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微专题11　中点常见问题及辅助线作法
类型1　 直角三角形+斜边中点,作斜边上的中线
特点 在直角三角形中,有斜边上的中点
示例
结论 在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,作斜边上的中线CD,则有CD=AD=BD=AB
思路 作用 (1)思路:有时有中点无直角,要寻找直角,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”. (2)作用:①证明线段相等或求线段长; ②构造角相等进行等量代换
针对训练
1.如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=( )
A.125° B.145° C.175° D.190°
2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是 __.
类型2　 等腰三角形+底边中点,作底边上的中线
特点 在等腰三角形中,底边有中点
示例
结论 在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,连接AD.则有BD=CD, ∠BAD=∠CAD,AD⊥BC
作用 利用“三线合一”的性质,可用来解决线段相等、平行问题及角度之间的数量关系
针对训练
3.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2,D为BC的中点,AE=AB,则△EBD的面积为( )
A. B. C. D.
4.如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,点D为AC边上的中点,
过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F.
(1)求证:DE=DF.
(2)若AE=4,FC=3,求cos ∠BEF的值.
　类型3　 边的垂线+中点,构造等腰三角形
特点 经过线段的中点,出现线段的垂线
示例
结论 点D是BC中点,DE⊥BC,连接BE,根据垂直平分线的性质可以得到BE=CE
针对训练
5.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠OEB=46°,则∠AOC=( )
A.92° B.88° C.46° D.86°
6.如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.
类型4　 任意三角形+中点,构造三角形中位线
特点 多个中点出现或平行+中点(中点在平行线上)
示例
结论 如图①,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,连接DE.则有DE∥BC,DE=BC 如图②,在△ABC中,点D为AB的中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则有AE=EC,DE=BC
针对训练
7.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.
(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长;
(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求证:AB2+CD2=4EF2.
类型5　 任意三角形+中线,倍长中线法得全等
特点 三角形中出现中线或类中线(与中点有关的线段),要求证明线段间的数量关系
示例
结论 如图①,在△ABC中,点D为BC的中点,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE.则有:△ADC≌△EDB 如图②,在△ABC中,点D为BC的中点,延长ED到点F,使DF=ED,连接CF.则有:△BED≌△CFD
针对训练
8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是( )
A.29.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是__ __. 微专题11　中点常见问题及辅助线作法
类型1　 直角三角形+斜边中点,作斜边上的中线
特点 在直角三角形中,有斜边上的中点
示例
结论 在Rt△ABC中,∠C=90°,点D为AB的中点,作斜边上的中线CD,则有CD=AD=BD=AB
思路 作用 (1)思路:有时有中点无直角,要寻找直角,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”. (2)作用:①证明线段相等或求线段长; ②构造角相等进行等量代换
针对训练
1.如图,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED=(C)
A.125° B.145° C.175° D.190°
2.如图,正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是 __.
类型2　 等腰三角形+底边中点,作底边上的中线
特点 在等腰三角形中,底边有中点
示例
结论 在△ABC中,AB=AC,D为BC边中点,连接AD.则有BD=CD, ∠BAD=∠CAD,AD⊥BC
作用 利用“三线合一”的性质,可用来解决线段相等、平行问题及角度之间的数量关系
针对训练
3.△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,BC=2,D为BC的中点,AE=AB,则△EBD的面积为(B)
A. B. C. D.
4.如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,点D为AC边上的中点,
过点D作DE⊥DF,交AB于点E,交BC于点F.
(1)求证:DE=DF.
(2)若AE=4,FC=3,求cos ∠BEF的值.
【解析】(1)连接BD,如图,
∵等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上的中点,
∴AD=BD=CD,∠C=∠A=∠EBD=∠FBD=45°,BD⊥AC,
∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠BDC=90°,
∴∠EDB=∠CDF=90°-∠BDF,
∴△EDB≌△FDC(ASA),∴DE=DF.
(2)由(1)知:△EDB≌△FDC,
∴BE=FC=3,AB=7,
∴BF=4,∴EF===5,
∴cos ∠BEF==.
　类型3　 边的垂线+中点,构造等腰三角形
特点 经过线段的中点,出现线段的垂线
示例
结论 点D是BC中点,DE⊥BC,连接BE,根据垂直平分线的性质可以得到BE=CE
针对训练
5.如图,线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O.若∠OEB=46°,则∠AOC=(B)
A.92° B.88° C.46° D.86°
6.如图,△ABC中,AD是高,CE是中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.
【解析】(1)连接DE.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵AE=EB,
∴DE=EB=EA,∵DG⊥EC,EG=GC,
∴DE=CD,∴DC=BE.
(2)设∠BCE=x.∵EB=DE=DC,
∴∠DCE=∠DEC=x,∴∠EBD=∠BDE=∠DEC+∠DCE=2x,
∵∠AEC=∠EBD+∠ECD,∴66°=3x,
∴x=22°,∴∠BCE=22°.
类型4　 任意三角形+中点,构造三角形中位线
特点 多个中点出现或平行+中点(中点在平行线上)
示例
结论 如图①,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,连接DE.则有DE∥BC,DE=BC 如图②,在△ABC中,点D为AB的中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则有AE=EC,DE=BC
针对训练
7.如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.
(1)若AB=6,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长;
(2)若∠BDC-∠ABD=90°,求证:AB2+CD2=4EF2.
【解析】(1)如图,取BD的中点P,连接EP,FP.
∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=6,CD=8,
∴PE是△ADB的中位线,PF是△BDC的中位线,
∴PE∥AB,且PE=AB=3,PF∥CD,且PF=CD=4.
又∵∠ABD=30°,∠BDC=120°,
∴∠EPD=∠ABD=30°,∠DPF=180°-∠BDC=60°,
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°,
在Rt△EPF中,由勾股定理得到:EF===5,即EF=5;
(2)∵PE∥AB,且PE=AB,PF∥CD,且PF=CD.
∴∠EPD=∠ABD,∠BPF=∠BDC,
∴∠DPF=180°-∠BPF=180°-∠BDC,
∵∠BDC-∠ABD=90°,∴∠BDC=90°+∠ABD,
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°-∠BDC=
∠ABD+180°-(90°+∠ABD)=90°,
∴PE2+PF2=(AB)2+(CD)2=EF2,
∴AB2+CD2=4EF2.
类型5　 任意三角形+中线,倍长中线法得全等
特点 三角形中出现中线或类中线(与中点有关的线段),要求证明线段间的数量关系
示例
结论 如图①,在△ABC中,点D为BC的中点,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE.则有:△ADC≌△EDB 如图②,在△ABC中,点D为BC的中点,延长ED到点F,使DF=ED,连接CF.则有:△BED≌△CFD
针对训练
8.如图,在△ABC中,AB=7,AC=9,AD是BC边上的中线,则AD的取值范围是(C)
A.29.如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是__8__.

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