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专题9.1 计数原理、排列组合
目录
题型一： 两个原理的综合应用 3
题型二： 涂色问题 7
题型三： 排列、组合的基本问题 11
题型四： 分堆与分组分配问题 14
题型五： “球”与“盒”模型 16
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
2.运用分类计数原理的关键是分类标准的确定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类，即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准．
3.分类与分步都是数学思维中的“分解” 策略，前者是“横向分解”，分解为若干种满足要求的类型；后者是“纵向分解”，将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤．
排列与组合
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数
定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念 正整数1到n的连乘积，用n！表示．A＝n！，0！＝1
排列数公式(n，m∈N*，m≤n). 连乘式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式A＝
(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(4)组合数
定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示
组合数 公式 乘积式 C＝＝
阶乘式 C＝
两个 性质 性质1 C＝C
性质2 C＝C＋C
常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A＝nA＝mA＋A；
(n＋1)！－n！＝n·n！；
(2)kC＝nC；C＝C＋C＋…＋C.
两个原理的综合应用
【要点讲解】应用两个原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析三点：(1)要完成的“一件事”究竟是什么；(2)怎样算是完成；(3)完成的过程中是分类还是分步，或是在完成的过程中要先分类再分步，亦或先分步再分类等；总之，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤严谨完整”.
某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有　　
A．9种 B．10种 C．11种 D．12种
【解答】解：用表示编号的面试者回答的试题为，其中，，2，3，，
所以的全部可能情况有：，，，，，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
，，，，
所以共有9种．
故选：．
电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为　　
A． B．27 C． D．6
【解答】解：分3步取色，第一、第二、第三次都有256种取法，
根据分步乘法计数原理得，共可配成种颜色．
故选：．
某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有　　
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
【解答】解：学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，
买1本有3种方法，买2本有种方法；买3本有1种方法；
共有7钟不同的方法，
故选：．
3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：不同选法的种数是，因为第一个班有4种选择，第二个班有4种选择，第三个班有4种选择，
由分步计数原理可知，不同选法的种数是．
故选：．
书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有　　
A．22种 B．350种 C．32种 D．20种
【解答】解：根据题意，任选一本阅读，包括3种情况：
①一本语文有10种取法，
②一本数学有5种取法，
③一本英语有7种取法，
则不同的选法有种；
故选：．
从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？　　
A．60 B．80 C．100 D．120
【解答】解：从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成不同的三位数有：个．
故选：．
五名旅客在三家旅店投宿的方法有 　243　种．
【解答】解：完成这件事，可分成五个步骤：
第一步安排一名旅客，有3种投宿方法，
同理第二步，第三步，第四步，第五步依次安排一名旅客，都各自有3种方法，
根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有（种；
故答案为：243．
六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有　216　种．
【解答】解：最左端排甲，共有种，最左端排乙，最右端不能排甲，有种，
根据加法原理可得，共有种．
故答案为：216．
如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路．则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 　13　种．
【解答】解：若电路不通，则分情况：
（1）若焊接点脱落一个，则有1，4共2种情况；
（2）若焊接点脱落两个，则有、，、、，、，、，、共6情况；
（3）若焊接点脱落三个，则有、2、，、2、，、3、，、3、共4种情况；
（4）若焊接点脱落四个，则有、2、3、共1种情况；
电路不通共有种．
故答案为：13．
书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 　90　种不同的插法．（具体数字作答）
【解答】解：根据题意，分2次放入，第一次放入有9种情况，
而放入第2本时，有10个空位，即10种情况，
故不同的放法有种，
故答案为：90．
用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数．
（1）组成的四位数中，大于4000的有多少个？
（2）能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？
【解答】解：（1）根据题意，要求四位数大于4000，
其千位数字可以为4、5或6，有3种情况，
百、十、个位任意排列，有种情况，
则大于4000的四位数有个；
（2）根据题意，能被25整除的四位数其后面两位数字为25或50，
若后面两位数字为50，有种情况，
若后面两位数字为25，有种情况，
则有个被25整除的四位数；
其和为．
设有6幅不同的国画，4幅不同的油画，5幅不同的水彩画．
（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
【解答】解：（1）分三步完成，第一步选国画有6种，第二步选油画有4种，第三步选水彩画有5种，
根据分步计数原理得，共有种；
（2）分三类，第一类，选国画和油画共有种，第二类，选国画和水彩画共有种，第三类，选油画和水彩画共有种，
根据分类计数原理共有种．
涂色问题
【要点讲解】解决涂色问题的基本手段是“树形图”，即对涂色的每一区域进行逐个讨论，直至按要求完成涂色．
现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 　180　．
【解答】解：按、、、顺序着色，
区块有5种着色方案，
区块有4种着色方案，
区块有3种着色方案，
区块有3种着色方案，
故不同的着色方法种数为，
故答案为：180．
如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为　　
A．480 B．600 C．720 D．840
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
首先涂一个陕西，有5种结果，再涂湖北省，有4种结果，
第二步涂安徽，分类若安徽与陕西同色，此时江西有三种，再涂湖南有三种，即，
若安徽与陕西不同，则安徽有三种涂法，江西，湖南也各有三种涂法，即，
共有．
故选：．
如图，用四种不同颜色给图中的，，，，，，，八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 　168　种．
【解答】解：①对，，，涂4种颜色，对于剩下的，，，各剩2种颜色，
且相领的都含有一种颜色是相同的，
即当某个点取一种颜色时，其它点的颜色是确定的，
则，，，共有2种情况，共有种；
②对，，，涂3种颜色，对于，，，从4种颜色中取3种，即，
从这3种颜色中取1种来作重复的一种，即，
再对这4种颜色进行排列，重复的那种只能在对角，有2个对角，
再对其他不重复的2种进行排列，有，即种，
对于剩下的，，，，同①一样，各剩2个颜色，
当其中一点取一种颜色时，其他点的颜色是确定的，共有2种，
故共有种；
③，，，涂2种颜色，则选2种颜色，涂在对角位置，有种方法，
，，，共2种颜色，故共有种方法，
一共有种方法．
故答案为：168．
如图，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 　72　种．
【解答】解：先给①②③号区域涂色，分别有4种，3种和2种涂色方法，
再给④号和⑤号区域涂色，
当④号与②号同色时，④号有1种涂色方法，⑤号有2种涂色方法；
当④号与②号不同色时，④号有1种涂色方法，⑤号有1种涂色方法，
共有种涂色方法．
故答案为：72．
如图，现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 　48　种．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
需要先给①着色，有4种结果，
再给②着色，有3种结果，
再给③着色有2种结果，
最后给④着色，有2种结果，
根据分步计数原理知共有种结果，
故答案为：48．
在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有　　
A．720种 B．2160种 C．4100种 D．4400种
【解答】解：考虑，，三个区域用同一种颜色，共有方法数为种；
考虑，，三个区域用2种颜色，共有方法数为种；
考虑，，三个区域用3种颜色，共有方法数为种．
所以共有方法数为种．
故选：．
如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
【解答】解：（1）先对部分种植，有4种不同的种植方法；再对部分种植，有3种不同的种植方法；对部分种植进行分类：
①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种；
②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种；
综上所述，共有96种种植方法；
（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成的5组，有种分法；
②若分成的5组，有种分法；
将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有种分法．
排列、组合的基本问题
【要点讲解】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④搞清楚“间隔排列”与“不相邻”的区别；⑤“分排”问题“直排化”处理；⑥对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.
解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；③应防止出现如下常见错误：如第3小题，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得CC≠825，请同学们自己找错因．④对于“多面手”问题，要注意分类讨论.
有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（结果用数字回答，过程对酌情给分）
（1）选4人排成一排；
（2）排成前后两排，前排1人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前．
【解答】解：（1）选4人排成一排，有种；
（2）排成前后两排，前排1人，后排4人，有种；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起，有种；
（4）全体排成一排，男生互不相邻，有种；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种；
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种；
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种．
6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为，，，的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【解答】解：（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，
再把丙丁插空进行排列，所以共有．
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，
共有种，再分到4个项目，
即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种．
五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在正中间；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．
【解答】解：（1）甲必须在正中间，则其余四个人全排列，有种排法；
（2）相邻问题用“捆绑法”．将甲、乙“捆绑”成一个元素与其他3人排，有种，
而甲、乙之间也有顺序，
所以共有（种．
（3）分两类．第一类：甲在排尾，有（种．
第二类：甲不在排尾，那么甲只能从中间3个位置中选1个，有 种；
乙只能从除排尾和甲的位置的3个位置中选1个，有种；
其余3人任意排，有种．
所以第二类情况有（种．
所以共有（种．
（4）不相邻问题用“插空法”．先将其余3个全排列有种排法，
再将甲、乙插入4个空位有 种排法，
所以一共有种不同排法．
分堆与分组分配问题
【要点讲解】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列. 分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数：. 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组；④有时会遇到“局部的平均分组”问题，这是要注意在“局部”内部解决“消序”问题．
将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不同的分法种数为　　
A．6 B．12 C．18 D．24
【解答】解：当甲得一本书时，先从除1号书外的3本书中选1本给甲，然后将剩下的3本书分成两组分给其余的两人，所以有种；
当甲得两本书时，先从除1号书外的3本书中选2本给甲，然后剩下两本书给其余两人每人一本，所以有种，
所以由分类加法原理可得共有24种．
故选：．
今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有　　
A．18 B．24 C．32 D．64
【解答】解：在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，
现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，
甲不能到第一个地点服务，
则不同的安排方法共有种．
故选：．
某校安排5名同学去，，，四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到基地的排法总数为　　
A．24 B．36 C．60 D．240
【解答】解：①当基地安排1人时，排法总数为；
②当基地安排2人时，排法总数为，
满足题意的所有排法数为．
故选：．
2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，山东也成为备选地之一．若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有　　
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【解答】解：①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选课相同的2个部门选出，有种可能；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有，
根据分步计数原理可得，方法有种；
②4个部门所选的旅游地全不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理可得，
则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．
故选：．
体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有　　
A．6种 B．7种 C．8种 D．5种
【解答】解：设该校购买个篮球，个足球，则，
故，．
当，时，；
当，时，；
当，时，（舍去）；
当，时，；
当，时，；
当，时，（舍去）；
当，时，；
当，时，（舍去）．
故不同的选购方式有5种．
故选：．
5名同学到甲、乙、丙、丁四个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆且所有同学都被安排完，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　　
A．12种 B．60种 C．120种 D．240种
【解答】解：第一步：将5个同学分为4组，即2，1，1，1，共有种分法；
第二步：将4组分配给4个场馆，
共有种分法．
故选：．
“球”与“盒”模型
【要点讲解】“球”与“盒”模型的解题策略：(1)明确球与盒放入个数的具体要求；(2)球的编号与盒的编号的要求；(3)明确“隔板法”的应用前提，是将“相同元素”隔开，计算“相同元素”的分隔情况，解题时要慎之又慎.
（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【解答】解：（1）将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，
将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，
所以，不同的放法种数为种．
将，，，这4个小球放入4个不同的盒子中．
（1）若，要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子最多只能放2个小球，有多少种不同的放法？
【解答】解：（1）若，要放入同一个盒子中，根据捆绑法，
可看成将3个不同的小球放入4个不同的盒子中，不同的放法有种．
（2）第一种情况：4个小球各自放入4个不同的盒子中，共有种放法．
第二种情况：有2个小球放入同一个盒子中，剩余2个小球同时放入另一个盒子中，
共有种放法．
第三种情况：有2个小球放入同一个盒子中，剩余2个小球各自放入一个盒子中，
共有种放法．
故不同的放法有种．
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一个球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【解答】解：（1）每一个小球都有4种放法，故共有种．
（2）每个盒至多一个球即每个盒子均有一球，也就是4个元素的排列，故有种不同的放法；
（3）恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法；
（4）分2步进行分析，从4个盒子中选出一个盒子当作空盒，种选法，再将其余3个盒子装球，
由题意，3个盒子分别装2，1，1个球，只要选一个盒子装2个球，另外的2个盒子一定是每个装一个球，有种选法，
所以，总方法数为种．
盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球．
（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
（3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【解答】解：（1）将2个不同的白球和3个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将3个不同的黑球进行排序，然后将2个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种．
（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，
则黑球的个数可以是1或2或3，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种．
（3）先将这5个小球分为3组，则这三组小球的个数分别为3、1、1或2、2、1，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种．专题9.1 计数原理、排列组合
目录
题型一： 两个原理的综合应用 3
题型二： 涂色问题 6
题型三： 排列、组合的基本问题 8
题型四： 分堆与分组分配问题 10
题型五： “球”与“盒”模型 11
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法，…，第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
2.运用分类计数原理的关键是分类标准的确定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的位置进行分类，即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准．
3.分类与分步都是数学思维中的“分解” 策略，前者是“横向分解”，分解为若干种满足要求的类型；后者是“纵向分解”，将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤．
排列与组合
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数
定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念 正整数1到n的连乘积，用n！表示．A＝n！，0！＝1
排列数公式(n，m∈N*，m≤n). 连乘式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式A＝
(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(4)组合数
定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示
组合数 公式 乘积式 C＝＝
阶乘式 C＝
两个 性质 性质1 C＝C
性质2 C＝C＋C
常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A＝nA＝mA＋A；
(n＋1)！－n！＝n·n！；
(2)kC＝nC；C＝C＋C＋…＋C.
