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专题十　函数中的面积问题
　　函数中的面积问题是近年中考的常考题,中考试题常将函数与面积结合起来进行考查,由函数的交点以及相交后围成的三角形或四边形,求围成的三角形或四边形的面积或由面积求交点和函数解析式,题型难度较大,并且属于学生在计算中的难点问题.这种考题既能考查函数本身的基础知识内容,又能充分体现数形结合的思想方法,考查的题型广泛,考查方法灵活,可以较好地将知识与能力融合在一起.函数中的面积问题归纳起来常有四类题型:1.已知解析式或坐标求面积;2.已知面积求解析式或坐标;3.与面积相关的存在性问题;4.函数中面积的最值问题.
类型一 已知解析式或坐标求面积
　　已知解析式或坐标求图形面积,一般先根据解析式求出函数图象的交点坐标,再由图形的面积公式求面积,有时所求图形是不规则图形,没有直接的面积公式求解,可以利用坐标轴或者平行于坐标轴的直线将不规则图形分割成若干个易求面积的图形,通常将图形的一边放在坐标轴上会简化求解过程,常用方法有割补法,“铅垂高,水平宽”面积法.
【例1】在平面直角坐标系xOy中,直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧),并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A,B,且AC+BC=4,则△OAB的面积为( )
A.2+或2- B.2+2或2-2
C.2- D.2+2
【思路点拨】画图或根据AC+BC=4列方程求解可知须分两种情况讨论,分别求解即可.
类型二 已知面积求解析式或坐标
　　已知面积求解析式或坐标,一般先根据面积列出方程(组)求出函数图象的交点坐标,再用待定系数法求函数解析式,解决这类题目一定要注意观察,限制条件不强时学生在解答时很容易漏解,解题时多画几组不同位置的直线,可以更清楚地看出符合题意的情况有几种.
【例2】(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在y,x轴上,BC⊥x轴,点M,N分别在线段BC,AC上,BM=CM,NC=2AN,反比例函数y=(x>0)的图象经过M,N两点,P为x轴正半轴上一点,且OP∶BP=1∶4,△APN的面积为3,则k的值为( )
A. B. C. D.
类型三 与面积相关的存在性问题
　　与面积相关的存在性问题,一般先设出点的坐标,再由面积关系列出方程(组)求出点的坐标,然后由解的情况判定存在与否.
【例3】(2024·凉山州)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A、B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求P点坐标;
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
类型四 函数中面积的最值问题
　　求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合,一般先利用点的坐标转化线段长,进而与几何图形建立联系,应用相似三角形性质、面积比或面积公式等列出有关图形面积的函数关系式,求出函数(面积)的最值.在确定函数的最值时,需注意自变量的取值范围.
【例4】(2023·聊城)如图①,抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A(-3,0),B(6,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点Q的坐标;
(3)如图②,当点P(m,0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A,B不重合),自点P分别作PE∥BC,交AC于点E,作PD⊥BC,垂足为点D.当m为何值时,△PED面积最大,并求出最大值.专题十　函数中的面积问题
　　函数中的面积问题是近年中考的常考题,中考试题常将函数与面积结合起来进行考查,由函数的交点以及相交后围成的三角形或四边形,求围成的三角形或四边形的面积或由面积求交点和函数解析式,题型难度较大,并且属于学生在计算中的难点问题.这种考题既能考查函数本身的基础知识内容,又能充分体现数形结合的思想方法,考查的题型广泛,考查方法灵活,可以较好地将知识与能力融合在一起.函数中的面积问题归纳起来常有四类题型:1.已知解析式或坐标求面积;2.已知面积求解析式或坐标;3.与面积相关的存在性问题;4.函数中面积的最值问题.
类型一 已知解析式或坐标求面积
　　已知解析式或坐标求图形面积,一般先根据解析式求出函数图象的交点坐标,再由图形的面积公式求面积,有时所求图形是不规则图形,没有直接的面积公式求解,可以利用坐标轴或者平行于坐标轴的直线将不规则图形分割成若干个易求面积的图形,通常将图形的一边放在坐标轴上会简化求解过程,常用方法有割补法,“铅垂高,水平宽”面积法.
