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第三十一讲　统计
知识要点 对点练习
1.数据的收集 (1)收集方式: ①普查:考察__ __对象的调查. ②抽样调查:只抽取__ __对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况. (2)相关概念: ①总体:所要考察的__ __对象. ②个体:组成总体的__ __考察对象. ③样本:被抽取的那些__ __组成一个样本. ④样本容量:样本中__ __的数目. 1.(1)(教材再开发·北师七上P163T1改编)为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况,比较适合的调查方式是__ __(填“普查”或“抽样调查”). (2)为了考察某校七年级400名学生的视力情况,抽取了80名学生的视力进行调查,那么在这次抽样调查中,样本容量是__ __. (3)本学期期中考试我县七年级有8 992名考生参加,为了了解这8 992名考生的数学成绩,从中随机抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析.在这次抽查中,被抽取的500名考生的数学成绩是__ __(填“总体”“样本”“个体”).
2.数据的整理 (1)概念: ①频数:在统计数据中落在不同小组中__ __的个数. ②频率:某个组的频数与__ __的比值,叫做这个组的频率. (2)方法:一般采用__ __法统计数据出现的频数,然后画频数分布直方图. 2.(教材再开发·人教九上P134T3改编)班级共有40名学生,在一次体育抽测中有4人不合格,那么不合格人数的频率为( ) A.0.01 B.0.1 C.0.2 D.0.5
3.数据的描述 (1)条形图:能清楚地表示出每个项目的具体__ __,易于比较数据之间的差别. (2)折线图:能清楚地反映数据的__ __,频数折线图也可以表示出每个项目的具体数目. (3)扇形图:易于显示各部分在__ __中所占的百分比,显示各组数据相对于总体的大小. (4)频数分布直方图:能清楚地显示数据的分布情况,并且显示各组之间频数的差别. 3.某班级开展“共建书香校园”读书活动.统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数,并绘制出如图所示的折线统计图.则下列说法正确的是( ) A.从2月到6月,阅读课外书的本数逐月下降 B.从1月到7月,每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C.每月阅读课外书本数的众数是45 D.每月阅读课外书本数的中位数是58
续表
知识要点 对点练习
4.数据的代表 (1)平均数: ①算术平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么= __. ②加权平均数:若n个数x1,x2,x3,…,xn的权分别是ω1,ω2,ω3,…,ωn,则 __叫做这n个数的加权平均数. (2)中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,若有奇数个数时,则取__ __的一个数为中位数;若有偶数个数时,则取中间两个数的__ __为中位数. (3)众数:一组数据中出现__ __的数据,称为该组数据的众数. 4.(1)一组数据-3,-1,2,0,3,2中,则这组数据的中位数和众数分别是( ) A.1.5,2 B.0,2 C.1,2 D.1,3 (2)某博物馆拟招聘一名优秀讲解员,其中小林笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分,80分、85分.综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%,那么小林的最后得分为__ __分. (3)为了落实“双减”政策,东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如表,则这组数据的众数是__ __分钟. 作业时长 (单位:分钟)5060708090人数(单位:人)14622
5.数据的波动 方差:n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则这组数据的方差为s2= __. 5.(1)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次,射击成绩的平均数均是9.1环,方差分别为=0.52,=0.60, =0.50,=0.43,则成绩最稳定的是__ __. 　(2)一组数据2 022,2 022,2 022,2 022,2 022的方差是__ __.
【考点一】　普查与抽样调查,总体、个体、样本与样本容量
【例1】(1)(2023·嘉兴、舟山)在下面的调查中,最适合用全面调查的是( )
A.了解一批节能灯管的使用寿命 B.了解某校某班学生的视力情况
C.了解某省初中生每周上网时长情况 D.了解京杭大运河中鱼的种类
(2)某校有4 000名学生,随机抽取了400名学生进行体重调查,下列说法错误的是( )
A.总体是该校4 000名学生的体重 B.个体是每一个学生
C.样本是抽取的400名学生的体重 D.样本容量是400
【方法小结】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大的,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.同时要熟悉统计的有关概念:总体、个体、样本与样本容量.
