∞)
【常用结论与知识拓展】
1．与双曲线定义及标准方程相关结论
(1)在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在.
(2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算．
(3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
(4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.
(5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性.
(6)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0).
2．与双曲线几何性质相关结论
(1)离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔.
(2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”.
(3)通径长为.
(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2).
双曲线的定义
【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”还是“双曲线的一支”．
已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：由点，，可得，
又由，可得，
根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以，为焦点的双曲线的右支，
且，可得，则，
所以点的轨迹方程为．
故选：．
动点与点与点满足，则点的轨迹方程为　　．
【解答】解：由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线下支，
得，，
，
，
故动点的轨迹方程是．
故答案为：．
与圆及圆都外切的圆的圆心在　　
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
【解答】解：圆的圆心坐标为，半径为2，
圆可化为，圆心坐标为，半径为1，
设所求圆的圆心，半径为，
由题意可知，，
则，
故由双曲线的定义可知在，所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支．
故选：．
已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：据双曲线的定义知：的轨迹是以，
为焦点，以实轴长为8的双曲线．
所以，，，
所以双曲线的方程为：
故选：．
已知圆和圆，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 　　．
【解答】解：由圆和圆，
得到，半径，，半径，
设圆的半径为，
圆与外切而又与外切，
，，
满足双曲线的定义，是双曲线的一支，且，，
，
动圆圆心的轨迹方程是．
故答案为：．
已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：两定点，，
，
由双曲线定义得，
四个选项的平面内动点的轨迹中，是双曲线的是．
故选：．
双曲线的标准方程
【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.
写出一个离心率为且焦点在轴上的双曲线的标准方程 　（答案不唯一）　．
【解答】解：因为双曲线的离心率，
所以，
即，
又，
所以，
解得，
不妨令，
所以离心率为且焦点在轴上的双曲线的标准方程为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 　　．
【解答】解：由题意得，解得，，，
则双曲线方程为．
故答案为：．
与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为椭圆的焦点坐标为，即，所以，
记，，所以，
所以，所以，
所以双曲线的标准方程为．
故选：．
设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线的标准方程为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可知椭圆方程中的，
根据双曲线的定义可知曲线为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
虚轴长为2
双曲线方程为
故选：．
已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的方程是，
双曲线渐近线为．
又离心率为，
，
，
由此可得双曲线渐近线为，即：
故答案为：．
故选：．
“”是“方程表示的曲线是双曲线”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若曲线表示双曲线，则，解得或．
“”能推出“或”，满足充分性；
“或”不能推出“”，不满足必要性；
故“”是“曲线表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：．
已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设双曲线的方程为，
代入点，得，
故所求双曲线的方程为，
其标准方程为．
故选：．
若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题知在椭圆中，
焦点坐标为，，
双曲线中，焦点坐标为，，，
，，，．
故双曲线的方程为．
故选：．
与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设所求双曲线为，
把点代入，得，
解得，
所示的双曲线方程为．
故选：．
与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线共渐近线，
设要求的双曲线为，
又由双曲线经过点，则，解可得，
则要求双曲线的标准方程为．
故选：．
双曲线的焦点三角形
【要点讲解】根据双曲线的定义，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，结合∠F1PF2＝60°利用余弦定理可得mn＝4b2，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可．
已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则　　
A．3 B．9 C．21 D．27
【解答】解：双曲线，可得，，，
，，则或，
又，故舍去，．
故选：．
如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则　　
A．4 B． C．6 D．9
【解答】解：因为点为的中点，所以，
又，所以，，
所以，
所以，所以．
所以．
故选：．
双曲线的渐近线
【要点讲解】求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0. 双曲线焦点到渐近线的距离为b，这个结论要熟记.
