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第8部分第13节《圆锥曲线中探索性及综合性问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　探索性问题
例1　已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．
跟踪训练1　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点().
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二　圆锥曲线的综合问题
例2　如图，过抛物线E：y2＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．
跟踪训练2 如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.
(1)求抛物线C1和椭圆C2的方程；
(2)过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
基础夯实
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.设点M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影分别为A′，B′.
(1)求椭圆C的方程；
(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．
3. 已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
4. 设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点()，且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，圆F的半径为PF.
(1)求椭圆E和圆F的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－)(k＞0)与圆F交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.
优化提升
5.如图，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，准线l与y轴交于点S.
(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；
(2)若直线y＝kx＋b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，若点S关于直线PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围．
6．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.
(1)求抛物线E的方程；
(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．
7. 如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一条直线与椭圆＋＝1相交于两点A，B，连接AN，BN，求证：∠ANM＝∠BNM.
8. 椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量·＝0.
(1)若A(2，0)，求椭圆的标准方程.
(2)设P为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过点F1，则是否存在过点F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，请说明理由.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 解　(1)由题意得，
因为点M(2，m)在抛物线上，
所以22＝2pm，
由抛物线的定义，得m＋＝2，
则解得
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)由(1)得M(2,1)，
设点A，B，
则kMA＝，kMB＝，
所以kMAkMB＝×＝－2，
得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；
设直线AB方程为y＝kx＋b，
由得x2－4kx－4b＝0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，
所以直线AB的方程为
y＝kx＋2k＋9，
即直线AB恒过抛物线内部的定点
N(－2,9)，
又圆M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好经过点N(－2,9)，
当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，
此时k＝－＝，
所以直线AB的方程为y＝x＋10.
跟踪训练1 解　(1)依题意
结合c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，c＝2.
所以双曲线C的标准方程为
x2－＝1.
(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．
由(1)知双曲线C的右焦点为
F(2,0)．
设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点．
当x0＝2时，
因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，
于是|MF|＝|QF|＝3，
所以t＝－1.即M(－1,0)．
当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF
＝－，
tan∠QMF＝kQM＝.
因为∠QFM＝2∠QMF，
所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得
－2x＋(4＋2t)x0－4t
＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以
解得t＝－1.即M(－1,0)．
综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．
例2 解　(1)当直线AB的斜率不存在时，此时A，B，∴|AB|＝2p，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，联立抛物线方程得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝＝＋p，此时|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p>2p，显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，
∴抛物线E：y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，则直线OA的方程：y＝x，直线OB的方程：y＝x，
由(1)知，x1x2＝，∴y1y2＝－2p＝－4，∴y3＝，y4＝＝＝4y1，
设圆心M(x0，y0)，
则y0＝＝2y1－.
若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，
则x0＝.
由|MD|＝|MG|，
得(x0＋4)2＋(y0－y4)2
＝(x0－t)2＋y，
∴4t＋4m＋80＝－tm，
由于t≠－4，
∴m＝也为定值．
∴H也为定点．
若t＝－8，则m＝12，
S＝|FH||y1－y2|＝|y1－y2|＝≥×4＝22，
当且仅当y1＝±2时取到最小值．
故△ABH的面积的最小值为22.
跟踪训练2 解　(1)由题意知，a＝4，＝，
所以c＝2，
所以b＝＝2，p＝4.
所以抛物线C1的方程为y2＝8x，
椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)由题设知直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my＋4.
则联立
得y2－8my－32＝0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.
所以＝
＝＝
＝，
因为直线OC的斜率为＝＝，
所以直线OC的方程为y＝x.
由
得y2＝1，
则y＝1，
同理可得y＝1，
所以y·y·＝1，
所以y·y＝，
要使S1∶S2＝3∶13，
只需＝2，
解得m＝±1，
所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．
基础夯实
1．解　(1)由题意可知b＝1，＝，
又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为，
则|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝，
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，
联立方程组
消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Δ>0时，x1＋x2＝，
x1x2＝，
∴|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝.
综上，|AA′|·|BB′|为定值.
2．解　(1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得kEF＝，
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以kAB＝－，
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－记A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由AF⊥BE得
·＝－1，
所以y1y2＋2y1＋x1x2－x2＝0，
将y1＝－x1＋t，
y2＝－x2＋t代入上式，
得3x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0，
所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，
所以5t2＋t－18＝0，
解得t＝ (t＝－2舍去)，
满足Δ>0，
所以直线l的方程为
y＝－x＋.
3.(1)解　由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)证明　抛物线C的焦点为F(0，－1).
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0).
由得x2＋4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－，
同理得B的横坐标xB＝－.
设点D(0，n)，则＝，
＝，
·＝＋(n＋1)2
＝eq \f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,4))))＋(n＋1)2
＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令·＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3).
4.解　(1)由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆的离心率e＝，∴＝，
∵a2＝b2＋c2，∴a＝2b，
将点代入椭圆的方程得＋＝1，
联立a＝2b，解得a＝2且b＝1.
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
∴F(，0)，∵PF⊥x轴，∴P，
∴圆F的半径为，圆心为(，0)，
∴圆F的方程为(x－)2＋y2＝.
(2)不存在满足题意的k，理由如下：
由A，B在圆上得
|AF|＝|BF|＝|PF|＝.
设点C(x1，y1)，D(x2，y2).
|CF|＝eq \r(（x1－\r(3)）2＋y)＝2－x1，
同理|DF|＝2－x2.
若|AC|＝|BD|，
则|AC|＋|BC|
＝|BD|＋|BC|，
即|AB|＝|CD|＝1，
4－(x1＋x2)＝1，
由得(4k2＋1)x2－8k2x＋12k2－4＝0，
∴x1＋x2＝，∴4－＝1，
得12k2＝12k2＋3，无解，故不存在.
优化提升
5．解　(1)由∠BFD＝90°知，
|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，
设A(xA，yA)，
则yA＋＝|FA|＝|FD|＝p，
S△ABD＝·|BD|·
＝×2p×p＝4，
解得p＝2(负值舍去)．F(0,1)，
所以圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)由题意得，直线PQ的斜率一定存在，
其中S，
设S关于直线PQ的对称点为T(m，n)，
则
解得
联立y＝kx＋b与x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，
则y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)
＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2，
则x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2
＝－2pb＋b2＝0，
解得b＝0(此时O与P或Q重合，舍去)或b＝2p，
所以|FT|＝
＝p∈(p,4p]．
6．解　(1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋＝0，若M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，
所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，
则p＝2，
即抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，
即x＝＋x0，
代入y2＝4x，
整理得ky2－4y＋4y0－ky＝0，
因为此直线与抛物线相切，
所以Δ＝4(4－4ky0＋k2y)＝0，
即(ky0－2)2＝0，解得k＝，
所以过A的切线为
y－y0＝(x－x0)，
令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，
所以四边形ACBF为菱形．
7.(1)解　设圆C的半径为r(r>0)，依题意知，圆心C的坐标为(2，r).
因为|MN|＝3，所以r2＝＋22＝，
所以r＝，圆C的方程为
(x－2)2＋＝.
(2)证明　把x＝0代入方程(x－2)2＋＝，解得y＝1或y＝4，
即点M(0，1)，N(0，4).
①当AB⊥x轴时，可知∠ANM＝∠BNM＝0.
②当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y＝kx＋1.
联立方程消去y得，
(1＋2k2)x2＋4kx－6＝0.
Δ＝16k2＋24(1＋2k2)＞0恒成立.
设直线AB交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以kAN＋kBN＝＋＝＋＝
＝＝0，
所以∠ANM＝∠BNM.
综合①②知∠ANM＝∠BNM.
8.解　(1)易知a＝2，因为·＝0，
所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以b＝c，
由a2－b2＝c2，可知b＝.
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由已知得b2＝c2，a2＝2c2.
设椭圆的标准方程为＋＝1，P的坐标为(x0，y0).
因为F1(－c，0)，B(0，c)，
所以＝(x0＋c，y0)，＝(c，c).
由题意得·＝0，
所以x0＋c＋y0＝0.
又点P在椭圆上，所以eq \f(x,2c2)＋eq \f(y,c2)＝1.
由以上两式消去y0可得，3x＋4cx0＝0.
因为点P不是椭圆的顶点，所以x0＝－c，y0＝c，故P.
设圆心为(x1，y1)，则x1＝－c，y1＝c，
所以圆的半径r＝＝c.
假设存在过F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为y＝k(x－c).
由该直线与圆相切可知，＝r，
所以＝c，即20k2＋20k－1＝0，解得k＝－±.
故存在满足条件的直线，
其斜率为－±.第8部分第1节《直线的方程》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．
【知识归纳】
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则 就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准， 与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝ (α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含直线x＝x0
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论：
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
【题型展示】
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)直线2xcosα－y－3＝0()的倾斜角的变化范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)
A．[－，1] B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C. D.(]∪[1，＋∞)
跟踪训练1　(1)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
(2)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．
题型二　求直线的方程
例2　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.
跟踪训练2　(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)
(2)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　)
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
题型三　直线方程的综合应用
例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
跟踪训练3　(1)已知直线l过点M(1,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，则直线l的方程为________．
(2)直线l的方程为(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直线l过定点________，若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是________．
基础夯实
1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135° C．90° D．180°
2.若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－2，1)
B.(－1，2)
C.(－∞，0)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
3.若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)
A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0
C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0
4.直线2xcos α－y－3＝0()的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5．直线l：x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cos α等于(　　)
A．－ B.
C. D.
6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0 D．2x＋y－7＝0
7．若直线l的方程y＝－x－中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8.过点(0，1)且与直线2x－y＋1＝0垂直的直线方程是(　　)
A.x＋2y－1＝0 B.x＋2y－2＝0
C.2x－y－1＝0 D.2x－y－2＝0
9.过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A. B.[)∪[)
C.[) D.(]
10.在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若＝－2，则直线l的方程是(　　)
A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0
11.倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(　　)
A.y＝－x＋2 B.y＝－x－2
C.y＝x＋2 D.y＝x－2
12．已知直线l1：x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k的值为(　　)
A.或0 B．－或0
C. D．－
13．若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是(　　)
A．－ B. C．－ D.
