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第二十三讲　平行四边形
知识要点 对点练习
1.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别__ __的四边形. (2)性质 边:对边__ __;角:对角__ __;对角线:对角线__ __. 1.如图,在平行四边形ABCD中, ∠B=60°,则∠D=( ) A.60°　　　 B.120°　　　 C.140°　　　 D.30°
2.平行四边形的判定 (1)边: ①两组对边分别__ __的四边形; ②两组对边分别__ __的四边形; ③一组对边__ __的四边形. (2)角:两组对角分别__ __的四边形. (3)对角线:对角线__ __的四边形. 2.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( ) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形
3.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都__ __. (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的__ __,叫做两条平行线之间的距离. 3.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( ) A.AB B.AD C.CE D.AC
4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边__ __的线段叫做三角形的中位线. (2)性质: 三角形的中位线__ __于三角形的第三边,且等于第三边的__ __. 4.(教材再开发·北师八下P152随堂练习T2改编) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E,F分别为AC和AB的中点,AF=5,AE=4,则BC=__ __.
【考点一】平行四边形的性质
【例1】(2024·河南)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为( )
A. B.1 C. D.2
【思路点拨】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=AC,证明
△CEF∽△CAB,利用相似三角形的性质求解即可.
【考点二】平行四边形的判定
【例2】(2024·达州)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
【思路点拨】(1)利用基本作图,过C点作BD的垂线即可;
(2)先利用平行线的性质得到∠B=∠D,再利用AE⊥BD,CF⊥BD得到AE∥CF,∠AEB=∠CFD,则可证明△ABE≌△CDF,从而根据平行四边形的判定方法可判断四边形AECF是平行四边形.
【方法小结】判定平行四边形的思路:(1)若条件是“一组对边平行”,则考虑利用“两组对边分别平行”或者“一组对边平行且相等”证明平行四边形;(2)若条件是“一组对边相等”,则考虑利用“两组对边分别相等”或者“一组对边平行且相等”证明平行四边形;(3)若条件与对角线有关,则考虑利用“对角线互相平分”证明平行四边形;(4)若条件是“一组对角相等”,则考虑利用“两组对角分别相等”证明平行四边形.
【考点三】 三角形的中位线
【例3】(2024·广州模拟)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点F在AB边上,
AE⊥CF且AE平分∠BAC,已知DE=1,AC=4,则AB的长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【思路点拨】证明△AFE≌△ACE,根据全等三角形的性质可得到FE=EC,AF=AC,再利用三角形的中位线定理证明BF=2DE,即可求出答案.
【方法小结】考点“三角形的中位线”在近年中考中出现,注意对定理的熟练掌握,同时注意区分三角形的中位线与三角形的中线.
广东3年真题
1.(2022·广东)如图,在 ABCD中,一定正确的是( )
A.AD=CD B.AC=BD
C.AB=CD D.CD=BC
2.(2024·广州)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分
∠EBC,则DE=__ __. 第二十三讲　平行四边形
知识要点 对点练习
1.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别__平行__的四边形. (2)性质 边:对边__平行且相等__;角:对角__相等__;对角线:对角线__互相平分__. 1.如图,在平行四边形ABCD中, ∠B=60°,则∠D=(A) A.60°　　　 B.120°　　　 C.140°　　　 D.30°
2.平行四边形的判定 (1)边: ①两组对边分别__平行__的四边形; ②两组对边分别__相等__的四边形; ③一组对边__平行且相等__的四边形. (2)角:两组对角分别__相等__的四边形. (3)对角线:对角线__互相平分__的四边形. 2.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是(D) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形
3.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都__相等__. (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的__距离__,叫做两条平行线之间的距离. 3.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是(B) A.AB B.AD C.CE D.AC
4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边__中点__的线段叫做三角形的中位线. (2)性质: 三角形的中位线__平行__于三角形的第三边,且等于第三边的__一半__. 4.(教材再开发·北师八下P152随堂练习T2改编) 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E,F分别为AC和AB的中点,AF=5,AE=4,则BC=__6__.
【考点一】平行四边形的性质
【例1】(2024·河南)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为(B)
A. B.1 C. D.2
【思路点拨】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=AC,证明
△CEF∽△CAB,利用相似三角形的性质求解即可.
【考点二】平行四边形的判定
【例2】(2024·达州)如图,线段AC,BD相交于点O,且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为点F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹,并标明相应的字母)
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.(若前问未完成,可画草图完成此问)
【思路点拨】(1)利用基本作图,过C点作BD的垂线即可;
(2)先利用平行线的性质得到∠B=∠D,再利用AE⊥BD,CF⊥BD得到AE∥CF,∠AEB=∠CFD,则可证明△ABE≌△CDF,从而根据平行四边形的判定方法可判断四边形AECF是平行四边形.
【解析】(1)如图,CF,AF,CE为所作;
(2)四边形AECF是平行四边形.
理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴AE∥CF,∠AEB=∠CFD=90°.
在△ABE和△CDF中,,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴AE=CF,而AE∥CF,
∴四边形AECF是平行四边形.
【方法小结】判定平行四边形的思路:(1)若条件是“一组对边平行”,则考虑利用“两组对边分别平行”或者“一组对边平行且相等”证明平行四边形;(2)若条件是“一组对边相等”,则考虑利用“两组对边分别相等”或者“一组对边平行且相等”证明平行四边形;(3)若条件与对角线有关,则考虑利用“对角线互相平分”证明平行四边形;(4)若条件是“一组对角相等”,则考虑利用“两组对角分别相等”证明平行四边形.
【考点三】 三角形的中位线
【例3】(2024·广州模拟)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,点F在AB边上,
AE⊥CF且AE平分∠BAC,已知DE=1,AC=4,则AB的长为(B)
A.5 B.6 C.7 D.8
【思路点拨】证明△AFE≌△ACE,根据全等三角形的性质可得到FE=EC,AF=AC,再利用三角形的中位线定理证明BF=2DE,即可求出答案.
【方法小结】考点“三角形的中位线”在近年中考中出现,注意对定理的熟练掌握,同时注意区分三角形的中位线与三角形的中线.
广东3年真题
1.(2022·广东)如图,在 ABCD中,一定正确的是(C)
A.AD=CD B.AC=BD
C.AB=CD D.CD=BC
2.(2024·广州)如图, ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分
∠EBC,则DE=__5__.

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