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专题二　阅读理解
　　阅读理解型问题是给出一些材料,让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识,用于解决后面的问题.这类问题,主要考查解题者的心理素质、自学能力和阅读理解能力,考查解题者的观察分析能力、判断是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力,这就要求同学们在平时的学习活动中,逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯.
解题策略:解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”,具体做法:
(1)认真阅读材料,把握题意,注意一些数据、关键名词;
(2)全面分析,理解材料所提及的基本概念、原理,理解其内容,思想和方法,获取有价值的数学信息;
(3)对有关信息进行归纳、整合加工提炼,进而构建方程、不等式、函数或几何模型来解答.
类型一 新定义学习型阅读理解题
　　1.新定义运算型阅读题:把新定义运算转化为一般的实数运算是解这类阅读理解题的关键.
【例1】定义一种运算:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin15°的值为 __.
　　2.新定义概念型阅读题:解新定义概念型阅读题,要把握新概念的现实模型,理解新概念的形成过程,以便于正确应用新概念进行分析、解决问题.
【例2】阅读理解:为了解决负数开平方问题,数学家大胆地引入一个符号i,把i叫做虚数单位,并且规定i2=-1,我们把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数.复数的四则运算与整式的四则运算类似.例如:
(8+2i)+(2-i)=(8+2)+(2i-i)=10+(2-1)i=10+i;
(4+i)(3-2i)=4×3-8i+3i-2i2=12-5i-2×(-1)=12-5i+2=14-5i.
根据以上信息,(5+2i)(5-2i)的运算结果是( )
A.21 B.29 C.25-4i D.25+4i
类型二 新公式应用型阅读题
　　通过对所给材料的阅读,从中获取新的数学公式、定理、运算法则,分析新公式和新变换法则的结构特征及适用范围,将新公式和新变换法则转化为已学知识,寻找解决问题的突破口,进而利用新公式和新变换法则解决问题.
【例3】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,书中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,其求法是:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为S=.现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c=4∶3∶2,则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 __ __.
类型三 新解题方法型阅读题
　　以例题的形式给出新方法:材料中首先给出一道例题及其解题方法,然后仿照新的解题方法解决与例题类似的问题.这类新方法型阅读题在中考中最为常见,值得关注.
【例4】(2023·凉山州)阅读理解题:阅读材料:
如图1,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α,∠FAD为β,若tanα=,则tanβ=.
证明:设BE=k,
∵tanα=,∴AB=2k,
易证△AEB≌△EFC(AAS).
∴EC=2k,CF=k,∴FD=k,AD=3k,
∴tan β===,
若α+β=45°时,当tan α=,则tan β=.
同理:若α+β=45°时,当tan α=,则tan β=.
根据上述材料,完成下列问题:
如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,已知OA=5.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出tan ∠BAM,tan ∠NAE的值;
(3)求直线AE的解析式.
类型四 归纳概括型阅读题
　　通过对给出的阅读材料的阅读理解,将得到的信息进行观察、分析、归纳、类比,作出合理的推断与大胆的猜想,得出题目必要的结论,并以此来解决后面的问题.解决这类问题的关键是理解材料中所提供的解题途径和思想方法,运用归纳与类比的方法总结和推广应用.
【例5】 (2023·福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为( )
A. B.2 C.3 D.2
1.(2024·广州)定义新运算:a b=例如:-2 4=(-2)2-4=0,2 3=-2+3=1.若x 1=-,则x的值为__ __.
2.(2024·深圳)【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线,垂线交平行四边形的边于另一点,且该点为所在边的中点,那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”,垂足叫做“垂中点”.
如图1,在 ABCD中,BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点,则 ABCD是垂中平行四边形,E是垂中点.
【应用】
(1)如图1,在垂中平行四边形ABCD中,E是垂中点.若AF=,CE=2,则AE=______,AB=______.
(2)如图2,在垂中平行四边形ABCD中,E是垂中点.若AB=BD,试猜想AF与CD的数量关系,并加以证明.