14.(多选)若直线过点A(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0
C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0
15．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)
C．过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3
16．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
17.把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是________.
18.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在的直线方程为________.
19.设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
20.若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________.
21．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
22．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3,5)，则直线l的一般式方程为_____________．
23．已知点A(2,4)，B(4,2)，直线l：y＝kx－2, 则直线l经过定点________，若直线l 与线段AB有公共点，则k的取值范围是________．
24．过点P(－1,0)且与直线l1：x－y＋2＝0的夹角为的直线的一般式方程是______________．
优化提升
25．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＋1＝0和过定点B的动直线mx－y－2m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．3 D．6
26.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
27.(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A.直线的倾斜角是π－α
B.无论α如何变化，直线不过原点
C.直线的斜率一定存在
D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
28．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．不经过原点的直线都可以表示为＋＝1
B．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B且AB的中点为(4,1)，则直线l的方程为＋＝1
C．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1
29．若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点，则l斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．
30．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
31.已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当a＝________时，四边形的面积最小，最小值为________.
32.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，则直线AB的方程是________.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.D
3．3x－2y＝0或x＋y－5＝0
【知识归纳】
1.
2．(1)x轴正向　向上　(2)0°≤α<180°
3．(1)正切值　tan α　(2)
4．y－y0＝k(x－x0)　y＝kx＋b　＝(x1≠x2，y1≠y2)
＋＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
【题型展示】
例1 (1)B　(2)B
跟踪训练1 (1)　－3　(2)
例2 解　(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴y＋3＝－(x＋1)，
即x＋4y＋13＝0.
(2)当横截距与纵截距都为0时，
可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2,1)，
∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，
即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0；
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(3) 当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
∴原点到直线的距离
d＝＝5，
解得k＝，
∴所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为
x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
跟踪训练2 (1)C
(2)A
例3 解　方法一　设直线l的方程为
y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝
≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，
即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为
y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l：＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为
×ab＝×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，
故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．解　由本例方法二知，
＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b
＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.
2．解　方法一　由本例方法一知
A，
B(0,1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
当且仅当－k＝－，
即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二　由本例方法二知A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||
＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
跟踪训练3 (1)x＋y－2＝0
(2)(1，－4)　[3，＋∞)
基础夯实
1．A　
2.A
3.A
4.B
5.C　
6.A
7.C　
8.B
9.B
10.A
11.B
12.A　
13.C　
14.ABC
15．ABC
16．ABC　
17.y＝x
18.x＋13y＋5＝0
19.5　1
20.－
21.
22．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0
23．(0，－2)　[1,3]
24．x＋1＝0或x－y＋1＝0
优化提升
25．D
26.A
27.BD
28．BCD
29．(－∞，1]　∪
30．16
31.　
32.(3＋)x－2y－3－＝0第8部分第2节《两条直线的位置关系》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B. C. D.
2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于(　　)
A．4 B．－4 C．1 D．－1
3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________．
【知识归纳】
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行
垂直
相交
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝ .
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝ .
常用结论：
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
【题型展示】
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
(2)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1　(1)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________.
(2)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直 B．垂直
C．平行 D．重合
题型二　两直线的交点与距离问题
例2　(1)(多选)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为(　　)
A．y＝1 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
(2)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为(　　)
A．a＝6，d＝
B．a＝－6，d＝
C．a＝－6，d＝
D．a＝6，d＝
跟踪训练2　(1)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．2 D．6
(2)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　)
A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0
题型三　对称问题
命题点1　点关于点的对称问题
例3　直线3x－2y＝0关于点()对称的直线方程为(　　)
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
命题点2　点关于直线的对称问题
例4　已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)
A．2 B．9 C. D．10
命题点3　直线关于直线的对称问题
例5　两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　)
A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0
C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0
跟踪训练3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
基础夯实
1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
2.已知直线l过点(0，7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　)
A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7
C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7
3.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则PQ的最小值为(　　)
A. B.3 C. D.4
4.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)
A.－12 B.－2 C.0 D.10
5．直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0
C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0
6．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意一点，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
7．已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(　　)
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
8．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于(　　)
A．2 B．2 C．2 D．4
9.已知点A与点B(1，2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为(　　)
A.(3，4) B.(4，5)
C.(－4，－3) D.(－5，－4)
10.过点P(1，2)作直线l，若点A(2，3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程为(　　)
A.4x＋y－6＝0或x＝1
B.3x＋2y－7＝0
C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0
D.3x＋2y－7＝0或x＝1
11.如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. B.a
C.－ D.－或不存在
12．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于(　　)
A．－6 B．4 C．－10 D．－4
13．(多选)已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　　)
A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0
C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0
14．(多选)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是(　　)
A．直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B. l1与l2至多有无穷多个交点
C．l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠b
D．记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线
15.(多选)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B.若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C.直线l过定点(0，1)
D.当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
16.(多选)已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　　)
A.直线l的倾斜角是
B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C.点(，0)到直线l的距离是2
D.过(2，2)与直线l平行的直线方程是x－y－4＝0
17.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是________.
18.已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，若点A(5，0)到直线l的距离为3，则l的方程为________.
19.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，则点A的坐标为________，点C的坐标为________.
20.设光线l从点A(－4，)出发，经过x轴反射后经过点B()，则光线l与x轴的交点为________，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________.
21．过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是________．
22．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________．
23．点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________．
24．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝________.
优化提升
25.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)
A. B. C. D.
26.(多选)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)
A.不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B.当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C.不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D.如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是
27．(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则a＝6
B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C．若l1⊥l2，则a＝
D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交
28.设m∈R，若过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.
29.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________.
30．设△ABC的一个顶点是A(－3,1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为__________.
31．已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________．
32. 如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为__________.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.A　3.x＋2y－3＝0
【知识归纳】
1．k1＝k2且b1≠b2　A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0　k1·k2＝－1　A1A2＋B1B2＝0　k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2．(1)②
③　(2)
(3)
【题型展示】
例1 (1)A　(2)C
跟踪训练1 (1)3或－2　　(2)B
例2 (1)AB
(2)D
跟踪训练2 (1)B　(2)D
例3 B
例4 C
例5 C
跟踪训练3 解　(1)设A′(x，y)，
由已知条件得
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为
9x－46y＋102＝0.
(3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为
2x－3y－9＝0.
方法二　∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，
得＝，
解得C＝－9，
∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
基础夯实
1．C　
2.D
3.C
4.A
5.C　
6.A
7.D　
8.B　
9.D
10.C
11.D
12.D　
13．AC　
14．BC
15.AC
16.CD
17.3x＋4y＋5＝0
18.x＝2或4x－3y－5＝0
19.(－1，0)　(5，－6)
20.(－1，0)　－
21．2x＋y－10＝0　
22.－2　
23．(－8，－3)
24．－1或或－2
优化提升
25.A
26.ABD
27．AD
28.5
29.
30．2x－y－5＝0
21．x－2y＋4＝0
32．6第8部分第3节《圆的方程》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2,0] D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)
A．(0,2) B．(3,3)
C．(－2,2) D．(4,1)
【知识归纳】
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面上到 的距离等于 的点的集合叫做圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C_______
半径为_______
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心C_______
半径r＝_______
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|常用结论：
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
3．圆心在任一弦的垂直平分线上．
【题型展示】
题型一　圆的方程
例1　(1)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．
(2)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________.
跟踪训练1　(1)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．
(2)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝4
题型二　与圆有关的轨迹问题
例2　已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．
跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
题型三　与圆有关的最值问题
命题点1　利用几何性质求最值
例3　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
命题点2　利用函数求最值
例4　设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．
延伸探究　若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为________．
跟踪训练3　(1)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．
(2)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)
A．6 B．25 C．26 D．36
基础夯实
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
2.圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)
A.(x＋3)2＋(y－1)2＝5
B.(x－1)2＋(y－3)2＝5
C.(x＋1)2＋(y＋3)2＝5
D.(x－1)2＋(y＋3)2＝5
3.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A.(－∞，－)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
5．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于(　　)
A. 2 B. C．3 D．9
6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
7.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A.(2，3)，3 B.(－2，3)，
C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，
8．已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　)
A．－6
C．k>－6 D．k<
9．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－2,1)
10．圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2y－3＝0 B．x2＋y2－2y－15＝0
C．x2＋y2＋2y－3＝0 D．x2＋y2＋2y－15＝0
11.已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x－4y－8＝0
B.x2＋y2＋2x－4y－8＝0
C.x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
D.x2＋y2＋2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
12.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可以为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
13．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．
14．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________.
15.若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________.
16.已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________.
17.已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为________.
18.已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
19.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.
20．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
21．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．
(1)求圆C1的方程；
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标．
优化提升
22．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则△PAB面积的最大值是(　　)
A. B．2 C．2 D．4
23．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
24．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的可能取值为(　　)
A．－12 B．－8 C．6 D．－1
25．(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　)
A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上
B．圆M的面积的最大值为50π
C．圆M的半径的最小值为1
D．满足条件的所有圆M的半径之积为8
26.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是(　　)
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
27.已知直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝________；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝90°，则实数m的取值范围是________.
28.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．B　2.D　3.AD
【知识归纳】
1．定点　定长　(a，b)　r
　
2．(1)圆外　(2)圆上　(3)圆内
【题型展示】
例1 (1)(x－1)2＋(y＋1)2＝5
(2)(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝
跟踪训练1 (1)2＋2＝
(2)A
例2 解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，
因为M(1,0)，N(2,0)，
且|PN|＝|PM|，
所以
＝·，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为
x2＋y2＝2.
(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以＝2，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，
解得
又点A在轨迹C上运动，
由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，
化简得(x－4)2＋y2＝，
即点Q的轨迹方程为
(x－4)2＋y2＝.
跟踪训练2 解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得
x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得
(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
因此动点M的轨迹方程为
(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
例3 解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．
设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
∴max＝，min＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，
即b＝－2±，
故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2
＝7－4.