已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，直线与相交于，两点，若线段的中点为，则直线的斜率为　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为双曲线的标准方程为，
所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，
所以焦点到渐近线的距离，
化简得，解得，
所以双曲线的标准方程为，
设，，，，
所以①，②，
①②得，
化简得③，
因为线段的中点为，所以，，代入③，
整理得，
显然，，所以直线的斜率．
故选：．
设双曲线的左、右焦点为、，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于、两点，则的最小值为　　
A．9 B．10 C．14 D．
【解答】解：根据题意可得，，又，，
，
当且仅当弦为双曲线的通径（通径长为，即垂直于轴时，等号成立，
故的最小值为9．
故选：．
若双曲线的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，即，
所以，，又双曲线的焦点在轴上，
则该双曲线的渐近线方程为．
故选：．
已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的焦距为　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：根据双曲线的一条渐近线为，得，解得，
则双曲线的方程为，
则，其焦距．
故选：．
若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，
，
又双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程是，即．
故选：．
双曲线的离心率
【要点讲解】求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e；②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点、两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为　　
A．4 B． C． D．
【解答】解：根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即，
，即，
又，
，
△中，，，，
，
即，解之得，
由此可得双曲线的离心率．
故选：．
已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，为双曲线在第一象限的右支上一点，以为切点作双曲线的切线交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：因为点在第一象限，由，可得，
则，
点，在双曲线上，则，即，
可得，
可得在点，处的切线方程为，
令，解得，
又因为，则，
所以，
即点，
设双曲线的半焦距为，则，，
因为，则，整理得，
则，
可得，
且点为双曲线在第一象限的右支上一点，则，
可得，
在△中，由余弦定理可得：，
即，整理得，
所以双曲线的离心率．
故选：．
如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若△是等边三角形，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
【解答】解：连结，则根据题意可得：
，且，
，，
，
即，
．
故选：．
已知双曲线，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线，则，，则，
该双曲线的离心率，
故选：．
已知双曲线的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为　　
A． B． C．或 D．或
【解答】解：依题意离心率，则，
所以（负值舍去），
又双曲线的渐近线方程为，即，
即渐近线的斜率为或，所以其渐近线的倾斜角为或．
故选：．
双曲线的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：设相对应的渐近线：，由题意直线的斜率为，
可得直线的方程为：，
联立，可得，，
即，由中点坐标公式可得，，
可得为线段的中垂线，
可得，即，
整理可得：，即或，因为，
解得，即离心率为2．
故选：．
已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨设，，椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，
由椭圆及双曲线定义可得，
即，
因为，且，分别为，的中点，
所以，
又到渐近线的距离，
所以，，
又，
解得，①
因为，
所以，
即，
整理得，②
联立①②，解得，
所以．
故选：．
如图所示，，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：在，由正弦定理得：①，
在△中，由正弦定理得：②，
又，则，
得：，
又，则，即，
设，由双曲线的定义得：，，，
由，得，，解得，
，，
在△中，由勾股定理得：，，
整理得，双曲线的离心率．
故选：．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为为坐标原点），则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，由双曲线的定义可得，
即，
由，可得的面积为，即，
又，
则，
化为，即．
故选：．
已知、分别为双曲线的左右焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【解答】解：由题意可知，，设，，在△中，根据正弦定理：，
则，
在△中，根据正弦定理可得，
则，
由，则，
由，则，解得，
由双曲线定义可知，解得，，
在中，根据余弦定理可得，
在中，根据余弦定理可得，
由，则，
可得，整理可得，
由双曲线离心率可知，则可得，
由，解得．
故选：．
如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知，
设，则，，可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在△中，由勾股定理得，即，解得．
故选：．
已知点，是双曲线上关于原点对称的任意两点，点在双曲线上（异于，两点），若直线，斜率之积为，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：设，，，
则，，
，
，
，
，
，
，
，
，又，
．
故选：．
已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
若直线与双曲线无交点，
此时，
即，
所以，
因为，
所以双曲线的离心率的取值范围为．
故选：．
已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：连接、、，则，，
由切线长定理可知，，
又因为，，所以，，
所以，，则，
设点，则，且，
所以，，
所以，，故，
故选：．
