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第十五讲　函数的综合
考点一　 函数与函数的综合
(1)一次函数与二次函数的综合
【例1】(2023·河南)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【方法小结】一次函数与二次函数综合需要综合应用二次函数的性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,利用数形结合的思想,要关注特殊点,如两个函数的交点,函数与坐标轴的交点等.
(2)一次函数与反比例函数的综合
【例2】(2023·安徽)已知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示,则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为( )
【方法小结】考点“一次函数与反比例函数的综合”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键是熟练掌握计算法则.
(3)二次函数与反比例函数的综合
【例3】(2024·自贡)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=在同一直角坐标系中图象如图所示,则n的取值范围是( )
A.n>-1 B.n>2 C.-1【方法小结】考点“二次函数与反比例函数的综合”近年来在中考选择题、填空题、解答题里都有出现,重点掌握反比例函数与二次函数的图象性质,掌握k对反比例函数与二次函数图象的影响是解题的关键.
考点二　 函数与几何图形的综合
(1)函数与三角形的综合
【例4】(2024·遂宁)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;
(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究:△OPQ的面积S是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解;
(2)当△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,且点P,C关于抛物线对称轴对称,设Q(m,m2-2m-3),运用勾股定理列式,即可求解;
(3)设直线PQ交x轴于点H,由S△OPQ=S△OHP-S△OHQ=OH×(yQ-yP),即可求解.
【方法小结】考点“函数与三角形的综合”中考中多以解答题的形式出现.注重考查函数图象的交点与方程的解的联系,同时也注重考查利用待定系数法设点的坐标及利用数形结合的思想解决问题的能力.
(2)函数与四边形的综合
【例5】(2024·赤峰)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是( )
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【例6】(2023·东营)如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
【方法小结】考点“函数与四边形的综合”,注重考查点的坐标、相似三角形的判定与性质、反比例函数比例系数的几何意义、一次函数与面积等的结合,综合性较强,需熟练掌握各性质定理及做题技巧.
(3)函数与圆的综合
【例7】(2024·宜宾)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点E在以点P(3,0)为圆心,1为半径的☉P上,连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取值范围.
【思路点拨】(1)用待定系数法求得抛物线的表达式,即可得抛物线顶点D的坐标;
(2)作D关于y轴的对称点D',连接BD'交y轴于M,求出点B的坐标及BD长,可知△BDM的周长最小,只需DM+BM最小,而DM=D'M,有DM+BM=D'M+BM,故当B,M,D'共线时,DM+BM最小,最小值为BD'的长,此时△BDM的周长也最小;
(3)以AP为边,在AP下方作等边三角形APQ,连接PE,QF,BQ,由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等边三角形,可得Q的坐标,进而证明△EAP≌△FAQ,有PE=QF,可知F的轨迹是圆,当F在线段QB上时,BF最小;当Q在线段BF上时,BF最大.
【方法小结】考点“函数与圆的综合”多以解答题的形式出现.着重考查的是二次函数综合运用,涉及三角形相似、解直角三角形、圆的基本性质等,有些问题要注意分类求解,避免遗漏.
1.(2023·广东)综合运用
如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<45°),AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F.
(1)当旋转角∠COF为多少度时,OE=OF;(直接写出结果,不要求写解答过程)
(2)若点A(4,3),求FC的长;
(3)如图3,对角线AC交y轴于点M,交直线y=x于点N,连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2.设S=S1-S2,AN=n,求S关于n的函数表达式.
2.(2024·广州)已知抛物线G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x2,2),直线l:y=m2x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长为C1,△CDB的周长为C2,且C1=C2+2.
(1)求抛物线G的对称轴;
(2)求m的值;
(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l',当l'∥AB时,直线l'交抛物线G于E,F两点.
①求t的值;
②设△AEF的面积为S,若对于任意的a>0,均有S≥k成立,求k的最大值及此时抛物线G的解析式.
3.(2024·深圳)在综合实践课上,数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺,并用它对二次函数图象的相关性质进行研究.
把“T”形尺按图1摆放,水平宽AB的中点为C,图象的顶点为D,测得AB为m厘米时,CD为n厘米.
【猜想】
(1)探究小组先对y=x2的图象进行多次测量,测得m与n的部分数据如表:
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点:以表中各组对应值为点的坐标,在图2的直角坐标系内描出相应的点.
连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
猜想:n与m的关系式是________.
【验证】
(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究,发现测得的n与m也存在类似的关系式,并针对二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法(在“□”内打“√”)并补全其推理过程;(根据需要,选用字母a,m,n,h,k表示答案)
□方法1 □方法2
如图3,平移二次函数图象,使得顶点D移到原点O的位置,则: A'B'=AB=m,C'O=CD=n, C'B'==, 所以点B'的坐标为__________; 将点B'的坐标代入y=ax2, 得到n与m的关系式是__________. 如图4,顶点D的横坐标加个单位,纵坐标加n个单位得到点B的坐标,所以点B的坐标为__________; 将点B的坐标代入y=a(x-h)2+k, 得到n与m的关系式是__________.