例4 12
延伸探究 10
跟踪训练3 (1)　(2)D
基础夯实
1．D　
2.C
3.B
4.A
5.C　
6.D
7.D
8.A　
9.C　
10.A　
11.C
12.AB
13．(－2，－4)　5
14．x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
15.2
16.
17.5－3
18.解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.
19.解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y).
由题设知·＝0，
故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，
即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，
故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S△POM＝××＝，
故△POM的面积为.
20．解　设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，
则D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由
得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|
＝＝5，
所以圆C的方程为
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5,0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.
21．解　(1)由题意知AB的中点坐标为，kAB＝＝1，
∴AB的垂直平分线为y＝5－x，
联立
解得
即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立
解得
∴点P的坐标为.
优化提升
22．C
23．D
24．ABD
25．AB
26.ABD
27.　[－16，4]
28.解　(1)由题意得F(1，0)，l的方程为
y＝k(x－1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
圆的半径为x0＋＝4或12，
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.第8部分第4节《直线与圆、圆与圆的位置关系》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　)
A．4 B．2 C. D.
3．若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为(　　)
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
【知识归纳】
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0
几何观点 d r d r d r
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离
外切
相交
内切
内含
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝ .
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝ .
常用结论：
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
【题型展示】
题型一　直线与圆的位置关系
命题点1　位置关系的判断
例1　(1)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
(2)(多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
命题点2　弦长问题
例2　(1)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则当|AB|＝2时，直线l的方程为________．
(2)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k的值为(　　)
A．± B. C. D．±
命题点3　切线问题
例3　已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
命题点4　直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4　已知点P(x0，y0)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________．
跟踪训练1　(1)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最大值为(　　)
A．2 B．2 C．3 D．2
(2)在平面直角坐标系中，直线xcosα＋ysinα＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
题型二　圆与圆的位置关系
例5　(1)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
跟踪训练2　(1)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________．
(2)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为(　　)
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
基础夯实
1.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
4.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－2ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5．若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1,0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－18,6] B．[－2,6] C．[－2,18] D．[4,18]
6．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
7．在平面直角坐标系中，圆O1：(x－1)2＋y2＝1和圆O2：x2＋(y－2)2＝4的位置关系是(　　)
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
8．已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2,2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为(　　)
A．2 B. C. D.
9.(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0，1)，则下列结论正确的是(　　)
A.实数a的取值范围为a＜3
B.实数a的取值范围为a＜5
C.直线l的方程为x＋y－1＝0
D.直线l的方程为x－y＋1＝0
10.(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：y－1＝k(x－3).则以下几个命题正确的有(　　)
A.直线l恒过定点(3，1)
B.圆C被y轴截得的弦长为4
C.直线l与圆C相交或相切
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
11．(多选)在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．(多选)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝25，圆C2：(x＋1)2＋(y＋a)2＝4，若圆C1与圆C2内切，则实数a的值是(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
13．若直线(m＋1)x＋my－2m－1＝0与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长|MN|的最小值为________．
14．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接圆的方程是________．
15.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
16.已知点P(1，2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则实数k的取值范围是________.
17.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.
18.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1).
19.已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
(1)求|PA|的最大值与最小值；
(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
20．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
21．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交；
(2)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线m的方程．
优化提升
22．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
23．设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧AB上，则圆C2的半径的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
24．(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　)
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
25.(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|＝3
D.当∠PBA最大时，|PB|＝3
26．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，则sin∠AOB＝________.
27.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r＞0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.
28.已知抛物线P：y2＝2px(p＞0)上的点到其焦点的距离为1.
(1)求p和a的值；
(2)设直线l：y＝x＋m交抛物线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交抛物线P于两点C、D，求证A、B、C、D四点共圆.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.B　3.D
【知识归纳】
1．<　＝　>　>　＝　<
2．d>r1＋r2　d＝r1＋r2
|r1－r2|d<|r1－r2|
3．(1)2
(2)·
【题型展示】
例1 (1)C
(2)ABD
例2 (1)x＝0或3x＋4y－4＝0
(2)D
例3 解　由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2
＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
∴过点P的切线的斜率为－＝1，
∴过点P的圆C的切线方程是
y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外．
当过点M的直线的斜率不存在时，
直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离
d′＝＝r＝2，
解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为
x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝
＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
例4 2
跟踪训练1 (1)D　(2)D
例5 (1)x－2y＋4＝0　2
(2)C
跟踪训练2 (1)x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)
(2)B
基础夯实
1.A
2.B
3.B
4.D
5.C　
6．B　
7.B　
8.D　
9.AD
10.ABD
11.AB
12.BC　
13．2　
14.(x－2)2＋(y－1)2＝5
15.2
16.
17.8
18.解　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0(b≠－4)，
则＝，∴b＝1±2，
∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.
(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，
则＝，∴m＝±5，
∴切线方程为2x＋y±5＝0.
(3)∵kAC＝＝，
∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，
∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，
即3x＋y－11＝0.
19.解　(1)∵直线4x＋3y＋1＝0
被圆C: (x＋3)2＋(y－m)2＝13(m<3)所截得的弦长为4，∴圆心到直线的距离
d＝＝＝1.
∵m<3，∴m＝2，
∴|AC|＝＝，
∴|PA|的最大值与最小值分别为
＋，－.
(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，∴△MON内切圆的半径为＝5－.
20．解　两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2
＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2×
＝2.
21．(1)证明　转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
由解得
所以直线l恒过点(2,3)，
由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得点(2,3)在圆内，
即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
(2)解　由C的圆心为(3,4)，半径r＝2，
易知此时直线m的斜率存在且不为0，
故设直线m的方程为
x＝my＋1(m≠0)，
直线m的一般方程为my－x＋1＝0，
圆心到直线m的距离
d＝＝，
所以|AB|＝2
＝2，
所以S2＝2
＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，
当t＝2时，S＝4，
所以△ABC面积的最大值为2，
此时由2＝，
得7m2－8m＋1＝0，
得m＝1或m＝，符合题意，
此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
优化提升
22．D
23．B
24．ACD
25.ACD
26.
27.[－1，＋1]
28.(1)解　y2＝2px的准线为x＝－，因为点到其焦点的距离等于该点到准线距离，
所以＋＝1，故p＝，即y2＝x，又在y2＝x上，所以a＝±.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得y2－y＋m＝0，
则y1＋y2＝1，y1·y2＝m，
且1－4m＞0，即m＜，
则|AB|＝|y1－y2|＝，
且线段AB中点的纵坐标为＝，
则x＝－m，
所以线段AB中点为M，
因为直线CD为线段AB的垂直平分线，直线CD的方程为y＝－x＋1－m，
联立
得y2＋y＋m－1＝0，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)，
则y3＋y4＝－1，y3·y4＝m－1，
故|CD|＝|y3－y4|＝，
线段CD中点为N，
因为＝(10－8m)＝，
|AN|2＝|AM|2＋|MN|2＝＋2＝，
所以|AN|＝|CD|，
所以点A在以CD为直径的圆上，同理点B在以CD为直径的圆上，所以A、B、C、D四点共圆.第8部分第5节《椭圆》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　　)
A．6 B．3 C．4 D．2
2．若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)
A．3 B．2＋
C．2 D.＋1
3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【知识归纳】
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围
顶点
轴长 短轴长为 ，长轴长为______
焦点
焦距 |F1F2|＝____
对称性 对称轴：________，对称中心：______
离心率
a，b，c的关系
常用结论：
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．
(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.
(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(4)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(6)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
【题型展示】
题型一　椭圆的定义及其应用
例1　(1)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
延伸探究　若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．
(2)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．双曲线的一支
跟踪训练1　(1)若F为椭圆C：＋＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为(　　)
A．4 B．8 C．10 D．20
(2)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(x≠0)
B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(x≠0)
D.＋＝1(y≠0)
题型二　椭圆的标准方程
命题点1　定义法
例2　已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
命题点2　待定系数法
例3　已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为________．
跟踪训练2　(1)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1(－1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
(2)“1A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三　椭圆的几何性质
命题点1　离心率
例4　(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
(2)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1且斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率为(　　)
A.＋1 B.－1
C. D.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)问题
例5　(1)如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1(b>0)的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
(2)已知F1，F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，椭圆的离心率为，M为椭圆上一动点，则∠F1MF2的最大值为(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练3　(1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　)
A.[) B.[)
C.[) D.(]
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF1 交椭圆E于点B，以AB为直径的圆过F2，则椭圆E的离心率是(　　)
A. B. C. D.
基础夯实
1．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2.若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5.椭圆＋＝1的焦点坐标为(　　)
A.(±3，0) B.(0，±3)
C.(±9，0) D.(0，±9)
6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋y2＝1
7．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝|PF2|，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是(　　)
A.() B.()
C.[) D.(]
9.(多选)对于曲线C：＋＝1，下面四个说法正确的是(　　)
A.曲线C不可能是椭圆
B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
10.(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0＜m＜)与椭圆交于A，B两点，则(　　)
A.|AF|＋|BF|为定值
B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]
C.当m＝时，△ABF为直角三角形
D.当m＝1时，△ABF的面积为
11．(多选)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的标准方程可以是＋＝1
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2
12．(多选)椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中正确的是(　　)
A．若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得·＝0
C．椭圆C的离心率为
D．若P为椭圆＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3
13．已知B(－，0)是圆A：(x－)2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
14．已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．
15.若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________.
16.已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________.
17.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________.
18.如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
19.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的标准方程．
21．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
优化提升
22.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
23.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A.(] B.(]
C.[) D.[)
24．(多选)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是(　　)
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
25．(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，M()为椭圆C上一点，则下列结论正确的是(　　)
A．△MF1F2的周长为6
B．△MF1F2的面积为
C．△MF1F2的内切圆的半径为
D．△MF1F2的外接圆的直径为
26．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为________．
27. 甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点．现已知椭圆C：＋＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cos∠AMB＝－，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________．
28.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.A　3.C
【知识归纳】
1．常数　焦点　焦距
2．－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
2b　2a　F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)　2c
x轴和y轴　原点　e＝(0a2＝b2＋c2
【题型展示】
例1 (1)
延伸探究 解　∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2－4)
＝4a2－16，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1||PF2|＝4.
