资源简介

微专题01　实　数
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　　
1. 实数的分类(2023.1)
(1)按定义分
(2)按大小分：正数、0、负数(既不是正数也不是负数的数是①　　　　；非负数包括②　　　　)
(3)正负数的意义
用正数和负数表示一对具有相反意义的量，如规定“盈(＋)”则“亏(－)”，“上升(＋)”则“下降(－)”等
2. 实数的相关概念(6年5考)
表示方法及三要素：
数轴 性质： ③　　　　与数轴上的点是一一对应的
绝对值 ｜a｜＝即｜a｜具有非负性 注：绝对值最小的实数是0 几何意义：数轴上表示数a的点到原点的⑤　　　，离原点越远的数的绝对值越⑥　　　
相反数 非零实数a的相反数是⑦　　　　；特别地，0的相反数是0 实数a，b互为相反数 a＋b＝⑧　　　 几何意义：数轴上表示相反数的两个点(除0外)在原点两侧，且到原点的距离相等
倒数 非零实数a的倒数是⑨　　　.特别地，倒数是它本身的数为⑩　　　，0没有倒数 实数a，b互为倒数 ab＝ 　　　
3. 科学记数法(6年4考)
(1)定义：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法
(2)表示方法
①当原数的绝对值≥10时，n为正整数，它等于原数的整数位数减1；
②当0＜原数的绝对值＜1时，n为负整数，｜n｜等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的零)
4. 近似数
定义：将一个数四舍五入后得到的数；一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
5. 平方根、算术平方根与立方根
考查点 定义
平方根 实数a(a＞0)的平方根为 　　　，其中 　　　为a的算术平方根.0的平方根为0
算术平方根
立方根 实数a的立方根为 　　　
6. 实数的大小比较(6年2考)
(1)数轴比较法：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
(2)类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
(3)差值比较法：a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b
(4)平方比较法：a＞ a2＞b(b≥0)
7. 实数的运算(6年4考)
(1)零次幂：a0＝1(a≠0)
(2)负整数指数幂：a－p＝(口诀：倒底数，反指数)
(3)去绝对值符号：｜a－b｜＝
(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝
(5)乘方：an＝
练考点
1. 下列各数中，是负数的是(　　)
A. －　 B. 0　 C. 　 D. 1
2. 下列是无理数的是(　　)
A. B. 0.33
C. －1 D.
3. 若零上6 ℃记作＋6 ℃，那么零下4 ℃记作　　　　.
4. 如图，数轴上点P表示的数是　　　　.
第4题图
5. 填空：
－5的相反数是　　　，绝对值是　 　　，倒数是　 　.
6. 将下列数据用科学记数法表示：
(1)85 000 000＝　　　　　　　；
(2)0.000 004＝　　　　　　　；
(3)396万＝　　　　　　　.
7. 将数据566.632精确到个位得到近似数是　　　　.
8. 64的平方根为　　　　；算术平方根为　　　　；立方根为　　　　.
9. 在2，－，0，－3，这组数中，最小的数是　　　　；最大的数是　　　　；比0小的数是　　　　.
10. 计算：
(1)(－2)2＝　　　　，
－22＝　　　　；
(2)(－1)2025＝　　　　；
(3)(－3.14)0＝　　　　；
(4)(3)－1＝　　　　，()－2＝　　　　；
(5)｜1－｜＝　　　　.
高频考点
考点1　实数的分类(6年2考)
例1　(人教七上习题改编)在实数－16，0.04，，－，0，，cos 30°，中.
(1)正数有　　　　　　　；
(2)负数有　　　　　　　　　；
(3)无理数有　　　　　　　；
(4)既不是正数，也不是负数的是　　　　.
例2　(2024佛山模拟)《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.如果＋40 m表示向东走40 m，那么－100 m表示(　　)
A. 向东走60 m B. 向西走60 m
C. 向东走100 m D. 向西走100 m
考点2　实数的相关概念(6年5考)
例3　(人教七上习题改编)如图，数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题：
(1)依次写出点A，B，C表示的数是　　　　；
(2)点A表示的数的相反数是　　　　；
(3)点C表示的数的绝对值是　　　　.
例3题图
变式1　(2024佛山南海区一模)如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与－互为倒数的是(　　)
变式1题图
A　　　　　　　　 B. B　　　　　　　　
C. C　　　　　　　　 D. D
考点3　科学记数法(6年4考)
例4　(2024珠海一模)著名的数学家苏步青被誉为“数学之王”.为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218 000 000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218 000 000用科学记数法表示为(　　)
A. 0.218×109 B. 2.18×108 C. 2.18×109 D. 218×106
变式2　(北师七上习题改编)2025年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262 310…0元，用科学记数法表示为2.623 1×109，则原数中0的个数为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
变式3　(2024佛山禅城区三模)佛山“桑基鱼塘”文化精髓是蚕桑生产历史的见证.产自佛山的蚕丝以其柔韧绵长的特性在纺织领域享有盛誉.某种蚕丝的直径大约是0.000 014米，0.000 014用科学记数法可表示为(　　)
A. 0.14×10－4 B. 1.4×10－4 C. 1.4×10－5 D. 14×10－4
考点4　平方根、算术平方根与立方根
例5　(人教七下习题改编)下列说法正确的是(　　)
A. ＝±4 B. 0.01的平方根是0.1
C. 1的立方根是1 D. 4的平方根是2
易错警示
①正数的平方根有两个，易漏掉“±”；②算术平方根只有一个；③立方根与原数的正负性一致.
变式4　(北师八上复习题改编)一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，则x＝　　　　.
考点5　实数的大小比较(6年2考)
例6　(人教七上习题改编)实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则这四个数中最小的数是(　　)
A. a B. b C. c D. d
例6题图
变式5　(2024烟台)实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是(　　)
变式5题图
A. b＋c＞3 B. a－c＜0 C. ｜a｜＞｜c｜ D. －2a＜－2b
考点6　实数的运算(6年4考)
例7　(人教七上复习题改编)计算：
(1)(－1)×(－6)＋÷(7－5)；　　　　　　　(2)｜－2｜－；
－12＋－2×； (4)｜π－3｜＋2sin 30°－(－2)0.
方法解读
实数混合运算的一般顺序
(1)将包含的每个小项的值计算出来；
(2)先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减；有括号，先进行括号内的运算；
(3)同级运算按从左到右的顺序进行.
真题及变式
命题点1　实数的相关概念(6年5考) 　
1. (2023广东1题3分)负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中.如果把收入5元记作＋5元，那么支出5元记作(　　)
A. －5元 B. 0元 C. ＋5元 D. ＋10元
2. (2022广东1题3分)｜－2｜＝(　　)
A. －2 B. 2 C. － D.
3. (2020广东1题3分)9的相反数是(　　)
A. －9 B. 9 C. D. －
命题点2　科学记数法(6年4考) 　
4. (2024广东3题3分)2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为(　　)
A. 3.84×104 B. 3.84×105 C. 3.84×106 D. 38.4×105
拓展训练
5. 根据国家统计局发布的数据，2023年全国粮食总产量达到139 08.2亿斤.数据139 08.2亿用科学记数法表示为(　　)
A. 13.908 2×1011 B. 1.390 82×1012 C. 1.390 82×1013 D. 0.139 082×1013
命题点3　实数的大小比较(6年2考) 　
6. (2021广东1题3分)下列实数中，最大的数是(　　)
A. π B. C. ｜－2｜ D. 3
7. (2019广东7题3分)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是(　　)
A. a＞b
B. ｜a｜＜｜b｜
C. a＋b＞0
D. ＜0
　第7题图
命题点4　实数的运算(6年4考) 　
8. (2024广东1题3分)计算－5＋3的结果是(　　)
A. －2 B. －8 C. 2 D. 8
9. (2022广东2题3分)计算22的结果是(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
10. (2019广东11题4分)计算：2 0190＋()－1＝　　　　.
11. (2024广东16题7分)计算：20×｜－｜＋－3－1.
新考法
12. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是(　　)
第12题图
13. 如图，若数轴上的点A，B分别与实数－1，1对应，用圆规在数轴上画点C，则与点C对应的实数是(　　)
第13题图
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
14. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正，黑色为负).如图①表示的是(＋2)＋(－2)＝0，根据这种表示法，可推算出图②所表示的数值为(　　)
第14题图
A. 9 B. －9 C. 3 D. －3
考点精讲
①0　②正数和0　③实数　④－a　⑤距离　⑥大
⑦－a　⑧0　⑨　⑩－1和1　 1　 ±　 　
练考点
1. A
2. D
3. －4 ℃
4. －1
5. 5；5；－
6. (1)8.5×107；(2)4×10－6；(3)3.96×106
7. 567
8. ±8；8；4
9. －3；；－，－3
10. (1)4，－4；(2)－1；(3)1；(4)，9；(5)－1
高频考点
例1　(1)0.04，，，cos 30°，；(2)－16，－；(3)，cos 30°；(4)0
例2　D
例3　(1)2，－2，－3；(2)－2；(3)3
变式1　A　【解析】∵－的倒数是－3，∴表示的数与－互为倒数的是点A.
例4　B
变式2　C　【解析】2.6231×109＝2 623 100 000，即原数中0的个数为5.
变式3　C　
例5　C
变式4　2　【解析】∵一个正数的平方根分别是x＋1和x－5，∴(x＋1)＋(x－5)＝0，解得x＝2.
例6　D
变式5　B　【解析】由题图，得－3＜a＜－2，－2＜b＜－1，3＜c＜4，∴｜c｜＞｜a｜＞｜b｜，故C选项不符合题意；∵－2＋3＜b＋c＜－1＋4，∴b＋c＜3，故A选项不符合题意；∵a＜c，∴a－c＜0，故B选项符合题意；∵a＜b，∴－2a＞－2b，故D选项不符合题意.
例7　解：(1)原式＝6＋4÷2
＝8；
(2)原式＝2－－(－4)
＝6－；
(3)原式＝－1＋(－3)－2×3
＝－10；
(4)原式＝π－3＋2×－1
＝π－3.
真题及变式
1. A　2. B　3. A　4. B　5. D
6. A　【解析】将四个实数按照从大到小的顺序排列为π＞3＞｜－2｜＞，∴最大的数是π.
7. D　【解析】由数轴可知，－2＜a＜－1，0＜b＜1，从而可判断A，B，C错误，D正确.
8. A　9. D
10. 4　【解析】原式＝1＋3＝4.
11. 解：原式＝1×＋2－
＝2.
12. A　【解析】∵－4＜－2＜－1＜0＜1，∴选项A的折线统计图符合题意.
13. B　【解析】∵数轴上的点A，B分别与实数－1，1对应，∴AB＝｜1－(－1)｜＝2，∴BC＝AB＝2，∴与点C对应的实数是1＋2＝3.
14. D　【解析】由题意，可知图②表示的是(＋3)＋(－6)＝－3.微专题02　二次根式
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　　
1. 二次根式的有关概念(2020.5)
(1)定义：表示算术平方根的代数式，形如(a≥0)的式子
(2)有意义的条件：被开方数大于或等于零
(3)最简二次根式：同时满足以下两个条件：①根号内不含分母；②根号内不含开得尽方的因数或因式
(4)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式
2. 二次根式的性质(6年2考)
(1)()2＝①　　　　(a≥0)
(2)＝｜a｜＝
(3)＝④　　　　(a≥0，b≥0)
(4)＝⑤　　　　(a≥0，b＞0)
(5)双重非负性：二次根式满足被开方数a≥0且≥0
3. 二次根式的运算(6年6考，常在实数的混合运算中涉及考查)
(1)加减：先将各二次根式分别化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
(2)乘法：·＝⑥　　　　(a≥0，b≥0)
(3)除法：＝⑦　　　(a≥0，b＞0)
4. 二次根式的估值(6年2考)
(1)确定无理数的值在哪两个相邻整数之间
①先对无理数平方，如()2＝7；
②找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；
③对以上两个整数开方，如＝2，＝3；
④确定这个无理数的值在开方后所得的两个整数之间，即2＜＜3
(2)确定无理数的整数部分和小数部分
要确定a±的整数部分和小数部分，先对a±进行估值，如1＋的整数部分是3，则它的小数部分是1＋－3，即－2
练考点
1. 下列各式中，是最简二次根式的是(　　)
A. 　　 B.
C. D.
2. 下列各数中，能与合并的是(　　)
A. 3 B.
C. D.
3. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　.
4. 计算：
(1)(－)2＝　　　　；
(2)＝　　　　；
(3)＝　　　　；
(4)＝　　　　.
5. 计算：
(1)＋＝　　　　；
(2)－＝　　　　；
(3)×＝　　　　；
(4)÷＝　　　　.
6. 估计的值在(　　)
A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
高频考点
考点1　二次根式的有关概念(6年2考)
例1　(2024东莞三模)若有意义，则实数x的取值范围为(　　)
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≠－2 D. x＞2
变式1　要使二次根式有意义，x的值可以是　　　　.
考点2　二次根式的化简及运算(6年5考)
例2　(人教八下习题改编)下列计算正确的是(　　)
A. ＝0.5 B. ＝－4
C. 2－2＝ D. ÷＝2
例3　(北师八上复习题改编)计算：
(1)＋×；　　　　　　　　　　　(2)(－)÷；
(3)2×－5÷； (4)(＋－3)×.
考点3　二次根式的估值(6年2考)
例4　(北师八上习题改编)根据下列要求，解决问题：
(1)如图，在数轴上表示的点可能是(　　)
例4题图
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
(2)与＋1最接近的整数是(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(3)(2024佛山南海区一模)若a－1＜＜a，且a为整数，则a的值是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
(4)无理数a－(a＞1且为正整数)的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系式中一定成立的是(　　)
A. c－b＜0 B. a－b＞0 C. a＝b＋c D. a－c＝2
真题及变式
命题点1　二次根式有意义的条件(2020.5) 　
1. (2020广东5题3分)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A. x≠2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠－2
命题点2　二次根式的运算(6年6考，常在实数的混合运算中涉及考查) 　
2. (2019广东8题3分·北师八上习题改编) 化简的结果是(　　)
A. －4 B. 4 C. ±4 D. 2
3. (2023广东12题3分)计算：×＝　　　.
命题点3　二次根式的估值(6年2考) 　
4. (2021广东8题3分)设6－的整数部分为a，小数部分为b，则(2a＋)b的值是(　　)
A. 6 B. 2 C. 12 D. 9
新考法
5. (2024盐城)矩形相邻两边长分别为 cm、 cm，设其面积为S cm2，则S在哪两个连续整数之间(　　)
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
6. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦.”即c＝(a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通过计算可得＋1　　　(填“＞”或“＜”或“＝”).
第7题图
考点精讲
①a　②a　③－a　④·　⑤　⑥
⑦　
练考点
1. D
2. C
3. x≤5
4. (1)0.3；(2)3；(3)4；(4)
5. (1)3；(2)；(3)；(4)2
6. C
高频考点
例1　B　【解析】要使式子有意义，则x＋2＞0，解得x＞－2.
变式1　2(答案不唯一)　【解析】由题意得2x－3≥0，∴x≥，故x的值可以是2.
例2　D　【解析】A.＝＝，故A选项不符合题意；B.＝4，故B选项不符合题意；C.2与2不能合并，故C选项不符合题意；D.÷＝＝2，故D选项符合题意.
例3　解：(1)原式＝2＋3
＝5；
(2)原式＝(4－)÷
＝4÷－÷
＝4－；
(3)原式＝3－5
＝－2；
(4)原式＝×＋×－3×
＝＋－3
＝＋10－15
＝－4.
例4　(1)D；(2)C；
(3)A；【解析】∵9＜13＜16，∴3＜＜4，又∵a－1＜＜a，∴a＝4.
(4)B　【解析】∵1＜＜2，a＞1且为正整数，∴a≥2且为整数，当a＝2时，2－的整数部分b＝0，c＝2－，∴c－b＝2－＞0，a－b＝2＞0，a－c＝2－(2－)＝2－2＋＝，b＋c＝2－≠a，当a＞2时，c－b＜0，a－b＞0，a＝b＋c＋，a－c＝b＋≠2.
真题及变式
1. B　【解析】由题意得，2x－4≥0，∴x≥2.
2. B　【解析】∵＝｜a｜，∴＝4.
3. 6　【解析】原式＝＝＝6.
4. A　【解析】∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴－4＜－＜－3，∴2＜6－＜3，∴6－的整数部分是2，小数部分是6－－2＝4－，即a＝2，b＝4－，∴(2a＋)b＝(2×2＋)×(4－)＝6.
5. C　【解析】由题可知，矩形的面积S＝×＝，∵9＜10＜16，∴＜＜，即3＜S＜4.
6. C　【解析】由题意得，“弦”为＝，∵9＜13＜16，13－9＝4，16－13＝3，∴13更接近16，∴最接近的整数是4.
7. ＞　【解析】CD＝BC－BD＝3－1＝2，在△ACD中，∠C＝90°，由勾股定理得AD＝＝＝，在△ACB中，∠C＝90°，由勾股定理得AB＝＝＝，在△ABD中，∵AD＋BD＞AB，∴＋1＞.微专题03　代数式、整式与因式分解
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 代数式(6年6考)
代数式的概念 用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式
列代数式 找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式子表示
代数式求值 (1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值 (2)整体代入法(整体思想)：①观察已知条件和所求代数式的关系； ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式
2. 整式的有关概念(6年2考)
(1)整式有关概念
单项式 概念：由数字与字母或字母的①　　　　所组成的代数式叫做单项式.单独一个数字或字母也是单项式； 单项式的系数：单项式中的数字因数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和
多项式 概念：几个单项式的和叫做多项式； 多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是②　　　
(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的③　　　也相同的项.所有常数项都是同类项
3. 整式的运算(6年4考)
(1)幂的运算
运算 文字表达 符号表示
同底数幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
同底数幂相除 底数不变，指数相减 am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n＝amn(m，n都是正整数)
积的乘方 积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab)n＝anbn(n为正整数)
(2)整式的运算
①整式的加减，可归结为去括号与合并同类项
②单项式的乘法运算：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积的因式
③多项式的乘法运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(3)乘法公式
4. 因式分解(6年2考)
(1)概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式
(2)方法：①提取公因式法：ma＋mb＝m(a＋b)；
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2
5. 非负数(6年2考)
(1)常见的非负数类型有a2，｜b｜，(c≥0)
(2)若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，如：若a2＋｜b｜＋＝0，则有a2＝0，｜b｜＝0，＝0，即a＝b＝c＝0
练考点
1. 下列对代数式－3x的意义表述正确的是(　　)
A. －3与x的和
B. －3与x的差
C. －3与x的积
D. －3与x的商
2. (1)已知x＝－1，则x2＋2x＝　　　　；
(2)已知2a－b＝1，则代数式8a－4b＋2的值为　　　　.
