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专题八　几何最值问题
　　最值问题,是中考数学中最常见的压轴题.选择、填空、解答各种题型中都有它的影子,它几乎成了压轴题的代名词.难度大,是这种题型最大的特点,其次是这种题型思路比较特别,比较固定,第三个特点就是这种问题的综合性较强,牵扯的知识点较多.第四个特点就是这种最值问题多数都与动点有关.现在,比较常见的最值问题,大致可以分为以下几种:将军饮马问题、阿氏圆问题、费马点问题,当然还有一些其他的.
类型一 将军饮马问题——作轴对称
　　此类问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
【例1】(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为__ __.
【例2】如图,等腰△ABC的面积为21,底边BC=6,点D,F分别是AC,BC的中点,DH⊥AC交AB于H,点E是DH上一动点,则△CEF的周长的最小值为__ __.
类型二 胡不归问题—构造角和直角三角形
　解决胡不归问题的关键在于构造与kPB相等的线段.这通常通过构造一个角a,使得sin a=k,并在该角的基础上做垂线,从而构造直角三角形.在这个直角三角形中,角a的对边即为kPB的等线段.通过这种方法,我们可以将“PA+kPB”型问题转化为更容易处理的“PA+PC”型问题.
【例3】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,点P是AC上的一动点,AB=2,则PA+PB的最小值为( )
A.2 B. C. D.2
【例4】如图,△ABC中,AB=AC=10,∠A=45°,BD是△ABC的边AC上的高,点P是BD上动点,则BP+CP的最小值是__ __.
类型三 费马点问题——作旋转变换(60 °)
　　解决几个线段和的最值问题的基本策略就是化折为直,这里的三条线段的和,我们怎样才能将其连接起来变成一条折线呢 解决办法就是费马给出的旋转法,如图1我们将三角形APC绕着点A逆时针旋转60°到三角形AQE的位置,此时易证△APQ是等边三角形,所以PA+PB+PC=PQ+PB+QE,这样原问题的三条线段就变成了一条折线,很显然,只有当B,P,Q,E四点共线时(如图2)有最小值,最小值即为BE的长.求BE的长只要利用三角函数或勾股定理即可解决.
【例5】问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是__ __.
【例6】阅读材料:
被誉为“业余数学家之王”的皮埃尔·德·费马曾提出这样一个问题:在三角形所在平面内求一点,使该点到三角形各顶点的距离之和最小,后来人们称该点为费马点.在三个内角都小于120°的三角形中,费马点就是与三角形三个顶点的连线两两夹角为120°的点.如图①,P为△ABC内一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值最小.
问题解决:
如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2,若P为Rt△ABC内一点,连接AP,BP,CP,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,当PA+PB+PC取得最小值时,求∠APB的度数.
类型四 阿氏圆问题——构造母子相似三角形★
　　一类形如求PA+kPB最小值问题,我们只要构造一对母子相似的三角形,其相似比为k,将其中的kPB用与PB的对应边来等量代换,这样就把原问题转化为PA+PC的最小值问题,然后利用两点之间线段最短来求解即可.
【例7】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P.连接AP,BP,CP,则BP+CP的最小值是( )
A.3 B. C. D.2+3
【例8】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=CB=2,以B为圆心作圆B与AC相切,点P为圆B上任一动点,则PA+PC的最小值是 _. 专题八　几何最值问题
　　最值问题,是中考数学中最常见的压轴题.选择、填空、解答各种题型中都有它的影子,它几乎成了压轴题的代名词.难度大,是这种题型最大的特点,其次是这种题型思路比较特别,比较固定,第三个特点就是这种问题的综合性较强,牵扯的知识点较多.第四个特点就是这种最值问题多数都与动点有关.现在,比较常见的最值问题,大致可以分为以下几种:将军饮马问题、阿氏圆问题、费马点问题,当然还有一些其他的.
类型一 将军饮马问题——作轴对称
　　此类问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
【例1】(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为__5__.
【例2】如图,等腰△ABC的面积为21,底边BC=6,点D,F分别是AC,BC的中点,DH⊥AC交AB于H,点E是DH上一动点,则△CEF的周长的最小值为__10__.
类型二 胡不归问题—构造角和直角三角形
　解决胡不归问题的关键在于构造与kPB相等的线段.这通常通过构造一个角a,使得sin a=k,并在该角的基础上做垂线,从而构造直角三角形.在这个直角三角形中,角a的对边即为kPB的等线段.通过这种方法,我们可以将“PA+kPB”型问题转化为更容易处理的“PA+PC”型问题.
【例3】如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,点P是AC上的一动点,AB=2,则PA+PB的最小值为(C)
A.2 B. C. D.2
【例4】如图,△ABC中,AB=AC=10,∠A=45°,BD是△ABC的边AC上的高,点P是BD上动点,则BP+CP的最小值是__5__.
类型三 费马点问题——作旋转变换(60 °)
　　解决几个线段和的最值问题的基本策略就是化折为直,这里的三条线段的和,我们怎样才能将其连接起来变成一条折线呢 解决办法就是费马给出的旋转法,如图1我们将三角形APC绕着点A逆时针旋转60°到三角形AQE的位置,此时易证△APQ是等边三角形,所以PA+PB+PC=PQ+PB+QE,这样原问题的三条线段就变成了一条折线,很显然,只有当B,P,Q,E四点共线时(如图2)有最小值,最小值即为BE的长.求BE的长只要利用三角函数或勾股定理即可解决.
【例5】问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4.点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是__2__.
【例6】阅读材料:
被誉为“业余数学家之王”的皮埃尔·德·费马曾提出这样一个问题:在三角形所在平面内求一点,使该点到三角形各顶点的距离之和最小,后来人们称该点为费马点.在三个内角都小于120°的三角形中,费马点就是与三角形三个顶点的连线两两夹角为120°的点.如图①,P为△ABC内一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点,此时PA+PB+PC的值最小.
问题解决:
如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2,若P为Rt△ABC内一点,连接AP,BP,CP,将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,当PA+PB+PC取得最小值时,求∠APB的度数.
【解析】∵将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A'P'C,∴CP=CP',
∠PCP'=60°,AP=A'P',
∴△PCP'是等边三角形,∴PC=PP',
∴BP+PC+AP=BP+PP'+P'A',
∴当B,P,P',A'共线时,此时PA+PB+PC取得最小值,
∵∠PP'C=60°,∴∠APC=∠A'P'C=120°,
∴∠APP'=∠APC-∠P'PC=60°,∴∠APB=120°.
类型四 阿氏圆问题——构造母子相似三角形★
　　一类形如求PA+kPB最小值问题,我们只要构造一对母子相似的三角形,其相似比为k,将其中的kPB用与PB的对应边来等量代换,这样就把原问题转化为PA+PC的最小值问题,然后利用两点之间线段最短来求解即可.
【例7】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=9,以点A为圆心、6为半径的圆上有一个动点P.连接AP,BP,CP,则BP+CP的最小值是(B)
A.3 B. C. D.2+3
【例8】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=CB=2,以B为圆心作圆B与AC相切,点P为圆B上任一动点,则PA+PC的最小值是 __.

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