(2)A
跟踪训练1 (1)D　(2)A
例2 D
例3 ＋＝1
跟踪训练2 (1)B
(2)A
例4 (1)A
(2)B
例5 (1)4
(2)A
跟踪训练3 (1)C
(2)D
基础夯实
1．D　
2.C
3.D
4.B
5.B
6.B　
7.B　
8.A
9.CD
10.ACD
11．CD
12．ABD
13.＋y2＝1　
14.＋＝1　1
15.
16.＋＝1
17.
18.解　(1)∵|AF1|＝|AF2|＝a，
且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
∴2a2＝4c2，∴a＝c，∴e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，解得a2＝3，
∴b2＝a2－c2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
19.解　(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.
(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，
·＝－1，＋＝1，
即c|y|＝16，①
x2＋y2＝c2，②
＋＝1.③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，
故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞).
20．解　(1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为b，
即＝b，所以a＋c＝b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝＝，
即a＝2c，①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，
则|PF1||PF2|sin 60°＝，
所以|PF1||PF2|＝4，
由方程组
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为
＋＝1.
21．(1)解　不妨设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cos 60°＝
＝，
即＝，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝.
又因为|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，
所以e≥.
又因为0所以所求椭圆的离心率的取值范围是.
(2)证明　由(1)可知|PF1|·|PF2|＝，
所以＝|PF1|·|PF2|sin 60°
＝××
＝，
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
优化提升
22.B
23.D
24．ACD
25．AC
26.
27.
28.解　(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，
x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝
＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为＋＝1.第8部分第6节《双曲线》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
2．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1或5
3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
【知识归纳】
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 ．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点
焦距
范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：______
顶点
轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ，实半轴长： ，虚半轴长：_____
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈_________
a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0)
常用结论：
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
【题型展示】
题型一　双曲线的定义及应用
例1 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为__________．
(2)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x>2)
B.－＝1(x>3)
C.＋＝1(0D.＋＝1(0跟踪训练1　(1)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1)
题型二　双曲线的标准方程
例2　(1)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
(2)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．x2－＝1 D.－y2＝1
跟踪训练2　(1)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型三　双曲线的几何性质
命题点1　渐近线
例3　(1)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．
(2)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.
命题点2　离心率
例4　(1)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．
(2)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
跟踪训练3　(1)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．
(2)(多选)已知双曲线C：＋＝1(0A．双曲线C的焦点在x轴上
B．双曲线C的焦距等于4
C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于
D．双曲线C的离心率的取值范围为()
基础夯实
1．双曲线－＝λ(λ>0)的离心率为(　　)
A. B. C.或 D.
2.双曲线－＝1(a>0，b>0)过点(，)，离心率为2，则双曲线的方程为(　　)
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　)
A. B. C. D.
4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝(　　)
A. B. C. D.
5.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)
A. B.4 C.2 D.
6. “mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
8．方程x2＋(cos θ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为(　　)
A．两条直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
9.(多选)在平面直角坐标系中，有两个圆C1：(x＋2)2＋y2＝r和C2：(x－2)2＋y2＝r，其中常数r1，r2为正数且满足r1＋r2＜4，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是(　　)
A.两个椭圆
B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线
D.一个椭圆和一个双曲线
10.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C.点P的横坐标为±1
D.△PF1F2的面积为
11．(多选)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　)
A．|PF1|－|PF2|＝2
B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的离心率为
D．|＋|≥2
12．(多选)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上的一点，PF1与C的左支交于点Q.已知＝2，且|PQ|＝|PF2|，则(　　)
A．△PQF2为直角三角形
B．△PQF2为等边三角形
C．C的渐近线方程为y＝±x
D．C的渐近线方程为y＝±x
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．
14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．
15.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为________.
16.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________.
17.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为________.
18.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
19.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率.
20．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)．
(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．
21.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点(4，－)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；
(3)在(2)的条件下，若点M 在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．
优化提升
22．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．3 C. D.
23．已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是∶，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
24．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－y＝0，则C的方程为(　　)
A.－y2＝1或y2－＝1
B．x2－＝1或y2－＝1
C.－y2＝1或－x2＝1
D．x2－＝1或－x2＝1
25．(多选)设F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过左焦点F1且斜率为的直线l与C在第一象限相交于一点P，则下列说法正确的是(　　)
A.直线l倾斜角的余弦值为
B.若|F1P|＝|F1F2|，则C的离心率e＝
C.若|PF2|＝|F1F2|，则C的离心率e＝2
D.△PF1F2不可能是等边三角形
26.(多选)已知双曲线E：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是(　　)
A．若|PF1|·|PF2|＝2，则·＝0
B．若＝，则双曲线的离心率e∈(1，＋1]
C．△F1PQ周长的最小值为8
D．△AOB(O为坐标原点)的面积为定值
27.已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且≤∠F1AF2≤，则该双曲线离心率的取值范围为________.
28.已知曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.C　3.17
【知识归纳】
1．绝对值　小于　焦点　焦距
2．F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)　|F1F2|＝2c
x≤－a　x≥a　坐标轴　原点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)　A1A2　2a　2b　a　b　y＝±x　y＝±x　(1，＋∞)　a2＋b2
【题型展示】
例1 (1)2
(2)A
跟踪训练1 (1)4
(2)C
例2 (1)D
(2)A
跟踪训练2 (1)D
(2)A
例3 (1)4x2－y2＝1
(2)－3
例4 (1)2((1，]内的任意值均可)
(2)A
跟踪训练3 (1)y＝±x
(2)ACD
基础夯实
1．B　
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C　
7.D　
8.B
9.BC
10.ACD
11．CD
12．BC
13．y＝±x　
14.
15.x±y＝0
16.＋1
17.
18.(1)解　∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)证明　法一　由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.
∴·＝0.
法二　由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
19.解　(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，
所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，
所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，
所以x0＝y0，①
依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，
将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，
即y0＝c，所以x0＝c，
所以点A的坐标为，
代入双曲线方程得－＝1，
即b2c2－a2c2＝a2b2，②
又因为a2＋b2＝c2，
所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得
c4－2a2c2＋a4＝0，
所以3－8＋4＝0，
所以(3e2－2)(e2－2)＝0，
因为e>1，所以e＝，
20．解　(1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)因为PF1⊥PF2，
所以＝|PF1|·|PF2|，
因为△PF1F2的面积为9，
所以|PF1|·|PF2|＝18，
又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，
又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
21．(1)解　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2a，即c＝a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－)代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明　由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以F1F2为直径的圆上．
(3)解　由(2)知，点M坐标为(3，)或(3，－)，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为(3，)，直线MF2的方程为y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，
即y＝(－2－)x＋(6＋4)，
代入双曲线方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，
∵M的纵坐标为，
∴N的纵坐标为＝＝－(＋2)，
∴△F1MN的面积为S＝|F1F2|·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4.
优化提升
22．B
23．C　
24．A
25．AD
26.ACD
27.[，]
28.(1)解　依题意有＝，c－＝，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明　设直线l的方程为
y＝x＋m(m＞0)，
B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，
由得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，
又·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，
∴m＝0(舍)或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，
∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，
∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴.
∴过A、B、D三点的圆与x轴相切.第8部分第7节《抛物线》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　)
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
【知识归纳】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离
的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率 e＝_____
常用结论：
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F()的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
【题型展示】
题型一　抛物线的定义及应用
例1　((1)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．
2)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)
A．2 B．2 C．3 D．3
跟踪训练1　(1)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
(2)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　)
A．4 B．3 C. D.
题型二　抛物线的标准方程
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
跟踪训练2　(1)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝－2 D．x＝－4
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝9x
C．y2＝x D．y2＝3x
题型三　抛物线的几何性质
例3　(1)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．p＝4 B.＝
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
(2)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于(　　)
A．6 B．8 C．9 D．12
跟踪训练3　(1)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________.
(2)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．
基础夯实
1.抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是(　　)
A.2 B.1 C. D.
2.若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
3.设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为(　　)
A.() B.() C.(1，0) D.(2，0)
4．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于(　　)
A．3 B．4 C. D.
5.设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6．抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　)
A．x＝ B．x＝－
C．y＝ D．y＝－
7．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　)
A．6 B．4 C．3 D．2
8．在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
9.(多选)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　)
A.C的准线方程为x＝－4
B.F点的坐标为(0，4)
C.|FN|＝12
D.三角形ONF的面积为16(O为坐标原点)
10.(多选)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点.若△ABF的面积为9，则(　　)
A.|BF|＝3
B.△ABF是等边三角形
C.点F到准线的距离为3
D.抛物线C的方程为y2＝6x
11．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
12．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A()，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　　)
A．C的准线方程为x＝
B．b＝
C.·＝2
D.＋＝
13. 如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．
14．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.
15.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
16.已知直线l是抛物线y2＝2px(p＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________.
17.直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，＋＝________.
18.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.
(1)求该抛物线的方程；
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
19.已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点()作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点.
20．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
21．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点()的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
优化提升
22.设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)
A.y2＝4x或y2＝8x
B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x
D.y2＝2x或y2＝16x
23．在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于(　　)
A．4 B．2
C. D.
24.(多选)设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A.|AB|≥4
B.|OA|＋|OB|＞8
C.若点P(2，2)，则|PA|＋|AF|的最小值是3
D.△OAB面积的最小值是2
25．(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P()射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是(　　)
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线
26．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．
27．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则的值是________．
28.已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E()为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．A　2.B　3.B
【知识归纳】
1．相等　焦点　准线
2.　　
　x＝－　x＝
y＝－　y＝　x轴　y轴
(0,0)　1
【题型展示】
例1 (1)42或22
(2)B
跟踪训练1 (1)－4
(2)D
例2 解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．
又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.
(2)∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝x或x2＝－y.
(3)令x＝0得y＝－5；
令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为
x2＝－20y或y2＝－60x.