(3)如图3,在△ABC中,BE⊥AC于点E,CE=2AE=12,BE=5.
①请画出以BC为边的垂中平行四边形,使得E为垂中点,点A在垂中平行四边形的边上;
(不限定画图工具,不写画法及证明,在图上标明字母)
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C,若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P,连接PE,请直接写出PE的长.专题二　阅读理解
　　阅读理解型问题是给出一些材料,让学生在阅读的基础上理解材料中所提供的定义、公式、思想方法及解题技巧等知识,用于解决后面的问题.这类问题,主要考查解题者的心理素质、自学能力和阅读理解能力,考查解题者的观察分析能力、判断是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力,这就要求同学们在平时的学习活动中,逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯.
解题策略:解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”,具体做法:
(1)认真阅读材料,把握题意,注意一些数据、关键名词;
(2)全面分析,理解材料所提及的基本概念、原理,理解其内容,思想和方法,获取有价值的数学信息;
(3)对有关信息进行归纳、整合加工提炼,进而构建方程、不等式、函数或几何模型来解答.
类型一 新定义学习型阅读理解题
　　1.新定义运算型阅读题:把新定义运算转化为一般的实数运算是解这类阅读理解题的关键.
【例1】定义一种运算:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin15°的值为 __.
　　2.新定义概念型阅读题:解新定义概念型阅读题,要把握新概念的现实模型,理解新概念的形成过程,以便于正确应用新概念进行分析、解决问题.
【例2】阅读理解:为了解决负数开平方问题,数学家大胆地引入一个符号i,把i叫做虚数单位,并且规定i2=-1,我们把形如a+bi(a,b为实数)的数叫做复数.复数的四则运算与整式的四则运算类似.例如:
(8+2i)+(2-i)=(8+2)+(2i-i)=10+(2-1)i=10+i;
(4+i)(3-2i)=4×3-8i+3i-2i2=12-5i-2×(-1)=12-5i+2=14-5i.
根据以上信息,(5+2i)(5-2i)的运算结果是(B)
A.21 B.29 C.25-4i D.25+4i
类型二 新公式应用型阅读题
　　通过对所给材料的阅读,从中获取新的数学公式、定理、运算法则,分析新公式和新变换法则的结构特征及适用范围,将新公式和新变换法则转化为已学知识,寻找解决问题的突破口,进而利用新公式和新变换法则解决问题.
【例3】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,书中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,其求法是:“以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即为S=.现有周长为18的三角形的三边满足a∶b∶c=4∶3∶2,则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 __3__.
类型三 新解题方法型阅读题
　　以例题的形式给出新方法:材料中首先给出一道例题及其解题方法,然后仿照新的解题方法解决与例题类似的问题.这类新方法型阅读题在中考中最为常见,值得关注.
【例4】(2023·凉山州)阅读理解题:阅读材料:
如图1,四边形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,记∠BAE为α,∠FAD为β,若tanα=,则tanβ=.
证明:设BE=k,
∵tanα=,∴AB=2k,
易证△AEB≌△EFC(AAS).
∴EC=2k,CF=k,∴FD=k,AD=3k,
∴tan β===,
若α+β=45°时,当tan α=,则tan β=.
同理:若α+β=45°时,当tan α=,则tan β=.
根据上述材料,完成下列问题:
如图2,直线y=3x-9与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点A作AN⊥y轴于点N,已知OA=5.
(1)求反比例函数的解析式;
【解析】(1)设A(t,3t-9),∴OM=t,AM=3t-9,
∵OA=5,∴t2+(3t-9)2=52,解得t=4或t=1.4,
∴A(4,3)或(1.4,-4.8)(此时A在第四象限,不符合题意,舍去),
把A(4,3)代入y=(x>0)得3=,
解得m=12,∴反比例函数的解析式为y=(x>0);
(2)直接写出tan ∠BAM,tan ∠NAE的值;
(3)求直线AE的解析式.
