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第四章 数列章末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2,则a2=(　 　)
　　A. 1 B. C. 2 D. 3
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6=10,a4a8=45，则S5=（ ）
A. 20 B. 15 C. 22 D. 25
3.已知3，a+2,b+4成等比数列，1，a+1,b+1成等差数列，则等差数列的公差为（ ）
A．4或-2 B．-4或2 C．4 D．-4
4.已知是首项为1，公比为2的等比数列，则=(　　 )
A. B. C. D.
5.我国古代著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，
相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三
尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正
确的是( )
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长短
6.意大利数学家斐波那契在年所著的《算盘全书》中，记载有数列：.若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，则数列{an}的前项和为( )
A. B. C. D.
7.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前项和是Sn，若 ，， 成等比数列，则( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8.记Sn为等差数列{an}的前n项和．设甲:{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的充要条件
C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则下列正确的是(　　)
A.a1=-2 B.a1=2 C.d=4 D.d=-4
10.某工厂生产一种溶液，按国家规定标准，杂质含量不超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到国家标准要求的过滤次数可为（ ）（参考数据：）
A．6 B．7 C．8 D．9
11.已知M={k|ak=bk}，{an}，{bn}不为常数列且各项均不相同，下列正确的是（ ）
A.{an}，{bn}均为等差数列，则M中最多一个元素.
B.{an}，{bn}均为等比数列，则M中最多三个元素.
C.{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多三个元素.
D.{an}单调递增，{bn}单调递减，则M中最多一个元素.
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若等差数列{an}的的前n项和是Sn，且a1+a3=0，S5=10，数列{bn}满足b1=0,且bn+1=an+1+an，则数列{bn}的通项公式为bn=　　　　　.
13.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款　　元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252) .
14.将数列{}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1),(2,4),(8,16,32),…,则第60组中的第一个数是 .
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
若等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
⑴求实数a1和d的值.
⑵b16是不是{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
16.（本题满分15分）
记Sn为数列{an}的的前n项和已知.
⑴证明：{an}是等差数列；
⑵若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
17.（本题满分15分）
已知正项等比数列{an}中，a1,2a2,a3+6成等差数列，且.
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵若Sn为数列{an}的的前n项和，设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：．
18.（本题满分17分）
某公式计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.
⑴引进该生产线几年后总盈利最大？最大是多少万元？
⑵引进该生产线几年后平均盈利最多？最多2是多少万元？
19.（本题满分17分）
设m>3，对于有穷数列，令 为 ，，， 中的最大值，称数列 为 的“创新数列”．数列 中不相等项的个数称为 的“创新阶数”．例如数列2,1,3，7，5 的创新数列为 2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数 ，，，， 的所有数列，将每种数列都视为一个有穷数列 ．
⑴若m=5，写出创新数列为 ，，，， 的所有数列 ；
⑵是否存在数列 ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列 ；若不存在，请说明理由.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3an-2,则a2=(　 　)
　　　A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由题意，得S1=3a1-2，即a1=1，
又a1+a2=3a2-2,解得a2=，故选B.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2+a6=10,a4a8=45，则S5=（ ）
A. 20 B. 15 C. 22 D. 25
【答案】A
【解析】 方法1：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，依题意可得，a2+a6=a1+d+a1+5d=10,
即a1+3d=5,a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得a1=2，d=1，
∴S5=.故选A．
方法2：∵a2+a6=2a4=10，a4a8=45，∴a4=5，a8=9，
∴,a3=a4-d=4,S5==20.故选A．
3.已知3，a+2,b+4成等比数列，1，a+1,b+1成等差数列，则差等差数列的公为（ ）
A．4或-2 B．-4或2 C．4 D．-4
【答案】C
【解析】∵3，a+2,b+4成等比数列，1，a+1,b+1成等差数列，
∴(a+2)2=3(b+4),2(a+1)=1+b+1,
联立解得或,当时，a+2=0，这与3，a+2,b+4成等比数列矛盾，舍去；
当时，3，a+2,b+4成等比数列，而差等差数列的公为(a+1)-1=a=4.故选C.
4.已知是首项为1，公比为2的等比数列，则=(　　 )
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】由题意得(n≥2) ,
∴(n≥2),
当n=1时,a1=1也满足上式
∴,∴.故选D.
5.我国古代著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，
相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三
尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正
确的是( )
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺
B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸
D.立春的晷长比立秋的晷长短
【答案】D
【解析】由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an},其中a1=15寸,a13=135寸,公差为d寸,则
135=15+12d，解得d=10,
同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn},首项b1=135寸,末项b13=15寸,公差d=-10(单位都为寸).
