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第十一讲　一次函数
知识要点 对点练习
1.一次函数的图象 (1)正比例函数 是经过点(0,0)和点(1,__ __)的一条直线. 一次函数 是经过点(0,__ __)和点的一条直线. (3)图象关系 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到,b>0,向__ __移动__ __个单位,b<0,向__ __移动__ __个单位. 1.(1)(教材再开发·人教八下P87练习T1改编)下列函数中,y是x的正比例函数的是( ) A.y=2x-1 B.y= C.y=2x2 D.y= (2)下列函数中,表示y是x的一次函数的是( ) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)在平面直角坐标系中,将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则该一次函数的解析式为( ) A.y=-2x+3 B.y=-2x+6 C.y=-2x-3 D.y=-2x-6
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质 2.(1)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小,则k的取值范围是( ) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 (2)一次函数y=x+1的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.待定系数法求一次函数解析式 (1)正比例函数,设y=kx(求k只需一个非原点坐标); (2)一次函数,设y=kx+b(求k,b需2个点坐标). 3.(教材再开发·人教八下P90练习T2改编) (1)经过原点和点(2,1)的直线解析式为__ __. (2)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),则这个一次函数的解析式为__ __.
4.一次函数与一元一次方程(或不等式)的联系 对于一次函数y=kx+b: (1)当y=0时,kx+b=0,转化成方程; (2)当y>0时,kx+b>0,转化成不等式; (3)当y<0时,kx+b<0,转化成不等式. 4.(教材再开发·人教八下P96思考改编)如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n<3的解集为__ __.
考点一 一次函数的定义
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
【例1】(2023·深圳期中)已知函数y=(m-1)x|m|-3是关于x的一次函数,则m的值为__ __.
【方法小结】本题主要考查了一次函数的定义,掌握一次函数y=kx+b的定义条件是:k,b为常数,k≠0,自变量次数为1,是解题关键.
考点二 一次函数的图象与性质
【例2】(2023·临沂)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是( )
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=-b
【方法小结】考点“一次函数的图象与性质”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用一次函数的图象与性质,常用排除法.
注意:(1)一次函数的图象是直线,而且直线无限延伸,不可度量;
(2)一次函数的图象位置与k和b的符号有关;
(3)一次函数图象的增减性应注意比例系数k的符号.
考点三 一次函数的解析式的确定
【例3】某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16cm,44码鞋子的长度为27cm,则38码鞋子的长度为( )
A.23cm B.24cm C.25cm D.26cm
【思路点拨】先设出函数解析式,用待定系数法求出函数解析式,再把x=38代入求出y即可.
【方法小结】考点“一次函数的解析式的确定”,一般用待定系数法求出解析式.具体步骤是:首先设出一次函数的一般形式,然后把已知条件代入所设解析式,得到方程或方程组,解方程或方程组求出待定系数的值,从而写出一次函数的解析式.
考点四 正比例函数与一次函数
【例4】(2023·陕西)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)的图象可能是( )
【方法小结】本题考查了一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0,b≠0)的图象:一次函数的图象是一条直线,当k>0,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小;图象与y轴的交点坐标为(0,b),当b>0时,直线交y轴于正半轴,当b<0时,直线交y轴于负半轴.
【例5】在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4).以AB为一边在第一象限作正方形ABCD,则对角线BD所在直线的解析式为( )
A.y=-x+4 B.y=-x+4 C.y=-x+4 D.y=4
【方法小结】对一次函数的考查,主要是通过函数图象的旋转作为联系,运用“函数图象与坐标轴的交点并用几何法求线段长”这一方法,一般用其中一个函数的解析式的特殊点,通过作辅助线,利用全等三角形的判定和性质求出另一交点的坐标,再用待定系数法求解析式;也常见于选择题、填空题.
考点五 一次函数与方程、不等式的关系
【例6】数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的不等式2x-1>kx+b的解集是( )
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
【方法小结】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系,近几年中考比较少出现,解题关键在于突破两直线的交点坐标,结合图象的性质便可求出答案.
【例7】(2023·武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是__ __.
