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第二十二讲　锐角三角函数及解直角三角形
知识要点 对点练习
1.特殊角的三角函数值 1.(2024·扬州)计算:|π-3|+2sin 30°-(-2)0. 【解析】|π-3|+2sin 30°-(-2)0 =π-3+2×-1 =π-3.
2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:__a2+b2=c2__. (2)两锐角之间的关系:__∠A+∠B=90°__. (3)边角之间的关系:sin A=cos B=,sin B=cos A=,tan A=,tan B=. 2.(教材再开发·北师九下P4习题T1改编) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 __.
3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线__上方__的叫做仰角,在水平线__下方__的叫做俯角. (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和__水平宽度l__之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__i__表示,即i= __;坡面与__水平面__的夹角叫做坡角,记作α.所以i= __=tan α. (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再开发·北师九下P10习题T4改编)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图,他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70 m至D点,又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上,则该建筑物AB的高度约为(C) (精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如图斜坡AB的坡比为1∶2,竖直高度BC为1米,则该斜坡的水平宽度AC为__2__米.
【考点一】锐角三角函数
【例1】(2023·内江)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 __.
【方法小结】此题型是常考题,锐角三角函数一般是在直角三角形中使用,考查了非负数的性质,锐角三角函数的定义及勾股定理逆定理,熟练掌握勾股定理逆定理和直角三角函数的定义,正弦=是解题的关键.
【例2】(2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为(B)
A.2 B.2 C. D.3
【方法小结】本题考查的是锐角三角函数与勾股定理及逆定理的综合运用,求一个角的锐角三角函数值往往要在直角三角形中进行,因此,锐角三角函数经常与勾股定理或逆定理配合使用.
【例3】(2024·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC= __.
【考点二】　解直角三角形
【例4】(2024·浙江)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,
AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴BD===8;
∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,∴BC=BD+CD=8+6=14;
(2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=7,∴DE=CE-CD=7-6=1,
∵AD⊥BC,∴AE===,∴sin∠DAE===.
【考点三】　锐角三角函数的应用
仰角、俯角:
【例5】(2024·广州模拟)无人机在实际生活中应用越来越广泛.如图所示,某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中点P处,测得地面点A的俯角为60°,测得楼顶点C处的俯角为30°,点P到点A的距离为80米,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内).
(1)填空:∠APC=________度,∠PCB=________度;
(2)求此时无人机距离地面AB的高度;
(3)求大楼BC的高度.(结果保留根号)
【思路点拨】(1)根据平角的定义和四边形的内角和定理即可得到结论;
(2)延长BC交PQ于点E,过点A作AD⊥PQ,垂足为D,根据题意可得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,然后在Rt△ADP中,利用锐角三角函数的定义求出AD即可;
(3)根据三角函数的定义得到DP的长,从而求出PE的长,再在Rt△PEC中,利用锐角三角函数的定义求出CE的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.
【解析】(1)由题意得,∠APC=180°-60°-30°=90°,
∵∠A=60°,∠ABC=90°,∴∠PCB=360°-90°-60°-90°=120°.
答案:90　120
(2)如图:延长BC交PQ于点E,过点A作AD⊥PQ,垂足为D,
由题意得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,
在Rt△ADP中,AP=80米,∠DPA=60°,
∴AD=AP·sin 60°=80×=40(米),
答:此时无人机距离地面AB的高度为40米;
(3)在Rt△ADP中,AP=80米,∠DPA=60°,∴DP=AP·cos 60°=80×=40(米),
∴PE=DE-DP=70-40=30(米),
在Rt△PEC中,∠EPC=30°,∴EC=PE·tan 30°=30×=10(米),
∴BC=BE-CE=AD-CE=40-10=30(米),∴大楼BC的高度为30米.
【方法小结】本题考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提,理解两个直角三角形之间的关系是解决问题的关键.
方位角:
【例6】(2024·重庆B卷)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米);
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为D-C-B,乙选择的路线为D-A-B.请计算说明谁选择的路线较近
【思路点拨】(1)过B作BE⊥AC于点E,由∠DAC=30°,可得∠EAB=60°,∠EBA=30°,根据含30°的直角三角形的性质可求出AE和BE,而C在B的北偏西15°方向,可得△EBC是等腰直角三角形,从而CE=BE,进而求出BC;
(2)过C作CF⊥AD于点F,由(1)可求出AC,在Rt△ACF中,CF=AC,AF=CF,根据D在C的北偏西60°方向,可知∠DCF=30°,求出DF,及CD,比较AD+AB与CD+BC,即得答案.