两个原理的综合应用
【要点讲解】应用两个原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析三点：(1)要完成的“一件事”究竟是什么；(2)怎样算是完成；(3)完成的过程中是分类还是分步，或是在完成的过程中要先分类再分步，亦或先分步再分类等；总之，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤严谨完整”.
某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的试题的编号和自己的编号都不同的情况共有　　
A．9种 B．10种 C．11种 D．12种
电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为　　
A． B．27 C． D．6
某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有　　
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为　　
A． B． C． D．
书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有　　
A．22种 B．350种 C．32种 D．20种
从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三位数？　　
A．60 B．80 C．100 D．120
五名旅客在三家旅店投宿的方法有 　 　种．
六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 　　种．
如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路．则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 　 　　种．
书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 　 　　种不同的插法．（具体数字作答）
用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数．
（1）组成的四位数中，大于4000的有多少个？
（2）能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？
设有6幅不同的国画，4幅不同的油画，5幅不同的水彩画．
（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
涂色问题
【要点讲解】解决涂色问题的基本手段是“树形图”，即对涂色的每一区域进行逐个讨论，直至按要求完成涂色．
现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 　 　．
如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为　　
A．480 B．600 C．720 D．840
如图，用四种不同颜色给图中的，，，，，，，八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有 　168　种．
如图，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 　 　　种．
如图，现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 　 　　种．
在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有　　
A．720种 B．2160种 C．4100种 D．4400种
如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
排列、组合的基本问题
【要点讲解】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④搞清楚“间隔排列”与“不相邻”的区别；⑤“分排”问题“直排化”处理；⑥对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.
解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；③应防止出现如下常见错误：如第3小题，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得CC≠825，请同学们自己找错因．④对于“多面手”问题，要注意分类讨论.
有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（结果用数字回答，过程对酌情给分）
（1）选4人排成一排；
（2）排成前后两排，前排1人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前．
6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为，，，的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在正中间；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；
（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．
分堆与分组分配问题
【要点讲解】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列. 分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数：. 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组；④有时会遇到“局部的平均分组”问题，这是要注意在“局部”内部解决“消序”问题．
将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不同的分法种数为　　
A．6 B．12 C．18 D．24
今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有　　
A．18 B．24 C．32 D．64
某校安排5名同学去，，，四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到基地的排法总数为　　
A．24 B．36 C．60 D．240
2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，山东也成为备选地之一．若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有　　
A．1800 B．1080 C．720 D．360
体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有　　
A．6种 B．7种 C．8种 D．5种
5名同学到甲、乙、丙、丁四个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆且所有同学都被安排完，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有　　
A．12种 B．60种 C．120种 D．240种
“球”与“盒”模型
【要点讲解】“球”与“盒”模型的解题策略：(1)明确球与盒放入个数的具体要求；(2)球的编号与盒的编号的要求；(3)明确“隔板法”的应用前提，是将“相同元素”隔开，计算“相同元素”的分隔情况，解题时要慎之又慎.
（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
将，，，这4个小球放入4个不同的盒子中．
（1）若，要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子最多只能放2个小球，有多少种不同的放法？
将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一个球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球．
（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
（3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）专题9.2 二项式定理
目录
题型一： 求(a＋b)n形式的“特定项” 3
题型二： 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 5
题型三： 三项式的展开式 7
题型四： “二项式系数”与“项的系数”的最值问题 8
题型五： “二项式系数”与“项的系数”的和 10
二项式定理
二项式 定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式
通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0,1,2，…，n)
二项式 系数 各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)
二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
杨辉三角的性质
(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数．
求(a＋b)n形式的“特定项”
【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．
在的展开式中，的系数为 　24　．
【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，3，4，
令，解得，
所以的系数为．
故答案为：24．
若的展开式中共有个有理项，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：的展开式通项公式为：，，1，2，3，4，5，6，7，8，
当，4，8时，，，为有理项，
故．
故选：．
“”是“的二项展开式中存在常数项”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】解：由题意，展开式的通项为：，
当时，，展开式的第五项为常数项，充分性成立；
当时，展开式中存在常数项，如，，故必要性不成立，
所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件．
故选：．
已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为　　
A．28 B． C．45 D．
【解答】解：令，则展开式中各项系数之和为，解得，
所以的展开式的通项公式为，
令，则，
所以展开式中的系数为．
故选：．
二项式的展开式中含项的系数是　　
A．6 B． C． D．12
【解答】解：因为二项式的展开式通项为，
令，则，
所以二项式的展开式中含项的系数为．
故选：．
在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数　　
A．15 B．54 C．12 D．
【解答】解：由于二项式系数的和是16，故，解得，
故，
当时，展开式中项的系数为．
故选：．
的展开式中项的系数是　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据的展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式中项的系数是．
故选：．
求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项
已知展开式中的系数为48，则实数　　
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：展开式的通项公式为，，1，，
令，则，
令，则，
展开式中的系数为，解得．
故选：．
展开式中含的系数是　　
A．28 B． C．84 D．
【解答】解：展开式的通项为，，1，2，，9，
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得；
当选取1时，由已知可得，应选取展开式中含的项，
由，可得，
所以展开式中含的系数是．
故选：．
展开式中的系数为　　
A．56 B． C．64 D．
【解答】解：的二项展开式满足，
当时，系数为，
当时，系数为，
故展开式中的系数为．
故选：．
二项式展开式中的系数为　　
A．120 B．135 C． D．
【解答】解：二项式，
故它的展开式中的系数．
故选：．
已知的所有项的系数和为3，则的系数为　　
A．80 B．40 C． D．
【解答】解：由题意令中即可得到，解得，
此时变为了，若要得到这一项分以下两种情形：
情形一：第一步若取中的，则第二步只能取1个中的，取3个中的，
所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形一所对应的的系数为；
情形二：第一步若取中的，则第二步能取2个中的，取2个中的，
所以由分步乘法计数原理以及组合数可知情形二所对应的的系数为．
因此由分类加法计数原理可知的展开式中的系数为．
故选：．
三项式的展开式
【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
在的展开式中，的系数为　　
A．60 B．15 C．120 D．30
【解答】解：在的展开式中，含的项为，
故含的系数为，
故选：．
的展开式中，的系数为　　
A． B．60 C． D．120
【解答】解：因为
，所以
的展开式通项为，
令，得，则的系数为．
故选：．
的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有　　
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
【解答】解：由题设，多项式展开式各项形式为，
且，，，且都为整数），
故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，
即．
故选：．
在的展开式中，的系数是　　
A．24 B．32 C．36 D．40
【解答】解：根据题意，的项为：．
故的系数是40．
故选：．
“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等并最大.
已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：展开式中只有第5项是二项式系数最大，则，
展开式的通项为，
则该展开式中各项系数，
若求系数的最小值，则为奇数且，解得，
系数的最小值为．
故选：．
的展开式中各项系数的最大值为　　
A．112 B．448 C．896 D．1792
【解答】解：该二项式的通项公式为，
由，可得．
因为，
所以展开式中各项系数的最大值为．
故选：．
设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题知，
（2），
因为存在常数项，
所以，所以，
为正整数，
故时，最小，为3，
故选：．
已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和．
（2）系数绝对值最大的项．
【解答】解：的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，
则，解得，
（1）的展开式中所有二项式系数之和为；
（2）的展开式中系数的绝对值最大的项，即的展开式中系数的最大的项，
的展开式的通项公式为，
，即，解得，
，
，
系数绝对值最大的项为．
已知．
（1）若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求；
（2）若展开式中存在常数项，求的最小值．
【解答】解：（1）由题意，；
（2）展开式通项为，
令，可得，
时，有最小正整数值5．
“二项式系数”与“项的系数”的和
【要点讲解】(1)①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
(2)对于展开式中含有(m＋x)因式的展开问题的一般策略是①“换元法”，即令(m＋x)＝t，则x＝t－m，再将x＝t－m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；②“整体代入”法，实质是和“换元法”一致的，即将(m＋x)看成一个“因子”，左右两端都转化为有(m＋x)的因式即可求解．
已知．
（1）求的值；
（2）求的展开式中含项的系数．
【解答】解：（1）令得，①
令得，②，
①②得，
即；
（2）由题知展开式通项为，
则，，
所以的展开式中含项的系数．
已知，其中．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）根据二项展开式，
当时，，
解得；
（2）当时，，
当时，；
故．
已知在的展开式中，前3项的系数分别为，，，且满足．
（Ⅰ）求展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中所有有理项．
【解答】解：的展开式通项公式为：，，1，2，，
则，，，
，解得，
（Ⅰ）展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）记第项系数为，记第项系数最大，则有，且，
又，于是，解得，
所以系数最大项为第3项和第4项；
（Ⅲ）通项，
令，1，2，，所以只有当，6时，对应的项才为有理项，
有理项为，．
从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．
已知，且的二项展开式中，____．
（1）求的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【解答】解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，①的二项展开式的中间项为．
②易知，、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令，可得．
再令，可得，
．
在二项式的展开式中，_______，给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）
【解答】解：选择①：，即，
即，解得或（舍去）．
选择②：，即，解得．
选择③：，则有，所以．
因为展开式中第7项为常数项，即，所以．
（1）展开式中系数最大的项为第5项，，
（2）展开式的通项为，
令，
，
展开式中常数项为第7项，常数项为．
在二项式的展开式中，
（1）若，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．
【解答】解：（1）若，在二项式的展开式中，
通项公式为，令为整数，可得，3，6，
故展开式中的有理项为，，．
（2）第4项的系数与第6项的系数比为，
，二项式为，
二项展开式中的各项的二项式系数之和为．
令，可得二项展开式中的各项的系数之和为1．专题9.2 二项式定理
目录
题型一： 求(a＋b)n形式的“特定项” 3
题型二： 求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项 4
题型三： 三项式的展开式 4
题型四： “二项式系数”与“项的系数”的最值问题 5
题型五： “二项式系数”与“项的系数”的和 7
二项式定理
二项式 定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式
通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0,1,2，…，n)
二项式 系数 各项的系数C(k＝0,1,2，…，n)
二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
杨辉三角的性质
(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列1,3,6,10,15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数．
求(a＋b)n形式的“特定项”
【要点讲解】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆．
在的展开式中，的系数为 　 　．
若的展开式中共有个有理项，则的值是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
“”是“的二项展开式中存在常数项”的　　
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为　　
A．28 B． C．45 D．
二项式的展开式中含项的系数是　　
A．6 B． C． D．12
在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中项的系数　　
A．15 B．54 C．12 D．
的展开式中项的系数是　　
A． B． C． D．
求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项
已知展开式中的系数为48，则实数　　
A．1 B． C．2 D．
展开式中含的系数是　　
A．28 B． C．84 D．
展开式中的系数为　　
A．56 B． C．64 D．
二项式展开式中的系数为　　
A．120 B．135 C． D．
已知的所有项的系数和为3，则的系数为　　
A．80 B．40 C． D．
三项式的展开式
【要点讲解】某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
在的展开式中，的系数为　　
A．60 B．15 C．120 D．30
的展开式中，的系数为　　
A． B．60 C． D．120
的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有　　
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
在的展开式中，的系数是　　
A．24 B．32 C．36 D．40
“二项式系数”与“项的系数”的最值问题
【要点讲解】求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项（第项与第＋1项）的二项式系数相等并最大.
已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为　　
A． B． C． D．
的展开式中各项系数的最大值为　　
A．112 B．448 C．896 D．1792
设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：
（1）所有二项式系数之和．
（2）系数绝对值最大的项．
已知．
（1）若其展开式中第5项和第6项的二项式系数相等，求；
（2）若展开式中存在常数项，求的最小值．
“二项式系数”与“项的系数”的和
【要点讲解】(1)①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
(2)对于展开式中含有(m＋x)因式的展开问题的一般策略是①“换元法”，即令(m＋x)＝t，则x＝t－m，再将x＝t－m代入，即可转化为关于t的二项式，进而求解；②“整体代入”法，实质是和“换元法”一致的，即将(m＋x)看成一个“因子”，左右两端都转化为有(m＋x)的因式即可求解．
已知．
（1）求的值；
（2）求的展开式中含项的系数．
已知，其中．
（1）求实数的值；
（2）求的值．
已知在的展开式中，前3项的系数分别为，，，且满足．
（Ⅰ）求展开式中各项的二项式系数的和；
（Ⅱ）求展开式中系数最大的项；
（Ⅲ）求展开式中所有有理项．
从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，再解决补充完整的题目．
已知，且的二项展开式中，____．
（1）求的值；
（2）①求二项展开式的中间项；
②求的值．
在二项式的展开式中，_______，给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有偶数项的二项式系数的和为256；
③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项．
（备注：如果多个条件分别解答，按第一个条件计分）
在二项式的展开式中，
（1）若，求展开式中的有理项；
（2）若第4项的系数与第6项的系数比为，求：
①二项展开式中的各项的二项式系数之和；
②二项展开式中的各项的系数之和．专题9.3 随机事件与概率
目录
题型一： 有限样本空间 5
题型二： 随机事件的关系与运算 7
题型三： 古典概型 10
题型四： 相互独立事件判断 14
题型五： 条件概率 19
样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
事件的关系和运算
含义 符号表示
包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B A (或A B)
相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B
并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B (或A＋B)
交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B (或AB)
互斥 (互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω， 且A∩B＝
频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
古典概型
(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)．
特别地，对任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
显然，性质3是性质6的特殊情况.
事件的相互独立性
(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件 都与任意事件相互独立.
