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第十二讲　反比例函数
知识要点 对点练习
1.反比例函数表达式的三种形式 (1)y= __(k≠0,k为常数). (2)y=k__ __(k≠0,k为常数). (3)xy=__ __(k≠0,k为常数). 1.反比例函数y=的图象一定经过的点是( ) A.(-3,2) B.(2,-3) C.(-2,-4) D.(2,3)
2.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是__ __,且关于__ __对称. (2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质: 2.(1)(教材再开发·人教九下P7例4改编)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,且x1<00 C.y1-y2<0 D.y1-y2>0 (2)一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
3.k的几何意义 (1)S=|k| (2)S= 3.(教材再开发·北师九上P157T5改编)已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6
考点一 反比例函数的定义
【例1】下列函数中,是反比例函数的是( )
A.y= B.y= C.xy=k D.y=+2
【方法小结】考点“反比例函数的定义”多见于选择题,要根据定义判断,是否能转化成y=(k为常数,k≠0)的形式,但要注意自变量的取值范围.
考点二 反比例函数的图象与性质
【例2】(2023·武汉)关于反比例函数y=,下列结论正确的是( )　
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
【方法小结】考点“反比例函数的图象与性质”在中考中以填空题、选择题、解答题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用反比例函数的图象与性质,常用排除法.
注意:(1)反比例函数的图象是双曲线,而且双曲线无限接近于坐标轴,但永不与坐标轴相交;
(2)反比例函数的图象位置及图象的弯曲程度都与k有关;
(3)反比例函数图象的增减性必须强调在每一个分支上,不能认为在整个自变量取值范围内增大(或减小).
考点三 反比例函数的表达式的确定
【例3】如图,大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数y=的图象与大正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求图中阴影部分的面积.
【方法小结】确定反比例函数表达式,一般用待定系数法求出表达式.要注意确定函数图象上一点的坐标,利用xy=k即可求得k值并确定函数表达式.
考点四 反比例函数与一次函数
【例4】(2024·安徽)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3,则k的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【例5】(2024·湖北)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4).
(1)求m,n,k的值;
(2)若C是反比例函数y=的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围.
【方法小结】反比例函数与一次函数的综合题,主要是通过函数图象的交点作为联系,运用“函数图象的交点同时满足两个函数的表达式”这一特点,一般用其中一个函数的表达式求出交点的坐标,再代入另一个函数表达式;也常见于选择题,一般为探求同一坐标系下两个函数的图象问题,解决方法通常为利用函数的图象与性质排除错误选项.
考点五 反比例函数的面积问题
【例6】(2024·苏州)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则的值为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】作AG⊥x轴,BH⊥x轴,可证明△AGO∽△OHB,利用面积比等于相似比的平方解答即可.
考点六 反比例函数综合
【例7】(2024·泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与x轴相交于点A(-2,0),与反比例函数y=的图象相交于点B(2,3).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)直线x=m(m>2)与反比例函数y=(x>0)和y=-(x>0)的图象分别交于点C,D,且S△OBC=2S△OCD,求点C的坐标.
【方法小结】解答反比例函数综合题,要善于运用数形结合的思想方法,通过构图和图形的性质分析问题.常从函数图象上的关键点入手,通过待定量表示点的坐标,根据图形性质或图形变换后不变的线段或角表示出其他关键点的坐标,进而表示线段的长度、图形的面积等.这是解决该类问题最基本的途径,预计本考点仍会延续此命题方式.
1.(2022·广东)点(1,y1),(2,y2),(3,y3),(4,y4)在反比例函数y=图象上,则y1,y2,y3,y4中最小的是( )
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
2.(2023·广东)某蓄电池的电压为48V,使用此蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为I=.当R=12Ω时,I的值为__ __A.
3.(2024·深圳)如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB为菱形,tan∠AOC=,且点A落在反比例函数y=上,点B落在反比例函数y=(k≠0)上,则k=__ __.
4.(2022·深圳)如图,已知Rt△ABO中,AO=1,将△ABO绕点O旋转至△A'B'O的位置,且A'在OB的中点,B'在反比例函数y=上,则k的值为 __.
5.(2023·深圳)如图,Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中,∠AOB=
∠BOC=30°,BA⊥OA,CB⊥OB,若AB=,反比例函数y=(k≠0)恰好经过点C,则k=__ __.
6.(2024·广东)【问题背景】
如图1,在平面直角坐标系中,点B,D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以线段BD为对角线作矩形ABCD,AD∥x轴.反比例函数y=的图象经过点A.
【构建联系】
(1)求证:函数y=的图象必经过点C.
(2)如图2,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E落在y轴上,且点B的坐标为(1,2)时,求k的值.
