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第十七讲　三角形和多边形
知识要点 对点练习
1.三角形中的三条重要线段 (1)中线:三角形的三条中线的交点在三角形的__ __部,这个交点叫做三角形的__ __. (2)角平分线:三角形的三条角平分线的交点在三角形的__ __部. (3)高:__ __三角形的三条高的交点在三角形的内部;直角三角形的三条高的交点是__ __;__ __三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部. 1.下列说法正确的是( ) ①三角形的角平分线是射线; ②三角形的三条角平分线都在三角形内部; ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分; ④三角形的三条高都在三角形内部. A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.三角形的三边关系 三角形的两边之和__ __第三边,三角形的两边之差__ __第三边. 2.(教材再开发·北师七下P86习题T1改编)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( ) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
3.三角形的内角和定理及推论 (1)定理:三角形三个内角的和等于__ __. (2)推论:①三角形的一个外角等于和它__ __的和. ②直角三角形的两个锐角__ __. 3.(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=56°,则∠A的度数为( ) A.34°　　　 B.44°　　　 C.124°　　　 D.134° (2)(教材再开发·人教八上P15练习改编)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,则外角∠ABD的度数是( ) A.110° B.120° C.130° D.140°
4.多边形 (1)内角和定理:n边形的内角和是__ __. (2)外角和定理:任意多边形的外角和为__ __. (3)正多边形:各个角__ __,各条边__ __的多边形. 4.五边形的内角和等于__ __°.
考点一 三角形和多边形有关的内角和外角
【例1】(2023·聊城)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,则∠ACB的度数为( )
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.65° B.75° C.85° D.95°
【例2】如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC,根据角平分线定义求出∠ABD,根据平行线的性质得出∠BDE=∠ABD即可.
【方法小结】本题考查了平行线的性质,三角形内角和定理,角平分线定义的应用,注意:两直线平行,内错角相等.
【例3】(2024·山东)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【例4】(2024·赤峰)如图是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是( )
A.5 B.6 C.8 D.10
【例5】(2024·嘉兴一模)如图,在△ABC中,以点B为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,以点C为圆心,AC长为半径画弧交BC于点E,连接AE,AD.设∠B=α,
∠EAD=β,则∠C的度数为( )
A.α- B.2α-β C.2β-α D.α+
考点二 三角形的主要线段及三角形的四种“心”
【例6】如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是__ __.
【方法小结】主要考查中线的性质.需牢固掌握中线的性质,数形结合即可解答.
【例7】(2023·浙江)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则△ABC的面积为( )
A.12 B.14 C.18 D.24
【例8】如图所示,已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点,BE,CF相交于点G,FG=3,则CF的长为( )
A.4 B.4.5 C.6 D.9
考点三 三角形的高、中线、角平分线
【例9】如图,AD,AE,AF分别是△ABC的中线,角平分线,高,下列各式中错误的是( )
A.BC=2CD B.∠BAE=∠BAC
C.∠AFB=90° D.AE=CE
【方法小结】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质,是基础题.从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线;三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.
【例10】(2024·凉山州)如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是__ __.
【思路点拨】由CD是边AB上的高,∠BCD=30°,∠ACB=80°,可求得∠CAB,∠CBA的度数,因为AE是∠CAB的平分线,可得∠EAB的度数,根据三角形内角和定理,可得∠AEB的度数.
考点四三角形的三边关系
【例11】(2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是( )
A.1 B.5 C.7 D.9
【方法小结】本题考查了三角形三边关系定理,根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得解.
【例12】三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为__ __.
【思路点拨】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围;再由三角形三边关系得到3+(1-a)>1-2a,从而求出a的取值范围.
【方法小结】本题考查数轴上点的特点,这是隐含的a的范围(大小关系),再由三角形两边之和大于第三边进一步确定a的取值范围,从而顺利求解.
