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第三十二讲　概率
知识要点 对点练习
1.确定性事件与随机事件 (1)必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中__一定会__发生的事件. (2)不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中__一定不会__发生的事件. (3)随机事件:在一定条件下,__可能发生也可能不发生__的事件. (4)事件的分类: 1.(教材再开发·北师七下P138习题T1改编) 下列事件中,是随机事件的是(D) A.太阳每天早晨从西边升起 B.△ABC中,AB+AC>BC C.两个负数相乘,积为正 D.两个数相加,和大于其中的一个加数
2.事件的概率及求法 (1)随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生__可能性大小__的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A). (2)概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都__相等__,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P(A)= __. (3)事件A发生的概率的取值范围是__0≤P(A)≤1__. 特别地,①当A为必然事件时,P(A)=__1__. ②当A为不可能事件时,P(A)=__0__. ③当A为随机事件时,__03.用频率估计概率 在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P(A)=__p__,其中 p满足__0≤p≤1__. 3.掷一枚质地不均匀的骰子,做了大量的重复试验,发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6,那么,掷一次该骰子,“朝上一面为1点”的概率为__0.6__.
【考点一】　确定事件与随机事件
【例1】(2024·连云港)下列说法正确的是(C)
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【方法小结】考点“确定事件与随机事件”,多见于选择题,根据确定事件与随机事件定义及性质作出判断即可,学会区分确定事件及随机事件.
【考点二】概率的求法
【例2】为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛.
(1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选取1人,则女生乙被选中的概率是________;
(2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率.
【思路点拨】(1)由一共有3种等可能的结果,其中恰好选中女生乙的有1种,即可求得答案;
(2)先求出全部情况的总数,再求出符合条件的情况数目,二者的比值就是其发生的概率.
【解析】(1)∵已确定女生甲参加比赛,再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果,其中恰好选中女生乙的只有1种,∴恰好选中女生乙的概率为;
答案:
(2)分别用字母A,B表示女生,C,D表示男生,
画树状图如下:
4人任选2人共有12种等可能结果,其中1名女生和1名男生有8种,∴P(1女1男)==.
答:所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是.
【方法小结】考点“概率的求法”是常考考点,基本上是每年必考,在填空、解答题均有可能.利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
【考点三】　用频率估计概率
【例3】为了弘扬爱国主义精神,某校组织了“共和国成就”知识竞赛,将成绩分为:A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩,绘制了如下统计图.
(1)本次抽样调查的样本容量是________,请补全条形统计图;
(2)已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格,小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学,请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率;
(3)该校共有2 000名学生,请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.
【解析】(1)25÷25%=100(人),B等级的人数为100×35%=35(人),
D等级的人数为:100-35-35-25=5(人),补全条形统计图如图:
答案:100
(2)列表如下:
男 男 男 女 女
男 男男 男男 女男 女男
男 男男 男男 女男 女男
男 男男 男男 女男 女男
女 男女 男女 男女 女女
女 男女 男女 男女 女女
P(恰好回访到一男一女)==;
(3)2 000×35%=700(人).
【方法小结】考点“用频率估计概率”是常考考点,常与统计图相结合进行考查,在选择、填空、解答题均有可能.
【考点四】　概率的应用
【例4】(2022·扬州)某超市为回馈广大消费者,在开业周年之际举行摸球抽奖活动.摸球规则如下:在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回),再从余下的2个球中任意摸出1个球.
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果;
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次,一等奖的获奖率低于二等奖.现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次,请写出它们分别对应的奖次,并说明理由.
【解析】(1)画树状图如下:
共有6种等可能出现的结果;
(2)摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖,摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖,理由如下:
由树状图可知,摸出颜色不同的两球的结果有4种,摸出颜色相同的两球的结果有2种,
∴摸出颜色不同的两球的概率为=,摸出颜色相同的两球的概率为=,
∵一等奖的获奖率低于二等奖,<,
∴摸出颜色不同的两球对应的奖次为二等奖,摸出颜色相同的两球对应的奖次为一等奖.
1.(2022·广东)书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为(B)
A. B. C. D.
2.(2023·广东)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为(C)
A. B. C. D.
3.(2024·广东)长江是中华民族的母亲河,长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习,则选中“巴蜀文化”的概率是(A)
A. B. C. D.
4.(2024·深圳)二十四节气,它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律,二十四个节气分别为:春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨),夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑),秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降),冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒),若从二十四个节气中选一个节气,则抽到的节气在夏季的概率为(D)
A. B. C. D.
5.(2023·深圳)小明从《红星照耀中国》《红岩》《长征》《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本,其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 __.
6.(2022·深圳)某工厂进行厂长选拔,从中抽出一部分人进行筛选,其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格”.
(1)本次抽查总人数为________,“合格”人数的百分比为________;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中“不合格”人数的度数为________;
(4)在“优秀”中有甲、乙、丙三人,现从三人中抽出两人,则刚好抽中甲、乙两人的概率为________.
【解析】(1)本次抽查的总人数为8÷16%=50(人),
“合格”人数的百分比为1-(32%+16%+12%)=40%.
答案:50　40%
(2)补全图形如图:
(3)扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%=115.2°;
答案:115.2°
(4)列表如下:
名称 甲 乙 丙
甲 (乙,甲) (丙,甲)
乙 (甲,乙) (丙,乙)
丙 (甲,丙) (乙,丙)
由表知,共有6种等可能结果,其中刚好抽中甲、乙两人的有2种结果,
所以刚好抽中甲、乙两人的概率为=.
