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微专题6　二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值
模型1　 抛物线中线段长度最大问题
特点 过抛物线上一动点,向x轴作垂线而形成的线段
图示 M是动点,MN∥y轴
结论 ①MN=yM-yN;②用二次函数的顶点求线段最值
针对训练
1.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,3)和B(,-)两点,直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求线段PD的最大值及此时点P的坐标;
模型2　 抛物线中图形的周长最大问题
特点 过抛物线上一动点,向x轴作垂线形成的线段,进而形成的直角三角形
图示 M是动点,MN∥y轴,ME⊥AC
结论 ①△MNE∽△ACO→△MNE的三边之比固定; ②MN=yM-yN,△MNE的周长最大问题转化为MN最长问题
针对训练
2.综合与探究
如图,抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点.
(1)求点A,B和C的坐标;
(2)如图,当点P在直线BC下方的抛物线上时,过点P作PE⊥x轴于点E交直线BC于点G,作PF⊥BC于点F,当△PFG的周长最大,求点P的坐标.
模型3　 抛物线中线段的比值最大问题
特点 过抛物线上一动点,与x轴上一点相连,形成的两线段的比
图示 M是动点,作MN∥y轴,得△MND∽△OCD
结论 ①△MND∽△OCD→=;②OC是定值,故MN最大时,最大
针对训练
3.已知:抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连接PC,PB,PO,PO交直线BC于点E,设=k,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值.
模型4　 抛物线中三角形面积最大问题
特点 过抛物线上一动点,与另外两个定点相连形成的三角形
图示 M是动点,作MN∥y轴,得S△MAC=MN·AO
结论 MN最大时,S△MAC最大
S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD
S△ABC=BD·(h1+h2)
PP'∥BC,则S△PBC=S△P'BC
针对训练
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+·x+(m>0)与x轴交于A(-1,0),B(m,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,点P位于直线BC上方的抛物线上,当△PBC面积最大时,求点P的坐标.
模型5　 抛物线中线段和的最值问题
特点 过抛物线上一动点,形成的两线段的和
图示 P是动点,作PE∥y轴,PF∥x轴,△PDF∽△OCB
结论 由△PDF∽△OCB 得PD∶PF为定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即转化为PE与PD最大问题
针对训练
5.已知抛物线y=ax2+bx+4过A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式和对称轴;
(2)如图,点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作直线BC的垂线,分别交直线BC、线段AC于点N,点E,过点E作EH⊥x轴,求EH+EM的最大值.微专题6　二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值
模型1　 抛物线中线段长度最大问题
特点 过抛物线上一动点,向x轴作垂线而形成的线段
图示 M是动点,MN∥y轴
结论 ①MN=yM-yN;②用二次函数的顶点求线段最值
针对训练
1.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,3)和B(,-)两点,直线AB与x轴相交于点C,P是直线AB上方的抛物线上的一个动点,PD⊥x轴交AB于点D.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求线段PD的最大值及此时点P的坐标;
【解析】(1)将A(0,3)和B(,-)代入y=-x2+bx+c,
得,解得,
∴该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3;
(2)设直线AB的表达式为y=kx+n,把A(0,3)和B(,-)代入,
得,解得,
∴直线AB的表达式为y=-x+3,
设点P的坐标为(a,-a2+2a+3),则D点坐标为(a,-a+3),
∴PD=(-a2+2a+3)- (-a+3)=-(a-)2+,
∵-1<0,∴当a=时,PD有最大值为;
∴P的坐标为(,).
模型2　 抛物线中图形的周长最大问题
特点 过抛物线上一动点,向x轴作垂线形成的线段,进而形成的直角三角形
图示 M是动点,MN∥y轴,ME⊥AC
结论 ①△MNE∽△ACO→△MNE的三边之比固定; ②MN=yM-yN,△MNE的周长最大问题转化为MN最长问题
针对训练
2.综合与探究
如图,抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点.
(1)求点A,B和C的坐标;
(2)如图,当点P在直线BC下方的抛物线上时,过点P作PE⊥x轴于点E交直线BC于点G,作PF⊥BC于点F,当△PFG的周长最大,求点P的坐标.
【解析】(1)把y=0代入y=x2-3x-4中,得x2-3x-4=0,解得x1=-1,x2=4,
∴点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(4,0),
把x=0代入y=x2-3x-4中,得y=-4.
∴点C的坐标是(0,-4);
(2)设直线BC的函数表达式为y=kx+b.
∵点B(4,0),点C(0,-4),
∴,解得,
∴直线BC的函数表达式为y=x-4,
∵∠BOC=90°,点B(4,0),点C(0,-4),∴OB=OC=4.
∴∠OBC=∠OCB==45°;
设点P的坐标为(m,m2-3m-4).