3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是(　　)
A. 3x2　　　　 B. 2 m3n
C. －2x2y D. 2a3
4. x3y2是　　　　次单项式.
5. 计算：
(1)－2x＋x＝　　　　；
2x3－x3＝　　　　；
(2)x·x3＝　　　　；
x8÷x2＝　　　　；
(3)(－2x2)3＝　　　　；
(4)2x2·(x－1)＝　　　　；
(5)(x－1)(2x＋1)＝　　　　　　　；
(6)(x＋2)2＝　　　　；
(x＋2)(x－2)＝　　　　　　　.
6. 分解因式：
(1)x2－xy＝　　　　；
(2)2x2－8＝　　　　；
(3)x2＋4x＋4＝　　　　.
7. (1)若｜x－1｜＋＝0，则x＋2y的值为　　　　；
(2)若x2＋1＋＝1，则xy的值为　　　　；
(3)＋＝0，则x的值为　　　　.
高频考点
考点1　列代数式及求值(6年6考)
例1　(人教七上习题改编)根据题意列代数式：
(1)原量a增加10％为　　　　；比原量a的n倍多m为　　　　；
(2)原价a的8折为　　　　；
(3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为　　　　元；
(4)每天完成的工作量为a，则要完成m的工作量所需天数为　　　　；
(5)一月份的产值为a万元，二月份的产值比一月份减少了m％，三月份的产值比二月份增加了n％，则三月份的产值为　　　　万元.
例2　求下列代数式的值：
(1)已知x2＋x－2＝0，则2x2＋2x的值　　　　；
(2)已知x＋y＝3，xy＝2，则(x－y)2的值为　　　　；
(3)(2024成都)若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2 的值为　　　　.
考点2　整式的有关概念(6年2考)
例3　(2024佛山南海区一模)单项式πr3表示球的体积，其中π表示圆周率，r表示球的半径，下列说法正确的是(　　)
A. 系数是，次数是3 B. 系数是π，次数是3
C. 系数是，次数是4 D. 系数是π，次数是4
变式1　(2024广元)如果单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
考点3　整式的运算(6年4考)
例4　(2024烟台)下列计算结果为a6的是(　　)
A. a2 ·a3 B. a12÷a2 C. a3＋a3 D. (a2)3
例5　(人教七上习题改编)计算：
(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)；
已知y2－xy－5＝0，求(3xy3－6x3y)÷3xy＋x(2x－y)的值.
考点4　因式分解(6年2考)
例6　(北师七上习题改编)因式分解：
(1)4ax2－ay2＝　　　　　　　　　；
(2)4xy2－4x2y－y3＝　　　　　　　　　；
(3)(p－4)(p＋1)＋3p＝　　　　　　　　　.
变式2　(2024中山模拟)下列因式分解正确的是(　　)
A. x2－x＝x(x＋1) B. a2－3a－4＝a(a－3)－4
C. a2＋b2－2ab＝(a＋b)2 D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)
考点5　规律探索(2019.16)
例7　根据下列数式规律，回答问题：
(1)等差类有一列数1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是　　　　；
(2)等比类有一列数3，9，27，81，243，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是　　　　；
(3)递增类有一列数1，2，4，7，11，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是　　　　；
(4)周期类有一列数－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是　　　　；
(5)平方类按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，…，则第n个单项式是　　　　.
例8　根据下列图形规律，回答问题：
(1)图形个数固定累加把白色正方形按图①所示的规律拼图案，则第5个图案中白色正方形的个数是　　　　；
例8题图①
(2)图形个数递增累加如图②都是由同样大小的圆点按一定规律组成，则第8个图形中圆点的个数是　　　　；
例8题图②
(3)图形个数为两种变化之和如图③都是由同样大小的正三角形按照一定规律组成，则第n个图形中正三角形的个数是　　　　.
例8题图③
真题及变式
命题点1　代数式求值(6年5考) 　
1. (2021广东5题3分)若｜a－｜＋＝0，则ab＝(　　)
A. B. C. 4 C. 9
2. (2020广东13题4分)若＋｜b＋1｜＝0，则(a＋b)2 020＝　　　　.
3. (2020广东14题4分·人教八上习题改编)已知x＝5－y，xy＝2.计算3x＋3y－4xy的值为　　　　.
4. (2021广东15题4分·北师八下习题改编)若x＋＝且0＜x＜1，则x2－＝　　　　.
变式
4.1 变思维方式——直接平方变为化简后整体带入
已知－＝，那么＋的值为　　　　.
命题点2　整式的有关概念(6年2考) 　
5. (2022广东12题3分)单项式3xy的系数为　　　　.
6. (2020广东12题4分)如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么m＋n＝　　　　.
命题点3　整式的运算(6年4考) 　
7. (2024广东5题3分)下列计算正确的是(　　)
A. a2·a5＝a10 B. a8÷a2＝a4
C. －2a＋5a＝7a D. (a2)5＝a10
8. (2021广东4题3分·人教八上习题改编)已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝(　　)
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. (2020广东18题6分·人教八上习题改编)先化简，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－y)－2x2，其中x＝，y＝.
命题点4　因式分解(6年2考) 　
10. (2023广东11题3分)因式分解：x2－1＝　　　　.
11. (2020广东11题4分)分解因式：xy－x＝　　　　.
命题点5　规律探索(2019.16) 　
12. (2019广东16题4分)如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是　　　　(结果用含a，b代数式表示).
第12题图
拓展训练
13. (2024东莞模拟)如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…，在射线ON上，点B1，B2，B3，…，在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为　　　　.
第13题图
新考法
14. [代数推理](2024珠海模拟)杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：海、爱、我、珠、丽、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(　　)
A. 我爱美 B. 珠海美丽 C. 爱我珠海 D. 美我珠海
15. [数形结合](北师七下复习题改编)如图①，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图②所示，将A，B并排放置后构造新的正方形如图③所示.若图②和图③中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为(　　)
第15题图
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
16. [跨信息技术学科] 日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使用的数是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将二进制数1 001记为(1 001)2，换算成十进制数应为：(1 001)2＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝9，按此方式，将二进制(101)2换算成十进制数为　　　　.
考点精讲
①乘积　②3　③指数　④a2－b2　⑤a2±2ab＋b2　
练考点
1. C
2. (1)－1；(2)6
3. D
4. 5
5. (1)－x；x3；(2)x4；x6；(3)－8x6；(4)2x3－2x2；(5)2x2－x－1；(6)x2＋4x＋4；x2－4
6. (1)x(x－y)；(2)2(x－2)(x＋2)；(3)(x＋2)2
7. (1)3；(2)0；(3)2
高频考点
例1　(1)a(1＋10％)；an＋m；
(2)0.8a；(3)(ax＋by)；(4)；
(5)a(1－m％)(1＋n％)
例2　(1)4；　【解析】∵x2＋x－2＝0，∴x2＋x＝2，∴2x2＋2x＝2(x2＋x)＝2×2＝4.
(2)1；　【解析】∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x＋y)2－4xy，∴当x＋y＝3，xy＝2时，原式＝32－4×2＝9－8＝1.
(3)1　【解析】∵(m＋4)2＋＝0，∴m＋4＝0且n－5＝0，解得m＝－4，n＝5，∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1.
例3　B　【解析】πr3的系数是π，次数是3.
变式1　D　【解析】∵单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，∴单项式－x2my3与单项式2x4y2－n是同类项，∴2m＝4，2－n＝3，解得m＝2，n＝－1，∴点(m，n)在第四象限.
例4　D　【解析】A.a2·a3＝a2＋3＝a5，故A选项不符合题意；B.a12÷a2＝a12－2＝a10，故B选项不符合题意；C.a3＋a3＝2a3，故C选项不符合题意；D.(a2)3＝a2×3＝a6，故D选项符合题意.
例5　解：(1)原式＝1－x2＋x2＋2x
＝1＋2x；
(2)原式＝y2－2x2＋2x2－xy＝y2－xy，
∵y2－xy－5＝0，∴原式＝5.
例6　(1)a(2x＋y)(2x－y)；
(2)－y(2x－y)2；
(3)(p＋2)(p－2)
【解析】(1)原式＝a(4x2－y2)＝a(2x＋y)(2x－y)；(2)原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－y(2x－y)2；(3)原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2).
变式2　D　【解析】A.原式＝x(x－1)，故本选项不符合题意；B.原式＝(a－4)(a＋1)，故本选项不符合题意；C.原式＝(a－b)2，故本选项不符合题意；D.原式＝(x＋y)·(x－y)，故本选项符合题意.
例7　(1)2n－1；(2)3n；(3)n2－n＋1；(4)(－1)n；(5)n2an＋1
例8　(1)18；(2)36；(3)3n＋2
真题及变式
1. B　【解析】∵｜a－｜＋＝｜a－｜＋＝0，∴，解得，∴ab＝×＝.
2. 1　【解析】∵＋｜b＋1｜＝0，∴，解得，∴(a＋b)2 020＝(2－1)2 020＝1.
3. 7　【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝3×5－4×2＝15－8＝7.
4. －　【解析】∵x＋＝，∴(x－)2＝(x＋)2－4＝()2－4＝，∵0＜x＜1，∴x－＜0，∴x－＝－，∴x2－＝(x＋)(x－)＝×(－)＝－.
变式4.1　3　【解析】∵－＝，∴＝，∴xy＝(x－y)2，∴＋＝＝＝＝3.
5. 3
6. 4　【解析】∵单项式3xmy与－5x3yn是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3＋1＝4.
7. D　【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A a2·a5＝a2＋5＝a7≠a10
B a8÷a2＝a8－2＝a6≠a4
C －2a＋5a＝3a≠7a
D (a2)5＝a2×5＝a10 √
8. D　【解析】32m＋3n＝32m·33n＝9m·27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，
当x＝，y＝时，
原式＝2××＝2.
10. (x－1)(x＋1)
11. x(y－1)
12. a＋8b　【解析】观察图形可知，2个基础图形拼接时，总长度是2a－(a－b)，3个基础图形拼接时，总长度是3a－2(a－b)，4个基础图形拼接时，总长度是4a－3(a－b)，…，∴9个基础图形拼接时，总长度是9a－8(a－b)＝a＋8b.
13. 22018　【解析】∵△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，均为等边三角形，OA1＝1，∴△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，边长分别为20，21，22，…，∴△A2019B2019A2020的边长为22018.
14. C　【解析】原式＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)，由题意可知，(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)可以表示为爱我珠海.
15. C　【解析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则题图②中阴影部分的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1，在题图③中阴影部分的面积为(a＋b)2－a2－b2＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab＝12，∴a2＋b2＝13.
16. 5　【解析】(101)2＝1×22＋0×21＋1×20＝5.微专题04　分　式
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 分式的基本概念
(1)概念：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式.如果B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母都不能为零
(2)最简分式的概念：①　　　　　　　　　
(3)分式有意义的条件：②　　　
(4)分式的值为0的条件：③　　　
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值④　　　；
即＝ 通分(C≠0)，＝ 约分(C≠0)，其中A，B，C是整式
3. 分式的运算(6年4考)
(1)加减运算
①同分母：分母不变，把分子相加减，即±＝⑤　　　；
②异分母：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即±＝⑥　　　　　⑦　　　　　　(关键是通分)；
③通分的关键是找最简公分母：分母中能分解因式的先分解因式；取各分母所有因式的最高次幂的积(数字因式取它们的最小公倍数)作为公分母
(2)乘除运算
①乘法：·＝⑧　　　　(关键是约分)；
(5)(x－1)÷(x－)＝　　　　　　　.
②除法：÷＝⑨　　　⑩　　　　；
③约分的关键是找公因式：分子、分母中能分解因式的，先分解因式；取分子、分母中的相同因式的最低次幂(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式
(3)乘方运算：把分子、分母分别乘方，即()n＝
练考点
1. 下列分式中，是最简分式的是(　　)
A. 　　 B.
C. D.
2. 已知分式.
(1)要使该分式有意义，则x的取值范围为　　　　；
(2)要使该分式的值为0，则x的值为　　　　.
3. 下列分式变形从左到右一定成立的是(　　)
A. ＝　　 B. ＝
C. ＝－ D. ＝
4. 计算：
(1)＋＝　　　　；
(2)1＋＝　　　　；
(3)＋＝　　　　；
(4)·＝　　　　；
高频考点
考点1　分式的概念及性质
例1　(人教八上习题改编)若分式的值为0，则a的值为(　　)
A. ±1 B. 0 C. －1 D. 1
变式1　(人教八上习题改编)若将分式中的x，y同时扩大为原来的10倍，则该分式的值(　　)
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的10倍
C. 缩小为原来的 D. 不变
考点2　分式的运算(6年4考)
例2　(北师八下习题改编)先化简：(－)÷，再从－1，0，2，4四个数中，选择一个合适的数代入求值.
【答题模板】
解：原式＝①　　　　　÷(通分，通分的依据是②　　　　　　　　　　)
＝÷③　　　　　(因式分解)
＝·④　　　　　(除法变乘法)
＝⑤　　　　　，(约分)
要使分式有意义，则x≠0，x－2≠0，⑥　　　　　≠0，即不能选择0，2，4，
∴当x＝－1时，代入⑦　　　　　中，得原式＝⑧　　　　　.
易错警示
(1)一定要“先”化简为最简分式或整式，“再”代入求值；
(2)通分时，不含分母的项也要乘以最简公分母；
(3)分数线有括号的作用；
(4)代入的数值需使原分式及化简过程中的分式分母不为0.
变式2　(2024北京)已知a－b－1＝0，求代数式的值.
变式3　(2024中山二模)先化简÷(－x＋1)然后从－3＜x≤1中选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
真题及变式
命题点　分式化简及求值(6年4考) 　
1. (2024广东14题3分)计算：－＝　　　　.
2. (2022广东17题8分)先化简，再求值：a＋，其中a＝5.
3. (2019广东18题6分)先化简，再求值：(－)÷，其中x＝.
新考法
4. [综合与实践](2023盐城改编)
【主题】应用分式的大小比较
【问题提出】课堂上，老师提出了下面的问题：
已知3a＞b＞0，M＝，N＝，试比较M与N的大小.
【类比思考】
整式的大小比较可采用“作差法”.
比如：比较x2＋1与2x－1的大小.
∵(x2＋1)－(2x－1)＝x2＋1－2x＋1＝(x－1)2＋1＞0，
∴x2＋1＞2x－1.
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
【实践探索】
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题；
(2)比较大小：　　　(填“＞”“＝”或“＜”).
考点精讲
①分子和分母没有公因式的分式　②B≠0
③A＝0且B≠0　④不变　⑤　⑥±
⑦　⑧　⑨·　⑩
练考点
1. B
2. (1)x≠1；(2)－1
3. D
4. (1)；(2)；(3)－1；(4)；(5)
高频考点
例1　C　【解析】∵分式的值为0，∴a2－1＝0且a－1≠0，解得a＝－1.
变式1　A　【解析】根据题意，得＝·，∴如果把分式中的x和y同时扩大为原来的10倍，该分式的值缩小为原来的.
例2　解：①[－]；②分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变；③；④；⑤；⑥4－x；⑦；⑧3
变式2　解：原式＝
＝
＝
＝，
∵a－b－1＝0，∴a－b＝1，
∴原式＝3.
变式3　解：原式＝÷(－)
＝÷
＝·
＝－，
∵(x＋1)(x－1)≠0且x(x－1)≠0，∴x≠±1且x≠0，
∵－3＜x≤1，∴取x＝－2，
∴原式＝.
真题及变式
1. 1　【解析】原式＝＝1.
2. 解：原式＝a＋ (3分)
＝a＋a＋1
＝2a＋1， (6分)
当a＝5时，原式＝2×5＋1＝11. (8分)
3. 解：原式＝÷
＝·
＝， (4分)
当x＝时，
原式＝＝＝1＋. (6分)
4. 解：(1)M－N＝－
＝－
＝
＝，
∵3a＞b＞0，
∴3a－b＞0，b(b＋3)＞0，
∴＞0，
∴M＞N；
(2)＜　【解法提示】－＝＝－＜0，∴＜.微专题05　一次方程(组)及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 等式的基本性质
(1)性质1：同加减：等式两边加(或减去)同一个数(或式子)，结果仍相等，即如果 a＝b，那么 a±c ＝①　　　　 解方程中的移项
(2)性质2：同乘除：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即如果a＝b，那么②　　　　＝bc解方程中的去分母；如果a＝b(c≠0)，那么③　　　　＝ 解方程中的系数化为1
2. 一元一次方程及其解法
(1)一元一次方程：两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程
(2)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
3. 二元一次方程组及其解法(6年2考)
(1)基本思想：二元一次方程组一元一次方程
(2)解法：①代入消元法：当方程组中某个方程中的未知数的系数是1或－1时，选用此方法较简单；
②加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用此方法较简单
4. *三元一次组方程及其解法
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，这与解二元一次方程组的思路相同
5. 一次方程(组)的实际应用(6年2考)
(1)利润问题：售价＝标价×折扣；销售额＝④　　　×销量；利润＝⑤　　　－成本；利润率＝×100％
(2)行程问题：①基本量间的关系：⑥　　　　＝速度×时间；
②相遇问题：总路程＝甲走的路程⑦　　　　乙走的路程；
③追及问题：同地不同时出发：前者走的路程⑧　　　　追者走的路程；
同时不同地出发：前者走的路程＋两地间的距离⑨　　　　追者走的路程
(3)列方程(组)解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
练考点
1. 下列判断正确的是(　　)
A. 若a＝b，则a－2＝b＋2
B. 若＝，则2a＝3b
C. 若a＝b，则＝
D. 若ac＝bc，则a＝b
2. 解方程：2(x－1)－3＝x.