【考点二】　平均数、中位数和众数
【例2】(2024·江西)如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图,关于各月空气质量为优的天数,下列结论错误的是( )
A.五月份空气质量为优的天数是16
B.这组数据的众数是15天
C.这组数据的中位数是15天
D.这组数据的平均数是15天
【方法小结】众数和中位数的概念一定要掌握,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个,则找中间两位数的平均数.
【考点三】　方差、极差、标准差
【例3】(1)某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差为__ __.
(2)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数和方差,要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是( )
项目 甲 乙 丙 丁
平均数 376 350 376 350
方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【方法小结】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差,方差的计算口诀“先平均、再作差、平方后、再平均”.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
【考点四】　常见统计图的应用
【例4】(2023·湘潭)教育部正式印发《义务教育劳动课程标准(2022年版)》.劳动课成为中小学的一门独立课程,湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中.某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起,培养劳动意识,提高劳动技能.小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间,并对数据进行统计分析,过程如下:
收集数据:在家做家务时间:(单位:小时)
1　5　4　1　a　3　2　b　3　4
整理数据:
时间段 0≤x<3 3≤x<6 6≤x<9
人数 3 6 m
分析数据:
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.4 3.5 4
请结合以上信息回答下列问题:
(1)m=________,并补全频数分布直方图;
(2)数据统计完成后,小明发现有两个数据不小心丢失了.请根据图表信息找回这两个数据.若a(3)根据调查结果,请估计该校2 000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数.
【方法小结】在解决统计图表这类题时,要读懂统计图表,从中获取有用的信息是解题的关键.
条形统计图、扇形统计图、折线统计图各有特点,它们从不同角度清楚有效地描述数据,在解决由多种统计图共同组成的题目时,解题关键是结合各种统计图将题目中用到的信息找出来,同时注意各种统计图的互补性.
1.(2022·深圳)某学校进行演讲比赛,最终有7位同学进入决赛,这7位同学的评分分别是:9.5,9.3,9.1,9.4,9.7,9.3,9.6.请问这组评分的众数是( )
A.9.5 B.9.4 C.9.1 D.9.3
2.(2024·广州)为了解公园用地面积x(单位:公顷)的基本情况,某地随机调查了本地50个公园的用地面积,按照0A.a的值为20
B.用地面积在8C.用地面积在4D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
3.(2023·深圳)下表为五种运动耗氧情况,其中耗氧量的中位数是( )
打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳
80L/h 90L/h 105L/h 110L/h 115L/h
A.80L/h B.107.5L/h C.105L/h D.110L/h
4.(2022·深圳)某工厂一共有1 200人,为选拔人才,提出了一些选拔的条件,并进行了抽样调查.从中抽出400人,发现有300人是符合条件的,那么该工厂1 200人中符合选拔条件的人数为__ __.
5.(2024·广东)数据5,2,5,4,3的众数是__ __.
6.(2023·广东)小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间,小红做了试验,第一周(5个工作日)选择A线路,第二周(5个工作日)选择B线路,每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下:(单位:min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
根据以上信息解答下列问题:
项目 平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
(1)填空:a=________;b=________;c=________;
(2)应用你所学的统计知识,帮助小红分析如何选择乘车线路.
7.(2023·深圳)为了提高某城区居民的生活质量,政府将改造城区配套设施,并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票),共有休闲设施,儿童设施,娱乐设施,健身设施4种选项,一共调查了a人,其调查结果如下:
如图,为根据调查结果绘制的扇形统计图(图1)和条形统计图(图2),请根据统计图回答下面的问题:
(1)调查总人数a=________人;
(2)请补充条形统计图;
(3)若该城区共有10万居民,则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人
(4)改造完成后,该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷,其结果(分数)如下:
项目 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以1∶1∶1∶1进行考核,________小区满意度(分数)更高;
若以1∶1∶2∶1进行考核,________小区满意度(分数)更高.