已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，，
由，代入不等式中，
整理得恒成立，
则，解得，
又，则；
故选：．
直线与双曲线的位置关系
【要点讲解】有关弦长、面积问题的解题策略：(1)弦长问题，通常利用“弦长公式”，借助“韦达定理”进行求解；(2)面积问题多为“三角形或四边形的面积”，首先是图形的面积怎么表示出来，是通过直接手段还是间接手段，其实质也是“弦长问题”．
已知直线，双曲线，则　　
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
【解答】解：易知直线经过定点，
且点在双曲线的右顶点的右侧，
联立，
解得或，
所以直线与双曲线的右支有两个公共点．
故选：．
已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线的右焦点为，点，
双曲线的渐近线方程：，
直线与只有一个交点，
可得，解得．
故选：．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若为线段的中点，且，则的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
【解答】解：由题意可知，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图．
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，
又为线段的中点，
垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，
，可得，，
所以双曲线的离心率，
故选：．
已知双曲线的离心率为且过点，直线与的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
【解答】解：离心率为的双曲线是等轴双曲线，
所以可设双曲线的方程是，
将点的坐标代入得，
所以的方程是，
将代入上式并消去整理得，
则，解得或．
故选：．
已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
【解答】解：（1）因为双曲线的一条渐近线为，
所以，
又因为双曲线的虚轴长为，
所以，
所以，
所以，
所以双曲线的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线与双曲线没有交点，不合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得，
所以且△，
所以且，
设，，，，
所以，，
所以，
点到直线的距离，
所以，
解得
所以直线的方程为．
已知双曲线的离心率为，设的右焦点为，右顶点为，虚轴下端点为，且．
（1）求的方程；
（2）过坐标原点的直线与交于，两点，与直线交于点，且点，都在第一象限，若的面积是面积的2倍，求的斜率．
【解答】解：（1）不妨设的焦距为，
因为双曲线的离心率为，
所以，①
又，②，
联立①②，可得．
因为，
解得，，
所以的方程为；
（2）不妨设直线的方程为，，，，，，，
易知，，
因为的面积是面积的2倍，
所以，
此时，
即．
因为直线的方程为，
联立，解得，
联立，消去并整理得，
因为，
所以，
对等式两边同时平方得，
解得或，
当时，与直线平行，不符合题意；
当时，，，符合题意．
故直线的斜率为．
已知双曲线经过点，其中一条渐近线为．
（1）求双曲线的方程；
（2）一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值．
【解答】解：（1）由题意，，解得，．
双曲线的方程为；
（2）由（1）得，，则，
又直线的纵截距为，直线过，
可得直线，即．
联立，可得．
设，，，，
则，，
则．
．专题8.5 双曲线
目录
题型一： 双曲线的定义 4
题型二： 双曲线的标准方程 5
题型三： 双曲线的焦点三角形 6
题型四： 双曲线的渐近线 7
题型五： 双曲线的离心率 8
题型六： 直线与双曲线的位置关系 12
双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
双曲线的标准方程和简单几何性质
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
简单几 何性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 (－a,0)，(a,0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，且e∈(1，＋∞)
【常用结论与知识拓展】
1．与双曲线定义及标准方程相关结论
(1)在双曲线定义中，当2a＝|F1F2|时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，轨迹不存在.
(2)在已知双曲线上一点与其中一个焦点的距离时，求该点到另一个焦点的距离时，不能简单套用“||PF1|－|PF2||＝2a”求解，要先判断该点在双曲线的“哪一支”上，然后进行下一步运算．
(3)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.
(4)双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.
(5)直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，此时该公共点为“交点”，而不是相切；而当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个公共点，此时该公共点为“切点”，因此，当直线与双曲线只有一个公共点时，要注意两种情况的可能性.
(6)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为－＝λ(λ≠0).
2．与双曲线几何性质相关结论
(1)离心率e＝＝，离心率越大，双曲线“张口”越大、越开阔.
(2)焦点到渐近线的距离为“虚半轴长”.
(3)通径长为.
(4)P为双曲线上一点，则|OP|≥a，|PF1|≥c－a，△PF1F2的面积为S＝b2·＝(θ＝∠F1PF2).
双曲线的定义
【要点讲解】以双曲线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据双曲线定义进行对比研究，究竟是“双曲线”还是“双曲线的一支”．
已知点，，动点满足条件．则动点的轨迹方程为　　
A． B．
C． D．
动点与点与点满足，则点的轨迹方程为　　　　　　　．
与圆及圆都外切的圆的圆心在　　
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为　　
A． B．
C． D．
已知圆和圆，动圆同时与圆及圆外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 　　．
已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是　　
A． B．
C． D．
双曲线的标准方程
【要点讲解】求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，这样可以简化运算.