(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
条件概率与全概率公式
(1)条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．
(2)条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
(3)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
【常用结论与知识拓展】
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
(2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
(3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
(4)若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(5)两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
(6)P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
(7)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
有限样本空间
【要点讲解】确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件 “三个圆的颜色全不相同”，事件 “三个圆的颜色不全相同”，事件 “其中两个圆的颜色相同”，事件 “三个圆的颜色全相同”．
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件，，，；
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由．
【解答】解：（1）（红，红，红）、（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、
（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、
（红，蓝，蓝）；（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、
（黄，黄，红）、（黄，黄，黄）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、
（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、
（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、
（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）、（蓝，蓝，蓝），共27个；
（2）（红，黄，蓝）、（红，蓝，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，蓝，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，黄，红）；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，黄，蓝）、（红，蓝，红）、（红，蓝，黄）、（红，蓝，蓝）；（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，红，蓝）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，红）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）、（蓝，红，红）、（蓝，红，黄）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，红）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；
（红，红，黄）、（红，红，蓝）、（红，黄，红）、（红，黄，黄）、（红，蓝，红）、（红，蓝，蓝）、（黄，红，红）、（黄，红，黄）、（黄，黄，红）、（黄，黄，蓝）、（黄，蓝，黄）、（黄，蓝，蓝）；（蓝，红，红）、（蓝，红，蓝）、（蓝，黄，黄）、（蓝，黄，蓝）、（蓝，蓝，红）、（蓝，蓝，黄）；
（红，红，红）、（蓝，蓝，蓝）、（黄，黄，黄）；
（3）由（2）可知，，与互斥，
所以事件包含事件，事件和的交事件与事件互斥．
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸3次，每次摸取一个球，考虑摸出球的颜色．
（1）试写出此事件的基本事件空间；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5分的概率．
【解答】解：（1）（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），
（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）共8个；
（2）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件数通过上一问已经做出是8，
记3次摸球得分不小于5的事件为，
则满足条件的事件（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）共4个，
（A）．
随机事件的关系与运算
【要点讲解】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的观点. 两者的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生. 两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况. 因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【解答】解：把3只黄色乒乓球标记为、、，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、123，共20个
（1）事件摸出的3个球为白球，事件包含的基本事件有1个，即摸出
（E）
（2）事件摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件包含的基本事件有9个，
（3）事件摸出的3个球为同一颜色摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，
（4），
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件发生有10次，不发生90次．
则一天可赚，每月可赚1200元
某中学高一年级有1000名学生，他们选择选考科目的情况如表所示：
科目 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
300
200
100
200
100
100
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
“该生选了物理”； “该生选了化学”； “该生选了生物”；
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
（Ⅰ）求（B），．
（Ⅱ）求，．
（Ⅲ）事件与是否相互独立？请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ） “该生选了化学”，
由题意得1000名学生中选化学的学生有：（名，
（B），
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名，
．
（Ⅱ） “该生选了生物”， “收生选了历史”，
由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：（名，
，
“该生选了化学”， “该生选了地理，
由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：（名，
．
（Ⅲ） “该生选了物理”， “该生选了政治”，
事件与相互独立．理由如下：
由题意得选择物理与否与选择政治无关，
选择政治与否与选择物理无关，
事件与相互独立．
掷一枚骰子，观察它朝上的点数．设事件 “点数为1”， “点数为偶数”， “点数小于3”， “点数大于2”， “点数是3的倍数”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；
（2）事件与，与，与之间各有什么关系？
（3）用集合形式表示事件，，，．
【解答】解：（1）设该试验样本总空间为，2，3，4，5，，
，，4，，，，，4，5，，，；
（2），，；
（3），，，，2，，，2，4，．
古典概型
【要点讲解】用公式计算古典概型的一般步骤：
在计算样本点个数时，常常用计数原理，但当样本点总数较少且无规律时，常用列举法把所有样本点一一列出，列举要有规律，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.
从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为　　
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【解答】解：设2名男同学为，，3名女同学为，，，
以上5名同学任选2人总共有，，，，，，，，，，10种可能，
选中的2人恰好是一男一女的共有共6种情况，
则选中的2人恰好一男一女的概率是0.6．
故选：．
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，选出的2名同学都是男生的概率为，
所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．
故选：．
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由可得，，
所以，
因为为钝角，所以，且不共线，
所以，即，且，
当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；
当时，有，可取3，4，5，6；
当时，有，可取5，6；
当，，时，，此时无解．
综上所述，满足条件的，有11种可能，
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以为钝角的概率．
故选：．
在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设甲中奖为事件，乙中奖为事件，
则（B）（A）．
故选：．
小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，
不同的摆放方法有6种，其中《论语》《诗经》两本书不相邻的情况有2种，
分别为《论语》，《孟子》，《诗经》，《诗经》，《孟子》，《论语》，
《论语》《诗经》两本书相邻的概率为．
故选：．
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是　　
A． B． C． D．
【解答】解：不超过40的素数为：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数，
其中，共3组数，
所以其和等于40的概率．
故选：．
从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种结果，
若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5，
若第一张抽到的是5，共有5种抽法，
若第二张抽到的是5，共有5种抽法，
故抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的共10种抽法，
所以所求概率为．
故选：．
某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，，9中的四个数字随机组成（如“0013” ．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可得验证码的最后一个数字有10种不同结果，其中奇数占5种，
所以收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率．
故选：．
某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．两班获胜的概率分别是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：试验所有的可能结果为：，，，，，，，，
，，，，共有12种结果，
其中数字和为偶数的有6种，和为奇数的有6种，
故（1）班代表获胜的概率为，（2）班代表获胜的概率为．
故选：．
从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，考虑到“三角形两边之和大于第三边”，
可知能构成三角形的情况有“3，5，7”，“3，7，9”和“5，7，9”，3个基本事件，
所有的基本事件有个，故能构成三角形的概率．
故选：．
相互独立事件判断
【要点讲解】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 判断事件相互独立，一般用定义判断.
“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件，则　　
A．事件，互斥 B．事件，对立
C．事件，相互独立 D．事件与不相互独立
【解答】解：由题意可知：事件，，事件，3，，
样本空间，2，3，4，5，，
则，
因为，所以事件，不互斥，更不可能对立，故、错误；
因为，则，
可得，
所以事件，相互独立，事件与相互独立，故正确，错误．
故选：．
将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，事件 “第二次点数为3的倍数”，则　　
A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件
C．（A）（B） D．（A）（B）
【解答】解：依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有件，事件的基本事件有 件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
所以，，，，
故（A）（B），（A）（B），
所以与不是互斥事件，更不是对立事件，
故错误，正确．
故选：．
存在两个事件和，且（A），（B），若与是两个①事件，则（A）（B）；若与是两个②事件，则（A）（B）；其中　　
A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥
【解答】解：由（A）（B），仅当时（A）（B），
所以与是两个互斥事件，
由独立事件的判定知：（A）（B），即与是两个独立事件．
故选：．
从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是　　
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1本政治与恰有2本政治
【解答】解：从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，
对于，至少有一本政治和都是数学是对立事件，故错误；
对于，至少有一本是政治与都是政治，能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，至少有一本政治与至少有一本数学，能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，恰有1本政治与恰有2本政治，不能同时发生，能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故正确．
故选：．
抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，事件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，则　　
A．（A）（B） B．（A）（B）
C．与互为对立事件 D．与互为互斥但不对立事件
【解答】解：因为事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，
即事件包括两枚骰子的点数之和为偶数分为两枚骰子都为奇数和偶数，
，
事件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，
即事件为两枚骰子一枚为奇数，一枚偶数，即两枚骰子的点数之和为奇数．
所以，
所以与互为对立事件，且．
故，，错误；正确．
故选：．
同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是奇数”．则下列说法中正确的是　　
①与互斥
②与对立
③与相互独立
④与相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以与互斥，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，与同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然（A）（D），所以与不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然（B）（C），所以与相互独立，所以本序号说法正确．
故选：．
已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．其中，（A），（B），，则事件与事件　　
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【解答】解：一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．
其中，（A），（B），，
，且，
（A），（B），，
，
，
（A），
事件与事件是独立事件．
故选：．
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是　　
A．事件与事件互为对立事件 B．
C． D．事件与事件相互不独立
【解答】解：由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种，
事件的样本点为，，，，，共6种，
所以，错误；，正确；
因为（B）（C），所以事件与事件相互独立，错误．
故选：．
条件概率
【要点讲解】解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率. 若为条件概率，则进行第二步，计算概率，这里有两种思路. 思路一：缩减样本空间法计算条件概率. 如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的样本点数，再利用公式P(A|B)＝计算；思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算. 当直接求事件B发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件B分解，然后借助全概率公式间接求出事件B发生的概率.
已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则听不到声音的概率为　　
A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828
【解答】解：因为与中都不工作的概率为，故与至少有一个正常工作的概率．
同理可得与中至少有一个正常工作的概率，
结合正常的概率，可得听到声音的概率为，
因此，听不到声音的概率为．
故选：．
已知事件，相互独立，（A），（B），则　　
A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72
【解答】解：因为事件，相互独立，
所以（A）（B）．
所以（A）（B）．
故选：．
端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率，
故这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：．
故选：．
甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设甲第局胜，，2，3，
则甲恰好连胜两局的概率，
故选：．
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
【解答】解：（1）设“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，
依题意得、且、、2、相互独立，
“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
，
即甲第三次试跳才成功的概率为0.032．
（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件，，
，
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.94．
（3）设“甲在两次试跳中成功次”为事件、1、，
“乙在两次试跳中成功次”为事件、1、，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且、为互斥事件，
所求的概率为
，
故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.2976．
甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球．
（1）求第3回合由乙发球的概率；
（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．
【解答】解：（1）由题可知，第3回合由乙发球的概率为；
（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，
甲赢的回合数为2的概率为，
甲赢的回合数为3的概率为，
故前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为．
在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，且各局比赛的胜负互不影响．在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为；
②甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为．
故甲获得冠军的概率为．
故选：．
湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件为“甲和乙选择研学线路不同”，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，事件为“甲和乙至少有一所学校选择仙岭中小学生研学实践基地”，
事件为“甲和乙选择的研学线路不同”，
可得，
又由事件为“甲和乙至少有一所学校选择仙岭中小学生研学实践基地“，
可得（A），
．
故选：．
甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，，，
所以．
故选：．
从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，从7个数中任取5个数，则基本事件总数为，
若5个数的中位数是4，需要在1、2、3中任取2个数，在5、6、7中任取2个数，与4一起组成3个数，
则事件的基本事件有个，所以，
其中5个数的平均数都是4的基本事件有1，2，4，6，7；1，3，4，5，7；2，3，4，5，6，共3种情况，
这3种情况恰好也是的基本事件，
所以，
所以．
故选：．
居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是　　
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
【解答】解：设 “患病”，则 “未患病”， “阳性”，
所以（A），，，，
（B）（A），
所以，
故某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是0.5．
故选：．
已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：根据概率计算公式得：
（A），（B），，
（A）（B），
（A）（B）．
故选：．
有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：甲的名次比乙高，
当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
所以甲的名次比乙高共有种情况，
甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，
所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为．
故选：．
五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，
依题意共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，
所以，
甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，
所以，
则．
故选：．
2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则　　
A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件
C． D．
【解答】解：将4名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派1名志愿者，
共有 种安排方案，
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，
各有种方案，
；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有种方案，
；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有种方案，
；
对于，（A）（B），事件与不相互独立，故错误；
对于，，事件与不是互斥事件，故错误；
对于，，故错误；
对于，，故正确．
故选：．
已知，，为三个随机事件且（A），（B），（C），则，，相互独立是，，两两独立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：，，相互独立，则满足（A）（B）（C），
且（A）（B），（B）（C），（A）（C）；
，，两两独立则满足（A）（B），（B）（C），（A）（C）；
故而，，相互独立则有，，两两独立，但是，，两两独立不能得出，，相互独立，故正确．
故选：．
在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第位发言的是女同学”，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，，，
所以．
故选：．
已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
（1）第一次取到正品的概率；
（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率．
【解答】解：（1）设 “第一次取到正品”， “第二次取到正品”，
所以（A），第一次取到正品的概率为；
（2），
所以，
故在第一次取到正品的条件下第二次取到正品的概率为．
已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束．
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
（2）我们知道，当事件与相互独立时，有（A）（B）．那么，当事件与不独立时，如何表示积事件的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：（A），其中表示事件发生的条件下事件发生的概率，且对于古典概型中的事件，，有．依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率．
【解答】解：（1）设甲袋中的三个红球为1，2，3，三个黑球为，，，
乙袋中的三个红球为4，5，6，三个黑球为，，，
设第1次摸球对应的样本空间为，则，
设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件，，，，，，，，，，，
，，，，，，，
所以（C），
所以；
（2）设两次摸球试验的样本空间为，则，
在样本空间中，设事件 “第1次摸球取出的两球颜色不同”，
事件 “第2次摸球取出的两球颜色相同”，
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
且每个可能的结果对应的“第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球”均有36种可能取法，
所以（A），
由（1）知，第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果，
不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出（其余情况，同理可得），
则第1次摸球结束后，甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中，当甲、乙两袋取出的球颜色相同时，
共有种取法，
故，
所以，
因此．
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．
【解答】解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）；
所以试验一次结果为红球的概率为．
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为；
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：，
方案二中取到红球的概率为：，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大．专题9.3 随机事件与概率
目录
题型一： 有限样本空间 5
题型二： 随机事件的关系与运算 6
题型三： 古典概型 9
题型四： 相互独立事件判断 11
题型五： 条件概率 13
样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．
全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
事件的关系和运算
含义 符号表示
包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B A (或A B)
相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B
并事件 (和事件) 事件A与事件B至少有一个发生 A∪B (或A＋B)
交事件 (积事件) 事件A与事件B同时发生 A∩B (或AB)
互斥 (互不相容) 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝
互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω， 且A∩B＝
频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
古典概型
(1)具有以下特征的试验叫做古典概型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
(2)古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P( )＝0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)．
特别地，对任意事件A，因为 A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
显然，性质3是性质6的特殊情况.
