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微专题1　一元二次方程根与系数的关系
角度1 已知一根,求另一根及字母系数
【解答思路】
方法一:先利用根与系数的关系求出另一根,再根据方程的两根及根与系数的关系求出字母系数.
方法二:先把已知根代入方程,求出字母系数,再解方程求出另一根.
针对训练
1.若x=-1是方程x2-3x+k+1=0的一个根,则此方程的另一个根是(D)
A.-5 B.0 C.3 D.4
2.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是__x=-2__.
角度2 求关于两根代数式的值
【解答思路】
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)+=;
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5)x1+x2=x1x2(x1+x2).
针对训练
3.已知x1,x2是方程x2-x-2 023=0的两个实数根,则代数式-2 023x1+的值是(A)
A.4 047 B.4 045 C.2 023 D.1
4.已知x1,x2是方程x2-x-3=0的两根,则+=__-__.
5.(2024·成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为__7__.
角度3 确定方程中待定字母的值或范围
【解答思路】
一元二次方程根与系数的关系常与根的判别式相结合,一般按下面方法解题:
1.一元二次方程根的情况
　　　　 结合根的判别式
列出方程或不等式
　　　　
确定字母的值或取值范围
2.方程的根满足的条件
　　　　 结合根与系数的关系
列出方程或不等式
　　　　
确定字母的值或取值范围.
针对训练
6.α,β是关于x的方程x2-x+k-1=0的两个实数根,且α2-2α-β=4,则k的值为__-4__.
7.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
【解析】(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,
∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,
解得k>1.
(2)∵1当k=2时,方程为x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,
当k=3或4时,此时方程解不为整数.
综上所述,k的值为2.
角度4 由方程的根的关系求作新方程
【解答思路】
(1)设原方程的两个根为x1,x2,同时写出新方程的两根(用x1,x2表示);
(2)写出原方程两根之和与两根之积;
(3)写出新方程两根之和与两根之积;
(4)写出新方程.
针对训练
8.(2024·广州模拟) ABCD中,AB,BC的长分别等于一元二次方程x2-5x+6=0两根之和与两根之积,则对角线AC长的取值范围是(D)
A.AC>1 B.19.若x1+x2=3,+=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是(A)
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
10.已知方程x2-3x+1=0,一个一元二次方程的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是__x2-3x+1=0__.
11.已知,x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根,
(1)求+的值;
(2)求一个新的一元二次方程,使它的两根分别是原方程两根的相反数.
【解析】(1)∵x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根,
∴x1+x2=2,x1·x2=-3,
∴+===-.
(2)∵x1+x2=2,x1·x2=-3,
∴(-x1)+(-x2)=-(x1+x2)=-2,(-x1)·(-x2)=x1·x2=-3,
∴当a=1时,-x1和-x2是方程x2+2x-3=0的根,则新方程为x2+2x-3=0.
角度5 已知方程,判断两实根的符号
【解答思路】
(1)要使方程有两个实数根,满足a≠0且Δ≥0;
(2)利用两根和x1+x2,两根积x1·x2,结合条件判断.
针对训练
12.一元二次方程x2+bx-2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是(B)
A.有两个正根 B.有一正根一负根且正根的绝对值大
C.有两个负根 D.有一正根一负根且负根的绝对值大
13.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.
(1)求证:无论k为何实数,此方程总有实数根.
(2)k为何值时,两根异号且负根的绝对值大
【解析】(1)Δ=[-(2k-3)]2-4×(2k-4)=4k2-20k+25=(2k-5)2.
∵(2k-5)2≥0,即Δ≥0,
∴无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)∵两根异号且负根的绝对值大,
∴,∴k<,
∴当k<时,两根异号且负根的绝对值大.微专题1　一元二次方程根与系数的关系
角度1 已知一根,求另一根及字母系数
【解答思路】
方法一:先利用根与系数的关系求出另一根,再根据方程的两根及根与系数的关系求出字母系数.
方法二:先把已知根代入方程,求出字母系数,再解方程求出另一根.
针对训练
1.若x=-1是方程x2-3x+k+1=0的一个根,则此方程的另一个根是( )
A.-5 B.0 C.3 D.4
2.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是__ __.
角度2 求关于两根代数式的值
【解答思路】
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;(2)+=;
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5)x1+x2=x1x2(x1+x2).
针对训练
3.已知x1,x2是方程x2-x-2 023=0的两个实数根,则代数式-2 023x1+的值是( )
A.4 047 B.4 045 C.2 023 D.1
4.已知x1,x2是方程x2-x-3=0的两根,则+=__ _.
5.(2024·成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值为__ __.
角度3 确定方程中待定字母的值或范围
【解答思路】
一元二次方程根与系数的关系常与根的判别式相结合,一般按下面方法解题:
1.一元二次方程根的情况
　　　　 结合根的判别式
列出方程或不等式
　　　　
确定字母的值或取值范围
2.方程的根满足的条件
　　　　 结合根与系数的关系
列出方程或不等式
　　　　
确定字母的值或取值范围.
针对训练
6.α,β是关于x的方程x2-x+k-1=0的两个实数根,且α2-2α-β=4,则k的值为__ __.
7.(2024·南充)已知x1,x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x1,x2都是整数,求k的值.
角度4 由方程的根的关系求作新方程
【解答思路】
(1)设原方程的两个根为x1,x2,同时写出新方程的两根(用x1,x2表示);
(2)写出原方程两根之和与两根之积;
(3)写出新方程两根之和与两根之积;
(4)写出新方程.
针对训练
8.(2024·广州模拟) ABCD中,AB,BC的长分别等于一元二次方程x2-5x+6=0两根之和与两根之积,则对角线AC长的取值范围是( )
A.AC>1 B.19.若x1+x2=3,+=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
10.已知方程x2-3x+1=0,一个一元二次方程的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是__ __.
11.已知,x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根,
(1)求+的值;
(2)求一个新的一元二次方程,使它的两根分别是原方程两根的相反数.
角度5 已知方程,判断两实根的符号
【解答思路】
(1)要使方程有两个实数根,满足a≠0且Δ≥0;
(2)利用两根和x1+x2,两根积x1·x2,结合条件判断.
针对训练
12.一元二次方程x2+bx-2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是( )
A.有两个正根 B.有一正根一负根且正根的绝对值大
C.有两个负根 D.有一正根一负根且负根的绝对值大
13.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.
(1)求证:无论k为何实数,此方程总有实数根.
(2)k为何值时,两根异号且负根的绝对值大

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