写出一个离心率为且焦点在轴上的双曲线的标准方程 　　　　　　．
已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 　　　　　　　．
与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为　　
A． B． C． D．
设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线的标准方程为　　
A． B．
C． D．
已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
“”是“方程表示的曲线是双曲线”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知等轴双曲线经过点，则的标准方程为　　
A． B． C． D．
若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是　　
A． B． C． D．
与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为　　
A． B． C． D．
与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是　　
A． B． C． D．
双曲线的焦点三角形
【要点讲解】根据双曲线的定义，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，结合∠F1PF2＝60°利用余弦定理可得mn＝4b2，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可．
已知双曲线的左右焦点分别是，，是双曲线上一点，若，则　　
A．3 B．9 C．21 D．27
如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若点为的中点，且，则　　
A．4 B． C．6 D．9
双曲线的渐近线
【要点讲解】求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0. 双曲线焦点到渐近线的距离为b，这个结论要熟记.
已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，直线与相交于，两点，若线段的中点为，则直线的斜率为　　
A． B．1 C． D．2
设双曲线的左、右焦点为、，渐近线方程为，过直线交双曲线左支于、两点，则的最小值为　　
A．9 B．10 C．14 D．
若双曲线的焦距长为8，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的焦距为　　
A．2 B．4 C． D．
若双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　
A． B． C． D．
双曲线的离心率
【要点讲解】求双曲线离心率或其范围的常用方法：①求a及b或c的值，由e＝＝＝1＋求e；②列出含有a，b，c的齐次式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点、两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为　　
A．4 B． C． D．
已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，为双曲线在第一象限的右支上一点，以为切点作双曲线的切线交轴于点，若，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C．2 D．
如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若△是等边三角形，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
已知双曲线，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
已知双曲线的离心率为2，则其渐近线的倾斜角为　　
A． B． C．或 D．或
双曲线的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与另一渐近线交于点，若是的中点，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是　　
A． B． C． D．
如图所示，，是双曲线的左、右焦点，的右支上存在一点满足，与的左支的交点满足，则双曲线的离心率为　　
A．3 B． C． D．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为为坐标原点），则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
已知、分别为双曲线的左右焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．
已知点，是双曲线上关于原点对称的任意两点，点在双曲线上（异于，两点），若直线，斜率之积为，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
已知直线与双曲线无公共交点，则的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是　　
A． B． C． D．
已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是　　
A． B． C． D．
直线与双曲线的位置关系
【要点讲解】有关弦长、面积问题的解题策略：(1)弦长问题，通常利用“弦长公式”，借助“韦达定理”进行求解；(2)面积问题多为“三角形或四边形的面积”，首先是图形的面积怎么表示出来，是通过直接手段还是间接手段，其实质也是“弦长问题”．
已知直线，双曲线，则　　
A．直线与双曲线有且只有一个公共点
B．直线与双曲线的左支有两个公共点
C．直线与双曲线的右支有两个公共点
D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点
已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则　　
A． B． C． D．
已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若为线段的中点，且，则的离心率为　　
A． B．2 C． D．3
已知双曲线的离心率为且过点，直线与的右支有两个不同的交点，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C． D．
已知双曲线的一条渐近线为，且双曲线的虚轴长为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记为坐标原点，过点的直线与双曲线相交于不同的两点、，若的面积为，求直线的方程．
已知双曲线的离心率为，设的右焦点为，右顶点为，虚轴下端点为，且．
（1）求的方程；
（2）过坐标原点的直线与交于，两点，与直线交于点，且点，都在第一象限，若的面积是面积的2倍，求的斜率．
已知双曲线经过点，其中一条渐近线为．
（1）求双曲线的方程；
（2）一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值．专题8.6 抛物线
目录
题型一： 抛物线的定义 4
题型二： 抛物线的标准方程 5
题型三： 抛物线的焦点弦 9
题型四： 最值问题 13
题型五： 抛物线与直线方程 16
题型六： 弦长、面积问题 23
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
抛物线标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
开口 向右 向左 向上 向下
焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
简单 几何 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
对称 轴 x轴 y轴
顶点 原点O(0,0)
离心率 e＝1
【常用结论与知识拓展】
1．抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋).