跟踪训练2 (1)B
(2)D
例3 (1)ABC
(2)D
跟踪训练3 (1)16
(2)x＝－
基础夯实
1.D
2.D
3.B
4.B
5.C
6．A　
7.D　
8.D　
9.ACD
10.BCD
11．ACD　
12．BD
13．2　
14.5　4
15.2
16.y2＝8x
17.2　1
18.解　(1)抛物线的焦点坐标为，则直线AB的方程是y＝2，
与y2＝2px联立，化简得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝.又|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.
(2)由p＝4，4x2－5px＋p2＝0得x2－5x＋4＝0.
又x1＜x2，
从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，
从而A(1，－2)，B(4，4).
设＝(x3，y3)，所以(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)，
又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1).
即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.
19.(1)解　把P(1，1)代入y2＝2px得p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x，
焦点坐标为，准线方程为x＝－.
(2)证明　∵BM⊥x轴，
∴设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x1，yA)，B(x1，yB)，
根据题意显然有x1≠0.
若要证A为BM的中点，
只需证2yA＝yB＋y1即可，
左右同除以x1有＝＋，
即只需证明2kOA＝kOB＋kOM成立，其中kOA＝kOP＝1，kOB＝kON.
当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN斜率存在且不为零.
设直线MN：y＝kx＋(k≠0)，
联立消y得，k2x2＋(k－1)x＋＝0，
考虑Δ＝(k－1)2－4××k2＝1－2k，
由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<.
由根与系数关系可知：x1＋x2＝，①
x1x2＝.②
kOB＋kOM＝kON＋kOM＝＋＝＋＝2k＋.
将①②代入上式，有2k＋＝2k＋＝2k＋2(1－k)＝2，
即kON＋kOM＝kOB＋kOM＝2＝2kOA，
∴2yA＝yB＋y1恒成立，
∴A为BM的中点，得证.
20．解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，
焦点为F.
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝＝1，
M坐标为(－2,1)．
又直线l过点F(0,1)，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，
＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，
∴·＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，
∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
21．解　(1)由1＋＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝＋＝0，
即＋＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，
x1x2＝2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4.
优化提升
22.C
23．A
24.ACD
25．BCD
26．y2＝4x
27.
28.(1)证明　设D，A(x1，y1)，
则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解　由(1)得直线AB的方程为
y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|
＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE的面积
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M为线段AB的中点，则M.
因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.第8部分第8节《直线与圆锥曲线的位置关系》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【习题导入】
1．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
2．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A. B．－
C．± D．±
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. C. D.
【知识归纳】
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ 0；直线与圆锥曲线相切 Δ 0；直线与圆锥曲线相离 Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝___________________
或|AB|＝|y1－y2|
＝ .
【题型展示】
例1　(1)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(　　)
A．1 B. C. D.
(2)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有(　　)
A．1个 B．至多1个
C．2个 D．0个
跟踪训练1　(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
(2)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
题型二　弦长问题
例2　已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆的右顶点为B，过F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程．
跟踪训练2　已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
题型三　中点弦问题
例3　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
跟踪训练3　(1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A．(1，－1) B．(2,0)
C.() D．(1,1)
(2)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，相交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．
基础夯实
1．已知直线l：kx＋y＋1＝0，椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
2．直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　)
A. B. C．1 D．2
3．已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－，) B．[1，)
C．[－，] D．(1，)
4.已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.2
5.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　　)
A.3 B. C.2 D.
6.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
7.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
8.设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
9．已知A，B分别是椭圆C：＋y2＝1的右顶点和上顶点，P为椭圆C上一点，若△PAB的面积是－1，则P点的个数为(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
10.(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A.C的方程为－y2＝1
B.C的离心率为
C.曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D.直线x－y－1＝0与C有两个公共点
11．(多选)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　)
A．y1y2为定值
B．k1k2为定值
C．y1＋y2为定值
D．k1＋k2＋t为定值
12．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c.直线l：y＝k(x＋c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　)
A．△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则kOM·k＝
C．若·＝3c2，则椭圆的离心率的取值范围是[]
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率e＝
13．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π，若椭圆的离心率为，则|AB|＝________.
14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为的直线l与C交于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为，则F到C的准线的距离为________．
15.双曲线－＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为________.
16.过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________.
17.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________.
18.已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2，离心率e＝，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
(3)若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程.
19.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.
20．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点E()，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．
21．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程．
优化提升
22．已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(　　)
A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4|
C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2|
23．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则在椭圆上一点A(x0，y0)处的切线方程为＋＝1，试运用该性质解决以下问题：椭圆C1：＋y2＝1，O为坐标原点，点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，则△OCD面积的最小值为(　　)
A．1 B. C. D．2
24.(多选)已知椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k≠0)与C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是(　　)
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2＜90°
C.直线BE的斜率为k
D.S四边形AF1BF2∈(0，4]
25．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|＝|NF|，则直线AB的斜率为________．
26．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
27.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________.
28.在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
参考答案：
基础摸查
【习题导入】
1．C　2.C　3.D
【知识归纳】
1．>　＝　<
2.
【题型展示】
例1 (1)BC
(2)C
跟踪训练1 (1)(1,2)
(2)A
例2 解　(1)由得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知，直线的斜率存在且不为0，F1(－1,0)，B(2,0)，
设直线l的方程为x＝my－1，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，
即y1＋y2＝，
y1y2＝.
又S△BMN＝|BF1|·|y1|＋|BF1|·|y2|
＝|BF1|·|y1－y2|
＝|BF1|·
＝＝，
解得m＝±1，
所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
跟踪训练2 (1)解　由题意得，
椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
·
＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：
y＝kx＋m(km<0)，
即kx－y＋m＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，
所以m2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，
x1x2＝，
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：
y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是
|MN|＝.
例3 解　(1)因为离心率e＝＝，所以a＝c，
因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.
因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，
所以b＝c＝4，a＝4，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由题意得，直线l的斜率存在．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得＋＝0，
所以＝－·.
因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以＝1，
所以直线l的斜率为1，
故直线l的方程为y－1＝x＋2，
即x－y＋3＝0.
跟踪训练3 (1)A
(2)y＝±x
基础夯实
1．C　
2.C　
3.D
4.A
5.D
6.A
7.C
8.A
9．C
10.AC
11．ABD
12．AC
13．4　
14.5
15.
16.－＝1
17.8
18.解　(1)由已知，椭圆方程可设为
＋＝1(a＞b＞0).
∵长轴长为2，离心率e＝，
∴b＝c＝1，a＝.
所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l过椭圆右焦点F(1，0)，且斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由得3y2＋2y－1＝0，
解得y1＝－1，y2＝.
∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|
＝|y1－y2|＝.
(3)当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝1，此时∠POQ小于90°，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－1).
由可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
∴y1y2＝.
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形 ·＝0，
由·＝x1x2＋y1y2＝＋＝0，得k2＝2，
∴k＝±.∴所求直线的方程为
y＝±(x－1).
19.解　(1)由已知可得，＝，c＝2，
所以a＝.
又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)＞0.
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以＝，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).
所以解得m＝±1.
此时，四边形OPTQ的面积
SOPTQ＝2S△OPQ＝2×·|OF|·|y1－y2|
＝2＝2.
20．(1)解　因为椭圆的离心率为
e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是
＋＝1.
(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为
y＝k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有kAB＝＝－，
AB中点的坐标为(x0，y0)，
则
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)
＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0，
又y0＝k，
解得x0＝1，y0＝，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以＋<1，
即＋<1，
解得－2综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)．
21．解　(1)依题意，c＝2，
所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0将点P(5，)代入上式，
得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为
y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
所以|AB|＝·＝·.
又原点O到直线l的距离
d＝，
所以S△OAB＝d·|AB|＝××·＝.
又S△OAB＝2，
即＝1，
所以k4－k2－2＝0，
解得k＝±，满足(*)．
故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为
y＝x＋2和y＝－x＋2.
优化提升
22．A
23．C
24.ABC
25.
26．13
27.
28.解　(1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2，
所以点M的轨迹C是以F1，F2分别为左、右焦点的双曲线的右支.
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以点M的轨迹C的方程为
x2－＝1(x≥1).
(2)设T，由题意可知直线AB，PQ的斜率均存在且不为零，设直线AB的方程为y－t＝k1(k1≠0)，直线PQ的方程为y－t＝k2(k2≠0)，
由
得(16－k)x2－2k1x－－16＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由题意知16－k≠0，
则xAxB＝eq \f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－k)，
xA＋xB＝eq \f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k)，
所以|TA|＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))
＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(1,2)))，
|TB|＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))
＝eq \r(1＋k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xB－\f(1,2)))，
则|TA|·|TB|
＝(1＋k)
＝(1＋k)＝
(1＋k)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2)))\s\up12(2)－16,16－k)－\f(1,2)×\f(2k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(k1,2))),16－k)＋\f(1,4)))
＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16).
同理得|TP|·|TQ|＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16).
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16)＝eq \f(（1＋k）（t2＋12）,k－16)，
所以k－16＋kk－16k＝k－16＋kk－16k，
即k＝k，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.
