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第二十讲　等腰三角形
知识要点
1.等腰三角形
(1)定义:有__ __相等的三角形
(2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,__ __是它的对称轴
②定理:(i)等腰三角形的两个底角__ __(简称:__ __)
(ii)等腰三角形顶角__ __、底边上的中线和底边上的__ __相互重合(简称“三线合一”)
(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也__ __(简写为“__ __”)
对点练习
1.(1)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则此三角形的周长为__ __cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是( )
A.70° B.45° C.35° D.50°
(3)
(教材再开发·人教八上P77练习T2改编)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD=__ __.
知识要点
2.等边三角形
(1)定义:__ __相等的三角形
(2)性质:①等边三角形的三个内角都__ __,并且每一个角都等于__ __
②等边三角形是轴对称图形,并且有__ __条对称轴
(3)判定:①三个角都__ __的三角形
②有一个角是60°的__ __三角形
对点练习
2.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为 _ __.
考点一 等腰三角形的性质和判定
【例1】(1)已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满足+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为( )
A.8 B.6或8 C.7 D.7或8
(2)已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2-8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为__ __.
【思路点拨】题目中的等腰三角形没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,且要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【例2】(2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为__ __.
【例3】(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为__ __.
【例4】如图,在△ABC中,AC(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.
(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=
3∠B,求∠B的度数.
【思路点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP,根据三角形的外角性质即可证得∠APC=2∠B;
(2)根据题意可知BA=BQ,根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA,再根据三角形的内角和公式即可解答.
【例5】如图,在△ABC中,AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,点F为BC的中点,连接EF,若BE=AC=2,则△CEF的周长为( )
A.+1 B.+3 C.+1 D.4
【方法小结】
1.当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论.
2.等腰三角形的性质“等边对等角”,是三角形中边与角关系转化的纽带.当利用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到关键作用.
3.等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相等时可以减少证明全等的次数,提高做题效率.
考点二　 等边三角形的性质和判定
【例6】(2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是( )
A.3 B.6 C. D.3
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD,再根据∠BDC=60°得△BCD为等边三角形,然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.
【例7】(2023·甘肃)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
【例8】已知:在△ABC中,AB=AC ,D为AC的中点,DE⊥AB ,DF⊥BC ,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.
【方法小结】
等边三角形的判断方法的选择:
(1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定;
(2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定;
(3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
(2023·深圳)如图,在△ABC中,AB=AC,tan B=,点D为BC上一动点,连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G,GE则= __. 第二十讲　等腰三角形
知识要点
1.等腰三角形
(1)定义:有__两边__相等的三角形
(2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,__底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线__是它的对称轴
②定理:(i)等腰三角形的两个底角__相等__(简称:__等边对等角__)
(ii)等腰三角形顶角__平分线__、底边上的中线和底边上的__高__相互重合(简称“三线合一”)
(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也__相等__(简写为“__等角对等边__”)
对点练习
1.(1)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则此三角形的周长为__20__cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是(C)
A.70° B.45° C.35° D.50°
(3)
(教材再开发·人教八上P77练习T2改编)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD=__2__.
知识要点
2.等边三角形
(1)定义:__三边__相等的三角形
(2)性质:①等边三角形的三个内角都__相等__,并且每一个角都等于__60°__
②等边三角形是轴对称图形,并且有__三__条对称轴
(3)判定:①三个角都__相等__的三角形
②有一个角是60°的__等腰__三角形
对点练习
2.如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为 __cm__.
考点一 等腰三角形的性质和判定
【例1】(1)已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满足+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为(D)
A.8 B.6或8 C.7 D.7或8
(2)已知等腰三角形的一边长为9,另一边长为方程x2-8x+15=0的根,则该等腰三角形的周长为__19或21或23__.
【思路点拨】题目中的等腰三角形没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,且要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【例2】(2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为__100°__.
【例3】(2024·新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为__6或12__.
【例4】如图,在△ABC中,AC(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连接AP,求证:∠APC=2∠B.
(2)以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连接AQ.若∠AQC=
3∠B,求∠B的度数.
【思路点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB,根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP,根据三角形的外角性质即可证得∠APC=2∠B;
(2)根据题意可知BA=BQ,根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA,再根据三角形的内角和公式即可解答.
【解析】(1)∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,
∴PA=PB,∴∠B=∠BAP,
∵∠APC=∠B+∠BAP,∴∠APC=2∠B.
(2)根据题意可知BA=BQ,∴∠BAQ=∠BQA,
∵∠AQC=3∠B,∠AQC=∠B+∠BAQ,
∴∠BQA=2∠B,
∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°,
∴5∠B=180°,∴∠B=36°.
【例5】如图,在△ABC中,AB=BC,由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E,点F为BC的中点,连接EF,若BE=AC=2,则△CEF的周长为(C)
A.+1 B.+3 C.+1 D.4
【方法小结】
1.当等腰三角形的腰和底、顶角、底角不明确时,需分类讨论.
2.等腰三角形的性质“等边对等角”,是三角形中边与角关系转化的纽带.当利用方程思想求角度时,等腰三角形的性质在用含未知数的代数式表示角时起到关键作用.
3.等腰三角形常常与线段垂直平分线的性质定理结合运用,在证明线段或角相等时可以减少证明全等的次数,提高做题效率.
考点二　 等边三角形的性质和判定
【例6】(2024·青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A)
A.3 B.6 C. D.3
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BD=CD=AD,再根据∠BDC=60°得△BCD为等边三角形,然后根据等边三角形的性质可得出BC的长.
【例7】(2023·甘肃)如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
【例8】已知:在△ABC中,AB=AC ,D为AC的中点,DE⊥AB ,DF⊥BC ,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等边三角形.
【证明】∵AB=AC, ∴∠B=∠C.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEA=∠DFC=90°.
∵D为AC的中点,∴DA=DC.又∵DE=DF.∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),
∴∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∴△ABC是等边三角形.
【方法小结】
等边三角形的判断方法的选择:
(1)若已知三边关系,则考虑运用等边三角形的定义进行判定;
(2)若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”进行判定;
(3)若已知该三角形是等腰三角形,则可再寻找一个内角等于60°即可.
(2023·深圳)如图,在△ABC中,AB=AC,tan B=,点D为BC上一动点,连接AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G,GE则= __.

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