3. 解方程组.
4. 若共有x名学生，分成y个学习小组.若每组10人，则还差5人；若每组9人，还余下3人.若求冬令营学生的人数，所列的方程组为　　　　.
高频考点
考点1　解一次方程(组)(6年2考)
例1　(人教七上例题改编)解方程：－＝1.
【答题模板】
解：去分母，得　　　　，
去括号，得　　　　，
移项，得　　　　，
合并同类项，得　　　　，
系数化为1，得　　　　.
例2　(北师七上习题改编)用下列方法解方程组.
方法一(代入消元法)：　　　　　　　　　方法二(加减消元法)：
变式1　(人教七上习题改编)关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解为x＝2，则m的值为(　　)
A. 1 B. －1 C. 6 D. －6
变式2　(2023朝阳改编)已知关于x，y的方程组的解满足x－y＝3，则a的值为　 　　.
考点2　一次方程(组)的实际应用(6年2考)
例3　 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市在端午节前计划购进A，B两种品牌粽子进行销售.
(1)该超市采购员发现，2盒A品牌粽子和1盒B品牌粽子共需97元，1盒A品牌粽子和2盒B品牌粽子共需86元，求A，B两种品牌粽子每盒进价各为多少元？
该超市购进A，B两种品牌粽子若干盒进行销售，若A品牌粽子的售价比B品牌粽子的售价贵15元，且7盒A品牌粽子和10盒B品牌粽子售价相同，求A，B两种品牌粽子每盒售价各为多少元？
该超市按照(1)中的进价购进A，B两种品牌粽子共200盒，再按照(2)中的售价全部售出，共获利2 500元，求购进A，B两种品牌粽子各多少盒？
(4)端午节当天超市开展促销活动，A，B两种品牌粽子按(2)中的售价打相同的折扣销售，节日当天购买20盒A品牌粽子和20盒B品牌粽子一共只需1 360元，求A，B两种品牌粽子是按原价的几折销售？
真题及变式
命题点1　一次方程(组)及其解法(6年2考) 　
1. (2021广东11题4分)二元一次方程组的解为　　　　.
2. [2020广东21(1)题4分]已知关于x，y的方程组与的解相同，求a，b的值.
命题点2　一次方程(组)的实际应用(6年2考) 　
3. (2022广东19题9分)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少？
拓展训练
4. (2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间.
新考法
　第5题图
5. “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”.观察图①，我们可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系，即九宫图中每行、每列及对角线上的3个数之和都相等.同图①的规律，那么在图②中，mn＝　　　　.
6. 如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由10块形状大小相同的长方形墙砖砌成.
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积.
第6题图
请完成分层作业本第8～9页
考点精讲
①b±c　②ac　③　④单价　⑤销售收入
⑥路程　⑦＋　⑧＝　⑨＝
练考点
1. C
2. 解：2x－2－3＝x，
2x－x＝2＋3，
x＝5.
3. 方法一：代入消元法
解：令，
由①得x＝4－y③，
将③代入②中，得2(4－y)－y＝5，
化简得8－3y＝5，
解得y＝1，
将y＝1代入③中，得x＝3，
∴方程组的解为.
一题多解法
方法二：加减消元法
解：令，
①＋②得3x＋y－y＝9，
解得x＝3，
将x＝3代入①中，解得y＝1，
∴方程组的解为.
4.
高频考点
例1　解：3(2x＋1)－2x＝6，6x＋3－2x＝6，6x－2x＝6－3，4x＝3，x＝.
例2　解：方法一：
令，
由①得，y＝3－5x③，
将③代入②中，得3x－2(3－5x)＝7，
解得x＝1，
将x＝1代入③中，得y＝－2，
∴原方程组的解为；
方法二：
令，
①×2，得10x＋2y＝6③，
②＋③，得3x＋10x＝7＋6，
解得x＝1，
将x＝1代入①中，得5×1＋y＝3，
解得y＝－2，
∴原方程组的解为.
变式1　A　【解析】∵x＝2是关于x的一元一次方程3x＋m＝7的解，∴3×2＋m＝7，解得m＝1.
变式2　3　【解析】∵x－y＝3，∴y＝x－3.令，将y＝x－3分别代入①，②中，得，6×④－③，得12a－a＝30＋3，解得a＝3.
例3　解：(1)设A品牌粽子的进价为x元/盒，B品牌粽子的进价为y元/盒，
根据题意可得，
解得，
答：A品牌粽子的进价为36元/盒，B品牌粽子的进价为25元/盒；
(2)设A品牌粽子的售价为a元/盒，B品牌粽子的售价为b元/盒，
根据题意可得，
解得，
答：A品牌粽子的售价为50元/盒，B品牌粽子的售价为35元/盒；
(3)设购进A品牌粽子m盒，则购进B品牌粽子(200－m)盒，
根据题意可得(50－36)m＋(35－25)(200－m)＝2 500，
解得m＝125，
∴200－125＝75，
答：购进A品牌粽子125盒，购进B品牌粽子75盒；
(4)设A，B两种品牌粽子按原价的n％销售，
根据题意可得20×(50＋35)×n％＝1 360，
解得n＝80，
答：A，B两种品牌粽子是按原价的八折销售.
真题及变式
1. 　【解析】令，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得3y＝－6，解得y＝－2，将y＝－2代入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，∴方程组的解为.
2. 解：由题意得，
解得.
把代入ax＋2y＝－10，
得3a＋2＝－10，
解得a＝－4， (2分)
把代入x＋by＝15，得3＋b＝15，
解得b＝12. (4分)
3. 解：设学生人数有x人，该书单价为y元，
由题意可得， (4分)
解得，
答：学生人数有7人，该书单价为53元. (9分)
一题多解法
解：设学生人数有x人，
由题意得8x－3＝7x＋4， (3分)
解得x＝7， (5分)
则该书单价为8×7－3＝53(元)， (8分)
答：学生人数有7人，该书单价为53元. (9分)
4. 解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x)h，
根据题意，得x＋(3－x)＝1，
解得x＝2，
答：这次小峰打扫了2 h.
5. －1　【解析】∵九宫图中每行、每列及对角线上的3个数之和都相等，，解得，∴mn＝(－1)5＝－1.
6. 解：(1)设一块长方形墙砖的长为x m，宽为y m.
依题意得，
解得，
答：一块长方形墙砖的长为1.2 m，宽为0.3 m；
(2)电视背景墙的面积为2×1.2×1.5＝3.6(m2)，
答：电视背景墙的面积为3.6 m2.微专题06　分式方程及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 分式方程的有关概念
(1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程
(2)增根：使分式方程的分母为零的根叫做增根
(3)产生增根的原因：分式方程本身隐含分母不为0的条件，将其化为整式方程后没有此条件限制了
2. 分式方程的解法(2024.9)
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程
(2)解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根
3. 分式方程的实际应用(6年3考)
(1)常见类型及关系式：
①行程问题：＝时间；
②工程问题：＝工作时间(当题干中没有给出具体的工作总量时，默认工作总量为1)；
③购买问题：＝数量；
④航行问题：顺水速度＝静水船速＋水流速度；逆水速度＝静水船速－水流速度
(2)一般步骤：
(3)双检验：①检验是否是分式方程的根；②检验是否符合实际问题
练考点
1. 下列方程中不是分式方程的是(　　)
A. －x＝0　　 B. ＝1
C. ＝x D. ＋y＝2
2. 解下列方程：
(1)＝；
(2)－＝1.
3. 小明在一家便利店买了若干瓶酸奶，结账时共计48元，收银员告诉他满50元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花费了44.8元.设该酸奶单价为x元/瓶，则可列方程为　　　　.
高频考点
考点1　分式方程及其解法(2024.9)
例1　 已知关于x的分式方程＝.
(1)若分式方程的解为x＝3，则m的值为　　　　；
(2)若m＝1，则该方程的解为　　　　；
(3)若分式方程有增根，则m的值为　　　　；
(4)若分式方程无解，则m的值为　　　　.
易错警示
分式方程的增根与无解并非同一概念.
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根；
(2)分式方程无解的原因有两个：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程的解使得最简公分母为0.
变式1　(2024遂宁)分式方程＝1－的解为正数，则m的取值范围(　　)
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2 C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
考点2　分式方程的实际应用(6年3考)
例2　 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校园内掀起了传统文化学习的热潮.为满足同学们的学习热情，该校特派两名学生代表小伟和小聪去采购相关书籍.
(1)两人要去距离学校10 km的图书批发市场购买图书，因小伟有事耽搁，故小聪骑自行车先走，过了20 min后，小伟乘汽车出发，结果两人同时到达.已知汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求小聪骑自行车的平均速度；
(2)两人决定购买《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4 800元购买《水浒传》连环画的套数是用3 600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，则每套《水浒传》连环画的价格为多少元？
(3)将书全部运回学校后，小伟和小聪开始整理所买书籍，小聪和小伟两人共同整理5 min后，因小聪有事退出，小伟需再单独整理7 min才能完成任务，若小聪单独整理所买书籍需要15 min，求小伟单独整理所买书籍需要多长时间？
真题及变式
命题点1　解分式方程(2024.9) 　
1. (2024广东9题3分·人教八上例题改编)方程＝的解是(　　)
A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9
命题点2　分式方程的实际应用(6年3考) 　
(2023广东17题7分·人教八上习题改编)某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校12 km.甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早到10 min，求乙同学骑自行车的速度.
变式
2.1 变情景——将同向出发变为相向出发
A，B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，乙车同时从B地出发匀速开往A地，两车相遇时距A地80千米.已知乙车每小时比甲车多行驶30千米，求甲、乙两车的速度.
拓展训练
(2024绥化改编)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为多少？
新考法
4. [跨物理学科](人教八上例题改编)照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝＋(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f，v，则u＝(　　)
A. B. C. D.
5. [新定义运算](北师八下复习题改编)对于实数a，b，定义一种新运算“ ”为：a b＝，这里等式右边是实数运算.例如：1 3＝＝－.则方程x (－2)＝－1的解是(　　)
A. x＝7 B. x＝6 C. x＝5 D. x＝4
6. [与数轴结合](人教八上习题改编)在数轴上，点A表示的数为，王老师让同学们在数轴上再标出一点 B.点B表示数，且AB比OA大2.若点A与点B的位置如图所示，求x的值.
第6题图
练考点
1. A
2. 解：(1)方程两边同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，
去括号，得2x＝3x＋3，
系数化为1，得x＝－3，
检验：当x＝－3时，x(x＋1)≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解；
(2)方程两边同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，
移项，合并同类项，得x＝－2，
检验：当x＝－2时，x－2≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
3. －＝1
高频考点
例1　解：(1)－　(2)x＝
(3)－　【解析】去分母得，2－x＝2mx，移项，合并同类项，得(2m＋1)x＝2，系数化为1，得x＝.∵分式方程有增根，∴，解得m＝－.
(4)－或－　【解析】由(3)得分式方程的解为x＝.∵分式方程无解，∴分两种情况，当整式方程无解时，即2m＋1＝0，解得m＝－，当整式方程有解，分式方程无解时，即，解得m＝－，∴m的值为－或－.
变式1　B　【解析】方程两边同时乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，∵分式方程＝1－的解为正数，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范围为m＞－3且m≠－2.
例2　解：(1)设小聪骑自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，
由题意得－＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意，
答：小聪骑自行车的平均速度为15 km/h；
(2)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x＋60)元，
由题意得＝2×，
解得x＝120，
经检验，x＝120是原分式方程的解且符合题意，
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元；
(3)设小伟单独整理所买书籍需要x min，
由题意得(＋)×5＋7×＝1，
解得x＝18，
经检验，x＝18是原分式方程的解且符合题意，
答：小伟单独整理所买书籍需要18 min.
真题及变式
1. D　【解析】＝，2x＝3(x－3)，解得x＝9，检验：当x＝9时，x(x－3)≠0，∴x＝9是原分式方程的解.
2. 解：设乙同学骑自行车的速度为x km/h，则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h，
由题意得－＝，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，且符合实际，
答：乙同学骑自行车的速度为12 km/h.
变式2.1　解：设甲车的速度是x千米/时，乙车的速度为(x＋30)千米/时，
由题意，得＝，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合实际，
∴x＋30＝90.
答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是90千米/时.
3. 解：设江水的流速为x km/h，则沿江顺流航行的速度为(40＋x) km/h，沿江逆流航行的速度为(40－x) km/h，
根据题意得＝，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原分式方程的解，且符合题意.
答：江水的流速为8 km/h.
4. C　【解析】∵＝＋，∴＝－，∴＝，∴u＝ .
5. C　【解析】已知等式整理，得＝－1，去分母得1＝2－x＋4，解得x＝5，经检验x＝5是分式方程的解.
6. 解：根据题意，得－－＝2，
解得x＝，
经检验，x＝是原分式方程的解.
∴x的值为.微专题07　一元二次方程及其应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 一元二次方程的相关概念
(1)概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是①　　　　的整式方程
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a②　　　　0)
2. 一元二次方程的解法(6年4考)
解法 适用情况或步骤
直接开 平方法 (1)当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)； (2)形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程
因式分 解法 (1)常数项为0，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)； (2)一元二次方程的一边为0，而另一边是易于分解成两个一次因式的乘积 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式
公式法 适用于所有一元二次方程，求根公式为③　　　　(b2－4ac≥0) 步骤：(1)使用求根公式时要先把原一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； (2)判断b2－4ac的正负：若b2－4ac④　　　　0，则原方程无实数解；若b2－4ac⑤　　　　0，则原方程有实数解 注：将a，b，c代入公式时应注意其符号
配方法 适用于：(1)二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程； (2)各项的系数比较小且便于配方的情况 步骤：以2x2－8x＋4＝0为例 (1)变形：将二次项系数化为1，得x2－4x＋2＝0； (2)移项：将常数项移到方程的右边，得x2－4x＝－2； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即(x－2)2＝2； (4)求解：用直接开平方法求解，得x1＝2＋，x2＝2－
3. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(6年2考)
(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式
(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根；
②b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
③b2－4ac＜0 方程没有实数根
(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝(2022年版课标调整为考查内容)
4. 一元二次方程的实际应用
平均 变化 率问题 (1)变化率＝×100％； (2)设a为原来量，当m为平均增长率，增长次数为2，b为增长后的量时，则⑥　　　＝b； (3)设a为原来量，当m为平均下降率，下降次数为2，b为下降后的量时，则⑦　　　＝b
利润 问题 (1)利润＝售价－成本； (2)利润率＝×100％； (3)每每问题：单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为·y件
面积 问题 S阴影＝(a－2x)(b－2x) S阴影＝(a－x)(b－x) S阴影＝(a－x)(b－x)
练考点
1. 若关于x的方程(k－3)x2－8x－10＝0是一元二次方程，则k的取值范围是　　　　.
2. 解方程：x2－3x＋2＝0.
3. 一元二次方程x2－x＋4＝0的根的情况为(　　)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
4. 关于x的一元二次方程x2－mx＋3＝0的一个根是1，则该方程的另一个根为　　　　　　　.
5. 为了满足师生的阅读需求，某校园图书馆的藏书从2022年至2024年两年内由5万册增加到7.2万册，则这两年藏书的年平均增长率为　　　　.
6. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2 500元.调查发现，当销售价为2 900元时，平均每天能售出8台.调查发现，若销售价每降低50元，则平均每天能多售出4台.
(1)若销售价降低1元，则平均每天能多售出　　　台；
(2)已知商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，设每台冰箱降价x元，可列方程为　　　　.
高频考点
考点1　一元二次方程及其解法(6年4考)
例1　(人教九上习题改编)用适当的方法解下列方程：
(1)5(x－3)2＝45；　　　　　　　　　　　(2)x2＋4x＝12；
x2－4x＋3＝0； (4)x2＋3x＋1＝0.
变式1　(2024东莞一模改编)用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为(　　)
A. B. C. 2 D.
考点2　一元二次方程根的判别式(2024.13)
例2　 已知关于x的一元二次方程(k－2)x2＋4x－1＝0，请回答下列问题：
(1)若原方程有实数根，则k的取值范围是　　　　；
(2)若原方程有两个相等的实数根，则k的取值范围是　　　　；
(3)若原方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　　　；
(4)若原方程没有实数根，则k的取值范围是　　　　.
易错警示
本题容易出现的错误是忽略“一元二次方程中二次项的系数不等于0”这个条件.
变式2　 若方程(x－1)2＝m＋2无实数根，则m的取值范围为(　　)
A. m＜－2 B. m≤－2 C. m＞－2 D. m＞－2且m≠0
变式3　(2023广州)已知关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，则－()2的化简结果是(　　)
A. －1 B. 1 C. －1－2k D. 2k－3
考点3　一元二次方程的根与系数的关系(2019.9)
例3　(人教九上习题改编)设x1，x2是方程x2－6x＋2＝0的两个实数根，则：
(1)＋＝　　　　；
(2)＋＝　　　　；
(3)x2＋x1＝　　　　.
变式4　(2024佛山二模)若一个关于x的一元二次方程的两根互为相反数，请你写出一个满足条件的方程：　　　　　　　.
考点4　一元二次方程的实际应用
例4　 根据市场需求，某公司的业务规模快速扩大，如图是该公司用来生产一种无盖长方体容器的矩形原料，该矩形原料的长为20 cm，宽为16 cm.
