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第十九讲　相似三角形
知识要点
1.相似三角形的性质
性质1:相似三角形的对应角__相等__,对应边的比__相等__.
性质2:相似三角形周长的比等于__相似比__.
性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于
__相似比__.
性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的__平方__.
对点练习
1.(1)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
(2)(教材再开发·人教九下P31练习T2改编)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是4,则△ABC的面积为(B)
A.12 B.9 C.10 D.8
知识要点
2.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原__三角形__相似(相似三角形的预备定理).
判定2:三边__成比例__的两个三角形相似.
判定3:两边__成比例__且__夹角相等__的两个三角形相似.
判定4:两角__分别相等__的两个三角形相似.
对点练习
2.下列说法正确的是(D)
A.两个直角三角形相似
B.两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似
C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
知识要点
3.位似
位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心.
对点练习
3.(教材再开发·北师九上P114随堂练习改编)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长比为(C)
A.1∶4　　　B.1∶3　　　C.1∶2　　　D.1∶9
考点一　比例线段
【例1】如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
【思路点拨】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到=,然后根据比例的性质可求出AE.
【方法小结】此题主要考查平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段性质定理可得对应线段成比例是解题的关键.
【例2】(2023·甘肃)若=,则ab=(A)
A.6 B. C.1 D.
【方法小结】考点“比例线段”多见于选择题,填空题;此题主要考查了比例的性质,利用比例线段的性质将原式正确变形是解题关键.
考点二　 相似多边形的性质
【例3】若两个相似多边形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为(B)
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.4∶1
【方法小结】考点“相似多边形的性质”多见于选择题,填空题;此题主要考查了相似多边形的性质,利用相似多边形的性质知两个三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
考点三 相似三角形的判定
【例4】如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则= __.
【例5】如图,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求证:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
【思路点拨】(1)利用题干中两组平行线找到两角对应相等即可求证
△DFC∽△AED;
(2)利用题干条件,找到△DFC和△AED的相似比,即可求出的值.
【解析】(1)∵DF∥AB,DE∥BC,∴∠DFC=∠ABF,∠AED=∠ABF,
∴∠DFC=∠AED,
又∵DE∥BC,∴∠DCF=∠ADE,∴△DFC∽△AED;
(2)∵CD=AC,∴=,由(1)知△DFC和△AED的相似比为=,
故=()2=()2=.
考点四 相似三角形的性质
【例6】(2024·陕西)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为(B)
A.2 B.3 C. D.
【思路点拨】由正方形CEFG和正方形ABCD,得AD∥GF,得△ADH∽△FGH,得DH∶HG=AD∶GF,先求出DG的长,再求出DH的长.
【方法小结】考点“相似三角形的性质”在中考中有时以选择题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用相似三角形的性质,解本题的关键是了解相似三角形的对应边成比例,应注意大边对大边,小边对小边.
【例7】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.
(1)试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;
(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
【思路点拨】(1)根据题意得到∠MQB=∠CAB,根据相似三角形的判定定理证明即可;
(2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答;
(3)根据勾股定理求出BC,再根据相似三角形的性质用x表示出QM,MN,然后根据梯形面积公式列出二次函数解析式,最后利用二次函数性质计算即可.
【解析】(1)∵MQ⊥BC,∴∠MQB=90°,∴∠MQB=∠CAB,
又∵∠QBM=∠ABC,∴△QBM∽△ABC.
(2)存在.当BQ=MN时,四边形BMNQ为平行四边形,
∵MN∥BQ,BQ=MN,∴四边形BMNQ为平行四边形.
(3)∵∠A=90°,AB=3,AC=4,
∴BC==5,
∵△QBM∽△ABC,
∴==即==,
解得QM=x,BM=x,
∵MN∥BC,∴=,即=,
解得MN=5-x,则四边形BMNQ的面积=×(5-x+x)×x=-x2+x,
∴当x=时,四边形BMNQ的面积最大,最大值为.
【方法小结】此题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键.
考点五　 图形的位似
【例8】(2024·绥化)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是(D)
A.(9,4) B.(4,9) C. (1,) D. (1,)
【方法小结】此题主要考查了位似变换,正确把握位似图形的性质和分类讨论思想,即分两种情形画出图形,是解此题的关键.