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝.
(6)＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2．抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
3．抛物线的切线
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的两条切线l1，l2，l1∩l2＝P.则有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直线x＝－上；(3)PF⊥AB．
4．抛物线中的焦点三角形
如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝kx－(其中k为直线l的斜率)交抛物线于A，B两点，那么焦点三角形OAB的面积可以表示为S△OAB＝(若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋，则S△OAB＝)．
抛物线的定义
【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，再根据“共线”的几何特征进行求解．
若点到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：点到点的距离比它到直线的距离大1，
点到点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线的定义可知，点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线，
焦准距，
点的轨迹方程为．
故选：．
已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则　2　．
【解答】解：抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，
所以，得．
故答案为：2．
动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是　　
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
【解答】解：动点到点的距离比它到直线的距离大1，
将直线向左平移1个单位，得到直线，
可得点到点的距离等于它到直线的距离．
因此点的轨迹是以为焦点、为准线的抛物线，
设抛物线的方程为，可得，得，
抛物线的方程为，即为点的轨迹方程．
故选：．
设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，若点恰为线段的中点，则　8　．
【解答】解：过点，，分别作抛物线准线的垂线，
垂足为，，，据抛物线定义，
得．
故答案为8
已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离．
【解答】解：（1）曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．
曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，且，
曲线的方程为；
（2）由抛物线的定义结合可得，到准线的距离为2，
即的横坐标为1，代入抛物线方程可得，即，
同理可得，故直线的斜率，
故的方程为，即，
由点到直线的距离公式可得：原点到直线的距离为
抛物线的标准方程
【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
准线方程为的抛物线的标准方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得．
该抛物线的标准方程是．
故选：．
焦点坐标为的抛物线的标准方程是　　
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线的焦点坐标是，
故可设抛物线方程为，
抛物线是焦点在轴负半轴的抛物线，且，得．
抛物线的标准方程为．
故选：．
若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：到其准线的距离为，
故抛物线方程为．
故选：．
以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
【解答】解：直线与坐标轴的交点为，
当抛物线的焦点为时，其标准方程为；
当抛物线的焦点为时，其标准方程为．
故选：．
中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为　　
A． B． C． D．12
【解答】解：根据题意，设该抛物线的方程为，
又由当水面离拱顶时，水面宽，即点和在抛物线上，
则有，解可得，
故抛物线的方程为，
若水面下降，即，则有，解可得，
此时水面宽度为，
故选：．
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 　　．
【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，
设抛物线，可得，所以，
所以抛物线的标准方程．
故答案为：．
过点，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为 　，或　．
【解答】解：设抛物线方程为，
代入点可得，，
解得，，
则抛物线方程为，
设抛物线方程为，
代入点可得，，
解得，，
则抛物线方程为，
故抛物线方程为，或．
故答案为：，或．
经过点焦点在轴上的抛物线标准方程．
【解答】解：设抛物线的标准方程为，把点代入可得：，
，
故所求的抛物线的标准方程为．
分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程．
【解答】解：（1）设椭圆的长轴长为，焦距为，
由条件可得，，
所以，，
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为．
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为．
综上所述，所求抛物线的标准方程为或．
（1）求准线为的抛物线标准方程；
（2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为2的双曲线标准方程．
【解答】解：（1）准线为的抛物线标准方程为；
（2）设双曲线标准方程为，
由实轴长为2得，即，
由渐近线得，即，
故抛物线标准方程为．
抛物线的焦点弦
【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征“直角梯形”)的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
【解答】解：已知椭圆的右焦点，