事件的相互独立性
(1)两个事件相互独立的定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 必然事件Ω，不可能事件 都与任意事件相互独立.
(2)相互独立的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
条件概率与全概率公式
(1)条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)．
(2)条件概率的性质：设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)．
(3)全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
【常用结论与知识拓展】
(1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．
(2)当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
(3)随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
(4)若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
(5)两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
(6)P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
(7)计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
有限样本空间
【要点讲解】确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件 “三个圆的颜色全不相同”，事件 “三个圆的颜色不全相同”，事件 “其中两个圆的颜色相同”，事件 “三个圆的颜色全相同”．
（1）写出试验的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件，，，；
（3）事件与事件有什么关系？事件和的交事件与事件有什么关系？并说明理由．
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸3次，每次摸取一个球，考虑摸出球的颜色．
（1）试写出此事件的基本事件空间；
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分不小于5分的概率．
随机事件的关系与运算
【要点讲解】互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的观点. 两者的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生. 两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况. 因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
某中学高一年级有1000名学生，他们选择选考科目的情况如表所示：
科目 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
300
200
100
200
100
100
从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：
“该生选了物理”； “该生选了化学”； “该生选了生物”；
“该生选了政治”； “收生选了历史”； “该生选了地理”．
（Ⅰ）求（B），．
（Ⅱ）求，．
（Ⅲ）事件与是否相互独立？请说明理由．
掷一枚骰子，观察它朝上的点数．设事件 “点数为1”， “点数为偶数”， “点数小于3”， “点数大于2”， “点数是3的倍数”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；
（2）事件与，与，与之间各有什么关系？
（3）用集合形式表示事件，，，．
古典概型
【要点讲解】用公式计算古典概型的一般步骤：
在计算样本点个数时，常常用计数原理，但当样本点总数较少且无规律时，常用列举法把所有样本点一一列出，列举要有规律，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.
从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为　　
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　
A． B． C． D．
将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，，先后抛掷两次，将得到的点数分别记为，，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是　　
A． B． C． D．
在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为　　
A． B． C． D．
小明准备将新买的《孟子》《论语》《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》《诗经》两本书相邻的概率为　　
A． B． C． D．
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于40的概率是　　
A． B． C． D．
从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为　　
A． B． C． D．
某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，，9中的四个数字随机组成（如“0013” ．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为　　
A． B． C． D．
某校高二年级（1）（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．两班获胜的概率分别是　　
A．， B．， C．， D．，
从长度为1，3，5，7，9的5根木棒中任选3根，能构成三角形的概率为　　
A． B． C． D．
相互独立事件判断
【要点讲解】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 判断事件相互独立，一般用定义判断.
“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于1且小于5”记为事件，则　　
A．事件，互斥 B．事件，对立
C．事件，相互独立 D．事件与不相互独立
将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件 “第一次点数为偶数”，事件 “第二次点数为3的倍数”，则　　
A．与是互斥事件 B．与是互为对立事件
C．（A）（B） D．（A）（B）
存在两个事件和，且（A），（B），若与是两个①事件，则（A）（B）；若与是两个②事件，则（A）（B）；其中　　
A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥
从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是　　
A．至少有一本政治与都是数学
B．至少有一本政治与都是政治
C．至少有一本政治与至少有一本数学
D．恰有1本政治与恰有2本政治
抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件 “两枚骰子的点数之和为偶数”，事件 “恰有一枚骰子的点数为偶数”，则　　
A．（A）（B） B．（A）（B）
C．与互为对立事件 D．与互为互斥但不对立事件
同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是奇数”．则下列说法中正确的是　　
①与互斥
②与对立
③与相互独立
④与相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
已知一个古典概型的样本空间和事件，如图所示．其中，（A），（B），，则事件与事件　　
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是　　
A．事件与事件互为对立事件 B．
C． D．事件与事件相互不独立
条件概率
【要点讲解】解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率. 若为条件概率，则进行第二步，计算概率，这里有两种思路. 思路一：缩减样本空间法计算条件概率. 如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的样本点数，再利用公式P(A|B)＝计算；思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算. 当直接求事件B发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把事件B分解，然后借助全概率公式间接求出事件B发生的概率.
已知某音响设备由五个部件组成，电视机，影碟机，线路，左声道和右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示．能听到声音，当且仅当与至少有一个正常工作，正常工作，与中至少有一个正常工作．则听不到声音的概率为　　
A．0.19738 B．0.00018 C．0.01092 D．0.09828
已知事件，相互独立，（A），（B），则　　
A．0.88 B．0.9 C．0.7 D．0.72
端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为　　
A． B． C． D．
甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立．设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为　　
A． B． C． D．
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方．若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第1回合由甲发球．
（1）求第3回合由乙发球的概率；
（2）求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率．
在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，且各局比赛的胜负互不影响．在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为　　
A． B． C． D．
湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件为“甲和乙至少有一所学校选择王仙岭中小学生研学实践基地”，事件为“甲和乙选择研学线路不同”，则　　
A． B． C． D．
甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤5个项目中分别各自随机选择其中一项，记事件：甲和乙选择的活动各不同，事件：甲和乙恰好一人选择①，则等于　　
A． B． C． D．
从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则　　
A． B． C． D．
居民的某疾病发病率为，现进行普查化验，医学研究表明，化验结果是可能存有误差的．已知患有该疾病的人其化验结果呈阳性，而没有患该疾病的人其化验结果呈阳性．现有某人的化验结果呈阳性，则他真的患该疾病的概率是　　
A．0.99 B．0.9 C．0.5 D．0.1
已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有8个样本点，则　　
A． B． C． D．
有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为　　
A． B． C． D．
五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为　　
A． B． C． D．
2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”； 表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则　　
A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件
C． D．
已知，，为三个随机事件且（A），（B），（C），则，，相互独立是，，两两独立的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
在高三复习经验交流会上，共有3位女同学和6位男同学进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件表示“第位发言的是女同学”，则　　
A． B． C． D．
已知箱中有5个大小相同的产品，其中3个正品，2个次品，每次从箱中取1个，不放回的取两次，求：
（1）第一次取到正品的概率；
（2）在第一次取到正品的条件下，第二次取到正品的概率．
已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束．
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
（2）我们知道，当事件与相互独立时，有（A）（B）．那么，当事件与不独立时，如何表示积事件的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：（A），其中表示事件发生的条件下事件发生的概率，且对于古典概型中的事件，，有．依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率．
人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）．
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．专题9.4 随机变量分布
目录
题型一： 离散型随机变量的分布列性质 3
题型二： 确定离散型随机变量的分布列 7
题型三： 分布列的期望与方差 13
题型四： 方案评价与决策问题 17
离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
【常用结论与知识拓展】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
离散型随机变量的分布列性质
【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和i＝1，随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.
某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则　　
8 9 10
0.36 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【解答】解：．
故选：．
已知随机变量的分布列如表：
1 2 3 4
0.15 0.35 0.25
则实数　　
A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35
【解答】解：由题意得，，解得．
故选：．
已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：由分布列性质可知：，即，
故．
故选：．
已知离散型随机变量的分布列，则　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：由分布列的性质得，，解得，
，
或，
．
故选：．
某市卫生部门随机抽取该市的16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在分范围内，以下表格记录了它们的评分情况：
评分 ， ，
大学所数 4 8 4
（1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率；
（2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选3所，记食堂评分不低于9分的大学有所，求的分布列．
【解答】解：（1）设表示抽抽取的3所大学中有所大学的食堂评分不低于9分，
现从16所大学中随机抽取3所，至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率为：
．
（2）由表格数据知，从这16所大学中任选1所，其食堂评分不低于9分的概率为，
由题知，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
6．某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数的分布列．
【解答】解：（1）根据题意，在7名同学中，2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，则会法语的有5人，
从7人中选派3人，共有种选法，
其中恰有2人会法语共有种选法，
故选派的3人中恰有2人会法语的概率．
（2）由题意可知，所有可能的取值为0，1，2，3．
；
，
的分布列为：
0 1 2 3
7．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
（1）若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列；
（2）求甲成为优胜者的概率；
（3）为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．
【解答】解：（1）比赛局数的可能取值为2，3，4，
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，
比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以，
比赛四局结束，所以，
所以的分布列为：
2 3 4
（2）记甲、乙比赛第一局为事件，甲、丙比赛第一局为事件，乙、丙比赛第一局为事件，甲成为优胜者为事件，
第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三种情况，则（A）（B）（C），
所以，
，
，
所以（D）
（A）（B）（C）
，
所以甲成为优胜者的概率为；
（3）由（2）知，，
所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大．
确定离散型随机变量的分布列
【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列．
在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【解答】解：（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
且服从参数为，，的超几何分布，
因此；（1分）
所以，
，
，
；（4分）
所以的分布列为：
0 1 2 3
（6分）
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出1个红球和2个黑球”
为事件，“恰好取出2个红球”为事件，“恰好取出3个红球”为事件，（7分）
由于事件，，彼此互斥，且，
而，
，
，（10分）
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
．（11分）
答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．（12分）
某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为，且、1、2、3，服从超几何分布，
分布列如下：
0 1 2 3
即
0 1 2 3
（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，
这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到
某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，
（1）请列出的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
【解答】解：（1）依题意得，随机变量服从超几何分布，
随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为0，1，2，3，4．
．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
（2）由分布列可知至少选3名男生，
即．
某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望．
【解答】解：设该批产品中次品有件，由已知，
（2分）
（1）设取出的3件产品中次品的件数为，3件产品中恰好有一件次品的概率为（4分）
（2）可能为0，1，2
（10分）
的分布为：
0 1 2
则（13分）
生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
【解答】解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用表示“5箱中不合格产品的箱数”，则服从超几何分布，2，．
这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，
所以被接收的概率为，即．
答：该批产品被接收的概率是．
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为．
（1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：
（2）现规定：若，则甲胜；若，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
【解答】解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：
（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则
当时，，1，0，其概率为
当时，，0，其概率为；
当时，，其概率为；
甲获胜的概率为
若乙获胜，则
当时，，1，0，其概率为；
当时，，0，其概率为；
当时，，其概率为；
乙获胜的概率为
甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．
福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望；
【解答】解：（1）由题意可知，制作一件优秀作品的概率为，
该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率．
（2）该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由题意可知，，
，，
，，
，
故的分布列为：
0 1 2 3 4
．
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置．
【解答】解：设质点向右移动的次数为，又质点每隔等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动6次，且每次移动是相互独立，则，
（1）质点回到原点，则，
，
所以质点回到原点的概率是；
（2）当质点位于4的位置时，则，
，
所以质点位于4的位置的概率是．
分布列的期望与方差
【要点讲解】计算均值与方差的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求.
若随机变量的分布列为，，若，则的最小值等于　　
A．0 B．1 C．4 D．2
【解答】解：由题意得，解得，
，，，
，即，
，
当时，取最小值0．
故选：．
已知离散型随机变量的分布例如下表所示．
0.4 0.2 0.4
则　　
A． B． C．0.4 D．0.8
【解答】解：易知，
则．
故选：．
已知随机变量的分布列如表（其中为常数），则下列计算结果正确的是　　
0 1 2 3
0.2 0.3 0.4
A． B． C． D．
【解答】解：已知，
解得，
此时，
而，
．
故选：．
某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则　　
A．若，，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，（A）随着的增大而增大
D．当时，（A）随着的增大而减小
【解答】解：对于，在10次射击中击中目标的次数，
当时对应的概率，1，2，，
取最大值，，
即，
即，解得，
且，，即时概率最大，故不正确；
对于，，当时，取得最大值，故不正确；
对于、，，
，
，
，
当时，为正项且单调递增的数列，
（A）随着的增大而增大，故正确；
当时，，为正负交替的摆动数列，
（A）不会随着的增大而减小，故不正确．
故选：．
某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元．奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为，，．第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响．
（1）求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设小刘所得奖金为，求随机变量的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）要使小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零，
选择闯第二关且失败，或选择闯第二关且成功，又选择闯第三关且失败，
所以小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）易知的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
此时，，
，，
则的分布列为：
0 1000 3000 6000
故元．
第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技．为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答，，三道题，每一题答对得2分，答错得0分．已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是．
（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；
（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大．
【解答】解：（1）由题意得甲通过初试的概率为，
乙通过初试的概率为，
则甲、乙至少一人通过初试的概率为；
（2）考虑甲初试若得4分，要合格则复试答对一道即可，初试若得3分，则复试答对2道或3道才可合格，
故甲合格的概率为；
乙要合格，则需初试通过，复试答对2道或3道才可合格，
故乙合格的概率为，
因为，故甲合格的概率更大．
方案评价与决策问题
【要点讲解】随机变量的数字特征是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，所以应该从整体和全局上作出科学合理解释，以此对方案选择、评价和决策作出有效判断．一般先比较均值，若均值相同(或相近)，再用方差来决定．
如图，李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线，路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
【解答】解：（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，包括没有遇到红灯和只遇到红灯一次两种情况．
则，
所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为．
（2）依题意，的可能取值为0，1，2．
，，．
随机变量的分布列为：
0 1 2
所以．
（3）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以．
因为，所以选择路线上班最好．
惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【解答】解：（1）这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，
甲至少答对两个问题的概率．
（2）设甲答对题数为，所有可能取值为1，2，3，
则，
，
，
故，
．
设乙答对题数为，由题意可得，随机变量，
故，，
，，
甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
故选择学生甲．
甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至少有2个红球则中奖．
（1）若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率；
（2）若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率．
【解答】解：（1）在有放回方式下，记“甲中奖”为事件，
则．
（2）在不放回方式下，记“乙中奖”为事件，
则．专题9.4 随机变量分布
目录
题型一： 离散型随机变量的分布列性质 3
题型二： 确定离散型随机变量的分布列 4
题型三： 分布列的期望与方差 8
题型四： 方案评价与决策问题 10
离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．
均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
【常用结论与知识拓展】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．
离散型随机变量的分布列性质
【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：pi≥0，i＝1,2，…，n和i＝1，随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.
