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第六讲　分式方程及其应用
知识要点 对点练习
1.分式方程的定义及解法 (1)定义: 中含有未知数的方程. (2)解法 ①基本思想:将分式方程转化为 方程. ②方法:去分母,即方程两边同乘以 . ③解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程必须检验. 1.(1)(2024·德阳)分式方程=的解是( ) A.3 B.2 C. D. (2)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根,则增根是 .
2.列分式方程解应用题 与列一元一次方程解应用题相同,基本步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答. 2.(2024·临夏州)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是( ) A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=10
考点一分式方程的定义
【例1】下列方程中,是分式方程的是( )
A.+ B.x2+1=2
C.+1=2 D.=0
【方法小结】考点“分式方程的定义”多见于选择题,要根据定义判断,首先是方程,其次分母含有未知数,二者缺一不可.
考点二分式方程的解法
【例2】(2024·遂宁)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
【方法小结】去分母——将分式方程转化为整式方程,是解分式方程的关键步骤,主要步骤是:先确定最简公分母,然后方程两边(即每一项)都乘这个最简公分母,化为整式方程.注意不要漏乘常数项.
【例3】(1)(2023·广西)解分式方程:=.
(2)(2024·福建)解方程:+1=.
【方法小结】解分式方程是中考高频考点,常见选择题、填空题和解答题中.步骤有三步:(1)去分母——将分式方程转化为整式方程(注意不要漏乘常数项);(2)解这个整式方程(确保计算正确);(3)检验(容易遗漏,验根过程是解分式方程独有的特征).
考点三分式方程的应用
【例4】(2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件,可列方程为( )
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
【思路点拨】根据题意可以得到相等关系:乙用的时间-甲用的时间=小时,据此列出方程即可.
【例5】(2024·新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程( )
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
【思路点拨】设甲车的速度为x km/h,则乙车的速度为1.2x km/h,根据一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.列出分式方程即可.
【方法小结】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.此类题目一般有两个等量关系,其中一个等量关系为设未知数服务,另一个等量关系用于列方程,如此例中的甲车速度和乙车速度的关系用于设未知数,时间关系用于列方程.此外一定要注意验根.
广东3年真题
1.(2024·广东)方程=的解是( )
A.x=-3 B.x=-9
C.x=3 D.x=9
2.(2023·深圳)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设每辆大货车的货运量是x吨,则所列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
3.(2024·广州)解方程:=.
4.(2023·广东)某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.第六讲　分式方程及其应用
知识要点 对点练习
1.分式方程的定义及解法 (1)定义: 分母 中含有未知数的方程. (2)解法 ①基本思想:将分式方程转化为 整式 方程. ②方法:去分母,即方程两边同乘以 最简公分母 . ③解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程必须检验. 1.(1)(2024·德阳)分式方程=的解是(D) A.3 B.2 C. D. (2)若关于x的分式方程-=1(m为常数)有增根,则增根是 x=4 .
2.列分式方程解应用题 与列一元一次方程解应用题相同,基本步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答. 2.(2024·临夏州)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是(C) A.-=10 B.-=10 C.-=10 D.-=10
考点一分式方程的定义
【例1】下列方程中,是分式方程的是(D)
A.+ B.x2+1=2
C.+1=2 D.=0
【方法小结】考点“分式方程的定义”多见于选择题,要根据定义判断,首先是方程,其次分母含有未知数,二者缺一不可.
考点二分式方程的解法
【例2】(2024·遂宁)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围是(B)
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
【方法小结】去分母——将分式方程转化为整式方程,是解分式方程的关键步骤,主要步骤是:先确定最简公分母,然后方程两边(即每一项)都乘这个最简公分母,化为整式方程.注意不要漏乘常数项.
【例3】(1)(2023·广西)解分式方程:=.
(2)(2024·福建)解方程:+1=.
【解析】(1)=,方程两边同乘x(x-1)得2x=x-1,
移项解得x=-1.将x=-1代入x(x-1)≠0,
∴x=-1是原分式方程的解.
(2)原方程两边都乘(x+2)(x-2),
去分母得:3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得:3x-10=2x,解得:x=10,
检验:当x=10时,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解为x=10.
【方法小结】解分式方程是中考高频考点,常见选择题、填空题和解答题中.步骤有三步:(1)去分母——将分式方程转化为整式方程(注意不要漏乘常数项);(2)解这个整式方程(确保计算正确);(3)检验(容易遗漏,验根过程是解分式方程独有的特征).
考点三分式方程的应用
【例4】(2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件,可列方程为(D)
A.-=30 B.-=30
C.-= D.-=
【思路点拨】根据题意可以得到相等关系:乙用的时间-甲用的时间=小时,据此列出方程即可.
【例5】(2024·新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程(D)
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
【思路点拨】设甲车的速度为x km/h,则乙车的速度为1.2x km/h,根据一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.列出分式方程即可.
【方法小结】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.此类题目一般有两个等量关系,其中一个等量关系为设未知数服务,另一个等量关系用于列方程,如此例中的甲车速度和乙车速度的关系用于设未知数,时间关系用于列方程.此外一定要注意验根.
广东3年真题
1.(2024·广东)方程=的解是(D)
A.x=-3 B.x=-9
C.x=3 D.x=9
2.(2023·深圳)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设每辆大货车的货运量是x吨,则所列方程正确的是(B)
A.= B.=
C.= D.=
3.(2024·广州)解方程:=.
【解析】原方程去分母得:x=6x-15,
解得:x=3,
检验:当x=3时,x(2x-5)≠0,
故原方程的解为x=3.
4.(2023·广东)某学校开展了社会实践活动,活动地点距离学校12 km,甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发,甲的速度是乙的1.2倍,结果甲比乙早到10 min,求乙同学骑自行车的速度.
【解析】设乙同学骑自行车的速度为x km/h,
则甲同学骑自行车的速度为1.2x km/h,
根据题意得-=,
解得x=12.
经检验,x=12是原分式方程的解.
答:乙同学骑自行车的速度为12 km/h.

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