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第十八讲　全等三角形
知识要点 对点练习
1.全等三角形的概念 能够__完全重合__的两个三角形. 1.下列说法正确的是(A) A.全等三角形的周长和面积分别相等 B.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边__相等__,对应角__相等__. 2.(教材再开发·人教八上P44T9改编)如图,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为__3__.
3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别__相等__的两个三角形全等(简写成“边边边”或“__SSS__”). (2)两边和它们的夹角分别__相等__的两个三角形全等(简写成“边角边”或“__SAS__”). (3)两角和它们的夹边分别__相等__的两个三角形全等(简写成“角边角”或“__ASA__”). (4)两角和其中一个角的对边分别__相等__的两个三角形全等(简写成“角角边”或“__AAS__”). (5)斜边和一条直角边分别__相等__的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“__HL__”). 3.(教材再开发·人教八上P38例2改编)如图,AB∥CD,AD与BC交于点O,请添加一个条件__AB=DC(答案不唯一)__,使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
考点一 全等三角形的判定
【例1】(2024·牡丹江)如图,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件__DE=EF(答案不唯一)__,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
【思路点拨】根据题目中的条件和全等三角形的判定,可以写出添加的条件.
【例2】如图所示,A,D,B,E四点在同一条直线上,若BC=EF,∠A=∠EDF,∠E+
∠CBE=180°.求证:AC=DF.
【证明】∵∠ABC+∠CBE=180°,∠E+∠CBE=180°.
∴∠ABC=∠E,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴AC=DF.
【例3】(2023·江西)如图,AB=AD,AC平分∠BAD.求证:△ABC≌△ADC.
【思路点拨】根据角平分线的性质,可得∠BAC=∠DAC,然后根据“SAS”即可证明△ABC≌△ADC.
【证明】∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,
在△ABC和△ADC中,,∴△ABC≌△ADC(SAS).
【方法小结】考点“全等三角形的判定”在中考中多以解答题的形式出现,主要穿插在四边形或圆中,判断三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,以及判断两个直角三角形全等的方法HL.证明三角形全等关键是分析已有条件,欠缺条件,选择适当判别方法,分析条件时注意必须有边参与,公共边,公共角以及对顶角一般都是题中隐含的条件.判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
考点二 全等三角形的性质
【例4】(2024·临夏州)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是__(1,4)__.
【思路点拨】根据点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,得到△BAD≌△ABC,得到AD=BC,BD=AC,画出图形,利用数形结合的思想求解即可.
【例5】(2023·福建)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
【证明】∵∠AOD=∠COB,∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,即∠AOB=∠COD.在△AOB 和△COD中,,
∴△AOB≌△COD(SAS),∴AB=CD.
【例6】(2024·苏州)如图,△ABC中,AB=AC,分别以B,C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E.
(1)求证:△ABD≌△ACD;
(2)若BD=2,∠BDC=120°,求BC的长.
【解析】(1)由作图知:BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
,
∴△ABD≌△ACD(SSS);
(2)∵△ABD≌△ACD,∠BDC=120°,
∴∠BDA=∠CDA=∠BDC=×120°=60°,
又∵BD=CD,∴DA⊥BC,BE=CE.
∵BD=2,∴BE=BD·sin∠BDA=2×=,
∴BC=2BE=2.
【方法小结】考点“全等三角形的性质”在中考中多以解答题的形式出现,证明不在同一个三角形中的线段或角相等,一般先判定三角形全等,再利用性质证明边相等、角相等、线段垂直或平行等.解题的关键是观察结论中的线段或角在哪两个可能全等的三角形中,然后证明这两个三角形全等.
1.(2022·深圳)如图所示,已知△ABE为直角三角形,∠ABE=90°,BC为☉O的切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE的面积之比为(B)
A.1∶3 B.1∶2
C.∶2 D.(-1)∶1
2.(2024·广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为(C)
A.18 B.9 C.9 D.6
3.(2022·广东)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.
【证明】∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE,
在Rt△OPD和Rt△OPE中,,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).第十八讲　全等三角形
知识要点 对点练习
1.全等三角形的概念 能够__ __的两个三角形. 1.下列说法正确的是( ) A.全等三角形的周长和面积分别相等 B.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形
2.全等三角形的性质 全等三角形的对应边__ __,对应角__ __. 2.(教材再开发·人教八上P44T9改编)如图,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为__ __.
3.全等三角形的判定定理 (1)三边分别__ __的两个三角形全等(简写成“边边边”或“__ __”). (2)两边和它们的夹角分别__ __的两个三角形全等(简写成“边角边”或“__ __”). (3)两角和它们的夹边分别__ __的两个三角形全等(简写成“角边角”或“__ __”). (4)两角和其中一个角的对边分别__ __的两个三角形全等(简写成“角角边”或“__ __”). (5)斜边和一条直角边分别__ __的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“__ __”). 3.(教材再开发·人教八上P38例2改编)如图,AB∥CD,AD与BC交于点O,请添加一个条件__ __,使△AOB≌△DOC.(只填一种情况即可)
考点一 全等三角形的判定
【例1】(2024·牡丹江)如图,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件__ __,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
【思路点拨】根据题目中的条件和全等三角形的判定,可以写出添加的条件.
【例2】如图所示,A,D,B,E四点在同一条直线上,若BC=EF,∠A=∠EDF,∠E+
∠CBE=180°.求证:AC=DF.
【例3】(2023·江西)如图,AB=AD,AC平分∠BAD.求证:△ABC≌△ADC.
【思路点拨】根据角平分线的性质,可得∠BAC=∠DAC,然后根据“SAS”即可证明△ABC≌△ADC.
【方法小结】考点“全等三角形的判定”在中考中多以解答题的形式出现,主要穿插在四边形或圆中,判断三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS,以及判断两个直角三角形全等的方法HL.证明三角形全等关键是分析已有条件,欠缺条件,选择适当判别方法,分析条件时注意必须有边参与,公共边,公共角以及对顶角一般都是题中隐含的条件.判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
考点二 全等三角形的性质
【例4】(2024·临夏州)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是__ __.
【思路点拨】根据点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,得到△BAD≌△ABC,得到AD=BC,BD=AC,画出图形,利用数形结合的思想求解即可.
【例5】(2023·福建)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
【例6】(2024·苏州)如图,△ABC中,AB=AC,分别以B,C为圆心,大于BC长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E.
(1)求证:△ABD≌△ACD;
(2)若BD=2,∠BDC=120°,求BC的长.
【方法小结】考点“全等三角形的性质”在中考中多以解答题的形式出现,证明不在同一个三角形中的线段或角相等,一般先判定三角形全等,再利用性质证明边相等、角相等、线段垂直或平行等.解题的关键是观察结论中的线段或角在哪两个可能全等的三角形中,然后证明这两个三角形全等.
1.(2022·深圳)如图所示,已知△ABE为直角三角形,∠ABE=90°,BC为☉O的切线,C为切点,CA=CD,则△ABC和△CDE的面积之比为( )
A.1∶3 B.1∶2
C.∶2 D.(-1)∶1
2.(2024·广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为( )
A.18 B.9 C.9 D.6
3.(2022·广东)如图,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.

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