【例9】(2024·巴中)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则OG=(C)
A. B. C. D.
考点六　 相似三角形的应用
【例10】(2024·广州模拟)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图MN为一凸透镜,F是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB,透过透镜后成的像为CD.光路图如图所示:经过焦点的光线AE,通过透镜折射后平行于主光轴,并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点.
(1)若焦距OF=4,物距OB=6,小蜡烛的高度AB=1,求蜡烛的像CD的长度;
(2)设x=,y=,求y关于x的函数关系式,并通过计算说明当物距大于2倍焦距时,成缩小的像.
【解析】(1)由题意得,AB∥OE,∴△ABF∽△EOF,
∴=,即=,∴OE=2,
∵OE∥CD,CE∥OD,
∴四边形OECD是平行四边形,
∴CD=OE=2,
∴蜡烛的像CD的长度为2;
(2)由题可知,CD=OE,
∴==y,
由(1)知△ABF∽△EOF,
∴==y,
∴=,
∴=y+1,
∴=y+1,
∴x=y+1,∴y=x-1,
当>2,即x>2时,y=x-1>1,
∴>1,即AB>CD,
∴当物距大于2倍焦距时,成缩小的像.
【例11】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.
【思路点拨】(1)根据比例三角形的定义分AB2=BC·AC,BC2=AB·AC,AC2=AB·BC三种情况分别代入计算可得结论;
(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得结论;
(3)作AH⊥BD,由AB=AD知BH=BD,再证△ABH∽△DBC得AB·BC=BH·DB,即AB·BC=BD2,结合AB·BC=AC2知BD2=AC2,据此可得答案.
【解析】(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2,AC=3,
①当AB2=BC·AC时,得:4=3AC,解得AC=;
②当BC2=AB·AC时,得:9=2AC,解得AC=;
③当AC2=AB·BC时,得:AC2=6,解得AC=(负值舍去);
所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;
(2)∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,
又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,∴=,即CA2=BC·AD,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,
∴CA2=BC·AB,∴△ABC是比例三角形.
(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,∴BH=BD,
∵AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°,
又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,
∴=,即AB·BC=BH·DB,
∴AB·BC=BD2,
又∵AB·BC=AC2,∴BD2=AC2,∴=.
【方法小结】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想方法;熟练掌握相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的三线合一性质,由比例式转化为等积式是求值问题的常用方法,也是解此题的关键.
1. (2023·广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为__15__.
2.(2024·广州)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
【证明】∵BE=3,EC=6,CF=2,∴BC=3+6=9,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,
∵==,=,∴=,
∴△ABE∽△ECF.
3.(2022·深圳)(1)发现:如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交CD边于点G.求证:△BFG≌△BCG;
(2)探究:如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长;
(3)拓展:如图③,在菱形ABCD中,AB=6,E为CD边上的三等分点,∠D=60°.
将△ADE沿AE翻折得到△AFE,直线EF交BC的延长线于点P,求PC的长.
【解析】(1)∵将△AEB沿BE翻折到△BEF处,四边形ABCD是正方形,
∴AB=BF,∠BFE=∠A=90°,∴∠BFG=90°=∠C,
∵AB=BC=BF,BG=BG,∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL);
(2)延长BH,AD交于点Q,如图:
设FH=HC=x,
在Rt△BCH中,BC2+CH2=BH2,
∴82+x2=(6+x)2,解得x=,∴DH=DC-HC=,
∵∠BFG=∠BCH=90°,∠HBC=∠FBG,∴△BFG∽△BCH,
∴==,即==,∴BG=,FG=,
∵EQ∥GB,DQ∥CB,∴△EFQ∽△GFB,△DHQ∽△CHB,
∴=,即=,∴DQ=,
设AE=EF=m,则DE=8-m,
∴EQ=DE+DQ=8-m+=-m,
∵△EFQ∽△GFB,∴=,即=,
解得m=,∴AE的长为;
(3)方法一:(Ⅰ)当DE=DC=2时,延长FE交AD于点Q,过点Q作QH⊥CD于点H,如图:
设DQ=x,QE=y,则AQ=6-x,
∵CP∥DQ,∴△CPE∽△DQE,∴==2,∴CP=2x,
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE,∴EF=DE=2,AF=AD=6,∠QAE=∠FAE,
∴AE是△AQF的角平分线,∴=,即=①,
∵∠D=60°,∴DH=DQ=x,HE=DE-DH=2-x,HQ=DH=x,
在Rt△HQE中,HE2+HQ2=EQ2,
∴(2-x)2+(x) 2=y2②,
联立①②可解得x=,
∴CP=2x=;
(Ⅱ)当CE=DC=2时,延长FE交AD延长线于点Q',过点Q'作Q'H'⊥CD交CD延长线于点H',如图:
设DQ'=x',Q'E=y',则AQ'=6+x',
∵CP∥DQ',∴△CPE∽△DQ'E,
∴==,∴CP=x',
同理∠Q'AE=∠EAF,∴=,即=③,
由H'Q'2+H'E2=Q'E2得(x')2+(x'+4)2=y'2④,
联立③④可解得x'=,∴CP=x'=,
综上所述,CP的长为或.
