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第十讲　平面直角坐标系、函数及其图象
知识要点 对点练习
1.平面直角坐标系 (1)各象限点的坐标的符号特征: 第一象限(+,+);第二象限__ __; 第三象限(-,-);第四象限__ __. (2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点__ __为0;y轴上的点__ __为0;原点的坐标为__ __. 1.(1)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为( ) A.-1 B.1 C.-3 D.0
2.函数的定义 (1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做__ __,数值变化的量叫做__ __. (2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有__ __确定的值与其对应,那么就说__ __是自变量,__ __是__ __的函数. 如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的 __. 2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是( )　　　　 A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r (2)下列说法正确的是( ) A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数 B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数 C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数 D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
考点一 点的坐标
【例1】在平面直角坐标系内有一点P,已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为4,则点P的坐标不可能是( )
A.(-2,-4) B.(4,2) C.(-4,2) D.(4,-2)
【思路点拨】根据到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值,得到具体坐标即可求解.
【例2】已知点P(8-2m,m+1)在x轴上,则点P的坐标为( )
A.(0,7) B.(0,5) C.(10,0) D.(6,0)
考点二 函数自变量的取值范围
【例3】(2023·广安)函数y=的自变量x的取值范围是__ __.
【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组,解不等式组得到答案.
【方法小结】函数解析式中自变量的取值范围:
(1)若函数解析式是整式,其取值范围是全体实数.
(2)若函数解析式是分式,其取值范围应使分母不等于0.
(3)若函数解析式是偶次根式,其取值范围应使被开方数为非负实数.
(4)同时含有分式、二次根式时,函数自变量的取值范围是满足它们成立的条件的公共解.
考点三 坐标位置的确定
【例4】(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【思路点拨】先根据题意确定平面直角坐标系,然后确定点的位置.
【例5】(2024·临夏州)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为( )
A.(-4,2) B.(-,4) C.(-2,4) D.(-4,)
【思路点拨】过C作CN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M,由勾股定理求出OC,由菱形的性质推出AC=OC,AC∥BO,判定四边形AMNC是矩形,得到MN=AC,求出OM,因此求出点A的坐标.
考点四 关于坐标轴或原点对称的点
【例6】(2024·凉山州)点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b),则a+b的值是( )
A.1 B.-1 C.-5 D.5
【思路点拨】关于原点对称的点,横纵坐标都为相反数.
【方法小结】考点“关于坐标轴或原点对称的点”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,熟记关于对称的点的坐标特征和符号规律是关键,关于x轴对称的两个点的横坐标不变、纵坐标互为相反数,关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标不变,关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.
考点五 函数图象的实际应用
【例7】(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中,温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )
【例8】(2024·临夏州)如图1,矩形ABCD中,BD为其对角线,一动点P从D出发,沿着D→B→C的路径行进,过点P作PQ⊥CD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与x的函数图象如图2,则AD的长为( )
A. B. C. D.
【方法小结】考点“函数图象的实际应用”在中考中多以选择题的形式出现,解答此类题需弄清横、纵坐标的代表量,并观察确定函数图象分为几段,弄清每一段的自变量x与因变量y的变化情况及变化趋势.考查动点的函数图象问题,关键利用数形结合的思想,根据几何知识求出函数解析式,再根据函数解析式确定函数图象.
1.(2022·广东)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位后,得到的点的坐标是( )
A.(3,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(1,-1)
2.(2023·深圳)如图1,在Rt△ABC中,动点P从A点运动止,速度为2单位/s,其中BP长与运动时间t(单位:s)的关系如图2,则AC的长为( )
A. B. C.17 D.5第十讲　平面直角坐标系、函数及其图象
知识要点 对点练习
1.平面直角坐标系 (1)各象限点的坐标的符号特征: 第一象限(+,+);第二象限__(-,+)__; 第三象限(-,-);第四象限__(+,-)__. (2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点__纵坐标__为0;y轴上的点__横坐标__为0;原点的坐标为__(0,0)__. 1.(1)在平面直角坐标系中,点P(-1,m2+1)位于(B) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为(C) A.-1 B.1 C.-3 D.0
2.函数的定义 (1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做__常量__,数值变化的量叫做__变量__. (2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有__唯一__确定的值与其对应,那么就说__x__是自变量,__y__是__x__的函数. 如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值__. 2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是(B)　　　　 A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r (2)下列说法正确的是(A) A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数 B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数 C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数 D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
考点一 点的坐标
【例1】在平面直角坐标系内有一点P,已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为4,则点P的坐标不可能是(A)
A.(-2,-4) B.(4,2) C.(-4,2) D.(4,-2)
【思路点拨】根据到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值,到y轴的距离为点的横坐标的绝对值,得到具体坐标即可求解.
【例2】已知点P(8-2m,m+1)在x轴上,则点P的坐标为(C)
A.(0,7) B.(0,5) C.(10,0) D.(6,0)
考点二 函数自变量的取值范围
【例3】(2023·广安)函数y=的自变量x的取值范围是__x≥-2且x≠1__.
【思路点拨】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组,解不等式组得到答案.
【方法小结】函数解析式中自变量的取值范围:
(1)若函数解析式是整式,其取值范围是全体实数.
(2)若函数解析式是分式,其取值范围应使分母不等于0.
(3)若函数解析式是偶次根式,其取值范围应使被开方数为非负实数.
(4)同时含有分式、二次根式时,函数自变量的取值范围是满足它们成立的条件的公共解.
考点三 坐标位置的确定
【例4】(2024·贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为(A)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【思路点拨】先根据题意确定平面直角坐标系,然后确定点的位置.
【例5】(2024·临夏州)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为(C)
A.(-4,2) B.(-,4) C.(-2,4) D.(-4,)
【思路点拨】过C作CN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M,由勾股定理求出OC,由菱形的性质推出AC=OC,AC∥BO,判定四边形AMNC是矩形,得到MN=AC,求出OM,因此求出点A的坐标.
考点四 关于坐标轴或原点对称的点
【例6】(2024·凉山州)点P(a,-3)关于原点对称的点是P'(2,b),则a+b的值是(A)
A.1 B.-1 C.-5 D.5
【思路点拨】关于原点对称的点,横纵坐标都为相反数.
【方法小结】考点“关于坐标轴或原点对称的点”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,熟记关于对称的点的坐标特征和符号规律是关键,关于x轴对称的两个点的横坐标不变、纵坐标互为相反数,关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标不变,关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.
考点五 函数图象的实际应用
【例7】(2024·江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中,温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为(C)
【例8】(2024·临夏州)如图1,矩形ABCD中,BD为其对角线,一动点P从D出发,沿着D→B→C的路径行进,过点P作PQ⊥CD,垂足为Q.设点P的运动路程为x,PQ-DQ为y,y与x的函数图象如图2,则AD的长为(B)
A. B. C. D.
【方法小结】考点“函数图象的实际应用”在中考中多以选择题的形式出现,解答此类题需弄清横、纵坐标的代表量,并观察确定函数图象分为几段,弄清每一段的自变量x与因变量y的变化情况及变化趋势.考查动点的函数图象问题,关键利用数形结合的思想,根据几何知识求出函数解析式,再根据函数解析式确定函数图象.
1.(2022·广东)在平面直角坐标系中,将点(1,1)向右平移2个单位后,得到的点的坐标是(A)
A.(3,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(1,-1)
2.(2023·深圳)如图1,在Rt△ABC中,动点P从A点运动止,速度为2单位/s,其中BP长与运动时间t(单位:s)的关系如图2,则AC的长为(C)
A. B. C.17 D.5

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