∴选项A正确;
∵春风的晷长为b7,∴b7=135+6×(-10)=75.
∵秋风的晷长为a7,∴a7=15+6×10=70.则选项B正确.
∵立冬的晷长为a10,∴a10=15+9×10=105，即立冬的晷长为一丈五寸,选项C正确;
∵立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,
∴b4=135+3×(-10)=105，a4=15+3×10=45，即b4≥a4.选项D不不正确.
故选D．
6.意大利数学家斐波那契在年所著的《算盘全书》中，记载有数列：.若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{an}，则数列{an}的前项和为( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】{an}是斐波那契数列，求得{an}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，从而可得结论．
由题意，数列各项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…，
各项除以2所得余数分别为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，…，
即{an}中各项除以4所得余数组成以3为周期的周期数列
∴数列{an}的前项和S100=33(1+1+0)+1=67.故选C.
7.已知{an}是等差数列，公差d不为零，前项和是Sn，若 ，， 成等比数列，则( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，
则 ，，，
由 ，， 成等比数列，
得 ，
整理得：，
因为 ，所以 ，所以 ，
．故选A.
8.记Sn为等差数列{an}的前n项和．设甲:{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的充要条件
C. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】方法1:甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，，公差为d，
则Sn=,,，
因此{}为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：{}为等差数列，即,为常数，设为t，
即=t，则Sn=，有Sn-1=(，n≥2,
两式相减得an=，即，对n=1也成立，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
∴甲是乙的充要条件，故选B.
方法2:甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项a1，公差为d，即Sn=，
则，因此{}为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：{}等差数列，即D,，即Sn=,
Sn-1=(，
当n≥2时，上两式相减得，当n=1时，上式也成立，
于是，又为常数，
因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，
∴甲是乙的充要条件，故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则下列正确的是(　　)
A.a1=2 B.a1=-2 C.d=4 D.d=-4
【答案】BC
【解析】∵∴故选BC.
10.某工厂生产一种溶液，按国家规定标准，杂质含量不超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到国家标准要求的过滤次数可为（ ）（参考数据：）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】CD
【解析】设至少需要过滤n次（n∈N ），产品能达到国家标准要求，则
,即,∴,即7.4.
又n∈N ,∴n≥8,产品能达到国家标准要求至少需要过滤8次或9次.
故选CD.
11..已知M={k|ak=bk}，{an}，{bn}不为常数列且各项均不相同，下列正确的是（ ）
A.{an}，{bn}均为等差数列，则M中最多一个元素.
B.{an}，{bn}均为等比数列，则M中最多三个元素.
C.{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则M中最多三个元素.
D.{an}单调递增，{bn}单调递减，则M中最多一个元素.
【答案】ACD
【解析】对于A，∵{an}，{bn}均为等差数列，它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，∴M中最多一个元素，A正确；
对于B，取an=2n-1,bn=-(-2)n-1,{an}，{bn}均为等比数列，但当n为偶数时，an=2n-1=bn=-(-2)n-1，此时，M中有无数个元素，B错误；
对于C，设bn=Aqn-1(Aq≠0,q≠),an=kn+b(k≠0),由散点图可知，公共点数不超过3个，M中最多三个元素，C正确；
对于D，{an}单调递增，{bn}单调递减，前者散点图呈上升趋势，后者散点图呈下降趋势，最多有一个公共点，M中最多一个元素，D正确.
故选ACD.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若等差数列{an}的的前n项和是Sn，且a1+a3=0，S5=10，数列{bn}满足b1=0,且bn+1=an+1+bn，则数列{bn}的通项公式为bn=　　　　　.
【答案】n2-3n+2.
【解析】设等差数列{an}的公差为d,由S5=10，得5a3=10,即a3=2，又a1+a3=0，∴a1=-2，a2=0，d=2，
∴an=-2+2(n-1)=2n-4.
由bn+1=an+1+bn得bn+1-bn=2n-2，
∴bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=0+0+2+4+…+(2n-4)=n2-3n+2.
13.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款　　元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252) .
【答案】175.
【解析】设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则
A1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x,
A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,
……
A12=2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x,
∵A12=0,
∴2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,
解得x=
≈175,
即每期应付款175元.
14.将数列{}按“第n组有n个数”的规则分组如下：(1),(2,4),(8,16,32),…,则第60组中的第一个数是 .
【答案】21770
【解析】在“第n组有n个数”的规则分组中，每组数字的个数组成一个首项为1，公差为1的等差数列.因此前59组中数字的个数共有=1770个，且第1个数为20，故第60组中的第一个数是
21770.