【解析】(2)在y=3x-9中,令y=0得0=3x-9,解得x=3,
∴B(3,0),∴OB=3,由(1)知A(4,3),∴OM=4,AM=3,
∴BM=OM-OB=4-3=1,∴tan ∠BAM==,
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,∴∠MAN=90°,
∵∠BAE=45°,
∴∠BAM+∠NAE=45°,由若α+β=45°时,当tan α=,则tan β=可得:tan ∠NAE=;
(3)由(2)知tan ∠NAE=,∴=,
∵A(4,3),∴AN=4,ON=3,∴=,
∴NE=2,∴OE=ON-NE=3-2=1,∴E(0,1),
设直线AE的解析式为y=kx+b,把A(4,3),E(0,1)代入得:,
解得,∴直线AE的解析式为y=x+1.
类型四 归纳概括型阅读题
　　通过对给出的阅读材料的阅读理解,将得到的信息进行观察、分析、归纳、类比,作出合理的推断与大胆的猜想,得出题目必要的结论,并以此来解决后面的问题.解决这类问题的关键是理解材料中所提供的解题途径和思想方法,运用归纳与类比的方法总结和推广应用.
【例5】 (2023·福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为(C)
A. B.2 C.3 D.2
1.(2024·广州)定义新运算:a b=例如:-2 4=(-2)2-4=0,2 3=-2+3=1.若x 1=-,则x的值为__-或__.
2.(2024·深圳)【定义】
如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线,垂线交平行四边形的边于另一点,且该点为所在边的中点,那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”,垂足叫做“垂中点”.
如图1,在 ABCD中,BF⊥AC于点E,交AD于点F,若F为AD的中点,则 ABCD是垂中平行四边形,E是垂中点.
【应用】
(1)如图1,在垂中平行四边形ABCD中,E是垂中点.若AF=,CE=2,则AE=______,AB=______.
(2)如图2,在垂中平行四边形ABCD中,E是垂中点.若AB=BD,试猜想AF与CD的数量关系,并加以证明.
(3)如图3,在△ABC中,BE⊥AC于点E,CE=2AE=12,BE=5.
①请画出以BC为边的垂中平行四边形,使得E为垂中点,点A在垂中平行四边形的边上;
(不限定画图工具,不写画法及证明,在图上标明字母)
②将△ABC沿AC翻折得到△AB'C,若射线CB'与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点P,连接PE,请直接写出PE的长.
【解析】(1)由题可知,AF=AD=BC,
∵AF∥BC,∴△AEF∽△CEB,
∴==,
∵CE=2,∴AE=1,
∵BC=2AF=2,
∴BE==4,
∴AB==.
答案:1　
(2)AF=CD,理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△AED∽△FEB,
∴===,
设BE=x,则DE=2x,
∴AB=BD=3x,AE==2x,
∴EF=AE=x,
∴AF=AE+EF=3x,
∴AF=AB,∴AF=CD.
(3)①第一种情况:如图①.
第二种情况:如图②.
第三种情况:如图③.
②若按照上图①作图,即如图④,
由题意可知,∠ACB=∠ACP,四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ACB=∠PAC,∴∠PAC=∠PCA,
∴△PAC是等腰三角形;
过P作PH⊥AC于H,则AH=HC,
∵BE=5,CE=2AE=12,∴B'E=BE=5,AE=6,
∴AH=HC=AC=(AE+CE)=(6+12)=9,
∴EH=AH-AE=9-6=3,
∵PH⊥AC,BB'⊥AC,
∴△CPH∽△CB'E,
∴=,
即PH===,
∴PE===;
若按照上图②作图,即如图⑤,
延长CA,DF交于点G,
同理可得△PGC是等腰三角形,
连接PA,
∵GF∥BC,
∴△GAF∽△CAB,
∴==1,
∴AG=AC,
∴PA⊥AC;
同理△CPA∽△CB'E,
∵AE=6,EC=12,B'E=BE=5,
∴=,
即PA===,
∴PE===;
若按照上图③作图,则没有交点,不存在PE(不符合题意),即如图⑥,
综上所述,PE=或.

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