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第二讲　整式、因式分解
知识要点 对点练习
1.整式的有关概念 1.(教材再开发·北师七上P89T1改编) (1)单项式-3xy2的系数是 -3 ,次数是 3 . (2)多项式2x-5xy3-1是 四 次 三 项式,其中一次项为 2x ,一次项系数为 2 .
2.同类项:所含字母 相同 ,且相同字母指数也 相同 的单项式. 2.(1)(2024·内江)下列单项式中,ab3的同类项是(A) A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b (2)2x3y4与-x3myn是同类项,则m+n= 5 .
3.幂的运算性质 运算性质或法则幂的运算 (m,n为正 整数, 且m>n)同底数幂相乘am·an= am+n 同底数幂相除am÷an= am-n (a≠0) 幂的乘方(am)n= amn 积的乘方(ab)n= an bn
3.计算: (1)a3·a5= a8 ; (2)(a3)2= a6 ; (3)(2023·天津)(xy2= x2y4 (4)x7÷x2= x5 ; (5)(a-1)0= 1 (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.整式的乘法 (1)单项式乘单项式 系数、相同字母的幂 分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的 指数 一起作为积的一个因式. (2)单项式乘多项式m(a+b+c)= ma+mb+mc . (3)多项式乘多项式(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn . 平方差公式:(a+b)(a-b)= a2-b2 . 完全平方公式:(a±b)2= a2 ±2ab+b2 . 4.(教材再开发·人教八上P100例5改编) 计算:(1)3a3·4a3= 12a6 ; (2)-2a·8a2= -16a3 ; (3)3a2(a+2b2)= 3a3+6a2b2 ; (4)(6ab+4a2)÷2a= 3b+2a ; (5)(a+2b)(a-b)= a2+ab-2b2 ; (6)(x+3)(x-3)= x2-9 ; (7)(2x-1)2= 4x2-4x+1 .
续表
知识要点 对点练习
5.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的 积 的形式,这种变形叫做多项式的因式分解. 5.下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是(C) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
6.因式分解的方法和步骤 (1)提公因式法:am+bm+cm= m(a+b+c) . (2)运用公式法:平方差公式:a2-b2= (a+b)(a-b) . 完全平方公式:a2±2ab+b2= (a±b)2 . (3)步骤 ①若多项式的各项有公因式,则应先 提取公因式 ,首项是负的,可将负号一并提取. ②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用 公式 法来因式分解. ③检查因式分解是否彻底. 6.(1)因式分解:m2-3m= m(m-3) . (2)分解因式:x2-9= (x+3)(x-3) . (3)因式分解:x2-2x+1= (x-1)2 . (4)因式分解:ax2-2ax+a= a(x-1)2 .
考点一代数式与代数式求值
【例1】某校七年级师生参加爱心捐款活动,其中有a名教师,b名学生,若平均每名教师捐x元,每名学生捐10元,则他们一共捐款 (ax+10b) 元.
【思路点拨】教师人数×x+学生人数×10=一共捐款的钱数,由此可列出代数式.
【例2】(2024·广安)若x2-2x-3=0,则2x2-4x+1= 7 .
【思路点拨】由已知可得x2-2x=3,将代数式适当变形,利用整体代入的思想进行运算即可得出结论.
【方法小结】考点“代数式与代数式求值”在中考中多以填空题、选择题的形式出现.列代数式的关键是明确题中数量关系,列出相应的代数式;代数式求值,根据已知条件求出一个式子的值,然后把要求的式子化成与已知式子相关的形式,把已知式子整体代入可求,熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键.
考点二整式的概念
【例3】下列整式中,是二次单项式的是(B)
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.-3x
【思路点拨】根据单项式次数的定义:单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数作答即可.
【例4】(2022·永州)若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= 6 .
【思路点拨】根据同类项的定义,含有相同的字母,并且相同字母的指数也相同,得出m的值.
【方法小结】同类项必须符合两个条件:第一,所含字母相同;第二,相同字母的指数相同,两者缺一不可.根据同类项的概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解决此类题的一般方法.
考点三 整式的运算
【例5】(2024·龙东)下列计算正确的是(C)
A.a3·a2=a6
B.(a2)5=a7
C.(-2a3b)3=-8a9b3
D.(-a+b)(a+b)=a2-b2
【思路点拨】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方计算得到结果,即可作出判断.
【方法小结】考点“整式的运算”在中考中多以选择题的形式出现,这类问题一定要熟悉基本概念、基本法则,并能加以灵活运用,熟练掌握公式及法则是解题的关键.
考点四因式分解
【例6】(2024·扬州)分解因式2x2-4x+2= 2(x-1)2 .