【例1】在平面直角坐标系xOy中,直线AB垂直于x轴于点C(点C在原点的右侧),并分别与直线y=x和双曲线y=相交于点A,B,且AC+BC=4,则△OAB的面积为(B)
A.2+或2- B.2+2或2-2
C.2- D.2+2
【思路点拨】画图或根据AC+BC=4列方程求解可知须分两种情况讨论,分别求解即可.
类型二 已知面积求解析式或坐标
　　已知面积求解析式或坐标,一般先根据面积列出方程(组)求出函数图象的交点坐标,再用待定系数法求函数解析式,解决这类题目一定要注意观察,限制条件不强时学生在解答时很容易漏解,解题时多画几组不同位置的直线,可以更清楚地看出符合题意的情况有几种.
【例2】(2023·宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在y,x轴上,BC⊥x轴,点M,N分别在线段BC,AC上,BM=CM,NC=2AN,反比例函数y=(x>0)的图象经过M,N两点,P为x轴正半轴上一点,且OP∶BP=1∶4,△APN的面积为3,则k的值为(B)
A. B. C. D.
类型三 与面积相关的存在性问题
　　与面积相关的存在性问题,一般先设出点的坐标,再由面积关系列出方程(组)求出点的坐标,然后由解的情况判定存在与否.
【例3】(2024·凉山州)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与A、B重合),过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,当PE=2ED时,求P点坐标;
(3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)把B(3,m)代入y=x+2得:m=3+2=5,∴B(3,5),
把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c得:
,
解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+8;
(2)设P(t,-t2+2t+8),则E(t,t+2),D(t,0),
∵PE=2DE,
∴-t2+2t+8-(t+2)=2(t+2),
解得t=1或t=-2(此时P不在直线AB上方,舍去);
∴P的坐标为(1,9);
(3)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等于△ABC面积的一半,理由如下:
过M作MK∥y轴交直线AB于K,如图:
在y=-x2+2x+8中,令y=0得0=-x2+2x+8,
解得x=-2或x=4,
∴A(-2,0),C(4,0),∴AC=6.
∵B(3,5),
∴S△ABC=×6×5=15,
设M(m,-m2+2m+8),则K(m,m+2),
∴MK=|-m2+2m+8-(m+2)|=|-m2+m+6|,
∴S△ABM=MK·|xB-xA|=|-m2+m+6|×5=|-m2+m+6|.
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半,
∴|-m2+m+6|=×15,
∴|-m2+m+6|=3,
∴-m2+m+6=3或-m2+m+6=-3,
解得m=或m=,
∴M的坐标为(,)或(,)或(,)或(,).
类型四 函数中面积的最值问题
　　求面积的最值问题在压轴题中比较常见,而且通常与二次函数相结合,一般先利用点的坐标转化线段长,进而与几何图形建立联系,应用相似三角形性质、面积比或面积公式等列出有关图形面积的函数关系式,求出函数(面积)的最值.在确定函数的最值时,需注意自变量的取值范围.
【例4】(2023·聊城)如图①,抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A(-3,0),B(6,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是x轴上任意一点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点Q在抛物线上,若以点A,C,P,Q为顶点,AC为一边的四边形为平行四边形时,求点Q的坐标;
(3)如图②,当点P(m,0)从点A出发沿x轴向点B运动时(点P与点A,B不重合),自点P分别作PE∥BC,交AC于点E,作PD⊥BC,垂足为点D.当m为何值时,△PED面积最大,并求出最大值.
【解析】(1)设抛物线的表达式为:y=a(x+3)(x-6),
∴-9=a·3×(-6),
∴a=,∴y=(x+3)(x-6)=x2-x-9;
(2)如图,抛物线的对称轴为直线x==,
由对称性可得Q1(3,-9),当y=9时,x2-x-9=9,
∴x=,∴Q3(,9),Q2(,9),
综上所述:Q的坐标为(3,-9)或(,9)或(,9);
(3)设△PED的面积为S,
由题意得:AP=m+3,BP=6-m,OB=6,OC=9,AB=9.
∴BC==3,∵sin ∠PBD==,
∴=,∴PD=.
∵PE∥BC,∴△APE∽△ABC,∠EPD=∠PDB=90°,
∴=,∴=,
∴PE=,∴S=PE·PD=(m+3)(6-m)=-(m-)2+,
∴当m=时,S最大=,∴当m=时,△PDE的面积最大值为.

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