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微专题14　圆中常用辅助线的探寻
类型1见弦连半径,得等腰三角形
图形示例
辅助线 在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解
思路结论 OA=OB,∠OAB=∠OBA
针对训练
1.如图,A,B,C是半径为1的☉O上的三个点,若AB=,∠CAB=30°,则∠ABC的度数为(C)
A.95° B.100° C.105° D.110°
2.(2023·长沙)如图,点A,B,C在半径为2的☉O上,∠ACB=60°,OD⊥AB,垂足为E,交☉O于点D,连接OA,则OE的长度为__1__.
类型2见弦作垂径,得直角三角形
图形示例
辅助线 在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解
思路结论 AC=BC,OC2+BC2=OB2
针对训练
3.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是(C)
A. B. C. D.
4.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.
(1)求此下水管道横截面的半径;
(2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少.
【解析】(1)过点O作OD⊥AB于点C,交圆O于点D,连接OB,则CD=0.1米,
∴BC=AB=0.3米,设此下水管横截面的半径为r米,
则OB=OD=r米,∴OC=(r-0.1)米,在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2,
∴r2=(r-0.1)2+0.32,解得:r=0.5,
即此下水管道横截面的半径为0.5米;
(2)如图,过点O作OH⊥MN于点H,∴MH=NH=MN,
根据题意得CH=0.7米,由(1)得ON=0.5米,
∴OH=0.7-(0.5-0.1)=0.3(米),
∴NH==0.4米,
∴MN=0.8米,
∴此时水面的宽度增加了0.8-0.6=0.2(米).
类型3见直径作弦,得90 °圆周角
图形示例
辅助线 在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解
思路结论 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2
针对训练
5.(2024·眉山)如图,BE是☉O的直径,点A在☉O上,点C在BE的延长线上,
∠EAC=∠ABC,AD平分∠BAE交☉O于点D,连接DE.
(1)求证:CA是☉O的切线;
(2)当AC=8,CE=4时,求DE的长.
【解析】(1)连接OA,
∵BE是☉O的直径,
∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°.
∵OA=OB,∴∠B=∠BAO.
∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,
∴∠CAE+∠OAE=90°,
∴∠OAC=90°.
∵OA是☉O的半径,
∴CA是☉O的切线.
(2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,
∴△ABC∽△EAC,
∴=,
∴=,∴BC=16,
∴BE=BC-CE=12.
连接BD,∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,
∴=,∴BD=DE.
∵BE是☉O的直径,∴∠BDE=90°,
∴DE=BD=BE=6.
类型4见切线连圆心和切点,得切线垂直半径
图形 示例
辅助线 在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质解决问题
思路结论 OA⊥PA
针对训练
6.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是(C)
A.3 B.4
C.3 D.4
7.(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.
【解析】(1)连接OD,OA,作OH⊥AB于H,如图,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO⊥BC,AO平分∠BAC.
∵AC与☉O相切于点D,∴OD⊥AC,而OH⊥AB,
∴OH=OD,∴AB是半圆O的切线.
(2)由(1)知OD⊥AC,
在Rt△OCD中,CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+CD2=OC2,
∴OD2+42=(OD+2)2,
∴OD=3,∴OC=5,
∴cos C==.
在Rt△OCA中,cos C==,
∴sin∠OAC==.
类型5连半径证垂直或作垂直证半径,得相切
图形示例
辅助线 图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,来证明PA是圆O的切线; 图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径,来证明PA是圆O的切线
思路结论 PA是圆O的切线
针对训练
8.(2024·威海)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且BC=CD.点E是线段AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H,∠H=45°.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的长.
【解析】(1)如图,连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵BC=CD,
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠OCA=∠DAC,
∴OC∥AF.
∵EH平分∠FEG,
∴∠FEG=2∠GEH.
∵∠GEH=∠H+∠BAC,∠FEG=∠F+∠BAF,
∴2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.
∵∠BAF=2∠BAC,
∴∠F=2∠H=90°,
∴∠OCE=∠F=90°,即OC⊥EF.
∵OC是☉O的半径,∴EF是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为r,则OC=OB=r,OE=OB+BE=r+2,
∴在Rt△OCE中,由勾股定理得OC2+CE2=OE2,即r2+42=(r+2)2,解得r=3,
∴OE=5,∴AE=AO+OE=8.
由(1)知,OC∥AF,
∴△OCE∽△AFE,
∴=,即=,
∴AF=.
类型6见内心连顶点,得角平分线
图形示例
辅助线 点I是三角形ABC的内心,连接内心I和顶点A,用三角形内心的性质解决问题
思路结论 ∠IAB=∠IAC
针对训练
9.如图,AB为☉O的直径,C为圆上一点,I为△ABC的内心,AI交☉O于D,OI⊥AD于I,连接BD,则AB与BD的关系是(C)
A.AB=2BD B.AB=BD C.AB=BD D.AB=BD
10.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=3+,△ABC内切圆☉O半径为,将CA绕点C逆时针方向旋转60°得CD,连接AD交BC于点M,则点M到AB与点M到CD的距离之比为__1∶__. 微专题14　圆中常用辅助线的探寻
类型1见弦连半径,得等腰三角形
图形示例
辅助线 在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解
思路结论 OA=OB,∠OAB=∠OBA
针对训练
1.如图,A,B,C是半径为1的☉O上的三个点,若AB=,∠CAB=30°,则∠ABC的度数为( )
A.95° B.100° C.105° D.110°
2.(2023·长沙)如图,点A,B,C在半径为2的☉O上,∠ACB=60°,OD⊥AB,垂足为E,交☉O于点D,连接OA,则OE的长度为__ __.
类型2见弦作垂径,得直角三角形
图形示例
辅助线 在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解
思路结论 AC=BC,OC2+BC2=OB2
针对训练
3.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( )
A. B. C. D.
4.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.
(1)求此下水管道横截面的半径;
(2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少.
类型3见直径作弦,得90 °圆周角
图形示例
辅助线 在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解
思路结论 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2
针对训练
5.(2024·眉山)如图,BE是☉O的直径,点A在☉O上,点C在BE的延长线上,
∠EAC=∠ABC,AD平分∠BAE交☉O于点D,连接DE.
(1)求证:CA是☉O的切线;
(2)当AC=8,CE=4时,求DE的长.
类型4见切线连圆心和切点,得切线垂直半径
图形 示例
辅助线 在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质解决问题
思路结论 OA⊥PA
针对训练
6.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( )
A.3 B.4
C.3 D.4
7.(2024·武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;
(2)连接OA.若CD=4,CF=2,求sin∠OAC的值.
类型5连半径证垂直或作垂直证半径,得相切
图形示例
辅助线 图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,来证明PA是圆O的切线; 图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径,来证明PA是圆O的切线
思路结论 PA是圆O的切线
针对训练
8.(2024·威海)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且BC=CD.点E是线段AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线AC于点H,∠H=45°.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的长.
类型6见内心连顶点,得角平分线
图形示例
辅助线 点I是三角形ABC的内心,连接内心I和顶点A,用三角形内心的性质解决问题
思路结论 ∠IAB=∠IAC
针对训练
9.如图,AB为☉O的直径,C为圆上一点,I为△ABC的内心,AI交☉O于D,OI⊥AD于I,连接BD,则AB与BD的关系是( )
A.AB=2BD B.AB=BD C.AB=BD D.AB=BD
10.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=3+,△ABC内切圆☉O半径为,将CA绕点C逆时针方向旋转60°得CD,连接AD交BC于点M,则点M到AB与点M到CD的距离之比为__ __.

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