【解析】(1)过B作BE⊥AC于E,如图:
根据已知得∠DAB=90°,
∵∠DAC=30°,∴∠EAB=60°,∠EBA=30°,
∴AE=AB=1(千米),BE=AE=(千米),
∵C在B的北偏西15°方向,∴∠EBC=90°-30°-15°=45°,
∴△EBC是等腰直角三角形,
∴CE=BE=(千米),BC=BE=×=≈2.5(千米),
∴BC的长度约为2.5千米;
(2)过C作CF⊥AD于F,如图:
由(1)知AE=1千米,CE=千米,
∴AC=AE+CE=(1+)千米.
在Rt△ACF中,CF=AC=(千米),AF=CF=(千米),
∵D在C的北偏西60°方向,∴∠DCF=30°,
∴DF==(千米),CD=2DF=(千米),
∴AD+AB=++2=≈5.15(千米);CD+BC=+≈4.03(千米),
∴CD+BC【方法小结】锐角三角函数的应用要注意:
(1)保证有直角三角形这个大前提,如果没有直角三角形则需构造直角三角形,一般方法是作垂直;
(2)要根据给出的条件和所求问题选择适当的三角函数进行解题.
坡角、坡度:
【例7】(2024·眉山)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为__(4-2)__米.
1.(2024·深圳)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)(A)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
2.(2024·深圳)如图,在△ABC中,AB=BC,tan B=.D为BC上一点,且满足=,过D作DE⊥AD交AC延长线于点E,则= __.
3.(2023·广东)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
【解析】连接AB,取AB中点D,连接CD,如图,
∵AC=BC,点D为AB中点,
∴中线CD为等腰三角形的角平分线(三线合一),AD=BD=AB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=50°,在Rt△ACD中,sin∠ACD=,
∴sin 50°=,∴AD=10×sin 50°≈7.66(m),∴AB=2AD=2×7.66=15.32≈15.3(m).
答:A,B两点间的距离大约是15.3 m.
4.(2024·广州)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
【解析】(1)如图:
由题意得:AC⊥CD,BE∥CD,∴∠EBD=∠BDC=36.87°,
在Rt△BCD中,BD=10米,∴CD=BD·cos 36.87°≈10×0.80=8(米),
∴CD的长约为8米;
(2)在Rt△BCD中,BD=10米,∠BDC=36.87°,∴BC=BD·sin 36.87°≈10×0.6=6(米),
在Rt△ACD中,AD=17米,CD=8米,∴AC===15(米),
∴AB=AC-BC=15-6=9(米),
∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,
∴模拟装置从A点下降到B点的时间=9÷2=4.5(秒),
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒.
5.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽,所有车位的长、宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1 m,参考数据≈1.73)
(1)求PQ的长;
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.
【解析】(1)∵四边形PQMN是矩形,∴∠Q=∠P=90°,
在Rt△ABQ中,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,∴AQ=AB·sin∠ABQ= m,∠QAB=30°,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°,∴BC== m,∴AD= m,
∵∠PAD=180°-30°-90°=60°,∴AP=AD·cos∠PAD= m,
∴PQ=AP+AQ=≈6.1 m;
(2)在Rt△BCE中,BE==3.2 m,
在Rt△ABQ中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7 m,∵该充电站有20个停车位,
∴QM=QB+20BE=66.7 m,∵四边形ABCD是矩形,∴PN=QM=66.7 m.第二十二讲　锐角三角函数及解直角三角形
知识要点 对点练习
1.特殊角的三角函数值 1.(2024·扬州)计算:|π-3|+2sin 30°-(-2)0.
2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:__ __. (2)两锐角之间的关系:__ __. (3)边角之间的关系:sin A=cos B=,sin B=cos A=,tan A=,tan B=. 2.(教材再开发·北师九下P4习题T1改编) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 __.
3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线__ __的叫做仰角,在水平线__ __的叫做俯角. (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和__ __之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__ __表示,即i= __;坡面与__ __的夹角叫做坡角,记作α.所以i= __=tan α. (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(1)(教材再开发·北师九下P10习题T4改编)数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图,他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°,再向前70 m至D点,又测得最高点A的仰角为58°,点C,D,B在同一直线上,则该建筑物AB的高度约为( ) (精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,tan 22°≈0.40,sin 58°≈0.85,tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m (2)如图斜坡AB的坡比为1∶2,竖直高度BC为1米,则该斜坡的水平宽度AC为__ __米.