【例7】(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为(D)
A.0 B.1 C.4 D.9
【方法小结】考点“因式分解”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,常考查提公因式法与公式法的综合运用.因式分解的基本思路是:一个多项式如果有公因式,首先提公因式,然后再用公式法进行因式分解,如果剩余的是两项,考虑使用平方差公式,如果剩余的是三项,则考虑使用完全平方公式,同时因式分解要彻底,要分解到不能分解为止.找准公因式,熟记公式结构是解题的关键.
考点五整式的化简求值
【例8】(2024·赤峰)已知a2-a-3=0,求代数式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.
【解析】(a-2)2+(a-1)(a+3)
=a2-4a+4+a2+3a-a-3
=2a2-2a+1,
∵a2-a-3=0,
∴a2-a=3,
当a2-a=3时,原式=2(a2-a)+1=2×3+1=6+1=7.
【思路点拨】(a-2)2直接利用完全平方公式展开,(a-1)(a+3)利用多项式的乘法公式展开,然后合并同类项即可化简,最后代入a2-a=3进行计算.
【例9】已知4x=3y,求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.
【解析】(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2
=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2
=-4xy+3y2
=y(3y-4x),
∵4x=3y,∴原式=y(3y-3y)=0.
【思路点拨】(x-2y)2可以利用完全平方公式展开,-(x-y)(x+y)利用平方差公式展开,再将各项合并即可化简,最后代入4x=3y进行计算.
【方法小结】考点“整式的化简求值”在中考中多以解答题的形式出现,常考查整式的混合运算,灵活运用乘法公式:完全平方公式和平方差公式是解题的关键,同时,在去括号的过程中要注意括号前的符号,若为负号,去括号后,括号里面的符号要改变.
广东3年真题
1.(2023·深圳)下列运算正确的是 (D)
A.a3·a2=a6
B.4ab-ab=4　
C.(a+1)2=a2+1
D.(-a3)2=a6
2.(2022·深圳)下列运算正确的是(A)
A.a2·a6=a8
B.(-2a)3=6a3
C.2(a+b)=2a+b
D.2a+3b=5ab
3.(2024·深圳)下列运算正确的是(B)
A.(-m3)2=-m5
B.m2n·m=m3n
C.3mn-m=3n
D.(m-1)2=m2-1
4.(2024·广州)若a≠0,则下列运算正确的是(B)
A.+= B.a3·a2=a5
C.·= D.a3÷a2=1
5.(2024·广东)下列计算正确的是(D)
A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4
C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10
6.(2022·广东)单项式3xy的系数为 3 .
7.(2023·广东)因式分解:x2-1= (x+1)(x-1) .
8.(2022·深圳)分解因式:a2-1= (a+1)(a-1) .
9.(2023·深圳)已知实数a,b,满足a+b=6,ab=7,则a2b+ab2的值为 42 . 第二讲　整式、因式分解
知识要点 对点练习
1.整式的有关概念 1.(教材再开发·北师七上P89T1改编) (1)单项式-3xy2的系数是 ,次数是 . (2)多项式2x-5xy3-1是 次 项式,其中一次项为 ,一次项系数为 .
2.同类项:所含字母 ,且相同字母指数也 的单项式. 2.(1)(2024·内江)下列单项式中,ab3的同类项是( ) A.3ab3 B.2a2b3 C.-a2b2 D.a3b (2)2x3y4与-x3myn是同类项,则m+n= .
3.幂的运算性质 运算性质或法则幂的运算 (m,n为正 整数, 且m>n)同底数幂相乘am·an= 同底数幂相除am÷an= (a≠0) 幂的乘方(am)n= 积的乘方(ab)n=
3.计算: (1)a3·a5= ; (2)(a3)2= ; (3)(2023·天津)(xy2= (4)x7÷x2= ; (5)(a-1)0= (a≠1); (6)a-2= (a≠0).
4.整式的乘法 (1)单项式乘单项式 分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的 一起作为积的一个因式. (2)单项式乘多项式m(a+b+c)= . (3)多项式乘多项式(a+b)(m+n)= . 平方差公式:(a+b)(a-b)= . 完全平方公式:(a±b)2= . 4.(教材再开发·人教八上P100例5改编) 计算:(1)3a3·4a3= ; (2)-2a·8a2= ; (3)3a2(a+2b2)= ; (4)(6ab+4a2)÷2a= ; (5)(a+2b)(a-b)= ; (6)(x+3)(x-3)= ; (7)(2x-1)2= .
续表
知识要点 对点练习
5.因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做多项式的因式分解. 5.下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( ) A.x2-x-1=x(x-1)-1 B.x2-1=(x-1)2 C.x2-x-6=(x-3)(x+2) D.x(x-1)=x2-x
6.因式分解的方法和步骤 (1)提公因式法:am+bm+cm= . (2)运用公式法:平方差公式:a2-b2= . 完全平方公式:a2±2ab+b2= . (3)步骤 ①若多项式的各项有公因式,则应先 ,首项是负的,可将负号一并提取. ②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用 法来因式分解. ③检查因式分解是否彻底. 6.(1)因式分解:m2-3m= . (2)分解因式:x2-9= . (3)因式分解:x2-2x+1= . (4)因式分解:ax2-2ax+a= .