(1)随着技术逐年更新，该矩形原料的成本不断下降，前年一张矩形原料的成本是50元，今年一张矩形原料的成本是32元，求这种矩形原料成本的年平均下降率；
　例4题图
将该矩形原料的四角剪去四个相同的小正方形，然后把剩余部分(阴影部分)沿虚线折起可做成一个无盖长方体容器.若该无盖长方体容器的底面积为140 cm2，求剪去的小正方形的边长；
若该无盖长方体容器的成本是50元/个，如果以100元/个销售，每天可以售出200个，为尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，公司决定降低售价，市场调查发现销售单价每降低1元，销售数量就增加20个，则当该公司将销售单价定为多少元时，每天的销售利润为16 000元？
真题及变式
命题点1　一元二次方程及其解法(6年4考) 　
1. (2022广东14题3分)若x＝1是方程x2－2x＋a＝0的根，则a＝　　　　.
2. (2021广东14题4分)若一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c为常数)的两根x1，x2满足－3＜x1＜－1，1＜x2＜3，则符合条件的一个方程为　　　　.
命题点2　一元二次方程根的判别式(2024.13) 　
3. (2024广东13题3分)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝　　　　.
命题点3　一元二次方程根与系数的关系(2019.9) 　
4. (2019广东9题3分)已知x1，x2是一元二次方程x2－2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是(　　)
A. x1≠x2 B. －2x1＝0 C. x1＋x2＝2 D. x1·x2＝2
4.1 变思维——结合两根关系求系数
(2024乐山改编)若关于x的一元二次方程x2－2x＋p＝0两根为x1，x2，且＋＝3，则P的值为(　　)
－　　　　　 B. 　　　　　
C. －6　　　　　　　D. 6
新考法
5. [数学文化] 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池.丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑.内方圆径若能知，堪作算中第一.”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远.如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了.如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是　　　　.
　第5题图
6. [综合与实践]
【主题】探究日历中的奥秘.
【素材】2024年10月1日是我国成立75周年纪念日，本月日历如图所示.
步骤一：在本月的日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)；
步骤二：设这四个数从小到大依次为a，b，c， C.
【观察】小方框中的4个数a，b，c，d，总存在着某种数量关系.
【猜想与应用】(1)请用含a的式子表示b，c，d；
(2)若圈出的4个数中，最小数与最大数的乘积为128，求这个最大数.
第6题图
考点精讲
①2　②≠　③x＝　④＜　⑤≥
⑥a(1＋m)2　⑦a(1－m)2
练考点
1. k≠3
2. 解：Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1，
∴x＝或x＝，
∴x＝2或x＝1；
一题多解法
(x－1)(x－2)＝0，
x－1＝0或x－2＝0，
解得x＝1或x＝2.
3. D　【解析】∵a＝1，b＝－1，c＝4，∴Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×4＝－15＜0，∴方程没有实数根.
4. 3　【解析】∵a＝1，c＝3，且x1·x2＝，由题可知，x1＝1，∴x2＝3，即另一个根为3.
5. 20％
6. (1)；(2)(2 900－x－2 500)(8＋)＝5 000
高频考点
例1　解：(1)等式两边同除以5，得(x－3)2＝9，
开平方，得x－3＝±3，
解得x1＝6，x2＝0；
(2)等式两边同加上4，得x2＋4x＋4＝16，
即(x＋2)2＝16，
∴x＋2＝±4，
∴x1＝2，x2＝－6；
(3)原方程可变形为(x－3)(x－1)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
(4)∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
变式1　B　【解析】∵3x2＋6x－1＝0，∴3x2＋6x＝1，x2＋2x＝，则x2＋2x＋1＝＋1，即(x＋1)2＝，∴a＝1，b＝，∴a＋b＝.
例2　(1)k≥－2且k≠2　【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)≥0，且k－2≠0，解得k≥－2且k≠2.
(2)k＝－2　【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＝0，且k－2≠0，解得k＝－2.
(3)k＞－2且k≠2　【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＞0，且k－2≠0，解得k＞－2且k≠2.
(4)k＜－2　【解析】由题意得，42－4×(k－2)×(－1)＜0，且k－2≠0，解得k＜－2.
变式2　A　【解析】∵方程(x－1)2＝m＋2无实数根，∴m＋2＜0，∴m＜－2.
变式3　A　【解析】∵关于x的方程x2－(2k－2)x＋k2－1＝0有两个实数根，∴Δ＝[－(2k－2)]2－4×1×(k2－1)≥0，整理得－8k＋8≥0，∴k≤1，∴k－1≤0，2－k＞0，∴－()2＝－(k－1)－(2－k)＝－1.
例3　(1)3　【解析】∵x2－6x＋2＝0，∴x1＋x2＝－＝6，x1x2＝＝2，∴＋＝＝3.
(2)32　【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴＋＝(x1＋x2)2－2x1x2＝36－4＝32.
(3)12　【解析】由(1)得x1＋x2＝6，x1x2＝2，∴x2＋x1＝x2x1(x1＋x2)＝2×6＝12.
变式4　x2－4＝0(答案不唯一)　【解析】设所求方程式x2＋bx＋c＝0，∵方程的两根互为相反数，∴－＝－b＝x1＋x2＝0，＝c＝x1·x2＜0，∴所求方程为x2＋c＝0(c＜0)，∴满足条件的方程可以为x2－4＝0(答案不唯一).
例4　解：(1)设这种矩形原料成本的年平均下降率为x，
由题意得50(1－x)2＝32，
解得x1＝1.8(舍去)，x2＝0.2＝20％.
答：这种矩形原料成本的年平均下降率为20％；
(2)设剪去的小正方形的边长是x cm，则长方体容器底面的长为(20－2x) cm，宽为(16－2x) cm，
由题意得(20－2x)(16－2x)＝140，
解得x1＝3，x2＝15，
∵当x＝15时，16－2x＜0，∴x＝15不符合题意，舍去，
答：剪去的小正方形的边长为3 cm；
(3)设该公司将销售单价定为x元，
由题意得(x－50)[200＋20(100－x)]＝16 000，
整理，得x2－160x＋6 300＝0，
解得x1＝70，x2＝90.
∵要尽可能大地让利购买者，同时减少产品库存积压，
∴x＝70.
答：当该公司将销售单价定为70元时，每天的销售利润为16 000元.
真题及变式
1. 1　【解析】将x＝1代入方程x2－2x＋a＝0中，得1－2＋a＝0，解得a＝1.
2. x2－4＝0(答案不唯一)　【解析】设x1＝－2，x2＝2，∴(x＋2)(x－2)＝0，即x2－4＝0.
3. 1　【解析】∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝22－4c＝0，解得c＝1.
4. D　【解析】由x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，则x1≠x2；无论x1为0或2时，均满足－2x1＝0；x1＋x2＝0＋2＝2；x1·x2＝0×2＝0，从而可判断选项A，B，C正确，选项D错误.
变式4.1　B　【解析】∵x1，x2为一元二次方程x2－2x＋p＝0的两个根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝p，∴＋＝＝＝3，解得p＝.
5. π(＋3)2－x2＝72　【解析】由题图易得，圆的直径为x＋6，半径则为＋3，圆的面积为π(＋3)2，可得方程是π(＋3)2－x2＝72.
6. 解：(1)b＝a＋1，c＝a＋7，d＝a＋8；
(2)依题意，得ad＝128，
∴a(a＋8)＝128，
整理得a2＋8a－128＝0，解得a1＝8，a2＝－16(不合题意，舍去)，
∴d＝8＋8＝16，
即这个最大数为16.微专题08　一次不等式(组)及不等式的应用
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　　
1. 不等式的基本性质
(1)定义：用不等号(如：“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”)连接而成的数学式子叫做不等式
(2)基本性质1：若a＞b，b＞c，则①　　　
(3)基本性质2：若a＞b，则a±c＞b±c；若a＜b，则a±c②　　　　b±c
(4)基本性质3：若a＜b，c＞0，则ac③　　　bc，④　　；若a＜b，c＜0，则ac⑤　　　　bc，⑥　　　　
2. 一元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
(2)解集的表示
解集 在数轴上的表示 总结
x＜a 在数轴上表示解集时，要注意：“＞”或“＜”是空心圆圈，“≥”或“≤”是实心圆点；小于向左，大于向右
x＞a
x≤a
x≥a
3. 一元一次不等式组的解法及解集表示(6年6考)
类型(a＞b) 在数轴上的表示 口诀 解集
同大取大 x≥a
同小取小 x≤b
大小、小大取中间 b≤x≤a
大大、小小取不了 无解
4. 一元一次不等式的实际应用(6年3考)
(1)列不等式解应用题的基本步骤：审题→设未知数→列不等式→解不等式→检验→作答
(2)解决不等式的实际应用问题时，常见的关键词与不等号的对应表：
常见关键词 不等号
大于，多于，超过，高于 ＞
小于，少于，不足，低于 ＜
至少，不低于，不小于，不少于 ⑦　　　
至多，不高于，不大于，不超过 ⑧　　　
练考点
1. 若x＞y，则下列结论中不一定成立的是(　　)
A. x－1＞y－1
B. x＋2＞y＋2
C. x2＞y2
D. －＜－
2. 解不等式＜x－2.
3. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来.
第3题图
4. 品茗茶园要划分一片长方形土地种植龙井茶，若要给这块地围一圈栅栏，且栅栏的总长度不超过10 km，已知此长方形土地宽比长少1 km，设宽为x km，则可列不等式为　　　　.
5. 小真用100元钱去购买笔记本和钢笔共20件.已知每本笔记本3元，每支钢笔8元.则小真最多能买　　　　支钢笔.
高频考点
考点1　不等式的基本性质
例1　(2024广州)若a＜b，则(　　)
A. a＋3＞b＋3 B. a－2＞b－2 C. －a＜－b D. 2a＜2b
变式1　(2024佛山模拟)若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，则a的取值范围是(　　)
A. a＞3 B. a＜3 C. a≥3 D. a≤3
考点2　一元一次不等式(组)的解法及解集表示(6年6考)
例2　(2024河南)下列不等式中，与－x＞1组成的不等式组无解的是(　　)
A. x＞2 B. x＜0 C. x＜－2 D. x＞－3
变式2　(2024浙江)不等式组的解集在数轴上表示为(　　)
考点3　一元一次不等式的实际应用(6年5考)
例3　 某商店销售笔记本和笔袋两种文具.
(1)若商店计划购进两种文具共10个，若要求购买的笔记本的数量至少是笔袋的4倍，则购买笔记本的数量至少为多少本？
张老师准备用200元购买笔记本、笔袋共30个，并将这些文具奖给期末进步的学生.已知笔记本每本5元，笔袋每个8元，则张老师最多能购买多少个笔袋？
(3)笔记本的进价为2元，出售时标价为5元，后来由于该文具积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5％，则至多可打几折？
真题及变式
命题点1　一元一次不等式(组)的解法及解集表示(6年6考) 　
1. (2023广东8题3分)一元一次不等式组的解集为(　　)
A. －1＜x＜4 B. x＜4 C. x＜3 D. 3＜x＜4
2. (2020广东8题3分)不等式组的解集为(　　)
A. 无解 B. x≤1 C. x≥－1 D. －1≤x≤1
3. (2024广东12题3分)关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　　　　.
　第3题图
(2021广东18题6分)解不等式组.
命题点2　一元一次不等式的实际应用(6年3考) 　
5. (2023广东14题3分·北师八下随堂练习改编)某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10％，则最多可打　　　　折.
5.1 变设问——将最多可打折变为最多可降价
某商品的进价为4元，标价6元出售.商店准备降价销售，但其利润率不能少于20％，则最多可降价　　　　元.
6. (2019广东21题7分)某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元.
(1)若购买这两类球的总金额为4 600元，求篮球、足球各买了多少个？
(2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
新考法
7. [真实问题情境](2024江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本？
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
　第7题图
8. [注重过程性](人教七下阅读与思考改编)阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足x＞y＞0，证明：x2＞y2.
证明：∵x＞y且x，y均为正数，
∴x2＞　　　　，xy＞　　　　，(不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变)
∴x2＞y2.(不等式的传递性)
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)尝试证明：若a＜b，则＜b.
考点精讲
①a＞c　②＜　③＜　④＜　⑤＞　⑥＞　⑦≥　⑧≤
教材改编题练考点
1. C
2. 解：去分母，得x－1＜3(x－2)，
去括号，得x－1＜3x－6，
移项，合并同类项，得－2x＜－5，
系数化为1，得x＞.
3. 解：解不等式x－1＜2，得x＜3，
解不等式－3x－1≤2，得x≥－1，
∴该不等式组的解集为－1≤x＜3，
将解集在数轴上表示如解图.
第3题解图
4. 2x＋2(x＋1)≤10　【解析】∵此长方形土地宽比长少1 km，∴长为(x＋1) km，又∵栅栏的长度不超过10 km，∴可列不等式为2x＋2(x＋1)≤10.
5. 8　【解析】设小真购买x支钢笔，则购买(20－x)本笔记本，根据题意，得8x＋3(20－x)≤100，解得x≤8，∴x的最大值为8，即小真最多能买8支钢笔.
高频考点
例1　D　【解析】由题知，a＜b，两边同时加上3，得a＋3＜b＋3，则A不符合题意；两边同时减去2，得a－2＜b－2，则B选项不符合题意；两边同时乘－1，得－a＞－b，则C选项不符合题意；两边同时乘2，得2a＜2b，则D选项符合题意.
变式1　D　【解析】∵若x＜y，且(a－3)x≥(a－3)y，∴a－3≤0，∴a≤3.
例2　A　【解析】∵－x＞1，∴x＜－1，∴选项中的与x＜－1组成的不等式组无解的是x＞2.
变式2　A　【解析】解不等式2x－1≥1，得x≥1，解不等式3(2－x)＞－6，得x＜4，∴不等式组的解集为1≤x＜4，解集在数轴上表示如选项A所示.
例3　解：(1)设购买笔记本的数量为x本，则购买笔袋的数量为(10－x)个，
根据题意可得x≥4(10－x)，解得x≥8，
∴购买笔记本的数量至少为8本；
(2)设购买笔袋的数量为x个，则购买笔记本的数量为(30－x)本，
根据题意可得8x＋5(30－x)≤200，解得x≤，
∵x为正整数，
∴张老师最多能购买笔袋16个；
(3)设打x折出售，
根据题意可得5×－2≥2×5％，解得x≥4.2，
∴至多可打4.2折.
真题及变式
1. D　【解析】令，解不等式①得x＞3，∴该不等式组的解集为3＜x＜4.
2. D　【解析】解不等式2－3x≥－1得x≤1，解不等式x－1≥－2(x＋2)得x≥－1，∴不等式组的解集是－1≤x≤1.
3. x≥3
4. 解：令，
解不等式①，得x＜2， (2分)
解不等式②，得x＞－1， (4分)
∴原不等式组的解集为－1＜x＜2. (6分)
5. 8.8　【解析】设这种商品打x折销售，根据题意可列不等式5×0.1x－4≥4×10％，解得x≥8.8，∴该商品最多可以打8.8折.
变式5.1　1.2　【解析】设该商品可降价x元，根据题意，得×100％≥20％，解得x≤1.2，∴最多可降价1.2元.
6. 解：(1)设买了x个篮球，y个足球， (1分)
由题意得， (2分)
解得. (3分)
答：篮球买了20个，足球买了40个； (4分)
(2)设购买了a个篮球，则购买了(60－a)个足球，
由题意得70a≤80×(60－a)， (5分)
解得a≤32， (6分)
答：最多可购买32个篮球. (7分)
7. 解：(1)设书架上数学书有x本，语文书有y本，
由题意，得，
解得，
答：书架上数学书有60本，语文书有30本；
一题多解法
设书架上数学书有x本，则语文书有(90－x)本，
由题意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84，
解得x＝60，
∴90－x＝30(本).
答：书架上数学书有60本，语文书有30本；
(2)设数学书还可以摆m本，
由题意，得10×1.2＋0.8m≤84，
解得m≤90.
答：数学书最多还可以摆90本.
8. (1)解：补全证明过程如下：
证明：∵x＞y且x，y均为正数，
∴x2＞xy，xy＞y2，(不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变)
∴x2＞y2；(不等式的传递性)
(2)证明：∵a＜b，
∴a＋b＜b＋b，∴＜b.微专题09　平面直角坐标系与函数
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)
各象 限内
坐标 轴上 点P(a，b)在坐标轴上，则有： 在x轴上 ③　　　　； 在y轴上 ④　　　　； 在原点上 a＝⑤　　　，b＝⑥　　　 注：坐标轴上的点不属于任一象限
各象限 角平分 线上 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑦　　　　； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为⑧　　
平行于 坐标轴 的直线上 平行于x轴的直线上的点的⑨　　　　相等； 平行于y轴的直线上的点的⑩　　　　相等
点的对 称变换 P(x，y)P1 　　　； P(x，y)P2 　　　； P(x，y)P3 　　 口诀：关于谁对称，谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号
点的 平移 (m＞0) P(x，y)P 　　　； P(x，y)P(x＋m，y)； P(x，y)P 　　　； P(x，y)P(x，y－m) 口诀：左减右加，上加下减
2. 平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴及 原点的距离 点P(x，y)到x轴的距离是 　　　； 点P(x，y)到y轴的距离是 　　　； 点P(x，y)到原点的距离是 　　
平行于坐标轴 的直线上两点 间距离 已知点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为平面直角坐标系中任意两点，则： (1)若PQ∥x轴 y1＝y2，PQ＝｜x1－x2｜； (2)若PQ∥y轴 x1＝x2，PQ＝｜y1－y2｜
3. 函数的概念及表示方法(2022.10)
概念 (1)函数：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有 　　　　的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量； (2)函数值：如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值
表示方法 列表法、解析式法和图象法
画函数图象的步骤 列表—描点—连线
4. 函数自变量的取值范围
函数解析式的形式 自变量的取值范围
含有分式 使 　　　　　的实数
含有二次根式 使 　　　　　　　　　的实数
含有分式与二次根式 使分母不为0且被开方数大于等于0的实数
练考点
1. 在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(－3，－1)，填空：
(1)点P在第　　　象限；
(2)点P关于x轴的对称点P1的坐标为　　　　，关于y轴的对称点P2的坐标为　　　　；
(3)将点P向上平移2个单位长度得到点P3的坐标为　　　.