【思路点拨】两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解.
【方法小结】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)的综合,近几年中考比较少出,抓住题中方程组的解(两个相应的一次函数图象的交点坐标)是求出本题答案的关键.
考点六 一次函数的应用
【例8】已知A,B两地相距60km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,甲骑自行车匀速行驶3h到达,乙骑摩托车,比甲迟1h出发,行至30km处追上甲,停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地( )
A.15km B.16km C.44km D.45km
【思路点拨】根据图象信息先求出甲、乙的速度,然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间,再求距离B地的距离即可.
【方法小结】本题考查一次函数的应用,近年来中考常见于解答题,解题的关键:(1)熟练运用待定系数法求解析式;(2)解决该类问题应结合图形,理解图形中点的坐标代表的意义.
【例9】(2024·深圳模拟)项目化学习
项目主题:优化运输方案
项目背景:物流业是一个新兴产业,该产业是为保证社会生产和社会生活的供给,由运输业,仓储业,通信业等多种行业整合的结果,物流业的速度和精准就集中体现在快递业中.近年来,物流公司使某企业节省了货运成本.某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习.
驱动任务:探究运输商品和总运费之间的关系
研究步骤:
(1)收集某公司每月运往各地商品的信息;
(2)对收集的信息,用适当的方法描述;
(3)信息分析,形成结论.
数据信息:
信息1,某物流公司每月要将某企业的2 000件商品分别运往A,B,C三地,其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍;
信息2,各地的运费如表所示:
运送地点 A地 B地 C地
运费(元/件) 40 20 30
问题解决:
(1)设运往A地的商品x(件),总运费为y(元),试写出y与x的函数关系式;
(2)若某月计划总运费不超过64 000元,最多可运往A地的商品为多少件
考点七 一次函数综合
【例10】(2024·深圳模拟)如图,在平面直角坐标系中,将 ABCD放置在第一象限,且AB∥x轴.直线y=-2x从原点出发沿x轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示,则 ABCD的面积为( )
A.20 B.10 C.10 D.10
【例11】(2023·兰州)如图,反比例函数y=(x<0)与一次函数y=-2x+m的图象交于点A(-1,4),BC⊥y轴于点D,分别交反比例函数与一次函数的图象于点B,C.
(1)求反比例函数y=与一次函数y=-2x+m的表达式;
(2)当OD=1时,求线段BC的长.
【思路点拨】(1)利用待定系数法即可求解;
(2)由题意可知B,C的纵坐标为1,即可求得B,C的横坐标,从而求得BC的长.
【方法小结】考查待定系数法求解析式,要善于运用数形结合的思想方法,通过构图和图形的性质分析问题.要从反比例函数的性质及关键点入手,通过待定量表示点的坐标,根据图形性质或图形变换后不变的线段或勾股定理表示出其他关键点的坐标,进而表示线段的长度、三角形的面积等.这是解决该类问题最基本的途径.
1.(2024·广东)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
2.(2023·广东)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)与点(2,5),求该一次函数的表达式.
3.(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的表达式(不要求写出x的取值范围);
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数表达式,估计这个人的身高.第十一讲　一次函数
知识要点 对点练习
1.一次函数的图象 (1)正比例函数 是经过点(0,0)和点(1,__k__)的一条直线. (2)一次函数 是经过点(0,__b__)和点的一条直线. (3)图象关系 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到,b>0,向__上__移动__b__个单位,b<0,向__下__移动__-b__个单位. 1.(1)(教材再开发·人教八下P87练习T1改编)下列函数中,y是x的正比例函数的是(B) A.y=2x-1 B.y= C.y=2x2 D.y= (2)下列函数中,表示y是x的一次函数的是(D) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)在平面直角坐标系中,将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则该一次函数的解析式为(B) A.y=-2x+3 B.y=-2x+6 C.y=-2x-3 D.y=-2x-6
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质 2.(1)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小,则k的取值范围是(D) 　　　　　 　　　　　　　　　　 A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 (2)一次函数y=x+1的图象不经过(D) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.待定系数法求一次函数解析式 (1)正比例函数,设y=kx(求k只需一个非原点坐标); (2)一次函数,设y=kx+b(求k,b需2个点坐标). 3.(教材再开发·人教八下P90练习T2改编) (1)经过原点和点(2,1)的直线解析式为__y=x__. (2)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),则这个一次函数的解析式为__y=2x-1__.