考点一代数式与代数式求值
【例1】某校七年级师生参加爱心捐款活动,其中有a名教师,b名学生,若平均每名教师捐x元,每名学生捐10元,则他们一共捐款 元.
【思路点拨】教师人数×x+学生人数×10=一共捐款的钱数,由此可列出代数式.
【例2】(2024·广安)若x2-2x-3=0,则2x2-4x+1= .
【思路点拨】由已知可得x2-2x=3,将代数式适当变形,利用整体代入的思想进行运算即可得出结论.
【方法小结】考点“代数式与代数式求值”在中考中多以填空题、选择题的形式出现.列代数式的关键是明确题中数量关系,列出相应的代数式;代数式求值,根据已知条件求出一个式子的值,然后把要求的式子化成与已知式子相关的形式,把已知式子整体代入可求,熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键.
考点二整式的概念
【例3】下列整式中,是二次单项式的是( )
A.x2+1 B.xy
C.x2y D.-3x
【思路点拨】根据单项式次数的定义:单项式中所有字母指数的和叫单项式的次数作答即可.
【例4】(2022·永州)若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m= .
【思路点拨】根据同类项的定义,含有相同的字母,并且相同字母的指数也相同,得出m的值.
【方法小结】同类项必须符合两个条件:第一,所含字母相同;第二,相同字母的指数相同,两者缺一不可.根据同类项的概念——相同字母的指数相同列方程(组)是解决此类题的一般方法.
考点三 整式的运算
【例5】(2024·龙东)下列计算正确的是( )
A.a3·a2=a6
B.(a2)5=a7
C.(-2a3b)3=-8a9b3
D.(-a+b)(a+b)=a2-b2
【思路点拨】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方计算得到结果,即可作出判断.
【方法小结】考点“整式的运算”在中考中多以选择题的形式出现,这类问题一定要熟悉基本概念、基本法则,并能加以灵活运用,熟练掌握公式及法则是解题的关键.
考点四因式分解
【例6】(2024·扬州)分解因式2x2-4x+2= .
【例7】(2024·广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为( )
A.0 B.1 C.4 D.9
【方法小结】考点“因式分解”在中考中多以填空题、选择题的形式出现,常考查提公因式法与公式法的综合运用.因式分解的基本思路是:一个多项式如果有公因式,首先提公因式,然后再用公式法进行因式分解,如果剩余的是两项,考虑使用平方差公式,如果剩余的是三项,则考虑使用完全平方公式,同时因式分解要彻底,要分解到不能分解为止.找准公因式,熟记公式结构是解题的关键.
考点五整式的化简求值
【例8】(2024·赤峰)已知a2-a-3=0,求代数式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.
【思路点拨】(a-2)2直接利用完全平方公式展开,(a-1)(a+3)利用多项式的乘法公式展开,然后合并同类项即可化简,最后代入a2-a=3进行计算.
【例9】已知4x=3y,求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值.
【思路点拨】(x-2y)2可以利用完全平方公式展开,-(x-y)(x+y)利用平方差公式展开,再将各项合并即可化简,最后代入4x=3y进行计算.
【方法小结】考点“整式的化简求值”在中考中多以解答题的形式出现,常考查整式的混合运算,灵活运用乘法公式:完全平方公式和平方差公式是解题的关键,同时,在去括号的过程中要注意括号前的符号,若为负号,去括号后,括号里面的符号要改变.
广东3年真题
1.(2023·深圳)下列运算正确的是 ( )
A.a3·a2=a6
B.4ab-ab=4　
C.(a+1)2=a2+1
D.(-a3)2=a6
2.(2022·深圳)下列运算正确的是( )
A.a2·a6=a8
B.(-2a)3=6a3
C.2(a+b)=2a+b
D.2a+3b=5ab
3.(2024·深圳)下列运算正确的是( )
A.(-m3)2=-m5
B.m2n·m=m3n
C.3mn-m=3n
D.(m-1)2=m2-1
4.(2024·广州)若a≠0,则下列运算正确的是( )
A.+= B.a3·a2=a5
C.·= D.a3÷a2=1
5.(2024·广东)下列计算正确的是( )
A.a2·a5=a10 B.a8÷a2=a4
C.-2a+5a=7a D.(a2)5=a10
6.(2022·广东)单项式3xy的系数为 .
7.(2023·广东)因式分解:x2-1= .
8.(2022·深圳)分解因式:a2-1= .
9.(2023·深圳)已知实数a,b,满足a+b=6,ab=7,则a2b+ab2的值为 .

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