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(－3，4)，
(1)点A到x轴的距离是　　　　，点A到y轴的距离是　　　　，点A到原点的距离是　　　　；
(2)线段AB与x轴平行，且AB＝3，点B的坐标为　　　　.
3. 下列各曲线中表示y是x的函数的是　　　　.
4. 函数y＝的自变量x的取值范围为　　　　.
高频考点
考点1　平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考)
例1　 在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(a＋1，2a－4).
(1)若点B位于第四象限，则a的取值范围为　　　　；
(2)若点B在x轴上，则点B的坐标为　　　　，若点B在y轴上，则点B的坐标为　　　　；
(3)若点B在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为　　　　；
(4)若点B关于原点的对称点为点C(－4，－2)，则a的值为　　　　；
(5)若将点B向上平移3个单位长度得到点D(2，1)，则a的值为　　　　；
(6)已知点E(－1，3)，且直线BE∥y轴，则线段BE的长为　　　　.
考点2　函数的相关概念及性质(2022.10)
例2　(2024佛山顺德区二模)要使式子有意义，则x的取值范围是　　　　.
变式1　(2024齐齐哈尔改编)在函数y＝中，自变量x的取值范围是　　　　　.
例3　(人教八下复习题改编)如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D在边AB上，过点D作DE⊥BC于点E，连接CD，设△BDE的面积为y，CE＝x，求y与x之间的函数解析式.
例3题图
变式2　 在△ABC中，AC＝5 m，BC＝3 m，∠ABC＝90°，D是AC边上一动点，动点P以1 m/s的速度从点A出发沿折线A→B→C运动，且PD⊥A C. 设点P的运动时间为x s时，点P到AC的距离PD为y m，求y与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围.
变式2题图
考点3　函数图象的分析与判断
例4　(2024武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　　)
例5　(2024珠海香洲区三模)如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE－ED－DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1 cm/s，设P，Q同时出发t s时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系如图②所示(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论错误的是(　　)
例5题图
A. AE＝3 cm
B. 当5＜t＜7时，△BPQ的面积是10 cm2
C. 当0＜t≤5时，y＝t2
D. 当t＝时，＝
方法解读
分析判断函数图象的解题方法：
(1)弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量；
(2)结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在图象中找相对应的点；
(3)拐点：图象上的拐点既是前一段函数图象的终点，又是后一段函数图象的起点，反映函数图象在这一时刻开始发生变化；
(4)水平线：函数值随自变量的变化而保持不变；
(5)交点：表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等，这个交点是函数值大小关系的“分界点”.
真题及变式
命题点1　平面直角坐标系中点的坐标特征(6年3考) 　
1. (2020广东3题3分)在平面直角坐标系中，点(3，2)关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A. (－3，2) B. (－2，3) C. (2，－3) D. (3，－2)
2. (2022广东6题3分)在平面直角坐标系中，将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是(　　)
A. (3，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (1，－1)
命题点2　函数的概念(2022.10) 　
3. (2022广东10题3分·源于人教八下习题)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(　　)
A. 2是变量 B. π是变量 C. r是变量 D. C是常量
新考法
4. [真实问题情境](2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
第4题图
5. [新定义概念](2024河北)在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是(　　)
第5题图
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
6. [代数推理](2024绥化)如图，已知A1(1，－)，A2(3，－)，A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7，)，A6(9，)，A7(10，0)，A8(11，－)，…，依此规律，则点A2 024的坐标为　　　　.
第6题图
考点精讲
①(－，＋)②(＋，－)③b＝0　④a＝0　⑤0　⑥0
⑦相等　⑧相反数　⑨纵坐标　⑩横坐标　 (x，－y)
(－x，y)　 (－x，－y)　 (x－m，y)　 (x，y＋m)
｜y｜　 ｜x｜　 　 唯一确定　 分母不为0
被开方数大于等于0
练考点
1. (1)三；(2)(－3，1)，(3，－1)；
(3)(－3，1)
2. (1)4，3，5；(2)(－6，4)或(0，4)
3. ③
4. x≠－3
高频考点
例1　(1)－1＜a＜2　【解析】∵点B位于第四象限，∴，解得－1＜a＜2；
(2)(3，0)，(0，－6)　【解析】∵点B在x轴上，∴2a－4＝0，解得a＝2，∴a＋1＝3，∴点B的坐标为(3，0)；∵点B在y轴上，∴a＋1＝0，解得a＝－1，∴2a－4＝－6，∴点B的坐标为(0，－6).
(3)(6，6)　【解析】∵点B在第一、三象限的角平分线上，∴a＋1＝2a－4，解得a＝5，∴点B的坐标为(6，6).
(4)3　【解析】∵点B关于原点的对称点为点C(－4，－2)，∴点B的坐标为(4，2)，即a＋1＝4，解得a＝3(或2a－4＝2，解得a＝3).
(5)1　【解析】∵将点B向上平移3个单位长度得到点D(2，1)，∴点B，D的横坐标相同，∴a＋1＝2，解得a＝1(或2a－4＋3＝1，解得a＝1).
(6)11　【解析】∵E(－1，3)，直线BE∥y轴，∴a＋1＝－1，解得a＝－2.∴2a－4＝－8，∴点B的坐标为(－1，－8)，∴BE＝3－(－8)＝11.
例2　x≥4　【解析】∵式子有意义，∴x－4≥0，∴x≥4.
变式1　x≥－3且x≠－2　【解析】由题意可得，，解得x≥－3且x≠－2.
例3　解：∵△ABC是等边三角形，DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，BC＝AB＝2，∠B＝60°，
∵CE＝x，∴BE＝2－x，
在Rt△BDE中，∵DE＝BE·tan B，
∴DE＝(2－x)，
∴y＝S△BDE＝BE·DE＝(2－x)2.
变式2　解：当点P在AB边上运动时，
∵AC＝5，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴AB＝4，
∵PD⊥AC，
∴sin A＝＝＝，即＝，
∴y＝x，0≤x≤4；
当点P在BC边上运动时，
则AB＋BP＝x，PC＝AB＋BC－x＝7－x，
∵sin C＝＝＝，
即＝，
∴y＝－x＋，4＜x≤7，
∴y与x的函数关系式为y＝.
例4　D　【解析】下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓.
例5　C　【解析】当t＝5时，点Q到达点C，点P到达点E，当5＜t＜7时，点P在ED上运动，y＝10 cm2，当t＝7时，点P到达点D，故选项B正确；BE＝BC＝1×5＝5 cm，当5＜t＜7时，S△PBQ＝BQ·AB＝×5AB＝10 cm2，解得AB＝4 cm，∴AE＝＝＝3 cm，故选项A正确；当0＜t≤5时，点P在线段BE上，则BP＝BQ＝t cm，如解图①，过点P作PH⊥BC于点H，易得△PBH∽△BEA，∴＝，∴PH＝.∴y＝BQ·PH＝×t×t＝t2，故选项C错误；∵BE＋ED＝7 cm，∴当t＝时，点P在线段CD上，如解图②，BQ＝BC＝5 cm，PQ＝BE＋ED＋CD－1×＝，＝＝.故选项D正确.
例5题解图
真题及变式
1. D
2. A　【解析】将点(1，1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是(1＋2，1)，即(3，1).
3. C　【解析】在C＝2πr中，r为变量，2和π为常数，C为r的一次函数，C随r的变化而变化.
4. A　【解析】根据题意，“新”的坐标为(0，0)，其位置是坐标原点，“创”的坐标为(－2，0)，其位置在x轴负半轴上，∴以“新”为原点，向右为x轴正方向，向上为y轴正方向建立平面直角坐标系，由解图得“技”字坐标是(1，1)，∴“技”在第一象限.
第4题解图
5. B　【解析】设A(a，b)，AB＝m，AD＝n，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m，∴D(a，b＋n)，B(a＋m，b)，C(a＋m，b＋n)，∵＜＜，而＜，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.
6. (2 891，－)　【解析】由题知，点A1的坐标为(1，－)，点A2的坐标为(3，－)，点A3的坐标为(4，0)，点A4的坐标为(6，0)，点A5的坐标为(7，)，点A6的坐标为(9，)，点A7的坐标为(10，0)，点A8的坐标为(11，－)，点A9的坐标为(13，－)，点A10的坐标为(14，0)，点A11的坐标为(16，0)，点A12的坐标为(17，)，点A13的坐标为(19，)，点A14的坐标为(20，0)，…，由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按－，－，0，0，，，0循环出现，又∵2 024÷7＝289……1，∴1＋289×10＝2 891，则点A2 024的坐标为(2 891，－).微专题10　一次函数的图象与性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 一次函数的图象与性质(6年4考，常在函数综合题中涉及考查)
表达式 y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)(特别地，当b＝0时，y＝kx为正比例函数)
图象 (草图) k＞0 k＜0
b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0
①画出草图 ②画出草图
经过的 象限 一、二、三 一、三 ③ ④ 二、四 二、三、四
增减性 y随x的增大而⑤ y随x的增大而⑥
与坐标轴 的交点 与x轴的交点坐标为⑦　　　　(即令y＝0)，与y轴的交点坐标为⑧　　　(即令x＝0)
2. 一次函数表达式的确定(6年5考，常在解答题中涉及考查)
(1)方法：待定系数法
(2)步骤：①先设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)；
②将图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入y＝kx＋b中，得到方程组；
③解方程组可得k，b的值；
④将k，b代入所设解析式
3. 一次函数图象的平移
平移前的 解析式 平移方式(m＞0) 平移后的解析式 规律
y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位 y＝k(x＋m)＋b x左加右减
向右平移m个单位 y＝k(x－m)＋b
向上平移m个单位 y＝kx＋b＋m 等号右边整 体上加下减
向下平移m个单位 y＝kx＋b－m
4. 一次函数与方程(组)、不等式的关系(2024.10)
(1)与一元一次方程的关系
如图①，方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴交点(点A)的横坐标
图①
(2)与二元一次方程组的关系
如图②，方程组的解是一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2图象交点(点A)的横纵坐标的值
图②
(3)与一元一次不等式的关系
①从“数”上看
(ⅰ)kx＋b＞0的解集是在函数y＝kx＋b中，当y＞0时x的取值范围；
(ⅱ)kx＋b＜0的解集是在函数y＝kx＋b中，当y＜0时x的取值范围；
②从“形”上看
(ⅰ)kx＋b＞0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标的集合；
(ⅱ)kx＋b＜0的解集是函数y＝kx＋b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标的集合
教材改编题练考点
1. 已知一次函数y＝2x－1.
(1)该函数的图象经过　　象限；
(2)该函数的图象与x轴的交点坐标为　　　　，与y轴的交点坐标为　　　　；
(3)已知点A(－1，y1)，B(3，y2)在该函数的图象上，则y1　　y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
2. 已知直线y＝kx(k≠0)经过点(3，6)，则该直线的解析式为　　　　.
3. 已知一次函数y＝2x－5，将该函数的图象向左平移3个单位长度，得到的函数表达式为　　　　.
4. 如图，已知一次函数y＝x＋1的图象分别与x，y轴交于A，B两点.
(1)方程x＋1＝0的解为　　　　；
(2)关于x的不等式0＜x＋1的解为　　　　.
第4题图
高频考点
考点1　一次函数的图象与性质(6年4考)
例1　 已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，请解答下列问题：
(1)若b＝3，一次函数的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以为(　　)
A. (－1，2) B. (1，－2) C. (2，3) D. (3，4)
(2)若b＝k2，则一次函数y＝kx＋k2与y＝k2x＋k的图象可能是(　　)
(3)若点(－2，－1)，(1，－7)是该一次函数图象上的点，则下列各点在一次函数图象上的是　　　　.
①(－2，－5)，②(－1，－3)，③(0，－1)，④(1，－5)
(4)若k＞0，点A(x1，y1)，B(x2，y1－2)是一次函数图象上两点，则x1　　　　x2(填“＞”“＜”或“＝”).
变式1　(2024长沙)对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是(　　)
A. 它的图象与y轴交于点(0， －1) B. y随x的增大而减小
C. 当x＞时，y＜0 D. 它的图象经过第一、二、三象限
变式2　 在同一平面直角坐标系中，函数y＝－3x＋b和y＝bx－3(b为常数，且b≠0)的图象可能是(　　)
考点2　一次函数解析式的确定(6年5考)
例2　(待定系数法求解析式)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(1，－1)，(2，1)两点，该一次函数的解析式为　　　　.
例3　(平移求解析式)已知一次函数y＝－2x＋5.
(1)将该函数的图象向上平移4个单位长度，得到的函数图象的解析式为　　　　；
(2)将该函数的图象向左平移m(m＞0)个单位后，经过点(－1，1)，则m的值为　　　　.
例4　(利用k、b的几何意义求解析式)如图，已知A点坐标为(5，0)，直线y＝x＋b与x轴交于点C，与y轴交于点B，连接AB，α＝75°，则b的值为　　　　.
例4题图
方法解读
一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，
b的几何意义：直线与y轴交点的纵坐标；
k的几何意义：k＞0时，y随x的增大而增大；k＜0时，y随x的增大而减小.｜k｜＝tan α(α为直线与x轴所夹锐角).
注：直线y＝k1x＋b(k≠0)与直线y＝k2x平行，则k1＝k2.
考点3　一次函数与方程(组)、不等式的关系(2024.10)
例5　(2024珠海模拟)如图，已知直线l1：y＝3x＋1和直线l2：y＝mx＋n交于点P(1，b)，则关于x，y的二元一次方程组的解是　　　　.
例5题图
变式3　为了了解关于x的不等式－x＋2＞mx＋n的解集，某同学绘制了y＝－x＋2与y＝mx＋n(m，n为常数，m≠0)的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是(　　)
变式3题图
真题及变式
命题点1　一次函数的图象与性质(6年4考，常在函数综合题中涉及考查) 　
拓展训练
1. 在正比例函数y＝(k＋2)x中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝(k－1)x－k的图象不经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. (2024长春)已知直线y＝kx＋b(k、b是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而减小，则b的值可以是　　　　.(写出一个即可)
命题点2　一次函数解析式的确定(6年5考，常在解答题中涉及考查) 　
3. (2023广东16(2)题5分)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(0，1)与点(2，5)，求该一次函数的表达式.
拓展训练
4. (2024陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为(　　)
A. y＝3x B. y＝－3x C. y＝x D. y＝－x
命题点3　一次函数的图象与不等式的关系(2024.10) 　
5. (2024广东10题3分)已知不等式kx＋b＜0的解集是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象大致是(　　)
拓展训练
6. (2024通辽)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k2≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是(　　)
A. b1＋b2＞0 B. b1b2＞0 C. k1＋k2＜0 D. k1k2＜0
第6题图
新考法
7. [真实问题情境](2024中山三模)如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2∶1，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标是(－10，1)，若直线y＝kx＋b同时经过点A，B，C，D，E，则k与b的乘积为(　　)
第7题图
A. －3 B. 3 C. －5 D. 5
考点精讲
①　②　③一、三、四
④一、二、四　⑤增大　⑥减小　⑦(－，0)
⑧(0，b)
练考点
1. (1)第一、三、四　(2)(，0)，(0，－1)　(3)＜
2. y＝2x
3. y＝2x＋1
4. (1)x＝－2　(2)x＞－2
高频考点
例1　(1)B
(2)D
(3)②
(4)＞
变式1　A　【解析】A.令x＝0，则y＝－1，∴一次函数y＝2x－1的图象与y轴的交点为(0，－1)，故A选项符合题意；B.∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故B选项不符合题意；C.令y＝0，则2x－1＝0，解得x＝，∵k＝2＞0，∴当x＞时，y＞0，故C选项不符合题意；D.∵k＝2＞0，b＝－1＜0，∴一次函数y＝2x－1的图象经过第一、三、四象限，故D选项不符合题意.
变式2　A　【解析】若b＞0，则函数y＝－3x＋b的图象过第一、二、四象限，函数y＝bx－3的图象过第一、三、四象限；若b＜0，则函数y＝－3x＋b的图象过第二、三、四象限，函数y＝bx－3的图象过第二、三、四象限.故选项A符合题意.
例2　y＝2x－3　【解析】∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(1，－1)，(2，1)，∴解得∴一次函数的解析式为y＝2x－3.
例3　(1)y＝－2x＋9；(2)3.
例4　　【解析】令y＝x＋b中x＝0，则y＝b，∴B(0，b)，令y＝x＋b中y＝0，则x＝－b，∴C(－b，0)，∴∠BCO＝45°，∵α＝∠BCO＋∠BAO＝75°，∴∠BAO＝30°，∵点A(5，0)，∴OA＝5，∴OB＝b＝OA·tan ∠BAO＝.
例5　　【解析】∵直线y＝3x＋1经过点P(1，b)，∴b＝3＋1，解得b＝4，∴P(1，4)，∴关于x，y的二元一次方程组的解是.
变式3　C　【解析】以两函数图象的交点为分界，直线y＝mx＋n(m≠0)在直线y＝－x＋2的下方时不等式－x＋2＞mx＋n，此时x＜－1.故该不等式的解集在数轴上表示如选项C所示.
真题及变式
1. C　【解析】∵正比例函数y＝(k＋2)x中，y随x的增大而减小，∴k＋2＜0，即k＜－2，∴－k＞0，k－1＜－3，∴一次函数y＝(k－1)x－k的图象经过第一、二、四象限，∴该一次函数图象不经过第三象限.
2. 2(答案不唯一)【解析】∵直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(1，1)，∴1＝k＋b.∵y随x的增大而减小，∴k＜0，当k＝－1时，1＝－1＋b，解得b＝2，∴b的值可以是2.