8.(2024·广东)端午假期,王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区,王先生对A,B,C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面,为每个景区评分(10分制).三个景区的得分如表所示:
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
(1)若四项所占百分比如图所示,通过计算回答:王先生会选择哪个景区去游玩
(2)如果王先生认为四项同等重要,通过计算回答:王先生将会选择哪个景区去游玩
(3)如果你是王先生,请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比,选择最合适的景区,并说明理由.第三十一讲　统计
知识要点 对点练习
1.数据的收集 (1)收集方式: ①普查:考察__全体__对象的调查. ②抽样调查:只抽取__一部分__对象进行调查,然后根据调查数据推断全体对象的情况. (2)相关概念: ①总体:所要考察的__全体__对象. ②个体:组成总体的__每一个__考察对象. ③样本:被抽取的那些__个体__组成一个样本. ④样本容量:样本中__个体__的数目. 1.(1)(教材再开发·北师七上P163T1改编)为了了解“双减”背景下全国中小学生完成课后作业的时间情况,比较适合的调查方式是__抽样调查__(填“普查”或“抽样调查”). (2)为了考察某校七年级400名学生的视力情况,抽取了80名学生的视力进行调查,那么在这次抽样调查中,样本容量是__80__. (3)本学期期中考试我县七年级有8 992名考生参加,为了了解这8 992名考生的数学成绩,从中随机抽取了500名考生的数学成绩进行统计分析.在这次抽查中,被抽取的500名考生的数学成绩是__样本__(填“总体”“样本”“个体”).
2.数据的整理 (1)概念: ①频数:在统计数据中落在不同小组中__数据__的个数. ②频率:某个组的频数与__样本容量__的比值,叫做这个组的频率. (2)方法:一般采用__划记__法统计数据出现的频数,然后画频数分布直方图. 2.(教材再开发·人教九上P134T3改编)班级共有40名学生,在一次体育抽测中有4人不合格,那么不合格人数的频率为(B) A.0.01 B.0.1 C.0.2 D.0.5
3.数据的描述 (1)条形图:能清楚地表示出每个项目的具体__数目__,易于比较数据之间的差别. (2)折线图:能清楚地反映数据的__变化趋势__,频数折线图也可以表示出每个项目的具体数目. (3)扇形图:易于显示各部分在__总体__中所占的百分比,显示各组数据相对于总体的大小. (4)频数分布直方图:能清楚地显示数据的分布情况,并且显示各组之间频数的差别. 3.某班级开展“共建书香校园”读书活动.统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数,并绘制出如图所示的折线统计图.则下列说法正确的是(D) A.从2月到6月,阅读课外书的本数逐月下降 B.从1月到7月,每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C.每月阅读课外书本数的众数是45 D.每月阅读课外书本数的中位数是58
续表
知识要点 对点练习
4.数据的代表 (1)平均数: ①算术平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么= (x1+x2+…+xn)__. ②加权平均数:若n个数x1,x2,x3,…,xn的权分别是ω1,ω2,ω3,…,ωn,则 __叫做这n个数的加权平均数. (2)中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,若有奇数个数时,则取__中间__的一个数为中位数;若有偶数个数时,则取中间两个数的__平均数__为中位数. (3)众数:一组数据中出现__次数最多__的数据,称为该组数据的众数. 4.(1)一组数据-3,-1,2,0,3,2中,则这组数据的中位数和众数分别是(C) A.1.5,2 B.0,2 C.1,2 D.1,3 (2)某博物馆拟招聘一名优秀讲解员,其中小林笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分,80分、85分.综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%,那么小林的最后得分为__87__分. (3)为了落实“双减”政策,东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如表,则这组数据的众数是__70__分钟. 作业时长 (单位:分钟)5060708090人数(单位:人)14622
5.数据的波动 方差:n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则这组数据的方差为s2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]__. 5.(1)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次,射击成绩的平均数均是9.1环,方差分别为=0.52,=0.60, =0.50,=0.43,则成绩最稳定的是__丁__. 　(2)一组数据2 022,2 022,2 022,2 022,2 022的方差是__0__.
