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第四讲　二次根式
知识要点 对点练习
1.二次根式:形如 ( )的代数式. 1.(教材再开发·人教八下P2例1改编) 要使代数式有意义,则x的取值范围是 .
2.二次根式的性质: (1)(a≥0)是 数. (2)= . (3)()2= (a≥0). 2.下列各组实数中,互为相反数的一组是( ) A.与 B.与 C.|-|与 D.与
3.最简二次根式: 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含 . (2)被开方数中不含 的因数或因式. 3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D.
4.同类二次根式:几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的 ,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 4.下列二次根式中,与是同类二次根式的是( ) A. B. C. D.
5.二次根式的运算 (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)积、商平方根的性质: ①= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加减:先将二次根式化成 ,再将 相同的二次根式合并. 5.(教材再开发·北师八上P44例4改编)计算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-).
考点一二次根式的概念
【例1】(2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
【例2】下列根式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
【思路点拨】直接根据最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可.
【方法小结】正确理解并掌握二次根式成立的条件,是解决求二次根式被开方数中字母的取值范围的关键,题型主要以选择题和填空题为主.
考点二二次根式的性质
【例3】(2022·河北)下列正确的是( )
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
【例4】(2024·乐山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
【思路点拨】先确定x的取值范围,再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可.
【方法小结】二次根式的性质主要是对=|a|的考查,应用的关键是把握a的正负性,其中a的符号常以数轴上点的位置的形式给出.
考点三 二次根式的运算
【例5】(2022·武汉)下列各式计算正确的是( )
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
【例6】(2023·聊城)计算: (-3)÷= .
【例7】(2023·成都)计算:+2sin 45°-(π-3)0+|-2|.
【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值以及算术平方根的定义、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
【方法小结】二次根式的加减本质是合并,将被开方数相同的项合并,被开方数不变,系数相加减即可.二次根式的乘除法类比整式的乘除法进行.解决二次根式的加减运算以及混合运算必须要明确运算顺序并正确进行运算.在二次根式的运算中,有理数的运算律、多项式的乘法法则及除法法则仍然适用,结果要最简,即分母中不含根号,根号中不含分数或平方数.
考点四二次根式的估算
【例8】(2024·重庆A卷)已知m=-,则实数m的范围是( )
A.2C.4广东3年真题
1.(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长是( )
A.2 B.5 C.10 D.20
2.(2024·深圳)如图,A,B,C均为正方形,若A的面积为10,C的面积为1,则B的边长可以是 .(写出一个答案即可)
3.(2023·广东)计算:×= .
4.(2022·深圳)计算:-+cos45°+.
5.(2024·广东)计算:20×|-|+-3-1.第四讲　二次根式
知识要点 对点练习
1.二次根式:形如 ( a≥0 )的代数式. 1.(教材再开发·人教八下P2例1改编) 要使代数式有意义,则x的取值范围是 x≥9 .
2.二次根式的性质: (1)(a≥0)是 非负 数. (2)= |a| . (3)()2= a (a≥0). 2.下列各组实数中,互为相反数的一组是(B) A.与 B.与 C.|-|与 D.与
3.最简二次根式: 最简二次根式要同时具备下列两个条件: (1)被开方数不含 分母 . (2)被开方数中不含 能开得尽方 的因数或因式. 3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是(D) A. B. C. D.
4.同类二次根式:几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的 被开方数相同 ,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 4.下列二次根式中,与是同类二次根式的是(C) A. B. C. D.
5.二次根式的运算 (1)二次根式的乘除: ①·= (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (2)积、商平方根的性质: ①= · (a≥0,b≥0); ②= (a≥0,b>0). (3)二次根式的加减:先将二次根式化成 最简二次根式 ,再将 被开方数 相同的二次根式合并. 5.(教材再开发·北师八上P44例4改编)计算: (1)-+; (2)÷-×+; (3)-+; (4)(-)2-(2+)(2-). 【解析】(1)原式=3-4+=0; (2)原式=4-+2=4+; (3)原式=2-+5=+5; (4)原式=3-6+6+1=10-6.
考点一二次根式的概念
【例1】(2024·烟台)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围为 x>1 .
【例2】下列根式中,是最简二次根式的是(D)
A. B. C. D.
【思路点拨】直接根据最简二次根式的概念:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可.
【方法小结】正确理解并掌握二次根式成立的条件,是解决求二次根式被开方数中字母的取值范围的关键,题型主要以选择题和填空题为主.
考点二二次根式的性质
【例3】(2022·河北)下列正确的是(B)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
【例4】(2024·乐山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
【思路点拨】先确定x的取值范围,再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可.
【方法小结】二次根式的性质主要是对=|a|的考查,应用的关键是把握a的正负性,其中a的符号常以数轴上点的位置的形式给出.
考点三 二次根式的运算
【例5】(2022·武汉)下列各式计算正确的是(C)
A.+= B.4-3=1
C.×= D.÷2=
【例6】(2023·聊城)计算: (-3)÷= 3 .
【例7】(2023·成都)计算:+2sin 45°-(π-3)0+|-2|.
【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值以及算术平方根的定义、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案.
【解析】原式=2+2×-1+2-
=2+-1+2-
=3.
【方法小结】二次根式的加减本质是合并,将被开方数相同的项合并,被开方数不变,系数相加减即可.二次根式的乘除法类比整式的乘除法进行.解决二次根式的加减运算以及混合运算必须要明确运算顺序并正确进行运算.在二次根式的运算中,有理数的运算律、多项式的乘法法则及除法法则仍然适用,结果要最简,即分母中不含根号,根号中不含分数或平方数.
考点四二次根式的估算
【例8】(2024·重庆A卷)已知m=-,则实数m的范围是(B)
A.2C.4广东3年真题
1.(2024·广东)完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长是(B)
A.2 B.5 C.10 D.20
2.(2024·深圳)如图,A,B,C均为正方形,若A的面积为10,C的面积为1,则B的边长可以是 2(答案不唯一) .(写出一个答案即可)
3.(2023·广东)计算:×= 6 .
4.(2022·深圳)计算:-+cos45°+.
【解析】原式=1-3+×+5
=1-3+1+5
=4.
5.(2024·广东)计算:20×|-|+-3-1.
【解析】原式=1×+2-
=+2-
=2.

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