3. 解：将点(0，1)，(2，5)代入y＝kx＋b中，
得，解得， (4分)
∴该一次函数的表达式为y＝2x＋1. (5分)
4. A　【解析】∵点A和点B关于原点对称，∴2＝－n，m＝－(－6)，∴n＝－2，m＝6，∴A(2，6)，B(－2，－6).设正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，将A(2，6)代入y＝kx中，得6＝2k，解得k＝3，∴这个正比例函数的表达式为y＝3x.
5. B　【解析】由题意得，x＜2时，一次函数的图象应在x轴下方，故B选项符合题意.
6. A　【解析】由图象可得，b1＝2，b2＝－1，k1＞0，k2＞0，∴b1＋b2＞0，故选项A正确，符合题意；b1b2＜0，故选项B错误，不符合题意；k1＋k2＞0，故选项C错误，不符合题意；k1k2＞0，故选项D错误，不符合题意.
7. B　【解析】如解图，设y＝kx＋b(k≠0)与x，y轴的交点分别为G，F，BH⊥AH于点H，∵每一级台阶的宽度和高度之比为2：1，点A的坐标是(－10，1)，∴G(－12，0)，将点A(－10，1)，G(－12，0)代入y＝kx＋b，得，解得，∴kb＝×6＝3.
第7题解图微专题11　反比例函数的图象与性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 反比例函数的图象与性质(6年4考)
表达式 y＝(k为常数，k≠0)
k的符号 k①　　　　0 k②　　　　0
图象(草图)
所在象限 第③　　　　象限(x，y同号) 第④　　　　象限(x，y异号)
增减性 在每一个象限内，y随x的增大而⑤ 在每一个象限内，y随x的增大而⑥
对称性 关于原点成中心对称；关于直线y＝x，y＝－x成轴对称
2. 反比例函数表达式的确定(6年3考)
待定系 数法 (1)设所求反比例函数解析式为y＝(k≠0)； (2)找出图象上的一点P(a，b)； (3)将点P的坐标代入y＝中，得k＝⑦　　　　； (4)确定反比例函数解析式y＝
利用k 的几何 意义 k的几 何意义 过反比例函数y＝(k≠0)图象上任一点P(x，y)作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，则所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝｜y｜·｜x｜＝｜xy｜＝⑧　　　　.
利用k 的几何 意义 基本 图形 S△AOP＝⑨　　 S△ABP＝⑩　　　S△APP'＝2｜k｜ 　　　　 S△ABC＝ 　　　 　S ABCD＝
练考点
1. 关于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　)
A. 图象位于第二、四象限
B. 图象与坐标轴有公共点
C. 图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D 图象经过点(a，a＋2)，则a＝1
2. 已知反比例函数y＝(k≠0)，请回答下列问题：
(1)若点(2，4)在该反比例函数的图象上，则该函数解析式为　　　　；
第2题图
(2)如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y＝(x＜0)图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，若四边形PAOB的面积为6，则k的值为　　　　.
高频考点
考点1　反比例函数的图象与性质(6年5考)
例1　 已知反比例函数y＝(k≠0).
(1)若点A(1，－3)关于x轴的对称点A'在该函数图象上，则k的值为　　　　；
(2)核心设问 若点(－2，3)，(1，n)在该反比例函数的图象上，则n的值为　　　　；[2022广东9题考查]
(3)若点(a，－1)，(b，－4)在该反比例函数的图象上且在第三象限内，则a　　b(填“＞”“＜”“＝”)；
(4)核心设问 若k＝4，点(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是　　　　；(用“＜”连接)[2021广东21(1)题考查]
(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝(k＞0)图象上两点，且x1＜x2，y1＜y2，则点A位于第　　　　象限，点B位于第　　　　象限；
(6)已知反比例函数y＝与直线y＝mx相交于C，D两点，点D的坐标为(1，6)，则C点坐标为　　　　　　　.
变式1　(2024佛山一模)已知点A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，下列结论正确的是(　　)
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a
变式2　 已知反比例函数y＝(a为常数，且a≠0)和一次函数y＝x＋2b－1(b为常数)，若a＝2b，则它们在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
考点2　反比例函数的几何意义(6年3考)
例2　 已知点A是反比例函数y＝(k＞0)的图象上一点.
(1)如图①，若OA＝AB，且△AOB的面积为4，则k的值为　　　　；
(2)如图②，若四边形OABC是平行四边形，且点B，C的坐标分别为(－3，3)，(－4，0)，则k的值为　　　　；
(3)核心设问 如图③，若矩形ABCD的面积为3，点B在反比例函数y＝的图象上，点A在反比例函数y＝(k＞0)的图象上且AB∥x轴，C，D在x轴上，则k＝　　　　.[2020广东24(1)题考查]
例2题图
变式3　(2024佛山模拟)如图，矩形ABCD的边AB与x轴平行，顶点A的坐标为(2，1)，点B与点D都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，若矩形ABCD的面积为8，则该反比例函数的解析式为　　　　.
变式3题图
真题及变式
命题点　反比例函数的图象与性质(6年4考) 　
1. (2022广东9题3分)点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是(　　)
A. y1 B. y2 C. y3 D. y4
拓展训练
2. 在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y＝(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1，2)，则点B的坐标为(　　)
A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)
3. (2024北京)在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是　　　　.
考点精讲
①＞　②＜　③一，三　④二，四　⑤减小　⑥增大
⑦ab　⑧｜k｜　⑨｜k｜　⑩｜k｜　 ｜k｜　 ｜k｜
练考点
1. C　【解析】反比例函数y＝，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故A选项错误，B选项错误；反比例函数y＝，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，故C选项正确；反比例函数y＝图象经过点(a，a＋2)，∴a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3，故D选项错误.
2. (1)y＝；(2)－6
高频考点
例1　(1)3　【解析】∵点A(1，－3)和点A'关于x轴对称，∴A'(1，3)，∵A'在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3.
(2)－6　【解析】∵点(－2，3)在该反比例函数的图象上，∴k＝－2×3＝－6，∴该反比例函数的解析式为y＝－，将(1，n)代入，得n＝－6.
(3)＜　【解析】∵点(a，－1)，(b，－4)在该反比例函数的图象上，且在第三象限内，y随x的增大而减小，－1＞－4，∴a＜b.
(4)x2＜x1＜x3　【解析】∵k＝4，∴y＝，把点(x1，4)，(x2，－1)，(x3，2)分别代入y＝，得x1＝1，x2＝－4，x3＝2，∴x2＜x1＜x3.
(5)三，一；
(6)(－1，－6)　【解析】∵反比例函数y＝与直线y＝mx相交于C，D两点，点C与D关于原点对称，∴C点的坐标为(－1，－6).
变式1　B　【解析】∵反比例函数y＝(k＞0)的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，∵点A(－2，a)，B(1，b)，C(3，c)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，且－2＜0＜1＜3，∴a＜0，b＞c＞0，∴a＜c＜b.
变式2　B　【解析】∵a＝2b，∴代入y＝可得y＝，与一次函数y＝x＋2b－1联立，可得＝x＋2b－1，整理得(x－1)(x＋2b)＝0，∴方程有一个根为x＝1，∴一次函数与反比例函数图象有一个交点的横坐标为1.∵一次函数y＝x＋2b－1的一次项系数为1＞0，∴一次函数图象过一、三象限，故选B.
例2　(1)4　【解析】如解图①，过点A作AC⊥x轴于点C.∵OA＝AB，∴OC＝BC，∴S△OAC＝S△AOB＝2.∴＝2.∵k＞0，∴k＝4.
例2题解图①
(2)3　【解析】如解图②，设AB与y轴交于点E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，AB∥OC，∵点B，C的坐标分别为(－3，3)，(－4，0)，∴AB＝OC＝4，AE＝1，OE＝3，∴｜k｜＝2S△AEO＝3.∵k＞0，∴k＝3.
例2题解图②
(3)2　【解析】如解图③，延长BA交y轴于点H，∵四边形ABCD为矩形，∴S矩形AHOD＝S矩形HBCO－S矩形ABCD＝｜k｜，∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴S矩形HBCO＝5，∵S矩形ABCD＝3，∴S矩形AHOD＝5－3＝2，∴｜k｜＝2，由图象可知k＞0，∴k＝2.
例2题解图③
变式3　y＝　【解析】∵点A(2，1)，四边形ABCD为矩形，∴点B的纵坐标为1，点D的横坐标为2，∴B(k，1)，D(2，)，∴AB＝k－2，AD＝－1，∴(k－2)(－1)＝8，解得k＝6或k＝－2，∵k＞0，∴反比例函数的解析式为y＝.
真题及变式
1. D　【解析】∵点(1，y1)，(2，y2)，(3，y3)，(4，y4)在反比例函数y＝的图象上，且反比例函数y＝的图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴y1＞y2＞y3＞y4，∴最小的是y4.
2. A　【解析】由题意得，点A与点B关于原点对称，∴点B的坐标为(－1，－2).
3. 0　【解析】∵函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，∴y1＝，y2＝－，∴y1＋y2＝0.微专题12　反比例函数与一次函数、几何结合
高频考点突破
考点1　反比例函数与一次函数结合(6年3考)
方法解读
求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解.
常见求三角形面积的示例如下：
①S△AOB＝OB·AD；
②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；
③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝S△ADO＋S△BDO.
例1　 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1(k1≠0)的图象与反比例函数y＝(k2≠0)的图象分别交于点A(－1，－2)，B(，n).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)如图①，点C是反比例函数图象上一动点，过点C作y轴的垂线，交y轴于点D，交一次函数图象于点E，当点C恰好是DE的中点时，求点C的坐标；
　例1题图①
(3)核心设问 如图②，连接OA，OB，求△AOB的面积；[2019广东23(2)题考查]
　例1题图②
(4)核心设问 如图③，点M是一次函数图象上一动点，当AM＝3BM时，求点M的坐标.[2021广东21(2)题考查]
　例1题图③
考点2　反比例函数与几何结合(6年2考)
方法解读
一、坐标法
　　由y＝得到xy＝k，如：点A(xA，yA)，B(xB，yB)在反比例函数y＝的图象上，则xA·yA＝xB·yB＝k①，即反比例函数图象上的点的横、纵坐标积相等，都等于k；①式变形为＝②，即反比例函数图象上两点横坐标的比值与纵坐标的比值互为倒数.
二、面积法
　　面积法的本质即利用“k”的几何意义，由xy＝k可以得到；反比例函数图象上的点向x，y轴作垂线，得到的矩形面积都相等，均为｜k｜；进而得到下图中：S△AOB＝S△COD＝｜k｜.
例2　(北师九上习题改编)如图，已知双曲线y＝(x＞0)经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积为3，则k等于　　　　.
例2题图
例3　(2024东莞一模改编)如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝－(x＜0)的图象于点B，以AB为边作菱形ABCD，其中C，D在x轴上，则菱形ABCD的面积为　　　　.
例3题图
例4　(人教九上习题改编)如图，△ABC的边AB在x轴上，边AC交y轴于点E，AE∶EC＝1∶2，反比例函数y＝(x＞0)的图象过点C，且交线段BC于点D，BD∶DC＝1∶3，连接AD，若S△ABD＝，则k的值为　　　　　　　.
例4题图
真题及变式
命题点1　反比例函数与一次函数结合(6年3考) 　
1. (2021广东21题8分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P(1，m).
(1)求m的值；
(2)若PA＝2AB，求k的值.
2. (2019广东23题9分)如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－1，4)，点B的坐标为(4，n).
(1)根据图象，直接写出满足k1x＋b＞的x的取值范围；
(2)求这两个函数的表达式；
(3)点P在线段AB上，且S△AOP∶S△BOP＝1∶2，求点P的坐标.
　第2题图
命题点2　反比例函数与几何结合(6年2考) 　
3. (2020广东24题10分)如图，点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A， C.反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E.连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG.
(1)填空：k＝　　　　；
(2)求△BDF的面积；
(3)求证：四边形BDFG为平行四边形.
　第3题图
高频考点
例1　解：(1)将点A(－1，－2)代入y＝(k2≠0)中，得＝－2，
解得k2＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
将点B(，n)代入y＝中，得n＝，
∴点B(，)，
将点A(－1，－2)，B(，)分别代入y＝k1x＋b1(k1≠0)中，
得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x－；
(2)设点C的坐标为(x，)，
∵点C是DE的中点，
∴点E的坐标为(2x，)，
将点E(2x，)代入y＝x－中，
得·2x－＝，
整理得4x2－x－3＝0，
解得x＝1或x＝－，
当x＝1时，y＝＝2，点C的坐标为(1，2)，
当x＝－时，y＝＝－，点C的坐标为(－，－).
综上所述，点C的坐标为(1，2)或(－，－)；
(3)由(1)可知点A(－1，－2)，点B(，)，
在一次函数y＝x－中，令y＝0，得x＝，
∴S△AOB＝××(＋2)＝；
(4)设点M(a，b)，当点M在AB的延长线上时，
∵AM＝3BM，∴AB＝AM，
如解图①，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点B作BQ⊥AP于点Q，则BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
解得a＝，b＝3，
∴点M的坐标为(，3)；
当点M在线段AB上时，
∵AM＝3BM，∴AB＝AM，
如解图②，过点M作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两线相交于点P，过点B作BQ⊥AP交AP的延长线于点Q，则BQ∥MP，
∴△ABQ∽△AMP，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
解得a＝，b＝，
∴点M的坐标为(，).
综上所述，点M的坐标为(，3)或(，).
图①
图②
例1题解图
例2　2　【解析】∵DE⊥OA，BA⊥OA，∴DE∥AB，∵D是OB中点，∴OE＝OA，DE＝AB，∴＝＝2，又∵点C，D都在y＝上，∴＝＝2，即DE＝2AC，∴AB＝4AC，∴BC＝3AC，∴S△OBC＝BC·OA＝·3AC·OA＝k＝3，∴k＝2.
一题多解法
∵点C，D都在y＝上，∴S△ODE＝S△OCA＝，由题意得△ODE∽△OBA，且相似比＝，∴＝，∴S△OBA＝4S△ODE＝2k，又∵S△OBA＝S△OBC＋S△OCA＝3＋k，∴2k＝3＋k，∴k＝2.
例3　9　【解析】设点B的纵坐标为b，∴－＝b，解得x＝－，∵AB∥x轴，∴点A的纵坐标为b，∴b＝，解得x＝，∴AB＝－(－)＝，∴S菱形ABCD＝·b＝9.
例4　4　【解析】设A(－a，0)(a＞0)，∵AE∶EC＝1∶2，∴点C(2a，)，∵BD∶DC＝1∶3，∴点D的纵坐标为×＝，∴点D的坐标为(8a，)，∴B(10a，0)，∴AB＝11a，∵BD∶DC＝1∶3，∴S△ABC＝4S△ABD＝4×＝11，∴S△ABC＝×11a×＝11，解得k＝4.
真题及变式
1. 解：(1)∵P(1，m)为反比例函数y＝图象上一点，
∴当x＝1时，m＝＝4； (2分)
(2)如解图，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
由(1)得P(1，4)，
∴PM＝4，PN＝1.
①当点B在y轴的正半轴时，
∵PA＝2AB，
∴＝，
易证△A1OB1∽△A1MP，
∴＝＝，
∴OB1＝2，
∴B1(0，2)，
将P(1，4)，B1(0，2)分别代入y＝kx＋b中，
得，解得； (5分)
②当点B在y轴的负半轴时，
∵PA＝2AB，
∴＝，
易证△B2A2O∽△B2PN，
∴＝＝，
∴OA2＝，
∴A2(，0)，
将P(1，4)，A2(，0)分别代入y＝kx＋b中，
得，解得.
综上所述，k的值为2或6. (8分)
第1题解图
2. 解：(1)x＜－1或0＜x＜4； (2分)
(2)∵点A(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，
∴4＝， (3分)
解得k2＝－4，
∴反比例函数的表达式为y＝－. (4分)
∵点B(4，n)在反比例函数y＝－的图象上，
∴n＝－＝－1，
∴B(4，－1).
∵一次函数的图象过A，B两点，
∴， (5分)
解得，
∴一次函数的表达式为y＝－x＋3； (6分)
(3)如解图，连接OP，OA，OB，设一次函数y＝－x＋3与x轴交于点C，
第2题解图
∵当y＝0时，x＝3，
∴点C的坐标为(3，0).
∵S△AOB＝S△AOC＋S△BOC，
∴S△AOB＝×3×4＋×3×1＝. (7分)
∵S△AOP∶S△BOP＝1∶2，
∴S△BOP＝S△AOB＝×＝5.
∵点P在线段AB上，
∴设P的坐标为(m，－m＋3)，－1＜m＜4，
∵S△POB＝S△POC＋S△BOC，
∴S△BOP＝×3×(－m＋3)＋×3×1＝5， (8分)
解得m＝，
∴－m＋3＝－＋3＝，
∴点P的坐标为(，). (9分)
3. (1)2； (2分)
【解法提示】如解图①，过点M分别向坐标轴作垂线，垂足为P，Q.由题意得S矩形ABCO＝8，S矩形PMQO＝｜k｜.∵M是OB的中点，∴S矩形PMQO＝S矩形ABCO＝×8＝2，即k＝2 .
第3题解图①
(2)解：如解图②，连接OD，
∴S△BDF＝S△BDO＝S△BAO－S△DAO＝S矩形ABCO－S△DAO＝×8－＝4－1＝3； (6分)
第3题解图②
(3)证明：如解图③，过点D作DH⊥OG于点H.
