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第三十讲　图形的轴对称、平移和旋转
知识要点 对点练习
1.平移、旋转与轴对称的有关性质 (1)平移的性质. ①平移后的图形与原图形的对应线段__ __(或在同一条直线上)且__ __,对应角__ __. ②连接各组对应点的线段__ __(或在同一条直线上)且__ __. (2)旋转的性质. ①对应点到旋转中心的距离__ __. ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__ __. ③旋转前、后的图形__ __. (3)轴对称的性质. ①如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的__ __. ②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的__ __. (4)中心对称的性质. ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__ __,而且被对称中心所__ __. ②中心对称的两个图形是__ __图形. 1.(1)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) (2)如图,△ABC经过水平向右平移后得到△DEF,若AE=9 cm,BD=3 cm,则平移的距离为( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
2.坐标变换的规律 (1)在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点__ __(或__ __);将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点__ __(或__ __). (2)在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为__ __,关于y轴对称的点的坐标为__ __. (3)在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'__ __. 2.(1)(教材再开发·人教九上P62T4改编)如图,将△ABC先向右平移1个单位,再绕点P按顺时针方向旋转90°,得到△A'B'C',则点B的对应点B'的坐标是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(4,0) B.(2,-2) C.(4,-1) D.(2,-3) (2)已知点(3,2),则它关于原点的对称点坐标为__ __.
【考点一】轴对称图形、中心对称图形
【例1】(2024·齐齐哈尔)下列美术字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
【方法小结】考点“轴对称图形、中心对称图形”多见于选择题,要根据定义判断,轴对称图形是:能找到对称轴使得两边的图形完全重合,中心对称图形是:绕着一点旋转180°仍然与原图形完全重合,但要仔细读题,注意题目要求.
【考点二】　图形的平移
【例2】(2024·临夏州)如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 __.
【方法小结】考点“图形的平移”,一般要注意沿着某一方向移动一定距离,平移后不改变图形的形状和大小,多用于全等的应用.
【考点三】　图形的旋转
【例3】(2024·广元)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD=3,BC=1,则AD的长为( )
A. B. C.2 D.2
【方法小结】考点“图形的旋转”一般在综合应用中出现,要抓出“旋转中心、旋转角、旋转方向”三要素,清晰识图,旋转后不改变图形的形状和大小.
【考点四】　图形的变换与坐标的变化
【例4】如图,△AOB中,OA=4,OB=6,AB=2,将△AOB绕原点O旋转90°,则旋转后点A的对应点A'的坐标是( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.(4,2)或(-4,2) B.(2,-4)或(-2,4)
C.(-2,2)或(2,-2) D.(2,-2)或(-2,2)
【方法小结】考点“图形的变换与坐标的变化”多在函数的应用的考点中出现,坐标点的平移口诀是:左减右加,纵坐标不变,上加下减,横坐标不变;坐标的对称口诀是:关于谁,谁不变,关于原点都要变;点(x,y)绕原点顺时针旋转90°所得点的坐标为(y,-x),掌握规律,解题难度不大.
【考点五】　折叠问题
【例5】(2024·牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他进行了如下操作:
第一步,如图①,将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平.
第二步,如图②,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E,则线段EN的长为( )
A.8 cm B. cm C. cm D. cm
【思路点拨】根据矩形的性质和折叠的性质推出∠ANM=∠D'AN,进而得出EA=AN,设EA=AN=x cm,则EM=(12-x)cm,根据勾股定理可得:AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.
【方法小结】考点“折叠问题”是轴对称图形的知识延伸,一般考查:求折点位置、折线长、重叠的面积、角度等,利用轴对称的性质,折线两边的图形全等,折线垂直平分对应点连线,对应边平行或交点在折线上,多在综合题出现,解题时注意分解问题,找到思路.
【考点六】　网格作图
【例6】(2024·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建
立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),
(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【方法小结】网格作图题是对图形变换的综合考查,在网格中可以同时考查平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换.此类题目属于图形的操作问题,在网格中进行图形变换的操作时,图形的每一个顶点都是关键点,可以将图形的变换操作转化为点的变换操作.此类题目属于中档题,复习时注意联系即可.