【应用】
(3)已知AB∥x轴且AB=4,两个二次函数y=2(x-h)2+k和y=a(x-h)2+d的图象都经过A,B两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为10时,求a的值.第十五讲　函数的综合
考点一　 函数与函数的综合
(1)一次函数与二次函数的综合
【例1】(2023·河南)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过(D)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【方法小结】一次函数与二次函数综合需要综合应用二次函数的性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,利用数形结合的思想,要关注特殊点,如两个函数的交点,函数与坐标轴的交点等.
(2)一次函数与反比例函数的综合
【例2】(2023·安徽)已知反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象与一次函数y=-x+b的图象如图所示,则函数y=x2-bx+k-1的图象可能为(A)
【方法小结】考点“一次函数与反比例函数的综合”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键是熟练掌握计算法则.
(3)二次函数与反比例函数的综合
【例3】(2024·自贡)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=在同一直角坐标系中图象如图所示,则n的取值范围是(C)
A.n>-1 B.n>2 C.-1【方法小结】考点“二次函数与反比例函数的综合”近年来在中考选择题、填空题、解答题里都有出现,重点掌握反比例函数与二次函数的图象性质,掌握k对反比例函数与二次函数图象的影响是解题的关键.
考点二　 函数与几何图形的综合
(1)函数与三角形的综合
【例4】(2024·遂宁)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,-3),P,Q为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当P,C两点关于抛物线对称轴对称,△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,求点Q的坐标;
(3)设P的横坐标为m,Q的横坐标为m+1,试探究:△OPQ的面积S是否存在最小值,若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.
【思路点拨】(1)由待定系数法即可求解;
(2)当△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,且点P,C关于抛物线对称轴对称,设Q(m,m2-2m-3),运用勾股定理列式,即可求解;
(3)设直线PQ交x轴于点H,由S△OPQ=S△OHP-S△OHQ=OH×(yQ-yP),即可求解.
【解析】(1)由题意得:y=a(x+1)(x-3),且过点C(0,-3),则-3a=-3,解得a=1,
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3;
(2)△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时,抛物线的对称轴为直线x=1,
∵点P,C关于抛物线对称轴对称,∴点P(2,-3),
设Q(t,t2-2t-3),
∵∠OPQ=90°,
∴OP2+PQ2=OQ2,
∴[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-t)2+(-3-t2+2t+3)2]=(0-t)2+(0-t2+2t+3)2,
整理得:3t2-8t+4=0,
解得t1=,t2=2(舍去),
∴t=,
∴Q(,-);
(3)存在,理由:
设点P(m,m2-2m-3),则点Q(m+1,(m+1)2-2(m+1)-3),设直线PQ交x轴于点H,
由点P,Q的坐标得,直线PQ的表达式为:
y=(2m-1)(x-m)+m2-2m-3,
令y=0,则x=+m,
则OH=+m,
则S=S△OHP-S△OHQ=OH×(yQ-yP)=×(+m)[(m+1)2-2(m+1)-3-m2+2m+3]
=(m2+m+3)=(m+)2+≥,
即当m=-时,S有最小值,最小值为.
【方法小结】考点“函数与三角形的综合”中考中多以解答题的形式出现.注重考查函数图象的交点与方程的解的联系,同时也注重考查利用待定系数法设点的坐标及利用数形结合的思想解决问题的能力.
(2)函数与四边形的综合
【例5】(2024·赤峰)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是(B)
A.m+n=1 B.m-n=1
C.mn=1 D.=1
【例6】(2023·东营)如图,抛物线过点O(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上.设B(t,0),当t=2时,BC=4.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值 最大值是多少
(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.
【解析】(1)设抛物线解析式为y=ax(x-10),∵当t=2时,BC=4,
∴点C的坐标为(2,-4),
∴将点C坐标代入解析式得2a(2-10)=-4,
解得a=,∴抛物线的函数解析式为y=x2-x.
(2)由抛物线的对称性得AE=OB=t,∴AB=10-2t,
当x=t时,BC=t2-t,
∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2[(10-2t)+ (-t2+t) ]=-t2+t+20
=-(t-1)2+,
∵-<0,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值为.
(3)如图,连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ,
∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P,
由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,∴PQ=CH,
∵四边形ABCD是矩形,∴点P是AC的中点,
∴PQ=OA,∴抛物线平移的距离是4个单位长度,
所以抛物线向右平移的距离是4个单位长度.
