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第二十五讲　圆的认识
知识要点 对点练习
1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转__ __,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是__ __,任何一条__ __都是它的对称轴. 1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.(√)
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径__ __, 并且平分弦所对的__ __. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径__ __, 并且平分弦所对的__ __. 2.(1)(教材再开发·人教九上P83练习T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于__ __cm. (2)如图,若△ABC内接于半径为6的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为__ __.
3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧__ __,所对的弦__ __. (2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角__ __,所对的弦也__ __. (3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角__ __,所对的弧也__ __. 3.(教材再开发·人教九上P85练习T1改编) (1)如图,在☉O中,=,∠1=45°,则∠2=( ) A.60°　　　B.30°　　　 C.45°　　　D.40° (2)如图,在☉O中,AC=BD,若 ∠AOC=120°,则∠BOD=__ __.
4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角__ __,都等于这条弧所对的圆心角的__ __. (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是__ __,90°的圆周角所对的弦是__ __. ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角__ __,它们所对的弧一定__ __. 4.(1)(教材再开发·人教九上P122T1(2)改编) 如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为( ) A.32° B.42° C.52° D.62° (2)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为__ __.
5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角__ __. 5.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则∠C=__ __°.
【考点一】圆心角、圆周角之间的关系定理
【例1】(2024·云南)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( )
A.9° B.18° C.36° D.45°
【思路点拨】先连接AD,根据在同圆和等圆中,等弧所对的圆周角相等证明∠ADC=∠BDC,最后根据圆心角、圆周角之间的关系定理进行解答即可.
【方法小结】考点“圆心角、圆周角之间的关系定理”,多结合其他知识点一起考查,灵活运用圆心角、圆周角之间的关系定理即可.
【考点二】 垂径定理
【例2】(2024·凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为( )
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
【例3】(2024·牡丹江)如图,在☉O中,直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为__ _.
【方法小结】考点“垂径定理”,多与其他知识点一起出现在选择题或大题中,借助辅助线,构造直角三角形或等腰(边)三角形来解决问题.
【考点三】圆内接四边形
【例4】(2024·吉林)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
【思路点拨】根据BE∥AD,得出∠ADC=∠BEC=50°,再根据圆内接四边形的性质即可得出答案.
广东3年真题
1.(2023·深圳)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=__ __°.
2.(2022·广东)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB=,AD=1,求CD的长度.第二十五讲　圆的认识
知识要点 对点练习
1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转__一周__,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是__轴对称图形__,任何一条__直径所在直线__都是它的对称轴. 1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.(√)
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径__平分弦__, 并且平分弦所对的__两条弧__. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径__垂直于弦__, 并且平分弦所对的__两条弧__. 2.(1)(教材再开发·人教九上P83练习T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于__3__cm. (2)如图,若△ABC内接于半径为6的☉O,且∠A=60°,连接OB,OC,则边BC的长为__6__.
3.圆心角、弧、弦之间的关系 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧__相等__,所对的弦__相等__. (2)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角__相等__,所对的弦也__相等__. (3)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角__相等__,所对的弧也__相等__. 3.(教材再开发·人教九上P85练习T1改编) (1)如图,在☉O中,=,∠1=45°,则∠2=(C) A.60°　　　B.30°　　　 C.45°　　　D.40° (2)如图,在☉O中,AC=BD,若 ∠AOC=120°,则∠BOD=__120°__.
4.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角__相等__,都等于这条弧所对的圆心角的__一半__. (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__,90°的圆周角所对的弦是__直径__. ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角__相等__,它们所对的弧一定__相等__. 4.(1)(教材再开发·人教九上P122T1(2)改编) 如图,在☉O中,弦AB,CD相交于点P.若∠A=48°,∠APD=80°,则∠B的大小为(A) A.32° B.42° C.52° D.62° (2)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,若∠CAB=65°,则∠ADC的度数为__25°__.
5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角__互补__. 5.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则∠C=__105__°.
【考点一】圆心角、圆周角之间的关系定理
【例1】(2024·云南)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=(B)
A.9° B.18° C.36° D.45°
【思路点拨】先连接AD,根据在同圆和等圆中,等弧所对的圆周角相等证明∠ADC=∠BDC,最后根据圆心角、圆周角之间的关系定理进行解答即可.
【方法小结】考点“圆心角、圆周角之间的关系定理”,多结合其他知识点一起考查,灵活运用圆心角、圆周角之间的关系定理即可.
【考点二】 垂径定理
【例2】(2024·凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为(C)
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
【例3】(2024·牡丹江)如图,在☉O中,直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1,则弦AC的长为__3__.
【方法小结】考点“垂径定理”,多与其他知识点一起出现在选择题或大题中,借助辅助线,构造直角三角形或等腰(边)三角形来解决问题.
【考点三】圆内接四边形
【例4】(2024·吉林)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是(C)
A.50° B.100° C.130° D.150°
【思路点拨】根据BE∥AD,得出∠ADC=∠BEC=50°,再根据圆内接四边形的性质即可得出答案.
广东3年真题
1.(2023·深圳)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=__35__°.
2.(2022·广东)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.
(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;
(2)若AB=,AD=1,求CD的长度.
【解析】(1)△ABC是等腰直角三角形,证明过程如下:
∵AC为☉O的直径,
∴∠ADC=∠ABC=90°,
∵∠ADB=∠CDB,
∴=,
∴AB=BC,
又∵∠ABC=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)在Rt△ABC中,AB=BC=,∴AC=2,
在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,∴CD=.

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