4.一次函数与一元一次方程(或不等式)的联系 对于一次函数y=kx+b: (1)当y=0时,kx+b=0,转化成方程; (2)当y>0时,kx+b>0,转化成不等式; (3)当y<0时,kx+b<0,转化成不等式. 4.(教材再开发·人教八下P96思考改编)如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n<3的解集为__x>-2__.
考点一 一次函数的定义
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
【例1】(2023·深圳期中)已知函数y=(m-1)x|m|-3是关于x的一次函数,则m的值为__-1__.
【方法小结】本题主要考查了一次函数的定义,掌握一次函数y=kx+b的定义条件是:k,b为常数,k≠0,自变量次数为1,是解题关键.
考点二 一次函数的图象与性质
【例2】(2023·临沂)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论,错误的是(C)
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=-b
【方法小结】考点“一次函数的图象与性质”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用一次函数的图象与性质,常用排除法.
注意:(1)一次函数的图象是直线,而且直线无限延伸,不可度量;
(2)一次函数的图象位置与k和b的符号有关;
(3)一次函数图象的增减性应注意比例系数k的符号.
考点三 一次函数的解析式的确定
【例3】某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16cm,44码鞋子的长度为27cm,则38码鞋子的长度为(B)
A.23cm B.24cm C.25cm D.26cm
【思路点拨】先设出函数解析式,用待定系数法求出函数解析式,再把x=38代入求出y即可.
【方法小结】考点“一次函数的解析式的确定”,一般用待定系数法求出解析式.具体步骤是:首先设出一次函数的一般形式,然后把已知条件代入所设解析式,得到方程或方程组,解方程或方程组求出待定系数的值,从而写出一次函数的解析式.
考点四 正比例函数与一次函数
【例4】(2023·陕西)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)的图象可能是(D)
【方法小结】本题考查了一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0,b≠0)的图象:一次函数的图象是一条直线,当k>0,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小;图象与y轴的交点坐标为(0,b),当b>0时,直线交y轴于正半轴,当b<0时,直线交y轴于负半轴.
【例5】在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,4).以AB为一边在第一象限作正方形ABCD,则对角线BD所在直线的解析式为(A)
A.y=-x+4 B.y=-x+4 C.y=-x+4 D.y=4
【方法小结】对一次函数的考查,主要是通过函数图象的旋转作为联系,运用“函数图象与坐标轴的交点并用几何法求线段长”这一方法,一般用其中一个函数的解析式的特殊点,通过作辅助线,利用全等三角形的判定和性质求出另一交点的坐标,再用待定系数法求解析式;也常见于选择题、填空题.
考点五 一次函数与方程、不等式的关系
【例6】数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的不等式2x-1>kx+b的解集是(C)
A.x<2 B.x<3 C.x>2 D.x>3
【方法小结】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系,近几年中考比较少出现,解题关键在于突破两直线的交点坐标,结合图象的性质便可求出答案.
【例7】(2023·武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之 ”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是__250__.
【思路点拨】两条直线的交点坐标就是两条直线的解析式构成的方程组的解.
【方法小结】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)的综合,近几年中考比较少出,抓住题中方程组的解(两个相应的一次函数图象的交点坐标)是求出本题答案的关键.
考点六 一次函数的应用
【例8】已知A,B两地相距60km,甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地,甲骑自行车匀速行驶3h到达,乙骑摩托车,比甲迟1h出发,行至30km处追上甲,停留半小时后继续以原速行驶.他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示.当乙再次追上甲时距离B地(A)
A.15km B.16km C.44km D.45km
【思路点拨】根据图象信息先求出甲、乙的速度,然后根据第二次乙追上甲时所走路程相同求出甲所用时间,再求距离B地的距离即可.
