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微专题7　分段函数的实际应用问题
类型1分段函数中的行程问题
【思维切入】
1.分段函数中的行程问题多为折线类图象,涉及一次函数的求解,及每段线都对应相应的一次函数.
2.注意各个拐点的坐标,求出相应一次函数表达式是求解关键.
针对训练
1.(2024·齐齐哈尔)领航无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时,进行了时长为t秒的联合表演,表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题:
(1)a=________米/秒,t=________秒;
(2)求线段MN所在直线的函数表达式;
(3)当两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
【解析】(1)由题意得甲无人机的速度为a=48÷6=8(米/秒),
t=39-19=20(秒).
答案:8　20
(2)由题图知,N(19,96),
∵甲无人机的速度为8米/秒,∴甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8=12(秒),
∴甲无人机单独表演所用时间为19-12=7(秒),
6+7=13(秒),
∴M(13,48),
设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b,
将M(13,48),N(19,96)代入得,
解得,
∴线段MN所在直线的函数表达式为y=8x-56.
(3)由题意A(0,20),B(6,48),
同理线段OB所在直线的函数表达式为y=8x,
线段AN所在直线的函数表达式为y=4x+20,
线段BM所在直线的函数表达式为y=48,
当0≤t≤6时,由题意得|4x+20-8x|=12,
解得x=2或x=8(舍去),
当6解得x=10或x=4(舍去),
当13解得x=16或x=22(舍去),
综上,当两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时,它们距离地面的高度差为12米.
类型2分段函数中的销售类问题
【思维切入】
1.此类问题要弄清或确定销售数量和售价的变化关系.
2.根据利润=售价-进价,构建函数模型,再结合函数性质求解销售问题中的最优化问题.
针对训练
2.为了“让人民群众奔着更好的日子去”,各地广泛进行电商助农销售.某网店尝试用30天的时间,按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品,经过统计得到此农产品的日销售量m(件)、销售价格y(元/件)在第x天(x为正整数)销售的相关信息:①m与x满足一次函数关系,且第1天的日销售量为98件,第4天的日销售量为92件;②y与x的函数关系如图所示.
(1)求第5天的日销售量;
(2)在这30天中,网店哪天销售该农产品的日利润W最大 最大是多少元
【解析】(1)设m与x的函数关系式为:m=kx+b,
∵当x=1时,m=98;当x=4时,m=92,
∴,解得,
∴m=-2x+100,当x=5时,m=-2×5+100=90,
∴第5天的日销售量为90件.
(2)观察题图可知,当1≤x<20时,设y与x的函数表达式为y=nx+d,
根据题中图象数据得:,
解得,
∴y=x+30(1≤x<20);
当20≤x≤30时,y=50;
∴y与x的函数表达式为y=;
当1≤x<20时,W=m(y-10)=(-2x+100)(x+30-10)=-2(x-15)2+2 450,
∴当x=15时,W有最大值为2 450;
当20≤x≤30时,W=m(y-10)=40(-2x+100)=-80x+4 000,
∵-80<0,∴y随x的增大而减小,
∴当x=20时,W有最大值为-1 600+4 000=2 400,
综上所述,第15天该网店销售该商品的日利润W最大,最大是2 450元.
类型3分段函数的其他应用
【思维切入】
对应自变量的不同的取值范围,存在不同的函数图象,由此形成的分段函数,求出相应函数表达式是解决问题的关键.
针对训练
3.在测浮力的实验中,将一长方体石块由玻璃器皿的上方,向下缓慢移动浸入水里的过程中,弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示.
(1)求AB所在直线的函数表达式;
(2)当石块下降的高度为8 cm时,求此刻该石块所受浮力的大小.
(温馨提示:当石块位于水面上方时,F拉力=G重力;当石块入水后,F拉力=G重力-F浮力.)
【解析】(1)设AB所在直线的函数表达式为F拉力=kx+b,将(6,4),(10,2.5)代入得,,解得,
∴AB所在直线的函数表达式为F拉力=-x+;
(2)在F拉力=-x+中,令x=8得
F拉力=-×8+=,
∵4-=(N),
∴当石块下降的高度为8 cm时,该石块所受浮力为 N.微专题7　分段函数的实际应用问题
类型1分段函数中的行程问题
【思维切入】
1.分段函数中的行程问题多为折线类图象,涉及一次函数的求解,及每段线都对应相应的一次函数.
2.注意各个拐点的坐标,求出相应一次函数表达式是求解关键.
针对训练
1.(2024·齐齐哈尔)领航无人机表演团队进行无人机表演训练,甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞,乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞,甲、乙两架无人机同时匀速上升,6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演,完成表演动作后,按原速继续飞行上升,当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时,进行了时长为t秒的联合表演,表演完成后以相同的速度大小同时返回地面.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示.请结合图象解答下列问题:
(1)a=________米/秒,t=________秒;
(2)求线段MN所在直线的函数表达式;
(3)当两架无人机表演训练到多少秒时,它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
类型2分段函数中的销售类问题
【思维切入】
1.此类问题要弄清或确定销售数量和售价的变化关系.
2.根据利润=售价-进价,构建函数模型,再结合函数性质求解销售问题中的最优化问题.
针对训练
2.为了“让人民群众奔着更好的日子去”,各地广泛进行电商助农销售.某网店尝试用30天的时间,按单价随天数而变化的直播带货模式销售一种成本为10元/件的农产品,经过统计得到此农产品的日销售量m(件)、销售价格y(元/件)在第x天(x为正整数)销售的相关信息:①m与x满足一次函数关系,且第1天的日销售量为98件,第4天的日销售量为92件;②y与x的函数关系如图所示.
(1)求第5天的日销售量;
(2)在这30天中,网店哪天销售该农产品的日利润W最大 最大是多少元
类型3分段函数的其他应用
【思维切入】
对应自变量的不同的取值范围,存在不同的函数图象,由此形成的分段函数,求出相应函数表达式是解决问题的关键.
针对训练
3.在测浮力的实验中,将一长方体石块由玻璃器皿的上方,向下缓慢移动浸入水里的过程中,弹簧测力计的示数F拉力(N)与石块下降的高度x(cm)之间的关系如图所示.
(1)求AB所在直线的函数表达式;
(2)当石块下降的高度为8 cm时,求此刻该石块所受浮力的大小.
(温馨提示:当石块位于水面上方时,F拉力=G重力;当石块入水后,F拉力=G重力-F浮力.)

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