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第二十一讲　直角三角形
知识要点
1.直角三角形的性质与判定
(1)性质:①直角三角形的两个锐角__互余__
②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的__一半__
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的__一半__
(2)判定:①定义法:有一个角是__直角__的三角形
②两个内角__互余__的三角形
对点练习
1.(1)已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为__6__cm__.
(2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为__10__cm.
知识要点
2.勾股定理及逆定理
(1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么__a2+b2=c2__
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足__a2+b2=c2__,那么这个三角形是直角三角形
对点练习
2.(教材再开发·人教八下P28T1改编)若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,
3 cm,则第三条边长是__5或__cm.
考点　 直角三角形的性质与判定
【例1】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,若∠B=20°,则∠DAC=(B)
A.90° B.20° C.45° D.70°
【方法小结】直角三角形的性质一般会与其他知识点结合,本题考查了直角三角形的性质和余角的性质,属于基础题,也是常考题.
【例2】如图,一只正方体箱子沿着斜面CD向上运动,∠C=30°,箱高AB=1米,当BC=2米时,点A离地面CE的距离是________米.(A)
A.+1 B.+ C.+1 D.+4
【例3】(2024·安徽)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(B)
A.- B.- C.2-2 D.2-
【思路点拨】过点C作CH⊥AB于点H,由等腰直角三角形的性质可得AB,AH=BH=CH,由勾股定理可求DH的长,即可求解.
【例4】(2023·随州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=__5__.
【方法小结】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程,解题关键是正确作出辅助线,利用角平分线的性质和勾股定理解决问题.
【例5】(2024·浙江)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.
若AE=4,BE=3,则DE=(C)
A.5 B.2 C. D.4
【例6】已知:如图,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB为斜边,AC=BD,BC,AD相交于点E.
(1)求证:AE=BE;
(2)若∠AEC=45°,AC=1,求CE的长.
【思路点拨】(1)先证明Rt△ACE≌Rt△BDE,再利用全等三角形的性质可得AE=BE;
(2)利用等腰直角三角形的性质可以知道CE=AC=1.
【解析】(1)∵∠AEC与∠BED是对顶角,∴∠AEC=∠BED,
在△ACE和△BDE中,
∴△ACE≌△BDE(AAS),∴AE=BE;
(2)∵∠AEC=45°,∠C=90°,∴∠CAE=45°,∴CE=AC=1.
【方法小结】等腰直角三角形较少单独考查,一般与其他知识相结合,本题考查了三角形全等的判定和性质,以及等腰直角三角形的性质.
1.(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据:≈1.732,≈1.414)(B)
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
2.(2022·深圳)已知△ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=3,BC=5,AE=2,连接CE,以CE为底作直角三角形CDE,且CD=DE.F是AE边上的一点,连接BD和BF,
且∠FBD=45°,则AF长为 __.
3.(2023·广东)综合与实践
主题:制作无盖正方体形纸盒.
素材:一张正方形纸板.
步骤1:如图1,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形;
步骤2:如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明:(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系;
(2)证明(1)中你发现的结论.
【解析】(1)∠ABC=∠A1B1C1;
(2)∵A1B1为正方形对角线,∴∠A1B1C1=45°,
设每个小正方形的边长为1,连接AC(图略),
则AB==,AC=BC==,
∵AC2+BC2=AB2,
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,∴∠ABC=∠A1B1C1.第二十一讲　直角三角形
知识要点
1.直角三角形的性质与判定
(1)性质:①直角三角形的两个锐角__ __
②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的__ __
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的__ __
(2)判定:①定义法:有一个角是__ __的三角形
②两个内角__ __的三角形
对点练习
1.(1)已知:在一个直角三角形中30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为__ __ __.
(2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为__ __cm.
知识要点
2.勾股定理及逆定理
(1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么__ __
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足__ __,那么这个三角形是直角三角形
对点练习
2.(教材再开发·人教八下P28T1改编)若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,
3 cm,则第三条边长是__ _cm.
考点　 直角三角形的性质与判定
【例1】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的高,若∠B=20°,则∠DAC=( )
A.90° B.20° C.45° D.70°
【方法小结】直角三角形的性质一般会与其他知识点结合,本题考查了直角三角形的性质和余角的性质,属于基础题,也是常考题.
【例2】如图,一只正方体箱子沿着斜面CD向上运动,∠C=30°,箱高AB=1米,当BC=2米时,点A离地面CE的距离是________米.( )
A.+1 B.+ C.+1 D.+4
【例3】(2024·安徽)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是( )
A.- B.- C.2-2 D.2-
【思路点拨】过点C作CH⊥AB于点H,由等腰直角三角形的性质可得AB,AH=BH=CH,由勾股定理可求DH的长,即可求解.
【例4】(2023·随州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=__ __.
【方法小结】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程,解题关键是正确作出辅助线,利用角平分线的性质和勾股定理解决问题.
【例5】(2024·浙江)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.
若AE=4,BE=3,则DE=( )
A.5 B.2 C. D.4
【例6】已知:如图,在Rt△ABC和Rt△BAD中,AB为斜边,AC=BD,BC,AD相交于点E.
(1)求证:AE=BE;
(2)若∠AEC=45°,AC=1,求CE的长.
【思路点拨】(1)先证明Rt△ACE≌Rt△BDE,再利用全等三角形的性质可得AE=BE;
(2)利用等腰直角三角形的性质可以知道CE=AC=1.
【方法小结】等腰直角三角形较少单独考查,一般与其他知识相结合,本题考查了三角形全等的判定和性质,以及等腰直角三角形的性质.
1.(2023·深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α)J,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能(参考数据:≈1.732,≈1.414)( )
A.58 J B.159 J C.1 025 J D.1 732 J
2.(2022·深圳)已知△ABC是直角三角形,∠B=90°,AB=3,BC=5,AE=2,连接CE,以CE为底作直角三角形CDE,且CD=DE.F是AE边上的一点,连接BD和BF,
且∠FBD=45°,则AF长为 __.
3.(2023·广东)综合与实践
主题:制作无盖正方体形纸盒.
素材:一张正方形纸板.
步骤1:如图1,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形;
步骤2:如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明:(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系;
(2)证明(1)中你发现的结论.

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