1.(2022·广东)下列图形中有稳定性的是( )
A.三角形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形
2.(2022·广东)如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=( )
A. B. C.1 D.2第十七讲　三角形和多边形
知识要点 对点练习
1.三角形中的三条重要线段 (1)中线:三角形的三条中线的交点在三角形的__内__部,这个交点叫做三角形的__重心__. (2)角平分线:三角形的三条角平分线的交点在三角形的__内__部. (3)高:__锐角__三角形的三条高的交点在三角形的内部;直角三角形的三条高的交点是__直角顶点__;__钝角__三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部. 1.下列说法正确的是(B) ①三角形的角平分线是射线; ②三角形的三条角平分线都在三角形内部; ③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分; ④三角形的三条高都在三角形内部. A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.三角形的三边关系 三角形的两边之和__大于__第三边,三角形的两边之差__小于__第三边. 2.(教材再开发·北师七下P86习题T1改编)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是(D) A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
3.三角形的内角和定理及推论 (1)定理:三角形三个内角的和等于__180°__. (2)推论:①三角形的一个外角等于和它__不相邻的两个内角__的和. ②直角三角形的两个锐角__互余__. 3.(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=56°,则∠A的度数为(A) A.34°　　　 B.44°　　　 C.124°　　　 D.134° (2)(教材再开发·人教八上P15练习改编)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠C=70°,则外角∠ABD的度数是(B) A.110° B.120° C.130° D.140°
4.多边形 (1)内角和定理:n边形的内角和是__(n-2)×180°__. (2)外角和定理:任意多边形的外角和为__360°__. (3)正多边形:各个角__相等__,各条边__相等__的多边形. 4.五边形的内角和等于__540__°.
考点一 三角形和多边形有关的内角和外角
【例1】(2023·聊城)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,
∠EBC=80°,则∠ACB的度数为(B)
　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
A.65° B.75° C.85° D.95°
【例2】如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,则∠BDE的度数是(B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC,根据角平分线定义求出∠ABD,根据平行线的性质得出∠BDE=∠ABD即可.
【方法小结】本题考查了平行线的性质,三角形内角和定理,角平分线定义的应用,注意:两直线平行,内错角相等.
【例3】(2024·山东)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为(A)
A.12 B.10 C.8 D.6
【例4】(2024·赤峰)如图是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l,m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
【例5】(2024·嘉兴一模)如图,在△ABC中,以点B为圆心,AB长为半径画弧交BC于点D,以点C为圆心,AC长为半径画弧交BC于点E,连接AE,AD.设∠B=α,
∠EAD=β,则∠C的度数为(C)
A.α- B.2α-β C.2β-α D.α+
考点二 三角形的主要线段及三角形的四种“心”
【例6】如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC=12,则图中阴影部分面积是__4__.
【方法小结】主要考查中线的性质.需牢固掌握中线的性质,数形结合即可解答.
【例7】(2023·浙江)如图,点P是△ABC的重心,点D是边AC的中点,PE∥AC交BC于点E,DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6,则△ABC的面积为(C)
A.12 B.14 C.18 D.24
【例8】如图所示,已知点E,F分别是△ABC中AC,AB边的中点,BE,CF相交于点G,FG=3,则CF的长为(D)
A.4 B.4.5 C.6 D.9
考点三 三角形的高、中线、角平分线
【例9】如图,AD,AE,AF分别是△ABC的中线,角平分线,高,下列各式中错误的是(D)
A.BC=2CD B.∠BAE=∠BAC
C.∠AFB=90° D.AE=CE
【方法小结】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质,是基础题.从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线;三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.
【例10】(2024·凉山州)如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是__100°__.
【思路点拨】由CD是边AB上的高,∠BCD=30°,∠ACB=80°,可求得∠CAB,∠CBA的度数,因为AE是∠CAB的平分线,可得∠EAB的度数,根据三角形内角和定理,可得∠AEB的度数.
考点四三角形的三边关系
【例11】(2023·福建)若某三角形的三边长分别为3,4,m,则m的值可以是(B)
A.1 B.5 C.7 D.9
【方法小结】本题考查了三角形三边关系定理,根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得解.
【例12】三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范围为__-3【思路点拨】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围;再由三角形三边关系得到3+(1-a)>1-2a,从而求出a的取值范围.
【方法小结】本题考查数轴上点的特点,这是隐含的a的范围(大小关系),再由三角形两边之和大于第三边进一步确定a的取值范围,从而顺利求解.
1.(2022·广东)下列图形中有稳定性的是(A)
A.三角形 B.平行四边形 C.长方形 D.正方形
2.(2022·广东)如图,在△ABC中,BC=4,点D,E分别为AB,AC的中点,则DE=(D)
A. B. C.1 D.2

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