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第二十七讲　圆的有关计算与证明
知识要点 对点练习
1.正多边形和圆 (1)定义:各边__相等__,各角也都__相等__的多边形是正多边形. (2)正多边形和圆的关系:把一个圆__n等分__,依次连接__各分点__可作出圆的内接正n边形. 1.(教材再开发·北师九下P105T14改编)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是(A) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.72° B.70° C.60° D.45°
2.圆中的弧长与扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= __. (2)扇形面积: ①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= __. ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= lR__. 2.(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为(B) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为__8__. (3)若扇形的圆心角为120°,半径为,则它的弧长为__π__.
3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧=__2πRl__; ②S圆柱全=__2πR2+2πRl__; ③V圆柱=__πR2l__. (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有: ①S圆锥侧=__πRl__; ②S圆锥全=__πRl+πR2__; ③V圆锥=πR2h. 3.(教材再开发·人教九上P113练习T2改编) (1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是(D) A.96π cm2　 B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是__4__. (3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为__10π__cm2.
【考点一】弧长和扇形面积计算
【例1】(2023·荆州)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,B为上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,则的长为(B)
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
【方法小结】本题考查的是垂径定理、勾股定理及弧长的计算公式,根据垂径定理得出弦长的一半,再由勾股定理求出半径是解答此题的关键,同时要熟记圆弧长度的计算公式.
【例2】(2024·河南)如图,☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆,点D是的中点,连接BD,CD.以点D为圆心,BD的长为半径在☉O内画弧,则阴影部分的面积为(C)
A. B.4π C. D.16π
【思路点拨】由题知阴影部分为扇形BDC的面积,求出半径DB的长度和圆心角∠BDC的度数即可求解.
【考点二】圆柱和圆锥的侧面积、全面积计算
【例3】用半径为30 cm,圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面半径为(B)
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
【思路点拨】根据圆锥的侧面是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得.
【方法小结】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
【考点三】正多边形和圆
【例4】(2024·雅安)如图,☉O的周长为8π,正六边形ABCDEF内接于☉O,则△OAB的面积为(B)
A.4 B.4 C.6 D.6
【例5】(2023·杭州)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则=__2__.
【方法小结】此题考查了圆内接正多边形的性质、正六边形和正三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
【考点四】有关圆的阴影面积
【例6】 (2023·广元)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分的面积为(B)
A. B. C. D.
【例7】(2024·深圳模拟)如图所示,扇形AOB的圆心角是直角,半径为3,C为OA边上一点,将△BOC沿BC边折叠,圆心O恰好落在上的点D处,则阴影部分的面积为 -9__.
【思路点拨】连接OD,则OD=OB,由折叠得DB=OB,则△OBD是等边三角形,可求得∠OBD=60°,则∠OBC=∠DBC=30°.根据勾股定理求出OC,即可由S阴影=S扇形AOB-S△OBC-S△DBC求出阴影部分的面积.
广东3年真题
1.(2024·广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,若扇形的半径l是5,则该圆锥的体积是(D)
A.π B.π C.2π D.π
2.(2024·深圳)如图,小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,BC=AB,O为BC中点,OE=AB=4,则扇形EOF的面积为__4π__.
3.(2022·深圳)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径,半圆O上点C处有个吊灯EF,EF∥AB,CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.
(1)如图①,CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度;
(2)如图②,一个玻璃镜与圆O相切,H为切点,M为OB上一点,MH为入射光线,HN为反射光线,∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=,求ON的长度;
(3)如图③,M是线段OB上的动点,MH为入射光线,∠HOM=50°,HN为反射光线交半圆O于点N,在M从O运动到B的过程中,求N点的运动路径长.
【解析】(1)∵OM=1.6,DF=0.8,EF∥AB,
∴DF是△COM的中位线,∴点D是OC的中点,
∵OC=OA=4,∴CD=2;
(2)如图,过点N作ND⊥OH于点D,
∵∠OHN=45°,∴△NHD是等腰直角三角形,
∴ND=HD,
∵tan∠COH=,∠NDO=90°,
∴=,
设ND=3x=HD,则OD=4x,
∵OH=OA=4,∴OH=3x+4x=4,∴x=,
∴ND=×3=,OD=×4=,
∴ON==;
(3)如图,当点M与点O重合时,点N也与点O重合,当点M运动至点B时,点N运动至点T,故点N的运动路径长为OA+的长,
∵∠HOM=50°,OH=OB,∴∠OHB=∠OBH=65°,
∠OHM=∠OHT,OH=OT,∴∠OTH=∠OHT=65°,
∵∠TOH=50°,∴∠AOT=180°-50°-50°=80°,
∴的长为=π,
∴点N的运动路径长为4+π.