某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则　　
8 9 10
0.36 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
已知随机变量的分布列如表：
1 2 3 4
0.15 0.35 0.25
则实数　　
A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35
已知随机变量的分布列满足：，2，3，，其中为常数，则　　
A． B． C． D．
已知离散型随机变量的分布列，则　　
A．1 B． C． D．
某市卫生部门随机抽取该市的16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在分范围内，以下表格记录了它们的评分情况：
评分 ， ，
大学所数 4 8 4
（1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率；
（2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选3所，记食堂评分不低于9分的大学有所，求的分布列．
确定离散型随机变量的分布列
【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；(3)列出分布列．
在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数，
（1）请列出的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望．
生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为；乙用一枚硬币掷2次，记下国徽面朝上的次数为．
（1）算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表：
（2）现规定：若，则甲胜；若，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为，，，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为，求概率分布列及期望；
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置．
分布列的期望与方差
【要点讲解】计算均值与方差的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求.
若随机变量的分布列为，，若，则的最小值等于　　
A．0 B．1 C．4 D．2
已知离散型随机变量的分布例如下表所示．
0.4 0.2 0.4
则　　
A． B． C．0.4 D．0.8
已知随机变量的分布列如表（其中为常数），则下列计算结果正确的是　　
0 1 2 3
0.2 0.3 0.4
A． B． C． D．
某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则　　
A．若，，则取最大值时
B．当时，取得最小值
C．当时，（A）随着的增大而增大
D．当时，（A）随着的增大而减小
某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元．奖金可累加，若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手小刘参加闯关游戏，已知他第一，二，三关闯关成功的概率分别为，，．第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响．
（1）求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设小刘所得奖金为，求随机变量的分布列及数学期望．
第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动会大量使用了高科技．为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3分才能参加复试，复试每人都回答，，三道题，每一题答对得2分，答错得0分．已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率都是，乙每题能答对的概率都是．
（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；
（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大．
方案评价与决策问题
【要点讲解】随机变量的数字特征是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，所以应该从整体和全局上作出科学合理解释，以此对方案选择、评价和决策作出有效判断．一般先比较均值，若均值相同(或相近)，再用方差来决定．
如图，李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线，路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至少有2个红球则中奖．
（1）若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率；
（2）若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率．专题9.5 二项分布、超几何分布、正态分布
目录
题型一： n重伯努利试验 3
题型二： 二项分布 5
题型三： 超几何分布 9
题型四： 正态分布的性质 15
题型五： 正态分布应用 17
二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
【常用结论与知识拓展】
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验
【要点讲解】在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则　　
A． B． C．2 D．4
【解答】解：一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，则“不成功”的概率为，
则完成6次独立重复试验，符合“二项分布”，
即，
．
故选：．
一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4个黑球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，取球7次，设取得的白球数为，则　　
A．3 B． C． D．
【解答】解：易知每次取到白球的概率为，
所以，
则．
故选：．
某人在19次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则　　
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
【解答】解：因为在19次射击中击中目标的次数为，，
所以，且，
若 最大，则，
，即，
解得：，
因为且，所以当或时，最大．
故选：．
设随机变量，满足，，则　　
A． B． C．4 D．6
【解答】解：由二项分布可知，
因为，所以根据方差的性质有．
故选：．
甲每次投篮命中的概率为，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为甲每次投篮命中的概率为，且每次投篮相互独立，
所以甲命中的次数服从，
则．
故选：．
二项分布
【要点讲解】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)试验是否为n重伯努利试验；(2)随机变量是否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数.
现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：
入住房间的类型 单人间 双人间 三人间
人数 36 60 24
（1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望．
（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ．记询问的某组被标为Ⅱ的概率为．
试用含的代数式表示；
若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值．
【解答】解：（1）单人间、双人间、三人间入住人数比为，即，
这10人中，入住单人间、双人间、三人间的人数分别为，，，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
．
（2）从人中任选2人，有种选法，其中入住房间类型相同的有种选法，
询问的某组被标为Ⅱ的概率为．
由题意，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率，
，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取得最大值，最大值为，
由且，得，
当时，5组中恰有3组被标为Ⅱ的概率最大，且的最大值为．
后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，，，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
假设每个组内的数据是均匀分布的．
（1）求这500名在职员工的个人所得税的中位数（保留到小数点后一位）；
（2）从个人所得税在，，，，，三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在，内的员工人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在，内的员工人数为，求的数学期望与方差．
【解答】解：（1）设中位数为，前四个矩形的面积之和为，
前五个矩形的面积之和为，所以可设中位数为，
由中位数的定义可得，解得．
（2）由频率分布直方图，得这500名在职员工的个人所得税在，，，，，三组内的员工人数分别为：
，，，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从在，内的员工中抽取，
从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以，的分布列为：
0 1 2 3
数学期望；
（3）员工的个人所得税在，内的概率为，
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，个人所得税在，内的员工人数为，则，
，．
某社区举行第二届全民运动会，运动会包括少年组、青年组、中年组与老年组四个组别比赛，本届运动会老年组比赛新增了围棋比赛项目．甲、乙两名选手通过“3局2胜制“争夺冠军”，为了增加趣味性，每次比赛前通过摸球的方法决定谁先执黑，规则如下：裁判员从装有个红球和3个白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲执黑，否则乙执黑（每次执黑确定后，再将取出的两个球放回袋中）．
（1）求选手甲执黑的概率；（结果用表示）
（2）当口袋中放入红球的个数为多少时，选手甲执黑概率最大；
（3）假设甲每场比赛获胜概率为，求甲获得冠军的概率．
【解答】解：（1）由题意，从装有个红球和3个白球的口袋中不放回地依次摸出2球，
则2球的颜色不同即甲执黑的概率为；
（2）由（1）可知，选手甲执黑的概率，
记，由及对勾函数的单调性可知：或3时，，
所以当口袋中放入红球的个数为2或3时，选手甲执黑概率最大；
（3）由题意，甲获得冠军即前两局比赛甲胜，或者是前两局甲乙各胜一局，第三局甲胜，
则甲获胜的概率为．
现有一枚均匀的硬币（即只可能出现正面与反面两种结果，抛出正面与反面的概率均为0.5，每一次抛掷是独立的），正面记为，反面记为，并不断抛掷该硬币．
（1）求抛掷3次时，至少出现1次正面的概率
（2）用表示抛掷10次后出现正面的次数，求的期望和方差．
（3）甲同学选择了组合“”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），乙同学选择了组合．若选择的组合先出现，则获得游戏胜利．问：甲乙两人中，甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势？并求甲同学获胜的概率．
【解答】解：（1）投掷硬币一次，“正面向上”概率为，“反面向上”的概率为，
设 “抛掷3次时，至少出现1次正面”，则 “抛掷3次时，3次都是反面”，
，
（A）；
（2）投掷硬币只会出现两种结果，“正面”与“反面”，且每次相互独立，互不影响，
所以该试验符合二项分布，即，
，；
（3）双方都没有优势：
甲同学选择了组合“”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），其概率为（甲，
乙同学选择了组合，（即连续依次地出现正面、反面、反面），其概率为（乙，
所以双方都没有优势，
甲同学获胜的概率．
超几何分布
【要点讲解】(1)超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X＝k)＝，即恰取了k件次品的概率＝.
(2)当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样.
(3)超几何分布在计算出均值后，可以用进行验证.
已知随机变量，4，，则　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意知，4，，
故．
故选：．
在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为则　　
A． B．1 C． D．2
【解答】解：6件产品中含有4件次品，则含有2件正品，
随机抽取3件产品，即不放回取样，符合超几何分布特征，
，4，3 ，
，
故选：．
下列结论正确的有　　
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
B．数据1，2，6，9，12，15，18，20的第75百分位数为16.5
C．在经验回归分析中，如果相关系数的绝对值越接近于1，则两个变量的相关性越强
D．若服从超几何分布，3，，则
【解答】解：对于选项：若从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
此时可能取到1个红球1个黑球，两者不互斥，故选项错误；
对于选项：已知在1，2，6，9，12，15，18，20这8个数据中，
因为，
而，
所以这8个数据的第75百分位数为16.5，故选项正确；
对于选项：在经验回归分析中，如果相关系数的绝对值越接近于1，
则两个变量的相关性越强，故选项正确；
对于选项：若服从超几何分布，3，，
则，故选项正确．
故选：．
在区间，内随机取一个数，则该数满足的概率为　　
A．1 B． C． D．
【解答】解：，
，即，解得，
又，，
所求概率．
故选：．
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求：
（1）“所选3人中女生人数”的概率；
（2）的期望与方差．
【解答】解：（1）设 “所选3人中女生人数”，
则（A）；
（2）由题意知，的所以可能取值为0，1，2，
，，，
所以，
．
随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 10 20 50 12 8
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别的概率；
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）假设“从100个水果中随机抽取一个抽到的水果是二等级别”事件为事件，
则（A），则，
从这批水果中随机抽取5个，设抽到二等级别水果的个数为，则，
故恰好有2个水果是二等级别的概率为；
（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，
则其中优级水果有个，非优级水果有个．
从中抽取3个，则优级水果的数量服从超几何分布，，3，，
的取值为0，1，2，3．
则，
．
所以的分布列如下：
0 1 2 3
所以．
幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有件．
（1）若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记，则当为何值时，取得最大值．
【解答】解：（1）记“取出的产品中次品不超过1件”为事件，
则（A）
；
即取出的产品中次品不超过1件的概率是；
（2），
；
若，
则，
解得；
故当时，；当时，；
故当时，取得最大值．
即当时，取得最大值．
目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：
用气居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量（立方米） 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有户年用气量不超过228立方米的概率为，求使取到最大值时，的值．
【解答】解：（1）由题知，10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，
设抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为，则服从超几何分布，且的可能取值为0，1，2，3，
则，，，，
故随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以．
（2）由题意知设从全市住户抽到的年用气量不超过228立方米的用户数为，则服从二项分布，
且，
由可得，，
所以，
故当取到最大值时，．
正态分布的性质
【要点讲解】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化. 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.
某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取　　
A．15份 B．20份 C．25份 D．30份
【解答】解：可知正态曲线的对称轴为，
得，，
应从110分以上的试卷中抽取．
故选：．
已知随机变量服从正态分布，且，则　　
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【解答】解：由题意可得，且，则，
．
故选：．
已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是　　
①；
②；
③；
④．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
【解答】解：因为随机变量，
则正态分布曲线关于对称，
因为，，
则由正态分布曲线的对称性可得：
对于①，，即①正确；
对于②，，即②错误；
对于③，，即③正确；
对于④，，即④正确，
即①③④正确，
故选：．
已知随机变量服从正态分布，且，则等于　　
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【解答】解：因为服从正态分布，且，
所以，所以．
故选：．
某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为　　
A．30 B．60 C．70 D．140
【解答】解：因为该正态分布曲线关于直线对称，所以这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为．
故选：．
小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长（单位：分钟）近似满足．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他在周五晚上想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为　　
（参考数据：，，
A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228
【解答】解：因为，故，，因为小明的游戏时间最多15分钟，
故需求．
故选：．
正态分布应用
随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩作为样本，整理得到如表频数分布表：
笔试成绩 ， ， ， ， ， ，
人数 5 15 35 30 10 5
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，
【解答】解：（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人，
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为．
（2）由表格中的数据可知，
，
又，即，
，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为人．
（3）考生甲的总得分的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，
则，，，
，，，
故的分布列为：
0 3 4 6 7 10
．
随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩．由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮．某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”．该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分，若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的．记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期望．
（参考数据：若，则，，．
【解答】解：（1）易知这100名学生测试成绩的平均数（分；
（2）由（1）知，
所以测试成绩近似服从正态分布，，
易知，
所以，
可得，
则该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为159人；
（3）易知的所有取值为0，1，2，4，5，6，
此时，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 4 5 6
则．
零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高．某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米） ， ， ， ， ，
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）．
（1）分别求，的值；
（2）试估计这批零件直径在，的概率；
（3）随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在，的个数．
参考数据：；
若随机变量，则，，．
【解答】解：（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
，
，
故，．
（2）设表示零件直径，则，，
，
由对称性得，，即，
同理，，
，即，
，
故这批零件直径在，的概率为0.8186，
（3）由（2）知，，
所以在这2000个零件中，零件的直径在，的有个．
某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于，的人数的分布列和数学期望．
参考数据：若，则①；②；③．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得；
（2）因为近似为样本平均数，
所以，
即，，
所以．
（3）易知，，，和，的频率之比为，
可得抽取的10人中，，，和，分别有2人，4人，4人，
此时的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以．
某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．
【解答】解：（1），
，解得，
，解得，
这40名学生的方差为，
．
（2）由，，得的估计值，的估计值，
，
，
从而高三年级1000名学生中，不合格的有（人，
又，所以高三年级学生体能达标为“合格”．
（3）由题意得，的可能取值为0，2，5，
，
，
，
的分布列为
0 2 5
．专题9.5 二项分布、超几何分布、正态分布
目录
题型一： n重伯努利试验 3
题型二： 二项分布 4
题型三： 超几何分布 8
题型四： 正态分布的性质 12
题型五： 正态分布应用 13
二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
【常用结论与知识拓展】
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验
【要点讲解】在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.