【方法小结】考点“函数与四边形的综合”,注重考查点的坐标、相似三角形的判定与性质、反比例函数比例系数的几何意义、一次函数与面积等的结合,综合性较强,需熟练掌握各性质定理及做题技巧.
(3)函数与圆的综合
【例7】(2024·宜宾)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点E在以点P(3,0)为圆心,1为半径的☉P上,连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取值范围.
【思路点拨】(1)用待定系数法求得抛物线的表达式,即可得抛物线顶点D的坐标;
(2)作D关于y轴的对称点D',连接BD'交y轴于M,求出点B的坐标及BD长,可知△BDM的周长最小,只需DM+BM最小,而DM=D'M,有DM+BM=D'M+BM,故当B,M,D'共线时,DM+BM最小,最小值为BD'的长,此时△BDM的周长也最小;
(3)以AP为边,在AP下方作等边三角形APQ,连接PE,QF,BQ,由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等边三角形,可得Q的坐标,进而证明△EAP≌△FAQ,有PE=QF,可知F的轨迹是圆,当F在线段QB上时,BF最小;当Q在线段BF上时,BF最大.
【解析】(1)把A(-1,0),C(0,-4)代入y=x2+bx+c得:,
解得,
∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4;
∵y=x2-3x-4=(x-)2-,
∴抛物线顶点D的坐标为(,-);
(2)在y轴上存在一点M,使得△BDM的周长最小,理由如下:
作D(,-)关于y轴的对称点D'(-,-),连接BD'交y轴于M,如图:
在y=x2-3x-4中,令y=0得0=x2-3x-4,
解得x=4或x=-1,
∴B(4,0),
∴BD==,
∴△BDM的周长最小,只需DM+BM最小,
∵DM=D'M,
∴DM+BM=D'M+BM,
∴当B,M,D'共线时,DM+BM最小,最小值为BD'的长,此时△BDM的周长也最小;
由B(4,0),D'(-,-)得直线BD'的表达式为y=x-,
令x=0得y=-,
∴M的坐标为(0,-);
(3)以AP为边,在AP下方作等边三角形APQ,连接PE,QF,BQ,如图:
由A(-1,0),P(3,0),△APQ是等边三角形,可得Q的坐标为(1,-2),
∵△AEF,△APQ是等边三角形,
∴AE=AF,AP=AQ,∠EAF=∠PAQ=60°,
∴∠EAP=∠FAQ,
∴△EAP≌△FAQ(SAS),
∴PE=QF=1,
∴F的轨迹是以Q(1,-2)为圆心,1为半径的圆,
∵B(4,0),∴BQ=,
当F在线段QB上时,BF最小,此时BF=BQ-QF=-1;
当Q在线段BF上时,BF最大,此时BF=BQ+QF=+1;
∴BF的范围是-1≤BF≤+1.
【方法小结】考点“函数与圆的综合”多以解答题的形式出现.着重考查的是二次函数综合运用,涉及三角形相似、解直角三角形、圆的基本性质等,有些问题要注意分类求解,避免遗漏.
1.(2023·广东)综合运用
如图1,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上.如图2,将正方形OABC绕点O逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<45°),AB交直线y=x于点E,BC交y轴于点F.
(1)当旋转角∠COF为多少度时,OE=OF;(直接写出结果,不要求写解答过程)
(2)若点A(4,3),求FC的长;
(3)如图3,对角线AC交y轴于点M,交直线y=x于点N,连接FN.将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2.设S=S1-S2,AN=n,求S关于n的函数表达式.
【解析】(1)当OE=OF时,在Rt△AOE和Rt△COF中,,
∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL),∴∠AOE=∠COF(即∠AOE=旋转角),
∴2∠AOE=45°,∴∠COF=∠AOE=22.5°,
∴当旋转角为22.5°时,OE=OF;
(2)过点A作AG⊥x轴于点G,则有AG=3,OG=4,
∴OA==5,∵四边形OABC是正方形,
∴OC=OA=5,∠AOC=∠C=90°,
又∵∠COF+∠FOA=90°,∠AOG+∠FOA=90°,
∴∠COF=∠GOA,
∴Rt△AOG∽Rt△FOC,
∴=,∴FC===,
∴FC的长为;
(3)过点N作直线PQ⊥BC于点P,交OA于点Q,
∵四边形OABC是正方形,
∴∠BCA=∠OCA=45°,BC∥OA,
又∵∠FON=45°,∴∠FCN=∠FON=45°,
∴F,C,O,N四点共圆,
∴∠OFN=∠OCA=45°,∴∠OFN=∠FON=45°,
∴△FON是等腰直角三角形,
∴FN=NO,∠FNO=90°,∴∠FNP+∠ONQ=90°,
又∵∠NOQ+∠ONQ=90°,∴∠NOQ=∠FNP,
∴△NOQ≌△FNP(AAS),∴NP=OQ,FP=NQ,
∵四边形OQPC是矩形,∴CP=OQ,OC=PQ,
∴S1=S△OFN=ON2=(OQ2+NQ2)=(PN2+NQ2)=PN2+NQ2,
S2=S△C OF=CF·OC=(PC-PF)·(PN+NQ)=(PN-NQ)·(PN+NQ)
=(PN2-NQ2)=PN2-NQ2,
∴S=S1-S2=NQ2,又∵△ANQ为等腰直角三角形,
∴NQ=AN=n,∴S=NQ2=(n)2=n2,
∴S关于n的函数表达式为S=n2.