若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，
此时，
解得．
故选：．
抛物线的焦点到准线的距离为　　
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：抛物线可化为，则，
由抛物线的定义得焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为4；
故选：．
已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为　　
A．12 B．16 C．18 D．19
【解答】解析：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
设，
由抛物线的定义可得，，解得，
故点的横坐标为18．
故选：．
已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是　　
A． B． C． D．4
【解答】解：由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
，
所以当，，三点共线时，最小，．
故选：．
设抛物线的准线与轴的交点为，为坐标原点，经过、两点的圆与直线相切，圆与抛物线的另一个交点为，若，则　　
A．2或 B．2或4 C．或 D．2或
【解答】解：抛物线的准线与轴的交点为，为坐标原点，经过、两点的圆与直线相切，圆与抛物线的另一个交点为，
设圆心，，半径为，已知，，，
在中，由正弦定理得，
，．
又圆与直线相切，
当时，则圆心到直线距离，得；
当时，则圆心到直线距离．
即，，或（舍，
综上或．
故选：．
直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，线段中点的纵坐标为1，为坐标原点，则到直线的距离为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由抛物线得焦点，
设，，，，则，
两式相减得，即，
因为线段中点的纵坐标为1，即，
所以，即，
所以直线的方程为，即，显然此时直线与抛物线有两交点，
所以到直线的距离．
故选：．
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图，当点在第一象限时，过点，分别向准线作垂线，垂足为，，作，垂足为，
则轴，设，则，，
由抛物线的定义得，，则有，
在中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，
，，，
于是直线的倾斜角为，斜率．
当点在第四象限时，根据抛物线的对称性可得斜率为．
故选：．
最值问题
抛物线上有一动点，其焦点为，，则的最小值为 　15　．
【解答】解：由题可知，抛物线焦点为，准线为，
过作准线的垂线为交准线为点，
根据抛物线的定义可知，
所以，
因为为抛物线上的动点，所以当为点时，取到最小值为．
故答案为：15．
已知点及抛物线上一动点，，则的最小值为　2　．
【解答】解：用抛物线的定义：
焦点，准线，设到准线的距离为
（当且仅当、、共线时取等号）
故的最小值是2．
故答案为：2．
已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由向量投影的运算可得：，
由抛物线的性质可得，
即：，
则：最小值为3．
故选：．
抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为　　
A．0 B．4 C．5 D．6
【解答】解：抛物线的焦点，
又圆的圆心，半径，
抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为：
．
故选：．
已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线任意一点，当取最小值时，点的坐标为 　　．
【解答】解：设点在准线上的射影为，如图，
则根据抛物线的定义可知，，
求的最小值，即求的最小值，
显然当，，三点共线时最小，
此时点的横坐标为1，代入抛物线方程可知．
故答案为：．
已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是　　
A．2 B． C． D．
【解答】解：设抛物线的焦点为，
则，
，当且仅当三点，，共线时取等号，
的最小值是．
故选：．
已知抛物线上一点，，点，则的最小值是　　
A．10 B．8 C．5 D．4
【解答】解：由抛物线，可得准线方程，焦点，
因为，在抛物线上，可得，
又因为，可得在抛物线的外部，
所以，
可得，
所以，当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号，
所以的最小值为8．
故选：．
抛物线与直线方程
【要点讲解】对于开口向上或向下的抛物线的切线问题，常常借助导数的几何意义写出切线方程，则根据韦达定理等解决问题，常用的解题策略有“变量代换”，“同构法确定直线”等．所谓“同构法确定直线”即若A(x1，y1)，B(x2，y2)分别满足x1－2y1＋2＝0，x2－2y2＋2＝0，则直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
已知点，在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点　　
A． B．， C． D．
【解答】解：当直线的斜率为0时，直线与抛物线只有1个交点，不符合题意，
所以直线的斜率不为0，设其方程为，因为点，在抛物线上，
所以设，，，，所以，，
解得或．又因为，两点位于轴的两侧，所以．
联立得，△，所以，
即，所以直线的方程为，所以直线一定过点．
故选：．
已知抛物线，过点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴的交点为点，若，则的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不妨直线的方程为，
联立，消去并整理得，
易知△，
解得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
所以，
此时中点为，
因为，
解得或（舍去），
此时垂直平分线方程为，
不妨令，
解得，
所以，
此时，
而点到直线距离，
则．
故选：．
已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为，．若，则直线的斜率为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：因为椭圆的方程，
所以，即，
所以右焦点为，
因为抛物线的方程为，
所以抛物线的焦点为，，
所以，即，
所以抛物线方程为，
所以直线的方程为，
所以，
过点，分别作准线的垂线，垂足为，，
取的中点，过作准线的垂线，垂足为，
由，
所以，
又为的中点，
所以，
所以，即为的中点，
设，则，，，
所以，