故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.第8部分第9节《圆锥曲线压轴小题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　离心率范围问题
例1　(1)已知双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，点F1，F2为双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线相交于点P(点P在第一象限)，若∠PF1F2≤，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.[) B．[＋1，＋∞)
C.(] D．(1，＋1]
(2)已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，若直线x＝与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A.(] B.()
C．[－1,1] D.[)
跟踪训练1　(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是(　　)
A.(] B.[) C.(] D.[)
(2)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
题型二　圆锥曲线中二级结论的应用
命题点1　椭圆、双曲线中二级结论的应用
例2　(1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，过原点O的直线交C于A，B两点(点B在右支上)，双曲线右支上一点P(异于点B)满足·＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D．3
(2)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆半径为r＝，则该椭圆的长轴长为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．12
跟踪训练2　(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　　)
A. B. C．－1 D．－
(2)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
命题点2　抛物线中二级结论的应用
例3　(1)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．
(2)已知抛物线y2＝4x过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为(　　)
A．2 B．2＋3 C．4 D．3＋2
跟踪训练3　已知A，B是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足＝3，S△OAB＝|AB|，则|AB|的值为(　　)
A. B. C．4 D．2
题型三　圆锥曲线与其他知识的综合
例4　(多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则(　　)
A．该椭圆的离心率为
B．该椭圆的离心率为2－
C．该椭圆的焦距为
D．该椭圆的焦距为2－1
跟踪训练4　(多选)如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E两点，则(　　)
A．双曲线C的方程为－＝1
B．双曲线－x2＝1与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
优化提升
1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.(]
C.() D.[)
2．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为F(－2,0)，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，且AB的中点为N(－3，－1)，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2.若点M关于点F2的对称点为M′，且|M′N|＝|MN|，则C的离心率是(　　)
A. B. C．3 D．5
4．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14 C．12 D．10
5．(多选)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A1，A2，点P是C上异于A1，A2的一点，则下列结论正确的是(　　)
A．若C的离心率为，则直线PA1与PA2的斜率之积为－
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的取值范围是()
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是(]
6．(多选)已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的右支上，若∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则下列命题正确的是(　　)
A．若θ＝60°，则S＝4
B．若S＝4，则|PF2|＝2
C．若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,4)
D．若△PF1F2的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为9x2－＝1
7．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)且与抛物线交于A，B两点，则|AF|－的最小值为________．
8．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．
(1)在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；
(2)在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为____________(单位：cm)．
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 (1)D
(2)D
跟踪训练1 (1)C
(2)A
例2 (1)A
(2)D
跟踪训练2 (1)B
(2)D
例3 (1)64
(2)D
跟踪训练3 A
例4 BC
跟踪训练4 ABD
优化提升
1．C　
2.B
3．B
4．A
5．BD
6．ACD
7．2－2
8．(1)6　(2)第8部分第10节《圆锥曲线中求值与证明问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　求值问题
例1　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点()，焦距与长轴之比为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积；
(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求·的值．
例1　已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0]
(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]
题型二　证明问题
例2　若A()，B()，C(0,1)，D()四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆T的方程；
(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
跟踪训练2　已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.
(1)求C的标准方程；
(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．
基础夯实
1．如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.
(1)证明：直线BC∥x轴；
(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.
2．椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P()，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，求|AB|.
优化提升
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
4．在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值．
5.已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切.证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
6.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点A(2，1).
(1)求C的方程；
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值.
7.如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
8.已知点A(1，－)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|＝|AN|.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 解　(1)由已知可得可得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，＝(x0，x0＋3)，＝(x1，y1＋1)，
由＝3可得
解得
即点M，
因为点M在椭圆C上，
则＋2＝1，
可得x＝6，
因此，S△PMA＝S△PAB－S△MAB
＝|AB|·|x0|＝.
(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0联立
可得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，
Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2>0，
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
kNA＝＝，
直线NA的方程为
y＝x＋1，
kMB＝＝，
直线BM的方程为
y＝x－1，
可得＝
＝
＝
＝·
＝·
＝，解得y＝，
即点P，
因此，·＝t·＝1.
例2 (1)解　由于A，B两点关于原点对称，必在椭圆上，
则＋＝1，且＋<1，
∴(0,1)必在椭圆上，即有＝1，
则b＝1，a2＝2，
∴椭圆T的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立
得x2＋tx＋t2－1＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝t，
∴M，则kOM＝－，
联立
则可设P，Q，
∴|MP|·|MQ|＝··＝，
∵|ME|·|MF|＝|EF|2
＝(1＋k)(x1－x2)2
＝[(x1＋x2)2－4x1x2]
＝，
∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
跟踪训练2 (1)解　由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右．
设抛物线C的标准方程为
y2＝2px(p>0)，
则F.
由题意知AF⊥x轴，则点A的横坐标为，
将x＝代入y2＝2px，
可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，
得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.
(2)证明　由(1)可知A(1,2)，
B(1，－2)．
设直线l1的方程为x＝my＋1，
联立
得y2－4my－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
直线AM的方程为
y＝(x－1)＋2，
即y＝(x－1)＋2，
令x＝－1，解得y＝，
所以直线AM与准线的交点为，
直线BN的方程为
y＝(x－1)－2，
即y＝(x－1)－2，
令x＝－1，解得y＝.
所以直线BN与准线的交点为，
因为＝－
＝－＝1，
即＝，
所以直线AM，BN和l相交于一点．
基础夯实
1．证明　(1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，
设A，B，
所以直线AO的方程为y＝x，
由题意可得点C，
设直线AB的方程为x＝my＋2，
联立
整理可得y2－8my－16＝0，
所以y1y2＝－16，可得y2＝－，
所以yC＝y2，
所以BC∥x轴．
(2)因为准线方程为x＝－2，
由题意可得E(－2,0)，
＝，
＝，
因为BE⊥BF，
所以·＝0，
即y＋＝0，
解得y＝－32＋16，x2＝2－4，
由(1)可得x1x2＝＝＝4，
所以x1＝2＋4，
|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，
所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.
2．解　(1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，
∴b＝c，
∵椭圆过点P，
∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程
得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
∴
∵＝2，∴y1＝－2y2，
∴
∴22＝，∴m2＝，
∴|AB|＝·|y1－y2|
＝·|－3y2|
＝3·＝.
优化提升
3．(1)解　由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，
所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明　由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为
y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x1＋x2＝，
x1x2＝－>0，
所以3－k2<0，
所以x1－x2＝
＝.
设点M的坐标为(xM，yM)，
则
两式相减，得
y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，
又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)
＝k(x1－x2)，
所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，
解得xM＝；
两式相加，得2yM－(y1＋y2)
＝(x1－x2)，
又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)
＝k(x1＋x2)＋2t，
所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，
解得yM＝
＝xM.
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－，
所以xA＋xB＝，
yA＋yB＝.
点M的坐标满足
得xM＝＝，
yM＝＝，
故M为AB的中点，
即|MA|＝|MB|.
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线
y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为
y＝m(x－2)(m≠0)，
A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，
yB＝－.
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以xM＝＝，
yM＝＝，
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得xA＝，yA＝，
同理可得xB＝，yB＝－.
设AB的中点为C(xC，yC)，
则xC＝＝，
yC＝＝.
因为|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线
y－yC＝－(x－xC)，
即y－＝－上，
与y＝x联立，
得xM＝＝xC，
yM＝＝yC，
即点M恰为AB的中点，
故点M在AB上．
4．解　(1)由题意可知
A(－a,0)，B(a,0)，
设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，
△ABM的面积为
·2a·≤ab，
因为△ABM的面积最大值为2，
所以ab＝2，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝，
于是
所以椭圆C的标准方程为
＋＝1.
(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，
B(2,0)，
由题意可知直线l的斜率不为零，
所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得
(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设N(x2，y2)，
所以y1＋y2＝，
y1y2＝，
直线AM的方程为＝，
把x＝t代入方程中，
得y＝，
所以T，
于是k0＝
＝，k1＝，
k2＝，
因为k1，k0，k2成等差数列，
所以2k0＝k1＋k2 2·＝＋，化简得＝，
把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化简得
6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，
把y1＋y2＝，y1y2＝代入，得
＝(2t－8)y2，因为m∈R，
所以即t＝4.
5.
(1)解　由题意得椭圆半焦距
c＝且e＝＝，
所以a＝.
又b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝1，显然不合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2).
必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN的方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0.
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，即kx－y＋b＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
联立可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
其Δ＝(6kb)2－4(1＋3k2)(3b2－3)＝24k2>0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·
＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN的方程为
y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，即M，N，F三点共线，充分性成立.
综上，M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
6.
(1)解　由题设得＋＝1, ＝，
解得a2＝6，b2＝3，
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2).
若直线MN与x轴不垂直，
设直线MN的方程为y＝kx＋m，
代入＋＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①
由AM⊥AN，得·＝0，
故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.
将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)＋(m－1)2＋4＝0，
整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.
因为A(2，1)不在直线MN上，
所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1，
所以直线MN的方程为
y＝k－(k≠1).
所以直线MN过点P.
若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1).
由·＝0，
得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.
又eq \f(x,6)＋eq \f(y,3)＝1，所以3x－8x1＋4＝0.
解得x1＝2(舍去)，或x1＝.
此时直线MN过点P.
令Q为AP的中点，即Q.
若D与P不重合，则由题设知AP是
Rt△ADP的斜边，
故|DQ|＝|AP|＝；
若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.
综上，存在点Q，使得|DQ|为定值.
7.
解　(1)由已知，点C、D的坐标分别为
(0，－b)，(0，b)，
又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3，此时，λ＝1.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，
从而，·＋λ·
＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝
＝－－λ－2，
所以当λ＝1时，－－λ－2＝－3，
此时·＋λ·＝－3为定值.
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
8.
(1)解　由题意知，kOA·kl＝－·＝－＝－，
即a2＝4b2，①
又＋＝1，②
所以联立①②，解得
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则R(－x1，－y1)，由
得x2＋tx＋t2－1＝0，所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，
又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，
x1＋x2＝－t，x1·x2＝t2－1.
法一　要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，即证明kAQ＋kAR＝0.
由题意知，kAQ＋kAR＝＋
＝＝
＝
＝＝0，
所以|AM|＝|AN|.
法二　要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与y轴的交点M，N连线的中点S的纵坐标为－，即AS垂直平分MN即可.
直线AQ与AR的方程分别为
lAQ：y＋＝(x－1)，
lAR：y＋＝(x－1)，
分别令x＝0，得yM＝－，yN＝－，
所以yM＋yN＝＋－＝
－
＝－
＝－
＝－，
yS＝＝－，即AS垂直平分MN.
所以|AM|＝|AN|.第8部分第11节《圆锥曲线中范围与最值问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　范围问题
例1　已知抛物线E：y2＝2px(p>0)上一点C(1，y0)到其焦点F的距离为2.
(1)求实数p的值；
(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，且l1，l2的交点为Q，l1，l2与y轴的交点分别为M，N.求△QMN面积的取值范围．
跟踪训练1　已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M()在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．
题型二　最值问题
例2　已知椭圆C：＋＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线x＝被C截得的线段长为.