方法二:(Ⅰ)当DE=DC=2时,连接CF,过点P作PK⊥CD于点K,如图:
∵四边形ABCD是菱形,∠D=60°,
∴△ABC,△ADC是等边三角形,
∴∠ACB=∠ACD=60°,AD=AC,∴∠PCK=60°,
∵将△ADE沿AE翻折得到△AFE,
∴∠AFE=∠D=60°=∠ACB,AF=AD=AC,EF=DE=2,
∴∠AFC=∠ACF,∴∠PFC=∠PCF,∴PF=PC,
设PF=PC=2a,在Rt△PCK中,CK=a,PK=a,
∴EK=EC-CK=4-a,
在Rt△PEK中,EK2+PK2=PE2,∴(4-a)2+(a)2=(2+2a)2,
解得a=,∴PC=2a=;
(Ⅱ)当CE=DC=2时,连接CF,过点P作PT⊥CD交DC延长线于点T,如图:
同(Ⅰ)可证AC=AD=AF,∠ACB=60°=∠D=∠AFE,
∴∠ACF=∠AFC,∴∠ACF-∠ACB=∠AFC-∠AFE,
即∠PCF=∠PFC,∴PC=PF,
设PC=PF=2n,在Rt△PCT中,CT=n,PT=n,
∴ET=CE+CT=2+n,EP=EF-PF=DE-PF=4-2n,
在Rt△PET中,PT2+ET2=PE2,
∴(n)2+(2+n)2=(4-2n)2,解得n=,∴PC=2n=,
综上所述,PC的长为或.第十九讲　相似三角形
知识要点
1.相似三角形的性质
性质1:相似三角形的对应角__ __,对应边的比__ __.
性质2:相似三角形周长的比等于__ __.
性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于
__ __.
性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的__ __.
对点练习
1.(1)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是( )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
(2)(教材再开发·人教九下P31练习T2改编)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是4,则△ABC的面积为( )
A.12 B.9 C.10 D.8
知识要点
2.相似三角形的判定
判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原__ __相似(相似三角形的预备定理).
判定2:三边__ __的两个三角形相似.
判定3:两边__ __且__ __的两个三角形相似.
判定4:两角__ __的两个三角形相似.
对点练习
2.下列说法正确的是( )
A.两个直角三角形相似
B.两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似
C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似
D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
知识要点
3.位似
位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心.
对点练习
3.(教材再开发·北师九上P114随堂练习改编)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长比为( )
A.1∶4　　　B.1∶3　　　C.1∶2　　　D.1∶9
考点一　比例线段
【例1】如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【思路点拨】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到=,然后根据比例的性质可求出AE.
【方法小结】此题主要考查平行线分线段成比例的性质,掌握平行线分线段性质定理可得对应线段成比例是解题的关键.
【例2】(2023·甘肃)若=,则ab=( )
A.6 B. C.1 D.
【方法小结】考点“比例线段”多见于选择题,填空题;此题主要考查了比例的性质,利用比例线段的性质将原式正确变形是解题关键.