所以，
所以，
所以点的横坐标为，
代入抛物线的方程可知点的纵坐标为，
所以，，
把点坐标代入直线的方程：，
所以，即，
故选：．
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点是原点，若，则的面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，抛物线的焦点，准线方程为，
，
，代入抛物线方程可得，
，
直线的方程为，
联立方程，解得或，
，
，
故选：．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，且，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，的中点为，轴于点，过，作准线的垂线，垂足分别为，，如图：
由抛物线的定义知，
故，
所以，
即，
解得或（舍去），
故的横坐标为，
设直线，，，，，
将代入，
得，
则，
解得，
故直线的方程为．
故选：．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设，由题知，设中点为，作轴于点，过、作准线的垂线，垂足分别为、，由抛物线定义及梯形中位线性质知：，于是，由垂径定理：，即，解得或，又，故，于是横坐标为：，设直线，代入有：，则，解得，故直线方程为：．
故选：．
在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为　　
A． B．
C．或 D．或
【解答】解：如图，
抛物线的准线为，
由准线与圆相切于点，
则，解得．
则抛物线方程为：，
设直线的方程为，
联立方程得，，
由直线与抛物线相切得，
△，解得，即，
所以直线的方程为，即或．
故选：．
弦长、面积问题
【要点讲解】解决直线与抛物线相交的弦长、面积问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
已知过点的直线与抛物线交于，两点，且当的斜率为1时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
【解答】解：（1）当斜率为1时，
可得直线的方程为，
此时直线恰好经过坐标原点，
不妨设，
则为抛物线上的点，
所以，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的焦点，
当直线经过时，
直线的方程为，
联立，消去并整理得，
不妨设，，，，
由韦达定理得，，
则的面积．
已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，求弦的长．
【解答】解：（1）依题意可设的方程为，
则，解得．
所以的方程为；
（2）将代入，得，
则△，，，
因为过抛物线的焦点，
所以．
已知抛物线的焦点为，为上一动点，为圆上一动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值．
【解答】解：（1）由题得，
当点，，，四点共线且点，在，中间时，取得最小值，
最小值为，
又，解得，
所以的方程为；
证明：（2）当直线的斜率为0时，显然不适合题意，
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，，，
联立方程，消去得，
则△，，，
所以，又，
所以，
所以，解得或（舍去），
即，所以，
所以，
又，
所以，
即为定值0．
已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点（位于对称轴异侧），为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线必过定点．
【解答】（1）解：因为点是抛物线上一点，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：因为，位于对称轴异侧，所以不与对称轴平行，
设直线的方程为， ，且，
联立，消去可得，
所以△，且，，即，
所以，
由，得，即，解得或，
故直线的方程为，
所以直线必过定点，得证．
已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．
（1）求的方程及焦点的坐标．
（2）过点的直线交抛物线于，两点，且的面积为8，求直线的方程．
【解答】解：（1）由抛物线的定义可得：，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由题意可设直线方程为，，，，，
由，得，
所以△，，，
因为，
所以，得，故直线的方程为：．
抛物线的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1），
当轴时，，
根据抛物线的定义可得，解得，
抛物线的方程：；
（2）设，，，，
直线方程为：即，
直线过点，
，
同理，直线，即，
直线过点，，同理可得，
，，
直线的方程为：，
，
当时，，
直线恒过定点．
已知点在抛物线上，、为抛物线上的两个动点，不垂直于轴，为焦点，且．
（1）求的值，并证明的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中的定点为，求面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由．
【解答】解：（1）因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
设直线的方程为，，，，，，
由，得，
△，
，，
因为，所以，，
所以，①
设的中点为，，
所以，，
所以的垂直平分线方程为，②
联立①②，可得，
所以的垂直平分线过定点．
（2），
点到直线的距离为，
所以
，
，
令，则，，
，
解得：（舍去），，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在，单调递减，
所以当时，取最大值为，
所以面积最大值为．专题8.6 抛物线
目录
题型一： 抛物线的定义 4
题型二： 抛物线的标准方程 5
题型三： 抛物线的焦点弦 7
题型四： 最值问题 8
题型五： 抛物线与直线方程 9
题型六： 弦长、面积问题 11
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
抛物线标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
开口 向右 向左 向上 向下
焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
简单 几何 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
对称 轴 x轴 y轴
顶点 原点O(0,0)
离心率 e＝1
【常用结论与知识拓展】
1．抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋).