【考点一】锐角三角函数
【例1】(2023·内江)在△ABC 中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且满足a2+|c-10|+=12a-36,则sin B的值为 __.
【方法小结】此题型是常考题,锐角三角函数一般是在直角三角形中使用,考查了非负数的性质,锐角三角函数的定义及勾股定理逆定理,熟练掌握勾股定理逆定理和直角三角函数的定义,正弦=是解题的关键.
【例2】(2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为( )
A.2 B.2 C. D.3
【方法小结】本题考查的是锐角三角函数与勾股定理及逆定理的综合运用,求一个角的锐角三角函数值往往要在直角三角形中进行,因此,锐角三角函数经常与勾股定理或逆定理配合使用.
【例3】(2024·内江)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC= _.
【考点二】　解直角三角形
【例4】(2024·浙江)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,
AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
【考点三】　锐角三角函数的应用
仰角、俯角:
【例5】(2024·广州模拟)无人机在实际生活中应用越来越广泛.如图所示,某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中点P处,测得地面点A的俯角为60°,测得楼顶点C处的俯角为30°,点P到点A的距离为80米,已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内).
(1)填空:∠APC=________度,∠PCB=________度;
(2)求此时无人机距离地面AB的高度;
(3)求大楼BC的高度.(结果保留根号)
【思路点拨】(1)根据平角的定义和四边形的内角和定理即可得到结论;
(2)延长BC交PQ于点E,过点A作AD⊥PQ,垂足为D,根据题意可得:AD=BE,AB=DE=70米,BE⊥DQ,然后在Rt△ADP中,利用锐角三角函数的定义求出AD即可;
(3)根据三角函数的定义得到DP的长,从而求出PE的长,再在Rt△PEC中,利用锐角三角函数的定义求出CE的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答.
【方法小结】本题考查解直角三角形,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提,理解两个直角三角形之间的关系是解决问题的关键.
方位角:
【例6】(2024·重庆B卷)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向,D在A的正北方向,且在C的北偏西60°方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15°方向,AB=2千米.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米);
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为D-C-B,乙选择的路线为D-A-B.请计算说明谁选择的路线较近
【思路点拨】(1)过B作BE⊥AC于点E,由∠DAC=30°,可得∠EAB=60°,∠EBA=30°,根据含30°的直角三角形的性质可求出AE和BE,而C在B的北偏西15°方向,可得△EBC是等腰直角三角形,从而CE=BE,进而求出BC;
(2)过C作CF⊥AD于点F,由(1)可求出AC,在Rt△ACF中,CF=AC,AF=CF,根据D在C的北偏西60°方向,可知∠DCF=30°,求出DF,及CD,比较AD+AB与CD+BC,即得答案.
【方法小结】锐角三角函数的应用要注意:
(1)保证有直角三角形这个大前提,如果没有直角三角形则需构造直角三角形,一般方法是作垂直;
(2)要根据给出的条件和所求问题选择适当的三角函数进行解题.
坡角、坡度:
【例7】(2024·眉山)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为__ __米.
1.(2024·深圳)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为(参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
2.(2024·深圳)如图,在△ABC中,AB=BC,tan B=.D为BC上一点,且满足=,过D作DE⊥AD交AC延长线于点E,则= __.
3.(2023·广东)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站.如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态.当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 50°≈0.766,cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)
4.(2024·广州)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点,再垂直下降到着陆点C,从B点测得地面D点的俯角为36.87°,AD=17米,BD=10米.
(1)求CD的长;
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点,求模拟装置从A点下降到B点的时间.
参考数据:sin 36.87°≈0.60,cos 36.87°≈0.80,tan 36.87°≈0.75.
5.(2024·广东)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN充电站的平面示意图,矩形ABCD是其中一个停车位.经测量,∠ABQ=60°,AB=5.4 m,CE=1.6 m,GH⊥CD,GH是另一个车位的宽,所有车位的长、宽相同,按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1 m,参考数据≈1.73)
(1)求PQ的长;
(2)该充电站有20个停车位,求PN的长.

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