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2023-2024学年河北省秦皇岛市安丰高级中学高三（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知圆台的轴截面为上底为，下底为的等腰梯形，且圆台的母线长为，则圆台的高为( )
A. B. C. D.
4.在数列中，已知，且，则其前项和的值为( )
A. B. C. D.
5.现在流行网约车出行，已知某人习惯在，，三个网约车平台打车，且根据以往经验，在，，三个网约车平台能顺利打到车的概率分别为，，已知此人先选择平台打车，若不能顺利打到车，则进而选择平台，最后选择平台．则此人在一次出行中，能顺利打到车的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知，是抛物线：上关于轴对称的两点，是抛物线的准线与轴的交点，若直线与抛物线的另一个交点为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，若对任意，圆：与直线：恒相切，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若，则或
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 若，则向量，夹角的余弦值为
10.若，，且则可能是( )
A. B. C. D.
11.刘女士的网店经营坚果类食品，年各月份的收入、支出单位：百元情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )
A. 至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同
B. 支出最高值与支出最低值的比是：
C. 第三季度平均收入为元
D. 利润最高的月份是月份和月份
12.已知函数，则下列判断不正确的是( )
A. 直线与曲线相切
B. 函数只有极大值，无极小值
C. 若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数
D. 若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数
三、填空题：本题共4小题，共18分。
13.在的展开式中，有理项的个数为______．
14.已知三角函数的图象关于对称，且其相邻对称轴之间的距离为，则 ______．
15.如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的体积为 ．
16.已知双曲线的离心率为，虚轴长为，，为左、右焦点，则焦点
到渐近线的距离为______；设点为：上一点，动点为双曲线左支上一点，
则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等差数列中，已知，公差，其前项和满足
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求的表达式．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ求的最大值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且分别为，中点．
证明：平面；
求平面与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
甲、乙两人玩一个掷骰子游戏，游戏规则如下：两人轮流掷骰子，甲先掷，规定甲、乙各掷一次为一个回合个回合之后，先掷出点数之和为的倍数的人获胜；若同时掷出的倍数，则甲、乙平局如：若甲第一次掷出，乙第一次掷出，则乙获胜；若甲第一次掷出，第二次掷出，乙第一次掷出，第二次掷出，则甲乙平局若分出胜负或平局，则游戏结束．
试计算恰好个回合之后甲乙平局的概率；
若两人约定最多只玩个回合，个回合之后，无论游戏结果如何，都结束游戏试计算游戏回合数的数学期望．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，为椭圆上的动点异于左顶点，定点在轴上，点满足，直线与椭圆交于，两点．
求点的轨迹方程；
证明：为中点．
22.本小题分
设函数，其中是自然对数的底数，．
若，求的最小值；
若，证明：恒成立．
参考答案
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16.
17.解：根据题意，当时，，
又，则，解得，
所以等差数列的公差，
所以；
由可知，
则，
所以，
两式相减得，
则
，
所以．
18.解：，所以，
故，又因为，所以．
，
当，时，有最大值，
故的最大值为．
19.证明：，分别为，的中点，
．
在直角梯形中，，，
又平面，平面，
平面；
解：由平面，，平面，得，，又，
建立如图空间直角坐标系，设，
则，，
，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，即，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，即，
设平面与平面所成角为，
则，
．
20.解：设，，，
则个回合之后，每人恰好第一次出现的倍数的情况为三次都掷出，
三次都掷出，或者，，各掷出一次，且在第二次，
个回合之后，每人恰好第一次出现的倍数的概率为，
个回合后恰好平局的概率．
设游戏回合数为随机变量，则的可取值为，，
则，
，
则．
21.解：设，因为，，
所以，
所以，又在椭圆上且异于椭圆左顶点，
所以，，
所以点的轨迹方程为；
证明：易知直线的斜率存在，设直线：，
联立，化简得，
所以，
联立，
化简得，
即，解得：，
显然，所以为中点．
22.解：当时，，
所以，，
令，，
，，
所以单调递增，又，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
证明：设，
若，则，
所以，
若，则，
所以，
设，
则，
令，
，
所以单调递增，又，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以，
所以，，即．
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