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一元二次方程根与系数的关系问题--2024-2025年人教版九年级上册数学期末专题提升训练
一、单选题
1．若关于x的方程的一个根为1，则它的另一个根为（ ）
A．25 B． C． D．
2．已知，是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程的两个实数根分别是m，n，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．已知和是方程的两个解，则的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2026 D．2028
5．是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．1
6．关于x的一元二次方程的两实根，满足，则的值为（ ）
A．1或5 B．1或 C． D．5
7．已知方程的两个实数根，满足，则实数的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．已知一元二次方程的两根分别为，，则（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
9．若a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ．
10．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
11．已知一元二次方程的两实数根为、，则的值为 ．
12．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，则多项式可以因式分解为 ．
13．已知实数，是方程的两根，则 ．
14．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是 ．
15．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
16．关于x的一元二次方程的两个实数根是a和b，若有，则k的值为 ．
三、解答题
17．已知，是关于的一元二次方程的两实根，
(1)求的取值范围；
(2)若，求的值．
18．已知关于x的一元二次方程．
(1)当是方程的一个根时，求方程的另一个根；
(2)若，是方程的两个不相等的实根，且，满足，求m的值．
19．在解一元二次方程时，小马同学粗心地将二次项的系数与一次项系数对换了，得到了一个新的方程．他正确地解出了这个新的方程，其中一个根是3，另一根等于原方程的一个根．
(1)求这两个方程相同的根．
(2)求原方程两根之和．
20．已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若，满足不等式，求的取值范围．
21．关于x的一元二次方程有两个不相等实根，．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程两实根，满足，求k的值．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A D C C D D
1．C
【分析】本题考查根与系数的关系，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可．
【详解】解：设方程的另一个根为，由题意，得：，
∴；
故选C．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系．首先根据，是方程的两个实数根，可得，根据是一元二次方程的根可知，然后整体代入代数式求值即可．
【详解】解：，是方程的两个实数根，
，
把代入方程可得：，
，
．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系求解作答即可．
【详解】解：∵方程的两个实数根分别是m，n，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值．先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可．
【详解】解：∵a和b是方程的两个解，
∴，，
∴，
∴
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意，由一元二次方程根与系数的关系得到，代入求值即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再代入方程检验即可求解．
【详解】解：∵，是方程的两实根，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
当时，方程为，
而，符合题意；
当时，方程为，
而，
∴不合题意，舍去，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．同时考查代数式的变形．由根与系数关系可得：，；而与可用关系式联系起来．
【详解】解：方程的两个实数根为，；
则，．
，
，
即，
，
，
解得或．
故选：D．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接利用根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，，
∴
故选：D．
9．7
【分析】本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根，
，，
原式．
故答案为：7．
10．6
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，代入计算即可得解．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，再代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两实数根为、，
∴，，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及因式分解，掌握两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系可得出，再因式分解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案．
【详解】解：∵实数，是方程的两根，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，，设，则利用换元法，得到的两个根为，再进行求解即可．
【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：，，
∴关于y的方程的两根为，，
∴；
故答案为：．
15．2
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，．
利用即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，另一个根为a，
∴，
解得：，
则另一根是2．
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，代入已知条件中，求得k的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根是a和b，
∴，，
∴由得，，
即，
∴，即，
解得，，，
当时，原方程为，
∴，没有实数根，
∴舍去，
当时，原方程为，
∴，
∴符合题意，
故答案为：．
17．(1)
(2)2
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根的判别式进行计算即可求解；
（2）根据题意可得，将原式变形得，由此解一元二次方程，最后根据（1）中的取值方法确定值即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两实根，
∴，
解得：；
（2）解：根据题意可得：，
∴，
即，
解得：．
∵，
∴舍去，
∴的值为．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
（1）直接根据根与系数的关系求出另一个根即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即， 解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设另一个根为，则，
解得
∴另一个根为；
（2）解：由题意得：，
同时满足即，
∴，
∵，．
∴
∴，
解得，
∴的值为．
19．(1)1
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系：
（1）令，结合，可得两方程相同的根；
（2）结合（1）中结论，利用一元二次方程根与系数的关系求解．
【详解】（1）解：原方程为，小马解的方程为，
令，
化简得，
，
，，
，
即这两个方程相同的根是1．
（2）解：由（1）可知新方程的两个根为3，1，
，
，
原方程为两根之和为．
20．(1)
(2)
【分析】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系和根与系数的关系是解决此题的关键．
（1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再变形已知条件，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：根据题意得：，
，
，
，
，
，
，
．
由（1）知，
．
21．(1)
(2)2
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出关于的一元二次方程是解题的关键．
（1）由方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再根据即可确定的值．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：．
实数的取值范围为．
（2）解：由根与系数的关系，得：，，
，
，
解得：或，
又，
．
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