设B(m，)，则C(m，0)，G(2m，0)，D(，)，E(m，)，H(，0)，
∴DB＝m－＝，
易得△DHF∽△EBD， (8分)
∴＝，
∴HF＝＝＝m，
∵FG＝OG－OH－FH＝2m－－m＝，
∴FG＝DB， (9分)
由题意可得FG∥DB，
∴四边形BDFG为平行四边形. (10分)
第3题解图③微专题13　二次函数的图象与性质
考点精讲
构建知识体系
考点梳理　　　　　　　　　　
1. 二次函数的图象与性质(6年6考)
表达式 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)
a a＞0 a＜0
图象(草图)
对称轴 (1)对称轴为直线x＝①　　　 (2)利用x＝求解(其中x1，x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)
顶点 坐标 (1)顶点坐标为②　　　　　 (2)将一般式配方化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为③　　　
增减性 在对称轴左侧，即当x＜－时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即当x＞－时，y随x的增大而增大 在对称轴左侧，即当x＜－时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y取最小值 当x＝－时，y取最大值
2. 二次函数的图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
a的正负 a＞0 开口④　　　
a＜0 开口⑤　　　
a，b的值 b＝0 对称轴为y轴
a，b同号 对称轴在y轴⑥　　　
a，b异号 对称轴在y轴⑦　　　
c的正负 c＝0 抛物线过原点
c＞0 抛物线与y轴交于⑧　　半轴
c＜0 抛物线与y轴交于⑨　　半轴
b2－4ac的值 b2－4ac＝0 与x轴有唯一的交点(顶点)
b2－4ac＞0 与x轴有⑩　　　　交点
b2－4ac＜0 与x轴没有交点
3. 二次函数表达式的三种形式(6年3考)
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，其中顶点坐标为(h，k)
(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a，x1，x2为常数，其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标)
4. 二次函数图象的平移(6年2考)
(1)将y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k
(2)平移规律
平移前的解析式 移动方向(m＞0) 平移后的解析式 简记
y＝a(x－h)2＋k 向左平移m个单位 y＝a(x－h＋m)2＋k 左“＋” 右“－”
向右平移m个单位 y＝a(x－h－m)2＋k
向上平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k＋m 上“＋” 下“－”
向下平移m个单位 y＝a(x－h)2＋k－m
5. 二次函数与一元二次方程的关系
与x轴 交点坐 标的确定 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解
与x轴交点个 数的判断 (1)二次函数的图象与x轴有两个交点 方程ax2＋bx＋c＝0有 　　　　的实数根 b2－4ac＞0； (2)二次函数的图象与x轴有且只有一个交点 方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根 b2－4ac 　　　0； (3)二次函数的图象与x轴没有交点 方程ax2＋bx＋c＝0 　　实数根 b2－4ac＜0
练考点
1. 已知二次函数y＝2(x－2)2＋5.
(1)二次函数图象的对称轴为直线　　　　；顶点坐标为　　　　；
(2)二次函数的图象经过点(3，y1)，(5，y2)，则y1　　y2.(填“＞”“＝”或“＜”)
2. 已知函数y＝x2－4x＋3.
(1)函数图象的开口向　　，与y轴的交点坐标为　　　　　　　；
(2)函数的图象与x轴有　　个交点，交点的坐标为　　　　.
3. (1)已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点(0，1)和(1，0)，则抛物线的解析式为　　　　；
(2)已知二次函数的图象经过点(1，0)，(3，0)和(2，3)，则这个二次函数的解析式为　　　　　　　.
4. 已知抛物线y＝x2－2x－3.
(1)将此二次函数的图象先向上平移3个单位长度，得到的二次函数C1的解析式为　　　　，再向右平移1个单位长度，得到的二次函数C2的解析式为　　　　；
(2)若将抛物线经过平移后得到抛物线y＝x2，则平移的方式是　　　　.
5. 已知抛物线y＝x2＋x－2，则一元二次方程x2＋x－2＝0与x轴有　　　　个交点，该一元二次方程的解为　　　　　　　.
高频考点
考点1　二次函数的图象与性质(6年6考)
例1　 已知二次函数y＝x2－2x－3，根据要求回答下列问题.
(1)该二次函数表达式化为顶点式为　　　　；
(2)核心设问 该二次函数有最　　　　值(填“大”或“小”)，其最值为　　　　；[2021广东9题考查]
(3)核心设问 当－3≤x≤0时，y的最大值为　　　　，最小值为　　　　；[2021广东22(2)题考查]
(4)当－1≤x≤2时，y的最大值为　　　　，最小值为　　　　；
(5)若点A(5，12)为二次函数图象上的点，则点A关于对称轴对称的点的坐标为　　　　；
(6)核心设问 若点A(－2，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)在该二次函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　　　　；(用“＜”连接)[2024广东8题考查]
(7)若(4，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝y1－5，则m的值为　　　　.
变式1　(2024珠海香洲区二模)对于抛物线y＝3(x－2)2－1，下列说法正确的是(　　)
y随x的增大而减小
B. 当x＝2时，y有最大值－1
C. 若点A(3，y1)，B(1，y2)都在抛物线y＝3(x－2)2－1上，则y1＞y2
D. 经过第一、二、四象限
考点2　二次函数的图象与系数a，b，c的关系(2020.10)
例2　 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c，其对称轴为直线x＝1.根据图象，分析并判断下列结论，用“＞”“≥”“＜”“≤”或“＝”填空.
　例2题图
(1)a　　　　0，b　　　　0，c　　　　0；
(2)b2－4ac　　　　0；
(3)2a＋b　　　　0；
(4)a＋b＋c　　　　0；
(5)4a－2b＋c　　　　0；
(6)c－a　　　　0；
(7)2c－3b　　　　0；
(8)a＋b　　　　m(am＋b)(m≠0).
方法解读
1. 根据b2－4ac的符号观察与x轴的交点个数：
(1)与x轴有两个交点→b2－4ac＞0；
(2)与x轴有一个交点→b2－4ac＝0；
(3)与x轴没有交点→b2－4ac＜0.
2. 二次函数图象与特殊代数式之间的关系
(1)如遇见2a＋b，2a－b类的式子，可利用对称轴与±1比较求解；
(2)如遇见a＋b＋c，a－b＋c类的式子，可利用x＝±1，求出y的大小求解；
(3)如遇见a，c或b，c关系的式子，可利用对称轴(如：2a＋b)与x等于某个值时y的式子(如a＋b＋c)联立求解；
(4)如遇见(a＋c)2＜b2形式的式子，先因式分解，再利用x等于某两个值的式子联立求解.
例3　 已知a＋b＝0(a≠0)，ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
考点3　二次函数解析式的确定(含平移)(6年3考)
例4　 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)，B(点A在点B左侧)，与y轴相交于点C(0，－3).
　例4题图
若抛物线的对称轴为直线x＝2，求该抛物线的解析式；
若抛物线向左平移3个单位后，经过坐标原点，求该抛物线的解析式；
核心设问 若AO∶BO＝1∶2，求该抛物线的解析式；[2022广东23(1)题，2020广东25(1)题考查]
若直线y＝2x＋m经过点B，C，求该抛物线的解析式.
变式3　(2024梅州梅县一模)已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝－2x2＋9x相同，且它的顶点坐标为(－1，6)，则这条抛物线的解析式为　　　　　　.
考点4　二次函数与一元二次方程、不等式的关系(6年2考)
例5　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有　　　　个实数根.
例5题图
变式4　已知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0，b≠0)经过点(－2，0)，(3，0)，则方程cx2＋bx＋a＝0的解为　　　　　　　.
真题及变式
命题点1　二次函数的图象与性质(6年6考) 　
1. (2024广东8题3分)若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A. y3＞y2＞y1 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2
2. (2023广东10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点 B在y轴上，则ac的值为(　　)
第2题图
A. －1 B. －2 C. －3 D. －4
2.1 变思维——将利用对称性变为利用正方形的边角关系
(2024珠海模拟)如图，在正方形ABCD中，点B，D的坐标分别是(－1，－2)，(1，2)，点C在抛物线y＝－x2＋bx的图象上，则b的值是(　　)
－　　　　　　　 B. 　　　　　　　
C. －　　　　　　　 D.
变式2.1题图
命题点2　二次函数图象与系数a，b，c的关系(2020.10) 　
3. (2020广东10题3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③8a＋c＜0；④5a＋b＋2c＞0，正确的有(　　)
第3题图
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
3.1 变条件——与表格结合
(2024烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x －4 －3 －1 1 5
y 0 5 9 5 －27
下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝9有两个相等的实数根；③当－4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点(m，y1)，(－m－2，y2)均在二次函数图象上，则y1＝y2 ；⑤满足ax2＋(b＋1)x＋c＜2 的x的取值范围是x＜－2或x＞3.其中正确结论的序号为　　　　.
命题点3　二次函数图象的平移(6年2考) 　
4. (2020广东7题3分)把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为(　　)
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－1)2＋1
C. y＝(x－2)2＋2 D. y＝(x－1)2＋3
5. (2021广东12题4分)把抛物线y＝2x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为　　　　.
5.1 变条件——将抛物线平移变为坐标轴平移
抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋2，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为(　　)
y＝(x＋2)2＋4　　　　 B. y＝(x＋2)2　　　　
C. y＝(x－4)2＋4　　　　 D. y＝(x－4)2
考点精讲
①－　②(－，)　③(h，k)　④向上
⑤向下　⑥左侧　⑦右侧　⑧正　⑨负　⑩两个
两个不相等　 ＝　 无
练考点
1. (1)x＝2，(2，5)；(2)＜
2. (1)上，(0，3)；(2)两，(1，0)和(3，0)
3. (1)y＝x2－2x＋1；
(2)y＝－3(x－1)(x－3)
4. (1)y＝x2－2x，y＝x2－4x＋3；
(2)先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度(答案不唯一)
5. 两；x1＝－2，x2＝1
高频考点
例1　(1)y＝(x－1)2－4；
(2)小，－4；
(3)12，－3；
(4)0，－4；
(5)(－3，12)；
(6)y2＜y1＜y3；
(7)－1或3.
变式1　D　【解析】∵抛物线y＝3(x－2)2－1＝3x2－12x＋11，a＝3＞0，对称轴为直线x＝2，∴当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大，故A选项错误，不符合题意；∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y取最小值为－1，故B选项错误，不符合题意；由题意得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，∵抛物线的对称轴是直线x＝2，｜3－2｜＝｜1－2｜，∴y1＝y2，故C选项错误，不符合题意；∵当x＜2时，y随x的增大而减小，且当x＝0时，y＝11，∴当x＜0时，y＞11，故图象不经过第三象限，故D选项正确，符合题意.
例2　(1)＞，＜，＜；
(2)＞；(3)＝；(4)＜；(5)＞；
(6)＜；　【解析】由图象可知，a＞0，c＜0，c－a＜0.
(7)＜；　【解析】∵对称轴为直线x＝1，∴－＝1，∴a＝－，将x＝－1代入二次函数解析式得y＝a－b＋c＜0，－－b＋c＜0，2c－3b＜0.
(8)≤　【解析】将x＝1代入二次函数解析式得y＝a＋b＋c，将x＝m代入得y＝am2＋bm＋c，当m＝1时，a＋b＋c＝am2＋bm＋c，即a＋b＝m(am＋b)；当m≠1时，∵当x＝1时y取得最小值，∴a＋b＋c＜am2＋bm＋c，即a＋b＜m(am＋b)，综上所述，a＋b≤m(am＋b).
例3　C　【解析】∵a＋b＝0，∴a＝－b，∴对称轴为直线x＝－＝＝，∵ac＞0，∴a，c同号，∴选项C符合题意.
例4　解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝2，
∴b＝－4a，
∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－4ax＋c，
将A(－1，0)，C(0，－3)代入y＝ax2－4ax＋c中，
得，
解得，
∴b＝－，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－3；
(2)由题意，抛物线经过点(3，0)，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为(－1，0)，
∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
将点C(0，－3)代入，得－3＝－3a，
解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3；
(3)∵点A的坐标为(－1，0)，
∴AO＝1，
∵AO∶BO＝1∶2，
∴BO＝2，
∴点B的坐标为(2，0)，
将A(－1，0)，B(2，0)，C(0，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－3；
(4)将C(0，－3)代入y＝2x＋m中，
得m＝－3，
∴直线BC的解析式为y＝2x－3，
令2x－3＝0，解得x＝，
∴点B的坐标为(，0)，
将A(－1，0)，B(，0)，C(0，－3)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝2x2－x－3.
变式3　y＝－2(x＋1)2＋6　【解析】∵抛物线的顶点坐标为(－1，6)，∴抛物线解析式可设为y＝a(x＋1)2＋6，∵抛物线y＝a(x＋1)2＋6的形状、开口方向均与抛物线y＝－2x2＋9x相同，∴a＝－2，∴这条抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋6.
例5　两　【解析】∵二次函数的顶点在第二象限，且开口向下，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝－1有两个不同的交点，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个实数根.
变式4　x1＝－，x2＝　【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，(3，0)，∴对称轴为直线x＝，即－＝，∴b＝－a，∴a＝－b.将点(－2，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，得4a－2b＋c＝0，∴－4b－2b＋c＝0，∴c＝6b，∴6bx2＋bx－b＝0，即6x2＋x－1＝0，解得x1＝－，x2＝.
真题及变式
1. A　【解析】∵二次函数的解析式为y＝x2，∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵2＞1＞0，∴y3＞y2＞y1.
2. B　【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，当x＝0时，y＝c，即OB＝c，∵四边形OABC是正方形，∴AC＝OB＝2AD＝2OD＝c，AC⊥OB，∴A(，)，∴＝a×＋c，解得ac＝－2.
第2题解图
变式2.1　D　【解析】如解图，过点C作MN⊥x轴，作BM⊥MN于点M，DN⊥MN于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝DC，∴∠BCM＋∠DCN＝90°＝∠BCM＋∠CBM，∴∠DCN＝∠CBM，∵∠BMC＝∠CND＝90°，∴△CBM≌△DCN(AAS)，∴CN＝BM，DN＝CM，设C(a，b)，∵点B，D的坐标分别是(－1，－2)，(1，2)，∴，解得，∴C(2，－1)，∵点C在抛物线y＝－x2＋bx的图象上，∴－1＝－×4＋2b，∴b＝.
变式2.1题解图
3. B　【解析】①∵抛物线开口向下且交y轴于正半轴，∴a＜0，c＞0，又∵抛物线的对称轴为x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，得b2－4ac＞0，故②正确；③由题图知，当x＝－2时，二次函数y＝4a－2b＋c＜0，又由①知b＝－2a.∴y＝4a－2b＋c＝8a＋c＜0，故③正确；④∵5a＋b＋2c＝(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)，结合图象可知：当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，∴(4a＋2b＋c)＋(a－b＋c)＝5a＋b＋2c＞0，故④正确.∴正确的结论有3个，故选B.
变式3.1　①②④　【解析】由题意，将点(－4，0)，(－3，5)，(1，5)代入二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c中，得，解得，∴二次函数的解析式为y＝－x2－2x＋8，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，结论①正确；当y＝9时，－x2－2x＋8＝9，解得x1＝x2＝－1，有两个相等的实数根，结论②正确；由表格知，当－4＜x＜1时，0＜y＜9，结论③错误；∵二次函数y＝－x2－2x＋8的对称轴为直线x＝－1，且＝－1，∴点(m，y1)，(－m－2，y2)关于对称轴对称，∴y1＝y2，结论④正确；由ax2＋(b＋1)x＋c＜2，得x2＋x－6＞0，∴x的取值范围为x＜－3或x＞2，结论⑤错误.
4. C　【解析】y＝(x－1)2＋2向右平移1个单位后得到y＝(x－1－1)2＋2，即y＝(x－2)2＋2.
5. y＝2(x＋1)2－2
变式5.1　D　【解析】根据题意知，将抛物线y＝(x－1)2＋2向下平移2个单位长度，向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝(x－4)2.微专题14　函数的实际应用
练考点
1. 汽车油箱中有汽油30 L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位： km)的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km.当0≤x≤300时，y与x的函数表达式是(　　)
A. y＝0.1x B. y＝－0.1x＋30 C. y＝ D. y＝－0.1x2＋30x
2. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”.若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000 N和0.6 m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是(　　)
3. 如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围一块矩形的地.已知房屋外墙长40米，则可围成的地的最大面积是　　　　平方米.
第3题图
高频考点
考点　函数的实际应用(6年5考)
例　 某工艺品店销售一款摆件，已知每件摆件的成本为30元，销售过程中发现，在销售单价不低于成本价且不高于40元的试销期间，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)满足反比例函数关系；销售单价高于40元正式售卖时，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，下表是部分销售记录.
销售单价x(元) … 35 40 44 48 50 …
周销售量y(件) … 96 84 80 76 74 …
(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象，并求出相应的函数表达式；
　例题图
若计划每件摆件的利润率不低于40％，求该摆件每周的最大销售量；
在试销期间，当该摆件的销售单价为多少元时周利润最大？
根据当地规定，该摆件销售单价不得超过50元，若该店计划下周该摆件的销售单价高于40元，且一周内销售单价保持不变，预计下周利润最多为多少？
易错警示
利用函数的增减性解决实际问题中的最值时，要注意实际问题中自变量的取值范围对最值的影响.特别地，在二次函数中若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得.
真题及变式
命题点　函数的实际应用(6年5考) 　
类型一　利润(费用)最值问题(6年3考)
(2024广东20题9分·北师九下习题改编)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值？(题中“元”为人民币)
2. (2020广东23题8分)某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的.
(1)求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
(2)该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
类型二　跨学科问题(6年2考)
3. (2023广东13题3分·人教九下习题改编)某蓄电池的电压为48 V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I＝.当R＝12 Ω时，I的值为　　　　A.
3.1 变条件——将一个电阻变为三个串联电阻
(2024广州)如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U的值为　　　　.
变式3.1题图
4. (2022广东20题9分)物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)满足函数关系y＝kx＋15.下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系.
x/kg 0 2 5
y/cm 15 19 25
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20 cm时，求所挂物体的质量.
拓展类型
5. [图象问题](2024陕西)我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市.他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.
　第5题图
6. [抛物线型问题](2024东莞模拟)爱思考的小芳在观看女子排球比赛时发现一个有趣的现象：排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探究.
