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第五讲　一次方程(组)及其应用
知识要点 对点练习
1.等式的性质 等式的性质1:如果a=b,那么a±c= ; 等式的性质2:如果a=b,那么ac= ; 如果a=b,那么= (c≠0). 1.根据等式的性质,下列各式变形正确的是( ) A.若=,则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-x=6,则x=-2
2.一元一次方程及其解法 (1)定义:含有 未知数,且未知数的 ,等号两边都是 的方程. (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右两边 的未知数的值. (3)解一元一次方程的步骤:去分母、 、 、 、系数化为1. 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)方程3x=2x+7的解是( ) A.x=4 B.x=-4 C.x=7 D.x=-7
3.二元一次方程组及其解法 (1)定义:含有 个未知数,并且含有 的次数都是1的 方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组. (2)二元一次方程组的解:能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值. (3)解二元一次方程组的思想: . (4)解法:① 消元法. ② 消元法. 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是( ) A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= (2)已知二元一次方程组,则x-y的值为 . (3)(教材再开发·人教七下P91例1改编) 解方程组.
考点一等式的基本性质
【例1】(2024·贵州)小红学习了等式的基本性质后,在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体,如图所示,天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x,y,则下列关系式正确的是( )
A.x=y B.x=2y
C.x=4y D.x=5y
考点二一元一次方程
【例2】(2023·永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为 x=1,则m的值为( )
A.3　 B.-3　 C.7　 D.-7
【方法小结】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能熟记方程的解的定义是解此题的关键,注意:使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解.
考点三二元一次方程(组)
【例3】(2022·雅安)已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 .
【思路点拨】把二元一次方程的解代入方程中,得到关于a,b的二元一次方程,利用整体法代入即可.
【方法小结】本题考查了二元一次方程的解,把二元一次方程的解代入方程中,得到关于a,b的一元一次方程是解题的关键.
考点四一次方程的应用
【例4】(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中,记载了一道题,大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,则快马追上慢马需要 天.
【思路点拨】设快马追上慢马需要x天,利用路程=速度×时间,结合快马追上慢马时快马和慢马跑的路程相等,可列出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【方法小结】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
考点五一次方程组的应用
【例5】(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称,键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
【思路点拨】设白色琴键有x个,黑色琴键有y个,根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.列出二元一次方程组,解方程组即可.
【方法小结】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
广东3年真题
1.(2022·深圳)张三经营了一家草场,草场里面种植上等草和下等草.他卖五捆上等草的根数减去11根,就等于七捆下等草的根数;卖七捆上等草的根数减去25根,就等于五捆下等草的根数.设上等草一捆为x根,下等草一捆为y根,则下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
2.(2024·广州)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆,且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆,根据题意,可列方程为( )
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
3. (2024·深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
4.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少 第五讲　一次方程(组)及其应用
知识要点 对点练习
1.等式的性质 等式的性质1:如果a=b,那么a±c= b±c ; 等式的性质2:如果a=b,那么ac= bc ; 如果a=b,那么= (c≠0). 1.根据等式的性质,下列各式变形正确的是(A) A.若=,则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-x=6,则x=-2
2.一元一次方程及其解法 (1)定义:含有 一个 未知数,且未知数的 次数为1 ,等号两边都是 整式 的方程. (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右两边 相等 的未知数的值. (3)解一元一次方程的步骤:去分母、 去括号 、 移项 、 合并同类项 、系数化为1. 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的个数为(B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)方程3x=2x+7的解是(C) A.x=4 B.x=-4 C.x=7 D.x=-7
3.二元一次方程组及其解法 (1)定义:含有 两 个未知数,并且含有 未知数的项 的次数都是1的 整式 方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组. (2)二元一次方程组的解:能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值. (3)解二元一次方程组的思想: 消元 . (4)解法:① 代入 消元法. ② 加减 消元法. 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是(A) A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= (2)已知二元一次方程组,则x-y的值为 1 . (3)(教材再开发·人教七下P91例1改编) 解方程组. 【解析】, ①+②得:5x=15, 解得:x=3, 将x=3代入①得:3×3+y=8,解得:y=-1, 故原方程组的解为.
考点一等式的基本性质
【例1】(2024·贵州)小红学习了等式的基本性质后,在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体,如图所示,天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质量分别为x,y,则下列关系式正确的是(C)
A.x=y B.x=2y
C.x=4y D.x=5y
考点二一元一次方程
【例2】(2023·永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为 x=1,则m的值为(A)
A.3　 B.-3　 C.7　 D.-7
【方法小结】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解,能熟记方程的解的定义是解此题的关键,注意:使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解.
考点三二元一次方程(组)
【例3】(2022·雅安)已知是方程ax+by=3的解,则代数式2a+4b-5的值为 1 .
【思路点拨】把二元一次方程的解代入方程中,得到关于a,b的二元一次方程,利用整体法代入即可.
【方法小结】本题考查了二元一次方程的解,把二元一次方程的解代入方程中,得到关于a,b的一元一次方程是解题的关键.
考点四一次方程的应用
【例4】(2024·贵州)在元朝朱世杰所著的《算术启蒙》中,记载了一道题,大意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,则快马追上慢马需要 20 天.
【思路点拨】设快马追上慢马需要x天,利用路程=速度×时间,结合快马追上慢马时快马和慢马跑的路程相等,可列出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论.
【方法小结】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键.
考点五一次方程组的应用
【例5】(2024·吉林)钢琴素有“乐器之王”的美称,键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
【思路点拨】设白色琴键有x个,黑色琴键有y个,根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.列出二元一次方程组,解方程组即可.
【解析】设白色琴键有x个,黑色琴键有y个,
由题意得:,
解得,
答:白色琴键有52个,黑色琴键有36个.
【方法小结】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
广东3年真题
1.(2022·深圳)张三经营了一家草场,草场里面种植上等草和下等草.他卖五捆上等草的根数减去11根,就等于七捆下等草的根数;卖七捆上等草的根数减去25根,就等于五捆下等草的根数.设上等草一捆为x根,下等草一捆为y根,则下列方程组正确的是(C)
A. B.
C. D.
2.(2024·广州)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆,且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆,根据题意,可列方程为(A)
A.1.2x+1 100=35 060
B.1.2x-1 100=35 060
C.1.2(x+1 100)=35 060
D.x-1 100=35 060×1.2
3. (2024·深圳)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大意是:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为(A)
A. B.
C. D.
4.(2022·广东)《九章算术》是我国古代的数学专著,几名学生要凑钱购买1本.若每人出8元,则多了3元;若每人出7元,则少了4元.问学生人数和该书单价各是多少
【解析】设学生有x人,该书单价为y元,
根据题意得:,
解得:.
答:学生有7人,该书单价为53元.

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