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第十四讲　二次函数的应用
考点一　 用二次函数解决抛物线最值问题
【例1】(2024·滨州)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
【思路点拨】(1)根据题意和表格中的数据,可以计算出y与x之间的函数关系式;
(2)根据利润=票房收入-运营成本和(1)中的结果,可以写出w与x之间的函数关系式;
(3)将(2)中的函数关系式化为顶点式,再根据二次函数的性质和x的取值范围,可以求得该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大,最大利润是多少.
【方法小结】利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题的一般方法:
(1)列出二次函数的解析式,列解析式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(2)在自变量取值范围内,运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值.
【例2】(2023·宜昌)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA=__ __m.
考点二　 应用二次函数性质,解决最大面积问题
【例3】某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大.
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
【思路点拨】(1)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽计算,再根据二次函数的性质分析即可;
(2)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽计算,再根据二次函数的性质分析即可.
【方法小结】此类题主要是由实际问题列二次函数关系式以及求二次函数的最值问题,同时也利用了矩形的性质,解题时首先正确了解题意,然后根据题意列出方程即可解决问题.
1.(2023·深圳)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间.
如图2,某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成,其中AB=3 m,BC=4 m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以O点为原点,BC所在直线为x轴,OE所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,抛物线AED的顶点E(0,4),求抛物线的表达式;
(2)如图3,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求两个正方形装置的间距GM的长;
(3)如图4,在某一时刻,太阳光线透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为BK,求BK的长.
2.(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.第十四讲　二次函数的应用
考点一　 用二次函数解决抛物线最值问题
【例1】(2024·滨州)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2 000元,该影院每天售出的电影票数量y(单位:张)与售价x(单位:元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80,且x是整数),部分数据如下表所示:
电影票售价x(元/张) 40 50
售出电影票数量y(张) 164 124
(1)请求出y与x之间的函数关系式;
(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w(单位:元),求w与x之间的函数关系式;
(3)该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
【思路点拨】(1)根据题意和表格中的数据,可以计算出y与x之间的函数关系式;
(2)根据利润=票房收入-运营成本和(1)中的结果,可以写出w与x之间的函数关系式;
(3)将(2)中的函数关系式化为顶点式,再根据二次函数的性质和x的取值范围,可以求得该影院将电影票售价x定为多少时,每天获利最大,最大利润是多少.
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b,
由表格可得,,
解得,
即y与x之间的函数关系式是y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数);
(2)由题意可得,
w=x(-4x+324)-2 000=-4x2+324x-2 000,
即w与x之间的函数关系式是w=-4x2+324x-2 000(30≤x≤80);
(3)由(2)知:w=-4x2+324x-2 000=-4(x-)2+4 561,
∵-4<0,抛物线的对称轴是直线x=,
∴抛物线开口向下,且当x<时,w随x的增大而增大;
当x>时,w随x的增大而减小,
∵30≤x≤80,且x是整数,
∴当x=40或41时,w取得最大值,此时w=4 560,
答:该影院将电影票售价x定为40元或41元时,每天获利最大,最大利润是4 560元.
【方法小结】利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题的一般方法:
(1)列出二次函数的解析式,列解析式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(2)在自变量取值范围内,运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值.
【例2】(2023·宜昌)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-(x-10)(x+4),则铅球推出的距离OA=__10__m.
考点二　 应用二次函数性质,解决最大面积问题
【例3】某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(m),占地面积为y(m2).
(1)如图1,问饲养室长x为多少时,占地面积y最大.
(2)如图2,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
【思路点拨】(1)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽计算,再根据二次函数的性质分析即可;
(2)根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽,由矩形的面积=长×宽计算,再根据二次函数的性质分析即可.
【解析】(1)∵y=x·=-(x-25)2+,
∴当x=25时,占地面积最大,即饲养室长x为25 m时,占地面积y最大;
(2)∵y=x·=-(x-26)2+338,
∴当x=26时,占地面积最大,
即饲养室长x为26 m时,占地面积y最大;
∵26-25=1≠2,∴小敏的说法不正确.
【方法小结】此类题主要是由实际问题列二次函数关系式以及求二次函数的最值问题,同时也利用了矩形的性质,解题时首先正确了解题意,然后根据题意列出方程即可解决问题.
1.(2023·深圳)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构,它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架,上面覆上一层或多层保温塑料膜,这样就形成了一个温室空间.
如图2,某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成,其中AB=3 m,BC=4 m,取BC中点O,过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E,若以O点为原点,BC所在直线为x轴,OE所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
请回答下列问题:
(1)如图2,抛物线AED的顶点E(0,4),求抛物线的表达式;
(2)如图3,为了保证蔬菜大棚的通风性,该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT,SMNR,若FL=NR=0.75 m,求两个正方形装置的间距GM的长;
(3)如图4,在某一时刻,太阳光线透过A点恰好照射到C点,此时大棚截面的阴影为BK,求BK的长.
【解析】(1)∵AB=3,AD=4,E(0,4),∴A(-2,3),B(-2,0),C(2,0),D(2,3),
设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,将A,D,E三点坐标代入表达式,
得,解得.
∴抛物线的表达式为y=-x2+4.
(2)设G(-t,3),则L(-t-,3+),
∴3+=-(-t-)2+4,
解得t=(负值舍去),∴GM=2t=.
答:两个正方形装置的间距GM的长为.
(3)取最右侧光线与抛物线切点为F,
设直线AC的表达式为y=kx+b,
∴,解得,
∴直线AC的表达式为y=-x+,∵FK∥AC,
设lFK:y=-x+m,∴,得-x2+x+4-m=0,
∴Δ=()2-4×(-)(4-m)=0,
解得m=,∴直线FK的表达式为y=-x+,
令y=0,得x=,∴BK=+2=.
答:BK的长为.
2.(2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨5万元出售,平均每天可售出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.
【解析】设该果商定价x万元时每天的“利润”为w万元,
w=(x-2)[100+50(5-x)]
=-50(x-4.5)2+312.5,
∵-50<0,
∴当x=4.5时,w有最大值,最大值为312.5,
答:该果商定价为4.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为312.5万元.

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