(1)求C的方程；
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且＝λ，求四边形ABF1F2面积的最大值．
跟踪训练2　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
基础夯实
1．已知O为坐标原点，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点P(，1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为k1，直线OB的斜率为k2，且k1k2＝－，求·的取值范围．
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，右顶点为A(1,0)，离心率为2，
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知B(0，)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．
优化提升
3．已知椭圆的两个焦点是F1(0，－2)，F2(0,2)，点P(，2)在椭圆上．
(1)求此椭圆的方程；
(2)过F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A，B，C，D四点，求四边形ACBD面积的取值范围．
4．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为p2(O为坐标原点)．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．
5.如图所示，点A，B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
6.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m＞0)在抛物线C上，且|FA|＝2，过点F作斜率为k的直线l与抛物线C交于P，Q两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△APQ面积的取值范围.
7.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值.
8.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点()在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求△ABQ面积的最大值.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 解　(1)因为点C(1，y0)到其焦点F的距离为2，
由抛物线的定义知1＋＝2，
解得p＝2.
(2)由(1)可知，抛物线E：y2＝4x，
设A，
B(y1≠0，y2≠0)，
设l：x＝ty＋1，联立
得y2－4ty－4＝0，
判别式Δ＝16t2＋16>0，故t∈R，
y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，
设l1：y－y1＝k()，
联立方程组
消去x，整理得
ky2－4y＋4y1－ky＝0，
所以Δ＝16－4k(4y1－ky)
＝4(4－4ky1＋k2y)＝0，
所以k＝，
则l1：y－y1＝()，
即y＝x＋，
令x＝0，得M()，
同理l2：y＝x＋，N()，
联立
得交点Q的横坐标为
xQ＝＝－1，
∴S△QMN＝|MN|·|xQ|
＝×1
＝
＝≥1，
∴△QMN面积的取值范围是[1，＋∞)．
例2 解　(1)∵e＝＝，
∴＝，∴c2＝a2，
∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，
∴椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2，
由 y＝±，
由题可知2＝，
解得a2＝3，
∴C：＋y2＝1.
(2)由＝λ，
得AF2∥BF1，如图，
延长BF1，AF2交椭圆于C，D两点，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为四边形ABCD的面积的一半．
由题知，BF1的斜率不为零，
故设BF1的方程为x＝my－，
联立
得(m2＋3)y2－2my－1＝0，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
∵Δ>0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝，
故|BC|＝·|y1－y2|＝，
O到BF1的距离d＝，
＝S四边形ABCD＝×4S△OBC
＝2××|BC|·d＝|BC|·d
＝·
＝2·＝2·
＝2·≤2×＝，
当且仅当＝，即m＝±1时取等号，
∴当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为.
跟踪训练1 解　(1)由题意知，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)，
根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为
＋＝4，
即2a＝4，所以a＝2，
又因为c＝，
可得b＝＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．
故设直线l的方程为
y＝kx＋m(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋x2＝，
x1x2＝，
所以kOA＋kOB＝＋
＝
＝2k＋＝2k＋
＝，
由kOA＋kOB＝－，
可得m2＝4k＋1，所以k≥－，
又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，
所以4k2－4k>0，
解得k<0或k>1，
综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)．
跟踪训练2 解　(1)由题设可知
解得
则C：－y2＝1.
(2)设点M的横坐标为xM>0，
当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，
易知点M到y轴的距离为xM＝2﹔
当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得
(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0，
Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)
＝0，
整理得4k2＝m2＋1，
联立整理得
(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＝0，
则x1＋x2＝－
＝－＝－，
则xM＝＝－>0，
即km<0，
则x＝＝4＋>4，
即xM>2，
此时点M到y轴的距离大于2.
综上所述，点M到y轴的最小距离为2.
基础夯实
1．解　(1)由题意可得
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋t，
联立
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，
则
又k1k2＝＝－，
故y1y2＝－x1x2且x1x2≠0，
即3t2－9≠0，则t2≠3，
又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，
所以＝
＝k2＋
＝k2＋
＝＝－，
整理得2t2＝9k2＋3≥3，
则t2≥且Δ>0恒成立．
·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2－x1x2＝x1x2
＝·＝3·
＝3，
又t2≥，且t2≠3，
故3∈[－3,0)∪(0,3)．
当直线l的斜率不存在时，x2＝x1，y2＝－y1，则k1k2＝－＝－，
又＋＝1，解得x＝，
则·＝x－y＝x＝3.
综上，·的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．
2．解　(1)∵a＝1，＝2，
∴c＝2，b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为
x2－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
线段MN的中点Q(x0，y0)，
联立
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意
即①
由根与系数的关系可得
x1＋x2＝，
x1·x2＝－，
则x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴kBQ＝＝
＝－，
∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m>0，③
由①②③得
m<－或0优化提升
3．解　(1)由题意知，c＝2，
因为焦点在y轴，设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
将点P的坐标代入上式得
＋＝1，
联立方程
解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图，当过F2 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为
y＝－x＋2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立直线AB与椭圆方程
得x2＋kx－＝0，
由根与系数的关系得
x1＋x2＝－，x1·x2
＝－，
线段AB的长为
|AB|＝|x1－x2|
＝×
＝4×，
同理联立直线CD与椭圆方程得到
|CD|＝×
|x3－x4|＝4×，
因为AB⊥CD，
所以四边形ACBD的面积
S＝|AB|·|CD|
＝16×
＝8×，
令f(k)＝·，t＝，
则有0当0所以≤S<8；
当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，
则直线AB的方程为y＝2，
将y＝2代入椭圆方程，
得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD的面积
S＝|AB|·|CD|＝8 ；
所以四边形ACBD面积的取值范围是.
4．解　(1)由题意可得
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
易知x1＝ty1＋1>0，
x2＝ty2＋1>0，
联立
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，
联立
消去x得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0.
所以y1＋y3＝－，
y1y3＝.
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty1＋2|
＝·(ty1＋2)．
同理可得
|BD|＝·(ty2＋2)，
所以|AC|＋|BD|
＝·[t(y1＋y2)＋4]
＝(t2＋1)
＝8，
令f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.
5.
解　(1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y).
∵PA⊥PF，∴·＝0，
则
可得2x2＋9x－18＝0，得x＝或x＝－6.
由于y＞0，故x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是.
(2)由(1)可得直线AP的方程是x－y＋6＝0，点B(6，0).
设点M的坐标是(m，0).
则点M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.
由椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，
得d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝＋15，
由于－6≤x≤6，
由f(x)＝＋15的图象可知，
当x＝时，d取最小值，且最小值为.
6.
解　(1)由抛物线的定义可得
|FA|＝xA＋＝1＋＝2，所以p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＞0恒成立，
由根与系数的关系得
x1＋x2＝，x1x2＝1，
因为AF⊥x轴，所以S△APQ＝×|AF|×|x1－x2|＝|x1－x2|＝
＝4＝4.
因为≤k≤2，令t＝，
所以S△APQ＝4，
所以≤S△APQ≤8，
所以△APQ的面积的取值范围为[，8].
7.
解　(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1，0)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2).
因为＝9，所以
可得
又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，
即(10y2)2＝4(10x2－9)，
化简得y＝x2－，
则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大.
联立y＝kx与y2＝x－消y，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
8.
解　(1)由题意知＋＝1.
又＝，解得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.
(ⅰ)设P(x0，y0)，＝λ，
由题意知Q(－λx0，－λy0).
因为eq \f(x,4)＋y＝1，
又＋＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋y))＝1，所以λ＝2，即＝2.
(ⅱ)设A(x1，y1)，B(x2，y2).
将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①
则有x1＋x2＝－，
x1x2＝.
所以|x1－x2|＝.
因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB的面积
S＝|m||x1－x2|＝
＝
＝2.
设＝t，
将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②
由①②可知0＜t≤1，
因此S＝2＝2，
故S≤2，
当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.
由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，
所以△ABQ面积的最大值为6.第8部分第12节《圆锥曲线中定点与定值问题》-2025届高考一轮复习-基础摸查+基础夯实+优化提升
基础摸查
【题型展示】
题型一　定点问题
例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M
跟踪训练1　已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B()两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点．
题型二　定值问题
例2　已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的.
(1)求曲线C的方程；
(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：为定值．
跟踪训练2　已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：为定值．
基础夯实
1．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，且过点P(3，)．
(1)求C的方程；
(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M.
2．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．
优化提升
3.如图，已知椭圆C1：＋＝1，椭圆C2：＋＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C1，C2于G，H点，且BH∥PA.
(1)证明：kBF·kBG为定值；
(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点；
(3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值．
4．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－，0)，B(，0)，动点E(x，y)满足直线AE与BE的斜率之积为－，记E的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．
5.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点.
6.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P()满足|PF1|＋|PF2|＝2a，且S△PF1F2＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M(4，0)的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且y1y2≠0，问在x轴上是否存在定点N，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，请说明理由.
7.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.
8.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)为抛物线C上一点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点B(1，－2)在抛物线C上，过点B作抛物线C的两条弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点.
9.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B，已知|AB|＝4，且点()在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上异于A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP、BP于点M、N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
11.椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，当m＝0时，·＝－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值.
12.已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.
(1)求直线l的斜率的取值范围；
(2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值.
参考答案：
基础摸查
【题型展示】
例1 解　(1)由题意知解得b＝c＝，
又a2－b2＝c2，则a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知M(2,0)，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2此时A，
B，
由·＝0得
·
＝0，
解得t＝或t＝2(舍)，即t＝.
若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.
所以x1＋x2＝，
x1x2＝.
由题意知·＝0，
即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，
易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，
即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，
整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，
因为k不恒为0，
故解得t＝或t＝2(舍)，
综上，当t＝时，以AB为直径的圆恒过点M.
跟踪训练1 (1)解　设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
由椭圆E过A(0，－2)，
B两点，
得解得
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明　当直线MN的斜率不存在时，lMN：x＝1，
由得y2＝，
∴y＝±.
结合题意可知M，
N，
∴过M且平行于x轴的直线的方程为y＝－.
易知点T的横坐标xT∈，
直线AB的方程为
y－(－2)＝×(x－0)，
即y＝x－2，
由得xT＝3－，
∴T.