2.(2024·广州)已知抛物线G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x2,2),直线l:y=m2x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长为C1,△CDB的周长为C2,且C1=C2+2.
(1)求抛物线G的对称轴;
(2)求m的值;
(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l',当l'∥AB时,直线l'交抛物线G于E,F两点.
①求t的值;
②设△AEF的面积为S,若对于任意的a>0,均有S≥k成立,求k的最大值及此时抛物线G的解析式.
【解析】(1)由抛物线的表达式知,其对称轴为直线x=-=-=3;
(2)直线l:y=m2x+n过点C(3,1),则该直线的表达式为:y=m2(x-3)+1,
当y=2时,2=m2(x-3)+1,则xD=+3,
∵C1=C2+2,即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2,
其中,AC=BC,上式变为:AD=BD+2,
即2xD=xA+xB+2,
而函数的对称轴为直线x=3,由函数的对称性知,xA+xB=2×3=6,
即2xD=xA+xB+2=8,
则xD=4=+3,
解得m=±1;
(3)①当m=±1时,一次函数的表达式为:y=m2(x-3)+1=x-2,
该直线和x轴的夹角为45°,
则t=45÷3=14(秒);
②由①知,l'为:y=1,如图:
则S=EF×(yA-yE)=EF,
联立直线l'和抛物线的表达式得:ax2-6ax-a3+2a2+1=1,
即x2-6x-a2+2a=0,
设点E,F的横坐标为p,q,则p+q=6,pq=-a2+2a,
则EF2=(p-q)2=(p+q)2-4pq=4(a2-2a+9),
则S=EF==≥2,
当a=1时,等号成立,
即当a=1时,k有最大值为2,
则抛物线的表达式为y=x2-6x+2.
3.(2024·深圳)在综合实践课上,数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺,并用它对二次函数图象的相关性质进行研究.
把“T”形尺按图1摆放,水平宽AB的中点为C,图象的顶点为D,测得AB为m厘米时,CD为n厘米.
【猜想】
(1)探究小组先对y=x2的图象进行多次测量,测得m与n的部分数据如表:
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点:以表中各组对应值为点的坐标,在图2的直角坐标系内描出相应的点.
连线:用光滑的曲线顺次连接各点.
猜想:n与m的关系式是________.
【验证】
(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究,发现测得的n与m也存在类似的关系式,并针对二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)的情况进行了推理验证.请从下表中任选一种方法(在“□”内打“√”)并补全其推理过程;(根据需要,选用字母a,m,n,h,k表示答案)
□方法1 □方法2
如图3,平移二次函数图象,使得顶点D移到原点O的位置,则: A'B'=AB=m,C'O=CD=n, C'B'==, 所以点B'的坐标为__________; 将点B'的坐标代入y=ax2, 得到n与m的关系式是__________. 如图4,顶点D的横坐标加个单位,纵坐标加n个单位得到点B的坐标,所以点B的坐标为__________; 将点B的坐标代入y=a(x-h)2+k, 得到n与m的关系式是__________.
【应用】
(3)已知AB∥x轴且AB=4,两个二次函数y=2(x-h)2+k和y=a(x-h)2+d的图象都经过A,B两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为10时,求a的值.
【解析】(1)描点连线绘制函数图象如图:
由题意得,点B(m,n),
将点B的坐标代入函数表达式得:n=(m)2=m2;
答案:n=m2
(2)方法1:
点B'(m,n),
将点B'的坐标代入抛物线表达式得:n=am2.
答案: (m,n)　n=am2
方法2:
点B(h+m,k+n),
将点B的坐标代入抛物线表达式得:k+n=a(h+-h)2+k,
解得:n=am2.
答案: (h+m,k+n)　n=am2
(3)当a>0时,此时抛物线开口向上,
由(2)结论知a=,n=,
∵y=2(x-h)2+k,
∴n1==8.
∵两个函数图象的顶点之间的距离为10,
∴n2=18,
∴a===;
当a<0时,此时抛物线开口向下,|a|=,
同理可得:n2=2,此时a=-.
综上,a=或a=-.

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