如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为，记6次独立重复试验中出现“成功”的次数为，则　　
A． B． C．2 D．4
一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4个黑球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，取球7次，设取得的白球数为，则　　
A．3 B． C． D．
某人在19次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则　　
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
设随机变量，满足，，则　　
A． B． C．4 D．6
甲每次投篮命中的概率为，且每次投篮相互独立，则在16次连续投篮中甲命中的次数的方差是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二项分布
【要点讲解】判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：(1)试验是否为n重伯努利试验；(2)随机变量是否为这n重伯努利试验中某事件发生的次数.
现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求．某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的120名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：
入住房间的类型 单人间 双人间 三人间
人数 36 60 24
（1）若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这120名老年人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行询问，记随机抽取的4人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望．
（2）记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为Ⅰ，否则该组标为Ⅱ．记询问的某组被标为Ⅱ的概率为．
试用含的代数式表示；
若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值．
后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税（单位：百元）数据，按，，，，，，，，，，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
假设每个组内的数据是均匀分布的．
（1）求这500名在职员工的个人所得税的中位数（保留到小数点后一位）；
（2）从个人所得税在，，，，，三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记年个税在，内的员工人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在，内的员工人数为，求的数学期望与方差．
某社区举行第二届全民运动会，运动会包括少年组、青年组、中年组与老年组四个组别比赛，本届运动会老年组比赛新增了围棋比赛项目．甲、乙两名选手通过“3局2胜制“争夺冠军”，为了增加趣味性，每次比赛前通过摸球的方法决定谁先执黑，规则如下：裁判员从装有个红球和3个白球的口袋中不放回地依次摸出2球，若2球的颜色不同，则甲执黑，否则乙执黑（每次执黑确定后，再将取出的两个球放回袋中）．
（1）求选手甲执黑的概率；（结果用表示）
（2）当口袋中放入红球的个数为多少时，选手甲执黑概率最大；
（3）假设甲每场比赛获胜概率为，求甲获得冠军的概率．
现有一枚均匀的硬币（即只可能出现正面与反面两种结果，抛出正面与反面的概率均为0.5，每一次抛掷是独立的），正面记为，反面记为，并不断抛掷该硬币．
（1）求抛掷3次时，至少出现1次正面的概率
（2）用表示抛掷10次后出现正面的次数，求的期望和方差．
（3）甲同学选择了组合“”，（即连续地依次出现正面，正面，反面），乙同学选择了组合．若选择的组合先出现，则获得游戏胜利．问：甲乙两人中，甲更有优势还是乙更有优势还是双方都没有优势？并求甲同学获胜的概率．
超几何分布
【要点讲解】(1)超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更易记忆：P(X＝k)＝，即恰取了k件次品的概率＝.
(2)当n较小，N较大时，超几何分布的概率计算可以近似地用二项分布来代替. 也就是说虽然超几何分布是不放回抽样，二项分布是放回抽样，但是当n较小而产品总数N很大时，不放回抽样近似于放回抽样.
(3)超几何分布在计算出均值后，可以用进行验证.
已知随机变量，4，，则　　
A． B． C．2 D．
在含4件次品的6件产品中随机抽取3件产品，其中含有的次品数为则　　
A． B．1 C． D．2
下列结论正确的有　　
A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
B．数据1，2，6，9，12，15，18，20的第75百分位数为16.5
C．在经验回归分析中，如果相关系数的绝对值越接近于1，则两个变量的相关性越强
D．若服从超几何分布，3，，则
在区间，内随机取一个数，则该数满足的概率为　　
A．1 B． C． D．
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数，求：
（1）“所选3人中女生人数”的概率；
（2）的期望与方差．
随着我国国民消费水平的不断提升，进口水果也受到了人们的喜爱，世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国：泰国的榴莲、山竹、椰青，厄瓜多尔的香蕉，智利的车厘子，新西兰的金果猕猴桃等水果走进了千家万户，某种水果按照果径大小可分为五个等级：特等、一等、二等、三等和等外，某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 特等 一等 二等 三等 等外
个数 10 20 50 12 8
（1）若将样本频率视为概率，从这批水果中随机抽取5个，求恰好有2个水果是二等级别的概率；
（2）若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果，则用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的优级水果的数量，求的分布列及数学期望．
幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有件．
（1）若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；
（2）记，则当为何值时，取得最大值．
目前某市居民使用天然气实行阶梯价格制度，从该市随机抽取10户调查同一年的天然气使用情况，得到统计表如表：
用气居民编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年用气量（立方米） 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457
（1）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；
（2）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市居民中抽取10户，其中恰有户年用气量不超过228立方米的概率为，求使取到最大值时，的值．
正态分布的性质
【要点讲解】利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化. 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用.
某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取　　
A．15份 B．20份 C．25份 D．30份
已知随机变量服从正态分布，且，则　　
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
已知随机变量，令，，则下列等式正确的序号是　　
①；
②；
③；
④．
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③
已知随机变量服从正态分布，且，则等于　　
A．0.8 B．0.6 C．0.4 D．0.3
某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗，并在500名志愿者身上进行了人体注射实验，发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答．若这些志愿者的某免疫反应蛋白的数值（单位：近似服从正态分布，且在区间内的人数占总人数的，则这些志愿者中免疫反应蛋白的数值不低于20的人数大约为　　
A．30 B．60 C．70 D．140
小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长（单位：分钟）近似满足．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他在周五晚上想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为　　
（参考数据：，，
A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228
正态分布应用
随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩作为样本，整理得到如表频数分布表：
笔试成绩 ， ， ， ， ， ，
人数 5 15 35 30 10 5
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，
随着《2023年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩．由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了学习古诗词的热潮．某省某校为了了解高二年级全部1000名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测试，现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（2）若该校高二学生“古诗词”的测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定“古诗词”的测试成绩不低于87分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；（取整数）
（3）现该校为迎接该省的2023年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词大会”．该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1分，第三个环节中获胜得4分，输了不得分，若学生甲在三个环节中获胜的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的．记学生甲在这次“诗词大会”中的累计得分为随机变量，求的分布列和数学期望．
（参考数据：若，则，，．
零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高．某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米） ， ， ， ， ，
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）．
（1）分别求，的值；
（2）试估计这批零件直径在，的概率；
（3）随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在，的个数．
参考数据：；
若随机变量，则，，．
某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，，，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于，的人数的分布列和数学期望．
参考数据：若，则①；②；③．
某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”．若该校“不合格”的人数不超过总人数的，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训．现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生．甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6（题中所有数据的最后结果都精确到整数）．
（1）求这10名学生测试成绩的平均分和标准差；
（2）假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布．将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值．利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？
（3）已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项．小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求的分布列及数学期望．
附：①个数的方差；
②若随机变量服从正态分布，则，，．专题9.6 随机抽样、样本估计总体
目录
题型一： 简单随机抽样 4
题型二： 分层随机抽样 6
题型三： 平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差 7
题型四： 总体百分位数 10
题型五： 频率分布直方图的应用 11
简单随机抽样
(1)特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概率相等．
(2)常用方法：抽签法和随机数法.
(3)适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个体数量较少，尤其是样本容量较少.
分层随机抽样
(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小.
(3)平均数的计算：各层抽样比乘以各层平均数的和.
统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
用样本估计总体
(1)百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)平均数、中位数和众数
①平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)．
②中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
③众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
(3)方差或标准差
①方差：s2＝(xi－)2或－2.
②标准差：s＝.
(4)总体(样本)方差和总体(样本)标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，Yn，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
【常用结论与知识拓展】
1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
简单随机抽样
【要点讲解】(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体中的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率　　
A． B． C． D．
【解答】解：用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中，模拟产生了的12组随机数为：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，
表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436，
故所求的概率值为．
故选：．
学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为　　
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．43 B．25 C．32 D．12
【解答】解：从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，如下：
62（舍，74（舍，31，32，43，25，32（舍，70（舍，94（舍，12；
所以选出来的5个号码为：31，32，43，25，12．
故选：．
采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：依题意这20组随机数中恰好击中一次的有107，935，458，683，257，027，498，730，537共9组，
所以所求概率．
故选：．
某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是　　
A．623 B．328 C．253 D．530
【解答】解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，
得到的前6个样本编号依次为：
253，313，457，007，328，623，
则得到的第6个样本编号为623．
故选：．
分层随机抽样
【要点讲解】在比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝＝；在比例分配的分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为；第二层的样本量为n，平均值为，则样本的平均值为.
某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，，，且，全校参加登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为 　45　．
【解答】解：可知全校参加跑步的人数为，
因为，，
所以，
按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，
故应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数，．
故答案为：45．
某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为　　
A．1012小时 B．1010小时 C．1008小时 D．1006小时
【解答】解：由题意可知，该产品的平均寿命为．
故选：．
某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是　　
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
【解答】解：对于选项，张三与李四被抽到的可能性一样大，故错误；
对于选项，理学专业应抽取的人数为，
工学专业应抽取的人数为，故正确；
对于选项，因为各专业差异比较大，所以采用分层随机抽样更合理，故正确；
对于选项，该问题中的样本容量为100，故正确．
故选：．
某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为　　
A．4 B．5 C．6 D．9
【解答】解：某班有45名学生，其中女生25名，男生有20名，
用分层抽样法抽取样本，其中有5名女生，男生有（名．
故选：．
平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
【要点讲解】用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值. 实际应用时，需先计算样本数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)分析稳定情况.
一名同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，可以判断一定没有出现点数6的是　　
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
【解答】解：对于，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故正确；
对于，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：，方差为，可以出现点数6，故错误．
故选：．
若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为　　
A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，48
【解答】解：由题意可知，数据、、、的平均数为10，则，
所以数据、、、的平均数为，
方差为，
所以，
将两组数据合并后，新数据、、、、、、、的平均数为：，
方差为：．
故选：．
四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是　　
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
【解答】解：对于，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故错误；
对于，若平均数为2，且出现6点，则方差，
平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故正确；
对于，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：
方差为，可以出现点数6，故错误．
故选：．
某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：高一年级有女生504人，男生596人．总人数为，
从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，没有按照比例分配的方式进行抽样，
不能直接用样本平均数估计总体平均数，
需要按照女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，
即，即选项最合理．
故选：．
总体百分位数
为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路科普万里行”知识竞赛．现抽取10个班级的平均成绩：70、71、73、76、78、78、81、85、89、90，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为　　
A．77 B．78 C．76 D．80
【解答】解：因共10个数据，则，故该组数据的第40百分位数为从小到大排列第4个数据与第5个数据的平均数，即．
故选：．
某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为 　56　．
【解答】解：易知，
将30个数据由小到大排列为：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
或26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，
因为，
所以这组数据的第75百分位数为上述排列后的从小到大的第23个数56．
故答案为：56．
某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量分位数为　　
A．58 B．60 C．61 D．62
【解答】解：根据题意，12个数据从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，
因为，所以该地区的月降水量的分位数为，
故选：．
2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：
地区 南宁市 柳州市 桂林市 梧州市 玉林市 防城港市 钦州市
男、女性别比 106.71 107.74 103.33 106.77 107.81 119.01 110.66
地区 贵港市 北海市 百色市 贺州市 河池市 来宾市 崇左市
男、女性别比 108.29 108.48 104.69 105.66 104.18 107.52 108.90
根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是　　
A．柳州市 B．南宁市 C．北海市 D．玉林市
【解答】解：将这14个数据（单位：按照从小到大的顺序排列为103.33，104.18，104.69，105.66，106.71，106.77，107.52，107.74，107.81，108.29，108.48，
108.90，110.66，119.01，
，
则这14个数据的第60百分位数为107.81，对应的地区是玉林市．
故选：．
频率分布直方图的应用
如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：选项，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故错误；
选项，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合；
选项，对数函数模型在时没有意义；
选项，符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义．
故选：．
某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在，的人数为10，则　　
A．60 B．80 C．100 D．120
【解答】解：由图可知，，
解得，
则成绩在，的频率为0.1，
由，
得．
故选：．
在一次实验中，某小组测得一组数据，，2，，，并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间，上，下列四个函数模型，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由散点图的定义域可排除、选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．
故选：．
某柚子种植户挑选了100个柚子称重（单位：斤），将100个称重数据分成，，，，，，这6组，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则质量在区间，内的柚子数量是　　
A．15 B．20 C．25 D．30
【解答】解：质量在区间，内的柚子的频率为：
，
质量在区间，内的柚子数量为．
故选：．
某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，、，、、，、，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该中学学生个性化作业评分的第70百分位数．（结果保留一位小数）；
（3）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，，
解得．
（2）由于，的频率之和为，
所以作业评分的第70百分位数在区间，内，设为，
则有，
解得．
（3）受访学生评分在，的人有人，编号为，，
受访学生评分在，的人有人，编号为1，2，3，
随机抽取2人的样本空间为，，，，，，，12，13，共包含10个样本点，
此2人评分都在，的概率为．
俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值及样本数据的第50百分位数；
（2）若将频率视为概率，现在要从，和，两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在，这一组的概率．
【解答】解：（1）依题意，，；
前三组的频率之和，
前四组的频率之和
样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为；
（2），与，两组的频率之比为，
现从，与，两组中用分层抽样的方法抽取6人，
则，组抽取2人，记为，，，组抽取4人，记为1，2，3，4．
从这6人中随机抽取2人，所有可能的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中至少有1人的年龄在，的情况有，，，，，，，，，共9种，
记“抽取的2人中至少有1人的年龄在，组”为事件，则．
某电信运营公司为响应国家网络建设政策，拟实行网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过（一种流量计算单位）的部分按0.8元收费，超过的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图．已知用户月使用流量的中位数为31．
（1）求表中的；
（2）若为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为0.8元，则至少定为多少？
（3）为了进一步了解用户使用流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在，和，两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知，组用户平均年龄为30，方差为36，流量在，组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差．
【解答】解：（1），，．
（2）通过直方图可知第85百分位数落在第，组，
，
解得，，；
（3）按分层抽样在，组抽取40人记为，，，，
则，
，
在，组抽取60人，记为，，
同理可得，平均值为，
抽取的100名用户的方差．
长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：
（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．
【解答】解：（1），
所以本次考试成绩的平均分约为66.8；
因为成绩在，的频率为，
成绩在，的频率为，
所以第71百分位数位于，，
设其为，则，
解得，所以第71百分位数为75．
（2）第5组的人数为：人，第6组的人数为：人，
所以至少有1人成绩优秀的概率．
“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行．开幕式期间，湖南卫视全程直播．学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为，和，的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在，内的概率．
【解答】解：（1）由，
得；
观看时长在：，频率，
，频率，
，频率，
，频率，
，频率，
，频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中平均值为93分．
（2）由题意可知，观看时长在，的人数为（人，
在，的人数为（人，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在，内抽2人，需在，内抽3人，
抽取的这2名学生至少有1人观看时长在，内的概率为．专题9.6 随机抽样、样本估计总体
目录
题型一： 简单随机抽样 4
题型二： 分层随机抽样 5
题型三： 平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差 6
题型四： 总体百分位数 7
题型五： 频率分布直方图的应用 8
简单随机抽样
(1)特点：逐个抽取，且每个个体被抽取的概率相等．
(2)常用方法：抽签法和随机数法.