【考点一】　普查与抽样调查,总体、个体、样本与样本容量
【例1】(1)(2023·嘉兴、舟山)在下面的调查中,最适合用全面调查的是(B)
A.了解一批节能灯管的使用寿命 B.了解某校某班学生的视力情况
C.了解某省初中生每周上网时长情况 D.了解京杭大运河中鱼的种类
(2)某校有4 000名学生,随机抽取了400名学生进行体重调查,下列说法错误的是(B)
A.总体是该校4 000名学生的体重 B.个体是每一个学生
C.样本是抽取的400名学生的体重 D.样本容量是400
【方法小结】选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用,一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大的,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查.同时要熟悉统计的有关概念:总体、个体、样本与样本容量.
【考点二】　平均数、中位数和众数
【例2】(2024·江西)如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图,关于各月空气质量为优的天数,下列结论错误的是(D)
A.五月份空气质量为优的天数是16
B.这组数据的众数是15天
C.这组数据的中位数是15天
D.这组数据的平均数是15天
【方法小结】众数和中位数的概念一定要掌握,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个,则找中间两位数的平均数.
【考点三】　方差、极差、标准差
【例3】(1)某人5次射击命中的环数分别为5,10,7,x,10.若这组数据的中位数为8,则这组数据的方差为__3.6__.
(2)下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员跳远选拔赛成绩(单位:cm)的平均数和方差,要从中选择一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加决赛,最合适的运动员是(C)
项目 甲 乙 丙 丁
平均数 376 350 376 350
方差s2 12.5 13.5 2.4 5.4
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【方法小结】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数,叫做这组数据的方差,方差的计算口诀“先平均、再作差、平方后、再平均”.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
【考点四】　常见统计图的应用
【例4】(2023·湘潭)教育部正式印发《义务教育劳动课程标准(2022年版)》.劳动课成为中小学的一门独立课程,湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中.某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起,培养劳动意识,提高劳动技能.小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间,并对数据进行统计分析,过程如下:
收集数据:在家做家务时间:(单位:小时)
1　5　4　1　a　3　2　b　3　4
整理数据:
时间段 0≤x<3 3≤x<6 6≤x<9
人数 3 6 m
分析数据:
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.4 3.5 4
请结合以上信息回答下列问题:
(1)m=________,并补全频数分布直方图;
(2)数据统计完成后,小明发现有两个数据不小心丢失了.请根据图表信息找回这两个数据.若a(3)根据调查结果,请估计该校2 000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数.
【解析】(1)m=10-3-6=1,补全频数分布直方图如下:
答案:1
(2)样本中1,3,4都出现2次,若这组数据的众数是4,因此漏掉的两个数中必有一个是4,而a答案:4　7
(3)2 000×=1 400(人),
答:该校2 000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数大约有1 400人.
【方法小结】在解决统计图表这类题时,要读懂统计图表,从中获取有用的信息是解题的关键.
条形统计图、扇形统计图、折线统计图各有特点,它们从不同角度清楚有效地描述数据,在解决由多种统计图共同组成的题目时,解题关键是结合各种统计图将题目中用到的信息找出来,同时注意各种统计图的互补性.
1.(2022·深圳)某学校进行演讲比赛,最终有7位同学进入决赛,这7位同学的评分分别是:9.5,9.3,9.1,9.4,9.7,9.3,9.6.请问这组评分的众数是(D)
A.9.5 B.9.4 C.9.1 D.9.3
2.(2024·广州)为了解公园用地面积x(单位:公顷)的基本情况,某地随机调查了本地50个公园的用地面积,按照0A.a的值为20
B.用地面积在8C.用地面积在4D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
3.(2023·深圳)下表为五种运动耗氧情况,其中耗氧量的中位数是(C)
打网球 跳绳 爬楼梯 慢跑 游泳
80L/h 90L/h 105L/h 110L/h 115L/h
A.80L/h B.107.5L/h C.105L/h D.110L/h
4.(2022·深圳)某工厂一共有1 200人,为选拔人才,提出了一些选拔的条件,并进行了抽样调查.从中抽出400人,发现有300人是符合条件的,那么该工厂1 200人中符合选拔条件的人数为__900__.