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.若等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d(d≠1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.
⑴求实数a1和d的值.
⑵b16是不是{an}中的项 如果是,是第几项 如果不是,请说明理由.
【答案】⑴a1=,d=-; ⑵b16为{an}的第34项.
【解析】⑴设数列{an},{bn}的通项公式分别为an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1=a1dn-1.
由
即3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).
以上两式相除,整理得d6+d3-2=0.
解得d3=1或d3=-2.
∵d≠1,∴d3=-2.
∴d=-.
代入原方程中,解得a1=.故a1=,d=-.
⑵由⑴得,数列{an},{bn}的通项公式分别为an=(2-n)·,bn=-(-)n.
则b16=-(-)16=-32.
由(2-n)=-32,解得n=34.
故b16为{an}的第34项.
16.记Sn为数列{an}的的前n项和已知.
⑴证明：{an}是等差数列；
⑵若a4,a7,a9成等比数列，求Sn的最小值．
【答案】⑴详见解析; ⑵-78.
【解析】⑴由变形得2Sn=2nan+n-n2, ①
又2Sn-1=2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2， ②
①-②得2an=2nan+n-n2 -[2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2].
即(2n-2)an-(2n-2)an-1=2n-2,n≥2,n∈N ,
∴an-an-1=1,n≥2,n∈N ,
则{an}是等差数列.
⑵由题意可知，即，解得，
∴an=-12+(n-1)=n-13，其中，,
则Sn的最小值为S12=S13=-78.
17.已知正项等比数列{an}中，a1,2a2,a3+6成等差数列，且.
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵若Sn为数列{an}的的前n项和，设，数列{bn}的前n项和为Tn,求证：．
【答案】⑴an=2n；⑵详见解析.
【解析】⑴设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
∵a1,2a2,a3+6成等差数列，且，
∴，解得a1=q=2，
∴an=a1qn-1=2n．
⑵证明：由⑴得Sn=，
∴，
∴Tn=
=．
∴Tn在n∈N 上单调递增，
则，即.
18.某公式计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.
⑴引进该生产线几年后总盈利最大？最大是多少万元？
⑵引进该生产线几年后平均盈利最多？最多2是多少万元？
【答案】⑴引进该生产线10年后总盈利最大，为204万元;
⑵引进该生产线7年后平均盈利最多，为24万元.
【解析】⑴设引进该生产线n年后总盈利f(n)万元,设除去设备引进费用，第n年的成本为an,构成一等差数列，前n年的成本之和为[24n+]万元.
∴f(n)=100n-[24n+4n(n-1)+196]=-4n2+80n-196
=-4(n-10)2+204,n∈N ,
∴当n=10时，f(n)max=204(万元).
即引进该生产线10年后总盈利最大，为204万元.
⑵设引进该生产线n年后平均盈利g(n)万元,
则g(n)=,n∈N ,
∵当n∈N 时，=14,
当且仅当时，即n=7时等号成立.
∴当n=7时，g(n)max=g(7)=24(万元)，
即引进该生产线7年后平均盈利最多，为24万元.
19.设m>3，对于有穷数列，令 为 ，，， 中的最大值，称数列 为 的“创新数列”．数列 中不相等项的个数称为 的“创新阶数”．例如数列2,1,3，7，5 的创新数列为 2，2，3，7，7，创新阶数为3．
考察自然数 ，，，， 的所有数列，将每种数列都视为一个有穷数列 ．
⑴若m=5，写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列 ；
⑵是否存在数列 ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列 ；若不存在，请说明理由.
【答案】⑴①3,4,1,5,2.②3,4，2,5,1； ⑵详见解析．
【解析】⑴由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列 有两个，即
①3,4,1,5,2
②3,4，2,5,1
⑵存在数列 ，它的创新数列为等差数列.
设数列 的创新数列为 ，
∵ 为 ，，， 中的最大值，
∴ ，
由题意知 为 ，，， 中最大值， 为 ，，，， 中最大值，
∴ ，且 ，
若 为等差数列，设其公差为 ，则 ，且 ，
①当 时， 为常数列，
又 ，
∴数列 为 ，，，，此时数列 是首项为 的任意一个符合条件的数列；
②当 时，∵ ，∴数列 为 ，，，，，此时数列 是 ，，，，；
③当 时，因为 ，
又 ，，所以 ，这与 矛盾，所以此时 不存在，即不存在 使得它的创新数列为 的等差数列．
综上，当数列 为①首项为 的任意符合条件的数列；②数列为 ，，，， 时，它的创新数列为等差数列．
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