(3)适用范围：个体性质相似，无明显层次，且个体数量较少，尤其是样本容量较少.
分层随机抽样
(1)定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小.
(3)平均数的计算：各层抽样比乘以各层平均数的和.
统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．
用样本估计总体
(1)百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)平均数、中位数和众数
①平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn)．
②中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
③众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
(3)方差或标准差
①方差：s2＝(xi－)2或－2.
②标准差：s＝.
(4)总体(样本)方差和总体(样本)标准差
①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，Yn，总体平均数为，则总体方差S2＝(Yi－)2.
②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝i(Yi－)2.
【常用结论与知识拓展】
1．频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
简单随机抽样
【要点讲解】(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体中的个体数有限；②逐个抽取；③等可能抽取．
(2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．
已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257．据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率　　
A． B． C． D．
学校举行舞蹈比赛，现从报名的50位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这50位学生按01、02、、50进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为　　
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．43 B．25 C．32 D．12
采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次的概率为　　
A． B． C． D．
某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，，699，700．从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是　　
A．623 B．328 C．253 D．530
分层随机抽样
【要点讲解】在比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝＝；在比例分配的分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为；第二层的样本量为n，平均值为，则样本的平均值为.
某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为，，，且，全校参加登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为 　 　．
某企业两个分厂生产同一种电子产品，产量之比为，现采用分层随机抽样方法，从两个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出该产品的平均使用寿命分别为1000小时，1020小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为　　
A．1012小时 B．1010小时 C．1008小时 D．1006小时
某高中为了了解本校学生考入大学一年后的学习情况，对本校上一年考入大学的同学进行了调查，根据学生所属的专业类型，制成饼图，现从这些同学中抽出100人进行进一步调查，已知张三为理学专业，李四为工学专业，则下列说法不正确的是　　
A．若按专业类型进行分层抽样，则张三被抽到的可能性比李四大
B．若按专业类型进行分层抽样，则理学专业和工学专业应抽取30人和20人
C．采用分层抽样比简单随机抽样更合理
D．该问题中的样本容量为100
某班共有45名学生，其中女生25名，为了解学生的身体状况，现采用分层抽样的方法进行调查，若样本中有5名女生，则样本中男生人数为　　
A．4 B．5 C．6 D．9
平均数、中位数、众数、方差、标准差、极差
【要点讲解】用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似值. 实际应用时，需先计算样本数据的平均数，分析平均水平，再计算方差(标准差)分析稳定情况.
一名同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，可以判断一定没有出现点数6的是　　
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
若一组样本数据、、、的平均数为10，另一组样本数据、、、的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为　　
A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，48
四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是　　
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
某校高一年级有女生504人，男生596人．学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重，从高一女生和男生中随机抽取50人和60人，经计算这50个女生的平均体重为，60个男生的平均体重为，依据以上条件，估计该校高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为　　
A． B．
C． D．
总体百分位数
为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展“红色百年路科普万里行”知识竞赛．现抽取10个班级的平均成绩：70、71、73、76、78、78、81、85、89、90，据此估计该校各个班级平均成绩的第40百分位数为　　
A．77 B．78 C．76 D．80
某城市30天的空气质量指数如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．则这组数据的第75百分位数为 　 　．
某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量分位数为　　
A．58 B．60 C．61 D．62
2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：
地区 南宁市 柳州市 桂林市 梧州市 玉林市 防城港市 钦州市
男、女性别比 106.71 107.74 103.33 106.77 107.81 119.01 110.66
地区 贵港市 北海市 百色市 贺州市 河池市 来宾市 崇左市
男、女性别比 108.29 108.48 104.69 105.66 104.18 107.52 108.90
根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是　　
A．柳州市 B．南宁市 C．北海市 D．玉林市
频率分布直方图的应用
如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是　　
A． B．
C． D．
某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在，的人数为10，则　　
A．60 B．80 C．100 D．120
在一次实验中，某小组测得一组数据，，2，，，并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间，上，下列四个函数模型，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是　　
A． B． C． D．
某柚子种植户挑选了100个柚子称重（单位：斤），将100个称重数据分成，，，，，，这6组，并整理得到如图所示的频率分布直方图，则质量在区间，内的柚子数量是　　
A．15 B．20 C．25 D．30
某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，、，、、，、，．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该中学学生个性化作业评分的第70百分位数．（结果保留一位小数）；
（3）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．
俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升．燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值及样本数据的第50百分位数；
（2）若将频率视为概率，现在要从，和，两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在，这一组的概率．
某电信运营公司为响应国家网络建设政策，拟实行网络流量阶梯定价，每人月用流量中不超过（一种流量计算单位）的部分按0.8元收费，超过的部分按2元收费，从用户群中随机调查了10000位用户，获得了他们某月的流量使用数据，整理得到如下的频率分布直方图．已知用户月使用流量的中位数为31．
（1）求表中的；
（2）若为整数，依据本次调查为使以上用户在该月的流量价格为0.8元，则至少定为多少？
（3）为了进一步了解用户使用流量与年龄的相关关系，由频率分布直方图中流量在，和，两组用户中，按人数比例分配的分层抽样方法中抽取了100名用户，已知，组用户平均年龄为30，方差为36，流量在，组用户的平均年龄为20，方差为16，求抽取的100名用户年龄的方差．
长沙市某中学近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，2023年5月该中学进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到频率分布直方图（如图），观察图中信息，回答下列问题：
（1）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的平均数和第71百分位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从成绩在第5组和第6组的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀的概率．
“山水画卷，郴州相见”，2023年9月16日，第二届湖南省旅游发展大会开幕式暨文化旅游推介会在郴州举行．开幕式期间，湖南卫视全程直播．学校统计了100名学生观看开幕式直播的时长情况（单位：分钟），将其按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）为进一步了解学生观看开幕式的情况，采用分层抽样的方法在观看时长为，和，的两组中共抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人观看时长在，内的概率．专题9.7 成对数据的统计分析
目录
题型一： 依据散点图进行相关性的判断 3
题型二： 一元线性回归模型 5
题型三： 非线性回归模型 9
题型四： 独立性检验的基本原理 15
题型五： 独立性检验的实际应用 18
变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．
样本相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
一元线性回归模型
(1)我们将＝x＋称为y关于x的经验回归方程，其中
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．
列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【常用结论与知识拓展】
1．经验回归直线过点(，)．
2．求时，常用公式＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
依据散点图进行相关性的判断
【要点讲解】依据散点图判断相关性的基本策略：(1)观察点的分布趋势，若点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关；(2)观察点的分布状态(形状)，若点的分布成密集型带状区域且带状区域越“狭窄”，线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥千克，小麦总产量为千克，则　　
A．，之间有依赖关系 B．，之间有函数关系
C．是的函数 D．是的函数
【解答】解：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系．
故选：．
调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是　　
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
【解答】解：相关系数，且散点图呈左下角到右上角的带状分布，
花瓣长度和花萼长度呈正相关．
若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数不一定是0.8245．
故选：．
如图，5个数据，去掉后，下列说法正确的是　　
A．样本相关系数变小
B．残差平方和变大
C．决定系数变大
D．解释变量与响应变量的相关性变弱
【解答】解：由散点图可知，只有偏离直线最远，
当去掉后，和的相关性变强，且为正相关，
所以变大，变大，残差平方和变小．
故选：．
下列说法错误的是　　
A．决定系数越大，模型的拟合效果越好
B．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
【解答】解：对于选项：决定系数越大，模型的拟合效果越好，故选项正确；
对于选项：若变量和之间的样本相关系数为，
则变量和之间的负相关很强，故选项正确；
对于选项：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故选项正确；
对于选项：在经验回归方程中，
当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，故选项错误．
故选：．
一元线性回归模型
【要点讲解】(1)线性经验回归方程的重要应用是进行估计．
(2)牢记求线性经验回归方程的步骤：第一步，列表；第二步，计算，，iyi，或(xi－)(yi－)，(xi－)2；第三步，代入公式求，再利用＝－求；第四步，写出经验回归方程．
当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，，2，3，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【解答】解：（1）令，
，，
则，
，
所以，所以；
（2）设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．
某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
1 2 3 4 5
1.5 2 3.5 8 15
（1）求变量和的样本相关系数（精确到，并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱．
（2）求年销售量关于年投资额的经验回归方程．并预测投资额为700万无时的销售量．
（参考：
参考：，，．
【解答】解：（1）由题意，，，
，
，
，
，
，变量和的线性相关程度很强．
（2），，
年销售量关于年投资额的线性回归方程为，
当时，，
所以研发的年投资额为700万元时，产品的年销售量约为19.2千件．
某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．
（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：
天 1 2 3 4 5
成交额（万元） 9 12 17 21 27
求成交额（万元）与时间变量的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；
（2）小明分别获得、两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为、，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为．求的分布列及；
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，，，，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【解答】（1）易知，，
而，，
可得，
则，
所以关于的线性回归方程为，
当时，（万元），
所以预测活动第6天的成交额为30.7万元；
（2）易知的所有可能取值为0，1，2，
此时，，，
则的分布列为：
0 1 2
故．
非线性回归模型
【要点讲解】对于非线性回归模型的处理策略：(1)基本的解题思想是转化与化归思想，即将“非线性”转化为“线性”模型；(2)观察题目中参考数据的“形式特征”结合题目所给拟合函数的特征分析，通常采用方法是“换元法”和“取对数法”等．
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
参考数据
5215 17713 714 27 81.3 3.6
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到
附：回归方程，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益产值防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施，可以防治至的蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施．
【解答】解：（1）由散点图可知，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型；
（2）对两边同时取对数，
可得，
易知，，
所以，
此时，
所以关于的线性回归方程为，
则关于的回归方程为；
（3）不妨设，和分别表示选择三种方案的收益，
若采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，
此时收益为万，
则，
若采用第2种方案，如果不发生以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，收益为万，
此时，
若采用第3种方案，如果不发生虫害，收益为200万，
如果只发生的虫害，收益为万，
如果发生以上虫害，收益为万，
此时，
所以，
，
．
因为，
所以最大，
则选择方案1最合适．
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个关于平均温度的回归方程类型？
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到附：回归方程中，，．
参考数据
5215 17713 717 27 81.3 3.6
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子产量会下降、为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益产值防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施，可以防治至的蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施．
【解答】解：（1）由散点图可以判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型；
（2）将两边同时取对数，
可得，
易知，，
所以，
则，
则关于的回归方程为；
（3）不妨用，，分别表示选择三种方案的收益，
若采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，
即；
若采用第2种方案，在不发生以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，
即；
若采用第3种方案，
可得，
所以，
，
，
因为，
所以选择方案1最佳．
中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度（单位：关于时间（单位：的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据．
73.5 3.85
表中：，．
（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度关于时间的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度关于时间的回归方程；
（2）已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
（2）参考数据：，，，，
【解答】解：（1）更适宜的回归方程为②，
由，可得，
两边取自然对数，得，
令，，，
则，
计算得，
所以，
结合表中数据，可得，
所以，
所以，，
所以茶水温度关于时间的回归方程为；
（2）由题意可知，室温下，茶水温度降至60摄氏度口感最佳，
即，
所以，
解得，
故在室温下，刚泡好的茶水大约需要放置才能达到最佳引用口感．
独立性检验的基本原理
【要点讲解】独立性检验的基本原理是根据观测值与期望值的差异的大小作出推断，这种差异由χ2统计量进行刻画，其大小的标准根据推理有关联时犯错误的概率确定．
独立性检验的依据是小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生．在零假设成立的条件下，若一个不利于零假设的小概率事件在一次试验中发生了，则有理由拒绝零假设；若在一次试验中，此小概率事件没有发生，则没有充足的理由拒绝零假设，通常会接受零假设．
某中学为调查高一年级学生的选科倾向，随机抽取了300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表所示：
选考类别 选择科目
