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微专题9　角平分线常见问题及辅助线作法
类型1　 相遇平行线,联想等腰三角形性质
特点 过角平分线上的一点作角一边的平行线,从而构造等腰三角形
示例
结论 点P是∠MON的平分线上一点,过点P作PQ∥ON,则△QOP为等腰三角形
针对训练
1.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.若AB=4,AC=5,则△ADE的周长为(B)
A.8 B.9 C.10 D.13
2.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C,若EC=1,则OF=__2__.
　类型2　　 相遇角两边的垂线,联想角平分线定理
特点 过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段,得到垂线段相等
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,∴PB=PA, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP
针对训练
3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是(B)
A.24 B.30 C.36 D.42
4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=__4__.
类型3　　 相遇角平分线的垂线,联想“ 三线合一”
特点 从角一边上的一点作角平分线的垂线,构造等腰三角形利用“三线合一”解题
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交ON于点B,Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形
针对训练
5.如图,已知D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,
若AC=9,BC=5,则CD的长为(C)
A.2 B.4 C. D.5
6.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为
6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则△PAC的面积为__2__ cm2.
类型4　 相遇非特殊线段,联想全等(截长补短)
特点 在角的平分线的两边上截长补短,构造全等三角形
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA
针对训练
7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD.
【证明】在AB上取点E,使得AE=AC,
在△AED和△ACD中,,
∴△AED≌△ACD(SAS),
∴∠AED=∠C,AE=AC,ED=CD,
∵∠C=2∠B,且∠AED=∠B+∠BDE,
∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,
∴AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD.微专题9　角平分线常见问题及辅助线作法
类型1　 相遇平行线,联想等腰三角形性质
特点 过角平分线上的一点作角一边的平行线,从而构造等腰三角形
示例
结论 点P是∠MON的平分线上一点,过点P作PQ∥ON,则△QOP为等腰三角形
针对训练
1.如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F.过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E.若AB=4,AC=5,则△ADE的周长为( )
A.8 B.9 C.10 D.13
2.如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于点C,若EC=1,则OF=_ __.
　类型2　　 相遇角两边的垂线,联想角平分线定理
特点 过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段,得到垂线段相等
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,∴PB=PA, ∴Rt△AOP≌Rt△BOP
针对训练
3.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是( )
A.24 B.30 C.36 D.42
4.已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,点D为OC上一点,过D作直线DE⊥OA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF=_ __.
类型3　　 相遇角平分线的垂线,联想“ 三线合一”
特点 从角一边上的一点作角平分线的垂线,构造等腰三角形利用“三线合一”解题
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上一点,AP⊥OP于点P,延长AP交ON于点B,Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形
针对训练
5.如图,已知D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,
若AC=9,BC=5,则CD的长为( )
A.2 B.4 C. D.5
6.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC,若△PAB的面积为
6 cm2,△PBC的面积为8 cm2,则△PAC的面积为__ _ cm2.
类型4　 相遇非特殊线段,联想全等(截长补短)
特点 在角的平分线的两边上截长补短,构造全等三角形
示例
结论 P是∠MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB,则△OPB≌△OPA
针对训练
7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证:AB=AC+CD.

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