【深入探究】
(3)如图3,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E,A重合时,连接AC交BD于点P.以点O为圆心,AC长为半径作☉O.若OP=3,当☉O与△ABC的边有交点时,求k的取值范围.第十二讲　反比例函数
知识要点 对点练习
1.反比例函数表达式的三种形式 (1)y= __(k≠0,k为常数). (2)y=k__x-1__(k≠0,k为常数). (3)xy=__k__(k≠0,k为常数). 1.反比例函数y=的图象一定经过的点是(D) A.(-3,2) B.(2,-3) C.(-2,-4) D.(2,3)
2.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是__双曲线__,且关于__原点__对称. (2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质: 2.(1)(教材再开发·人教九下P7例4改编)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,且x1<00 C.y1-y2<0 D.y1-y2>0 (2)一次函数y=ax+b与反比例函数y=(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是(D)
3.k的几何意义 (1)S=|k| (2)S= 3.(教材再开发·北师九上P157T5改编)已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是(B) A.3 B.-3 C.6 D.-6
考点一 反比例函数的定义
【例1】下列函数中,是反比例函数的是(B)
A.y= B.y= C.xy=k D.y=+2
【方法小结】考点“反比例函数的定义”多见于选择题,要根据定义判断,是否能转化成y=(k为常数,k≠0)的形式,但要注意自变量的取值范围.
考点二 反比例函数的图象与性质
【例2】(2023·武汉)关于反比例函数y=,下列结论正确的是(C)　
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
【方法小结】考点“反比例函数的图象与性质”在中考中以填空题、选择题、解答题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用反比例函数的图象与性质,常用排除法.
注意:(1)反比例函数的图象是双曲线,而且双曲线无限接近于坐标轴,但永不与坐标轴相交;
(2)反比例函数的图象位置及图象的弯曲程度都与k有关;
(3)反比例函数图象的增减性必须强调在每一个分支上,不能认为在整个自变量取值范围内增大(或减小).
考点三 反比例函数的表达式的确定
【例3】如图,大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,反比例函数y=的图象与大正方形的一边交于点A(1,2),且经过小正方形的顶点B.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)∵反比例函数y=的图象经过点A(1,2),∴2=,
∴k=2,∴反比例函数的解析式为y=;
(2)∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,
∴设B点的坐标为(m,m),
∵反比例函数y=的图象经过B点,∴m=,
∴m2=2,∴小正方形的面积为4m2=8,
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合,边分别与坐标轴平行,且A(1,2),
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2,2),
∴大正方形的面积为4×22=16,
∴题图中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=16-8=8.
【方法小结】确定反比例函数表达式,一般用待定系数法求出表达式.要注意确定函数图象上一点的坐标,利用xy=k即可求得k值并确定函数表达式.
考点四 反比例函数与一次函数
【例4】(2024·安徽)已知反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的横坐标为3,则k的值为(A)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【例5】(2024·湖北)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4).
(1)求m,n,k的值;
(2)若C是反比例函数y=的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围.
【解析】(1)把点A(-3,0)坐标代入y=x+m得:0=-3+m,解得m=3,
∴一次函数表达式为y=x+3,
把点B(n,4)坐标代入一次函数表达式得4=n+3,解得n=1,
把点B(1,4)坐标代入反比例函数表达式得:4=,解得k=4,
∴反比例函数表达式为y=.
(2)∵△AOC的面积小于△AOB的面积,∴yC∵点C在反比例函数图象上,且在第一象限,∴<4,∴a>1.
【方法小结】反比例函数与一次函数的综合题,主要是通过函数图象的交点作为联系,运用“函数图象的交点同时满足两个函数的表达式”这一特点,一般用其中一个函数的表达式求出交点的坐标,再代入另一个函数表达式;也常见于选择题,一般为探求同一坐标系下两个函数的图象问题,解决方法通常为利用函数的图象与性质排除错误选项.
考点五 反比例函数的面积问题
【例6】(2024·苏州)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则的值为(A)
A. B. C. D.
【思路点拨】作AG⊥x轴,BH⊥x轴,可证明△AGO∽△OHB,利用面积比等于相似比的平方解答即可.
考点六 反比例函数综合
【例7】(2024·泸州)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与x轴相交于点A(-2,0),与反比例函数y=的图象相交于点B(2,3).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)直线x=m(m>2)与反比例函数y=(x>0)和y=-(x>0)的图象分别交于点C,D,且S△OBC=2S△OCD,求点C的坐标.
【解析】(1)将点A和点B的坐标代入一次函数表达式得,,
解得,
∴一次函数的表达式为y=x+.
将点B坐标代入反比例函数表达式得,a=2×3=6,
∴反比例函数的表达式为y=.
(2)将x=m分别代入y=和y=-得,
点C的坐标为(m,),点D的坐标为(m,-),
∴S△OCD=[-(-) ]·m=4.
又∵S△OBC=2S△OCD,∴S△OBC=8.
令直线CD与x轴的交点为M,
过点B作x轴的垂线,垂足为N,
∵S△BON+S梯形BNMC=S△BOC+S△COM,且S△BON=S△COM,
∴S梯形BNMC=S△BOC=8,
∴=8,
解得m1=6,m2=-.