考点二　 相似多边形的性质
【例3】若两个相似多边形的面积之比为1∶4,则它们的周长之比为( )
A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D.4∶1
【方法小结】考点“相似多边形的性质”多见于选择题,填空题;此题主要考查了相似多边形的性质,利用相似多边形的性质知两个三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.
考点三 相似三角形的判定
【例4】如图,BE是△ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC于点D.若BF=3FE,则= _.
【例5】如图,在△ABC中,D在AC上,DE∥BC,DF∥AB.
(1)求证:△DFC∽△AED;
(2)若CD=AC,求的值.
【思路点拨】(1)利用题干中两组平行线找到两角对应相等即可求证
△DFC∽△AED;
(2)利用题干条件,找到△DFC和△AED的相似比,即可求出的值.
考点四 相似三角形的性质
【例6】(2024·陕西)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为( )
A.2 B.3 C. D.
【思路点拨】由正方形CEFG和正方形ABCD,得AD∥GF,得△ADH∽△FGH,得DH∶HG=AD∶GF,先求出DG的长,再求出DH的长.
【方法小结】考点“相似三角形的性质”在中考中有时以选择题的形式出现,要熟练掌握和灵活运用相似三角形的性质,解本题的关键是了解相似三角形的对应边成比例,应注意大边对大边,小边对小边.
【例7】如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,点M,Q分别是边AB,BC上的动点(点M不与A,B重合),且MQ⊥BC,过点M作BC的平行线MN,交AC于点N,连接NQ,设BQ为x.
(1)试说明不论x为何值时,总有△QBM∽△ABC;
(2)是否存在一点Q,使得四边形BMNQ为平行四边形,试说明理由;
(3)当x为何值时,四边形BMNQ的面积最大,并求出最大值.
【思路点拨】(1)根据题意得到∠MQB=∠CAB,根据相似三角形的判定定理证明即可;
(2)根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答;
(3)根据勾股定理求出BC,再根据相似三角形的性质用x表示出QM,MN,然后根据梯形面积公式列出二次函数解析式,最后利用二次函数性质计算即可.
【方法小结】此题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质,掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键.
考点五　 图形的位似
【例8】(2024·绥化)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
A.(9,4) B.(4,9) C. (1,) D. (1,)
【方法小结】此题主要考查了位似变换,正确把握位似图形的性质和分类讨论思想,即分两种情形画出图形,是解此题的关键.
【例9】(2024·巴中)如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则OG=( )
A. B. C. D.
考点六　 相似三角形的应用
【例10】(2024·广州模拟)在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图MN为一凸透镜,F是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB,透过透镜后成的像为CD.光路图如图所示:经过焦点的光线AE,通过透镜折射后平行于主光轴,并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点.
(1)若焦距OF=4,物距OB=6,小蜡烛的高度AB=1,求蜡烛的像CD的长度;
(2)设x=,y=,求y关于x的函数关系式,并通过计算说明当物距大于2倍焦距时,成缩小的像.
【例11】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.
【思路点拨】(1)根据比例三角形的定义分AB2=BC·AC,BC2=AB·AC,AC2=AB·BC三种情况分别代入计算可得结论;
(2)先证△ABC∽△DCA得CA2=BC·AD,再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得结论;
(3)作AH⊥BD,由AB=AD知BH=BD,再证△ABH∽△DBC得AB·BC=BH·DB,即AB·BC=BD2,结合AB·BC=AC2知BD2=AC2,据此可得答案.
【方法小结】此题主要考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想方法;熟练掌握相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的三线合一性质,由比例式转化为等积式是求值问题的常用方法,也是解此题的关键.
1. (2023·广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴影部分的面积为__ __.
2.(2024·广州)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
3.(2022·深圳)(1)发现:如图①所示,在正方形ABCD中,E为AD边上一点,将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交CD边于点G.求证:△BFG≌△BCG;
(2)探究:如图②,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻折到△BEF处,延长EF交BC边于点G,延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长;
(3)拓展:如图③,在菱形ABCD中,AB=6,E为CD边上的三等分点,∠D=60°.
将△ADE沿AE翻折得到△AFE,直线EF交BC的延长线于点P,求PC的长.

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