4.(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
【解析】(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下:
如图作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm,
折叠后CD=CE=×10=5(cm).
∵底面周长=×10π=5π(cm),
∴DE·π=5π cm,∴DE=5 cm,
∴==,
∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由(1)知CD=DE=CE=5 cm,∴∠CDE=60°,
过C作CF⊥DE于点F,则DF=DE= cm,
在Rt△CDF中,CF== cm,
∴V=π·()2××=π(cm3).
即滤纸围成圆锥形的体积是π cm3.第二十七讲　圆的有关计算与证明
知识要点 对点练习
1.正多边形和圆 (1)定义:各边__ __,各角也都__ __的多边形是正多边形. (2)正多边形和圆的关系:把一个圆__ __,依次连接__ __可作出圆的内接正n边形. 1.(教材再开发·北师九下P105T14改编)如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.72° B.70° C.60° D.45°
2.圆中的弧长与扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= __. (2)扇形面积: ①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= _. ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= __. 2.(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为( ) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为__ __. (3)若扇形的圆心角为120°,半径为,则它的弧长为__ __.
3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧=__ __; ②S圆柱全=__ __; ③V圆柱=__ __. (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有: ①S圆锥侧=__ __; ②S圆锥全=__ __; ③V圆锥=πR2h. 3.(教材再开发·人教九上P113练习T2改编) (1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是( ) A.96π cm2　 B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是__ __. (3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为__ __cm2.
【考点一】弧长和扇形面积计算
【例1】(2023·荆州)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,B为上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,则的长为( )
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
【方法小结】本题考查的是垂径定理、勾股定理及弧长的计算公式,根据垂径定理得出弦长的一半,再由勾股定理求出半径是解答此题的关键,同时要熟记圆弧长度的计算公式.
【例2】(2024·河南)如图,☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆,点D是的中点,连接BD,CD.以点D为圆心,BD的长为半径在☉O内画弧,则阴影部分的面积为( )
A. B.4π C. D.16π
【思路点拨】由题知阴影部分为扇形BDC的面积,求出半径DB的长度和圆心角∠BDC的度数即可求解.
【考点二】圆柱和圆锥的侧面积、全面积计算
【例3】用半径为30 cm,圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面半径为( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
【思路点拨】根据圆锥的侧面是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得.
【方法小结】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
【考点三】正多边形和圆
【例4】(2024·雅安)如图,☉O的周长为8π,正六边形ABCDEF内接于☉O,则△OAB的面积为( )
A.4 B.4 C.6 D.6
【例5】(2023·杭州)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为S1,△ACE的面积为S2,则=__ __.
【方法小结】此题考查了圆内接正多边形的性质、正六边形和正三角形的性质、全等三角形的性质和判定等知识,解题的关键是熟练掌握以上知识点.
【考点四】有关圆的阴影面积
【例6】 (2023·广元)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【例7】(2024·深圳模拟)如图所示,扇形AOB的圆心角是直角,半径为3,C为OA边上一点,将△BOC沿BC边折叠,圆心O恰好落在上的点D处,则阴影部分的面积为 _.
【思路点拨】连接OD,则OD=OB,由折叠得DB=OB,则△OBD是等边三角形,可求得∠OBD=60°,则∠OBC=∠DBC=30°.根据勾股定理求出OC,即可由S阴影=S扇形AOB-S△OBC-S△DBC求出阴影部分的面积.
广东3年真题
1.(2024·广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,若扇形的半径l是5,则该圆锥的体积是( )
A.π B.π C.2π D.π
2.(2024·深圳)如图,小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,BC=AB,O为BC中点,OE=AB=4,则扇形EOF的面积为__ __.
3.(2022·深圳)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径,半圆O上点C处有个吊灯EF,EF∥AB,CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.
(1)如图①,CM为一条拉线,M在OB上,OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度;
(2)如图②,一个玻璃镜与圆O相切,H为切点,M为OB上一点,MH为入射光线,HN为反射光线,∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=,求ON的长度;
(3)如图③,M是线段OB上的动点,MH为入射光线,∠HOM=50°,HN为反射光线交半圆O于点N,在M从O运动到B的过程中,求N点的运动路径长.
4.(2024·广东)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)

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