1.(2023·广东)下列出版社的商标图案中,是轴对称图形的为( )
2.(2023·深圳)下列图形中,为轴对称的图形的是( )
3.(2024·广州)下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )
4.(2023·深圳)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·深圳)下列用七巧板拼成的图案中,为中心对称图形的是( )
6.(2024·广东)下列几何图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
7.(2024·广东)【知识技能】
(1)如图1,在△ABC中,DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点D按逆时针方向旋转,得到△A'DC'.当点E的对应点E'与点A重合时,求证:AB=BC.
【数学理解】
(2)如图2,在△ABC中(AB【拓展探索】
(3)如图3,在△ABC中,tan B=,点D在AB上,AD=.过点D作DE⊥BC,垂足为E,BE=3,CE=.在四边形ADEC内是否存在点G,使得∠AGD+∠CGE=180° 若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.第三十讲　图形的轴对称、平移和旋转
知识要点 对点练习
1.平移、旋转与轴对称的有关性质 (1)平移的性质. ①平移后的图形与原图形的对应线段__平行__(或在同一条直线上)且__相等__,对应角__相等__. ②连接各组对应点的线段__平行__(或在同一条直线上)且__相等__. (2)旋转的性质. ①对应点到旋转中心的距离__相等__. ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__. ③旋转前、后的图形__全等__. (3)轴对称的性质. ①如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的__垂直平分线__. ②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的__垂直平分线__. (4)中心对称的性质. ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过__对称中心__,而且被对称中心所__平分__. ②中心对称的两个图形是__全等__图形. 1.(1)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A) (2)如图,△ABC经过水平向右平移后得到△DEF,若AE=9 cm,BD=3 cm,则平移的距离为(C) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
2.坐标变换的规律 (1)在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点__(x+a,y)__(或__(x-a,y)__);将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点__(x,y+b)__(或__(x,y-b)__). (2)在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为__(x,-y)__,关于y轴对称的点的坐标为__(-x,y)__. (3)在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'__(-x,-y)__. 2.(1)(教材再开发·人教九上P62T4改编)如图,将△ABC先向右平移1个单位,再绕点P按顺时针方向旋转90°,得到△A'B'C',则点B的对应点B'的坐标是(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(4,0) B.(2,-2) C.(4,-1) D.(2,-3) (2)已知点(3,2),则它关于原点的对称点坐标为__(-3,-2)__.
【考点一】轴对称图形、中心对称图形
【例1】(2024·齐齐哈尔)下列美术字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(D)
【方法小结】考点“轴对称图形、中心对称图形”多见于选择题,要根据定义判断,轴对称图形是:能找到对称轴使得两边的图形完全重合,中心对称图形是:绕着一点旋转180°仍然与原图形完全重合,但要仔细读题,注意题目要求.
【考点二】　图形的平移
【例2】(2024·临夏州)如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 __.
【方法小结】考点“图形的平移”,一般要注意沿着某一方向移动一定距离,平移后不改变图形的形状和大小,多用于全等的应用.
【考点三】　图形的旋转
【例3】(2024·广元)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD=3,BC=1,则AD的长为(A)
A. B. C.2 D.2
【方法小结】考点“图形的旋转”一般在综合应用中出现,要抓出“旋转中心、旋转角、旋转方向”三要素,清晰识图,旋转后不改变图形的形状和大小.
【考点四】　图形的变换与坐标的变化
【例4】如图,△AOB中,OA=4,OB=6,AB=2,将△AOB绕原点O旋转90°,则旋转后点A的对应点A'的坐标是(C)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.(4,2)或(-4,2) B.(2,-4)或(-2,4)
C.(-2,2)或(2,-2) D.(2,-2)或(-2,2)
【方法小结】考点“图形的变换与坐标的变化”多在函数的应用的考点中出现,坐标点的平移口诀是:左减右加,纵坐标不变,上加下减,横坐标不变;坐标的对称口诀是:关于谁,谁不变,关于原点都要变;点(x,y)绕原点顺时针旋转90°所得点的坐标为(y,-x),掌握规律,解题难度不大.
【考点五】　折叠问题
【例5】(2024·牡丹江)小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他进行了如下操作:
第一步,如图①,将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平.
第二步,如图②,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E,则线段EN的长为(B)
A.8 cm B. cm C. cm D. cm
【思路点拨】根据矩形的性质和折叠的性质推出∠ANM=∠D'AN,进而得出EA=AN,设EA=AN=x cm,则EM=(12-x)cm,根据勾股定理可得:AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.
