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第二十八讲　尺规作图
【考点一】　简单尺规作图
【例1】(2024·广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
【解析】(1)如图所示:
(2)∵DE垂直平分线段AB,∴EB=EA,∴∠EBA=∠A=45°,∴∠BEA=90°,
∵BD=DA,∴DE=DB=DA=AB=4,∴BE=BD=4.
【方法小结】基本作图考查常见两种形式,一种给出作图步骤及作图痕迹,判断是哪种基本作图,一种为直接考查基本作图,要求保留作图痕迹,基本方法为熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹,熟悉常见的作图语言与对应的几何语言之间的转化.作图时注意尺规作图的规范性.
【考点二】复杂尺规作图
【例2】(2024·连云港)如图,AB与CD相交于点E,EC=ED,AC∥BD.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)用无刻度的直尺和圆规作图:求作菱形DMCN,使得点M在AC上,点N在BD上.
(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
【思路点拨】(1)根据平行,得出∠A=∠B,∠C=∠D,利用AAS证明全等;
(2)过点E作CD的垂线即可.
【解析】(1)∵AC∥BD,∴∠A=∠B,∠C=∠D,
在△AEC和△BED中,,∴△AEC≌△BED(AAS);
(2)如图,四边形DMCN即为所求作的菱形.
【例3】(2024·扬州)如图,已知∠PAQ及AP边上一点C.
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,以点O为圆心,OA长为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等;(保留作图痕迹,不写作法)
(3)在(1)(2)的条件下,若sin A=,CM=12,求BM的长.
【思路点拨】(1)作AC的垂直平分线交AQ于点O.
(2)以点O为圆心,OA长为半径画圆交AQ于点B,作∠CBQ的平分线交AP于点M,点M即为所求;
(3)可设BC=3k,AB=5k,则AC=4k,证明△MBC≌△MBH,推出BC=BH=3k,
AH=AB+BH=8k,再推出MH=6k,构建方程求解.
【解析】(1)如图,点O即为所求;
(2)如图,点B,点M即为所求;
(3)由作图可知OA=OC=OB,∴∠ACB=90°,
∵sin A==,∴设BC=3k,AB=5k,则AC=4k,
∵BM平分∠CBQ,MC⊥CB,MH⊥BQ,∴∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90°,
∵BM=BM,∴△MBC≌△MBH(AAS),∴BC=BH=3k,∴AH=AB+BH=8k,
∵sin A==,∴AM=10k,MH=MC=6k,∴12=6k,∴k=2,∴BH=6,MH=12,
∴BM===6.
【方法小结】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
1.(2024·深圳)在如图的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分
∠BAC的是(B)
A.①② B.①③ C.②③ D.只有①
2.(2023·广东)如图,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.
【解析】(1)如图,DE即为所求;
(2)∵cos∠DAB=,∴AE=AD·cos 30°=4×=2,∴BE=AB-AE=6-2.第二十八讲　尺规作图
【考点一】　简单尺规作图
【例1】(2024·广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
【方法小结】基本作图考查常见两种形式,一种给出作图步骤及作图痕迹,判断是哪种基本作图,一种为直接考查基本作图,要求保留作图痕迹,基本方法为熟悉五个基本的作图步骤及作图痕迹,熟悉常见的作图语言与对应的几何语言之间的转化.作图时注意尺规作图的规范性.
【考点二】复杂尺规作图
【例2】(2024·连云港)如图,AB与CD相交于点E,EC=ED,AC∥BD.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)用无刻度的直尺和圆规作图:求作菱形DMCN,使得点M在AC上,点N在BD上.
(不写作法,保留作图痕迹,标明字母)
【思路点拨】(1)根据平行,得出∠A=∠B,∠C=∠D,利用AAS证明全等;
(2)过点E作CD的垂线即可.
【例3】(2024·扬州)如图,已知∠PAQ及AP边上一点C.
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,以点O为圆心,OA长为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等;(保留作图痕迹,不写作法)
(3)在(1)(2)的条件下,若sin A=,CM=12,求BM的长.
【思路点拨】(1)作AC的垂直平分线交AQ于点O.
(2)以点O为圆心,OA长为半径画圆交AQ于点B,作∠CBQ的平分线交AP于点M,点M即为所求;
(3)可设BC=3k,AB=5k,则AC=4k,证明△MBC≌△MBH,推出BC=BH=3k,
AH=AB+BH=8k,再推出MH=6k,构建方程求解.
【方法小结】复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作.
1.(2024·深圳)在如图的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分
∠BAC的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.只有①
2.(2023·广东)如图,在 ABCD中,∠DAB=30°.
(1)实践与操作:用尺规作图法过点D作AB边上的高DE;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)应用与计算:在(1)的条件下,AD=4,AB=6,求BE的长.

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