5.(2024·广东)数据5,2,5,4,3的众数是__5__.
6.(2023·广东)小红家到学校有两条公共汽车线路.为了解两条线路的乘车所用时间,小红做了试验,第一周(5个工作日)选择A线路,第二周(5个工作日)选择B线路,每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间.数据统计如下:(单位:min)
数据统计表
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
根据以上信息解答下列问题:
项目 平均数 中位数 众数 方差
A线路所用时间 22 a 15 63.2
B线路所用时间 b 26.5 c 6.36
(1)填空:a=________;b=________;c=________;
(2)应用你所学的统计知识,帮助小红分析如何选择乘车线路.
【解析】(1)求中位数a首先要排序,
从小到大的顺序为14,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10个数,
第5和第6个数为18和20,所以中位数为=19;
平均数b==26.8,众数c=25.
答案:19　26.8　25
(2)用中位数和众数代表一组数据,可靠性不强,因此从平均数和方差的角度分析:小红统计的A线路平均数为22,B线路平均数为26.8,用时相差不大.而方差63.2>6.36,相比较B路线的波动性更小,所以选择B路线更优.
7.(2023·深圳)为了提高某城区居民的生活质量,政府将改造城区配套设施,并随机向某居民小区发放调查问卷(1人只能投1票),共有休闲设施,儿童设施,娱乐设施,健身设施4种选项,一共调查了a人,其调查结果如下:
如图,为根据调查结果绘制的扇形统计图(图1)和条形统计图(图2),请根据统计图回答下面的问题:
(1)调查总人数a=________人;
(2)请补充条形统计图;
(3)若该城区共有10万居民,则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人
(4)改造完成后,该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷,其结果(分数)如下:
项目 休闲 儿童 娱乐 健身
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以1∶1∶1∶1进行考核,________小区满意度(分数)更高;
若以1∶1∶2∶1进行考核,________小区满意度(分数)更高.
【解析】(1)由题意得,a=40÷40%=100.
答案:100
(2)样本中“娱乐”的人数100-17-13-40=30(人),补全条形统计图如下:
(3)100 000×=30 000(人),
答:该城区10万居民中愿意改造“娱乐设施”的约有30 000人;
(4)按照1∶1∶1∶1进行考核,甲:=7.75(分),乙:=8(分),因此乙小区满意度更高,按照1∶1∶2∶1进行考核,甲:=8(分),乙:=7.8(分),因此甲小区满意度更高.
答案:乙　甲
8.(2024·广东)端午假期,王先生计划与家人一同前往景区游玩.为了选择一个最合适的景区,王先生对A,B,C三个景区进行了调查与评估.他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面,为每个景区评分(10分制).三个景区的得分如表所示:
景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地
A 6 8 7 9
B 7 7 8 7
C 8 8 6 6
(1)若四项所占百分比如图所示,通过计算回答:王先生会选择哪个景区去游玩
(2)如果王先生认为四项同等重要,通过计算回答:王先生将会选择哪个景区去游玩
(3)如果你是王先生,请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比,选择最合适的景区,并说明理由.
【解析】(1)景区A得分为=7.15,
景区B得分为=7.4,
景区C得分为=6.9,
∵7.4>7.15>6.9,∴王先生会选择B景区去游玩;
(2)景区A得分为=7.5,景区B得分为=7.25,
景区C得分为=7,∵7.5>7.25>7,∴王先生会选择A景区去游玩;
(3)(答案不唯一)将特色美食、自然风光、乡村民宿和科普基地四项得分的百分比定为20%,30%,30%,20%,
景区A得分为=7.5,
景区B得分为=7.3,
景区C得分为=7,
∵7.5>7.3>7,∴选择A景区去游玩.

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