资源简介

第十三讲　二次函数的图象与性质
知识要点
1.二次函数的概念及其表达式
(1)二次函数的概念:形如__y=ax2+bx+c__(a,b,c是常数,a≠0)的函数.
(2)二次函数的表达式:
①一般式:__y=ax2+bx+c(a≠0)__.
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是__(h,k)__.
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
对点练习
1.(1)(教材再开发·北师九下P30随堂练习T1改编)下列函数表达式中,一定为二次函数的是(C)
A.y=2x-5　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再开发·北师九下P43习题T1改编)
已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是(C)
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是__2__.
知识要点
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
(1)当a>0时:
①开口方向:向上.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线__x=-__.
④增减性:当x<-时,y随x的增大而__减小__;
当x>-时,y随x的增大而__增大__.
⑤最值:当x=-时,y最小值= __.
(2)当a<0时:
①开口方向:向下.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线__x=-__.
④增减性:当x<-时,y随x的增大而__增大__;
当x>-时,y随x的增大而__减小__.
⑤最值:当x=-时,y最大值= __.
对点练习
2.(1)如图,二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于A(-3,0),B两点,下列说法正确的是(C)
A.抛物线的对称轴为直线x=1
B.抛物线的顶点坐标为(-,-6)
C.A,B两点之间的距离为5
D.当x<-1时,y的值随x值的增大而增大
(2)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正确的有(B)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(3)(教材再开发·人教九上P47T5改编)
已知二次函数y=ax2-2ax+3(其中x是自变量),当0A.0B.a<-1或a>3
C.-3D.-1≤a<0或0考点一　二次函数的概念
【例1】下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)(A)
A.y=x2 B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
【方法小结】本题考查了二次函数,注意二次项的系数不能为零.
考点二　确定二次函数的解析式
【例2】将二次函数y=x2-4x-1化为y=(x-h)2+k的形式,结果为(D)
A.y=(x+2)2+5 B.y=(x+2)2-5 C.y=(x-2)2+5 D.y=(x-2)2-5
【方法小结】二次函数的三种形式:
(1)一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(2)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);
(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
考点三　 函数的图象与性质
【例3】(2024·贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是(D)
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【方法小结】确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴及顶点坐标的方法:
(1)公式法:对称轴是直线x=-,顶点坐标是.
(2)配方法:将二次函数通过配方法化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,对称轴为x=h,顶点坐标是(h,k).
考点四　 图象与a,b,c的符号关系
【例4】(2024·遂宁)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-3)之间(不含端点),则下列结论正确的个数为(B)
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n(mA.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识,逐个判断即可.
【方法小结】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0时,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
考点五　 二次函数的简单应用综合题
【例5】(2024·福建)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
【思路点拨】(1)依据题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c建立方程组求出b,c即可得解;
(2)依据题意,设P(m,n)(m<0,n>0),由△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,从而可得=2,进而建立方程即可得解.
【解析】(1)由题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c得
∴
∴二次函数的表达式为y=x2+x-2.
(2)由题意,设P(m,n)(m<0,n>0),
∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,
∴=2,即=2.
∴=2.
又∵CO=2,∴n=2CO=4.
由m2+m-2=4,
∴m1=-3,m2=2(舍去).
∴点P的坐标为(-3,4).
1.(2024·广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(A)
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
2.(2024·广州)函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示,当______时,y1,y2均随着x的增大而减小.(D)
A.x<-1 B.-1C.01
3.(2022·广东)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,∴B(-3,0),
∴,解得,∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3;
(2)过Q作QE⊥x轴于E,过C作CF⊥x轴于F,
设P(m,0),则PA=1-m,
∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴C(-1,-4),∴FC=4,
∵PQ∥BC,∴△PQA∽△BCA,∴=,即=,
∴QE=1-m,∴S△CPQ=S△PCA-S△PQA=PA·CF-PA·QE
=(1-m)×4-(1-m)(1-m)=-(m+1)2+2,
∵-3≤m≤1,∴当m=-1时,S△CPQ有最大值2,
∴△CPQ面积的最大值为2,此时P点坐标为(-1,0).第十三讲　二次函数的图象与性质
知识要点
1.二次函数的概念及其表达式
(1)二次函数的概念:形如__ __(a,b,c是常数,a≠0)的函数.
(2)二次函数的表达式:
①一般式:__ __.
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是__ __.
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
对点练习
1.(1)(教材再开发·北师九下P30随堂练习T1改编)下列函数表达式中,一定为二次函数的是( )
A.y=2x-5　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再开发·北师九下P43习题T1改编)
已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是( )
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是__ __.
知识要点
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
(1)当a>0时:
①开口方向:向上.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线__ __.
④增减性:当x<-时,y随x的增大而__ __;
当x>-时,y随x的增大而__ __.
⑤最值:当x=-时,y最小值= __.
(2)当a<0时:
①开口方向:向下.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线__ __.
④增减性:当x<-时,y随x的增大而__ __;
当x>-时,y随x的增大而__ __.
⑤最值:当x=-时,y最大值= __.
对点练习
2.(1)如图,二次函数y=ax2+x-6的图象与x轴交于A(-3,0),B两点,下列说法正确的是( )
A.抛物线的对称轴为直线x=1
B.抛物线的顶点坐标为(-,-6)
C.A,B两点之间的距离为5
D.当x<-1时,y的值随x值的增大而增大
(2)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(3)(教材再开发·人教九上P47T5改编)
已知二次函数y=ax2-2ax+3(其中x是自变量),当0A.0B.a<-1或a>3
C.-3D.-1≤a<0或0考点一　二次函数的概念
【例1】下列关系式中,属于二次函数的是(x为自变量)( )
A.y=x2 B.y= C.y= D.y=ax2+bx+c
【方法小结】本题考查了二次函数,注意二次项的系数不能为零.
考点二　确定二次函数的解析式
【例2】将二次函数y=x2-4x-1化为y=(x-h)2+k的形式,结果为( )
A.y=(x+2)2+5 B.y=(x+2)2-5 C.y=(x-2)2+5 D.y=(x-2)2-5
【方法小结】二次函数的三种形式:
(1)一般式y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(2)顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为(h,k);
(3)交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
考点三　 函数的图象与性质
【例3】(2024·贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【方法小结】确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴及顶点坐标的方法:
(1)公式法:对称轴是直线x=-,顶点坐标是.
(2)配方法:将二次函数通过配方法化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,对称轴为x=h,顶点坐标是(h,k).
考点四　 图象与a,b,c的符号关系
【例4】(2024·遂宁)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-3)之间(不含端点),则下列结论正确的个数为( )
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n(mA.1 B.2 C.3 D.4
【思路点拨】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、根与系数的关系等知识,逐个判断即可.
【方法小结】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0时,抛物线开口向上;对称轴为直线x=-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
考点五　 二次函数的简单应用综合题
【例5】(2024·福建)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
【思路点拨】(1)依据题意,将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c建立方程组求出b,c即可得解;
(2)依据题意,设P(m,n)(m<0,n>0),由△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,从而可得=2,进而建立方程即可得解.
1.(2024·广东)若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则( )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
2.(2024·广州)函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示,当______时,y1,y2均随着x的增大而减小.( )
A.x<-1 B.-1C.01
3.(2022·广东)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.

展开更多......

收起↑