【方法小结】考点“折叠问题”是轴对称图形的知识延伸,一般考查:求折点位置、折线长、重叠的面积、角度等,利用轴对称的性质,折线两边的图形全等,折线垂直平分对应点连线,对应边平行或交点在折线上,多在综合题出现,解题时注意分解问题,找到思路.
【考点六】　网格作图
【例6】(2024·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建
立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),
(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积=10×8-2××2×4-2××4×8=40;
(3)如图,点E即为所求(答案不唯一),点E的坐标为(6,6).
【方法小结】网格作图题是对图形变换的综合考查,在网格中可以同时考查平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换.此类题目属于图形的操作问题,在网格中进行图形变换的操作时,图形的每一个顶点都是关键点,可以将图形的变换操作转化为点的变换操作.此类题目属于中档题,复习时注意联系即可.
1.(2023·广东)下列出版社的商标图案中,是轴对称图形的为(A)
2.(2023·深圳)下列图形中,为轴对称的图形的是(D)
3.(2024·广州)下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是(C)
4.(2023·深圳)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形时,则a的值为(B)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·深圳)下列用七巧板拼成的图案中,为中心对称图形的是(C)
6.(2024·广东)下列几何图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是(C)
7.(2024·广东)【知识技能】
(1)如图1,在△ABC中,DE是△ABC的中位线.连接CD,将△ADC绕点D按逆时针方向旋转,得到△A'DC'.当点E的对应点E'与点A重合时,求证:AB=BC.
【数学理解】
(2)如图2,在△ABC中(AB【拓展探索】
(3)如图3,在△ABC中,tan B=,点D在AB上,AD=.过点D作DE⊥BC,垂足为E,BE=3,CE=.在四边形ADEC内是否存在点G,使得∠AGD+∠CGE=180° 若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转,得到△A'DC',且E'与A重合,
∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,∴∠DEA=∠BCA,∴∠DAE=∠BCA,∴AB=BC.
(2)连接AA',由旋转的性质可得∠ADA'=∠CDC',AD=A'D,CD=C'D,
∴=,∴△ADA'∽△CDC',∴=,
∵DE是△ABC的中位线,DF是△A'BD的中线,∴AD=BD,BF=A'F,
∴DF是△AA'B的中位线,∴AA'=2DF,∴=,∴2DF·CD=BD·CC'.
(3)存在,理由如下,
符合的情况一:取AD中点M,CE中点N,连接MN,
∵AD是☉M的直径,CE是☉N的直径,∴∠AGD=90°,∠CGE=90°,
∴∠AGD+∠CGE=180°,∵tan B=,BE=3,∴BD=5,
∵CE=,∴EN=CE=,∴BN=BE+EN=,
∵DE⊥CE,∴DE是☉N的切线,即DE在☉N外,
连接DN,∵在Rt△DEN中,由勾股定理得DN=,
∴BD2+DN2=BN2,∴∠BDN=90°,∵DN大于☉N的半径,
∴AB在☉N外,∵在Rt△MDN中,DM=AD=,
∴MN==,∵MD+EN=+=,
∴MN故四边形ADEC内存在点G,使得∠AGD+∠CGE=180°.
符合的情况二:如图,取AD中点M,CE中点N,作DG⊥DE,NG⊥BC,交于点G,连接MG,AG,CG,EG,
∵DE⊥BC,∴四边形ENGD是矩形,∴DG∥BC,GN=DE=4,GD=EN,
∴∠MDG=∠B,∵M是AD的中点,N是CE的中点,AD=,CE=,
∴MD=AD=,EN=CE=,∴tan∠EGN==,∵tan B=,∴∠EGN=∠B,
∴∠EGN=∠GDM,∵GE==,∴==,
∴△MDG∽△NGE,∴∠DGM=∠GEN,∠DMG=∠GNE=90°,
∵∠GEN+∠EGN=90°,AG=DG,EG=CG,
∴∠DGM+∠EGN=90°,∠AGD=2∠DGM,∠CGE=2∠EGN,
∴∠AGD+∠CGE=180°,
故四边形ADEC内存在点G,使得∠AGD+∠CGE=180°.(答案不唯一)

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