∵PE⊥x轴于点E交直线BC于点G,
∴PG∥y轴,点G的坐标为(m,m-4).
∴∠PGF=∠OCB=45°.
∵PF⊥BC于点F,∴∠PFG=90°.
∴△PFG是等腰直角三角形;
∴当△PFG的周长最大时,斜边PG最大.
∵PG=m-4-(m2-3m-4)=-m2+4m=-(m-2)2+4.
∵-1<0,∴当m=2时,PG取得最大值,
当m=2时,PE=m2-3m-4=22-3×2-4=-6.
∴点P的坐标是(2,-6).
模型3　 抛物线中线段的比值最大问题
特点 过抛物线上一动点,与x轴上一点相连,形成的两线段的比
图示 M是动点,作MN∥y轴,得△MND∽△OCD
结论 ①△MND∽△OCD→=;②OC是定值,故MN最大时,最大
针对训练
3.已知:抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点P为直线BC上方抛物线上任意一点,连接PC,PB,PO,PO交直线BC于点E,设=k,求当k取最大值时点P的坐标,并求此时k的值.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,
∴设y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代入,
得a(0+1)(0-3)=3,解得a=-1,
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;
(2)如图,过点P作PH∥y轴交直线BC于点H,
∴△PEH∽△OEC,∴=,
∵=k,OC=3,∴k=PH.
设直线BC的解析式为y=mx+n,
∵B(3,0),C(0,3),
∴,解得,
∴直线BC的解析式为y=-x+3.
设点P(t,-t2+2t+3),则H(t,-t+3),
∴PH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,
∴k=(-t2+3t)=-(t-)2+,
∵-<0,
∴当t=时,k取得最大值,此时,P(,).
模型4　 抛物线中三角形面积最大问题
特点 过抛物线上一动点,与另外两个定点相连形成的三角形
图示 M是动点,作MN∥y轴,得S△MAC=MN·AO
结论 MN最大时,S△MAC最大
S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD
S△ABC=BD·(h1+h2)
PP'∥BC,则S△PBC=S△P'BC
针对训练
4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+·x+(m>0)与x轴交于A(-1,0),B(m,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式;
(2)在(1)的条件下,点P位于直线BC上方的抛物线上,当△PBC面积最大时,求点P的坐标.
【解析】(1)∵A的坐标为(-1,0),
∴OA=1,∵OC=2OA,∴OC=2,
∴C的坐标为(0,2),
将点C代入抛物线y=-x2+·x+(m>0),得=2,即m=4,
∴抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x+2;
(2)如图,过P作PH∥y轴,交BC于H,
由(1)知,抛物线对应的函数表达式为y=-x2+x+2,m=4,
∴B,C坐标分别为B(4,0),C(0,2),
设直线BC的表达式为y=kx+n,
则,解得,
∴直线BC的表达式为y=-x+2.
设点P的坐标为(t,-t2+t+2)(0∴PH=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t=-(t2-4t)=-(t-2)2+2,
∵S△PBC=S△CPH+S△BPH,∴S△PBC=PH·|xB-xC|=[-(t-2)2+2]×4=-(t-2)2+4,
∴当t=2时,△PBC的面积最大,此时点P(2,3).
模型5　 抛物线中线段和的最值问题
特点 过抛物线上一动点,形成的两线段的和
图示 P是动点,作PE∥y轴,PF∥x轴,△PDF∽△OCB
结论 由△PDF∽△OCB 得PD∶PF为定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即转化为PE与PD最大问题
针对训练
5.已知抛物线y=ax2+bx+4过A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式和对称轴;
(2)如图,点M在直线BC上方的抛物线上,过点M作直线BC的垂线,分别交直线BC、线段AC于点N,点E,过点E作EH⊥x轴,求EH+EM的最大值.
【解析】(1)由题意,设抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),
则-4a=4,解得a=-1,
故抛物线的表达式为y=-x2+3x+4,其对称轴x=;
(2)由(1)可得点C为(0,4),由点A,C的坐标得,直线AC的表达式为y=4x+4,
由B,C的坐标知,BC和x轴的夹角为45°,
∵MN⊥BC,则直线MN和x轴的夹角为45°,设点M的坐标为(m,-m2+3m+4),
则设直线MN的表达式为y=(x-m)-m2+3m+4=x-m2+2m+4,
联立y=4x+4和y=x-m2+2m+4并解得x=(-m2+2m),
则EH=(-4m2+8m)+4,EM=·(xM-xE)=2[m-(-m2+2m)]
=2m-(-2m2+4m),
则EH+EM=(-4m2+8m)+4+2m-(-2m2+4m)=-(m-)2+≤,
故EH+EM的最大值为.

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