答案:
7.(2024·广州)善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平,对A,B两组同学进行问卷调查,并根据结果对每名同学的提问水平进行评分,得分情况如下(单位:分):
A组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
(1)求A组同学得分的中位数和众数;
(2)现从A,B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈,求这2名同学恰好来自同一组的概率.
【解析】(1)将10名A组同学的得分按照从小到大的顺序排列,排在第5和第6名的成绩为84,86,∴A组同学得分的中位数为(84+86)÷2=85(分).
由题中表格可知,A组同学得分的众数为82分.
(2)将A组的两名同学分别记为甲、乙,将B组的两名同学分别记为丙,丁,
画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中这2名同学恰好来自同一组的结果有:甲乙,乙甲,丙丁,丁丙,共4种,
∴这2名同学恰好来自同一组的概率为=.第三十二讲　概率
知识要点 对点练习
1.确定性事件与随机事件 (1)必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中__ __发生的事件. (2)不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中__ __发生的事件. (3)随机事件:在一定条件下,__ __的事件. (4)事件的分类: 1.(教材再开发·北师七下P138习题T1改编) 下列事件中,是随机事件的是( ) A.太阳每天早晨从西边升起 B.△ABC中,AB+AC>BC C.两个负数相乘,积为正 D.两个数相加,和大于其中的一个加数
2.事件的概率及求法 (1)随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生__ __的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P( ). (2)概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都__ __,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P( )= __. (3)事件A发生的概率的取值范围是__ __. 特别地,①当A为必然事件时,P( )=__ __. ②当A为不可能事件时,P( )=__ __. ③当A为随机事件时,__ __. (4)求概率的方法:用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法. 2.(1)某班级计划举办手抄报展览,确定了“5G时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题,若小明和小亮每人随机选择其中一个主题,则他们恰好选择同一个主题的概率是( ) A. B. C. D. (2)(教材再开发·北师七下P153T3改编)如图,任意将图中的某一白色方块涂黑后,能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是( ) A. B. C. D.
3.用频率估计概率 在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P( )=__ __,其中 p满足__ __. 3.掷一枚质地不均匀的骰子,做了大量的重复试验,发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6,那么,掷一次该骰子,“朝上一面为1点”的概率为__ __.
【考点一】　确定事件与随机事件
【例1】(2024·连云港)下列说法正确的是( )
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【方法小结】考点“确定事件与随机事件”,多见于选择题,根据确定事件与随机事件定义及性质作出判断即可,学会区分确定事件及随机事件.
【考点二】概率的求法
【例2】为了参加全市中学生“党史知识竞赛”,某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛.
(1)如果已经确定女生甲参加,再从其余的候选人中随机选取1人,则女生乙被选中的概率是________;
(2)求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率.
【思路点拨】(1)由一共有3种等可能的结果,其中恰好选中女生乙的有1种,即可求得答案;
(2)先求出全部情况的总数,再求出符合条件的情况数目,二者的比值就是其发生的概率.
【方法小结】考点“概率的求法”是常考考点,基本上是每年必考,在填空、解答题均有可能.利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.
【考点三】　用频率估计概率
【例3】为了弘扬爱国主义精神,某校组织了“共和国成就”知识竞赛,将成绩分为:A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩,绘制了如下统计图.
(1)本次抽样调查的样本容量是________,请补全条形统计图;
(2)已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格,小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学,请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率;
(3)该校共有2 000名学生,请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.
【方法小结】考点“用频率估计概率”是常考考点,常与统计图相结合进行考查,在选择、填空、解答题均有可能.
【考点四】　概率的应用
【例4】(2022·扬州)某超市为回馈广大消费者,在开业周年之际举行摸球抽奖活动.摸球规则如下:在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回),再从余下的2个球中任意摸出1个球.
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果;
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次,一等奖的获奖率低于二等奖.现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次,请写出它们分别对应的奖次,并说明理由.
1.(2022·广东)书架上有2本数学书、1本物理书.从中任取1本书是物理书的概率为( )
A. B. C. D.
2.(2023·广东)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习,每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为( )
A. B. C. D.
3.(2024·广东)长江是中华民族的母亲河,长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习,则选中“巴蜀文化”的概率是( )
A. B. C. D.
4.(2024·深圳)二十四节气,它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律,二十四个节气分别为:春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨),夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑),秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降),冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒),若从二十四个节气中选一个节气,则抽到的节气在夏季的概率为( )
A. B. C. D.
5.(2023·深圳)小明从《红星照耀中国》《红岩》《长征》《钢铁是怎样炼成的》四本书中随机挑选一本,其中拿到《红星照耀中国》这本书的概率为 __.
6.(2022·深圳)某工厂进行厂长选拔,从中抽出一部分人进行筛选,其中有“优秀”“良好”“合格”“不合格”.
(1)本次抽查总人数为________,“合格”人数的百分比为________;
(2)补全条形统计图;
(3)扇形统计图中“不合格”人数的度数为________;
(4)在“优秀”中有甲、乙、丙三人,现从三人中抽出两人,则刚好抽中甲、乙两人的概率为________.
7.(2024·广州)善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平,对A,B两组同学进行问卷调查,并根据结果对每名同学的提问水平进行评分,得分情况如下(单位:分):
A组 75 78 82 82 84 86 87 88 93 95
B组 75 77 80 83 85 86 88 88 92 96
(1)求A组同学得分的中位数和众数;
(2)现从A,B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈,求这2名同学恰好来自同一组的概率.

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