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝；|AB|＝.
(6)＋＝；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2．抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
3．抛物线的切线
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的两条切线l1，l2，l1∩l2＝P.则有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直线x＝－上；(3)PF⊥AB．
4．抛物线中的焦点三角形
如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l：y＝kx－(其中k为直线l的斜率)交抛物线于A，B两点，那么焦点三角形OAB的面积可以表示为S△OAB＝(若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋，则S△OAB＝)．
抛物线的定义
【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，再根据“共线”的几何特征进行求解．
若点到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为　　
A． B． C． D．
已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则　　　　　　．
动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是　　
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，若点恰为线段的中点，则　　　　　　．
已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离．
抛物线的标准方程
【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
准线方程为的抛物线的标准方程是　　
A． B． C． D．
焦点坐标为的抛物线的标准方程是　　
A． B． C． D．
若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为　　
A． B． C． D．
以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为　　
A．或 B．或
C．或 D．或
中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为　　
A． B． C． D．12
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 　　　　　　　．
过点，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为 　　　　　　．
经过点焦点在轴上的抛物线标准方程．
分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程．
（1）求准线为的抛物线标准方程；
（2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为2的双曲线标准方程．
抛物线的焦点弦
【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征“直角梯形”)的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为　　
A． B． C．1 D．2
抛物线的焦点到准线的距离为　　
A．4 B．2 C． D．
已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为　　
A．12 B．16 C．18 D．19
已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是　　
A． B． C． D．4
设抛物线的准线与轴的交点为，为坐标原点，经过、两点的圆与直线相切，圆与抛物线的另一个交点为，若，则　　
A．2或 B．2或4 C．或 D．2或
直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，线段中点的纵坐标为1，为坐标原点，则到直线的距离为　　
A． B． C． D．
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则　　
A． B． C． D．
最值问题
抛物线上有一动点，其焦点为，，则的最小值为 　　　　　　　．
已知点及抛物线上一动点，，则的最小值为　　　　　　　．
已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为　　
A．0 B．4 C．5 D．6
已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线任意一点，当取最小值时，点的坐标为 　　　　　　　．
已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是　　
A．2 B． C． D．
已知抛物线上一点，，点，则的最小值是　　
A．10 B．8 C．5 D．4
抛物线与直线方程
【要点讲解】对于开口向上或向下的抛物线的切线问题，常常借助导数的几何意义写出切线方程，则根据韦达定理等解决问题，常用的解题策略有“变量代换”，“同构法确定直线”等．所谓“同构法确定直线”即若A(x1，y1)，B(x2，y2)分别满足x1－2y1＋2＝0，x2－2y2＋2＝0，则直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
已知点，在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点　　
A． B．， C． D．
已知抛物线，过点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴的交点为点，若，则的面积为　　
A． B． C． D．
已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为，．若，则直线的斜率为　　
A．1 B． C． D．
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点是原点，若，则的面积为　　
A． B． C． D．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，且，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则直线的方程为　　
A． B． C． D．
在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为　　
A． B．
C．或 D．或
弦长、面积问题
【要点讲解】解决直线与抛物线相交的弦长、面积问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
已知过点的直线与抛物线交于，两点，且当的斜率为1时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，求弦的长．
已知抛物线的焦点为，为上一动点，为圆上一动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值．
已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点（位于对称轴异侧），为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线必过定点．
已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．
（1）求的方程及焦点的坐标．
（2）过点的直线交抛物线于，两点，且的面积为8，求直线的方程．
抛物线的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
已知点在抛物线上，、为抛物线上的两个动点，不垂直于轴，为焦点，且．
（1）求的值，并证明的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中的定点为，求面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由．

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