∵＝，
∴H，
lHN：y－＝(x－1)，
即y＝x－2.
此时直线HN过定点(0，－2)．
当直线MN的斜率存在时，如图，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
lMN：y＝kx＋m(由直线MN过点P(1，－2)可得k＋m＝－2)．
由
得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，
Δ>0，
∴x1＋x2＝－，
x1x2＝.
过M且平行于x轴的直线的方程为y＝y1，
与直线AB的方程联立，
得
得xT＝，
∴T.
∵＝，∴H(3y1＋6－x1，y1)，
lHN：y－y2＝·(x－x2)，
即y＝x＋y2－
·x2.
令x＝0，得y＝y2－
＝
＝.
∵y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2
＝，
y1＋y2＝(kx1＋m)＋(kx2＋m)
＝k(x1＋x2)＋2m＝，
x1y2＋x2y1＝x1(kx2＋m)＋x2(kx1＋m)＝2kx1x2＋m(x1＋x2)
＝，
∴－(x1y2＋x2y1)＋3y1y2
＝＋
＝
＝，
－(x1＋x2)＋6＋3(y1＋y2)
＝＋6＋
＝
＝，
∴y＝＝－2，
∴直线HN过定点(0，－2)．
综上，直线HN过定点(0，－2)．
例2 (1)解　设P(x，y)，由已知得＝|y－4|，整理得＋＝1，即为曲线C的方程．
(2)证明　设经过点F且斜率为k(k≠0)的直线的方程为y＝kx＋1，与曲线C的方程联立得消去y整理得(4＋3k2)x2＋6kx－9＝0，
Δ＝36k2＋4×9×(4＋3k2)
＝144(1＋k2)>0恒成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则|MN|＝|x1－x2|
＝×＝，
x1＋x2＝－，
设线段MN的中点为T(x0，y0)，
则x0＝＝－，
y0＝kx0＋1＝，
线段MN的垂直平分线的斜率为
－，方程为
y－＝－，
令x＝0，解得y＝，
即为点H的纵坐标，
∴|FH|＝1－＝，
∴＝＝，
即为定值.
跟踪训练2 解　(1)∵虚轴长为4，
∴2b＝4，即b＝2，
∵直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，
∴＝2，∴a＝1，
故双曲线C的标准方程为
x2－＝1.
(2)由题意知，A(－1,0)，B(1,0)，
由题可知，直线l的斜率不能为零，故可设直线l的方程为x＝ny＋2，
设M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
联立
得(4n2－1)y2＋16ny＋12＝0，
∴y1＋y2＝－，
y1y2＝，
∴ny1y2＝－(y1＋y2)，
∵直线MA的斜率k1＝，
直线NB的斜率k2＝，
∴＝＝＝＝＝－，为定值．
基础夯实
1．解　(1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
则可设双曲线的方程为
－＝λ(λ≠0)，
将点P(3，)代入得－＝λ，
解得λ＝，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)显然直线BQ的斜率不为零，
设直线BQ：x＝my＋1，B(x1，y1)，
D(x2，y2)，A(x1，－y1)，
联立消去x，整理得
(m2－3)y2＋2my－2＝0，
依题意得m2－3≠0，
且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，
即m2>2且m2≠3，
y1＋y2＝－，y1y2＝－，
直线AD的方程为
y＋y1＝(x－x1)，
令y＝0，
得x＝＋x1
＝
＝
＝
＝＝＝3.
所以直线AD过定点M(3,0)．
2．(1)解　点A的横坐标为2，代入圆O得y＝2，
所以A(2，2)，
代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明　抛物线C：y＝，
则y′＝，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以切线PM的方程为
y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－，
同理切线PN的方程为
y＝x－，
联立解得点P，
设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，所以x1x2＝－4，
所以点P在y＝－1上，结论得证．
优化提升
3．(1)证明　设P(x0，y0)，
则＋＝1，可得y＝9－，
则kPA＝，kPB＝，
则kPA·kPB＝
＝＝－，
因为BG∥PA，
所以kBF·kBG＝kPA·kPB＝－.
(2)解　当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
则联立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，
由kBF·kBG＝·＝＝－，
得＝－，
约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1,0)；
当直线GF的斜率不存在时，
设GF的方程为x＝m，其中m≠2，
联立
解得y＝±，
则F，
G，
所以kBF·kBG＝－＝－，解得m＝1.
综上，直线GF过定点(1,0)．
(3)证明　设PA的方程为
y＝k1(x＋2)(k1>0)，
则解得E点的坐标为.
由(1)知P(x0，y0)，y＝9－，
由k1＝，则E点的坐标为.
同理，记PB的斜率为k2，则F点的坐标为，
由k2＝，则F点的坐标为，
则EF的斜率
kEF＝
＝，
所以直线EF的方程为y＋＝·.
令y＝0，得xQ＝，又xP＝x0，
故xPxQ＝x0·＝4.
4．(1)解　由A(－，0)，B(，0)，
E(x，y)可得kAE＝，
kBE＝，
由题意得×＝－，
化简得＋＝1(|x|≠)，
所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)．
(2)证明　由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x1，y1)，
Q(x2，y2)，
联立
得(m2＋3)y2＋4my－2＝0.
Δ＝24m2＋24>0，
则y1＋y2＝－，
y1y2＝－，
故有m＝.
因为G(3，y1)，Q(my2＋2，y2)，
所以直线QG的斜率为＝＝2y1，
则直线QG的方程为
y－y1＝2y1(x－3)，
即y＝2y1，
故直线QG过定点H.
因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，
取OH的中点N，
则|MN|＝|OH|＝，
即|MN|为定值．
综上，存在定点N，
使得|MN|为定值．
5.
(1)解　由题意，得b＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，
从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝16k2－8t2＋8＞0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|
＝·
＝＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，满足Δ＞0，所以直线l经过定点(0，0).
6.
解　(1)因为|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以点P在椭圆C上.
将代入＋＝1，得＋＝1.①
设椭圆C的焦距为2c，则S△PF1F2＝×2c·＝，求得c＝.
从而a2－b2＝3.②
由①②可得a2＝4，b2＝1.
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－4).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
假设存在点N(t，0)，因为直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，
所以kNA＋kNB＝0，
即kNA＋kNB＝＋
＝＋
＝k·＝0，
即2x1x2－(t＋4)(x1＋x2)＋8t＝0.
由消去y并整理，得
(1＋4k2)x2－32k2x＋64k2－4＝0.
由Δ＝(－32k2)2－4(1＋4k2)(64k2－4)>0，求得0则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以2×－(t＋4)×＋8t＝0，解得t＝1.
于是在x轴上存在定点N(1，0)，使得直线NA，NB与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.
7.
解　(1)由题意，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，a＋c＝3，a－c＝1，a＝2，c＝1，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)＞0，3＋4k2－m2＞0.
x1＋x2＝－，x1·x2＝，
y1·y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，kAD·kBD＝－1，
所以·＝－1，y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，＋＋＋4＝0，7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，
且满足3＋4k2－m2＞0.
当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；
当m＝－时，l：y＝k，直线过定点.
综上可知，直线l过定点，定点坐标为.
8.
(1)解　若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，代入点A(1，2)，可得a＝4，所以抛物线方程为y2＝4x.
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线方程为x2＝my，代入点A(1，2)，可得m＝，所以抛物线方程为x2＝y.
综上所述，抛物线C的方程是y2＝4x或x2＝y.
(2)证明　因为点B(1，－2)在抛物线C上，所以由(1)可得抛物线C的方程是y2＝4x.
易知直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y＋2＝k(x－1)，
将直线BP的方程代入y2＝4x，消去y，得
k2x2－(2k2＋4k＋4)x＋(k＋2)2＝0.
设P(x1，y1)，则x1＝，
所以P.
用－替换点P坐标中的k，
可得Q((k－1)2，2－2k)，从而直线PQ的斜率为
＝
＝，
故直线PQ的方程是
y－2＋2k＝·[x－(k－1)2].
通过观察，应有－k2＋2k＋2＝x－(k－1)2，得x＝3，y＝2，
所以直线PQ恒过定点(3，2).
9.
(1)解　由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
设椭圆上一点P(x0，y0)，则eq \f(x,4)＋y0＝1.
当x0＝0时，y0＝－1，
|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
当x0≠0时，直线PA方程为
y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|
＝·
＝·
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4y＋4x0y0－4x0－8y0＋4,x0y0－x0－2y0＋2)))
＝＝4.
故|AN|·|BM|为定值.
10.
(1)解　∵|AB|＝4，∴2a＝4，∴a＝2，
又点在椭圆上，∴＋＝1.
又b2＋c2＝a2＝4，联立方程组解得b2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明　设点P的坐标为(s，t)，点M，N的横坐标为m(m≠±2)，
则直线AP的方程为y＝(x＋2)，
故M，故直线BM的斜率k1＝，
同理可得直线AN的斜率
k2＝，
故k1k2＝·＝.
又点P在椭圆上，∴＋＝1，
∴t2＝－(s2－4)，
∴k1k2＝＝－.
即直线AN与直线BM的斜率之积为定值.
11.
(1)解　易知＝.
当m＝0时，P(0，0)，直线l的方程为y＝x，
代入＋＝1并整理得x2＝.
设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，
·＝－x－y＝－x＝－·.
又因为·＝－，
所以a2＝25，b2＝16，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明　l的方程为x＝y＋m，
代入＋＝1，
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，
同理|PB|2＝y.
则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)
＝[(y1＋y2)2－2y1y2]
＝·＝41.
所以|PA|2＋|PB|2为定值.
12.
(1)解　因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，
所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.
由题意知，直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，
解得k<0或0又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).
从而k≠－3.
所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由(1)知x1＋x2＝－，x1x2＝.
直线PA的方程为y－2＝(x－1).
令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝＋2＝＋2.
同理得点N的纵坐标为yN＝＋2.
由＝λ，＝μ得λ＝1－yM，μ＝1－yN，
所以＋＝＋
＝＋
＝·
＝·＝2，
所以＋为定值.

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