思想政治 地理 化学 生物
物理类 80 100 145 115
历史类 50 45 30 35
参考数据：，其中．
附表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则下列说法中正确的是　　
A．选考物理类的学生中选择政治的比例比选考历史类的学生中选择政治的比例高
B．选考物理类的学生中选择地理的比例比选考历史类的学生中选择地理的比例高
C．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关
D．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别有关
【解答】解：对于项，选考物理类的学生中选择政治的比例为，选考历史类的学生中选择政治的比例为，显然，故项错误；
对于项，选考物理类的学生中选择地理的比例为，选考历史类的学生中选择地理的比例，，故项错误；
对于项，
根据已知，可列出列联表：
选择生物 不选择生物 合计
物理类 115 105 220
历史类 35 45 80
合计 150 150 300
，
所以根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关，故项正确；
对于项，根据项可知，项错误．
故选：．
某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如表所示：
喜欢阅读 不喜欢阅读 总计
男学生 30 20 50
女学生 40 10 50
总计 70 30 100
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是　　
A．没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
B．有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
【解答】解：由题意可得，，
因为，所以有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；
因为，所以没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误；
因为，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”，故错误，正确．
故选：．
下列说法中不正确的是　　
A．独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法
B．独立性检验得到的结论一定是正确的
C．独立性检验的样本不同，其结论可能不同
D．独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
【解答】解：独立性检验就是用来检验两个分类变量是否有关的，即正确；
独立性检验与样本的选取有关，不一定正确，即错误；
样本不同，观测值统计量不同，结论可能不同，即正确；
独立性检验思想来自统计上的检验思想，与反证法类似，即正确．
故选：．
下列关于独立性检验的说法正确的是　　
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
【解答】解：对于，独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析，并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系，但不能完全肯定这种关系，故错误，
对于，独立性检验依据的是小概率原理，不能确定两个变量之间是否具有某种关系，故错误，
对于，从独立性检验可知，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，即有的把握认为这个推理是正确的，有的可能性认为推理出现错误，故错误，
对于，对于独立性检验，随机变量的观测值值越大，则两变量有关系的程度越大，即越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越低，故越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故正确．
故选：．
独立性检验的实际应用
【要点讲解】1．在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式χ2＝
计算χ2；
(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断．
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝以上为常喝，体重超过为肥胖）
常喝 不常喝 合计
肥胖 6 2 8
不胖 4 18 22
合计 10 20 30
（1）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；
（2）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（其中4名男生2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中
【解答】解：（1）易知，
所以有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；
（2）不妨设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为、、、，女生为，，
若任取两人，共有，，，，，，，，，，，，，，这15种情况，
其中一男一女有，，，，，，，这8种情况，
故抽到一男一女的概率为．
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
女生 5 10 15
男生 5 20 25
合计 10 30 40
（1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？
（2）如果将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，得到与（1）中不一样的结论．
求的最小值；
如果抽样方式不变，你认为（1）和（2）的结论哪个更可靠，并说明理由．
附：，其中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解答】解：（1）零假设：学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系，
易知，
根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此认为成立，
即学生体育锻炼的经常性与学生性别没有关系；
（2）将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，
由（1）知，
所以，
根据的独立性检验，若推断不成立，
即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生体育锻炼的经常性与学生性别有关系，
此时，
解得，
因为，
则的最小值为8；
在抽样方式不变的情况下，（2）中的结论更可靠，
因为对于随机样本而言，频率具有随机性，我们的推断可能犯错误，样本容量越小，犯错误的可能性会越大，
因此在抽样方式不变的前提下，样本容量大的结果更可靠．
近期，孩子刷短视频上瘾成为了家长们头疼的新问题．某市多所中学针对此展开的一项调查发现，近九成学生有使用短视频平台的习惯，近一半家长表示孩子或多或少存在沉迷短视频的现象，超半数家长认为短视频成瘾对青少年成长存在严重影响．某校为调查学生成绩下降与“短视频成瘾”之间是否有关随机调查了200名学生的开学考试成绩，其中“短视频成瘾”的学生中成绩未下降的有35名学生，（将总排名下降视为成绩下降，将刷短视频一天超过两小时规定为“短视频成瘾”
（1）若样本中“短视频成瘾”且成绩未下降的女生有15名，并在被认为“短视频成瘾”且成绩未下降的对象中按性别采用分层抽样抽取7人，再从中随机抽取2人，求抽到的两人均为女生的概率．
（2）填写下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为成绩下降与“短视频成瘾”有关？
“短视频成瘾” 没有“短视频成瘾” 合计
学习成绩下降 100
学习成绩未下降
合计 96
参考公式与数据：．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【解答】解：（1）由题意得，样本中“短视频成瘾”且成绩未下降的女生有15名，则男生有20人，
按性别采用分层抽样抽取7人，则男生抽取人，女生抽取人，
抽到的两人均为女生的概率为；
（2）根据题目所给数据得到如下的列联表：
“短视频成瘾” 没有“短视频成瘾” 合计
学习成绩下降 61 39 100
学习成绩未下降 35 65 100
合计 96 104 200
假设：成绩下降与“短视频成瘾”无关．
，
因为当成立时，的概率约为0.001，
所以认为成绩下降与“短视频成瘾”有关．
近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【解答】解：（1）可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系，理由如下：
在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系．
（2）列联表如下：
戴口罩 不戴口罩 合计
女性 42 28 70
男性 20 30 50
合计 62 58 120
（3）由（2）中数据可得：，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系．专题9.7 成对数据的统计分析
目录
题型一： 依据散点图进行相关性的判断 3
题型二： 一元线性回归模型 5
题型三： 非线性回归模型 8
题型四： 独立性检验的基本原理 14
题型五： 独立性检验的实际应用 16
变量的相关关系
(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
(2)相关关系的分类：正相关和负相关．
(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关．
样本相关系数
(1)r＝.
(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．
(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
一元线性回归模型
(1)我们将＝x＋称为y关于x的经验回归方程，其中
(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．
列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
(2)计算随机变量χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【常用结论与知识拓展】
1．经验回归直线过点(，)．
2．求时，常用公式＝.
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
依据散点图进行相关性的判断
【要点讲解】依据散点图判断相关性的基本策略：(1)观察点的分布趋势，若点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关；(2)观察点的分布状态(形状)，若点的分布成密集型带状区域且带状区域越“狭窄”，线性相关性越强；反之，线性相关性越弱．
张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥千克，小麦总产量为千克，则　　
A．，之间有依赖关系 B．，之间有函数关系
C．是的函数 D．是的函数
调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数，下列说法正确的是　　
A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245
如图，5个数据，去掉后，下列说法正确的是　　
A．样本相关系数变小
B．残差平方和变大
C．决定系数变大
D．解释变量与响应变量的相关性变弱
下列说法错误的是　　
A．决定系数越大，模型的拟合效果越好
B．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
一元线性回归模型
【要点讲解】(1)线性经验回归方程的重要应用是进行估计．
(2)牢记求线性经验回归方程的步骤：第一步，列表；第二步，计算，，iyi，或(xi－)(yi－)，(xi－)2；第三步，代入公式求，再利用＝－求；第四步，写出经验回归方程．
当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，，2，3，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
1 2 3 4 5
1.5 2 3.5 8 15
（1）求变量和的样本相关系数（精确到，并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱．
（2）求年销售量关于年投资额的经验回归方程．并预测投资额为700万无时的销售量．
（参考：
参考：，，．
某商场举办为期一周的店庆购物优惠活动，不仅购物有优惠，还有抽奖活动．
（1）已知该商场前5天店庆活动当天成交额如表所示：
天 1 2 3 4 5
成交额（万元） 9 12 17 21 27
求成交额（万元）与时间变量的线性回归方程，并预测活动第6天的成交额（万元）；
（2）小明分别获得、两店的抽奖机会各一次，且抽奖成功的概率分别为、，两次抽奖结果互不影响．记小明中奖的次数为．求的分布列及；
附：对于一组具有线性相关关系的数据，，，，，，，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
非线性回归模型
【要点讲解】对于非线性回归模型的处理策略：(1)基本的解题思想是转化与化归思想，即将“非线性”转化为“线性”模型；(2)观察题目中参考数据的“形式特征”结合题目所给拟合函数的特征分析，通常采用方法是“换元法”和“取对数法”等．
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
参考数据
5215 17713 714 27 81.3 3.6
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到
附：回归方程，，
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子产量会下降．为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益产值防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施，可以防治至的蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施．
红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个关于平均温度的回归方程类型？
（2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到附：回归方程中，，．
参考数据
5215 17713 717 27 81.3 3.6
（3）根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在以下的年数占，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在至的年数占，柚子产量会下降；平均气温在以上的年数占，柚子产量会下降、为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益产值防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．
方案1：选择防害措施，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施，可以防治至的蜘蛛虫害，但无法防治以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施．
中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度（单位：关于时间（单位：的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据．
73.5 3.85
表中：，．
（1）根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度关于时间的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度关于时间的回归方程；
（2）已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
（2）参考数据：，，，，
独立性检验的基本原理
【要点讲解】独立性检验的基本原理是根据观测值与期望值的差异的大小作出推断，这种差异由χ2统计量进行刻画，其大小的标准根据推理有关联时犯错误的概率确定．
独立性检验的依据是小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生．在零假设成立的条件下，若一个不利于零假设的小概率事件在一次试验中发生了，则有理由拒绝零假设；若在一次试验中，此小概率事件没有发生，则没有充足的理由拒绝零假设，通常会接受零假设．
某中学为调查高一年级学生的选科倾向，随机抽取了300人，其中选考物理的有220人，选考历史的有80人，统计各选科人数如表所示：
选考类别 选择科目
思想政治 地理 化学 生物
物理类 80 100 145 115
历史类 50 45 30 35
参考数据：，其中．
附表：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
则下列说法中正确的是　　
A．选考物理类的学生中选择政治的比例比选考历史类的学生中选择政治的比例高
B．选考物理类的学生中选择地理的比例比选考历史类的学生中选择地理的比例高
C．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别无关
D．参照附表，根据小概率值的独立性检验，我们认为选择生物与选考类别有关
某学校对高二学生是否喜欢阅读进行随机调查，调查的数据如表所示：
喜欢阅读 不喜欢阅读 总计
男学生 30 20 50
女学生 40 10 50
总计 70 30 100
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
根据表中的数据，下列对该校高二学生的说法正确的是　　
A．没有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
B．有以上的把握认为“性别与是否喜欢阅读有关”
C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与是否喜欢阅读有关”
下列说法中不正确的是　　
A．独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法
B．独立性检验得到的结论一定是正确的
C．独立性检验的样本不同，其结论可能不同
D．独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法
下列关于独立性检验的说法正确的是　　
A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验
B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系
C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病
D．对于独立性检验，随机变量的观测值值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
独立性检验的实际应用
【要点讲解】1．在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．
2．解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式χ2＝
计算χ2；
(3)通过比较χ2与临界值的大小关系来作统计推断．
为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝以上为常喝，体重超过为肥胖）
常喝 不常喝 合计
肥胖 6 2 8
不胖 4 18 22
合计 10 20 30
（1）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；
（2）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（其中4名男生2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：，其中
为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
女生 5 10 15
男生 5 20 25
合计 10 30 40
（1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？
（2）如果将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，得到与（1）中不一样的结论．
求的最小值；
如果抽样方式不变，你认为（1）和（2）的结论哪个更可靠，并说明理由．
附：，其中
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
近期，孩子刷短视频上瘾成为了家长们头疼的新问题．某市多所中学针对此展开的一项调查发现，近九成学生有使用短视频平台的习惯，近一半家长表示孩子或多或少存在沉迷短视频的现象，超半数家长认为短视频成瘾对青少年成长存在严重影响．某校为调查学生成绩下降与“短视频成瘾”之间是否有关随机调查了200名学生的开学考试成绩，其中“短视频成瘾”的学生中成绩未下降的有35名学生，（将总排名下降视为成绩下降，将刷短视频一天超过两小时规定为“短视频成瘾”
（1）若样本中“短视频成瘾”且成绩未下降的女生有15名，并在被认为“短视频成瘾”且成绩未下降的对象中按性别采用分层抽样抽取7人，再从中随机抽取2人，求抽到的两人均为女生的概率．
（2）填写下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为成绩下降与“短视频成瘾”有关？
“短视频成瘾” 没有“短视频成瘾” 合计
学习成绩下降 100
学习成绩未下降
合计 96
参考公式与数据：．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了120人，其中女性70人，男性50人，并根据统计数据画出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879

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