经实地测量，可知排球场地长为18 m，球网在场地中央且高度为2.24 m.建立如图所示的平面直角坐标系，A为击球点.记排球运动过程中距地面的竖直高度为y(单位：m)，距击球点的水平距离为x(单位：m).小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表：
水平距离x/m 0 4.5 6 7.5 12
竖直高度y/m 2 2.75 2.8 2.75 2
(1)根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离x满足的函数表达式；
(2)通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由；
(3)小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的形状及对称轴位置不变，在点O上方击球，既要过球网，又不出边界(排球压线属于没出界)时，求小华的击球点高度h(单位：m)的取值范围.
第6题图
新考法
7. [综合与实践]
科学探究
【主题】利用“浮力称”测量浸入水的深度
【项目情境】“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力称”.
【项目探究】如图①所示，将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，得到了一组数据如下.
【实验数据】
物体质量/kg 0 0.3 0.6 0.9 1.2
浸入水中深度/m 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
【问题解决】设放进杯中的物体质量为x kg，杯子浸入水中的深度为 y m.
(1)根据表中数据在给出的坐标网格中描出相应的点，并在图②中画出函数图象；
(2)求放入杯中物体质量在0 kg～1.2 kg范围内时，杯子浸入水中的深度 y 与放入物体质量x之间的函数表达式；
(3)若量杯的高度为0.15 m，此“浮力称”可以称质量为2 kg的物体吗？
第7题图
练考点
1. B　【解析】利用油箱中的油量y＝总油量－耗油量，得出函数表达式是y＝－0.1x＋30(0≤x≤300).
2. B　【解析】∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000 N和0.6 m，∴动力F关于动力臂l的函数表达式为1000×0.6＝Fl，即F＝，∴动力F和动力臂l之间的函数图象是反比例函数图象，又∵动力臂l＞0，∴反比例函数F＝的图象在第一象限.
3. 450　【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(60－2x)米，∴菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，由题意得0＜60－2x≤40，解得10≤x＜30，∴当x＝15时，菜园的面积最大，最大面积为450平方米.
高频考点
例　解：(1)画出函数图象如解图；
∵当销售单价不低于成本价且不高于40元时，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)满足反比例函数关系，
∴设y1＝(30≤x≤40)，将(40，84)代入y1＝中，得84＝，
解得k1＝3 360，
∴y1＝(30≤x≤40).
∵当销售单价高于40元时，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，
∴设y2＝k2x＋b(x＞40，k2≠0)，将(50，74)，(44，80)代入y2＝k2x＋b中，
得，解得，
∴y2＝－x＋124(x＞40)，
∴y与x的函数表达式为y＝；
例题解图
(2)∵每件摆件的成本为30元，计划每件摆件的利润率不低于40％，
∴×100％≥40％，
解得x≥42，
由(1)得y2＝－x＋124(x＞40)，
∵－1＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝42时，y2取得最大值，最大值为82.
答：该摆件每周的最大销售量为82件；
(3)由(1)可知y1＝(30≤x≤40)，
设试销期间每周总利润为W1元，
则W1＝(x－30)y1＝(x－30)·＝－＋3 360，
当－最大时，W1最大，
∵－100 800＜0，30≤x≤40，
∴当x＞0时，－随x的增大而增大，
∴当x＝40时，W1取得最大值，为－＋3 360＝840.
答：在试销期间，当该摆件的销售单价为40元时，周利润最大；
(4)设下周总利润为W2元，
∵该店计划下周该摆件的销售单价高于40元，
∴销售量与售价满足关系式y2＝－x＋124(x＞40)，
∴W2＝(x－30)y2＝(x－30)(－x＋124)＝－x2＋154x－3 720＝－(x－77)2＋2 209，
∵根据当地规定，该摆件销售单价不得超过50元，
∴40＜x≤50，
∵－1＜0，
∴当x＜77时，W2随x的增大而增大，
∴当x＝50时，W2取得最大值，为1 480.
答：预计下周利润最多为1 480元.
真题及变式
1. 解：选择利润最大：
设该果商定价为每吨x万元，利润为W万元，
则销量为100＋50(5－x)＝(350－50x)吨，∴W＝(x－2)·(350－50x)＝－50x2＋450x－700，
∵－50＜0，对称轴为直线x＝－＝4.5，
∴当x＝4.5时，W最大，此时W＝(4.5－2)×(350－50×4.5)＝312.5， (8分)
答：该果商定价为每吨4.5万元时利润最大，最大利润为312.5万元. (9分)
或选择销售收入最大：
设该果商定价为每吨x万元，销售收入为y万元，
则销量为100＋50(5－x)＝(350－50x)吨，∴y＝x(350－50x)＝－50x2＋350x，
∵－50＜0，对称轴为直线x＝－＝3.5，
∴当x＝3.5时，y最大，此时y＝3.5×(350－50×3.5)＝612.5， (8分)
答：该果商定价为每吨3.5万元时销售收入最大，最大销售收入为612.5万元. (9分)
2. 解：(1)设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位的占地面积为(x＋2)平方米，
由题意得＝×， (2分)
解得x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解且符合实际， (3分)
∴x＋2＝5.
答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位占地面积为3平方米； (4分)
(2)设建A类摊位a个，则建B类摊位(90－a)个，
由题意得90－a≥3a，解得a≤22.5， (5分)
设建造这90个摊位的费用为y元，
则y＝40a×5＋30(90－a)×3＝110a＋8 100， (6分)
∵110＞0，
∴y随a的增大而增大，
∵a取整数，
∴a的最大值为22，
∴当a＝22时，y取最大值，最大值为110×22＋8 100＝10 520.
答：建造这90个摊位的最大费用为10 520元. (8分)
3. 4　【解析】当R＝12 Ω时，I＝＝4(A).
变式3.1　220　【解析】∵U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2时，U＝2.2×20.3＋2.2×31.9＋2.2×47.8＝2.2×(20.3＋31.9＋47.8)＝220.
4. 解：(1)将x＝5，y＝25代入y＝kx＋15中，得25＝5k＋15，
解得k＝2，
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋15(x≥0)； (4分)
(2)当y＝20时，20＝2x＋15，
解得x＝2.5， (8分)
∴当弹簧的长度为20 cm时，所挂物体的质量为2.5 kg. (9分)
5. 解：(1)设y与x之间的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(0，80)，(150，50)代入y＝kx＋b中，
得，解得，
∴y与x之间的关系式为y＝－x＋80；
(2)当x＝240时，y＝－×240＋80＝32，
∴该车的剩余电量占“满电量”的百分比为×100％＝32％.
答：王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的32％.
6. 解：(1)由表格可知抛物线顶点坐标为(6，2.8)；
设y与x之间的函数关系式为y＝a(x－6)2＋2.8.
将(0，2)代入，得2＝a(0－6)2＋2.8，解得a＝－.
经检验，表格中其他数据也满足上述关系.
∴排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离满足的函数表达式为y＝－(x－6)2＋2.8；
(2)能，理由如下：
当x＝9时，y＝－(9－6)2＋2.8＝2.6.
∵2.6＞2.24，
∴小华这次发球能过网；
(3)设只改变击球点高度后抛物线的表达式为y＝－(x－6)2＋k，
把x＝9，y＝2.24代入y＝－(x－6)2＋k中，
解得k＝2.44，
∴y＝－(x－6)2＋2.44，
把x＝0代入y＝－(x－6)2＋2.44，解得y＝1.64.
把x＝18，y＝0代入y＝－(x－6)2＋k，解得k＝3.2，
∴y＝－(x－6)2＋3.2.
把x＝0代入y＝－(x－6)2＋3.2，解得y＝2.4.
∴小华的击球点高度h的取值范围是1.64＜h≤2.4.
7. 解：(1)描出相应点及画出函数图象如解图所示：
第7题解图
(2)观察函数图象可知y与x为一次函数关系，∴设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将x＝0，y＝0.02；x＝1.2，y＝0.10，代入y＝kx＋b(k≠0)，
得，解得，
∴y关于x的函数表达式为y＝x＋0.02(0≤x≤1.2)；
(3)当y＝0.15时，x＋0.02＝0.15，解得x＝1.95 kg，
∵2 kg＞1.95 kg，超过了此浮力称的最大量程，
∴若量杯的高度为0.15 m，此“浮力称”不可以称质量为2 kg的物体.微专题15　二次函数综合题
类型一　二次函数与线段有关问题
一阶　设问突破
方法解读
1. 求线段长
(1)与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下)；
(2)与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左).
2. 线段数量关系问题
若两条线段的长均可计算或表示出来，直接根据线段数量关系列方程即可求解，若两条线段的长无法直接计算或表示出来，可通过x轴或y轴的平行线构造相似三角形，将线段进行转化，再根据线段数量关系列方程求解.
3. 利用二次函数性质求线段最值
(1)求竖直线段的最值
第一步：设M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；
第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值；
(2)求斜线段的最值
利用锐角三角函数化斜为直得：MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可.
4. 利用对称性质求线段和最值及点坐标，即“将军饮马”问题(求PA＋PB的最小值及点P的坐标)；
(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标；
(2)连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求，从而可求出PA＋PB的最小值；
(3)用待定系数法求直线AC的函数表达式；
(4)将l对应的x的值代入AC的函数表达式可得点P的坐标.
例1　 如图①，已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象与x轴相交于A，B两点(A点在B点左侧)，与y轴相交于点 C.点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，交直线AC于点Q.设点P的横坐标为m.
　例1题图①
一、表示点坐标
(1)点P的坐标为　　　　，点D的坐标为　　　，点Q的坐标为　　　　；
二、表示线段长
(2)PD的长为　　　　，QD的长为　　　　，PQ的长为　　　　；
(3)点P到对称轴的距离为　　　，CQ的长为　　　　；
三、与线段数量关系有关的计算
(4)如图②，若PQ＝DQ，求点P的坐标；
例1题图②
(5)如图③，若AQ＝2CQ，求点P的坐标；[2020广东25(2)题考查]
例1题图③
四、线段最值
(6)如图④，过点P作x轴的平行线，交直线AC于M点，求MQ的最大值；
例1题图④
(7)如图⑤，点G是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△GBC的周长最小时，求的值.
例1题图⑤
二阶　综合训练
1. (2024佛山二模)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于点A(0，－4)，B(5，6)，直线AB与x轴相交于点 C.
(1)求抛物线与直线AB的表达式；
(2)点D是抛物线在直线AB下方部分上的一个动点，过点D作DE∥x轴交AB于点E，过点D作DF∥y轴交AB于点F，求DF－DE的最大值.
第1题图
类型二　二次函数与面积有关问题
一阶　设问突破
方法解读
求几何图形面积
方法一：直接公式法
一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，S△ABC＝AB·h.
方法二：分割法
三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝BD·(AE＋CF)＝BD·(yC－yA).
方法三：补全法
三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).
S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BC C.
注：对于四边形面积计算，可连接一条对角线将四边形转化为两个三角形面积之和求解.
例2　 如图，抛物线y＝－x2＋3x＋4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是第一象限抛物线上的动点，设点D的横坐标为t.
一、求三角形、四边形面积
(1)如图①，当点D位于抛物线的顶点处时，连接OD，CD，求△OCD的面积；
　例2题图①
(2)如图②，若t＝2，连接AC，CD，BD，求四边形ABDC的面积；
　例2题图②
二、面积定值及最值
(3)如图③，连接AD，BD，若△ABD的面积为15，求点D的坐标；
　例2题图③
方法解读
利用二次函数性质求面积最值：用同一未知数表示出动点的坐标，进而表示出所求图形的面积，利用二次函数性质求解最值.
(4)核心设问 如图④，连接BD，过点C作CP∥BD交x轴于点P，连接PD，求△BPD面积的最大值及此时点D的坐标；[2022广东23(2)题考查]
　例2题图④
三、面积等值、倍分关系
(5)如图⑤，连接BD，CD，OD，若S△BOD＝S△COD，求点D的坐标.
　例2题图⑤
二阶　综合训练
1. (2024福建)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x 轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2).
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标.
　第1题图
类型一　二次函数与线段有关问题
一阶　设问突破
例1　解：(1)(m，－m2－2m＋3)，(m，0)，(m，m＋3)；　【解法提示】令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，∴点A(－3，0)，点B(1，0)；令x＝0，得y＝3，∴点C(0，3)；设直线AC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－3，0)，点C(0，3)代入y＝kx＋b中，得，解得，∴直线AC的表达式为y＝x＋3.∵点P的横坐标为m，∴点P纵坐标为－m2－2m＋3，∵PQ⊥x轴，∴点Q横坐标为m，则纵坐标为m＋3，∵PD⊥x轴，∴点D横坐标为m，纵坐标为0.
(2)－m2－2m＋3，m＋3，－m2－3m；
(3)｜m＋1｜，－m；
(4)由(2)可知QD的长为m＋3，PQ的长为－m2－3m，
∵PQ＝DQ，
∴－m2－3m＝m＋3，
解得m＝－1或m＝－3，
∵点P不与点A重合，
∴m的值为－1，
∴P(－1，4)；
(5)∵PD∥y轴，
∴＝，
∵AQ＝2CQ，
∴＝，
∴＝，
∵A(－3，0)，
∴AO＝3，
∴AD＝2，OD＝1，
∴m＝－1，此时－m2－2m＋3＝4，
∴P(－1，4)，
(6)∵OA＝OC＝3，PM∥x轴，
∴∠PMQ＝∠CAO＝45°，
∵PD⊥x轴，
∴∠ADQ＝∠QPM＝90°，
∴△PMQ为等腰直角三角形，
∴MQ＝PQ，
∵PQ＝－m2－3m＝－(m＋)2＋，－1＜0，－3＜m＜0，
∴PQ的最大值为.
∴MQ的最大值为.
(7)∵y＝－x2－2x＋3，∴抛物线对称轴为直线x＝－＝－1.
如解图，连接AC，交抛物线对称轴l于点G，由抛物线的对称性得GA＝GB，∴GB＋GC＝AG＋GC≥AC，即当A，G，C三点共线时，GB＋GC取得最小值，此时△GBC周长最小.
由(1)得直线AC的表达式为y＝x＋3，
当x＝－1时，y＝2，
∴G(－1，2).
∵B(1，0)，C(0，3)，
∴＝＝.
例1题解图
二阶　综合训练
1. 解：(1)由题意，将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝x2＋bx＋c中，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4.
将点A(0，－4)，B(5，6)代入y＝kx＋m中，
得，解得，
∴直线AB的表达式为y＝2x－4；
(2)由题意，设D(a，a2－3a－4)(0＜a＜5)，
令2x－4＝ a2－3a－4，得x＝(a2－3a)，
∴E(a2－a，a2－3a－4).
令x＝a，则y＝2a－4，
∴F(a，2a－4).
∴DF－DE＝2a－4－(a2－3a－4)－[a－(a2－a)]
＝－a2＋a
＝－(a－)2＋.
∵－＜0，0＜a＜5，
∴当a＝时，DF－DE取得最大值，最大值为.
类型二　二次函数与面积有关问题
一阶　设问突破
例2　解：(1)令x＝0，得y＝4，
∴C(0，4)，
∴OC＝4，
∵y＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋，
∴D(，)，
∴S△OCD＝OC·｜xD｜＝×4×＝3；
(2)如解图①，连接BC，过点D作DE⊥x轴交BC于点E，
令－x2＋3x＋4＝0，解得x＝－1或x＝4，
∴A(－1，0)，B(4，0)，
由(1)可知，C(0，4)，
∴AB＝5，OB＝OC＝4，
设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将B(4，0)，C(0，4)代入y＝kx＋b中，
得，解得，
∴BC所在直线的表达式为y＝－x＋4，
∴当t＝2时，－t2＋3t＋4＝6，－t＋4＝2，
∴D(2，6)，E(2，2)，
∴DE＝4，
∴S四边形ABDC＝S△ABC＋S△BCD＝×5×4＋×4×4＝18；
例2题解图①
(3)由(2)可知，AB＝5，
∴S△ABD＝AB·yD＝×5×(－t2＋3t＋4)＝15，
解得t＝1或t＝2.
当t＝1时，－t2＋3t＋4＝－12＋3×1＋4＝6；
当t＝2时，－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
综上所述，点D的坐标为(1，6)或(2，6)；
(4)如解图②，连接BC，CD，过点D作DQ⊥x轴交BC于点Q，
∵CP∥BD，
∴S△BPD＝S△BCD＝S△BDQ＋S△CDQ＝DQ·OB，
由(2)可知，BC所在直线的解析式为y＝－x＋4，
∴Q(t，－t＋4)，
∴DQ＝－t2＋3t＋4－(－t＋4)＝－t2＋4t，
∴S△BPD＝(－t2＋4t)×4＝－2(t－2)2＋8，
∵－2＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△BPD有最大值，最大值为8，
此时－t2＋3t＋4＝－22＋3×2＋4＝6，
∴点D的坐标为(2，6)；
例2题解图②
(5)由(2)可知，OB＝OC＝4，
∵S△BOD＝OB·yD＝×4×(－t2＋3t＋4)，
S△COD＝OC·xD＝×4t，
∵S△BOD＝S△COD，
∴×4×(－t2＋3t＋4)＝×4t，
∴－t2＋3t＋4＝t，
解得t＝1＋或t＝1－，
∵0＜t＜4，∴t＝1＋，
此时－t2＋3t＋4＝t＝1＋，
∴点D的坐标为(1＋，1＋).
二阶　综合训练
1. 解：(1)将A(－2，0)，C(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，
得解得
∴二次函数的表达式为y＝x2＋x－2；
(2)设P(m，n)，
∵点P在第二象限，
∴m＜0，n＞0.
依题意，得＝2，
即＝2，
∴＝2.
∵C(0，－2)，
∴CO＝2，
∴n＝2CO＝4.
∵P是二次函数图象上的一点，
∴m2＋m－2＝n，即m2＋m－2＝4，
解得m1＝－3，m2＝2(舍去)，
∴点P的坐标为(－3，4).

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