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微专题8　全等三角形之六大模型
模型1　　 平移模型
特点 有一组边共线或部分重合,另两组边分别平行
示例
思路 常在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线性质找到对应角相等
针对训练
1.已知:如图,点A,D,C,F在一条直线上,且AD=CF,AB=DE,∠A=∠EDF.
求证:∠B=∠E.
【证明】∵AD=CF,∴AD+CD=CF+CD,∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E.
模型2　　 对称模型
特点 所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合
示例
思路 解题时先要确定全等三角形的对应顶点(折叠后重合的顶点);还要注意隐含条件,即公共边或公共角等
针对训练
2. (2023·长沙)如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
【解析】(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°,
在△ABE和△ACD中,,∴△ABE≌△ACD(AAS);
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴AD=AE=6,在Rt△ACD中,AC===10,
∵AB=AC=10,∴BD=AB-AD=10-6=4.
模型3　　 旋转模型
特点 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度构成
示例
思路 在旋转过程中,两个三角形无重叠或有重叠,找等角或运用角的和差得到等角 提醒:遇到共顶点,等线段,考虑用旋转
针对训练
3.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.
【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
即∠BAD=∠CAE,在△ABD和△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,
∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,∵∠EAC=60°,
∴∠AEC=180°-∠ACE-∠EAC=180°-45°-60°=75°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=75°-45°=30°.
模型4 对角互补模型
特点 一个四边形有一对互补的对角
示例
思路 通常从一个角顶点向另一个角的两条边作垂线,构造出两个直角三角形,并且利用互余关系可得到这两个直角三角形的两组锐角分别对应相等
针对训练
4.如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,求证:BC=CD.
【证明】如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E,作CF⊥AD于F,
∵AC平分∠BAD,∴CE=CF,
∵∠ABC+∠CBE=180°,∠ABC+∠D=180°,∴∠D=∠CBE,
在△BCE和△DCF中,,
∴△BCE≌△DCF(AAS),∴BC=CD.
模型5　 一线三等角模型
特点 三个等角的顶点在同一直线上,称一线三等角模型
示例
思路 解题关键是利用三等角关系找全等三角形所需的角相等条件 (如∠1=∠2)
针对训练
5.如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
【证明】∵AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,
∴∠B=∠D=∠ACE=90°,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠BCA+∠DCE=90°,
∴∠BCA=∠DEC,
在△ABC和△CDE中,,
∴△ABC≌△CDE(AAS).
模型6　 半角模型
特点 一个角包含着这个角的半角
示例
思路 常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,证明三角形全等
针对训练
6.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D和点E均在边BC上,且∠DAE=45°,试猜想BD,DE,EC应满足的数量关系,并写出推理过程.
【解析】BD2+CE2=DE2,理由如下:
∵AB=AC,
∴把△ABD绕点A顺时针旋转90°至△ACG,可使AB与AC重合,连接EG,
∴AD=AG,BD=CG,∠B=∠ACG,∠BAD=∠CAG,
∵在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=45°,
∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=45°+45°=90°,
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠EAG=∠CAE+∠CAG=∠CAE+∠BAD=90°-45°=45°,
∴∠DAE=∠EAG,在△DAE和△GAE中,,
∴△DAE≌△GAE(SAS),∴DE=EG,
在Rt△ECG中,由勾股定理得,EG2=CE2+CG2,即BD2+CE2=DE2.
7.如图,已知正方形ABCD,从顶点A引两条射线分别交BC,CD于点E,F,
且∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF.
【证明】如图,延长CD到G,使DG=BE,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠B,
在△ABE和△ADG中,,
∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,
∵∠EAF=45°,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△AGF中,,
∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF,
∵GF=DG+DF=BE+DF,∴BE+DF=EF.微专题8　全等三角形之六大模型
模型1　　 平移模型
特点 有一组边共线或部分重合,另两组边分别平行
示例
思路 常在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线性质找到对应角相等
针对训练
1.已知:如图,点A,D,C,F在一条直线上,且AD=CF,AB=DE,∠A=∠EDF.
求证:∠B=∠E.
模型2　　 对称模型
特点 所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合
示例
思路 解题时先要确定全等三角形的对应顶点(折叠后重合的顶点);还要注意隐含条件,即公共边或公共角等
针对训练
2. (2023·长沙)如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
模型3　　 旋转模型
特点 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度构成
示例
思路 在旋转过程中,两个三角形无重叠或有重叠,找等角或运用角的和差得到等角 提醒:遇到共顶点,等线段,考虑用旋转
针对训练
3.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连接CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数.
模型4 对角互补模型
特点 一个四边形有一对互补的对角
示例
思路 通常从一个角顶点向另一个角的两条边作垂线,构造出两个直角三角形,并且利用互余关系可得到这两个直角三角形的两组锐角分别对应相等
针对训练
4.如图,四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°,求证:BC=CD.
模型5　 一线三等角模型
特点 三个等角的顶点在同一直线上,称一线三等角模型
示例
思路 解题关键是利用三等角关系找全等三角形所需的角相等条件 (如∠1=∠2)
针对训练
5.如图,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC≌△CDE.
模型6　 半角模型
特点 一个角包含着这个角的半角
示例
思路 常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形,从而进行等量代换,证明三角形全等
针对训练
6.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D和点E均在边BC上,且∠DAE=45°,试猜想BD,DE,EC应满足的数量关系,并写出推理过程.
7.如图,已知正方形ABCD,从顶点A引两条射线分别交BC,CD于点E,F,
且∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF.

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