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第七讲　一元二次方程及其应用
知识要点 对点练习
1.一元二次方程的概念 (1)定义:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程. (2)一般形式: . 1.下列方程中是一元二次方程的是( ) A.(x-2)2+4=x2　　 B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 D.xy+2=1
2.一元二次方程的解法 2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是( ) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况 (1)Δ=b2-4ac>0 方程 的实数根. (2)Δ=b2-4ac=0 方程 的实数根. (3)Δ=b2-4ac<0 方程 实数根. 3.已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,那么a的取值范围是 .
4.根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2= ,x1·x2= . 4.(教材再开发·人教九上P16例4改编) 已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为 .
5.一元二次方程的应用 常考类型及公式: (1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高; (2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量; (3)互赠、握手问题: x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1); (4)营销问题:总利润=一件利润×销售量. 5.(教材再开发·人教九上P22T7改编) 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1 501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1 815个,设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为 .
考点一一元二次方程的根
【例1】(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为( )
A.2 B.-2
C.2或-2 D.
【方法小结】已知一元二次方程的根,求某些未知系数的值的步骤:把方程的解代入原方程,可以使方程成立,从而得到一个新的方程,通过解这个方程,可以求出某些字母的值或者可以利用整体法求出代数式的值.
考点二一元二次方程的解法
【例2】解方程:(1)(x-1)2=49;　　
(2)3(x-5)2=2(5-x);　　
(3)x2+3x-5=0.
【思路点拨】(1)可用直接开平方法求解.(2)可用因式分解法求解.(3)可用公式法求解.
【方法小结】(1)若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;
(2)若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;
(3)若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;
(4)若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.用公式法求解时必须化为一般形式.
考点三一元二次方程根的判别式
【例3】(1)(2024·自贡)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
(2)(2023·扬州)若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为 .
【思路点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到Δ=22-4×1×k>0,然后求出k的范围.
【方法小结】考点“一元二次方程根的判别式”在近年中考中多见于选择题,判断方程解的情况根据一元二次方程的根的判别式判断即可,但要注意一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0;一元二次方程有解分两种情况:①有两个相等的实数根;②有两个不相等的实数根.
考点四一元二次方程根与系数的关系
【例4】(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两根为x1,x2,且+=3,则p的值为( )
A.- B. C.-6 D.6
【思路点拨】由根与系数的关系可得:x1+x2=-2,x1x2=p,再结合所给的条件求出p的值.
【方法小结】一元二次方程问题中,当出现方程解的和与积时,常运用根与系数的关系求解.运用根与系数的关系时需注意:①方程有解;②a≠0.
考点五一元二次方程的应用
【例5】 (2023·东营)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
【方法小结】找出相等关系列出一元二次方程是解决问题的关键,还应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.
广东3年真题
1.(2024·深圳)一元二次方程x2-4x+a=0的一个解为x=1,则a= .
2.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则c= .
3.(2024·广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)化简:÷·.第七讲　一元二次方程及其应用
知识要点 对点练习
1.一元二次方程的概念 (1)定义:只含有 1 个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程. (2)一般形式: ax2+bx+c=0(a≠0) . 1.下列方程中是一元二次方程的是(B) A.(x-2)2+4=x2　　 B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 D.xy+2=1
2.一元二次方程的解法 2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是(D) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况 (1)Δ=b2-4ac>0 方程 有两个不相等 的实数根. (2)Δ=b2-4ac=0 方程 有两个相等 的实数根. (3)Δ=b2-4ac<0 方程 没有 实数根. 3.已知关于x的一元二次方程ax2+6x+1=0没有实数根,那么a的取值范围是 a>9 .
4.根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2= - ,x1·x2= . 4.(教材再开发·人教九上P16例4改编) 已知x1,x2是方程2x2-3x+1=0的两根,则代数式的值为 1 .
5.一元二次方程的应用 常考类型及公式: (1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高; (2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量; (3)互赠、握手问题: x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1); (4)营销问题:总利润=一件利润×销售量. 5.(教材再开发·人教九上P22T7改编) 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1 501个,并按计划逐月增长,预计八月份将提供岗位1 815个,设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x,根据题意,可列方程为 1 501(1+x)2=1 815 .
考点一一元二次方程的根
【例1】(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为(A)
A.2 B.-2
C.2或-2 D.
【方法小结】已知一元二次方程的根,求某些未知系数的值的步骤:把方程的解代入原方程,可以使方程成立,从而得到一个新的方程,通过解这个方程,可以求出某些字母的值或者可以利用整体法求出代数式的值.
考点二一元二次方程的解法
【例2】解方程:(1)(x-1)2=49;　　
(2)3(x-5)2=2(5-x);　　
(3)x2+3x-5=0.
【思路点拨】(1)可用直接开平方法求解.(2)可用因式分解法求解.(3)可用公式法求解.
【解析】(1)开平方,得x-1=±7,即x-1=7或x-1=-7,所以x1=8,x2=-6.
(2)移项,得3(x-5)2+2(x-5)=0,(x-5)[3(x-5)+2]=0,
即(x-5)(3x-13)=0,x-5=0或3x-13=0,x1=5,x2=.
(3)∵a=1,b=3,c=-5,∴b2-4ac=32-4×1×(-5)=29,
∴x==,∴x1=,x2=.
【方法小结】(1)若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;
(2)若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;
(3)若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;
(4)若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.用公式法求解时必须化为一般形式.
考点三一元二次方程根的判别式
【例3】(1)(2024·自贡)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
(2)(2023·扬州)若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为 k<1 .
【思路点拨】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到Δ=22-4×1×k>0,然后求出k的范围.
【方法小结】考点“一元二次方程根的判别式”在近年中考中多见于选择题,判断方程解的情况根据一元二次方程的根的判别式判断即可,但要注意一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0;一元二次方程有解分两种情况:①有两个相等的实数根;②有两个不相等的实数根.
考点四一元二次方程根与系数的关系
【例4】(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0的两根为x1,x2,且+=3,则p的值为(A)
A.- B. C.-6 D.6
【思路点拨】由根与系数的关系可得:x1+x2=-2,x1x2=p,再结合所给的条件求出p的值.
【方法小结】一元二次方程问题中,当出现方程解的和与积时,常运用根与系数的关系求解.运用根与系数的关系时需注意:①方程有解;②a≠0.
考点五一元二次方程的应用
【例5】 (2023·东营)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
【解析】设矩形ABCD的边AB=x m,则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.
(1)根据题意,得x(72-2x)=640,化简,得x2-36x+320=0,解得x1=16,x2=20,
当x=16时,72-2x=72-32=40;当x=20时,72-2x=72-40=32.
答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈;
(2)不能,理由:由题意得x(72-2x)=650,
化简,得x2-36x+325=0,Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴一元二次方程没有实数根.∴羊圈的面积不能达到650 m2.
【方法小结】找出相等关系列出一元二次方程是解决问题的关键,还应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于100%等.因此,解出方程的根后,一定要进行检验.
广东3年真题
1.(2024·深圳)一元二次方程x2-4x+a=0的一个解为x=1,则a= 3 .
2.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则c= 1 .
3.(2024·广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)化简:÷·.
【解析】(1)根据题意得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得m>3;
(2)∵m>3,∴m-3>0,
∴÷·=··=-2.

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