【方法小结】本题考查一次函数的应用,近年来中考常见于解答题,解题的关键:(1)熟练运用待定系数法求解析式;(2)解决该类问题应结合图形,理解图形中点的坐标代表的意义.
【例9】(2024·深圳模拟)项目化学习
项目主题:优化运输方案
项目背景:物流业是一个新兴产业,该产业是为保证社会生产和社会生活的供给,由运输业,仓储业,通信业等多种行业整合的结果,物流业的速度和精准就集中体现在快递业中.近年来,物流公司使某企业节省了货运成本.某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习.
驱动任务:探究运输商品和总运费之间的关系
研究步骤:
(1)收集某公司每月运往各地商品的信息;
(2)对收集的信息,用适当的方法描述;
(3)信息分析,形成结论.
数据信息:
信息1,某物流公司每月要将某企业的2 000件商品分别运往A,B,C三地,其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍;
信息2,各地的运费如表所示:
运送地点 A地 B地 C地
运费(元/件) 40 20 30
问题解决:
(1)设运往A地的商品x(件),总运费为y(元),试写出y与x的函数关系式;
(2)若某月计划总运费不超过64 000元,最多可运往A地的商品为多少件
【解析】(1)由题意可知,运往C地的商品2x件,运往B地的商品(2 000-3x)件,
则y=40x+20(2 000-3x)+60x=40x+40 000,
∴y与x的函数关系式为y=40x+40 000.
(2)根据题意,得y≤64 000,即40x+40 000≤64 000,
解得x≤600,
∴最多可运往A地的商品为600件.
考点七 一次函数综合
【例10】(2024·深圳模拟)如图,在平面直角坐标系中,将 ABCD放置在第一象限,且AB∥x轴.直线y=-2x从原点出发沿x轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示,则 ABCD的面积为(A)
A.20 B.10 C.10 D.10
【例11】(2023·兰州)如图,反比例函数y=(x<0)与一次函数y=-2x+m的图象交于点A(-1,4),BC⊥y轴于点D,分别交反比例函数与一次函数的图象于点B,C.
(1)求反比例函数y=与一次函数y=-2x+m的表达式;
(2)当OD=1时,求线段BC的长.
【思路点拨】(1)利用待定系数法即可求解;
(2)由题意可知B,C的纵坐标为1,即可求得B,C的横坐标,从而求得BC的长.
【解析】(1)∵反比例函数y=(x<0)与一次函数y=-2x+m的图象交于点A(-1,4),
∴4=,4=-2×(-1)+m,∴k=-4,m=2,
∴反比例函数的表达式为y=-,一次函数的表达式为y=-2x+2;
(2)∵BC⊥y轴于点D,∴BC∥x轴,
∵OD=1,∴点B,C的纵坐标为1,
∴B(-4,1),C(,1),
∴BC=+4=4.
【方法小结】考查待定系数法求解析式,要善于运用数形结合的思想方法,通过构图和图形的性质分析问题.要从反比例函数的性质及关键点入手,通过待定量表示点的坐标,根据图形性质或图形变换后不变的线段或勾股定理表示出其他关键点的坐标,进而表示线段的长度、三角形的面积等.这是解决该类问题最基本的途径.
1.(2024·广东)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是(B)
2.(2023·广东)已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0,1)与点(2,5),求该一次函数的表达式.
【解析】将(0,1)与(2,5)代入y=kx+b得,解得,
∴一次函数的表达式为y=2x+1.
3.(2024·广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如表:
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y);
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=(k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的表达式(不要求写出x的取值范围);
(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函数表达式,估计这个人的身高.
【解析】(1)描点如图所示:
(2)∵y=(k≠0)转化为k=xy=23×156≠24×163≠25×170≠…,
∴y与x的函数关系不可能是y=,
故选一次函数y=ax+b(a≠0),将点(23,156),(24,163)代入表达式得:
,解得,
∴一次函数表达式为y=7x-5.
(3)当x=25.8时,y=7×25.8-5=175.6(cm).
答:脚长约为25.8 cm,估计这个人的身高为175.6 cm.

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