∵m>2,∴m=6,则点C的坐标为(6,1).
【方法小结】解答反比例函数综合题,要善于运用数形结合的思想方法,通过构图和图形的性质分析问题.常从函数图象上的关键点入手,通过待定量表示点的坐标,根据图形性质或图形变换后不变的线段或角表示出其他关键点的坐标,进而表示线段的长度、图形的面积等.这是解决该类问题最基本的途径,预计本考点仍会延续此命题方式.
1.(2022·广东)点(1,y1),(2,y2),(3,y3),(4,y4)在反比例函数y=图象上,则y1,y2,y3,y4中最小的是(D)
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
2.(2023·广东)某蓄电池的电压为48V,使用此蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)的函数表达式为I=.当R=12Ω时,I的值为__4__A.
3.(2024·深圳)如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB为菱形,tan∠AOC=,且点A落在反比例函数y=上,点B落在反比例函数y=(k≠0)上,则k=__8__.
4.(2022·深圳)如图,已知Rt△ABO中,AO=1,将△ABO绕点O旋转至△A'B'O的位置,且A'在OB的中点,B'在反比例函数y=上,则k的值为 __.
5.(2023·深圳)如图,Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中,∠AOB=
∠BOC=30°,BA⊥OA,CB⊥OB,若AB=,反比例函数y=(k≠0)恰好经过点C,则k=__4__.
6.(2024·广东)【问题背景】
如图1,在平面直角坐标系中,点B,D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB),以线段BD为对角线作矩形ABCD,AD∥x轴.反比例函数y=的图象经过点A.
【构建联系】
(1)求证:函数y=的图象必经过点C.
【解析】(1)设B(m,ma),则A(m,),∵AD∥x轴,∴D点的纵坐标为,
将y=代入y=ax中,得:=ax,∴x=,
∴D(,),∴C(,am),
将x=代入y=中得出,y=am,∴函数y=的图象必经过点C;
(2)如图2,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E落在y轴上,且点B的坐标为(1,2)时,求k的值.
【深入探究】
(3)如图3,把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E.当点E,A重合时,连接AC交BD于点P.以点O为圆心,AC长为半径作☉O.若OP=3,当☉O与△ABC的边有交点时,求k的取值范围.
【解析】(2)∵点B(1,2)在直线y=ax上,
∴a=2,∴y=2x,
∴A点的横坐标为1,C点的纵坐标为2,
∵函数y=的图象经过点A,C,
∴C(,2),A(1,k),
∴D(,k),
∴DC=k-2,
∵把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E,
∴BE=BC=-1,∠BED=∠BCD=90°,
∴==2=,
如图,过点D作DH⊥y轴,过点B作BF⊥y轴,
∵AD∥x轴,
∴H,A,D三点共线,
∴∠HED+∠BEF=90°,∠BEF+∠EBF=90°,
∴∠HED=∠EBF,
∵∠DHE=∠EFB=90°,
∴△DHE∽△EFB,
∴===2,
∵BF=1,DH=,
∴HE=2,EF=,
∴HF=2+,
由图知,HF=DC,
∴2+=k-2,
∴k=.
(3)∵把矩形ABCD沿BD折叠,点C的对应点为E,当点E,A重合,
∴AC⊥BD,
∵四边形ABCD为矩形,
∴四边形ABCD为正方形,∠ABP=∠DBC=45°,
∴AB=BC=CD=DA==AP,AP=PC=BP=AC,BP⊥AC,
∵BC∥x轴,
∴直线y=ax为第一,三象限的夹角平分线,
∴y=x,
当☉O过点B时,如图所示,过点D作DH∥x轴交y轴于点H,
∵AD∥x轴,
∴H,A,D三点共线,
∵以点O为圆心,AC长为半径作☉O,OP=3,
∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=3,
∴AP=,
∴AB=AD=AP=2,BD=2AP=2,BO=AC=2AP=2,
∵AB∥y轴,∴△DHO∽△DAB,
∴==,
∴==,
∴HO=HD=4,
∴HA=HD-DA=4-2=2,
∴A(2,4),
∴k=2×4=8,
当☉O过点A时,根据A,C关于直线OD对称知,☉O必过点C,如图所示,连AO,CO,过点D作DH∥x轴交y轴于点H,
∵AO=OC=AC,
∴△AOC为等边三角形,
∵OP⊥AC,
∴∠AOP=×60°=30°,
∴AP=tan 30°×OP=×3==PD,AC=BD=2AP=2,
∴AB=AD=AP=2,OD=OP+PD=3+,
∵AB∥y轴,∴△DHO∽△DAB,
∴==,
∴==,
∴HO=HD=3+,
∴HA=HD-DA=3+-2=3-,
∴A(3-,3+),
∴k=(3-)×(3+)=6,
∴当☉O与△ABC的边有交点时,k的取值范围为6≤k≤8.

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